构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)
构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)
构造对偶式在数学解题中的应用(八种方法)构造对偶式在数学解题中的应用（八种方法）数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系的一对关系式。
在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决。
一．和差对偶对于表达式u(x)?v(x)，我们可构造表达式u(x)例１若02v(x)作为它的对偶关系式。
，且3sin??4cos??5，谋tan?的值。
解析：构造对偶式：3sin??4cos??y5?y?sin3sin??4cos??5?6则?,得3sin??4cos??y?cos??5?y?8?再由sin??cos??1，得：y??2275,?tan??34。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：a,b,c,d?r，且a?b?c?d4442222?1，44澄清：(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)?6。
求解：设m?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d),构造对偶式:n?(a?b)?(a?c)?(a?d)?(b?c)?(b?d)?(c?d)4444444444444则存有：m?n?6(a?6(a4?b?b4?c?c4?d4?2ab222?2ac22?2ad22?2bc22?2bd22?2cd)22222?d)2?6又n?0，故m?6，即为原不等式设立。
基准３解方程：x2?8x?21?x?8x?21?10x?8x?21?a，再由原方程联立可解得：22求解：结构对偶式：x2?8x?21?1xx2?8x?21??8x?21?10?a210?a2,(1),(2)1222那么(1)?(2)得：2x?42?22(100?a),(3)8x52(1)?(2)得：16x?10a，即a?代入（３）中得：2x?42?整理得：925x2222，x)，212(100?6425?4，Champsaur：x??103。
对偶问题实例
对偶问题实例
摘要：
1.对偶问题的概念介绍
2.对偶问题的实例展示
3.对偶问题的解决方法
4.对偶问题在实际生活中的应用
正文：
一、对偶问题的概念介绍
对偶问题是指在数学中，给定一个线性规划问题，通过构造另一个线性规划问题，使得两个问题的解相互关联。
对偶问题广泛应用于运筹学、优化理论等领域，它为我们解决复杂的实际问题提供了一种有效途径。
二、对偶问题的实例展示
假设有一个工厂需要生产两种产品A 和B，生产A 产品需要消耗3 个单位资源1 和1 个单位资源2，生产B 产品需要消耗2 个单位资源1 和3 个单位资源2。
现在工厂有6 个单位资源1 和4 个单位资源2，生产A 和B 产品的利润分别为20 和15。
如何分配资源以获得最大利润？
三、对偶问题的解决方法
对于上面的问题，我们可以通过构造对偶问题来求解。
首先，我们需要写出原问题的数学模型：
max 20x1 + 15x2
s.t.
3x1 + 2x2 ≤6
x1 + 3x2 ≤4
x1, x2 ≥0
然后，我们构造对偶问题。
对偶问题的解为原问题的约束条件的松弛，即：
min -20y1 - 15y2
s.t.
-3y1 + 2y2 ≥-6
-y1 - 3y2 ≥-4
y1, y2 ≥0
通过求解对偶问题，我们可以得到最优解为y1=2, y2=1，代入原问题的目标函数，可得最大利润为35。
四、对偶问题在实际生活中的应用
对偶问题在实际生活中的应用非常广泛，如供应链管理、交通规划、资源分配等。
一些经典的对偶问题解决原问题的例子
一些经典的对偶问题解决原问题的例子对偶问题是数学和计算机科学中常见的问题类型之一。
