高阶方程的降阶法和幂级数解法
第四章高阶线性微分方程
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an 1 (t ) an (t ) x 0 (4.2) n dt dt dt 定理2 （叠加原理）如果 x1 (t ), x2 (t ), , xk (t ) 是方程（4.2）
的k个解，则它们的线性组合
c1 x1 (t ) c2 x2 (t ) ck xk (t )
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
15
t 2 x1 (t ) 0
1 t 0 0 t 1
t2 2t W x1 (t ), x2 (t ) 0 0
n 阶线性微分方程一般形式：
(n)
)0
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
其中 ai (t )(i 1,2,, n) 及f (t )是区间 a t b 上的连续函数。
d nx d n 1 x dx a1 (t ) n 1 an1 (t ) an (t ) x 0 n dt dt dt
齐次线性微分方程。
(4.2)
称它为 n 阶齐次线性微分方程，而方程（4.1）为 n 阶非
7
d nx d n1 x dx a1 (t ) n1 an1 (t ) an (t ) x f (t ) (4.1) n dt dt dt
0 0 0 t2 0 2t
0 x2 (t ) 2 t
1 t 0 0 t 1
1 t 0 0 t 1
高阶方程的降阶法和幂级数解法
y c1e
x
( 2)
1 dt t
c1t
x
( 4)
c1t
x
( 3)
c1 2 t c2 2
c1 3 c1 4 c2 2 t c 2 t c3 x t t c3t c4 24 2 6
5 3 2
9
t c2 t c3 t c4 t c5 x c1
7
2014-2-21
常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
特别，对于二阶方程
F (t , x, x) 0
x y,
x y
F (t , y, y) 0
y (t, c1 )
x (t , c1 )
2014-2-21 常微分方程-重庆科技学院-李可人
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
2)不显含自变量
t 的方程
(4.59)
可降低一阶
( n) F ( x, x ,, x ) 0
方法
x y d d dy dx dy x ( x) y y dt dt dx dt dx
y xk y an2 x xk y 2 xk
a1
x
(n)
x
( n1)
(n)
xk y
( n1)
y xk y nxk
2014-2-21
( n 1)
n(n 1) (n) ( n2) xk y xk y 16 2
xk
( n2)
7-4高阶ODE的降阶和幂级数解法_29950336
例:分别求方程x x 0的满足初值条件x(0) 1, x(0) 0和x(0) 0, x(0) 1的解.
解:设方程的通解为x(t ) cnt n , 代入方程得 n 0 cn cn 2 , n2 n (n 2)(n 1) n(n 1)cnt cnt 0, n2 n 0 n 0. 当x(0) 1, x(0) 0时, c0 1, c1 0, n (1) c2n , c2n1 (0) 0, x(t ) cos t; (2n)! 当x(0) 1, x(0) 0时, c0 0, c1 1, n (1) c2n1 , c2n (0) 0, x(t ) sin t. (2n)!
(n) ( n 1) x a ( t ) x an (t ) xk 1 k k y0
(3)
因为xk为(2)的解, 所以(3)中y的系数恒为0. 引入新的未知函数z y, 并在xk 0的区间上用xk 除(3)的各项, 得到n 1阶齐次线性方程
z
( n1)
1 2 kM 由v( x) 0得 v0 0.故第二宇宙速度为 2 R
2kM v0 R
2gR
11.2 10 m s .
