幂级数概念
幂级数的知识点总结
幂级数的知识点总结一、幂级数的定义与基本概念1. 幂级数定义幂级数是指形如 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是常数，$x$ 是变量。
我们将 $a_nx^n$ 称为幂级数的通项。
当 $x=0$ 时，幂级数收敛，此时幂级数的值为 $a_0$。
当 $x\neq0$ 时，幂级数可能发散，也可能收敛。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指所有幂级数都收敛的 $x$ 范围。
收敛半径 $R$ 的计算公式为\[R = \lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}\]当 $R=0$ 时，幂级数只在 $x=0$ 处收敛；当 $R=\infty$ 时，幂级数在整个实数范围都收敛；当 $0<R<\infty$ 时，幂级数在 $(-R,R)$ 范围内收敛。
3. 幂级数的收敛域幂级数的收敛域是指其收敛的 $x$ 区间范围。
我们可以通过比较 $|x|<R$ 和 $|x|=R$ 以及$|x|>R$ 的情况来判断幂级数的收敛域。
二、幂级数的性质1. 幂级数的加法性与乘法性若 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 和 $\sum_{n=0}^{\infty} b_nx^n$ 是两个幂级数，由于级数的加法与乘法遵循线性性质，因此这两个幂级数的和与乘积仍然是幂级数，它们的收敛性与原幂级数相同。
2. 幂级数的导数与积分幂级数在其收敛域内可以进行导数与积分运算，这是因为这些运算不会改变收敛性质。
具体来说，对于 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$，它的导数等于 $\sum_{n=1}^{\infty}na_nx^{n-1}$，它的不定积分等于 $\sum_{n=0}^{\infty} \frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$。
三、幂级数的收敛性与收敛域判断1. 幂级数的收敛性判定判断幂级数 $\sum_{n=0}^{\infty} a_nx^n$ 的收敛性时，我们可以使用比值判别法、根式定理、韦达定理等方法。
求幂级数的收敛半径
求幂级数的收敛半径摘要：一、幂级数的概念与性质1.幂级数的定义2.幂级数的性质二、收敛半径的定义与计算方法1.收敛半径的定义2.计算收敛半径的方法三、收敛半径与幂级数收敛性的关系1.收敛半径与收敛性的关系2.收敛半径与级数和的关系四、求幂级数的收敛半径的实际应用1.常见函数的幂级数展开2.收敛半径在实际问题中的应用正文：幂级数是数学中一种常见的级数形式，它的概念与性质是解决收敛半径问题的关键。
幂级数是由一个非负整数指数幂与一系列正数相乘并求和得到的，如：$sum_{n=0}^{infty} a^n$。
幂级数具有以下性质：若$a>1$，则幂级数$sum_{n=0}^{infty} a^n$ 收敛；若$0<a<1$，则幂级数$sum_{n=0}^{infty} a^n$ 发散。
收敛半径是衡量幂级数收敛性的一个重要指标，它定义为使得幂级数收敛的$a$ 的取值范围。
具体计算方法为：设幂级数为$sum_{n=0}^{infty}a^n$，若$a>1$，则收敛半径为$1<a<+infty$；若$0<a<1$，则收敛半径为$0<a<1$。
收敛半径与幂级数的收敛性密切相关。
一般来说，当收敛半径$R$ 大于$1$ 时，幂级数是条件收敛的；当收敛半径$R$ 小于$1$ 时，幂级数是绝对收敛的。
此外，收敛半径与幂级数的和也有关系，即幂级数的和等于$a$ 在收敛半径处的幂级数展开式中，幂指数为$0$ 的项的系数。
在实际应用中，求幂级数的收敛半径具有很高的价值。
例如，常见函数的幂级数展开可以帮助我们更好地理解函数的性质；在实际问题中，如信号处理、数值分析等领域，收敛半径可以作为评估算法性能的重要依据。
综上所述，幂级数的收敛半径是衡量幂级数收敛性的重要指标，它与幂级数的性质、收敛性以及实际应用有着密切的联系。
幂级数定义
幂级数定义
一、幂级数的定义
幂级数，又叫泰勒级数，就是将一个函数的值，按照某种规律的多项式的方式来表达的一种数学表达式。
它的定义式如下：设函数f(x)在[a,+∞]上可导，则它的幂级数表示是指
f(x)=a_0 + a_1 (x-a) + a_2 (x-a)^2 + a_3 (x-a)^3 + ... + a_n (x-a)^n + ...
