幂级数求和问题20140616
求幂级数的和函数步骤
通常求幂级数的收敛半径和收敛区间如果幂级数有n，（n+1）和其他系数，则必须先逐项积分级数，将这些系数约化，然后将它们转换为几何级数，然后计算和。
当然，对于积分，你必须记住在将来计算级数和的导数。
同理，如果幂级数有1/N，1/（N+1）等系数，则必须先逐项导出级数项，这还需要将这些系数减去并转换成几何级数，然后用计算。
只有在将来，我们将对级数的和进行积分。
简言之，如果有导数，它将对应于将来的积分，反之亦然。
因为我们可以用微分和积分作为逆运算，这是为了恢复级数。
幂级数及其函数的计算是幂级数运算的重点和难点，具有一定的技巧。
结合多年的教学实践，介绍了求幂级数和函数的最基本方法。
关键词：幂级数；和函数积分；逐项推导收敛面积。
中图分类号：o173文献号：文献号：1008-6714（2009）02-0005-02受理日期：2008年11月27日河南内黄，讲师，高等数学及其在各专业的应用。
幂级数与函数的基本思想是：通过加、减、乘、逐项求导或逐项积分运算，将幂级数转化为已知幂级数（如几何级数求原幂级数）和函数。
下面的例子说明了求幂级数和函数的最基本方法。
首先需要求和函数的域，即幂级数的收敛区域。
很容易得到幂级数的收敛面积[这是X的公比，散度的几何级数。
注：逐项扣除后，收敛区间终点的收敛性可能发生变化。
终点需要讨论。
注：逐项积分后，收敛区间结束时的收敛性可能会发生变化。
目前，它们是发散的，因此收敛区域与收敛区间相同。
导言：这个问题可以得到一个想法。
这是串联连接。
利用几何级数的求和公式，可以求出原始幂级数的和。
当输入1时，级数是发散的，因此幂级数的收敛区域是（-上一个幂级数。
如果你想使它成为一个与X有关的常数，你可以用项积分法。
设s11如果幂级数发散，则幂级数的收敛区域为（-2n）X2N-2nx2n-。
求幂级数的和函数
幂级数是微积分中十分重要的内容之一，而求幂级数的和函数是一类难度较高、技巧性较强的问题。
求解幂级数的和函数时，常通过幂级数的有关运算（恒等变形或分析运算）把待求级数化为易求和的级数（即常用级数，特别是几何级数），求出转化后的幂级数和函数后，再利用上述运算的逆运算，求出待求幂级数的和函数。
以下总结了幂级数求和函数问题的四种常见类型：一、通过恒等变形化为常用级数的幂级数求和函数S(x) 计算幂级数的和函数，首先要记牢常用级数的和函数，再次基础上借助四则运算、变量代换、拆项、分解、标号代换等恒等变形手段将待求级数化为常用级数的标准形式来求和函数。
二、求通项为P(n)x^n的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、用先逐项积分，再逐项求导的方法求其和函数。
积分总是从收敛中心到x积分。
解法2、也可化为几何级数的和函数的导数而求之，这是不必再积分。
三、求通项为x^n/P(n)的和函数，其中P(n)为n的多项式解法1、对级数先逐项求导，再逐项积分求其和函数，积分时不要漏掉S(0)的值。
解法2、也可化为几何级数的和函数的积分求之。
四、含阶乘因子的幂级数（1）分解法：将幂级数一般项进行分解等恒等变形，利用e^x、sinx、cosx的幂级数展开式求其和函数。
一般分母的阶乘为n!的幂级数常用e^x的展开式来求其和函数，分母的阶乘为(2n+1)!或(2n)!的幂级数常用sinx、cosx的展开式来求其和函数（2）逐项求导、逐项积分法（3）微分方程发：含阶乘因子的幂级数的和函数常用解S(x)满足的微分方程的处之问题而求之。
因此先求收敛域，求出和函数的各阶导数以及在点0处的值，建立S(x)的长微分方程的初值问题，求解即得所求和函数题中的类型为第二种类型求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；2、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定出错。
