2幂级数
幂级数的概念与幂级数的收敛半径
幂级数函数项级数、幂级数的概念幂级数的收敛性幂级数的运算和函数的性质函数项级数、幂级数的概念给定一个定义在区间I 上的函数列1()u x ,2()u x ,,()n u x ,,表达式1231()()()()()nn n u x u x u x u x u x ∞==+++++∑称为定义在区间I 上的(函数项)无穷级数, 简称(函数项)级数.例 21sin n nx n ∞=∑ 22sin 2sin sin 2x nxx n=++++对于每一个确定的值0x I ∈, 有常数项级数1201()()()()nn n u x u x u x u x ∞==++++∑若01()nn u x ∞=∑收敛, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的收敛点;若1()nn u x ∞=∑发散, 称点0x 是1()nn u x ∞=∑的发散点.函数项级数1()n n u x ∞=∑的收敛点的全体称为它的收敛域,发散点的全体称为它的发散域.例 函数项级数21sin n nxn ∞=∑, (,)x ∀∈-∞+∞, 22sin 1nx n n≤, 211n n ∞=∑收敛, 故级数21sin n nx n ∞=∑收敛, 且它的收敛域为(,)-∞+∞.在收敛域上, 函数项级数的和是x 的函数()s x ,通常称()s x 为函数项级数的和函数.和函数的定义域就是级数的收敛域, 并写成12()()()()n s x u x u x u x =++++.级数1()n n u x ∞=∑的前n项的部分和()n s x在收敛域上有lim ()()n n s x s x →∞=.记()()()n n r x s x s x =-, 有lim ()0n n r x →∞=.特殊地,形如20102000()()()()nnnn n a x x a a x x a x x a x x ∞=-=+-+-++-+∑的函数项级数称为0()x x -的幂级数. 当00x =时,函数项级数的余项20120nnn n n a xa a x a x a x ∞==+++++∑,其中常数0a ,1a ,2a ,,n a ,称作幂级数的系数.t x x =-x取数轴上的哪些点时幂级数收敛,取哪些点时幂级数发散?幂级数的收敛性1.幂级数收敛域的结构例 考察幂级数0n n x∞==∑21n x x x +++++的收敛性. 解 当||1x <时, 011n n x x ∞==-∑; 当||1x ≥时, 这级数发散. 收敛域是开区间(1,1)-, 发散域是(,1]-∞-及[1,)+∞, 2111n x x x x =+++++-(11)x -<<.定理(阿贝尔(Abel)定理)如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =0(0)x ≠时收敛,则适合不等式0||||x x <的一切x 使这幂级数绝对收敛. 反之, 如果级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,则适合不等式0||||x x >的一切x 使这幂级数发散.证 先设0x 是0n n n a x ∞=∑的收敛点, 即级数00n n n a x ∞=∑收敛, 0lim 0n n n a x →∞=. 存在常数M ,使0||n n a x M ≤(0,1,2,)n =.00||n n n n x a x x =⋅ 0n x M x ≤. ||n n a x 00n n n n x a x x =⋅ 当0||||x x <时01x x <, 00n n x M x ∞=∑收敛, 0n n n a x ∞=∑绝对收敛.反之, 假设幂级数0n nn a x ∞=∑当0x x =时发散,而有一点1x 适合10||||x x >使级数收敛, 则当0x x =时级数收敛, 这与定理的假设矛盾, 定理表明, 若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处收敛,则对于开区间00(||,||)x x -内的任何x ,幂级数都收敛;若幂级数0n nn a x ∞=∑在0x x =处发散,则对于闭区间00[||,||]x x -外的任何x ,幂级数都发散. 在某一时刻, 遇到发散点, 幂级数的收敛域有如下特征:收敛域从原点开始向两端扩张, 初始时遇到的均为收敛点, 以后的所有点均为发散点.推论 如果幂级数0n nn a x ∞=∑不是仅在0x =一点收敛,也不是在整个数轴上都收敛, 则必有一个确定的正数R 存在, 使得当||x R < 时,幂级数绝对收敛;当||x R >时，幂级数发散;当x R =与x R =-时，幂级数可能收敛也可能发散.正数R 通常称作幂级数的收敛半径.例如, 幂级数0n n x∞=∑的收敛半径为1R =.开区间(,)R R -叫做幂级数的收敛区间. 收敛域是 (,)R R -、[,)R R -、(,]R R -或[,]R R -之一. 若幂级数只在0x =处收敛,规定收敛半径0R =;若幂级数对一切x 都收敛,规定R =+∞,收敛域(,)-∞+∞.。
第四章 第二节 幂级数
可沿K内曲线 逐项积分,且收敛 注1 (4.5)可沿 内曲线 逐项积分 且收敛 可沿 内曲线C逐项积分 半径与(4.5) 相同 相同. 半径与 即
或∫
∫
C
z a
f ( z )dz = ∑ cn ∫ ( z − a ) n dz , C ⊂ {z : z − a < R} .
