微分方程的幂级数解法
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高阶微分方程的降阶和幂级数解法
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程
d 2x p(t) dx q(t)x 0,
dt 2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1 y' x1' y
代入(4.69)得
x'' x1 y'' 2x1' y' x1'' y
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' [x1'' p(t)x1' q(t)x1]y 0
k 1, 2,
若取
a0
1 2n (n
1)
则可得(4.74)的另一个特解
y2
(1)k
k 0
1 k !(n
k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.78)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
k 0
k 0
(x2 n2 ) ak xk 0 k 0
比较x的同次幂系数得
a0 ( 2 n2 ) 0
a1[( 1)2 n2 ] 0
(4.76)
ak [( k)2 n2 ] ak2 0, k 2, 3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
ui
( zi )', i zk 1
1, 2,
,k 2
以上做法一直下去,可降低n - k阶.
(4.68)
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
利用解微分方程求幂级数的和函数_孙艾明
(
)
[ ∫Q（ x） e
∫ P （ x） dx
dx + C ．
]
2. 二阶常系数线性微分方程的解法 形如 y″ + py' + qy = f（ x） 的方程我们称之为二阶常系数 q 为已知常数． 当 f （ x ） = 0 时称为齐 其中 p， 线性微分方程， 次方程； 当 f（ x） ≠0 时称为非齐次方程． y″ + py' + qy = 0 的 通解可用如下方法得到： 2 第一步： 写出微分方程的特征方程 r + pr + q = 0 ． r2 ． 第二步： 求出特征方程的两个根 r1 ， 第三步： 根据特征方程的两个根的不同情况， 写出微分 方程的通解， 即 r x r r1 ， r2 为实根， 若 r1 ≠ r2 ， 则通解为 y = C1 e 1 + C2 e 2 ； 若 r1 x r1 = r2 ， r2 = α － 则通解为 y = （ C1 + C2 x ） e ． ； 若 r1 = α + iβ， x iβ， 则通解为 y = e α （ C1 cosβx + C2 sinβx） ． y″ + py' + qy = f（ x） ， 当 f （ x） 为指数函数、 多项式函数和 sinβx， cosβx 或它们的乘积形式时， 可以根据这种函数形式 来推断出特解的形式， 再把形式解带入方程， 确定解中所含 的常数值， 这种方法称为待定系数法 ． x k x 当 f（ x） = e λ P m （ x ） 特解具有形式 x Q m （ x ） e λ 时， 其中 Q m （ x） 是与 P m （ x） 同次的多项式， k 按 λ 不是特征根、 是单 1， 2． 特征根或二重特征根依次取 0 ， x P l （ x） cosωx + P n （ x） sinωx］ 当 f（ x） = e λ ［ 特解具有形式 k λx 1 1 x e ［ R m （ x） cosωx + R2 （ x ） sin x ］ R （ R2 ω 时， 其中 m m x） ， m （ x） 是 m 次多项式， m = max（ l， n） ， k 按 λ + iω （ λ － iω ） 不是特征根 或是特征根分别取 0 或 1 ． 3. n 阶常系数线性齐次微分方程的解法 （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的方程， 形如 y + p1 y 我们 p2 ， …， p n 为已知 称之为 n 阶常系数线性微分方程， 其中 p1 ， （ n） （ n － 1） ' + … + p n － 1 y' + p n y = 0 的特征方程为 常数． y + p1 y n n －1 r + p1 r + … + pn － 1 r + pn = 0， 根据特征方程的根 （ 特征 1］ ． 写出微分方程的通解． 详见［ 根） 的各种不同情况， 二、 利用解微分方程求函数项级数的和函数 例1 解 xn 的和函数 S（ x） ． n = 0 n！ 易求得级数的收敛半径 R = + ∞ ， 当－∞ ＜x ＜ +∞ 求无穷级数 ∑∞ ∞ ຫໍສະໝຸດ ∞[][
微分方程幂级数解法
P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
幂级数解方程(偏微分方程)
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) 2 k 1 x (2k 1)!
pl ( x) ql ( x)
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次
幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的
常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解
析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解
(11.1.1)
( z0 ) C0
( z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，
称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选
定的点，C0和C1为复常数。 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
析，则称点z0 为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称
为方程的非正则奇点。
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为 点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。 定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
…………….
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
pl ( x) ql ( x)
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次
幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的
常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解
析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解
(11.1.1)
( z0 ) C0
( z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，
称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选
定的点，C0和C1为复常数。 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
析，则称点z0 为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称
为方程的非正则奇点。
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为 点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。 定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
…………….
