微分方程幂级数解法

P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
− −
2z, z.
(1) (2)
解 设法消去未知函数 y ， 由(2)式得
y
=
1 2

dz dx
+
z

(3)
两边求导得，
dy dx
=
1 2

d 2z dx2
+
dz dx
,
(4)
把(3), (4)代入(1)式并化简, 得
d 2z − 2 dz + z = 0 dx2 dx
+ a y(n−1) 1
+ L + an−1 y′ + an y =
f (x)
用记号D 可表示为
(Dn
+
a Dn−1 1
+
L+
an−1 D
+
an
)y
=
f (x)
注意:
Dn
+
a Dn−1 1
+L+
an−1 D
+
an
是D
的多项式
可进行相加和相乘的运算．
高阶方程
微分方程解题思路
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程

特征方程法
幂级数解法
待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解:
x2
一、1、 y = Ce 2 + [−1 + x +
1
x3 +
1⋅ 3
L
+
1
⋅
3
⋅
5
x 2n−1 ⋅L⋅ (2n
−
1)
+
L]；
∑ 2、
y
=
C1e x
+
C2
m k=0
xk k!
.
二、1、 y = 1 + 1 x + 1 x2 + 1 x3 + 9 x4 + L； 2 4 8 16 32
2、 x = a(1 − 1 t 2 + 2 t 4 − 9 + 55 t 8 − L. 2! 4! 6! 8!
§13.8 微分方程的幂级数解法
一、问题的提出
例如 dy = x2 + y2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、 dy = f (x, y) 特解求法 dx
问题
求 dy dx
=
f ( x, y) 满足
y
x= x0
=
y0 的特解.
其中 f ( x, y) = a00 + a10 ( x − x0 ) + a01 ( y − y0 ) + L + alm ( x − x0 )l ( y − y0 )m .
例2 求方程 y′′ − xy′ − y = 0的解.
∞
解 设方程的解为 y = ∑ an xn ,
∞
n=0
∑ 则 y′ = nan x n−1 ,
n=0
∞
∞
y′′ = ∑ n(n − 1)an xn−2= ∑ (n + 2)(n + 1)an+2 xn ,
n=1
n=0
将 y, y′, y′′ 带入 y′′ − xy′ − y = 0,
y = y0 + a1( x − x0 ) + a2 ( x − x0 )2 + L 其中 a1 , a2 ,L, an ,L为待定的系数.
例1
求 dy dx
=
x
+
y2
满足y
|x=0 =
0的特解 .
解 Q x0 = 0， y0 = 0,
设 y = a1 x + a2 x 2 + a3 x 3 + L + an x n + L,
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
= 0,
a2
= 1, 2
a3
= 0,
a4
= 0,
a5
=
1 , L, 20
所求解为 y = 1 x2 + 1 x5 + L. 2 20
小结: 无初始条件求解
∞
∑ 可设 y = C + an xn n=1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y′′ + P( x) y′ + Q( x) y = 0中的系数
y′ = a1 + 2a2 x1 + 3a3 x2 + L + nan xn−1 + L,
将 y, y′ 的幂级数展开式带入原方程
a1 + 2a2 x + 3a3 x2 + 4a4 x3 + L = x + (a1 x + a2 x2 + a3 x3 + a4 x4 + L)2
= x + a12 x2 + 2a1a2 x3 + (a22 + 2a1a3 ) x4 + L
§12.9 常系数线性微分方程组的解法
步骤:
１． 从方程组中消去一些未知函数及其各阶导 数，得到只含有一个未知函数的高阶常系数线性 微分方程．
２．解此高阶微分方程,求出满足该方程的未知 函数.
３．把已求得的函数带入原方程组,一般说来， 不必经过积分就可求出其余的未知函数．
例1
解微分方程组
dy ddxz dx
解之得通解 z = (C1 + C2 x)e x , (5)
再把(5)代入(3)式,
得
y=
1 2
(2C1
+
C2
+
2C2
x)e
x
.
(6)
原方程组的通解为

y
=
1 2
(2C1
+
C2
+
2C2
x )e
x
,
z = (C1 + C2 x)e x
用 D 表示对自变量 x求导的运算 d ,
dx
例如， y(n)
L a4
=
a0 8
,
L a5
=
a1 , 15
a2k
=
a0 k! 2k
,
a 2 k +1
=
a1 , (2k + 1)!!
原方程的通解
k = 1,2,3,L
∑ ∑ y
=
a0
∞ n=0
x2n 2n n!
+
a1
∞ n=0
x 2n+1 (2n + 1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
四、小结
一阶方程
作降 变阶 换