函数的幂级数展开
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
常用的幂级数展开式
常用的幂级数展开式1. 什么是幂级数展开式幂级数是一种特殊的函数表示形式，它可以被展开为一个无穷序列的项。
幂级数展开式是将一个函数用幂级数表示的方法，可以将复杂的函数简化为无穷项的和，从而方便进行数学分析和计算。
幂级数展开式的一般形式为：f(x)=a0+a1x+a2x2+a3x3+⋯其中，f(x)是要展开的函数，x是自变量，系数a0,a1,a2,a3,⋯是展开式的项系数。
2. 常见的幂级数展开式2.1 泰勒级数展开式泰勒级数是幂级数的一种特殊形式，其展开式为：f(x)=∑f(n)(a) n!∞n=0(x−a)n其中，f(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
泰勒级数展开式适用于将任何函数在某一点附近展开，并可以通过选取适当的展开点和截取适当的项来逼近原函数。
2.2 麦克劳林级数展开式麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情况，展开式为：f(x)=∑f(n)(0) n!∞n=0x n麦克劳林级数展开式适用于将任何函数在原点附近展开，即展开点为a=0。
2.3 常见的函数的幂级数展开式以下是几个常见函数的幂级数展开式：•指数函数的展开式：e x=∑x n n!∞n=0•正弦函数的展开式：sinx=∑(−1)n (2n+1)!∞n=0x2n+1•余弦函数的展开式：cosx=∑(−1)n (2n)!∞n=0x2n •对数函数的展开式：ln(1+x)=∑(−1)n−1n∞n=1x n3. 幂级数展开的应用幂级数展开式在数学和物理的许多领域中有着广泛的应用。
3.1 数值计算幂级数展开式可以用于近似计算各种函数的值。
通过截取幂级数展开式的有限项，可以得到函数值的近似解，能够在计算机上进行快速高效的数值计算。
3.2 函数逼近幂级数展开式可以将任何函数逼近为一个无穷项的和，从而可以用有限的项来近似表示一个复杂的函数。
这在数值分析和计算机图形学中具有重要的应用，例如图像处理、曲线拟合等。
3.3 物理建模物理学中的许多现象和物理量可以用幂级数展开式来描述，例如电磁场、波动方程等。
函数的幂级数展开式
1 + ( −4 ) n n x , = ln 4 − ∑ n n4 n =1
∞
x ∈ (− 1, 1] −
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n−1
n =1
∞
xn x2 x3 − = x− + − L , x ∈ (−1, 1] n 2 3 18
例9 将 f (x) = xarctanx −ln 1+ x 展 成 开 麦
n= 3
⇒ f ′′′( 0) = 3! a 3
f ′′′(0) ⇒ a3 = 3!
4
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
n=0
∞
归纳可得， 归纳可得，
f ( k ) ( 0) ak = k!
即得
( k = 0,1,2 L)
∞
16
1 的幂级数. 展开成 x 的幂级数. 例7 将 f ( x ) = 2 x + 4x + 3
解
1 1 f ( x) = 2 = x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3 )
1 1 1 1 1 1 = − = 2(1 + x ) − 6 ⋅ 1 + x / 3 2 x + 1 x + 3
− x2
展开成 x 的幂级数. 的幂级数.
e =∑
x nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
2 n ∞ n
n
所以
e
−x
2
函数的幂级数展开
Rn (x) (x − x0 )n+1
=
Rn (x) − Rn (x0 ) (x − x0 )n+1 − 0
=
(n
Rn (1) +1)(1 − x0 )n
(1 在x0与x之间),
= Rn (1) − Rn (x0 ) (n +1)(1 − x0 )n − 0
=
Rn(2 ) n(n +1)(2 − x0 )n−1
7
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铃
(3) 当 n = 0 时，泰勒公式变成拉格朗日中值公式
f ( x) = f ( x0 ) + f ( )( x − x0 ) .
(4) 因为
lim lim x→x0
Rn (x) (x − x0 )n
=
x→ x0
f (n+1) ( )( x − x0 ) = 0 ,
所以 R n ( x ) = o[( x − x0 ) n ] . 佩亚诺(Peano)型余项
f (0) + f (0) x + f (0) x 2 + + f (n) (0) x n +
2!
n!
