五年级——抽屉原理
抽屉原理的三个公式
抽屉原理的三个公式抽屉原理（也称为鸽笼原理）是离散数学中的一项基本原理，用于解决一类关于集合和计数的问题。
该原理指出，当将n+1个物体放入n个容器中时，至少有一个容器中必然有两个或两个以上的物体。
这个原理虽然看似简单，却被广泛应用于各个领域，如图论、计算机科学等。
在本文中，我们将通过阐述抽屉原理的三个公式来进一步理解和应用这一原理。
公式一：抽屉问题公式在抽屉问题中，我们要研究的是如何将n个物体放入m个抽屉中，使得至少有一个抽屉中装有k个或更多的物体。
那么根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：n ≥ (k-1) * m + 1这个公式告诉我们，当抽屉的数量m不足以容纳k个物体时，至少有一个抽屉中会有k个以上的物体。
公式二：鸽笼问题公式鸽笼问题是抽屉原理的一种特殊形式，它要求从n个物体中选择m 个物体，保证至少有一个物体被选中两次。
根据抽屉原理，我们可以得到如下公式：m ≥ n这个公式告诉我们，当鸽笼的数量m小于等于物体的数量n时，至少有一个鸽笼会被分配到两个或更多的物体。
公式三：化简公式在某些情况下，我们需要对抽屉原理进行化简，以求得更简洁的表达式。
当物体的数量n不足以填满抽屉的数量m时，我们可以利用抽屉原理进行化简，得到如下公式：n ≤ (k-1) * m这个公式告诉我们，当抽屉的数量m过多时，至少会有一个抽屉为空。
同时，它也提醒我们在实际问题中进行有效的资源利用，避免抽屉的浪费。
综上所述，抽屉原理是离散数学中一项重要的原理，通过公式的运用，我们能够更好地理解和应用这一原理。
通过抽屉问题公式，我们可以确定至少某抽屉中装有一定数量的物体；通过鸽笼问题公式，我们可以确定至少某个物体会被选中两次；通过化简公式，我们可以对抽屉原理进行简化，提醒我们有效利用资源。
无论是在理论还是实践中，抽屉原理的三个公式都具有重要的指导意义。
所以，我们应该深入学习和掌握这些公式，并能够在适当的时候灵活运用，解决实际问题。
五年级第12讲抽屉原理
抽屉原理是数学中的一种基本原理，也是组合数学的重要概念之一、在数学中，通常用来解决一些问题中存在的矛盾或者重复的情况。
下面我们来详细介绍一下抽屉原理。
抽屉原理最简单的形式可以这样表述：如果有n+1个物体放入n个抽屉中，至少有一个抽屉中会放有多于一个物体。
抽屉原理从直观上来说是很容易理解的，我们可以想象抽屉的个数比物体的个数少，那么总会有至少一个抽屉中会有多个物体。
抽屉原理的形式化表述如下：用S1,S2,...,Sn表示n个集合。
并且满足之间的交集都是空集，即Si∩Sj=Ø。
若这n个集合中的元素的总数大于n，则至少存在一个集合Si中包含至少两个元素。
这个原理的证明是基于反证法，即假设所有集合中的元素的总数不大于n-1，然后推导出与之前的假设矛盾的结论，从而可以得出结论为真。
抽屉原理的应用非常广泛，可以用来解决各种问题。
比如在排列组合问题中，可以用抽屉原理来证明一些集合中必然会出现其中一种排列方式。
在概率论中，也可以用抽屉原理来证明一些事件发生的概率。
下面我们通过一个例子来进一步说明抽屉原理的应用。
例1：有7个梨和6个苹果，他们放在5个抽屉里，请证明至少有一个抽屉里既有苹果也有梨。
假设所有的抽屉都没有同时放有苹果和梨，那么根据抽屉原理，最多只能有5个苹果和5个梨被放入这些抽屉中。
但是实际上有7个梨和6个苹果，所以这个假设是不成立的。
根据反证法，我们可以得出结论，至少有一个抽屉里既有苹果也有梨。
通过这个例子，我们可以看到抽屉原理的应用非常直观和简单。
在解决问题时，只需要假设所有的情况都不满足，然后推导出矛盾的结论，就可以得出结论为真。
除了上述的简单形式，抽屉原理还有很多扩展形式，比如多重抽屉原理、大理数抽屉原理等，用来应对更加复杂的情况。
总的来说，抽屉原理在数学中起着非常重要的作用，不仅能够用于解决各种问题，还能够培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力。
在进行数学证明过程中，抽屉原理是一种常见的证明方法之一，因此对于学生来说，掌握抽屉原理是十分必要的。
数学中的抽屉原理
数学中的抽屉原理先看简单的事实：把3本书放到两个抽屉里，只有两种情况：一个一本一个二本，或一个三本一个没有。
无论哪种情况，都至少有一个抽屉里有两本或两本以上的书。
更一般地说，只要被放置的书数比抽屉数目大，就一定会有两本或两本以上的书放进同一抽屉。
（一）抽屉原理的常见式【原理一】：如果把n个东西放进n（mn）只抽屉里，则至少有一只抽屉要放进两个或两个以上的东西。
【例1】求证：在任意选取的n+1个整数中，至少存在两个整数，它们的差能被n整除。