其中a_0,a_1,a_2,...,a_n...是实数数列，x为实数，且x≥a。
可以看出，幂级数是由一个位置不变的常数a_0和一串位置不变的有系数的指数式组成的。
二、幂级数的性质
1、幂级数可以是它所定义函数的某一个闭区间内的有限次展开式，也可以是整个实数轴上的无穷级数。
2、求幂级数的值，可以由其所定义的函数的数值来计算；也可以运用极限的概念，将其视为一个有界无穷级数，而计算出它的和。
3、幂级数有很高的表达能力，它可以用来表示函数的无穷多种变形，而且也有很多特殊的性质，非常有用。
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幂级数与收敛半径的计算与应用
幂级数与收敛半径的计算与应用幂级数是数学中的重要概念，它在各个领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义、收敛半径的计算方法以及其在实际问题中的应用。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an * x^n)的无穷级数，其中an是常数系数，x是变量。
幂级数可以看作是一种特殊的函数表示方式，它可以展开为无限项的多项式。
二、收敛半径的计算方法收敛半径是幂级数收敛的一个重要指标，它决定了幂级数在哪些点上收敛。
收敛半径的计算方法有多种，其中比较常用的是根值法和比值法。
根值法是通过计算幂级数中各项的绝对值的n次方根的极限来确定收敛半径。
具体计算步骤是先计算an * x^n的绝对值的n次方根的极限，然后根据极限的值来判断幂级数的收敛性。
如果极限存在且大于0，则收敛半径为1/极限；如果极限不存在或者等于无穷大，则收敛半径为0；如果极限等于0，则需要进一步判断。
比值法是通过计算幂级数中相邻两项的比值的极限来确定收敛半径。
具体计算步骤是先计算an * x^n与an+1 * x^(n+1)的比值的极限，然后根据极限的值来判断幂级数的收敛性。
如果极限存在且小于1，则收敛半径为1/极限；如果极限大于1或者等于无穷大，则收敛半径为0；如果极限等于1，则需要进一步判断。
三、幂级数的应用幂级数在数学和物理等领域有广泛的应用。
以下是幂级数在实际问题中的一些应用示例：1. 泰勒级数：泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以将任意函数展开为无限项的多项式。
泰勒级数的应用十分广泛，可以用于函数逼近、数值计算和物理模型的建立等方面。
2. 物理模型：幂级数可以用于建立物理模型，例如在电路分析中，可以将电流或电压表示为幂级数的形式，从而简化计算过程。
3. 统计学：幂级数在统计学中也有应用，例如在概率分布的推导和分析中，可以使用幂级数展开来描述随机变量的概率分布。
4. 工程问题：幂级数可以用于解决工程问题，例如在信号处理中，可以使用幂级数展开来分析信号的频谱特性。
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数
实变函数的幂级数,泰勒级数,洛朗级数实变函数的幂级数、泰勒级数和洛朗级数是数学中常见且重要的概念，它们在数学分析和实际应用中都有着重要的作用。
本文将从浅入深地探讨这些级数的定义、性质和应用，希望能够帮助读者更全面地理解这一主题。
一、实变函数的幂级数1.1 什么是幂级数在数学中，幂级数是指形如∑(an * (x - a)^n)的无穷级数，其中a是常数，an是系数，x是变量。
这种级数在数学分析和微积分中有着重要的应用，可以用来表示各种函数。
1.2 幂级数的收敛性幂级数的收敛性是指在何种情况下幂级数能够收敛于某一函数。
对于幂级数∑(an * (x - a)^n)，我们可以使用收敛域的概念来定义其收敛性。
一般来说，收敛域是指在何种范围内幂级数可以收敛于某一函数，而在范围之外则发散。
1.3 幂级数的应用幂级数在数学分析、微积分、物理学和工程学等领域有着重要的应用。
通过幂级数，我们可以将各种函数进行展开，并且可以用幂级数逼近复杂的函数，从而简化计算和分析过程。
二、泰勒级数2.1 泰勒级数的定义泰勒级数是一种特殊的幂级数，它可以将一个函数表示为一个无穷级数的形式。
泰勒级数的系数由函数的各阶导数决定，因此可以通过泰勒级数来对函数进行近似和展开。
2.2 泰勒级数的收敛性与幂级数类似，泰勒级数也有其收敛性的问题。
对于给定的函数，我们需要确定其在何种范围内泰勒级数能够收敛于该函数，这可以通过收敛域的概念来加以解释。
2.3 泰勒级数的应用泰勒级数在数学分析、物理学、工程学和计算机科学等领域有着广泛的应用。
通过泰勒级数，我们可以对各种函数进行近似和展开，从而简化复杂函数的计算和分析。
三、洛朗级数3.1 洛朗级数的定义洛朗级数是一种可以表示在一个环形区域内解析的函数的级数表示法。
它是将一个函数在有限正负无穷远点处展开成一个大量项的和的一种方式。
3.2 洛朗级数的收敛性与泰勒级数类似，洛朗级数也需要考虑其在何种范围内能够收敛的问题。
幂级数收敛半径的计算
幂级数收敛半径的计算幂级数是数学中的重要概念，它在许多领域中都有广泛的应用。
在实际问题中，我们经常需要计算幂级数的收敛半径，以确定级数的收敛性和收敛范围。
本文将介绍如何计算幂级数的收敛半径。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an * x^n)的级数，其中an是常数系数，x是变量，n为自然数。
幂级数可以表示为：f(x) = a0 + a1 * x + a2 * x^2 + a3 * x^3 + ...其中，a0、a1、a2等为常数系数，x为变量，n为自然数。
二、幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径是指幂级数在哪些范围内收敛。
收敛半径的计算方法有多种，常用的有比值判别法和根值判别法。
1. 比值判别法比值判别法是通过计算幂级数相邻两项的比值的极限来确定收敛半径。