3
地球表面重力加速度 kM g 2 9.81 m s 2 R 5 R 63 10 m
3)m次齐次方程(m为正整数): F (t , x, x,, x( n) ) 0
2阶线性ODE的常数变易法
§4.高阶ODE的降阶与幂级数解法
1.可降阶的ODE
1)方程不显含未知函数x : F (t , x( k ) , x( k 1) ,, x( n) ) 0 (k ) 令y x , 则方程降为关于y的n k阶方程 ( nk ) F (t , y, y ,, y )0 1 (4) (5) 例: 求y y 0的通解. x (4) 解:方程不显含未知函数y.令u y , 则原方程化为 du dx 1 . u u 0, u x x 于是, u y(4) cx, c . 5 3 2 y c x c x c x c4 x c5 , 逐次积分得 1 2 3
第三节高阶方程的降阶和幂级数解法
5
4
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
一、可降阶的一些方程类型
2、方程不显含自变量 t 的方程，可引进变换把原方程降一阶为 n-1 阶方程。 、 的方程， 阶方程。
实质： 并以它为新的未知函数，而视x为新的 实质：若令 x′ = y ，并以它为新的未知函数，而视 为新的 自变量，此时方程可降一阶。事实上， 自变量，此时方程可降一阶。事实上，有
d nx d n−1x dx + a1 (t) n−1 +⋯+ an−1 (t) + an (t)x = 0 (4.2) n dt dt dt
分析：求 n 阶齐线性方程（4.2）无普遍方法，这与常系数方程的 阶齐线性方程（ ）无普遍方法， 分析： 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 求解有着很大的区别，但是通过分析知道，如果有一个非零特解， 则利用变换，可将方程降低一阶 如果知道 个线性无关的特解， 则利用变换，可将方程降低一阶;如果知道 k 个线性无关的特解， 则通过一系列同类项的变换， 阶方程， 则通过一系列同类项的变换，使方程降低 k 阶，并得到 n-k 阶方程， 也是齐线性的。 也是齐线性的。
于是有
y = x + x + 2! x + ⋯ + n! x
2 3
n +1
+⋯
都是发散的， 此级数对任何 x ≠ 0 都是发散的，故，所给问题没有形如假设 形式的级数解。 形式的级数解。
内江师范学院数学与信息科学学院 吴开腾 制作
注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成 的幂级数形式 的幂级数形式， 注意：并不是所有的微分方程的解都能表示成x的幂级数形式， 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 它们或者因为级数的系数无法确定，或者因为所得级数不收敛。 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 究竟方程应该满足什么条件才能保证它的解可用幂级数来表示？ 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题， 级数的形式如何？其收敛区间如何？等等这些问题，在微分方 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。 程解析理论中有完满的解答，在此不作介绍。可参阅叶彦谦翻 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。 译的《高等数学教程》第三卷第三分册第五章。这里只提一下 Bessel方程和 方程和Bessel函数。 函数。 方程和 函数
常微分方程考研讲义第四章 高阶微分方程
第四章高阶微分方程[教学目标]1. 理解高阶线性微分方程的一般理论，n阶齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，熟练掌握n阶常系数齐次线性微分方程的待定指数函数解法。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法，理解n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
3.熟练欧拉方程与高阶方程的降阶法和幂级数解法。
4.掌握高阶方程的应用。
[教学重难点]重点是线性微分方程解的性质与结构，高阶方程的各种解法。
难点是待定系数法求特解。
[教学方法] 讲授，实践。
[教学时间] 16学时[教学内容]线性微分方程的一般理论，齐次（非齐次）线性微分方程解的性质与结构，非齐次线性微分方程的常数变量易法；常系数线性方程与欧拉方程的解法，非齐线性方程的比较系数法与拉氏变换法；高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
[考核目标]1.理解高阶线性微分方程的一般理论，能够求解高阶常系数线性微分方程。
2.掌握n阶非齐次线性微分方程的常数变易法。
3.n阶常系数非齐次线性微分方程特解的待定系数法和Laplce变换法。
4.熟练高阶方程的降阶法和幂级数解法及高阶方程的应用。
§4.1线性微分方程的一般理论4.1.1引言讨论n阶线性微分方程1111()()()()n n n n n n d x d x dxa t a t a t x f t dt dt dt---++++= （4.1） 其中()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数 如果()0f t ≡，则方程（4.1）变为：1111()()()0n n n n n n d x d x dxa t a t a t x dt dt dt---++++= （4.2） 称它为n 阶齐线性微分方程，而称一般的方程（4.1）为n 阶非齐线性微分方程，并且通常把方程（4.2）叫对应于方程（4.1）的齐线性方程。
定理1 如果()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 都是区间a t b ≤≤上的连续函数，则对于任一[]0,t a b ∈ (1)(1)000,,,n x x x - ，方程（4.1）存在唯一解()x t ϕ=，定义于区间a t b ≤≤上，且满足初始条件：1(1)(1)0000001()()(),,,n n n d t d t t x x x dt dtϕϕϕ---=== （4.3） 从这个定理可以看出，初始条件唯一地确定了方程（4.1）的解，而且这个解在所有()(1,2,,)i a t i n = 及()f t 连续的整个区间a t b ≤≤上有定义。
常微分第三章
方程组
c1(t)x1(t) c2 (t)x2 (t) cn (t)xn (t) 0,
c1(t)x1(t) c2 (t)x2 (t) cn (t)xn (t) 0, （4.17）
c1(t
§4.2 线性微分方程的解法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识 4.2.2 常系数线性方程的解法 4.2.3 求变系数齐线性方程特解的幂级数法
4.2.1 实变量复值函数——预备知识
1. 实变量复值指数函数的定义：
e(i )t e t (cos t i sin t) ,
可推出
cos t 1 (ei t ei t ) , sin t 1 (ei t ei t ) .