它通常通过解决与原问题对偶的问题来寻找解决方案。
下面是一些经典的对偶问题解决原问题的例子。
1. 最大化 vs. 最小化：在某些情况下，将原始问题转化为对偶问题，将最大化问题转化为最小化问题，或者反之亦然，可以更容易地解决问题。
例如，在优化算法中，最小化一个函数可能比最大化更容易处理。
通过对目标函数取负，原问题可以转化为对偶问题，从而得到一个等效的最大化问题。
2. 求和 vs. 求积：有时候，将原始问题转化为对偶问题，从求和问题转化为求积问题，或者反之亦然，可以提供更简单的解决方案。
例如，在组合数学中，对一组数值求和可能较为困难，但是求这些数值的乘积却相对容易。
因此，通过将原问题转化为对偶问题，可以得到更高效的解决方法。
3. 广义情况 vs. 特殊情况：有时，将原问题转化为对偶问题，将一个一般性的问题转化为特殊情况，或者反之亦然，可以简化问题的复杂性。
例如，在图论中，解决一个一般的图上的最短路径问题可能非常耗时，但是如果图是一颗树（特殊情况），则可以通过更简单的算法快速解决。
通过将原问题转化为对偶问题，我们可以充分利用特殊情况的性质来降低问题的难度。
4. 具体问题 vs.抽象问题：有时，将原问题转化为对偶问题，从具体问题转化为抽象问题，或者反之亦然，可以简化问题的解决方案。
例如，在计算机科学中，将具体的实现问题抽象为算法问题，可以集中注意力于算法设计的本质，而不必被实现的细节所干扰。
通过对原问题和对偶问题之间的抽象关系进行转换，我们可以更有效地解决问题。
总之，经典的对偶问题解决原问题的例子展示了将问题转化为其对偶形式可以带来很多优势。
通过改变问题的形式、角度或者性质，我们可以获得更简单、更高效的解决方案。
这些例子不仅在数学和计算机科学中有广泛应用，也揭示了问题求解中的一般思维模式。
对偶式的八种构造方法
对偶式的八种构造方法对偶式是数学中一种很酷炫的构造方法呢！那对偶式的八种构造方法到底是啥玩意儿？咱一个个来看。
第一种方法，就像搭积木一样，把式子中的某些项进行对称变换。
比如说，有个式子A+B，那它的对偶式可以是A-B。
注意哦，这可不是瞎变，得根据具体情况来，要是不小心变错了，那可就糟糕啦！这种方法在解决一些代数问题的时候超管用，就好比有了一把神奇的钥匙，可以打开难题的大门。
比如在化简复杂的多项式时，用这种对偶式的构造方法，说不定就能柳暗花明又一村呢！第二种方法呢，有点像玩镜子游戏。
把式子中的变量取反。
比如原来有个式子x+y，对偶式可以是-x-y。
这可得小心，别搞混了。
这种方法在研究函数的性质时很有用哦！想象一下，就像从不同的角度看一座山，能发现更多的美景。
第三种方法，就像是给式子穿上一件新衣服。
在式子中加入一些特殊的符号，比如绝对值、倒数啥的。
比如式子a/b，对偶式可以是b/a。
哎呀，这可不能乱加，得考虑清楚后果。
这种方法在解决比例问题的时候很厉害呢！就像有了一个魔法棒，可以变出意想不到的结果。
第四种方法，像是在玩拼图游戏。
把式子拆分成几个部分，然后分别构造对偶式，再组合起来。
比如式子ab+cd，对偶式可以是(-a)(-b)+(-c)(-d)。
这可得有耐心，一步一步来。
这种方法在解决复杂的方程问题时很有用哦！就像把一个大难题拆成小问题，逐个击破。
第五种方法，有点像变魔术。
把式子中的指数进行变换。
比如式子a^2+b^2，对偶式可以是a^(-2)+b^(-2)。
哇塞，这可太神奇了！但也得小心，别把自己绕晕了。
这种方法在研究指数函数的时候很有帮助呢！就像有了一双翅膀，可以飞得更高更远。
第六种方法，就像是在走迷宫。
把式子中的变量进行替换，然后构造对偶式。
比如式子x^2+y^2，把x 换成y，y 换成x，对偶式就是y^2+x^2。
嘿嘿，这可得有敏锐的观察力。
这种方法在解决对称问题的时候很厉害哦！就像找到了一条秘密通道，可以快速到达目的地。
构造对偶式知识点总结
构造对偶式知识点总结在数学、逻辑学和哲学中，对偶是指两个事物在某些方面上互为对立或互为补充的关系。
对偶式知识点是指一种将两个概念、观点或思想放置在对立或互补的位置上，通过对比和对称的方式来加深理解和掌握知识的方法。