具体步骤如下：（1）计算幂级数相邻两项的比值：Rn = |an+1 / an|（2）计算该比值的极限：lim(n→∞) Rn = L（3）根据极限L的值判断收敛半径的情况：- 当L < 1时，幂级数绝对收敛，收敛半径为R = 1 / L；- 当L > 1时，幂级数发散；- 当L = 1时，比值判别法无法确定收敛半径，需要使用其他方法。
2. 根值判别法根值判别法是通过计算幂级数项的绝对值的n次方根的极限来确定收敛半径。
具体步骤如下：（1）计算幂级数项的绝对值的n次方根：Rn = (|an|)^(1/n)（2）计算该根值的极限：lim(n→∞) Rn = L（3）根据极限L的值判断收敛半径的情况：- 当L < 1时，幂级数绝对收敛，收敛半径为R = 1 / L；- 当L > 1时，幂级数发散；- 当L = 1时，根值判别法无法确定收敛半径，需要使用其他方法。
三、示例下面通过一个具体的例子来演示如何计算幂级数的收敛半径。
例：计算幂级数∑(n * x^n)的收敛半径。
（1）使用比值判别法计算：Rn = |(n+1) * x^(n+1) / (n * x^n)| = |(n+1) * x| / |n * x| = |(n+1) / n|lim(n→∞) Rn = lim(n→∞) |(n+1) / n| = 1根据比值判别法，当L = 1时，无法确定收敛半径。
幂级数的和函数6个基本公式
幂级数的和函数6个基本公式幂级数是数学中最重要的数学概念之一，它可以表示一系列按照某种规律排列的数列。
幂级数的和函数是一种可以表示幂级数求和的方法，也是运用幂级数的一种重要的应用。
那么，关于幂级数的和函数，有哪些基本公式呢？本文将为你介绍幂级数的和函数的六个基本公式。
一、幂级数的和函数1、幂级数的定义幂级数(power series)是一类数列，它是按照一定的规律排列的数列，如：a1 + a2x + a3x2 + a4x3 + a5x4 + ………+ anxn-1 + ……。
其中，a1,a2,a3,a4,a5……等等是系数，x是一个未知数，n是未知数的次数。
2、幂级数的和函数幂级数的和函数是一种可以表示幂级数求和的方法，它是把幂级数的和表示成一个函数，如：Sn=a1+a2x+a3x2+a4x3+a5x4+……+anxn-1+……。
这里，Sn是指幂级数的和函数，a1,a2,a3,a4,a5……等等是系数，x是一个未知数，n是未知数的次数。
二、幂级数的和函数的六个基本公式1、S1=a1这个公式表示，当x=1时，幂级数的和函数的值等于系数a1。
2、S2=a1+a2这个公式表示，当x=2时，幂级数的和函数的值等于系数a1加上系数a2。
3、Sn=a1+a2x+a3x2+……+an-1xn-2+anxn-1这个公式表示，当x=n时，幂级数的和函数的值等于系数a1加上a2x，a3x2，……，an-1xn-2，anxn-1。
4、S=a1+a2x+a3x2+……+an-1xn-2+anxn-1+an+1xn这个公式表示，当x=n+1时，幂级数的和函数的值等于系数a1加上a2x，a3x2，……，an-1xn-2，anxn-1，an+1xn。
5、S=a1+a2(x−1)+a3(x−1)2+……+an-1(x−1)n-2+an(x−1)n-1+an+1(x−1)n这个公式表示，当x=n+1时，幂级数的和函数的值可以写成系数a1加上a2(x−1)，a3(x−1)2，……，an-1(x−1)n-2，an(x−1)n-1，an+1(x−1)n的形式。
数学分析14.1幂级数
第十四章 幂级数1幂级数概念：由幂函数序列{a n (x-x 0)n }所产生的函数项级数∑∞=0n nn )x -(x a=a 0+a 1(x-x 0)+a 2(x-x 0)2+…+a n (x-x 0)n+…称为幂级数. 特别地，当x 0=0时，有∑∞=0n n n x a =a 0+a 1x+a 2x 2+…+a n x n +…一、幂级数的收敛区间定理14.1：(阿贝尔定理)若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x ≠0处收敛，则对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 收敛且绝对收敛；若幂级数∑∞=0n n n x a 在x=x 处发散，则对满足不等式|x|>|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n nx a发散.证：设级数∑∞=0n n n x a 收敛，从而数列{nn x a }收敛于0且有界，即存在某正数M ，使得|nn x a |<M (n=0,1,2,…). 又对任一个满足不等式|x|<|x |的x ，可设r=xx<1, 都有 |a n x n|=x x x a nn ⋅=|n n x a |x x <Mr n. 又级数∑∞=0n n Mr 收敛，∴对满足不等式|x|<|x |的任何x ，幂级数∑∞=0n n n x a 绝对收敛.设级数∑∞=0n nn x a 发散，若存在某一x 0，满足|x 0|>|x |且使∑∞=0n n 0n x a 收敛，则∑∞=0nnnxa绝对收敛，矛盾！∴对满足不等式|x|>|x|的任何x，幂级数∑∞=0nnnxa发散.注：由定理14.1可知，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛域是以原点为中心的区间. 若以2R表示区间的长度，则称R为幂级数的收敛半径. R就是使得幂级数∑∞=0nnnxa收敛的收敛点绝对值的上确界. 所以幂级数∑∞=0nnnxa当R=0时，仅在x=0处收敛；当R=+∞时，在(-∞,+ ∞)上收敛；当0<R<+∞时，在(-R,R)上收敛；对一切满足不等式|x|>R的x，发散；在x=±R处，不确定. (-R,R)称为幂级数∑∞=0nnnxa的收敛区间.