为 f (x) 的麦克劳林级数.
3
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2. 泰勒(Taylor)公式
泰勒中值定理 如果函数 f (x) 在含有 x0 的某个开 区间 (a , b) 内具有直到 n + 1 阶的导数，则对任一
(2
在x0与1之间),
=
=
R (n+1) n
(
)
(n +1)!
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式是将一个函数表示成幂函数的和的形式，即
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。
这个
等式表示了函数f(x)在某个点(可以是无限远)附近的展开形式。
当x接近0的时候，这个级数可以收敛到函数f(x)。
幂级数展
开式的一个常见形式是泰勒级数展开式。
泰勒级数展开式是一种特殊的幂级数展开式，用于将一个光滑函数表示成无穷级数的形式。
泰勒级数展开式的一般形式是：
f(x) = a_0 + a_1*x + a_2*x^2 + a_3*x^3 + ...
其中a_0, a_1, a_2, a_3, ...是待定的常数系数，x是变量。
这个
级数的系数可以通过函数在某个点处的导数来计算。
泰勒级数展开式在数学分析和物理学中有广泛的应用，可以用于近似计算函数的值、求导和积分等问题。
函数的幂级数展开
f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证 把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n
n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
幂级数展开公式
幂级数展开公式
按照马克劳林公式的一般形式f(x)=n*f^(n) 连加(n从0到无穷)x^n*f^(n)(0)/n!展开（其中f^(n)(0)表示f的n阶导数在0点的值），只不过最后的每项的形式没什么规律（这也取决于f^(n)(0)的值）。
麦克劳林公式是泰勒公式的一种特殊形式。
1、麦克劳林级数是幂级数的一种，它在x=0处展开。
2、那些特定初等函数的幂级数展开式就是泰勒级数的特定形式，没什么太小区别。
用泰勒公式求极限有时可以达到事半功倍之效。
麦克劳林公式的意义就是在0点，对函数展开泰勒进行。
年maclaurin在访问伦敦时见到了newton，从此便成为了newton的门生。
年编写名著《流数论》，就是最早为newton流数方法作出了系统逻辑阐释的著作。
他以娴熟的几何方法和穷竭法论证了流数学说道，还把级数做为谋分数的方法，并单一制于cauchy以几何形式得出了无穷级数发散的分数辨别法。
他获得数学分析中知名的maclaurin级数展开式，用未定系数法给与证明。
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教案函 数 的 幂 级 数 展 开复 旦 大 学 陈纪修 金路1． 教学内容函数的幂级数（Taylor 级数）展开是数学分析课程中最重要的内容之一，也是整个分析学中最有力的工具之一。
通过讲解将函数展开成幂级数的各种方法，比较它们的优缺点，使学生在充分认识函数的幂级数展开的重要性的基础上，掌握如何针对不同的函数选择最简单快捷的方法来展开幂级数，提高学生的计算与运算能力。
2．指导思想（1）函数的幂级数（Taylor 级数）展开作为一个强有力的数学工具，在分析学中占有举足轻重的地位。
通常的数学分析教科书往往注重于讲解幂级数的理论，而忽视了讲解将函数展开成幂级数的方法，这样容易造成学生虽然掌握了幂级数的基本理论，但在实际计算中，即使对于一个很简单的函数，在求它的幂级数展开时也会感到很困难，这种状况必须加以改变。
（2）求函数的幂级数展开是每个数学工作者时时会碰到的问题，虽然我们有函数的幂级数展，但一般来说，直接利用（*）式来求函数的幂级数展开往往很不因此有必要向学生介绍一些方便而实用的幂级数展开方法，提高学生的实际计算能力，3. f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中能级数：（*).,(0r x O(1) x ∈(-∞, +∞)。
(2) =+0!)12(n n )!12()1(!5!31253+-+-+-=+n x x x x n n+ …, x ∈(-∞, + ∞)。