对偶式知识点常常用来探讨事物的内在联系、相互作用和补充关系，它有助于我们揭示事物的本质和规律，从而更深刻地认识和把握世界。
在学习和研究过程中，我们可以借助对偶式知识点的方法来理清概念，阐述观点，展开思路，挖掘深层次的内涵和含义，从而提升我们的思维能力和认知水平。
对偶式知识点的构造和总结是一项重要的学习和研究活动，它有助于我们全面地把握知识体系，深入地理解问题，准确地把握事物的本质和规律。
在接下来的内容中，我们将针对各个学科领域中常见的对偶式知识点进行总结和归纳，以期为读者提供一些有益的参考和帮助。
一、数学中的对偶式知识点1. 实数和虚数：实数是指包括有理数和无理数在内的所有实数的集合，而虚数是实数的负数平方根。
2. 正数和负数：在数轴上，正数和负数在原点上呈现对称分布。
3. 平面几何中的对偶式知识点：点和直线、圆和直径、多边形和对角线等。
4. 函数和反函数：给定一个函数y=f(x)，如果存在函数y=g(x)，使得f(g(x))=x，g(f(x))=x，则g(x)就是f(x)的反函数。
5. 三角函数和反三角函数：正弦函数与反正弦函数、余弦函数与反余弦函数、正切函数与反正切函数等。
6. 微积分中的对偶式知识点：微分和积分、导数和积分、微分方程和积分方程等。
7. 线性代数中的对偶式知识点：向量和矩阵、矢量和标量、行列式和逆矩阵等。
8. 概率统计中的对偶式知识点：概率和统计学、随机变量和样本空间、事件和概率密度函数等。
二、逻辑学中的对偶式知识点1. 命题逻辑中的对偶式知识点：合取范式和析取范式、范式和主析取范式、补范式和合取范式等。
2. 谓词逻辑中的对偶式知识点：全称量词和存在量词、真和假、合取和析取等。
构造对偶式解题的思维模式与应用
２ 解 题 应 用
题最 终要运用化 归 的数 学思想方法 ， 通过 转化 来解决原来 的问题． 例ｌ ｆ《 数学 通报 》２ １ ４ ６ 征解题 ） 若ｎ Ｅ
侈 ２ 解 方 程 ＝ 、 ／ ／ 一 ＋ 、 ／ 一 ． 解 ： 对 原 方 程 ＝ 、 ／ ／ 一 ＋ 、 ／ ／ 一 ， 构 造 对 偶 式 ＝ 、 ／ ／ 一 一 、 ／ ／ 一 ．
两 式 相 加 得 ＋ ＝ ＝ ： ２ 、 ／ ｚ 一 ， … … …①
两式相乘得 ＝ 一１ ， 即 ＝ ｘ－ｉ
．
Ｎ ， 则 有 不 等 式 ： 等＜ １ × ３ × 石 ５ × … ×
２ｎ 一 １
＜
ｌ
②
思 维模 式：（ １ ） 观 察到要 证不 等式 的主 干 是 由连 续 的正整 数组 合所得 的分数 累积而 成，
２ ｎ一 １ × ’
（ ２ ） 根 据 上述 Ａ式 的特 点， 考 虑到 正 整数 中的奇数 与偶数存在 天然对应 的关系， 所 以采
取奇偶法构造对偶式Ｂ＝ 三×吾×兰×… ×
２ 竹 ～ ｌ ２ ４ ｏ ０ ２ｎ 一ｆ ２
２ ． ２ 整 除 问题 例 ３ 设 是 给定 的正 整数 ， 且 ＝ ＋
４ｎ． ４ｎ 一
Hale Waihona Puke 过 上 述 运 算 后， 通 过 转 化 与 化 归，
绍构造对偶式解题 的思维模式 以及它 的广泛应
用．
即 等＜ Ａ ＜ 丽 １ ， 原 不 等 式 得 证 ．
点评 ： 上述证 明体现 了解 决数学 问题 的程
序 照 相
１ 构 造 对 偶 式 解 题 的 思 维 模 式
量 替换构造对 偶式， 使 得抽象 函数变得 不再抽
巧用对偶式解题
巧用对偶式解题
求解对偶式是解决一定机器学习问题的常用方法。
首先，定义原始问题，即要求的最优解的函数（最小化或最大化），以及可变量，然后用数
学技巧将原始问题变换为其对偶式。
对偶式是原始问题的函数的另一种形式，可以用更简单的方式描述原始问题，同时允许有效地算出最优解。
例如，设计一个模型，试图最大化一个变量x的目标函数f(x)，其中x是
一系列约束条件之间的决策变量。
这时可以将f(x)变换为其对偶式f*(y)，其中y是由变量x的约束条件生成的拉格朗日乘子。
然后使用拉格朗日乘
子来最大化f*(y)，以获得最优解x。
新课程下数学解题中的另类做法——构造“对偶”种种
— —
２ ＂ ｓ ｉ ｎ 仅