定理14.2：对于幂级数∑∞=0nnnxa，若n n∞n|a|lim→=ρ，则当(1)0<ρ<+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=ρ1；(2)ρ=0时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=+∞；(3)ρ=+∞时，幂级数∑∞=0nnnxa的收敛半径R=0.证：对于幂级数∑∞=0nnnxa，∵n nn∞n|xa|lim→=nn∞n|a|lim→|x|=ρ|x|，根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0nnnxa收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.注：也可由比式判别法|a ||a |lim n1n ∞n +→=n n ∞n |a |lim →=ρ，来求出幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径.例1：求级数∑2nnx 的收敛半径R 及收敛域.解：记a n =2n 1, 则|a ||a |lim n1n ∞n +→=22∞n )1(n n lim +→=1，∴R=1. 又当x=±1时，2nn)1(±=2n 1，由级数∑2n 1收敛，知∑2n n x 在x=±1收敛.∴级数∑2nnx 的收敛域为[-1,1].例2：求级数∑nx n的收敛半径R 及收敛域.证：记a n =n1, 则|a ||a |lim n 1n ∞n+→=1n nlim ∞n +→=1，∴R=1. 又当x=1时，级数∑n 1发散；当x=-1时，级数∑n (-1)n 收敛.∴级数∑nx n的收敛域为[-1,1).注：级数∑∞=0n nn!x 与∑∞=0n n x n!的收敛半径分别为R=+∞与R=0.定理14.3：(柯西—阿达马定理)对幂级数∑∞=0n n n x a ，设ρ=n n ∞n|a |lim →，则 (1)当0<ρ<+∞时，R=ρ1；(2)当ρ=0时，R=+∞；(3)当ρ=+∞时，R=0.证：对于任意x,∵n n n ∞n|x a |lim →=n n ∞n |a |lim →|x|=ρ|x|， 根据级数的根式判别法，当ρ|x|<1时，∑∞=0n n n x a 收敛.∴当0<ρ<+∞时，由ρ|x|<1得幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径R=ρ1；当ρ=0时，R=+∞；当ρ=+∞时，R=0.例3：求级数1+3x +222x +333x +442x +…+12n 1-2n 3x -+2n 2n 2x +…的收敛域.解：∵n n ∞n|a |lim →=21，∴R=2. 又当x=±2时，原级数都发散，∴原级数的收敛域为(-2,2).例4：求级数∑∞=1n 2n2n3-n x 的收敛域. 解：方法一：∵2n n ∞n|a |lim →=2n 2n ∞n 3-n 1lim →=2n 2n∞n 3n11lim 31-→=31，∴R=3.方法二：∵当n2n2n ∞n 3-n x lim →=n2n2n∞n 3n -1x lim 91→=9x 2<1，即|x|<3时，收敛.∴原级数的收敛半径为R=3.又当x=±3时，原级数=∑∞=1n 2n2n3-n 3=-1≠0，发散.∴原级数的收敛域为(-3,3).定理14.4：若幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径为R(>0)，则∑∞=0n n n x a 在它的收敛区间(-R,R)内任一闭区间[a,b]上都一致收敛.证：设x =max{|a|,|b|}∈(-R,R)，则任一x ∈[a,b]，都有|a n x n |≤|a n x n |. ∵∑∞=0n nn x a 在x 绝对收敛，由优级数判别法知∑∞=0n n n x a 在[a,b]上一致收敛.定理14.5：若幂级数∑∞=0n n n x a 的收敛半径为R(>0)，且在x=R(或x=-R)收敛，则∑∞=0n n n x a 在[0,R](或[-R,0])上一致收敛.证：设幂级数∑∞=0n n n x a 在x=R 收敛，对于x ∈[0,R]有∑∞=0n n n x a =nn n n R x R a ⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∞=.已知级数∑∞=0n nn R a 收敛，函数列⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧⎪⎭⎫ ⎝⎛nR x 在[0,R]上递减且一致有界，即1≥R x ≥2R x ⎪⎭⎫ ⎝⎛≥…≥nR x ⎪⎭⎫⎝⎛≥…≥0. 由阿贝尔判别法知∑∞=0n n nx a在[0,R]上一致收敛. 同理可证：∑∞=0n n nx a在x=-R 收敛时，在[-R,0]上一致收敛.例5：考察级数∑n21)-(x n n的收敛域.解：∵|a ||a |lim n1n ∞n +→=|1)(n 2||n 2|lim 1n n ∞n ++→=1)2(n n lim ∞n +→=21，∴R=2.又当x-1=2时，原级数=∑n 1发散；当x-1=-2时，∑-n22)(n n =∑n (-1)n 收敛.∴x-1∈[-2,2)，原级数的收敛域为[-1,3).二、幂级数的性质定理14.6：(1)幂级数∑∞=0n n n x a 的和函数是(-R,R)上的连续函数；(2)若幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间的左(右)端点上收敛，则其和函数也在这一端点上右(左)连续.定理14.7：幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求导与逐项求积后分别得到幂级数：∑∞=1n 1-n n x na 与∑∞=++0n 1n n x 1n a ，它们的收敛区间都是(-R,R). 证法一：设x 0为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上任一不为零的点，由阿贝尔定理(定理14.1)的证明过程知，存在正数M 与r(<1)， 对一切正整数n ，都有|a n x 0n |<Mr n . 于是|na n x 0n-1|=x n|a n x 0n |<0x M nr n .由级数比式判别法知级数∑n nr 收敛，根据级数的比较原则知，∑∞=1n 1-n nxna收敛. 由x 0为(-R,R)上任一点，知∑∞=1n 1-n n x na 在(-R,R)上收敛.若存在一点x ’，使|x ’|>R ，且幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在x ’收敛，则必有一数x ，使得|x ’|>|x |>R ，由阿贝尔定理，∑∞=1n 1-n n x na 在x 处绝对收敛.但，取n ≥|x |时，就有|na n x n-1|=xn |a n x n |≥|a n x n |，由比较原则得幂级数∑∞=0n n n x a 在x 处绝对收敛，矛盾！∴幂级数∑∞=1n 1-n n x na 在一切满足不等式|x|>R 的x 都不收敛，即幂级数∑∞=0n n n x a 与其在收敛区间(-R,R)上逐项求导所得幂级数∑∞=1n 1-n nx na有相同的收敛区间(-R,R).又幂级数∑∞=0n nn x a 在收敛区间(-R,R)上逐项求积可得幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a ， 即∑∞=0n nn x a 是由幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a 在其收敛区间上逐项求导所得， ∴它们也有相同的收敛区间(-R,R). 证法二：对于幂级数∑∞=0n n n x a ，R=1n n∞n a a lim+→. 对幂级数∑∞=1n 1-n n x na ，1n n ∞n1)a (n na lim +→+=1n n ∞na a 1n nlim +→⋅+=R. 对幂级数∑∞=++0n 1n n x 1n a，2n a 1n a lim 1n n∞n +++→=1n n ∞n a a 1n 2n lim +→⋅++=R. 得证！定理14.8：设∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数为f ，x ∈(-R,R)，则：(1)f 在点x 可导，且f ’(x)=∑∞=1n 1-n n x na ；(2)f 在0与x 之间的这个区间上可积，且⎰x0f(t)dt=∑∞=++0n 1n n x 1n a .证法：由定理14.7知，∑∞=0n nn x a ,∑∞=1n 1-n n xna 和∑∞=++0n 1n n x 1n a 有相同的R. ∴总存在r ，使|x|<r<R ，根据定理14.4，它们在[-r,r]上都一致收敛. 根据逐项求导与逐项求积定理得证！推论1：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在收敛区间(-R,R)上的和函数，则在(-R,R)上f 具有任何阶导数，且可逐项求导任何次，即： f ’(x)=∑∞=1k 1-k k x ka ；f ”(x)=∑∞=2k 2-k k x1)a -k(k ；…；f (n)(x)=∑∞=n k n -k k x a n)!-(k k!；….推论2：记f 为幂级数∑∞=0n n n x a 在点x=0某邻域上的和函数，则{a n }与f在x=0处的各阶导数有如下关系：a 0=f(0), a n =n!(0)f (n),(n=1,2,…).三、幂级数的运算定义：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内有相同的和函数，则称这两个幂级数在该邻域内相等.定理14.9：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 在点x=0的某邻域内相等，则它们同次幂项的系数相等，即a n =b n (n=1,2,…).定理14.10：若幂级数∑∞=0n nn x a 与∑∞=0n n n x b 的收敛半径分别为R a 和R b ，则λ∑∞=0n nn x a =∑∞=0n nn x λa , |x|<R a , λ为常数；记R=min{R a ,R b }, c n =∑=nk k -n k b a , 有∑∑∞=∞=±0n 0n nn nn x b x a =∑∞=±0n nn n )x b (a ；⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n n 0n n n x b x a =∑∞=0n n n x c . |x|<R.例6：几何级数∑∞=0n n x 在收敛域(-1,1)上有f(x)=x-11. 在(-1,1)上 逐项求导可得：f ’(x)=2x )-(11=∑∞=1n 1-n nx ; f ”(x)=3x )-(1!2=∑∞=2n 2-n 1)x -n(n . 在[0,x](x<1)上逐项求积可得：⎰xt -1dt=∑⎰∞=0n x 0n t dt ，从而可得： ln x -11=∑∞=++0n 1n 1n x (|x|<1), 其对x=-1也成立.注：可通过的逐项求导或逐项求积间接地求出级数的和函数.例7：求级数∑∞=1n n 21-n x n (-1)的和函数.