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
微分方程的经典解法
非线性变量代换法的关键在于选择适当的函数 (g(x, y)) 和 (f(u))。
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
01
02
03
非线性变量代换法
变量代换法的应用
变量代换法在解决各种实际问题中有着广泛的应用，如物理、工程、经济等领域。
通过选择适当的代换变量，可以简化复杂的微分方程，从而更方便地求解。
变量代换法是解决微分方程的一种重要技巧，尤其在处理非标准形式的微分方程时非常有效。
01
高阶非线性微分方程的解法通常包括迭代法、摄动法和数值方法等。
02
迭代法是通过不断迭代方程的解来逼近真实解，常用的方法有牛顿迭代法和欧拉迭代法等。
03
摄动法是将非线性微分方程转化为摄动方程，然后通过小参数展开求解。
04
数值方法是通过离散化微分方程，然后使用计算机求解离散化后的方程组。
高阶微分方程在物理、工程、经济等领域有广泛应用，如振动分析、控制系统、信号处理等。
04
积分因子法
积分因子法是一种求解微分方程的方法，通过引入一个积分因子来消除方程中的导数项，从而将微分方程转化为代数方程进行求解。
积分因子法适用于可分离变量、线性、部分线性以及某些非线性微分方程。
积分因子法的关键是找到一个函数，使得该函数与微分方程的每一项相乘后，能够消去方程中的导数项。
方法概述
高阶线性微分方程的一般形式为$y^{(n)}(x) + a_{n-1}(x)y^{(n-1)}(x) + cdots + a_0(x)y(x) = 0$。
变量分离法是将方程转化为多个一阶微分方程，然后分别求解。
幂级数法是通过将解表示为幂级数的形式，然后代入初始条件求解系数。
高阶非线性微分方程的解法
02
通过引入新变量 (u = ax + by)，可以将原方程转化为 (y^{prime} = frac{1}{a} f(u))。
微分方程的幂级数解法
§13.8 微分方程的幂级数解法 一、问题的提出
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
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展成幂级数, 满足定理条件(因其特点不用具体展开它).
设方程的解为 y ak xk , 代入③:
k 0
k (k 1) ak xk2 k (k 1) ak xk
k 2
k 2
2 k ak xk n(n 1) ak xk 0
k 1
k 0
整理后得:
(k 2)(k 1) ak2 (n k)(n k 1) ak xk 0
a3
0,
a4
0,
a5
1 , 20
,
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y C an xn
n1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为x 的幂级数,
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
解: 设特解为
代入原方程整理得
2a0 a0 x (n 1)(n 2)an (n 2)an1 xn x4
n2
比较系数得: a0 0, 6 a4 2 a3 1
(n 1)(n 2)an (n 2)an1 0 (n 2, n 4)
从而得 当n > 4
时,
可任意取值,
a3 0,
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1； 2、 xy ( x m) y my 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y
y2
x3
,
y x01； 22、源自d2 dtx2
x cos t
0
,
x t0
a
,
dx dt
t0
0.
练习题答案
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 , ,an , 为待定的系数.
例1
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
第十一节
第七章
微分方程的幂级数解法
微分方程解法: 积分法 — 只能解一些特殊类型方程 幂级数法 — 本节介绍 数值解法 — 计算数学内容
本节内容: 一、一阶微分方程问题
二、二阶齐次线性微分方程问题
一、问题的提出
例如 dy x2 y2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
将 y, y 的幂级数展开式带入原方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
k 0
比较系数, 得
ak 2
(n (k
k)(n 2)(k
k 1) 1)
ak
(k 0,1, )
例如:
a2
n(n 1) 2!
a0
a3
(n
1)(n 3!
2)
a1
a4
(n
2)(n 34
2)
a2
(n
2)n(n 1)(n 4!
3)
a0
a5
(n
3)(n 45
4)
a3
(n 3)(n 1)(n 5!
2)(n
卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、dy f ( x, y)特解求法 dx
问题
求 dy dx
f (x, y) 满足
y
x x0
y0 的特解.
其中 f ( x, y) a00 a10( x x0 ) a01( y y0 ) alm ( x x0 )l ( y y0 )m .
假设所求特解可展开为x x0的幂级数
4) a1
a0 , a1 可以任意取, 于是得勒让德方程的通解:
y
a0
1
n(n 2!
1)
x2
(n
2)n(n 4!
1)(n
3)
x4
a1
x
(n
1)(n 3!
2)
x3
(n 3)(n 1)(n 2)(n 4) x5 5!
(1 x 1)
上式中两个级数都在(－1, 1 )内收敛, 它们是方程的
那么在 R x R内原方程必有形如
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an xn ,
x2
一、1、 y Ce 2 [1 x
1
x3
1 3
x 2n1
]；
1 3 5 (2n 1)
2、 y
C1e x
C2
m k0
xk k!
.
二、1、 y 1 1 x 1 x2 1 x3 9 x4 ； 2 4 8 16 32
两个线性无关特解.
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
特征方程法
幂级数解法
待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
因是求特解,
a4
1 6
故取
a1
a2
0,
an
n
1
1 an 1
1
(n 1)(n 2)
4
a4
(n
1
1)!
因此
n 4(n
1
1)!
x
n
注意到:
ex
1 xn ,
n0 n!
此题的上述特解即为
y x(ex 1 x 1 x2) 2
例4. 求解勒让德 (Legendre) 方程 ③
解:
都可在 (1,1)内
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a5
a1 , 15
a2k
a0 k! 2k
,
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
例3. 求方程 x2 y (x 2) (x y y) x4 的一个特解.