构造对偶Ｂ ＝ ｓ ｉ ｎ ｓ ｉ ｎ ２ 仅 ｓ ｉ ｎ ２ ２ ｏ ｔ ＂ ＂ ＂ ｓ ｉ ｎ ２
命题． 若 变 换前 后 的 两 个 命 题 都 是 真 命 题 ， 则 称 这 两 个 命 题 互 为对偶命题 ， 数 学 解 题 中构 造 对 偶 ， 享 受 数 学 美．
一
内： 则下 列选项 中能 够使 命题 ： “ 若ｘ 上 ｚ ， Ｙ 上 ｚ ， ￣ ｌ ］ １ ｘ ／ ／ ／ ｙ ” 成 立的
序号 是 ．
①ｘ ， Ｙ ， ｚ 表示空间不同的直线。 ｘ ， Ｙ ， ｚ 表示空 间不 同的平 面。 ③ｘ ， ｙ 表示空间不同的直线 ， ｚ 表示平面。 ④ｘ ， ｙ 表示空间不 同的平面 ， ｚ 表示 直线 。 ⑤ｘ ， ｚ 表示空 间不 同的直线 ， ｙ 表示平 面。
１ ． 构 造“ 直线” 与“ 平面” 对偶 。 再造“ 新像” 新课程人教版高中数学必修２ 中 。在 研 究 直线 与 直 线 ， 直 ’ 线 与 平 面 及 平 面 与 平 面 的 位 置关 系 时 ，发 现 将 一 些 命 题 中 直 线、 平 面对 换 后 ， 真命题仍是真命 题 ， 假命题仍 是假命题 ， 这 正 是直线 、 平 面 一 种 和谐 的对 偶 。
．
则Ａ Ｂ ： ￥ ｉ ｎ ２ 仪 ８ ｉ ｎ ２ ２ 仪 ｓ ｉ ｎ ２ ３ 仪 …… ｓ ｉ ｎ ２ ＂ － ｌ ｏ ｔ ＝ Ｂ ． ＿ ｓ ｎ ｉ 三
２ “ ｎ ２ ＂ ｏ ｔ 故有Ａ ＝ｓ ｉ 即ｃ ０ ｓ ｃ 。 ｓ ２ ２ ０ 【 …ｃ ｏ ｓ ｎ － ＝ Ｉ
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构造对偶式在数学解题中的应用（八种方法）数学中的对偶关系是指形式相似,并具有某种对称关系的一对关系式。
在数学解题过程中,合理地构造形式相似，具有某种对称关系的一对对偶关系式，并通过对这对对偶关系式进行适当的和、差、积等运算，往往能使问题得到巧妙的解决。
一． 和差对偶对于表达式()()u x v x ±，我们可构造表达式()()u x v x 作为它的对偶关系式。
例１若02πθ<<，且3sin 4cos 5θθ+=，求tan θ的值。
解析：构造对偶式：3sin 4co s y θθ-=则3sin 4co s 5,3sin 4co s y θθθθ+=⎧⎨-=⎩得5s in 65c o s 8y yθθ+⎧=⎪⎪∴⎨-⎪=⎪⎩再由22sin co s 1θθ+=，得：73,ta n 54y θ=-∴=。
点评：这种构造对偶式的方法灵巧，富有创意，有助于培养学生的创新思维和创造能力。
例２已知：,,,a b c d R ∈，且22221a b c d+++≤，求证：444444()()()()()()6a b a c a d b c b d c d +++++++++++≤。
解：444444444444()()()()()():()()()()()()M a b a c a d b c b d c d N a b a c a d b c b d c d =+++++++++++=-+-+-+-+-+-设,构造对偶式则有：4444222222222222222226(222222)6()6M N a b c da ba ca db cb dc d abcd +=+++++++++=+++≤又0N ≥，故6M ≤，即原不等式成立。
例３解方程：2282182110x x x x +++-+=解：构造对偶式：22821821x x x x a ++--+=，再由原方程联立可解得：2210821,(1)210821,(2)2a x x a xx +⎧++=⎪⎪⎨-⎪-+=⎪⎩那么22(1)(2)+得：221242(100),(3)2x a +=+22(1)(2)-得：1610x a =，即85x a =，代入（３）中得：22164242(100)225x x +=+，整理得：29425x=， 解得：103x =±。
二． 互倒对偶互倒对偶是指针对式子的结构，通过对式中的某些元素取倒数来构造对偶式的方法。
例４若,,(0,1)x y z ∈，求证：1113111x yy zz x++≥-+-+-+。
