幂级数解方程(偏微分方程)
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
偏微分方程的精确解及taylor级数解
大连理工大学硕士学位论文偏微分方程的精确解及Taylor级数解姓名：***申请学位级别：硕士专业：计算数学指导教师：***20040601摘要本文以计算机代数和导师张鸿庆教授的“ＡＣ＝ＢＤ”理论为工具，以构造机械化算法为目的，以源于物理，力学，光学等领域中的非线性问题所对应的非线性偏微分代数方程（组）为研究对象，研究了它们的一些问题，如精确解（孤子解，周期解），Ｋｉｃｃａｔｉ方程展开法，微分代数及Ｔａｙｌｏｒ级数解。
第一章介绍了孤立予理论，计算机代数，数学机械化等学科的起源和发展，以及国内外学者在这些方面所做的工作和一些所取得的成就。
第二章以“ＡＣ＝ＢＤ”的理论模式为指导，考虑了非线性偏微分方程（组）的精确解的构造，给出了“ＡＣ＝ＢＤ”理论的基本思想，Ｃ—Ｄ可积理论在微分方程求解中的应用，然后通过具体的变换给出了构造Ｃ—Ｄ对的算法。
第三章基于非线性发展方程求解，代数化，算法化，机械化的指导思想，运用吴方法和符号计算为工具，考虑了非线性发展方程精确解的构造，提出了射影Ｐｄｃｃａｔｉ方程展开法，并将其应用到求解二维广义Ｂｕｒｇｅｒｓ方程及耦合ＭＫｄＶ—ＫｄＶ方程中。
第四章介绍了微分代数的基础知识，并讨论了偏微分代数方程的Ｔａｙｌｏｌ一级数解。
在特征集的基础上，讨论了其参数导数构成的状况，并给出算法。
关键词：偏微分代数方程；精确解；数学机械化；射影Ｒｉｃｃａｔｉ方程展开法；Ｔａｙｌｏｒ级数解。
ＡｂｓｔｒａｃｔＩｎｔｈｉｓｄｉｓｓｅｒｔａｔｉｏｎ，ｔｈｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎｏｒｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ＰＤＡＥｏｒＰＤＡＥｓ）ｒｅｌａｔｅｄｔｏｓｏｍｅｎｏｎｌｉｎｅａｒｔｏｐｉｃｓｗｈｉｃｈｏｒｉｇｉｎｆｒｏｍｐｈｙｓｉｃｓ，ｍｅｃｈａｎｉｃｓａｎｄｏｐｔｉｃｓｅｔａｌａｒｅｓｔｕｄｉｅｄ，ｉｎｃｌｕｄｉｎｇｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓ（ｓｏｌｉｔｏｎｓｏｌｕｔｉｏｎｓ，ｐｅｒｉｏｄｉｃｓｏｌｕｔｉｏｎ），ｔｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄａｎｄＴａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｔｈｅｃｏｍｐｕｔｅｒａｌｇｅｂｒａａｎｄｔｈｅ“ＡＣ＝ＢＤ’’ｍｏｄｅｌｏｆＰｒｏｆｅｓｓｏｒＺｈａｎｇＨｏｎｇｑｉｎｇａｒｅｅｍｐｌｏｙｅｄａｓｔｈｅｔｏｏｌｓｔｏｄｅａｌｗｉｔｌｌｔｈｉｓｐｒｏｂｌｅｍＣｈａｐｔｅｒ１ｉｎｔｒｏｄｕｃｅｓｔｈｅｏｒｉｇｉｎａｎｄｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔｏｆｓｅｖｅｒａｌｓｕｂｊｅｃｔｓｒｅｌａｔｅｄｔｏｔｈｉｓｐａｐｅｒ，ｓｕｃｈａｓｔｈｅｓｏｌｉｔｏｎｔｈｅｏｒｙ，ｃｏｍｐｕｔｅｒａｌｇｅｂｒａ，ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎＴｈｅｍａｉｎｗｏｒｋｓａｎｄａｃｈｉｅｖｅｍｅｎｔｓｔｈａｔｈａｖｅｂｅｅｎｏｂｔａｉｎｅｄａｒｅｐｒｅｓｅｎｔｅｄ．Ｃｈａｐｔｅｒ２ｃｏｎｓｉｄｅｒｓｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｏｆｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌｅｑｕａｔｉｏｎｓ（ＰＤＥｓ）ｕｎｄｅｒｔｈｅｇｕｉｄａｎｃｅｏｆｔｈｅｔｈｅｏｒｙｏｆ“ＡＣ＝ＢＤ”Ｔｈｅｂａｓｉｃｔｈｅｏｒｙｐｆ“ＡＣ＝ＢＤ”ａｎｄｔｈｅａｌｇｏｒｉｔｈｍｔｏｃｏｎｓｔｒｕｃｔｔｈｅＣ—ＤｐａｉｒａｒｅｉｌｌｕｓｔｒａｔｅｄｔｈｒｏＬＩｇｈｓｏｍｅｃｏｎｃｒｅｔｅｔｒａｎｓｆｏｒｍａｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｉｄｅａｓｏｆａｌｇｅｂｒａｉｃｍｅｔｈｏｄ，ａｌｇｏｒｉｔｈｍｒｅａｌｉｚａｔｉｏｎ，ａｎｄｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎｆｏｒｓｏｌｖｉｎｇｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓ，Ｃｈａｐｔｅｒ３ｄｅａｌｓｗｉｔｈｔｈｅｃｏｎｓｔｒｕｃｔｉｏｎｏｆｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｎｏｎｌｉｎｅａｒｅｖｏｌｕｔｉｏｎｅｑｕａｔｉｏｎｓｂｙｕｓｅｏｆＷｕ—ｍｅｔｈｏｄａｎｄｓｙｍｂｏｌｉｃｃｏｍｐｕｔａｔｉｏｎ．ＴｈｅｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅＲｉｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄｉｓｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄｔｏｏｂｔａｉｎｓｏｍｅｎｅｗｅｘａｃｔｓｏｌｕｔｉｏｎｓｆｏｒｔｗｏ—ｄｉｍｅｎｓｉｏｎａｌｇｅｎｅｒａｌｉｚｅｄＢｕｒｇｅｒｓｅｑｕａｔｉｏｎａｎｄｔｈｅｃｏｕｐｌｅｄＭＫｄｖ—ＫｄＶｅｑｕａｔｉｏｎｓ．Ｃｈａｐｔｅｒ４ｉｓｄｅｖｏｔｅｄｔｏｓｔｕｄｙｉｎｇｔｈｅＴａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎｓ．Ｂａｓｅｄｏｎｔｈｅｃｈａｒａｃｔｅｒｉｓｔｉｃｓｅｔ，ｔｈｅｃａｓｅｏｆｉｎｆｉｎｉｔｙｐａｒａｍｅｔｅｒｓｉｓｄｅｓｃｒｉｂｅｄｂｙｕｓｉｎｇｏｆｆｉｎｉｔｅｖａｌｕｅａｎｄｆｕｎｃｔｉｏｎｓ．ＴｈｅｓｉｔｕａｔｉｏｎｏｆｌｉｎｅａｒＰＤＡＥｓｉＳｅｘｔｅｎｄｅｄｔｏｔｈｅｎｏｎ／ｉｎｅａｒＰＤＡＥｓ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｐａｒｔｉａｌｄｉｆｆｅｒｅｎｔｉａｌａｌｇｅｂｒａｉｃｅｑｕａｔｉｏｎ；ｅｘａｃｔｓｏｈｉｆｉｏｎ；Ｔａｙｌｏｒｓｅｒｉｅｓｓｏｌｕｔｉｏｎ；Ｍａｔｈｅｍａｔｉｃｓｍｅｃｈａｎｉｚａｔｉｏｎ；ｐｒｏｊｅｃｔｉｖｅＩｕｃｃａｔｉｅｑｕａｔｉｏｎｍｅｔｈｏｄ大连理工大学硕士学位论文第一章绪论本文以物理，力学，光学等领域的线性和非线性问题所对应的线性和非线性微分代数方程（组）为研究对象，以计算机代数（符号计算）为工具，研究了其精确解，可积性等问题。
形式幂级数的基础理论和应用
形式幂级数的基础理论和应用形式幂级数是现代数学基础理论中的一个重要分支，是研究无穷级数的一个重要手段。
本文将从形式幂级数的定义、性质等方面来探讨其基础理论和应用。
一、形式幂级数的定义与基本性质形式幂级数指的是由一系列形如$a_n x^n$的项所组成的级数，其中$x$为未定元，系数$a_n$可以取任意实数或复数。
例如：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n=a_0+a_1 x+a_2 x^2+...+a_n x^n+... (a_n\in \mathbb{C})$$其中$f(x)$为形式幂级数，如果其中某一项$a_nx^n=a_mx^m(m\neq n)$，则称其为一项余项。
形式幂级数不是函数，只是一个由一系列项组成的形式化级数。
针对形式幂级数，有一些基本性质：1. 形式幂级数的加法运算：设$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$，则它们之和为:$$f(x)+g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(a_n+b_n)x^n$$2. 形式幂级数的乘法运算：设$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty} b_n x^n$，则它们的乘积为:$$f(x) \cdot g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}c_n x^n$$其中:$$c_n=\sum_{k=0}^n a_k b_{n-k}$$3. 形式幂级数的复合运算：设$f(x) =\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n,g(x)=\sum_{n=0}^{\infty}b_n x^n$，则它们的复合为：$$f(g(x))=\sum_{n=0}^{\infty} a_n g^n(x)$$其中$a_n g^n(x)$表示对于形式幂级数$g(x)$，将其代入到 $a_n x^n$ 中，再对一系列项进行求和。