数.
定理1 若ai (t)(i 1,2,,n)及f (t)都在区间a t b上连
续，则
t0
[a,
b]及任意的
x0
,
x (1) 0
,,
x0(n1)，方程
(4.1)存在唯
一解x x(t)，定义于区间 a t b上，且满足初始条件 (4.3) .
定理2(叠加原理) 若x1(t), x2(t),, xk (t)是方程(4.2)
对应解
1 1,2 1,3 i ,4 i .
et ,et ,cost ,sin t.
四阶齐线性方程，有了 4 个线性无关的解，故通解为
x c1et c2et c3 cost c4 sin t.
例2
求
d 3x dt3
7
d2x dt2
16
dx dt
12x
0
的通解.
解 写出特征方程
3－72 16－12 0 ,
c4_3 高阶方程的降阶幂级数解法 02
作变换
非非
分离变量法
变全
积分因子
量微
全微分方程
可分
分方
常数变易法
离程
特征方程法 待定系数法
幂级数解法
思考题
什么情况下采用“幂级数”解法求解微分方程？
解答
当微分方程的解不能用初等函数或其积分 表达时, 常用幂级数解法.
练习题
一、试用幂级数求下列各微分方程的解: 1、 y′ − xy − x = 1； 2、 xy′′ − ( x + m) y′ + my = 0.( m 为自然数 )
解的关系
(2)
幂级数解法
# 问题的提出
(1)
例如 dy = x2 + y 2 , dx
解不能用初等函数或其积分式表达.
,或
寻求近似解法: 幂级数解法;
-1个线性无关解
Picard逐次逼近法; 数值解法.
dy = f (x, y) 特解求法 dx
问题
求 dy = dx
f ( x, y) 满足
y
x= x0
=
x1
d2y dt 2
+
2
dx1 dt
dy dt
+
y
d 2 x1 dt 2
y[
d 2 x1 dt 2
+
a1 (t )
dx1 dt
+
a2 (t)x1] +
[2
dx1 dt
+
a1 (t ) x1 ]
dy dt
+
x1
d2y dt 2
=
0,
[2
dx1 dt
+
a1 (t ) x1 ]
《常微分方程》课程教学大纲
《常微分方程》课程教学大纲一、课程基本信息二、课程教学目标常微分方程是信息与计算科学专业的基础课程之一。
通过该课程的学习，使学生掌握建立常微分方程模型的基本过程和方法，正确理解常微分方程的基本概念，掌握基本理论和主要方法，获得比较熟练的基本运算技能，对常微分方程的定性理论有初步的理解，培养学生计算能力、逻辑推理能力、空间想象能力及理论联系实际去分析问题、解决问题的能力，为学生学习后继课程打下基础。
1．学好基础知识。
理解和掌握课程中的基本概念和基本理论，知道它的思想方法、意义和用途，以及它与其它概念、规律之间的联系。
2．掌握基本技能。
能够根据法则、公式正确地进行运算。
能够根据问题的情景，寻求和设计合理简捷的运算途径。
3．培养思维能力。
能够对研究的对象进行观察、比较、抽象和概括。
能运用课程中的概念、定理及性质进行合乎逻辑的推理。
能对计算结果进行合乎实际的分析、归纳和类比。
4．提高解决实际问题的能力。
对于简单应用问题会列出定解问题求解,能够将本课程与相关课程有机地联系起来，提出并解决相关学科中与本课程有关的问题。
能够自觉地用所学知识去观察生活，建立简单的数学模型，提出和解决生活中有关的数学问题。
三、教学学时分配《常微分方程》课程理论教学学时分配表＊理论学时包括讨论、习题课等学时。
四、教学内容和教学要求第一章绪论（4学时）（一）教学要求1．了解微分方程的背景即某些物理过程的数学模型；2. 掌握由简单的物理、几何等问题建立简单微分方程；3. 理解微分方程的基本概念；4. 掌握如何由通解求特解。
（二）教学重点与难点教学重点：微分方程的基本概念；教学难点：建立微分方程模型的思想、方法和例子。
（三）教学内容 第一节 常微分方程模型第二节 基本概念和常微分方程的发展历史1．常微分方程基本概念本章习题要点：微分方程基本概念题；建立微分方程的题。
第二章 一阶微分方程的初等解法（14学时）（一）教学要求1. 掌握变量可分离方程、一阶线性方程以及恰当微分方程的求解方法； 2．掌握齐次方程、Bernoulli 方程的求解； 3. 掌握用变量代换的方法求解微分方程；4. 掌握从积分因子满足的充分必要条件导出某些特殊形式积分因子存在的条件及计算公式,并用于解相应的微分方程；5. 掌握已解出y 或x 的微分方程)',(),',(y y f x y x f y ==的计算方法；6. 了解微分方程0)',(,0)',(==y y F y x F 的求解；7. 掌握一阶微分方程的应用方法,能建立一些简单的模型进行简单分析。