证明：对于n+1个整数，被除所得的余数为0，1，…，n－1共n类，按余数的不同分成的n类中，至少有两个在同一类里，即这两个数被n除时所得的余数相同，那么它们的差就一定能被n整除。
【例2】幼儿园有三种塑料玩具（白兔、熊猫、长颈鹿）各若干个，每个小朋友任意选择两件。
证明：不管怎样挑选，在七个小朋友中总有两个人选的玩具相同。
证明：从三种玩具中挑选两件，搭配方式共有下列六种：（兔、兔）、（兔、熊猫）、（兔、长颈鹿）、（熊猫、熊猫）、（熊猫、长颈鹿）、（长颈鹿、长颈鹿），每一种可以看作一个抽屉，七人的7种选法中，只有6种不同的搭配，由抽屉原理，七人中至少有两人挑选玩具时搭配方式相同。
【原理二】：如果把多于m×n件东西，任意放进n个抽屉，那么至少有一个抽屉里有不少于m+1件东西。
【例3】在口袋里有红色、蓝色和黄色的小球若干个，21个人轮流从袋中取球，每人每次取3个球。
求证：这21个人中至少有3个人取出的颜色相同。
证明：取出的三个球颜色是同一色的（即全红、全蓝或全黄）有三种不同的情况，是两色的（如两红一蓝等）有6种情况，是三色的（即红、蓝、黄三色小球各一个）只有一种情况，故共可分成10类。
由抽屉原理二知道，把21个人所取出的球按颜色可归为这10类中，则必有一类至少有（个）。
所以，21个人中至少有3人取出的球的颜色相同。
运用抽屉原理只是肯定了“存在”、“总有”、“至少有”，却不能确切地指出哪个抽屉里存在多少。
抽屉原理[1].
![抽屉原理[1].](https://img.taocdn.com/s3/m/69c28463aef8941ea66e055b.png)
一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理
小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理知识定位1．充分理解和掌握抽屉原理的基本概念2．运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，因为所与这个知识点的变形很多，与其他知识点的结合类型也很多。
知识梳理一．抽屉原理的概念①举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
②定义：一般情况下，如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n ＋1或多于n ＋1个元素放到n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
我们称这种现象为抽屉原理。
集合：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合。
元素：集合中各事物叫做集合的元素。
二. 抽屉原理的分类抽屉原理一：将n+1个元素放到n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素．抽屉原理二：将nr+1个元素放到n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有r+1个元素．抽屉原理三：将m 个元素放到n 个抽屉中去(m ≥n)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有个元素．11m n -??+例题精讲【题目】证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【题目】从1，2，3，…，2007，2008这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？【题目】从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【题目】从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍?【题目】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【题目】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．【题目】从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?【题目】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．【题目】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【题目】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【题目】两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。