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧
求幂级数的和函数通常有哪些方法与技巧全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：求幂级数的和函数在数学分析中是一个常见的问题，而求解和函数的方法与技巧也是学习数学的关键之一。
在求幂级数的和函数时，我们需要考虑到级数的收敛性、展开式、导数运算等方面，下面将介绍一些常用的方法与技巧。
一、使用对数或幂级数的性质在求解幂级数的和函数时，可以利用对数或幂级数的性质进行简化。
对幂级数进行对数运算，可以将幂级数转化为常数级数，然后利用级数性质求解。
利用级数的加法性质和乘法性质，可以将不同的级数相加或相乘，进一步简化求解过程。
二、利用级数收敛性判断在求解幂级数的和函数时，首先需要判断级数是否收敛。
常用的收敛判别法包括比较判别法、比值判别法、根值判别法等。
根据级数的收敛性，可以确定求幂级数的和函数的适用范围，避免在不收敛的情况下进行求解。
三、展开式与递推关系在求解幂级数的和函数时，可以利用展开式与递推关系简化求解过程。
通过展开级数，可以将级数转化为有限项求和的形式，进而求解和函数。
利用递推关系可以根据前一项的求和结果来求解后一项，从而加快求解速度。
四、使用导数运算五、利用变元替换在求解幂级数的和函数时，可以通过变元替换简化求解过程。
通过对级数的变元进行替换，可以将原级数转化为新的级数形式，从而简化求解过程。
利用变元替换的方法可以将级数转化为更容易求解的形式，提高求解效率。
求幂级数的和函数通常需要结合数学分析的知识和技巧进行求解。
在实际求解过程中，可以根据具体情况选择合适的方法与技巧，避免繁琐的计算过程，提高求解效率。
希望以上介绍的方法与技巧对您有所帮助，帮助您更好地理解和应用求幂级数的和函数的知识。
第二篇示例：求幂级数的和是数学分析中一个重要的问题，具有广泛的应用和理论意义。
通常来说，求幂级数的和需要使用一些方法和技巧来进行求解。
下面我们将介绍一些常用的方法和技巧，帮助我们更好地理解和解决这个问题。
1. 泰勒级数展开法泰勒级数是一种将一个函数在某点附近用一个多项式来近似表示的方法。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数在研究生入学考试中，为了求幂级数的收敛域和，常采用幂级数。
本文试图总结一些常规做法，以期对这方面有疑问的学生有所帮助。
为了简单起见，在叙述过程中忽略了收敛域问题。
毕竟，本文的目的是提供一个“求和”的程序。
但在解决问题时，必须注意收敛域问题，因为可能存在陷阱。
1、基本类型所谓的基本公式是级数和最常用的公式[公式]越基本越重要，值得单独提一下。
这种类型的典型特征是[Formula]只出现在索引中，您应该有足够的技能来查看和编写。
这里有一些例子[公式]；[公式][公式]这里需要注意的是，在实际的解题过程中，要注意[公式]符号的下标，否则容易犯低级错误[公式]简单的方法是看幂级数的第一项是[公式]还是别的什么。
一般来说，分子的基本形式和式是第一项2、展开式直接求和有五种常见的系列扩展[公式]看到形状相似，就试着遮住。
有时候有真正的价值观，比如当你看到这个公式时，直接写出来这类分母很容易看出析因，但检验相对较小，关键在于分母中存在阶乘，这使得问题更加困难。
考试很难，因为它需要特殊的技能和大量的计算，很容易一目了然。
这里有几个由易到难的例子。
[公式]当然，在这样做之前，我们必须先说明，当[公式]是[公式]时，级数的和就是[公式]。
从幂级数在其收敛域上的一致连续性，不难想象必然存在[公式]如果这道题变成了公式，难度就会高出一个数量级，这在统考中是找不到的[公式]显然，这个幂级数的收敛半径是[公式][公式]例如，【公式】（兰州大学2019年高考数学分析第一题）做一个幂级数[公式]，它的收敛域是[公式]。
