8-5 抽屉原理.学生版

抽屉原理是一种特殊的思维方法，不但可以根据它来做出许多有趣的推理和判断，同时能够帮助同学证明很多看似复杂的问题。本讲的主要教学目标是：

1．理解抽屉原理的基本概念、基本用法；

2．掌握用抽屉原理解题的基本过程；

3. 能够构造抽屉进行解题；

4. 利用最不利原则进行解题；

5.利用抽屉原理与最不利原则解释并证明一些结论及生活中的一些问题。

一、知识点介绍 抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中的问题，因此，也被称为狄利克雷原则．抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用．许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决．

二、抽屉原理的定义

（1）举例

桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。

（2）定义

一般情况下，把n ＋1或多于n ＋1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹果。我们称这种现象为抽屉原理。

三、抽屉原理的解题方案

（一）、利用公式进行解题

苹果÷抽屉＝商……余数

余数：（1）余数＝1， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（2）余数＝x ()()11x n -， 结论：至少有（商＋1）个苹果在同一个抽屉里

（3）余数＝0， 结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里

（二）、利用最值原理解题

将题目中没有阐明的量进行极限讨论，将复杂的题目变得非常简单，也就是常说的极限思想“任我意”方法、特殊值方法．

（一）、直接利用公式进行解题

（1）求结论 【例 1】 6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有1只，一定有一个笼子里有2只鸽子．对吗？

知识精讲

知识点拨

教学目标

抽屉原理

【巩固】把9条金鱼任意放在8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼．

【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业．

【巩固】年级一班学雷锋小组有13人．教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日．”你知道张老师为什么这样说吗？

【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样．

【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相同的学生？

【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色(每面只涂一种色)，请你说明：至少会有两个面涂色相同．

【巩固】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩．

【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.

【例 2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是同一天？

【巩固】人的头发平均有12万根，如果最多不超过20万根，那么13亿中国人中至少有人的头发的根数相同。

【例 3】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人．试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等．

【巩固】五年级数学小组共有20名同学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名同学，他们的朋友人数一样多．

【例 4】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由．

【例 5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？

【巩固】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数．

【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。

【巩固】将全体自然数按照它们个位数字可分为10类：个位数字是1的为第1类，个位数字是2的为第2类，…，个位数字是9的为第9类，个位数字是0的为第10类．（1）任意取出6个互不同类

的自然数，其中一定有2个数的和是10的倍数吗？（2）任意取出7个互不同类的自然数，其

中一定有2个数的和是10的倍数吗？如果一定，请煎药说明理由；如果不一定，请举出一个反

例．

【巩固】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．

【例 6】任给11个数，其中必有6个数，它们的和是6的倍数．

【巩固】在任意的五个自然数中，是否其中必有三个数的和是3的倍数？

【巩固】从2、4、6、…、30这15个偶数中，任取9个数，证明其中一定有两个数之和是34．

【例 7】任意给定2008个自然数，证明：其中必有若干个自然数，和是2008的倍数(单独一个数也当做和)．【巩固】20道复习题，小明在两周内做完，每天至少做一道题．证明：小明一定在连续的若干天内恰好

做了7道题目．

【例 8】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．

【巩固】任意给定一个正整数n，一定可以将它乘以适当的整数，使得乘积是完全由0和7组成的数. 【例 9】求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a，b，c，d，e，f，使得()()()

a b c d e f

---是105的倍数．

【巩固】任给六个数字，一定可以通过加、减、乘、除、括号，将这六个数组成一个算式，使其得数为105的倍数．

【巩固】在100张卡片上不重复地编上1~100，至少要随意抽出几张卡片才能保证所抽出的卡片上的数之乘积可被12整除？

【例 10】把1、2、3、…、10这十个数按任意顺序排成一圈，求证在这一圈数中一定有相邻的三个数之和不小于17．

【巩固】圆周上有2000个点，在其上任意地标上0,1,2,,1999（每一点只标一个数，不同的点标上不同的数）．证明必然存在一点，与它紧相邻的两个点和这点上所标的三个数之和不小于2999