五年级奥数第12讲：抽屉原理-课件
例题二
芭啦啦综合教育学校五年级有32名同学是在五月份出生 的，那么，其中至少有几名同学的生日在同一天？
抽屉原理1：将多 于n件的物品任意 放到n个抽屉里， 那么至少有一个 抽屉里的物品不 少于2件。
31天
32÷31=1（名）……1 （名） 1+1=2（名）
答：至少有2名同学的生日在同一天。
练习二
答：如果每个抽屉里都放一个苹果，那么6 个抽屉就有6个苹果，实际上有7个苹果， 说明至少有一个抽屉里至少有2个苹果。
练习一
5只鸽子飞进4个鸽笼，那么一定有一个鸽笼里至少飞进 2只鸽子，为什么？
5÷4=1（只）……1（只）
答：每个鸽笼里飞进一只鸽子，4个鸽笼就有4只鸽子， 实际上有5只鸽子，说明至少有1个鸽笼里至少飞 进2只。
共9种
1个足球1个排球、1个足球1个篮球、1个排球1个篮球
66÷9=7（名）……3（名） 7+1=8（名）
答：至少有8名同学所拿的球种类是完全相同的。
练习五（选做）
芭啦啦综合教育学校组织夏令营活动，游览北京颐和园、 故宫和长城三个景点，共有200名同学参加。规定每人至少去 1处，至多去2处，那么至少有几人游览的地方完全相同？
选
择
在
夏
我们，还在路上……
某兴趣小组有13名同学，其中至少有几名同学是同一个 星座的？
12个
13÷12=1（名）……1 （名） 1+1=2（名）
答：至少有2名同学是同一星座的。
小结
抽屉原理1：将多于n件的物品任意放到n个 抽屉里，那么至少有一个抽屉里的物品不少于 2件。
例题三
有红、黄、蓝、白四色小球各10个，混合放在一个暗盒 里，从中摸球，一次至少摸出几个，才能保证有3个小球是同 色的？
五年级奥数抽屉原理
如果将5个苹果放到3个抽屉中去，那么不管怎么放， 至少有一个抽屉中放的苹果不少于2个。道理很简单，如 果每个抽屉中放的苹果都少于2个，即放1个或不放，那 么3个抽屉中放的苹果的总数将少于或等于3，这与有5个 苹果的已知条件相矛盾，因此至少有一个抽屉中放的苹 果不少于2个。 同样，有5只鸽子飞进4个鸽笼里，那么一定有一个 鸽笼至少飞进了2只鸽子。 以上两个简单的例子所体现的数学原理就是“抽屉原 理”，也叫“鸽笼原理”。
两个生日是在同一天的小朋友？
例2、在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们 的差能被3整除？ 分析与解：因为任何整数除以3，其余数只可能是0，1，2三 种情形。我们将余数的这三种情形看成是三个“抽屉”。一 个整数除以3的余数属于哪种情形，就将此整数放在那个 “抽屉”里。 将四个自然数放入三个抽屉，至少有一个抽屉里放了不 止一个数，也就是说至少有两个数除以3的余数相同。这两 个数的差必能被3整除。
从最不利原则也可以说明抽屉原理1。为了使抽屉中的物品不少于2 件，最不利的情况就是n个抽屉中每个都放入1件物品，共放入n件物品， 此时再放入1件物品，无论放入哪个抽屉，都至少有1个抽屉不少于2件 物品。这就说明了抽屉原理1。
抽 屉 原 理
例1、某幼儿园有367名1996年出生的小朋友，是否有生日相同 的小朋友？ 分析与解：1996年是闰年，这年应有366天。把366天看作366 个抽屉，将367名小朋友看作367个物品。这样，把367个物品 放进366个抽屉里，至少有一个抽屉里不止放一个物品。因此 抽 至少有2名小朋友的生日相同。 屉 原 理 练习1.某班32名小朋友是在5月份出生的，能否找到
练习2.在任意三个自然师至少拿几本书，随意分给小朋友， 才能保证至少有一个小朋友能得到不少于两本书？ 2.幼儿园买来不少玩具小汽车、小火车、小飞机，每个小朋 友任意选择两件，那么至少要有几个小朋友才能保证有两 人选的玩具是相同的？ 3.一只纸板箱里装有许多型号相同但颜色不同的袜子，颜色 有红、黄、黑、白四种。不允许用眼睛看，那么至少要取 出多少只袜子，才能保证有5双同色的袜子？
五年级数学专题五抽屉原理
解答：为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最 少要取出4个球。
对应练习
木箱里装有红色球7个、黄色球5个、蓝色球9个，若蒙眼 去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出 多少个球？
1.在任意的37人中，至少有几人的属相相同？
5.将9名工人分到4个工作小组里面去，无论怎样分，有一 个小组至少分进去了几名工人？
6.一根电缆包括20根缆线，每种相同颜色的缆线有4根。如 果在黑暗中，你至少要抓住多少根缆线才能保证每种颜色都至 少抓到1根?
7.小红家来了5位客人，她拿出糖果来招待他们。要保证有 的客人能吃到6颗糖，她至少要准备多少颗糖?