解：由R=1n n ∞n a a lim +→=2n 21-n ∞n 1)(n (-1)n (-1)lim +→=2∞n 1n n lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=1， 且x=±1时，级数发散，知其收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=1n n21-n x n (-1)=x ∑∞=1n 1-n 21-n x n (-1)=xg(x), x ∈(-1,1)，则⎰x)t (g dt=∑⎰∞=1n x1-n 21-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n nx (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=xh(x)，则⎰x)t (h dt=∑⎰∞=1n x1-n 1-n tn (-1)dt=∑∞=1n n1-n x (-1)=x ∑∞=1n 1-n 1-n nx (-1)=x1x+, x ∈(-1,1). ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛+x 1x =2x )(11+；g(x)=(xh(x))’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2x)(1x =3x )(1x -1+； ∴原级数的和函数S(x)=xg(x)=32x)(1x -x +, x ∈(-1,1).习题1、求下列幂级数的收敛半径与收敛区域：(1)∑nnx ；(2)∑⋅n 2n2n x ；(3)∑n 2x (2n)!)(n!；(4)∑n n x r 2(0<r<1)； (5)∑1)!-(2n )2-(x 1-2n ；(6)nn n )1x (n )2(3+-+∑；(7)∑+⋯++n x )n1211(；(8)∑n n 2x 2. 解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散，∴原级数的收敛域为(-1,1).(2)R=1n n ∞n a a lim +→=n 21n 2∞n 2n 21)(n lim ⋅⋅++→=2. 又当x=±2时，原级数收敛， ∴原级数的收敛域为[-2,2].(3)R=1n n∞n a a lim+→=2)]![(2n ]1)![(n (2n)!)(n!lim 22∞n ++→=2∞n 1)(n 1)2)(2n (2n lim +++→=4. 又当x=±4时，|u n |=n 24(2n)!)(n!=(2n)!)2(n!2n ⋅=(2n)!]![(2n)!2=!1)!-(2n !(2n)!>12n +→∞ (n →∞)， ∴原级数发散. ∴收敛域为(-4,4).(4)∵n n ∞n |a |lim →=nn ∞n2r lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(5)R=1n n ∞na a lim +→=1)!-(2n 1)!(2n lim ∞n +→=1)2n(2n lim ∞n +→=+∞，收敛域为(-∞, +∞).(6)R=1n n ∞n a a lim +→=1n 1n nn ∞n )2(3)2(3n 1n lim ++→-+-+⋅+=1n n∞n 3233321n 1n lim +→⎪⎭⎫⎝⎛-+⎪⎭⎫⎝⎛-+⋅+=31. 又当x=31时，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=4，原级数发散. 当x=-31，n 1n ∞n u u lim +→=34)2(3)2(31n n lim n n 1n 1n ∞n ⋅-+-+⋅+++→=2，原级数发散. ∴x+1∈(-31,31)，原级数的收敛域为(-34,-32). (7)∵1=n n 1n ⋅≤n n1211+⋯++≤n n →1 (n →∞)，∴R=1. 又当x=±1时，n ∞n)1()n1211(lim ±+⋯++→≠0，∴原级数发散. ∴原级数的收敛域为(-1,1).(8)∵n1n ∞nu u lim +→=22n n1n 1)(n ∞n x 22xlim ⋅++→=2x lim 12n ∞n +→=⎪⎩⎪⎨⎧>∞+=<1|x |1|x | ，211|x | 0，，，∴R=1， 且当x=±1时，原级数收敛. ∴原级数的收敛域为[-1,1].2、应用逐项求导或逐项求积方法求下列幂级数的和函数(应同时指出它们的定义域)：(1)∑∞=++0n 12n 12n x ；(2)∑∞=1n n nx ；(3)∑∞=+1n nx )1n (n ；(4)∑∞=1n n 2x n . 解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=12n 32n lim ∞n ++→=1，又当x=±1时，级数∑∞=+±0n 12n 1发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S ’(x)=∑∞=+'⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+0n 12n 12n x =∑∞=0n 2nx =2x 11-, ∴S(x)=⎰x 02t -1dt =21ln x -1x 1+, x ∈(-1,1). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n nnx =x ∑∞=1n 1-n nx =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n nt dt=∑∞=1n n x =x 11-，∴f(x)='⎪⎭⎫ ⎝⎛-x 11=2x )1(1-. ∴S(x)=2x )1(x-, x ∈(-1,1). (3)∵R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n (n 1)n(n lim ∞n +++→=1，又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且⎰xS(t)dt=∑⎰∞=+1n xn1)t n(n dt=∑∞=+1n 1n nx=x ∑∞=1n nnx =22x)1(x -. ∴S(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-22x)1(x =3x )1(2x-, x ∈(-1,1). (4)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n n lim →=1，∴R=1. 