幂级数解法
幂级数解法
幂级数解法《幂级数解法》是数学中常用的一种数值解法，它既可以用来计算数值解，也可以用来求解解析解。
它广泛应用于物理学、工程学、统计学等领域，其原理和方法能够有效解决复杂的数值模拟问题。
本文将从简介、正式定义、求解、应用及优点等方面对幂级数解法进行介绍，以期让读者更加深入的了解这种数值解法。
一、简介幂级数解法是一种用来解决数学问题的解法，它主要是利用了“幂级数”的性质，可以将复杂的问题化简为多项式，再求解。
二、正式定义幂级数解法是一种由多项式组成的数列，它具有自然界现象的性质，在求解数值问题时，可以将它用来表示物理量，并以尽可能高精度的形式求出未知物理量的数值解。
三、求解求解幂级数通常要经过三个步骤：首先，将问题转化为多项式的形式；其次，通过恰当的拆分多项式，可以将问题分解为更容易求解的子问题；最后，利用化简法、分解法和拆分法等算法，逐步求解。
四、应用幂级数解法在计算机科学领域有着广泛的应用，主要用于以下几种情况：1、非线性问题的求解：例如常见的微分方程，在数值解法上通常都采用幂级数解法来求解。
2、离散数学和抽象代数问题的求解：幂级数解法将问题从离散的表达形式转化为多项式的形式，通过对函数的分析、转换和处理，让问题更加容易解决。
3、函数逼近：采用幂级数解法可以进行函数逼近，也是一种精确地数值拟合方法，能够有效减少数据的误差。
五、优点1、计算简单：幂级数解法可以有效的缩小多项式的规模，使计算更加简单，具有高精度的数值计算能力，适合求解复杂的数值模拟问题。
2、易于理解：幂级数解法比较容易理解，步骤简单，过程易懂，很容易用数学公式表达出来，非常合适于实验室等场合使用。
3、可以精确到想要的范围：采用幂级数解法可以将函数表示为一系列多项式，可以进行精确的推导，而不像使用其他数值方法时，往往会受限于计算范围的限制。
综上所述，幂级数解法是一种有效的数值解法，它在物理学、工程学、统计学等领域也有着广泛的应用，它具有计算简单易懂、精确度高等优点，能够帮助我们有效地解决复杂的数值模拟问题。
幂级数解法
线性微分方程的幂级数解法常系数齐次线性微分方程可以用代数的方法进行求解，然而，对于变系数线性微分方程来说，由于方程的系数是自变量的函数，就不能用代数的方法求解。
微积分学的知识告诉我们，在满足某一些条件下，可以用幂级数表示一个函数，由此自然想到能否用幂级数表示微分方程的解呢？本章以二阶方程为例，讨论线性微分方程的幂级数解法。
考虑变系数线性微分方程 (5.1)0)()()(22=++y x c dxdy x b dxy d x a 其中)(),(),(x c x b x a 均为x 的解析函数。
如果系数函数)(),(),(x c x b x a 中含有公因子)(0x x -，那么可把其削去，考虑原方程的同解方程即可。
因此，不妨假设系数函数没有公因子)(0x x -。
下面分两种情况考虑方程)1.5(的初值问题解的存在唯一性。
)1( 0)(0≠x a ，则由)(x a 的解析性，在0x x =的某一邻域内0)(≠x a 。
此时，可把方程)1.5(改写成如下形式(5.2)0)()(22=++y x q dxdy x p dxy d 其中)()()( ,)()()(x a x c x q x a x b x p ==在0x x =的某一邻域内是解析函数。
考虑方程)2.5(的初值条件）（是给定的常数）其中3.5 ,()( ,)(2120'10y y y x y y x y ==则初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
此时，称0x x =为方程)1.5(的一个常点。
)2( 0)(0=x a ，由于)(),(),(x c x b x a 中不含有公因子)(0x x -，则)(0x b 和)(0x c 中至少有一个不等于零。
因此，在|)(|0x p 和|)(|0x q 中至少有一个为∞+。
此时，无法确定初值问题)3.5()2.5(+的解是存在且唯一的。
在这一种情况下称0x x =为方程)1.5(的一个奇点。
高阶微分方程的降阶和幂级数解法
3 已知齐线性方程的非零特解,进行降阶
(1) 设x x1 0是二阶齐线性方程
d 2x p(t) dx q(t)x 0,
dt 2
dt
的非零解
(4.69)
令 x x1 y 则 x' x1 y' x1' y
代入(4.69)得
x'' x1 y'' 2x1' y' x1'' y
x1 y'' [2x1' p(t)x1]y' [x1'' p(t)x1' q(t)x1]y 0
k 1, 2,
若取
a0
1 2n (n
1)
则可得(4.74)的另一个特解
y2
(1)k
k 0
1 k !(n
k
1)
( x)2kn 2
Jn (x),
(4.78)
Jn (x)是由Bessel方程(4.74)定义的特殊函数, 称
为-n阶Bessel函数.