找到求和函数，然后放开[公式][公式]设[公式]，则结果为[公式]3、逐项推导和逐项积分其原理是幂级数在收敛域一致收敛。
这种类型的测试是最常见的。
其主要特点是含有[公式]的公式是有理的。
如果[公式]出现在分母中，考虑推导；如果出现在分子中，考虑求积。
在解决问题的过程中，由于步骤不顺，容易打乱例1，求幂级数的和函数[公式]（2016数学3）让[公式]，然后是[公式]，[公式]，所以[公式]，然后[公式]例2，求幂级数的和函数[公式]（2014数学3）让[公式]，然后[公式]，这里，如果[公式]，就会有[公式]，我们可以通过推导得到[公式]，所以[公式]，进一步推导得到一个公式为了应付考试，必须掌握基本类型，熟悉几种公式，能够逐项积分和推导。
求幂级数的和函数
求幂级数的和函数求幂级数的和函数幂级数的和函数一、幂级数的运算：∞∞∑∑设an⋅xn与bn⋅xn两个幂级数，收敛半径分别为R1,R2,则在它们n=0n=0的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：∞∞∞∑∑∑λan⋅xn±μbn⋅xn=(λan±μbn)xnn=0n=0n=0其中λ、μ为常数。
当R1≠R2时，上式的收敛半径为R=min{R1,R2ii乘法和除法：∞∞∞∑∑∑anxn⋅bnxn=c0xnn=0n=0n=0其中cn=a0bn+a1bn−1+⋅⋅⋅+anb1二、和函数：∞∑∑设∞anxn的收敛半径为R(R>0)，S(x)=anxn为和函数，则有以下性质n=0n=0成立i和函数在（-R,+R）内可导，并且有逐项求导同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii由此，和函数S（x）在（-R,+R）内任意次可导，并有逐项求导公式：∞∑S(k)(x)=(anxn)(k)n=0∞∑=n(n−1)(n−2)⋅⋅⋅(n−k+1)anxn−kn=0它的收敛半径仍然为R。
iii在（-R,+R）内逐项积分公式成立∫∑∫∑x∞xS(t)dt=0n=00antndt=∞n=0anxn+1n+1并且，逐项积分后收敛半径也不变∞∑iv若幂级数anxn在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n=0（A）∞∑limx→R−S(x)=n=0anRn∞∑limx→R+S(x)=n=0求幂级数的和函数的方法，通常是：1、或者先定积分后求导，或先求导后定积分，或求导定积分多次联合并用；21132、运用公比小于1的无穷等比数列求和公式。
需要注意的是：运用定积分时，要特别注意积分的下限，否则将一定5261出错。
扩展资料幂级数它的结构简单，收敛域是一个以为中心的区间（不一定包括端点），并且在一定范围内具有类似多项式的性质，在收敛区间内能进行逐项微分和逐4102项积分等运算。
例如幂级数∑(2x)^n/x的收敛区间是[-1/2,1/2]，幂级数∑[(x-21)^n]/(n^2)的收敛区间是[1，3]，而幂级数∑(x^n)/(n!)在实数轴上收1653敛。
幂级数的和函数怎么求例题
幂级数的和函数怎么求例题在数学分析中，幂级数是一种形式为$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的函数级数，其中$a_n$是常数系数，$x$是自变量。
求幂级数的和函数是很常见且重要的问题，在本文中，将介绍求解幂级数的和函数的方法，并通过例题进行说明。
首先，我们考虑如何求解一个简单的幂级数的和函数。
假设我们有幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$，其中$a_n$是已知系数。
为了求解该幂级数的和函数，我们需要找到该级数的收敛域，并尝试找到一个函数，使得当$x$在该收敛域内时，该函数的幂级数展开式与原幂级数相等。
如果我们成功找到这个函数，那么这个函数就是原幂级数的和函数。
为了找到和函数，我们可以利用幂级数的收敛性质和函数的连续性质。
