Laplace变换和幂级数解法
超越方程的五种解法
超越方程的五种解法
超越方程是一种数学概念，它是一种非线性方程，其解决的是超出了线性方程的情况。
超越方程的解决方案包括五种：线性化法、积分法、幂级数法、Laplace变换法和Fourier变换法。
首先，线性化法是最常用的解决方案，它的思想是把超越方程展开成一系列线性方程，然后求解这些线性方程。
这是一种简单实用的解决方案，但存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么线性化法就无法有效解决。
其次，积分法也是一种常用的解决方案，它的目的是通过积分的方式来求解超越方程，但存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么积分法就无法有效解决。
三，幂级数法也是解决超越方程的常用方法，它是利用幂级数来求解超越方程，但也存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么幂级数法也无法有效解决。
四，Laplace变换法是一种较为复杂的解决方案，它是利用Laplace变换来求解超越方程，这种方法可以有效解决复杂的非线性方程，但也存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么Laplace变换法也无法有效解决。
最后，Fourier变换法也是解决超越方程的常用方法，它是利用Fourier变换来求解超越方程，这种方法可以有效解决
复杂的非线性方程，但也存在一定的缺陷：如果超越方程是一个复杂的非线性方程，那么Fourier变换法也无法有效解决。
总而言之，超越方程的解决方案有五种：线性化法、积分法、幂级数法、Laplace变换法和Fourier变换法。
每种方法都有自己的优点和缺点，需要根据实际应用情况，选择最合适的解决方案。
不过，无论哪种方法，在解决超越方程时，都需要充分考虑其非线性性，以便获得最佳的解决结果。
《高等数学教学资料》第四节.laplace变换的性质小结
目
CONTENCT
录
• Laplace变换的定义与性质 • Laplace变换的收敛域 • Laplace逆变换的性质 • Laplace变换的应用 • 总结与展望
01
Laplace变换的定义与性质
定义
80%
定义
Laplace变换是函数f(t)到F(s)的 一种积分变换，记作L[f(t)]。
THANK YOU
感谢聆听
定义与公式
定义
Laplace逆变换是通过对Laplace变换的函数进行反演，得到原函数的表示形式。
公式
Laplace逆变换的公式为 (f(t) = frac{1}{2pi i} int_{c - iinfty}^{c + iinfty} F(s)e^{st} ds) ，其中 (F(s)) 是 Laplace变换的函数，(f(t)) 是原函数。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
随着科技的发展和研究的深入 ，Laplace变换的应用领域将 不断拓展，例如在人工智能、 机器学习等领域的应用。
100%
定义域
Laplace变换的函数f(t)需要满足 一定的条件，例如在某个区间内 单调、有界等。
80%
存在定理
对于满足一定条件的函数f(t)，其 Laplace变换存在。
线性性质
线性性质
Laplace变换具有线性性质，即对于 任意常数a和b，有 L[af(t)+bf(t)]=aL[f(t)]+bL[f(t)]。
laplace变换的原理和方法
其中 a 1， a 2 ， a n 及 b 0， b1 b m 均为实数，
A ( s ) ( s s 1 )( s s 2 ) ( s s n ) s i ( i 1, , n ) 是 A ( s ) 0 的根。
1、 A ( s ) 0 无重根 F (s) C1 s s1 C2 s s2 Ci s si Cn s sn
e
( s j ) t
) dt
1
2 j s j
[
1
s j
]
s
2 2
余弦函数
通理可得： F ( s ) L [cos t ] s s
2 2
6、单位脉冲函数
0 f (t ) (t ) t 0 t 0
(t )
且有
'
一般地，有 F
(n)
( s ) L [( t ) f ( t )], Re( s ) c
n
（3）积分性质
设 L [ f ( t )] F ( s )，则有 L [ f ( t ) dt ]
0 t
1 s
F (s)
t t t
L [ dt
dt
n
f ( t ) dt ]
m
C m 1 ( s s1 )
m 1
C1 s s1
C m 1 s s m 1
Cn s sn
C m 1 , C n 的计算同单根部分，
C 1 , C m 的计算公式：
C m lim ( s s 1 )
微分方程的Laplace变换解法
微分方程的Laplace变换解法微分方程在数学和工程领域中是一种常见的数学工具，用来描述物理现象和自然规律。
在解微分方程时，Laplace变换是一种非常有用的转换方法。
通过将微分方程转换为代数方程，我们可以更容易地求解微分方程的解。
Laplace变换的定义Laplace变换是一种线性积分变换，用来将一个函数f(t)转换为另一个函数F(s)。
其定义如下： \[F(s) = \int_0^{\infty} e^{-st} f(t)dt\]其中，s是一个复变量，t是实数。
Laplace变换在工程中的应用非常广泛，能够有效地解决很多常见的微分方程问题。