由达朗贝尔判别法,对任x值(4.77),(4.78)收敛.
k 0
k 0
(x2 n2 ) ak xk 0 k 0
比较x的同次幂系数得
a0 ( 2 n2 ) 0
a1[( 1)2 n2 ] 0
(4.76)
ak [( k)2 n2 ] ak2 0, k 2, 3,
因为a0 0, 则有 2 n2 0, 从而 n,
为确定起见暂令 n, 由(4.76)得
ui
( zi )', i zk 1
1, 2,
,k 2
以上做法一直下去,可降低n - k阶.
(4.68)
高等数学(四)12-函数的幂级数展开式的应用-微分方程的幂级数解法、欧拉公式
n
n!
绝对收敛,
因此级数 1 zn 在整个复平面上是绝对收敛的.
n0 n! ez
1 xn ex
n0 n!
定义 ez 1 z 1 z2 1 zn
2!
n!
当 x 0 时， z 为纯虚数 yi ，
( z )
e yi 1 yi 1 ( yi)2 1 ( yi)3 1 ( yi)n
n2
n2
2a2
3
2a3 x
(4
3a4
1)x 2
(5
4a
a
)x 3
5
2
(6 5a a )x4 63
(n 2)(n 1)an2 an1 xn+
0. y xy 0
a2 0 , a3 0 , a4
1 43
,
a5
0
,
a6
0
,
,
一般地
an 2
(n
an1 2)(n
1)
(n 3, 4,
un
u2 n
vn2
,
vn
u2 n
vn2
(
n 1, 2,
)
则级数 un 、 vn 绝对收敛，
n1
n1
从而级数 (un vni) 绝对收敛.
n1
复数项级数 1 z 1 z2 1 zn (z x yi) ,
2!
n!
1
x2 y2 1
x2 y2
2
2!
1
x2 y2
2!
3!
n!
1 yi 1 y2 1 y3i 1 y4 1 y5i 2 3! 4! 5!
(1 1 y2 1 y4 ) (y 1 y3 1 y5 )i
二阶线性常微分方程的幂级数解法
二阶线性常微分方程的幂级数解法从微分方程学中知道，在满足某些条件下，可以用幂级数来表示一个函数。
因此，自然想到，能否用幂级数来表示微分方程的解呢？ 例1、求方程''0y xy -=的通解解：设2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解，这里(0,1,2,,,)i a i n =……是待定常系数，将它对x 微分两次，有 将y ，'y 的表达式代入方程，并比较的同次幂的系数，得到x -∞<<∞2210a ⋅=，30320,a a ⋅-= 41430,a a ⋅-= 52540,a a ⋅-=或一般的可推得32356(31)3k a a k k =⋅⋅⋅⋅⋅-⋅，13134673(31)k a a k k +=⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，其中1a ，2a 是任意的，因而代入设的解中可得：这个幂级数的收敛半径是无限大的，因而级数的和（其中包括两个任意常数0a 及1a ）便是所要求的通解。
例6 求方程'''240y xy y --=的满足初值条件(0)0y =及'(0)1y =的解。
解 设级数2012n n y a a x a x a x =+++++……为方程的解。
首先，利用初值条件，可以得到00a =， 11a =，因而将y ，'y ，''y 的表达式带入原方程，合并x 的各同次幂的项，并令各项系数等于零，得到 因而 最后得21111(1)!!k a k k k +=⋅=- , 20k a =, 对一切正整数k 成立。
将i a (0,1,2,)i =的值代回2012n n y a a x a x a x =+++++……就得到 这就是方程的满足所给初值条件的解。
是否所有方程都能按以上方式求出其幂级数解？或者说究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示呢？级数的形式怎样？其收敛区间又如何?这些问题，在微分方程解析理论中有完满的解答，但因讨论时需要涉及解析函数等较专门的知识，在此我们仅叙述有关结果而不加证明，若要了解定理的证明过程，可参考有关书籍。
微分方程幂级数解法
P( x)与Q( x)可在− R < x < R内展为x 的幂级数,
那么在− R < x < R内原方程必有形如
的解.
∞
∑ y = an xn n=0
∞
作法 设解为 y = ∑ an x n , n=0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x − x0 的幂级数，
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
∑ ∞
∞
∑ (n + 2)(n + 1)an+2 x n− x ∑ nan x n−1−
∞
an xn
= 0,
n=0
n=0
n=0
∞
∑[(n + 2)(n + 1)an+2 − (n + 1)an ]x n ≡ 0,
n=0
an+2
=
an , n+2
n = 0,1,2,L
a2
=
a0 2
,
a3
=
a1 3
,
1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y′
=
y2
+
x3
,
y x=0
=
1； 2
2、d 2 x dt 2
+
x cos t
=
0
,
x t=0
=
a
,
dx dt
t=0
=
0.