高等数学 第十一节 微分方程的幂级数解法
y = c1 cos ( 25 π g / m t ) + c2 sin ( 25 π g / m t )
y = c cos ( 25 π g/ m t ) +c2 sin ( 25 π g/ m t ) 1
2π y ( t ) 的周期 T = , 25 π g / m
已知 T = 2 ( 秒 ) .
其中 a0 , a1 是两个任意常数 ,
y 是 Legendre 方程的通解 , 幂级数在 ( − 1 , + 1 ) 内收敛 .
9
P 310 Ex 12 − 8
3,4,5.
3 . 一个单位质量的质点在数轴上运动 , 开始时质点在原点 O
的大小与质点到原点的距离成正比 ( 比例系数 k1 > 0 ) 而方
2 k k 2 + 4 k1 2 − − 2 t 2
(1 ) (2)
∴
x = c1 e
+ c2 e
.
x(0) = 0 ⇒ c +c2 = 0 , 1
c2 = − c . 1
2 2 k2 k 2 + 4 k1 k 2 + 4 k1 k2 t − t− t − 2 t+ 2 2 x = c1 e −e 2 2 2 k 2 + 4 k1 k 2 k 2 + 4 k1 k2 2 − t t − t − t k2 + 4k1 2 = c1 e 2 e 2 −e = 2 c1 e 2 sh t 2 11
由(4) 得 a0 = 0 , a1 = 1 .
( x0 =0)
y′′ = 2 a2 + 6 a3 x + 12 a 4 x 2 +⋯+ n( n − 1) an x n −2 + ⋯⋯
微分方程的基本解法
微分方程的基本解法及其应用微分方程是数学学科中的一个重要分支，主要研究函数及其导数之间的关系。
通过微分方程，我们可以描述许多自然现象的变化规律，如物体的运动、流体的流动、电路的分析等。
因此，掌握微分方程的解法对于解决实际问题具有重要意义。
一、微分方程的分类微分方程按照其含有的未知函数的最高阶导数的次数可以分为线性微分方程和非线性微分方程。
线性微分方程中的未知函数及其导数的次数都是一次，而非线性微分方程中至少有一个未知函数或其导数的次数是二次或更高。
二、微分方程的基本解法1. 分离变量法分离变量法是求解一阶线性微分方程的一种常用方法。
其基本思想是通过将方程中的未知函数和其导数分离到方程的两边，然后对方程进行积分，从而求出未知函数。
这种方法的优点是步骤简单，易于操作。
2. 变量代换法对于某些非线性微分方程，我们可以通过变量代换将其转化为线性微分方程，从而简化求解过程。
变量代换法的关键在于选择合适的代换变量，使得原方程在新的变量下呈现出线性关系。
3. 常数变易法常数变易法是一种求解一阶非齐次线性微分方程的方法。
其基本思想是将非齐次项看作一个已知的函数，然后将原方程转化为一个关于未知函数的线性微分方程。
这种方法的关键在于利用线性微分方程的叠加原理，将非齐次项的影响分离出来。
4. 积分因子法积分因子法是一种求解一阶线性微分方程的方法，特别适用于当方程中的系数不是常数而是关于x的函数时的情况。
其基本思想是通过引入一个积分因子，使得原方程的系数变为常数，从而简化求解过程。
积分因子的选择依赖于原方程的系数。
5. 特征线法（对于一阶偏微分方程）特征线法是一种求解一阶偏微分方程的方法。
它基于物理直觉，将偏微分方程视为描述某种物理过程的数学模型。
通过找到这些过程的“特征线”，即满足方程的一组曲线，我们可以简化问题并找到解。
6.幂级数法（对于高阶微分方程）幂级数法是一种求解高阶微分方程的方法，特别适用于当方程的解在某一点附近可以表示为一个幂级数时的情况。
微分方程的幂级数解法
dy 例如 = x2 + y2, dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法; 卡比逐次逼近法; 数值解法.