Laplace变换的性质在求解微分方程时，我们需要了解一些Laplace变换的基本性质：1.线性性质：\[L(a_1f_1(t) + a_2f_2(t)) = a_1F_1(s) + a_2F_2(s)\]2.积分性质：\[L\left(\int_0^t f(u)du\right) = \frac{F(s)}{s}\]3.微分性质：\[L\left(\frac{d n}{dt n}f(t)\right) = s^nF(s) - s^{n-1}f(0) -s^{n-2}f’(0) - \ldots - f^{(n-1)}(0)\]掌握这些性质对于有效地应用Laplace变换解微分方程至关重要。
Laplace变换解微分方程的步骤利用Laplace变换解微分方程的一般步骤如下：1.应用Laplace变换将微分方程转换为代数方程。
2.解代数方程得到F(s)。
3.对F(s)进行逆变换，得到原方程的解f(t)。
在解微分方程时，我们通常遵循这些步骤，并注意一些常见的Laplace变换对应表。
实例分析让我们以一个示例来说明Laplace变换解微分方程的过程。
考虑一个简单的线性微分方程： \[ \frac{d}{dt}y(t) + 2y(t) = 3e^{-t}, \quad y(0) = 1\]我们首先应用Laplace变换将方程转换为代数方程： \[ sY(s) - y(0) + 2Y(s) =\frac{3}{s+1}\] \[ (s+2)Y(s) = 1 + \frac{3}{s+1}\]解出Y(s)为： \[ Y(s) = \frac{1}{s+2} + \frac{3}{(s+2)(s+1)}\]进一步求解反变换，我们得到微分方程的解为： \[ y(t) = e^{-2t} + 2e^{-t}\] 通过以上实例，我们展示了如何利用Laplace变换解一个简单的微分方程。
考研高数总复习Laplace变换性质(讲解)
A 1 A L [ f ( t )] s s s 1 e s 2 1 e
1 s 2 1 e
A s 1 coth 2s 2
(Re( s ) 0)
一般地, 若L [f (t)]=F (s), 则对于任何
可得:
L [e
at
k sin kt ] ( s a )2 k 2
五、延迟性质
若L [f (t)]= F( s), 又t<0时f (t)=0, 则对于任 一非负数t0, 有
st L [ f ( t )] e F s -1 st e F s f (t ) L
t t L d t d t 0 0 n次 1 f (t ) d t n F ( s) s
t 0
三、积分性质
由Laplace变换存在定理, 可得象函数积分 性质: 若L [f (t)]=F (s), 则
f (t ) L t
L [e f ( t )]
0
e at f ( t ) e st d t
0
f (t )e
( s a )t
dt
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、位移性质
上式右边只是在F ( s)中将s换为s-a, 得
L [e at f (t)]=F (s-a) (Re (s-a)>c)
性质表明了一个象原函数乘以指数函数 eat的Laplace变换等于其象函数做位移a.
2 由于 f (0) 1, f (0) 1, f (t ) k cos kt , 则
2 L k cos kt L 2 f ( t ) s L
拉普拉斯(Laplace)变换.
p1 )(s
p2 )] s p1
用拉氏变换解线性微分方程的步骤
1. 对线性微分方程中的每一项进行拉氏变 换，使微分方程变为S的代数方程；
2. 解该代数方程，得到有关变量的拉氏变 换表达式；
3. 用拉氏反变换得到微分方程复数
复变量 s j 其中σ为实部，ω为虚部
复变函数 G(s) Gx jGy 其中Gx、Gy均为实数 Gx jGy 与 Gx jGy 互为共轭复数
复变函数的一般形式
G(s) K (s z1)(s z2) (s p1)(s p2)
其中 z1、z2、…为零点，p1、p2 …为极点
F s Lut 1
s
f
t
L1
1 s
1t
典型时间函数的拉氏变换
3. 单位斜坡函数 r(t)
r t
0 t
t 0 t 0
F s
Lrt
1 s2
f
t
L1
1 s2
t
典型时间函数的拉氏变换
4. 幂函数 f(t)=tn (n>-1)
F s L t n
n 1
s n1
当n是正整数时，n 1 n!，因此
6. 正弦函数 f(t)=sinωt (ω为实数)
Fs Lsin t
s2 2
f
t
L1
s2
2
sin
t
典型时间函数的拉氏变换
7. 余弦函数 f(t)=cosωt (ω为实数)
F s
Lcost
s2
s
2
f
t
L1
s2
s
2
c ost
拉氏变换的基本定理
1. 线性定理
设a和b为常数，则有
拉氏(laplace)逆变换的几种适用解法
拉氏(laplace)逆变换的几种适用解
法
拉氏(laplace)逆变换是一种常用的数学工具，用于求解常微分方程的解析解。
它可以将一个复杂的微分方程转换为一个简单的拉氏变换，从而解决复杂的微分方程。
拉氏逆变换的解法有很多，其中最常用的有四种：
1. 分部积分法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行积分，最后将结果组合起来，得到最终的解。
2. 分部级数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行级数展开，最后将结果组合起来，得到最终的解。
3. 分部函数法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每个部
分进行函数求解，最后将结果组合起来，得到最终的解。
