理论物理第二章 自测练习

第二章自测练习一、单项选择题
1、粒子在一维无限深势阱U x
x a
x x a
()
,
,,
=
<<
∞≤≥
⎧
⎨
⎩
00
中运动，设粒子的状态由
ψ
π
()sin
x C
x
a
=
描写，
其归一化常数C为
A.1
a. B.
2
a. C.
1
2a. D.
4
a.
2. 设粒子的波函数为ψ(,,)
x y z
，在
dx
x
x+
-范围内找到粒子的几率为
A.ψ(,,)
x y z dxdydz
2
. B.
ψ(,,)
x y z dx
2
. C.
dx
dydz
z
y
x)
)
,
,
(
(2
⎰⎰ψ
.
D.
dx dy dz x yz
ψ(,)
⎰
⎰
⎰2
.
3.波函数应满足的标准条件是
A.单值、正交、连续.
B.归一、正交、完全性.
C.连续、有限、完全性.
D.单值、连续、有限.
4.若波函数ψ(,)
x t
归一化，则
A.ψ(,)exp()
x t iθ
和
ψ(,)exp()
x t i-δ
都是归一化的波函数.
B.ψ(,)exp()
x t iθ
是归一化的波函数，而
ψ(,)exp()
x t i-δ
不是归一化的波函数.
C.ψ(,)exp()
x t iθ
不是归一化的波函数，而
ψ(,)exp()
x t i-δ
是归一化的波函数.
D.ψ(,)exp()
x t iθ
和
ψ(,)exp()
x t i-δ
都不是归一化的波函数.(其中
θδ,
为任意实数)
5.下列哪种论述不是定态的特点
A.几率密度和几率流密度矢量都不随时间变化.
B.几率流密度矢量不随时间变化.
C.任何力学量的平均值都不随时间变化.
D.定态波函数描述的体系一定具有确定的能量.
6. 在一维无限深势阱U x
x a
x a
()
,
,
=
<
∞≥
⎧
⎨
⎩
中运动的质量为
μ
的粒子的能级为
A.π
μ
222
2
2
n
a
, B.
π
μ
222
2
4
n
a
, C.
π
μ
222
2
8
n
a
, D.
π
μ
222
2
16
n
a
.
7.线性谐振子的能级为
A.(/),(,,,...)
n n
+=
12123
ω. B.(),(,,,....)
n n
+=
1012
ω.
C.(/),(,,,...)
n n
+=
12012
ω. D.(),(,,,...)
n n
+=
1123
ω.
8.线性谐振子的能量本征方程是
A.[]
-+=
22
2
222
2
1
2
μ
μωψψ
d
dx
x E
. B.
[]
--=
22
2
22
2
1
2
μ
μωψψ
d
dx
x E
.
C.[]
22
2
22
2
1
2
μ
μωψψ
d
dx
x E
-=-
. D.
[]
22
2
222
2
1
2
μ
μωψψ
d
dx
x E
+=-
.
9.线性谐振子的第一激发态的波函数为ψαα
()exp()
x N x x
=-
1
22
1
2
2
,其位置几率分布最大处
为
A.x=0.
B.x=±
μω
. C.
x=
μω
. D.
x=±
μω
.
三、回答问题
1：设质量为ｍ的粒子在下述势阱中运动：写出定态薛定谔方程。

答案：（解）本题是在半区
()∞∈，0x 中的一维谐振子，它的薛定谔方程式
在ｘ＞０的半区内与普通谐振子的相同，在负半区()
0〈x 中
()0=x ψ。

一般谐振子的函数ψ（x ）满足薛氏方程式：
ψ=ψ+ψ-E x m dx d m 2
22
22212ω （1）
2. 证明（2.6-14）式中的归一化常数是a
A 1='
证：⎪⎩⎪
⎨
⎧
≥<+'=a x a x a x a n A n ,0 ),(sin πψ （2.6-14） 由归一化，得
a
A a x a n n a A a A dx a x a
n A x A dx a x a
n A dx a x a
n A dx a
a a
a
a
a a a a
a
n 222
2222
22
)
(sin 2)(cos
2
2)](cos 1[21)(sin 1'=+⋅'-'=+'-'=
+-'=+'==-----∞
⎰
⎰
⎰⎰πππ
ππ
ψ
∴归一化常数a
A 1=
' #
3. 设 )()(222
1
为常数αψαx Ae
x -=，求A = ？
解：由归一化条件，有 ⎰
⎰
∞
∞
--∞
∞
--==)x (d e
1
A )x (d e
A
12
22
2x 2
x 2
αα
αα
πα
α
1
A dy e 1
A 2
y 2
2
==⎰
∞
∞
--
∴π
α=
A。