当给定一个幂级数时，我们可以通过应用比值判别法、根值判别法或幂级数的收敛定理来确定该级数的收敛域。
在这里，我们不会详细讨论这些收敛性判别法则，但我们要记住关于幂级数的收敛域的一些基本事实。
现在，让我们通过一个例题来说明求解幂级数的和函数的方法。
考虑幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$。
为了求其和函数，我们需要确定该级数的收敛域。
利用根值判别法，我们发现该级数的收敛半径为无穷大，即该级数在整个实数域上收敛。
因此，我们可以说这个幂级数是一个在整个实数域上收敛的幂级数。
接下来，我们希望找到一个函数$f(x)$，使得当$x$在整个实数域上时，该函数$f(x)$的幂级数展开式与原幂级数$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$相等。
回忆到指数函数$e^x$的幂级数展开式为$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，我们观察到原幂级数与指数函数的幂级数展开式非常相似。
因此，我们猜测原幂级数的和函数为$f(x) = e^x$。
为了验证这个猜测，我们需要证明$f(x) = e^x$在整个实数域上确实满足原幂级数的幂级数展开式。
幂级数的和函数
幂级数的和函数一、 幂级数的运算：设与0nn n a x∞=⋅∑0n nn bx ∞=⋅∑两个幂级数，收敛半径分别为1R ,2R ,则在它们的公共收敛域内可以进行如下的四则运算：i加法和减法：nnnn n n ax b xλμ∞∞==⋅±⋅∑∑=()n nn n ab x λμ∞=±∑其中λ、μ为常数。
当12R R ≠时，上式的收敛半径为12min{,}R R R =ii 乘法和除法：00nnn n n n n a x b x c x ∞∞∞===⋅=∑∑∑n 1其中011n n n n c a b a b a b −=++⋅⋅⋅+二、 和函数： 设的收敛半径为R (R>0)，为和函数，则有以下性质成立0nn n a x∞=∑0()nn n S x a x ∞==∑i 和函数在（-R,+R ）内可导，并且有逐项求导公式：10()()n n n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑且，同时求导之后，幂级数的收敛半径不变。
ii 由此，和函数S （x ）在（-R,+R ）内任意次 可导，并有逐项求导公式：()()()()(1)(2)(1)k n k n n n kn n S x a x n n n n k a x∞=∞−===−−⋅⋅⋅−+∑∑它的收敛半径仍然为R 。
iii 在（-R,+R ）内逐项积分公式成立1000()1xxnn n n n n a S t dt a t dt n ∞∞+====+∑∑∫∫并且，逐项积分后收敛半径也不变iv 若幂级数在X=R(-R)出收敛，则该幂级数：n n n a x ∞=∑（A ） 0lim ()nn x R n S x a R ∞→−==∑lim ()()n n x R n S x a R ∞→+==−∑（B ） 可以在[0,R]或者[-R,0]上逐项积分，即：100()1Rn n n a S x dx n ∞+==+∑∫ 010()()1n n n Ra S x dx R n ∞+=−−=−+∑∫（C ） 逐项求导之后的级数1()()nn n n n n S x a x na x ∞∞−==′′==∑∑在X=R(-R)处可能发散。
如何求幂级数的和函数
如何求幂级数的和函数
首先求出幂级数的收敛半径与收敛域,然后可通过以下几种方法求幂级数的和函数:
(1)变量替换法——通过变量替换,化为一较简单的幂级数.
(2)拆项法——将幂级数分拆成两个(或几个)简单幂级数的和.
(3)逐项求导法——通过逐项求导得出另一幂级数,而此幂级数的和函数是不难求得的;然后再通过牛顿莱布尼兹公式,得到原幂级数的和函数.