4. 分部积分变换法：这种方法是将拉氏变换分解为多个部分，然后分别对每
个部分进行积分变换，最后将结果组合起来，得到最终的解。
以上就是拉氏逆变换的几种适用解法，它们都可以有效地解决复杂的微分方程，但是每种方法都有其优缺点，因此在实际应用中，应根据具体情况选择最合适的解法。
Laplace拉氏变换公式表
Laplace拉氏变换公式表1. 常数变换：对于常数C，其拉普拉斯变换为C/s，其中s是复数频率。
2. 幂函数变换：对于幂函数t^n，其中n为实数，其拉普拉斯变换为n!/s^(n+1)。
3. 指数函数变换：对于指数函数e^(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为1/(sa)。
4. 正弦函数变换：对于正弦函数sin(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2+a^2)。
5. 余弦函数变换：对于余弦函数cos(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2+a^2)。
6. 双曲正弦函数变换：对于双曲正弦函数sinh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为a/(s^2a^2)。
7. 双曲余弦函数变换：对于双曲余弦函数cosh(at)，其中a为实数，其拉普拉斯变换为s/(s^2a^2)。
8. 指数衰减正弦函数变换：对于指数衰减正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(s+a)^2+b^2。
9. 指数衰减余弦函数变换：对于指数衰减余弦函数e^(at)cos(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为s+a)/(s+a)^2+b^2。
10. 指数增长正弦函数变换：对于指数增长正弦函数e^(at)sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
Laplace拉氏变换公式表11. 幂函数与指数函数的乘积变换：对于函数t^n e^(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换为n!/(sa)^(n+1)。
12. 幂函数与正弦函数的乘积变换：对于函数t^n sin(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
13. 幂函数与余弦函数的乘积变换：对于函数t^n cos(at)，其中n为实数，a为实数，其拉普拉斯变换可以通过分部积分法得到。
14. 指数函数与正弦函数的乘积变换：对于函数e^(at) sin(bt)，其中a和b为实数，其拉普拉斯变换为b/(sa)^2+b^2。
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为n阶Bessel函数.
当 n时, 完全类可得
a0 a2 k (1) 2 k 2 k !(n 1)(n 2)
k
a2k 1 0, k 1, 2,
( n k )
,
k 1, 2,
若取
1 a0 n 2 (n 1)
则可得(4.74)的另一个特解
k 0
(4.75)
的解,这里a0 0,是一个待定常数,
将(4.75)代入(4.74)中,得
x
2
( +k)( +k-1)a x
k k 0
k 2
x( +k)ak x
k 0
k 1
( x 2 n2 ) ak x k 0
k 0
比较x的同次幂系数得
则对方程(4.32)两端施行拉普拉斯变换,得
(1) ( n1) s n X (s) s n1x0 s n2 x0 x0
a1[s
F ( s)
n1
X (s) s
n 2
x0 s
n3 (1) 0
x x
( n 2 ) 0
]
an1[sX (s) x0 ] an X (s)
称f (t )为原函数 , F (s)为像函数 . 例1 求L[t n ],其n是正整数 .
解
1 n st n st n 1 L[t ] e t dt t e |0 e t dt 0 s s 0 n n 1 n2 n n 1 L[t ] L[t ] s s s
25
解 引入新变量t 2 x我们有
dy dy dt dy 2 dx dt dx dt d 2 y d dy dt d2y (2 ) 4 2 2 dx dt dt dx dt
代入方程得
2 d y dy 9 2 2 t t (t ) y 0 2 dt dt 25 3 这是n 的Bessel方程, 故方程的通解为 5
查拉普拉斯变换表得
x(t ) 2 sin t cos2t ,
这就是所求的解.
（二）二阶线性方程的幂级数解法
对二阶变系数齐线性方程
d2y dy p( x) q ( x) y 0 2 dx dx
用级数表示解? 下面考虑该方程及初始条件
(4.72)
其求解问题,归结为寻求它的一个非零解.
故方程的解为
x x y=x x 2! k! 4 2k x x x(1 x 2 2! k! x2 xe
3
5
2 k 1
)
例6 求解n阶Bessel方程
2 d y dy 2 2 2 x x ( x n ) y 0 (4.74) 2 dx dx 这里n为非负常数.
at st at 0 0
1 1 ( s a )t e |0 s a sa
sa sa
2 拉普拉斯变换的性质
1 L[ f
n
0
( n)
(t )]
n1
s L[ f (t )] s
2
0
f (0) s
n 2
f (0) f
'
n k
这里( p) e- x x p 1dx,注意到时( p 1) p( p).