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§4.3 Step-down Order Method and Series Method
dy
d n1 y
G(x, y, dx , , dxn1 ) 0
降低一阶
y (x, c1, c2 , , cn1 )
y
dx dt
x
(x, c1, c2 ,
, cn1)
分离变量，可得原方程的解。
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
n2
n2
n2
n(n 1)an xn2 6x (2nan 4an )xn 0
n2
n2
0次项系数
2!a2 0 a2 0
1次项系数
3!a3 6 0 a3 1
2 次项系数 (n 2)(n 1)an2 (2n 4)an 0
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
1
a1 0, 2a2 1, a2 2
(n 1)an1 an
an1
an n 1
an1
1 n 1 an
(n
1 1)n
an1
(n
1 1)n
3
a2
(n
1 1)!
1 an n!
n 2,3,
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
an
1 n!
方法 设 x1, x2 , , xk 是(4.2)的 k 个线性无关的解 xi 0,i 1,2, , k 令
an x xk y an1 x xk y xk y
an2 x xk y 2xk y xky
a1 x(n1) xk y(n1) xk (n1) y
x(n)
xk y(n)
nxk y(n1)
y x an xn x a2 x2 a3x3 an xn
n2
y 1 nan xn1 n2
y n(n 1)an xn2 n2
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
n(n 1)an xn2 2x(1 nan xn1) 4(x an xn ) 0
(4.2)
结论
已知 (4.2)的 k 个线性无关的特解，则(4.2) 可降低 k 阶，即可得到 n-k 阶的齐次线性方程。
特别地，如果已知(4.2)的 n-1 个线性无关的解，
则(4.2)的基本解组可以求得。
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
同理，对于 (4.67) 就知道了 k 1个非零解
zi
1
( xi
z1 xk2
) z2
i
1,2,
k
,k 1 z 1 k 1
且其线性无关， 0
1
(
x1 xk
)
2
(
x2 xk
)
k
1
(
xk 1 xk
)
0
[1 xk
(1x1 2 x2
k 1xk 1)] 0
1x1 2 x2 k1xk1 k xk
x1 y [2x1 p(t)x1]y 0
y 2x1 p(t)x1 y x1
2x1 p(t ) x1dt
x1 y c e c e 1
[2
1 x1
dx1
p(t )dt]
1
c1eln x12
e
p
(
t
)
dt
c1 x12
e
p
(t
) dt
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
xdx c1dt
1 2
x2
c1t
c2
x 2 2c1t 2c2
y 0 x 0 x c
x2 2c1t 2c2
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
3) 齐次线性方程
dnx dt n
a1 (t
)
d n1x dt n1
an (t)x 0
可降低一阶
方法 令 x y
x d (x) d y dy dx y dy
dt
dt dx dt dx
x d ( y dy) d ( y dy) dx dt dx dx dx dt
y(( dy )2 dx
y
d2y) dx2
y( dy)2 dx
y2
d2y dx2
假定
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