解答：13×3+2=41（张）41+1=42（张） 答：最少要拿出42张，才能保证在拿出的牌中4种花
色都有。
对应练习
• 盒子里有红、黄、蓝玻璃球各12个，从中至少拿出 多少个，才能保证拿出的玻璃球中3种颜色的都有 ？
【典题3】
盒子里放了4个黑球，6个花球，如果不许看，一次至 少摸出几个球，才能保证有2个颜色不同的球？
解析：根据最不利原则，一次摸出6个球，摸出的全 是花球，这时，只要再增加一个球肯定就是黑球，就可以 保证摸出的球中有2个颜色不同的球。
解答：6+1=7（个） 答：一次至少摸出7个球，才能保证有2个颜色不同
的球。
对应练习
• 盒子里放了4个红球，3个白球，如果不许看，一次至少摸出 几个球，才能保证有2个颜色不同的球？
专题五：抽屉原理 B卷
1.五（一）班有56个学生，能否至少有2个人在同一 周过生日？（请说明理由）
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1+1=2 1+1=2
8
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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6÷5=1……1 7÷5=1……2
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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6÷5=1……1 7÷5=1……2
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9÷5=1……4 10÷5=2
1+1=2
1+1=2
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2
=2
11
11÷5=2……1
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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1+1=2 1+1=2
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4÷3=1……1
1+1=2
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放(
)个小球。
小球个数
抽屉个数
总有一个抽屉里 至少放的小球数
5 6
Байду номын сангаас4 5
2 2
小球个数
抽屉个数
总有一个抽屉里 至少放的小球数
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4 5 6
2 2
2
小球个数
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总有一个抽屉里 至少放的小球数
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2 2 2
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9÷5=1……4 10÷5=2
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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5÷4=1……1
1+1=2
随意找13位老师，他们中至少 有2个人的属相相同。为什么？ 13位老师 12个属相 13个待分的物体 12个
13÷12=1……1
1+1=2
在26位同学中，至少有3人 在同一个月里过生日。为什么？ 26位同学 12个月 26个待分的物体 12个
26÷12=2……2
2+1=3
总有一个抽屉里至少放的小球数
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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6÷5=1……1 7÷5=1……2
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小球个数 抽屉个数
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1+1=2 1+
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11÷5=2……1
2+1=3
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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6÷5=1……1 1+1=2 物体 放进抽屉里，如果 5 把小球 7÷5=1 ……2 1+1=2 平均分后有剩余，那么总有一 5 8 ÷ 5=1 ……3 1+1=2 个抽屉里至少放“商+1”个； 5 9÷5=1……4 1+1=2 5 10÷5=2 2 =2
5
5 11÷5=2……1 2+1=3 11 如果正好分完，至少放的个数 等于商。
抽屉原理
把物体 放进抽屉里，如果 平均分后有剩余，那么总有一 个抽屉里至少放“商+1”个； 如果正好分完，至少放的个数 等于商。
狄里克雷
5只鸽子飞进3个鸽巢，总有 一个鸽巢至少飞进几只鸽子？
鸽巢原理
5只鸽子飞进3个鸽巢，总有 一个鸽巢至少飞进几只鸽子？
2
小球个数
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总有一个抽屉里 至少放的小球数
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4 5 6
7 8
2 2 2
2
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总有一个抽屉里 至少放的小球数
5 6 7
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4 5 6
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2 2 2
2 2 2
…
…
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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1+1=2
小球个数 抽屉个数
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1+1=2
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小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
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5
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9÷5=1……4
5÷3=1……2 5只 1+1=2
5个待分的物体
3个
3个
1.把7支铅笔放进2个文具盒里，总有 一个文具盒至少放几支铅笔？ 2.把11枚硬币放进4个口袋里，总有 一个口袋至少放几枚硬币？
待分的物体
5只鸽子
7支铅笔 11枚硬币
3个鸽巢
2个文具盒 4个口袋
模 型
一副扑克牌（去掉大王、小王） 有4种花色，任意抽5张牌，至少有 2张牌是同一花色的。为什么？ 5张牌 4种花色 5个待分的物体 4个
8
9
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4
1+1=2
1+1=2
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
6÷5=1……1 7÷5=1……2
1+1=2 1+1=2
8
9 10
5
5
8÷5=1……3
9÷5=1……4
1+1=2
1+1=2
5
小球个数 抽屉个数
总有一个抽屉里至少放的小球数
6 7
5 5
义务教育教科书（人教版）数学六年级下册
抽屉原理
济宁市任城区安居中心小学 谢 涛
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
不管怎么放， 总有一个抽屉里至少放2个小球。
第一种放法：
第二种放法：
第三种放法：
第四种放法：