0
因此(4.77)变为
1 x 2k n y1 (1) ( ) J n ( x), (4.77) k !(n k 1) 2 k 0 J n ( x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
" ' '
t
令 t 1,问题变为
x 2x x e
" '
2
( 1)
, x(0) x (0) 0.
'
对上式两端作拉普拉斯变换,得
1 1 s X ( s ) 2 sX ( s ) X ( s ) , e s 1 1 1 , 因此 X ( s ) 3 e ( s 1) 1 2 1 查拉普拉斯变换表得 x ( ) e , 2 1 从而 x(t ) (t 1) 2 e t , 这就是所求的解. 2
y( x0 ) y0 , y ( x0 ) y 的情况
' (1) 0
(不失一般性,可设x0 0)
定理1 若方程(4.72)中系数p(x)和q(x)都可展成x的
幂级数,且收敛区间为 x R, 则方程(4.72)有形如
y= an x n ,
n 0
(4.73)
的特解,也以 x R为级数的收敛区间 .
1 x 2k n y2 (1) ( ) J n ( x), (4.78) k !(n k 1) 2 k 0 J n ( x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
k
பைடு நூலகம்
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
( n1)
(0).
若L[ f (t )] F (s),则
d F ( s) L[ f (t )], ds dn n n F ( s ) ( 1 ) L [ t f (t )]; n ds
L[eat f (t )] F (s a).
3 应用 给定微分方程
d nx d n 1 x a1 n 1 an x f (t ) n dt dt
例4
求解方程x" x 4sin t 5cos 2t , x(0) 1, x' (0) 2.
解
2
对方程两端作拉普拉斯变换,得
4 5s s X ( s) s 2 X ( s) 2 2 , s 1 s 4 s (这里 L[cos t ] 2 , L[sin t ] 2 ) 2 s 2 s 2 s 2 , 因此 X ( s ) 2 s 1 s 4
a0 ( n ) 0 2 2 a [( 1) n ]0 1 2 2 ak [( k ) n ] ak 2 0,
2 2
(4.76)
k 2,3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
ak 2 , k 2,3, a1 0, ak k (2n k ) a2 k 1 , 即 a2 k 1 (2k 1)(2n 2k 1) k 1, 2, a 2k 2 a , 2k 2k (2n 2k )
解 将方程改写为 d 2 y 1 dy x 2 n 2 y0 2 2 dx x dx x 易见,它满足定理2条件,且 xp( x) 1, x2q( x) x2 n2
按x展成的幂级数收敛区间为 x , 由定理11方程有形如
y an x k ,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
从而可得
a2k 1 0, k 1, 2,
a0 a2 k (1) 2 k , k 1, 2, 2 k !(n 1)(n 2) (n k ) 因此在 n 0时, 得到Bessel方程的一个解
k
a0 y1 a0 x (1) 2 k x 2 k n , (4.77) 2 k !(n 1) (n k ) k 1 若将任常数a0取为 1 a0 n 2 (n 1)
及初始条件
(4.32)
( n1) 0
x(0) x0 , x (0) x ,, x
' (1) 0
( n1)
(0) x
其中a1, a2 ,, an为常数, 而f (t )连续且满足原函数条件 .
设x(t )为(4.32)的任一解 ,记
X (s) L[ x(t )], F (s) L[ f (t )],
因此,当 不等于非负整数时, J n ( x)和J - n ( x)都是 (4.74)的解,且线性无关.
因而(4.74)的通解为
y c1J n ( x) c2 J n ( x), 这里c1, c2为任常数. 当n等于正整数,而 n,不能从(4.76)确定a2k (k n)
因此,不能象上面一样求得通解;
n st n
例2 解
n n 1 1 L[1] s s s n ! n! st n! st n 1 n e dt n 1 e |0 s s 0 s
求L[e at ].
s0 s0
L[e ] e e dt e ( s a )t dt
n n1 ( s a s an1s an ) X (s) 即 1
F ( s ) (s a1s an1 ) x0 ( n 1) n 2 n3 (1) x (s a1s an2 ) x0 0
或
n1
n 2
A(s) X (s) F (s) B(s),
n 2
y=2a2 3 2a3 x
将它代入方程,合并同类项,并令各项系数等于零,得
2a2 0 3 2a3 2 4 0 4 3a4 4a2 4a2 0
n(n 1)an 2(n 2)an2 4an2 0
2 an 2 , 即 a2 0, a3 1, a4 0, , an n 1 1 1 1 因而 a5 , a 0, a7 , a 0, a9 , 6 8 2! 3! 4! 1 也即 a2 k 1 , a2k 0, k! 对一切正整数k成立;
" ' 求方程y 2 xy 4 y 0满足初始条件y(0) 0, 例5