积分，可得原方程的通解
x (t, c1, c2 )
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
例1
求方程
d 5x 1 d 4 x 0 的通解。 dt5 t dt4
解
令
d4x dt 4
y
y 1 y 0 t
y
c1e
1dt t
c1t
x (4) c1t
例2 求解方程 xx (x)2 0
解 令 x y
x y dy dx
x y dy y 2 0 dx
y 0 或 x dy y
dx
dy dx
y
x
ln y ln x c1
y c1 x
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
x c1 x
xi ,i 1,2, , k 线性无关，1 2 k 0
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
类似地,令
u
z zk 1
或
z zk1
udt
u(n2) c1(t)u (n3) cn2 (t)u 0
ui
( zi ) zk 1
i 1,2, , k 2
二阶线性方程的幂级数解法（求特解）
例5 求方程 dy y x 的满足初始条件 y(0) 0 的解。 dx
解 设 y a0 a1x a2 x2 anxn 为方程的解 y(0) 0 a0 0 y a1x a2 x2 a3x3 anxn
y a1 2a2 x 3a3x2 nan xn1 (n 1)an1xn
dnx dt n
a1
(t
)
d n1x dt n1
an (t)x
f
(t)
x(t) c1x1(t) c2 x2 (t) cn xn (t) ~x (t)
求解方法
L[x] f (t)
L[x] 0
相 加
F () n a1n1 an 0
特解
基本解组或通解
常数变易法
比较系数法 拉普拉斯变换法
x ( n 1)
f ( y, dy , dx
d n2 y , dxn2 )
x(n)
d dt
f ( y, dy , dx
,
d n2 y dxn2
)
d dx
f
dx dt
y
d dx
(
f
( y,
yx ,
,
yx(n2) )
f1( y, yx , , yx(n1) )
将 x, x, , x(n) 代入原方程 (4.59)
n(n 1) 2
xk y ( n2)
xk (n) y
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
xk y(n) (nxk a1(t)xk ) y(n1) [xk (n) a1(t)xk (n1) a2 (t)xk (n2) an (t)xk ]y 0
y
c1 x12
e
p
(t
) dt
基解组为 x1 ,
x x1 ydt
x1
1 x12
e
p
(t
)
dt
dt
通解
x(t) x1[c1 c2
1 x12
e
p(t)dt dt]
P.113
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
例4 已知 x sin t 是方程 x 2 x x 0
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
例8 求方程 y 2xy 4y 0 的满足初始条件
y(0) 0 y(0) 1 的解。
解 设级数解为
y a0 a1x a2 x2 an xn
由于 y(0) 0 y(0) 1 所以 a0 0, a1 1
x(k) y (t, c1, c2 , , cnk )
逐次积分 k 次，可得原方程的通解。
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
特别，对于二阶方程 F(t, x, x) 0
x y, x y
F(t, y, y) 0
y (t, c1) x (t, c1 )
线性无关的解，
继续下去，得到一个 n-k 阶的线性齐次方程 若 k= n-1，则可得到１阶线性齐次方程，则 可求得通解。
§4.3 Step-down Order Method and Series Method
特别，对于二阶齐次线性方程
d2x
dx
dt2 p(t) dt q(t)x 0
若知其一非零解 x x1 0 ，则可求得通解。
t
t
的解，试求方程的通解。
解
p(t) 2
t
x
sin t
t
(c1
c2