n =0
∞
∞
C
cn f (ζ )dζ = ∑ ( z − a ) n +1 . n= 0 n + 1
证明 设z是圆K内任一点,
因为级数∑ cn ( z1 − a ) 收敛,
n
∞
a•
所以 lim cn ( z1 − a ) = 0,
n n →∞
n =0
•z
•z1
从而它的通项序列必有界, 即有正数M,使 从而它的通项序列必有界 即有正数 使
cn ( z1 − a) < M , (n = 1,2,L)
n
(3) 既存在使级数发散的复数, 也存在使级数收 敛的复数.
y
设 z = z1 时, 级数收敛;
收敛圆
z2
•
z = z2 时, 级数发散.
a•
收敛半径
R • z1.
如图: 如图 幂级数
cn ( z − a ) n ∑
n =0 ∞
x
的收敛范围是以点a为中心的圆域.
cn ( z − a )n 的收敛范围是何区域 问题1: 问题 幂级数 ∑ 的收敛范围是何区域?
n →∞
或lim n cn = l , (Cauchy-Hadamart)
n →∞
则幂级数∑ cn ( z − a ) 的收敛半径
n
∞
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
3-2幂级数
在收敛圆|z-z0|<R内解析；
(2)在收敛圆内可逐次求导n次；
w(n) (z) an (z z0 )n (n) n1
(3)在收敛圆内可逐次积分。
w(z)dz C
an C (z z0 )n dz
n0
z z0
w( z )dz
n0
an (z n 1
z0 )n1
定理2：设
f (z) an zn n0
§3.2 幂级数
一、概念：各项都是幂函数的复变项级数。 一般
ak (z z0 )k a0 a1(z z0 ) a2 (z z0 )2 ...
k 1
其中z0,a0,a1,a2,...均为复常数，称为以z0为中
心的幂级数。
最简单的解析函数项幂级数：
ak
z
k
k 1
二、幂级数的收敛性
首先考察与上式对应的正项级数的收敛性
n1 n
R lim an lim 1/ n lim n 1 1
a n n1
n 1/(n 1) n n
当z=0时， (z 1)n (1)n 为交错级数，收敛
n1 n
n1 n
当z=2时，
(z 1)n
1
为调和级数，发散
n1 n
n1 n
(3) (cos in)zn
n0
R lim an lim cosin
g(z) bn zn n0
R R1 R R2
则在|z|<R=min(R1，R2)内，有
f (z) g(z) an zn bn zn
n0
n0
f (z) g(z) an zn bn zn
n0
n0
(a0bn a1bn1 ... anb0 )z n n0
习题课2幂级数
1 内容及要求 (1) 熟练掌握幂级数的收敛半径、收敛域的求法
(2) 会利用幂级数的运算法则求一些幂级数的和函数
(3) 熟悉 1 、e x、sin x、cos x、ln(1 x)、(1 x)m 1 x
麦克劳林展开式，并会利用间接展开法将一些函数 展开成幂级数.
2 典型例题
例1 填空
4
x [1,1)且x 0 x0 x 1
(5)
2n 1 x2n ,
并求
(2n 1)2n的和.
n0 n!
n0
n!
解(5)：易知所给幂级数的收敛半径R=+∞，设其 和函数为s (x)，则
x
s( x)dx
x 2n1
x
( x 2 )n xe x2
0
n0 n!
n0 n!
s( x) ( xe x2 ) (1 2x 2 )e x2
设s(x)
n1
2n 1 2n
x 2n2
n1
1 2n
( x 2n1 )
1 (
2n
n1
x 2n1 )
x
(x 2
x3 22
)
( 1
2 x2
)
2 x2 (2 x2 )2
,
x (
2,
2 ).
2
(3) n( x 1)n;
n1
解(3)： 易知幂级数的收敛域为（0，2）
令x-1=t , n( x 1)n nt n t nt n1
2n 1 x2n2;
2n
n1
xn
(3)
;
n1 n(n 2)
(4)
n1
n( x
1)n;
(5)
n0
一、函数项级数的概念二、幂级数及其收敛性三、幂级数的运算
2012/6/4
24
x 1 x2 (1)n1 1 xn x (1, 1]
2
n
x 1 x2 1 xn x [1, 1)
2
n
例6、将 arctanx 展开为x 的幂级数。
25
例7、求
的和函数。
例8、证明对一切 x (1, 1) 成立，
并求
注意: 求幂级数的和函数或求函数的幂级数展开等 一定要考虑其收敛域。
0
0 1t
x (1, 1]
23
说明
1) 逐项求导或逐项积分后，收敛半径不变，
但收敛域可能扩大或缩小。
2) 此题还得到以下结论:
(1)
1
(1)n xn
1 x n0
1 x x2
(2)
1
xn
1 x n0
1 x x2
(1)n xn x (1, 1) xn x (1, 1)
幂级数具有良好的性质。 如果函数能表示幂级数的形式, 对研究函数
的性质是很有效的。
解决两类问题:
在收敛域内， 幂级数
求和 展开
和函数
2012/6/4
32
（一）Taylor 级数与余项公式
Taylor公式
函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在该邻域内有:
f (x)
f ( x0 )
n0
an ( R)n
.
20
3、逐项可导性 (求导) 定理
设 S( x) anxn 的收敛半径为 R ,
n0
则和函数 S (x) 在 (-R , R) 可以逐项求导，即
S( x) ( anxn ) (anxn ) nanxn1
复变函数4章幂级数
则存在M 使对所有的n有 | c z | M
n n 0
|z| 如果 | z || z0 |, 则 q 1, | z0 |
z 而 | cn z || cn z | z0
n n 0 n
Mq
n
7
z n | cn z || c z | Mq z0
中心的圆域. 对幂级数(4.2.2)来说, 收 敛范围是以z=a为中心的圆域. 在收敛
圆上是否收敛, 则不一定.
12
例1 求幂级数
z
n 0
n
1 z z z
2 n
的收敛范围与和函数.
[解] 级数实际上是等比级数, 部分和为
sn 1 z z
2
1- z z , ( z 1) 1- z
称为这级数的部分和.
3
如果对于D内的某一点z0, 极限
lim sn ( z0 ) s( z0 )
n
存在, 则称复变函数项级数(4.2.1)在z0收敛, 而s(z0) 称为它的和. 如果级数在D内处处收敛, 则它的和 一定是z的一个函数s(z): s(z)=f1(z)+f2(z)+...+fn(z)+...
处处收敛 , 即 R=. 如果 =+, 则对复平 面内除 z=0 外的一切 z, 级数 收敛, 因此
n0
n0
都不
cn z n
也不能收敛, 即 R=0.
18
定理三 (根值法 ) 敛半径 R
1
如果 n
lim n | c n | 0
, 则收
.