dy = f ( x, y) 特解求法 二、 dx
dy 问题 求 = f ( x , y ) 满足 y dx
x = x0
∞
n
∞
n −1
∞
n= 0
n=0
n [( n + 2 )( n + 1 ) a − ( n + 1 ) a ] x ≡ 0, ∑ n+ 2 n n=0
a n+ 2
an = , n+ 2
n = 0,1,2,L
a0 a0 a2 = , a4 = , 8 2
a1 a3 = , 3 a1 a5 = , 15
∴ 方程组通解为
x = α 3C1e − αt − α 3C 2e αt − β 3C 3 cos β t 3 t C sin t 2 e + β β − 4 − αt αt t y C e C e C cos t C sin t e = + + β + β + 1 2 3 4
(n) ( n −1 ) y + a y + L + a n −1 y ′ + a n y = f ( x ) 例如， 1
用记号 D 可表示为
( D + a1 D
n
n −1
+ L + a n −1 D + a n ) y = f ( x )
注意:
D n + a1 D n−1 + L + a n−1 D + a n 是 D 的多项式
幂级数解法
幂级数解法在数学中，幂级数解法是指将一类复杂的数学问题转化成一系列的简单的计算问题，从而解决复杂问题的数学方法。
它可以通过计算把一个一般性函数表示成一系列的均匀分布参数，从而用最简单、最全面的方法解决复杂问题，它在数学与物理等科学领域有着重要的应用。
幂级数解法是根据数学定义来有效处理复杂问题的方法。
它可以将一个复杂函数分解为一系列简单的函数，每一步都能够获得有效的计算结果。
它一般分为几步：第一步，将函数的定义矩阵按顺序排列，然后将每行参数和每列参数的乘积累加计算，从而得出函数的一阶导数值；第二步，根据一阶导数的变化规律，分别计算出二阶的导数值和三阶的导数值，以此类推；第三步，从每一阶导数中求出函数的幂级数系数，以及它们之间的关系；第四步，根据计算出的系数和关系，将函数表示成一系列的幂级数，从而实现函数的幂级数分解。
幂级数解法不仅可以实现复杂函数的分解，而且可以计算出函数的在某些特定点的取值。
它的优点是可以很完整地分析复杂函数的变化趋势，可以根据系数和关系，对复杂的函数进行完整的分析，用最全面的方法来解决复杂问题。
幂级数解法在数学、统计学、物理学、工程学等学科领域有着广泛的应用。
它可以用来分析函数随时间变化的规律，可以用来计算非常复杂的多项式函数，也可以用来研究特殊的解析数学问题。
例如，在统计学中，幂级数解法可以用来求解偏差方程，从而确定特定数据集的参数估计；在工程学中，幂级数解法可以用来近似计算复杂的几何图形的变化趋势；在物理学中，幂级数解法可以用来解决模拟电路、混沌系统等问题；在地理学中，幂级数解法可以用来表示地形。
总之，幂级数解法是一种通过计算实现复杂问题分解的数学方法，它不仅能帮助我们解决数学问题，而且还能为科学研究带来全新的思路和刺激。
只要加以运用，就可以迅速发现解决各种复杂问题的有效方法，并使我们更加深入地了解各种问题的发展趋势。
12微分方程的幂级数解法
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
将 y, y 的幂级数展开式带入原方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
假设所求特解可展开为x x0的幂级数,
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 ,,an ,为待定的系数.