练习题答案
= =
3 2
y y
第三节高阶方程的降阶和幂级数解法
5
4
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、可降阶的一些方程类型
2、方程不显含自变量 t 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 n-1 阶方程。 、 的方程， 阶方程。
实质： 并以它为新的未知函数，而视x为新的 实质：若令 x′ = y ，并以它为新的未知函数，而视 为新的 自变量，此时方程可降一阶。事实上， 自变量，此时方程可降一阶。事实上，有
d nx d n−1x dx + a1 (t) n−1 +⋯+ an−1 (t) + an (t)x = 0 (4.2) n dt dt dt
分析：求 n 阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的 阶齐线性方程（ ）无普遍方法， 分析： 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 则利用变换，可将方程降低一阶 如果知道 个线性无关的特解， 则利用变换，可将方程降低一阶;如果知道 k 个线性无关的特解， 则通过一系列同类项的变换， 阶方程， 则通过一系列同类项的变换，使方程降低 k 阶，并得到 n-k 阶方程， 也是齐线性的。 也是齐线性的。
于是有
y = x + x + 2! x + ⋯ + n! x
2 3
n +1
+⋯
都是发散的， 此级数对任何 x ≠ 0 都是发散的，故，所给问题没有形如假设 形式的级数解。 形式的级数解。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成 的幂级数形式 的幂级数形式， 注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式， 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题， 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。这里只提一下 Bessel方程和 方程和Bessel函数。 函数。 方程和 函数
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
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二、试用幂级数求下列方程满足所给初始条件的特解:
1、 y
y2
x3
,
y x0
1； 2
2、
d2 dt
x
2
x cos t
0
,
x t0
a
,
dx dt
t0
0.
练习题答案
x2
一、1、 y Ce 2 [1 x
1
x3
1 3
x 2n1
]；
1 3 5 (2n 1)
2、 y
C1e x
C2
m k0
y a1 2a2 x1 3a3 x2 nan xn1 ,
将 y, y 的幂级数展开式带入原方程
a1 2a2 x 3a3 x2 4a4 x3 x (a1x a2 x2 a3 x3 a4 x4 )2
x a12 x2 2a1a2 x3 (a22 2a1a3 )x4
n0
an2
an n
, 2
n 0,1,2,
a2
a0 2
,
a3
a1 3
,
a4
a0 8
,
a5
a1 , 15
a2k
a0 k! 2k
,
a2k1
a1 , (2k 1)!!
原方程的通解
k 1,2,3,
y
a0
n0
x2n 2n n!
a1
n0
x (2n
2n1
1)!!
(a0 ,a1是任意常数)
四、小结 微分方程解题思路
一阶方程
作降 变阶 换
作变换
分离变量法
积分因子
全微分方程
常数变易法
非非 变全 量微 可分 分方 离程
高阶方程
Hale Waihona Puke 特征方程法幂级数解法待定系数法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解 微分方程？
思考题解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y xy x 1； 2、 xy ( x m) y my 0.( m 为自然数 )
比较恒等式两端x的同次幂的系数, 得
a1
0,
a2
1, 2
a3
0,
a4
0,
a5
1 , 20
,
所求解为 y 1 x2 1 x5 . 2 20
小结: 无初始条件求解
可设 y C an xn
n1
(C是任意常数)
三、二阶齐次线性方程幂级数求法
定理 如果方程 y P( x) y Q( x) y 0中的系数
假设所求特解可展开为x x0的幂级数,
y y0 a1( x x0 ) a2 ( x x0 )2 其中a1 ,a2 , ,an , 为待定的系数.
例1
求 dy dx
x
y2
满足y
|x0
0的特解.
解 x0 0， y0 0,
设 y a1 x a2 x2 a3 x3 an xn ,
xk k!
.
二、1、 y 1 1 x 1 x2 1 x3 9 x4 ； 2 4 8 16 32
2、 x a(1 1 t 2 2 t 4 9 55 t 8 . 2! 4! 6! 8!
P( x)与Q( x)可在 R x R内展为x 的幂级数,
那么在 R x R内原方程必有形如
的解.
y an xn n0
作法 设解为 y an xn , n0
将 P( x),Q( x), f ( x) 展开为 x x0 的幂级数， 比较恒等式两端x的同次幂的系数, 确定y.
例2 求方程 y xy y 0的解.
解 设方程的解为 y an xn ,
n0
则 y nan x n1 ,
n0
y n(n 1)an xn2 (n 2)(n 1)an2 xn ,
n1
n0
将 y, y, y 带入 y xy y 0,
(n
2)(n
1)an2
x n
x
nan xn1
an
xn
0,
n0
n0
n0
[(n 2)(n 1)an2 (n 1)an ]xn 0,
一、问题的提出
例如 dy x2 y2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达. 寻求近似解法: 幂级数解法;
卡比逐次逼近法; 数值解法.
二、dy f ( x, y)特解求法 dx
问题
求 dy dx
f (x, y) 满足
y
x x0
y0 的特解.
其中 f ( x, y) a00 a10( x x0 ) a01( y y0 ) alm ( x x0 )l ( y y0 )m .