解：设111111M x yy zz x=++-+-+-+,构造对偶式：(1)(1)(1)N x y y z z x =-++-++-+，则1111(1)(1)(1)11112226M N x y y z z x x yy zz xy z+=+-+++-+++-++-+-+-+-+≥++=而3N =，故3M ≥，即1113111x yy zz x++≥-+-+-+。
例５设123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数，求证：32122211112323n a a a a nn++++≥+++。
解：设Ｍ＝32122223n a a a a n ++++，构造对偶式：12111nN a a a =+++则212212111111()()()1232n na a M N a a a a nn+=++++++≥+++又123,,,,n a a a a 为互不相等的正整数，所以111123N n≤+++，因此111123M n≥+++。
点评：解题时巧妙构思，对其构造了“意料之中”的对偶式，化新为旧，等价转化，完成对难点的突破，以达化解问题这目的。
例６已知对任意(,0)(0,)x ∈-∞⋃+∞总有1()2()0f x f x x ++=，求函数()y f x =的解析式。
解析：因1()2()0f x f x x ++= ①用1x替代上式中的x ，构造对偶式：11()2()0f f x xx++= ②由①－②×２得：12()4()0f x x f xx +--=故22()3xx f x x-=。
三． 共轭对偶共轭对偶是反映利用共轭根式或共轭复数来构造对偶式的方法。
例７已知z c ∈，解方程：313z z i z i ⋅-=+。
解析：由313z z i z i ⋅-=+ ① 构造对偶式：313z z iz i ⋅+=- ② 由①－②得2z z =--，代入②得(1)(13)0z z i ++-=， 故1z =-或13z i =-+。
例８若z c ∈，已知1z =且1z ≠±，证明：11z z -+为纯虚数。
解：设Ｍ＝11z z -+，则11()11z z M z z --==++，构造对偶式：Ｎ＝11z z -+则Ｍ＋Ｎ＝11z z -+＋11z z -+＝０（因为21z z z⋅==）又101z z -≠+（因为1z ≠±）∴11z z -+为纯虚数。
例９已知：0,0a b >>，且1a b +=，求证：212122a b +++≤。
证明：设Ｍ＝2121a b +++，构造对偶式：Ｎ＝2121a b +-+∵2224()48MMNa b ≤+=++=∴22M ≤，即原不等式成立。
四． 倒序对偶倒序对偶是指针对式子的结构，通过和式或积式进行倒序构造对偶式的方法。
例１０求和：12341234nn n n n n S C C C C n C =+++++解析：观察和式联想到*,0,k n k n n C C k n n N -=≤≤∈，故首先在和式右边添上一项00n C ⋅，则012012nn n n n S C C C n C =⋅++++ ①构造对偶式： 012(1)(2)0n n nn S n C n C n C C =+-+-+ ②即②亦为： 012012nn n n n S C C C n C =⋅++++ ③由①＋③得：011n nn n nn n C n C n C n C -++++∴011112()n nn nn n n n n n nn S n C n C n C n C n C C C C --=++++=++++∴22nS n =⋅ ∴2nS n =⋅点评：利用现成的对偶式，使问题本身变得简单，便易，如此处理，可谓“胜似闲庭信步”，岂不妙哉！例11、 正项等比数列{}n a 中，123123,n n T a a a a S a a a a =⋅⋅⋅⋅=++++，试用Ｓ、Ｔ表示12111nQ a a a =+++。