又当x=±1时，原级数发散； ∴幂级数的和函数S(x)定义在(-1,1)，且S(x)=∑∞=1n n2x n =x ∑∞=1n 1-n 2x n =xf(x).∵⎰x0f(t)dt=∑⎰∞=1n x1-n 2t n dt=∑∞=1n n nx =2x )1(x -，∴f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡-2x)1(x=3x )1(x 1-+. ∴S(x)=32x)1(x x -+, x ∈(-1,1).3、证明：设f(x)=∑∞=0n nn x a 当|x|<R 时收敛，若∑∞=++0n 1n nR 1n a 也收敛，则 ⎰Rf(x )dx=∑∞=++0n 1n n R 1n a . 应用这个结论证明：⎰+10x 11dx=ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).证：∵∑∞=++0n 1n n R 1n a 收敛，补充定义f(x)=∑∞=++0n 1n n R 1n a , x=R.则f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R]. ∴⎰R0f(x )dx=∑⎰∞=0n R0nn x a dx=∑∞=++0n 1n nR 1n a . 对幂级数∑∞=1n 1-n 1-n x(-1)=x 11+, 又当x=1时，∑∞=+1n 1n n 1(-1)收敛，∴⎰+10x 11dx= ln2=∑∞=+1n 1n n 1(-1).4、证明：(1)y=∑∞=0n 4n (4n)!x 满足方程y (4)=y ；(2)y=∑∞=0n 2n )(n!x 满足方程xy ”+y ’-y=0. 证：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n (4n)!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 4n (4n)!x =∑∞=1n 1-4n 1)!-(4n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 1-4n 1)!-(4n x =∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x ；y ”’='⎥⎦⎤⎢⎣⎡∑∞=1n 2-4n 2)!-(4n x =∑∞=1n 3-4n 3)!-(4n x ；y (4)=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡1n 3-4n 3)!-(4n x =∑∞=1n 1)-4(n 1)]!-[4(n x =∑∞=0n 4n (4n)!x =y. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n 2∞n )(n!1lim →=0，∴R=+∞，收敛域为(-∞, +∞). 从而在(-∞, +∞)逐项微分得：y ’=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 2n )(n!x =∑∞=0n 1-n n!1)!-(n x ；y ”=∑∞='⎥⎦⎤⎢⎣⎡0n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=0n 2-n n!2)!-(n x . 则 xy ”+y ’=x ∑∞=1n 2-n n!2)!-(n x +∑∞=1n 1-n n!1)!-(n x =∑∞=1n 21-n ]1)!-[(n x =∑∞=0n 2n )(n!x =y. ∴xy ”+y ’-y=0.5、证明：设f 为∑∞=0n n n x a 在(-R,R)上的和函数，若f 为奇函数，则原级数仅出现奇次幂的项，若f 为偶函数，则原级数仅出现偶次幂的项. 证：∵f(x)=∑∞=0n nn x a , x ∈(-R,R)；∴f(-x)=∑∞=0n n n n x a (-1).若f 为奇函数，即f(-x)=-f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=-∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =-a n ,当n=2k-1时，成立；当n=2k 时，a 2k =0. 即f(x)=∑∞=1k 1-2k 1-2k x a .若f 为偶函数，即f(-x)=f(x)，则∑∞=0n nn nx a (-1)=∑∞=0n n n x a 得(-1)n a n =a n ,当n=2k 时，成立；当n=2k-1时，a 2k-1=0. 即f(x)=∑∞=0k 2k 2k x a .6、求下列幂级数的收敛域：(1)∑+n n n b a x (a>0,b>0)；(2)nn x n 112∑⎪⎭⎫ ⎝⎛+.解：(1)∵R=1n n ∞n a a lim +→=n n 1n 1n ∞n b a b a lim ++++→=max{a,b}，又当|x|=R 时， nn n∞n b a R lim +→=1≠0，∴原级数的x=±R 发散，收敛域为(-R,R). (2)∵n n ∞n|a |lim →=n n ∞n 2n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=n∞n n 11lim ⎪⎭⎫⎝⎛+→=e ，∴R=e 1， 又当x=±e 1时，nn ∞n e 1n 11lim 2⎪⎭⎫⎝⎛±⎪⎭⎫ ⎝⎛+→≠0，∴原级数在x=±e 1发散， 收敛域为(-e 1,e1).7、求下列幂级数的收敛半径：(1)n n n x n](-1)[3∑+；(2)a+bx+ax 2+bx 3+… (0<a<b).