例1
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
解 设方程的解为 y an xn ,
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
a3
0,
a4
0,
a5
1 , , 20
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y C an xn
ห้องสมุดไป่ตู้n1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
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pl ( x) ql ( x)
pl(x)仅含x的偶次幂，为偶函数；ql(x)仅含x的奇次
幂，为奇函数。它们的收敛半径(达朗贝尔判别法) 为：
二、方程的常点和奇点概念
定义 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)都 在点z0及其邻域内解析，则称点z0为方程(11.1.1)的
常点。
定义 11.1.2 只要系数p(z)和q(z)之一在点z0不解
析，则称点z0为方程(11.1.1)的奇点。
定义 11.1.3 若(z-z0)p(z)及(z-z0)2q(z)都在点z0解
(11.1.1)
( z0 ) C0
( z0 ) C1
这里 z 是复变量，p(z) 和 q(z) 是已知的复变函数，
称为方程的系数， ω(z)是待求的未知函数，z0为选
定的点，C0和C1为复常数。 这些线性二阶常微分方程常常不能用通常的 解法解出，但可用幂级数解法解出。幂级数解法 求解二阶常微分方程的具体过程为：
析，则称点z0 为方程(11.1.1)的正则奇点，否则称
为方程的非正则奇点。
定理 11.1.1 若方程(11.1.1)的系数p(z)和q(z)为 点z0的邻域 |z-z0|<R 中的解析函数，则方程在这个 圆中存在唯一的解析解ω(z)满足初始条件ω(z0)=C0 和ωʹ(z0)=C1 。 定理 11.1.2 若z0为方程(11.1.1)的常点，则在z0 点的邻域内，方程(11.1.1)的通解形式为
…………….
(2k 1 l )(2k 3 l )(1 l )(l 2)(l 4)(l 2k ) a2 k 1 a1 (2k 1)!
勒让德方程的解为：
( l )(l 1) 2 (2 l )( l )(l 1)(l 3) 4 y ( x ) a0 1 x x 2! 4!
在x0=0，方程的系数p(x0)=0，q(x0)=l(l+1)单值且为 有限值，因此它们必然在x0=0处解析，故x0=0为方 程的常点，根据常点邻域上解的定理11.1.2，解具有 泰勒级数形式：
y ( x ) ak x k a0 a1 x a2 x 2 ak x k
对第3个方程作变量替换
x cos
d 2 d m2 (1 x 2 ) 2 2 x l (l 1) 0 2 dx dx 1 x
为为 l 阶连带勒让德方程，不可直接求解
若讨论问题具有旋转轴对称性，即 m=0
d 2 d 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) 0 dx dx
( z ) ak ( z z0 )k a00 ( z ) a11 ( z )
k 0
(11.1.2)
其中a0和a1为任意常数， ω0(z)和ω1(z)为在点z0解
析的两个线性独立的函数。
三、常点邻域上的幂级数解法（勒让德方程的求解）
在x0=0的邻域求解 l 阶勒让德方程：
为 m 贝塞尔方程，不可直接求解
(2) 若 μ<0 ，作变换
2 2
k 2 , x k
d R dR x x x 2 m2 R 0 2 dx dx
为虚宗量贝塞尔方程，不可直接求解
…………………………..