19
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n 0
n 0
当| z | R 时 当|z | R 时
z z z
O
n a z n 发散
n a z n 可能收敛也可能发散
n 0
n 0
则称R为该级数 的收敛半径
R
| z | R 称为该级数 的收敛圆周
3
例1 如果级数
a z
n 0
n
n
在它的收敛圆周上一点z0 绝对收敛
n 0
n
如果 cn z0 收敛, 则当 | z | | z | 时 cn z n 绝对收敛 0
n c z 如果 n 0 发散, 则当 | z | | z0 | 时 cn z n 发散
n 0
设 z0 0
n 0 n 0
n 0
推论 若 cn ( z a ) 在z =z0处收敛 n 0 z0 z0 则当 | z a | |z0 a | 时 z z
2 n c ( z a ) c ( z a ) ... c ( z a ) c0 c1 ( z a ) 2 n ... n n
n 0
定理4.12(阿贝尔定理) cn z
n
n 2 z c z c ... c z z z z 称为幂级数 n 0 0 c1z0 c2 z0 n 0 ... n
n 0
| z | R1 | z | R2
n 0
设 bn z 的收敛半径为R2 ,和函数为 g( z )
n n n bn z n 当| z | min{R1 , R2 }时 (an bn ) z an z n 2 b ... b z 即 g( z ) ... 0 b1 z b2 z n
1 则收敛半径 R l
6
例4.求下列幂级数 的收敛半径 2 n ( n !) n z (2) n z P为正整数 (1) p n n n 1 n 1 p 1 lim an1 lim n 1 p 1 R a (1) 解 n p ( n 1) n n n an ( n !)2 (2) 解 an n n n n a n 1 ( n 1)! ( n 1)! lim lim n 1 n n ! n ! n a ( n 1) n
n
n z 所以当| | 1 时 cn z 绝对收敛
n 0
n 0
n 0
n 0
3. 收敛半径的计算方法 定理4.14 对于幂级数
比值法
an z
n 0
n
如果 lim
n
an 1 an
Байду номын сангаас 0,
1 则收敛半径 R l
根值法
如果 lim an l 0,
n
n
n 0
f ( z ) g( z ) (a0 a1 z a2 z ... an z ...)
2 n 2
n 0
n 0
n ...) ... b z (b0 b1 z b2 z n a0 b0 ( a0b1 a1b0 ) z (a0b2 a1b1 a2b0) z 2 n a b a b a b ... a b ... ( 0 n 1 n1 n1 1 n 0) z ...
n
n 0
O
| z0 |
a
c (z a)
n
n
绝对收敛
1
n 0
n c ( z 1) 在z =—1 处收敛 例如 设幂级数 n
n 0
1
则当 | z 1 | |1 1 |时 z n cn ( z 1) 绝对收敛
2
1
n 0
此时该级数在z =2处 绝对收敛
9
注意
n 0
绝对收敛
4
例2 设级数 cn 收敛, 而 | cn| 发散
证明 cn z 的收敛半径 为1
n
n 0
n 0
证 因为级数 cn 收敛, 即 cn z 在z =1处 收敛
n
n 0
由 | cn| 发散, 可以证明当| z | 1时 cn z 发散 n 0 z n 0 n cn z0 收敛 z0 假若 | z0 | 而且 1 z n 0 为1 所以 cn z n 的收敛半径 n n 0 O 1 则当 | z | | z0 | 时 cn z 绝对收敛 n 0 5 此时在z =1处 绝对收敛 即 | cn | 收敛
n
n ( n 1) n lim
( n 1)n
R0
( n 1) lim n 1 n (1 ) n
7
例4续.求下列幂级数 的收敛半径 (3)
(1 i )
n 0
n
z
n
n n n a lim n n ( lim lim ) 2 (1 i ) (3) 解 n 2 n n n
n 0 n n 0
证明 在收敛圆所围成的闭区域上
a z
n
n
绝对收敛
n z 时 a z 证 当 | | | z0 | 0 n a z
n a z 根据条件 n 0 收敛
z
z0
O
n 0
根据级数收敛 的比较判别法
R
所以
n 0 n 0
an z n 收敛
n a z n 在其收敛圆 围成的闭区域上
0
n c ( z 2) 能否在z=0处 收敛 例如 幂级数 n n 0 而在z =3处 发散？ z 不能
3
2
若在z =0处收敛， 则在z =3处绝对收敛 若在z =3处发散， 则在z =0处发散 2
和收敛半径 2. 幂级数的收敛圆 对于幂级数an z n 如果存在正实数R
n a z 当| z | R 时 n 绝对收敛,
(4)
e
n 1
i
n
z
n
1 2 R 2 2
i
(4) 解
an e
n
cos
n
i sin
n
1
8
lim n an 1 n
R 1
4. 幂级数运算和性质 n 设 an z 的收敛半径为R1 , 和函数为 f ( z )
n 2 a ... a z 即 f (z) ... 0 a1 z a 2 z n