(3) f (x ) = cos x = ∑∞=-02!)2()1(n nn x n)!2()1(!4!21242n x x x nn -+-+-= + …, x ∈(-∞, + ∞)。
(4) f (x ) = arctan x = ∑∞=----112112)1(n n n xn 12)1(531253+-+-+-=+n x x x x n n + …, x ∈[-1, 1]。
(5) f (x ) = ln (1 + x ) = ∑∞=+-11)1(n nn x nnx x x x x nn 1432)1(432--++-+-= + …, x ∈(-1, 1]。
(6) f x x ()()=+1α，α≠0是任意实数。
当α是正整数m 时，f (x ) = (1 + x )m = 1 + mx +22)1(x m m -+ … + 1-m mx + x m ，x ∈(-∞, +∞) 即它的幂级数展开就是二项式展开，只有有限项。
当α不为0和正整数时，∑∞=α⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛α=+0)1(n n x n x , ⎪⎩⎪⎨⎧><<--≤-∈-∈-∈.0,01,1],1,1[],1,1(),1,1(ααα当当当x x x 其中 ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n α= !)1()1(n n +-α-αα , (n = 1,2,…) 和10=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛α。
设函数f (x )在 x 0 的某个邻域O (x 0, r )中任意阶可导，要求它在O (x 0, r )中的幂级数展开，一开始就考虑利用公式（*）往往不是明智之举。
下面我们通过具体实例介绍幂级数展开的一些方便而实用的方法：1． 通过各种运算与变换，将函数化成已知幂级数展开的函数的和。
例1 的幂级数展开。
解 ⎪⎭⎫ ⎝⎛+⋅x 21172 ，)n n x +⎥⎦⎤12， ).21,21(-∈x例2 求x x f 3sin )(= 在6=x 的幂级数展开。
解 )6(3c o s 41)6(6s i n 433s i n 41s i n 43s i n )(3πππ--⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=-==x x x x x x f )6(3cos 41)6cos(83)6sin(833πππ---+-=x x x ， 利用（2）式与（3）式，即得到).,(,)6)(132()!2()1(83)6()!12()1(833)(2120012+∞-∞∈--⋅---+-=-∞=∞=+∑∑x x n x n x f n n n n n n n ππ 例3 求 )0(,ln )(>=x x x f 关于变量11+-x x 的幂级数展开。
解 令,11+-=x x t 则)10(,11<<-+=t ttx 。
利用（5）式，即得到 )1ln()1ln(11ln ln t t t t x --+=-+= nn n n n t n t n ∑∑∞=∞=++-=1111)1(.0,)11(12121212112121>+-⋅+=⋅+=∑∑∞=++∞=x x x n t n n n n n2．对已知幂级数展开的函数进行逐项求导或逐项积分。
例4 求21)(xx f = 在1=x 的幂级数展开。
解 由于∑∞=-=-+==0)1()1(111)(n n x x x x g ，利用逐项求导，即可得到).2,0(,)1)(1()1()(')(101∈-+=-=-=∑∑∞=∞=-x x n x n x g x f n n n n例 5 求 f (x )= arcsin x 在0=x 的幂级数展开。
解 利用(6)式 )21(-=α，可知当x ∈(-1,1)时，n x n n 2!)!2(!)!12(-+ …，x ∈[-1, 1]。
Raabe 判别法得到。
3．对形如)()(x g x f ，)()(x g x f 的函数，可分别用 Cauchy 乘积与“待定系数法”。
设 f (x ) 的幂级数展开为∑∞=0n nn x a ，收敛半径为R 1，g(x ) 的幂级数展开为∑∞=0n n n x b , 收敛半径为R 2，则f (x )g(x )的幂级数展开就是它们的Cauchy 乘积：f (x )g(x ) = (∑∞=0n nn x a )(∑∞=0n nn x b ) =∑∞=0n n nx c,其中c n =∑=-nk kn k ba 0,∑∞=0n n nx c的收敛半径≥R min ｛R 1，R 2｝。