(4)逐项积分法——通过逐项求积得出另一幂级数,而此幂级数的和函数是可以求得的;然后再通过求导数,得到原幂级数的和函数. 一般通过逐项求导逐项积分向等比级数转化，系数含有
n!，向e x 的幂级数展开形式转
化，系数含有2n!,2n1!向sin x,co s x 展开形式转化．
注意:上述运算过程在幂级数的收敛区间内总是可行的(而在幂级数的收敛域上却不一定可行).因此,我们一般只限定在幂级数的收敛区间内进行上述运算,由此得到在收敛区
间上的和函数,而求幂级数在其收敛域上的和,还需要讨论在端点的函数值,利用函数在端点的左(右)连续性来求.
还需指出,这里所介绍的方法,仅仅是可供选择的几种途经. 对具体问题,常常要综合利用上述方法,或寻求其他方法才能得到问题的解.。
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ln 2.
n在分母上先导后积
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1112B 求级数
un 1 (n 1)( x 1) 解: 由 lim lim | x 1|, n u n n n 当 | x 1| 1, 时级数收敛
( n 1)( x 1) 的收敛域及和函数. 并求 n 1 的值. n 2 n 0 n＝0
n 0
1112B 求级数
n 1 的值. n 并求 ( n 1)( x 1) 的收敛域及和函数. n 2 n＝0 n 0 n 解: 对x 0, 2， s ( x) ( n 1)( x 1)
n 0
x
1
s(t ) dt n 1 (t 1) dt ( x 1)
s( x) s(0)
1 n 2 n n 1
x
0
1 s( x) d x 0 d x ln(1 x). 1 x
x
x [1,1).
ln 2.
n在分母上先导后积
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求幂级数
1213高数B 1 的和函数 并求 n 的值. n 1 2 n
对x 0, 2，
x 1 n 0
在 0, 2内设级数的和函数为 , S x ,
易知x 2和x 0时, 原级数发散,所以收敛域为 0， 2 .
S t dt n 1 (t 1) dt ( x 1)
x n 1 n 0
n1
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若幂级数 在收敛域上连续．
的收敛半径
则其和函
若幂级数在收敛区间的左端点 x R 收敛, 则其和函
x R n 0
在收敛区间的左端点 x R 右连续,
n x R
lim S ( x ) an ( R )
lim S ( x ) an R n
n 0
若幂级数在收敛区间的右端点 x R 收敛, 在收敛区间的右端点 x R 左连续, 说明：这一性质在求某些特殊的数项级数之和时，非 则其和函 常有用。
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求幂级数的和函数的技巧: 求导取分母，积分去分子 n在分子上,利用 n在分母上,利用
当幂函数的系数是n的有理整式(n在分子上),先逐 项积分把n约去,在逐项求导求和函数.
时级数收敛
的和函数.
当 x 1, 2 当 x 1,
1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n 1 1 当x 1 时,级数为 , 此级数发散; n 1 2n
时级数发散
故收敛半径为 R 1.
收敛域为(1,1).
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结束
1011B
利用逐项求导或逐项积分，求级数
求幂级数的和函数的方法: 先通过幂函数的代数运算和逐项求导,逐项积分等 性质转化为两类典型的幂级数求和问题:
nx
n 1 n 1 n
n 1
与x . n 1 n
n
n
1 x 1 x , x 1 n 0
n
1 1 nx ( x ) ( x ) ( , 1) 2 (1 x) 1 x n 1 n 1 n 1 x (1,1) x 1 x x n x n1 n 1 dt ln(1 x) t dt ( t )dt 0 1 t 0 0 n 1 n n 1 n 1 x [1,1)
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1 2 n 1 例 求 1 x 的和函数. 2n 1 n 0
n
2n 1 2 2 un1 ( x) x 2n 1 x x lim 2 n1 lim 解: lim n 2n 1 n u ( x) n 2n 1 x n
n
所以当 | x 1| 1,即0 x 2 时，原级数收敛 .
当x 0时,级数为 (1) (n 1), 发散;
n
当 | x 1| 1, 时级数发散
故收敛半径为 R 1.
当x 2时,级数为 (n 1), 发散.
n 0
收敛域为(0, 2).