解：(1)∵n n ∞n|a |lim →=n n∞n n 4lim →=n ∞nn4lim →=4，∴R=41. (2)∵n n ∞n|a |lim →=n ∞n b lim →=1，∴R=1.8、求下列幂级数的收敛半径及其和函数：(1)∑∞=+1n n 1)n(n x ；(2)∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x ；(3)∑∞=+2n n2x 1n )1-n (. 解：(1)R=1n n ∞na a lim +→=1)n(n )2n )(1n (lim ∞n +++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=+1n n 1)n(n x =∑∞=++1n 1n 1)n(n x x 1=x 1f(x).∵f ”(x)='⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+∑∞=+1n 1n 1)n(n x =∑∞='⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛1n nn x =∑∞=0n n x =x -11. ∴f ’(x)=⎰xt-11dt=-ln(1-x)；f(x)=⎰--x 0)t 1ln(dt=(1-x)ln(1-x)+x. 又当x=1时，S(1)=∑∞=+1n 1)n(n 1=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-→1n 11lim ∞n =1；当x=0时，S(0)=0. ∴S(x)=⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+ 0x ，0 1x ，10x 1x 1，1x)-ln(1x x-1且. (2)R=1n n ∞na a lim +→=2)1)(n n(n )3n )(2n )(1n (lim ∞n +++++→=1. 又当x=±1时，原级数收敛. ∴收敛域为[-1,1]. 记S(x)=∑∞=++1n n 2)1)(n n(n x =∑∞=+++1n 2n 22)1)(x n(n x x 1=2x 1f(x). ∵f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡++1n 2n 2)1)(x n(n x=∑∞=++1n 1n 1)n(n x =x ∑∞=+1n n 1)n(n x =(1-x)ln(1-x)+x.∴f(x)=t]t)-t)ln(1-[(1x 0+⎰dt=-21(1-x)2ln(1-x)+43x 2-21x.又当x=0时，S(0)=0；当x=1时，S(1)=f(1)=41.∴S(x)=⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==≠<≤-+- 0x ，0 1x ，410x 1x 1，432x 1-x)-ln(12xx)-(122且 . (3)R=1n n ∞n a a lim +→=1)(n n 2)(n )1-n (lim 22∞n ++→=1. 又当x=±1时，原级数发散. ∴收敛域为(-1,1). 记S(x)=∑∞=+2n n 2x 1n )1-n (=∑∞=++2n 1n 21n x 1)-(n x 1=x 1f(x). f ’(x)=∑∞=+'⎥⎦⎤⎢⎣⎡+2n 1n 21n x 1)-(n =∑∞=2n n 2x )1-n (=x 2∑∞=2n 2-n 2x )1-n (=x 2g(x). ⎰xg(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n 2t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x )1-n (=x ∑∞=2n 2-n x )1-n (=xh(x).⎰xh(t)dt=∑⎰∞=2n x2-n t)1-n (dt=∑∞=2n 1-n x =∑∞=1n n x =x-1x. ∴h(x)='⎪⎭⎫⎝⎛x -1x =2x )-(11；g(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡2x)-(1x =3x )-(1x 1+；f(x)='⎥⎦⎤⎢⎣⎡+332x)-(1x x =42x)-(1x 42x +； 又当x=0时，S(0)=0；∴S(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=<+0x 0，1|x |，x )-(1x424.9、设a 0, a 1, a 2,…为等差数列(a 0≠0). 试求： (1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径；(2)数项级数∑∞=0n nn2a 的和数. 解：记等差数列a 0, a 1, a 2,…的公差为d ，则a n =a 0+nd ，a n =a 0+(n+1)d ，R=1n n∞n a a lim +→=1)d n (a nd a lim 00∞n +++→=1. ∴幂级数∑∞=0n n n x a 有收敛区间(-1,1). 记S(x)=∑∞=0n nn x a =∑∞=+0n n0nd)x (a = a 0∑∞=0n nx +d ∑∞=0n n nx =x 1a 0-+2x )1(dx-，当x=21∈(-1,1)时，S(21)=∑∞=0n nn 2a =2a 0+2d=2a 1. ∴(1)幂级数∑∞=0n nn x a 的收敛半径R=1; (2)数项级数∑∞=0n n n2a 的和数S=2a 1.。
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