解析：传统解法都用1,a q 表示Ｓ，Ｔ及Ｑ，然后通过1a 和q 找到Ｓ，Ｔ，Ｑ的等量关系，这种解法虽思路正确，但运算繁琐，加之在用等比数列求和公式时还要讨论1q =和1q ≠两种情形，如此解题会陷入漫漫无期的运算之中，很少有人能够到达终点。
其实，观察和式子与积式特征不妨采取“本末倒置”构造倒序对偶序式一试。
由题意知：123n T a a a a =⋅⋅⋅⋅ ①构造倒序对偶式：121n n n T a a a a --=⋅⋅⋅⋅ ②由①×②得：2212111()()()()n n n n Ta a a a a a a a -=⋅⋅⋅⋅⋅⋅=⋅，即21()nn T a a =⋅再来看： 12111nQ a a a =+++③构造倒序对偶式：11111nn Q a a a -=+++④即③＋④得：12211111112()()()nn nQ a a a a a a -=++++++，即122112212n n n nn n a a a a a a Q a a a a a a --+++=+++⋅⋅⋅。
由等比数列性质可知，右边的分母均为1n a a ⋅，故12111()()()2n n n na a a a a a Q a a -++++++=⋅即122nS Q a a =，∴1nS Q a a =又21n n a a T = ∴22nnSS Q TT==。
五． 定值对偶定值对偶是指能利用和，差，积，商等运算产生定值，并借此构造出对偶式的方法。
例１２已知函数22()1xf x x=+。
111()()()(1)(2)(3)(4)432f f f f f f f ++++++=S ，则Ｓ＝ 。
解析：22222221()11()()111111()xxxf x f xxxxx+=+=+=++++发现定值：1()()1f x f x+=。
那么111()()()(1)(2)(3)(4)432S f f f f f f f =++++++ ①构造对偶式：111(4)(3)(2)(1)()()()234S f f f f f f f =++++++ ②由①＋②得：1112[()(4)][()(3)][()(2)]2(1)432111[(2)()][(3)()][(4)()]234S f f f f f f f f f f f f f =++++++++++++∴２Ｓ＝７，即72S =。
六． 奇偶数对偶奇偶数对偶指利用整数的分类中奇数与偶数的对称性构造对偶式的方法。
例１３求证：135211246221n nn -⨯⨯⨯<+。
解：设135212462n M n -=⨯⨯⨯，构造对偶式：246235721n N n =⨯⨯⨯+。
由于1234212,,,,2345221n nnn -<<<+因此M N <，从而2121MM N n <⋅=+故121M n <+。
例１４求证：311(11)(1)(1)31432n n +++>+- 证明：待证不等式的左边为：112531(11)(1)(1)4321432n n n -+++=⨯⨯⨯--。
令：25311432n M n -=⨯⨯⨯-构造两个对偶式：3634731,2531363nn N P n n+=⨯⨯⨯=⨯⨯⨯-∵23456731331,,12345632313n n n n n n-+>>>>>>--∴325313634731()()()1432253136331MM N P n n n n n nn >⋅⋅-+=⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯⨯--=+∴331M n >+故原不等式成立。
七． 轮换对偶轮换对偶是指针对式子的结构，通过轮换字母而构造对偶式的方法。
例１５求证：对任意实数.1,1a b >>，都有22811abb a +≥--不等式成立。
证明：设2211abM b a =+--构造对偶式2211baN b a =+--，则22222()()011(1)(1)a bbaa b a b M N b a b a --+--=+=≥----，即M N ≥而1111114(1)(1)42281111N b a b a b a b a =+++++=+-++-+≥++=----，∴8M N ≥≥，即8M ≥。