用球坐标系和柱坐标系对拉普拉斯方程、波 动方程、输运方程进行变量分离，就出现连带勒让 德方程、勒让德方程、贝塞尔方程、球贝塞尔方程
k 2
2kak x 2a1 x 2kak x
k k 1 k 2
k
l (l 1)a x
k 0 k
k
l (l 1)a0 l (l 1)a1 x l (l 1)ak x
k 2
k
因此合并x的同幂次项后有：
2a2 l (l 1)a0 6a3 2a1 l (l 1)a1 x
Z Z 0
可直接求解
可直接求解 μ =0可直接求解
d 2 R 1 dR m2 ( 2 ) R 0 2 d d
对第3个方程： (1) 若 μ>0 ，作变换 x
d2 R dR 2 x x x 2 m2 R 0 dx 2 dx
第十一章 幂级数解法—本征值问题
王建东
沙河校区计算机楼东206
jdwang@
11.1二阶常微分方程的幂级数解法
11.1.1幂级数解法理论概述
一、分离变量法求解偏微分方程：
1. 球坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 2 u 1 u 1 2u 0 r 2 sin 2 2 2 2 r sin r r r r sin
d2 y dy 2 (1 x ) 2 2 x l (l 1) y 0 dx dx
d2 y 2 x dy l (l 1) y0 2 2 2 dx (1 x ) dx (1 x )
方程的系数：
2x p( x ) (1 x 2 ) l (l 1) q( x ) (1 x 2 )
有界
根据高斯判别法，λ=1，级数pl(x)发散。
对于ql(x)：
uk ak (2k 3)! uk 1 ak 2 (2k 1)!(2k 1 l )(l 2k 2)
(2k 3)(2k 2) (2k 1 l )(l 2k 2)
1 (l 1)(l 2)(1 k ) 1 1 1 2 6 (l 1)(l 2) 有界 k k 4 2 k k
高斯判别法：
对于正项级数
u
k 1
k
，当
uk lim 1 k u k 1
时，若前后邻项之比可表示为：
uk B(k ) 1 2 uk 1 k k
其中B(k)是当k→∞时为k的有界函数，则当λ>1时级
数收敛，当λ≤ 1时级数发散。
对于足够大的k， pl(x)和ql(x) 均为正项级数。 对于pl(x)：
k 0
根据此解的形式，于是有：
( x ) kak x k 1 y
k 1
a1 2a2 x 3a3 x2 kak xk 1
Hale Waihona Puke y( x) k (k 1)ak x k 2
k 2
2a2 3 2a3 x 4 3a4 x2 k (k 1)ak xk 2
ak R lim k a k 2
2 1 (1 )(1 ) (k 2)(k 1) k k 1 lim lim k l l 1 k ( k l )(l k 1) (1 )(1 ) k k
因此，级数解 pl(x) 和 ql(x) 收敛于|x|<1而发散于 |x|>1；但勒让德方程中的x=cosθ定义于[-1,1]上， 因此还要考虑级数解在x=±1处的收敛性。
u(r , , ) R(r )Y ( , )
Y ( , ) ( )( )
d2 R dR r 2 2 2r l (l 1) R 0 dr dr
可直接求解 可直接求解
0
d d sin sin [l (l 1)sin 2 ] 0 d d
k (k 1)a
k 2
k
(k 2)(k 1)ak 2 2kak l (l 1)ak x 0
k
要使上述方程对任意的x都成立(=0)，则要求x各幂 次前的系数必须为0，即：
2a2 l (l 1)a0 0 6a3 l (l 1) 2 a1 0 2 (k 2)(k 1)ak 2 l (l 1) k k ak 0 (k 2,3, 4,)
(2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) 2k x (2k )!
(1 l )(l 2) 3 (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) 5 a1 x x x 3! 5!
…………….
a2 k (2k 2 l )(2k 4 l )(2 l )( l )(l 1)(l 3)(l 2k 1) a0 (2k )!
(1 l )(l 2) a3 a1 3!
(3 l )(l 4) (3 l )(1 l )(l 2)(l 4) a5 a3 a1 5 4 5!
代入勒让德方程，可得：
(1 x ) k (k 1)ak x
2 k 2
k 2
2 x kak x
k 1
k 1
l (l 1) ak x 0
k k 0
合并整理后可得：
k (k 1)ak x k k (k 1)ak x k 2 2kak x k
k 2 k 2 k 1
l (l 1)ak x k 0
k 0
将各求和号内k的起点统一化：
k (k 1)ak x k 2 2a2 6a3 x k (k 1)ak x k 2
k 2 k 4
2a2 6a3 x (k 2)(k 1)ak 2 x k
为 l 阶勒让德方程，不可直接求解 2. 柱坐标系中的拉普拉斯方程的分离变量
1 u 1 2 u 2 u 2 2 z 2 0