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解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 , x = 1 时级数发散,
x 1 x x x n 1 n 1 dt ln(1 x) t dt ( t )dt 0 0 0 1 t n 1 n n 1 n 1
n
ln(1 x), x [1,1)
故收敛半径为 R 2.
原级数的收敛域为 1,Biblioteka .目录 上页 下页 返回 结束
1011B
利用逐项求导或逐项积分，求级数
3 5 2 n 1
解:
2
x x x x 3 5 2n 1 un1 ( x) 2n 1 2 lim | | lim x x2 n u ( x ) n 2n 1 n
2 n1
当 x 2 1, 当 x 1,
2
时级数收敛
时级数发散 (1) n 当x 1 时, 级数为 , 收敛; n 0 2n 1 (1) n 1 当 x 1 时, 级数为 , 收敛. n 0 2n 1
故收敛半径为 R 1.
原级数的收敛域为 [1,1]. n在分母上先导后积
x
0
1 2n (t ) dt t n 1
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0910B n n 1 求级数 ( n 1)( x 1) 的收敛域及和函数. 并求 n 的值. n0 n＝0 2
un 1 (n 1)( x 1) lim | x 1|, 解: 由 lim n u n n n 所以当 | x 1| 1,即0 x 2时，原级数收敛.
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1213B.
1 的收敛域及和函数 并求 n 的值. n 1 2 n
1213高数B
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 ,
收敛 , x = 1 时级数发散,
xn s ( x) , s(0) 0, n 1 n n n 1 xn 1 x nx n 1 s( x) ( ) ( ) x 1 x n 1 n n n 1 n 1 n n 1
x x x 3 5
3
5
x 2n 1
S (0) 0,
2 n 1
的和函数.
在( 1,1)内,
x 2 n 1 S( x) , n 1 2n 1
x 2 n 1 2n 2 1 2n S x ( ) x x n 1 2n 1 n 1 1 x2 n 0 x x 1 S ( x ) S (0) S ( x )dt dt 2 0 0 1 x x (1,1). 1 1 x ln . 2 1 x
当幂函数的系数是n的有理分式(n在分母上),先逐 项求导把n约去,在逐项积分,求和函数.
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在区间 1,1 内的 (1)n 的和. 和函数， 并求级数 n n 1 (2n 1)3 1 n 2 n 1 1 n 1 2 n 1 S ( x ) ( 1) x 解: (1) x 2n 1 n 1 2n 1 n 0 S (0) 0, 两端求导得 1 n 1 2 n 2 n , x 1,1 S ( x) (1) x ( x ) 2 1 x n 0 n 0 x x 1 arctan x . dx S ( x) S (0) S( x) dx 0 0 x (1,1). 1 x2 (1)n (1)n 1 (1)n n 2n 2 n 1 (2 n 1)3 (2 n 1)( 3) 3 (2 n 1)( 3) n 1 n 1 n 1 1314C.
x 1 . 2 x
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对上式两边求导，得
d x x 1 1 s ( x) S t dt ( ) . 2 1 dx 2 x (2 x)
0 x 2
从而
n 1 1 n (n 1)( ) n 2 n＝0 2 n＝0 1 | 4. 2 x 1 1 2 (2 x )
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结束
1314C.
在区间 1,1内的 (1)n 的和. 和函数， 并求级数 n n 1 (2n 1)3
(1)n 1 (1)n 解: n 2 n 1 (2 n 1)3 3 n1 (2n 1)( 3) n 1
1 1 1 1 S( ) arctan 3 3 3 3 3 1 . 18 3 6
x n n 0 1 n 0
n 1
x 1 . 2 x
对上式两边求导，得
d x x 1 1 s ( x) s t dt ( ) . 2 1 dx 2 x (2 x)
0 x 2
4.
x1 1 2
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从而
1 n 1 1 n (n 1)( ) 2 n (2 x ) 2 2 n＝0 n＝0
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1 例 求 1 x 2 n1 的和函数. 2n 1 n 0
n
解 设S x (1) n