当b 0 ≠ 0时，我们可以通过待定系数法求)()(x g x f 的幂级数展开：设 )()(x g x f = ∑∞=0n n nx c,则(∑∞=0n nn x b ) (∑∞=0n nn x c )=∑∞=0n n nx a,分离x 的各次幂的系数，可依次得到b 0c 0 = a 0 ⇒ c 0 =a ,b 0c 1 + b 1 c 0 = a 1 ⇒ c 1 = b 0 c 2 + b 1 c 1 + b 2 c 0 = a 2 ⇒ c 2 ……一直继续下去，可求得所有的c n 。
例6 求e x sin x 的幂级数展开( 到x 5 )。
解432!5 由于x ∈(-∞, + ∞)都成立。
例7 解 c 5 x 5 + …，于是) = -+-!5!353x x x ， =152,因此tan x = x + 31x 3 + 152 x 5+ …。
4． “代入法”对于例7，我们还可采用如下的“代入法”求解：在u -11= ∑∞=0n n u = 1 + u + u 2 + … 中，以u =+-!4!242x x 代入，可得到x cos 1= 1 + (+-!4!242x x ) + ( +-!4!242x x )2 + … = 1 + x 2 + 245x 4+ …，然后求sin x 与xcos 1的Cauchy 乘积，同样得到上述关于tan x 的幂级数展开。
需要向学生指出的是，利用“待定系数法”与“代入法”求幂级数展开，我们目前无法得到它的收敛范围，而只能知道在x =0x 的小邻域中，幂级数展开是成立的（事实上，tan x 的幂级数展开的收敛范围是 (-2π, 2π)，它的证明需要用到复变函数的知识）。
“代入法”经常用于复合函数，例如形如e f (x )，ln(1 + f (x ))等函数的求幂级数展开问题。
例8 求x e x f sin )(= 在0=x 的幂级数展开( 到x 4 )解 以 +-=+-==+∞=∑6)!12()1(sin 3120x x x n x u n n n +++===∑∞=x x n x e x f n n x320sin sin 61sin 21sin 1!sin )(即可得到,81211)(42sin +-++==x x x e x f x 注 对于求函数x e x f c o s )(=在0=x 的幂能采用以-+-==42241211cos x x x u代入(f 该怎样正确使用“代入法”。
例9应理解为=≠.0,解= -+-!5!3142x x 。
令u - -+3232u u ，即得 x -!5!34) - 21( -+-!5!342x x )2 + … = ---180642x x 。
利用例9，我们可以得到一些有趣的结果。
在前面我们已得到等式x x sin = ∏∞=π-1222)1(n n x , 两边取对数，再分别将ln )1(222π-n x 展开成幂级数，ln x x sin = ∑∞=π-1222)1ln(n n x = - ∑∞=+π+π1444222)21(n n x n x 。
将上式与本例中的结果相比较，它们的x 2系数，x 4系数都对应相等，于是就得到等式∑∞=121n n= 62π, ∑∞=141n n = 904π。
如果我们在计算时更精细些，也就是将ln xxsin 的幂级数展开计算到x 6，x 8，…，还可以获得∑∞=161n n ，∑∞=181n n ，…的精确值。
注意点1． 如果)(x f 在0x 邻域的幂级数展开存在，则幂级数必然是它在 x 0 的Taylor 级数（*）；但反之则不然。
事实上，我们举出过在0x x = 任意阶可导的函数)(x f ，它在0x 的Taylor级数并不收敛于)(x f 。
但一般来说，对于有解析表达式的初等函数)(x f ，只要它在0x x = 任意阶可导，则它在0x 的Taylor 级数就是它在0x 邻域的幂级数展开。
2． 要让学生知道，遇到求函数的幂级数展开问题，不要首先想到用（*）式。
事实上，上面我们介绍的求幂级数展开的一些方法，比起直接利用公式（*）来都要方便，而学生应该学会如何在上述方法中选择一种最方便最快捷的方法。
3． 一般来说，利用“待定系数法”与“代入法” 求幂级数展开，我们往往只能求出幂级数的初始几项，而不易求出幂级数的一般项，也不易求出幂级数的收敛半径。
但是对于许多具体问题，只要求出幂级数的初始几项就够了，例如例9中的问题。
关于幂级数的收敛半径，等学生学习了复变函数课程后就很容易确定。