小学五年级-抽屉原理
五年级奥数之复杂抽屉原理
知识大总结 1. 抽屉原理： ⑴ 有余＋1，无余取整 无余取整 ⑵ 找苹果、找抽屉 2 最不利原则: 2. ⑴ 保证发生，最少 ⑵ 个数＝最倒霉＋1 3. 难点：以某些东西的种类作为抽屉. 【今日讲题】 例1、例2、例3、 超常大挑战 超常 【讲题心得】 __________________________________________________________________. 【家长评价】 ________________________________________________________________. 2
【例5】(★★★★) ⑴ 在边长为1的正方形里随意放入3个点，以这3个点为顶点的三角形 的面积最大是_____. ⑵ 在边长为1的正方形里随意放入9个点，这9个点任意3个点不共线， 请说明 这9个点中一定有 请说明：这 个点中 定有3个点构成的三角形面积不超过正方形 1 的 . 8
【超常大挑战】(★★★★★) 假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的 线段连起来 都连好后 问你能不能找到 个由这些线构成的 角形 线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形， 使三角形的三边同色？
板块一:基本的抽屉原理 【例1】(★★★) 将能否在4×4的方格表的每一个格子中填入 的方格表的每 个格子中填入1、2、3中的一个数字，使 中的 个数字 使 得每行、每列以及它的两条对角线上数字的和互不相同？
【例3】(★★★) (华杯赛团体决赛口试题) 圆上的100个点将该圆等分为100段等弧，随意将其中的一些点染成红 点，要保证至少有4个红Байду номын сангаас是一个正方形的4个顶点，问：你至少要染 红多少个点?
本讲主线 1. 复习基本的抽屉原理 2. 关于抽屉原理的讨论
五年级第12讲抽屉原理
抽屉原理是数学中的一种基本原理，也是组合数学的重要概念之一、在数学中，通常用来解决一些问题中存在的矛盾或者重复的情况。
下面我们来详细介绍一下抽屉原理。
抽屉原理最简单的形式可以这样表述：如果有n+1个物体放入n个抽屉中，至少有一个抽屉中会放有多于一个物体。
抽屉原理从直观上来说是很容易理解的，我们可以想象抽屉的个数比物体的个数少，那么总会有至少一个抽屉中会有多个物体。
抽屉原理的形式化表述如下：用S1,S2,...,Sn表示n个集合。
并且满足之间的交集都是空集，即Si∩Sj=Ø。
若这n个集合中的元素的总数大于n，则至少存在一个集合Si中包含至少两个元素。
这个原理的证明是基于反证法，即假设所有集合中的元素的总数不大于n-1，然后推导出与之前的假设矛盾的结论，从而可以得出结论为真。
抽屉原理的应用非常广泛，可以用来解决各种问题。
比如在排列组合问题中，可以用抽屉原理来证明一些集合中必然会出现其中一种排列方式。
在概率论中，也可以用抽屉原理来证明一些事件发生的概率。
下面我们通过一个例子来进一步说明抽屉原理的应用。
例1：有7个梨和6个苹果，他们放在5个抽屉里，请证明至少有一个抽屉里既有苹果也有梨。
假设所有的抽屉都没有同时放有苹果和梨，那么根据抽屉原理，最多只能有5个苹果和5个梨被放入这些抽屉中。
但是实际上有7个梨和6个苹果，所以这个假设是不成立的。
根据反证法，我们可以得出结论，至少有一个抽屉里既有苹果也有梨。
通过这个例子，我们可以看到抽屉原理的应用非常直观和简单。
在解决问题时，只需要假设所有的情况都不满足，然后推导出矛盾的结论，就可以得出结论为真。
除了上述的简单形式，抽屉原理还有很多扩展形式，比如多重抽屉原理、大理数抽屉原理等，用来应对更加复杂的情况。
总的来说，抽屉原理在数学中起着非常重要的作用，不仅能够用于解决各种问题，还能够培养学生的逻辑思维能力和数学思维能力。
在进行数学证明过程中，抽屉原理是一种常见的证明方法之一，因此对于学生来说，掌握抽屉原理是十分必要的。
小学五年级奥数 复杂抽屉原理
复杂抽屉原理本讲主线1. 复习基本的抽屉原理2. 关于抽屉原理的讨论1. 抽屉原理:⑴10个苹果放到9个抽屉中，一定有一个抽屉至少有2个苹果.⑵100个苹果放到9个抽屉中，一定有一个抽屉中至少有12个苹果.2. 最不利原则:⑴保证发生的最少情况⑵保证＝最倒霉＋13. 同余定理:a、b两数对于c同余，那么a－b的差值一定可以被c整除. 【课前小练习】(★)⑴现在有10个苹果放在9个抽屉里,那么一定有一个抽屉里至少有___个苹果；10 10 ,个苹果；⑶现在有103个苹果放在9个抽屉里,那么一定有一个抽屉里至少有个苹果.⑷一副扑克牌有54张，包括2张王牌，四个花色，各有13张. 至少取___张，保证有4张不同花色.⑸现在有10个抽屉，要想保证有一个抽屉中至少有5个苹果，苹果总数最少有个；最多有个.板块一:基本的抽屉原理【例1】(★★★)将能否在4×4的方格表的每一个格子中填入1、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上数字的和互不相同？【例3】(★★★) (华杯赛团体决赛口试题)圆上的100个点将该圆等分为100段等弧，随意将其中的一些点染成红点，要保证至少有4个红点是一个正方形的4个顶点，问：你至少要染红多少个点?2 ( )从1、2、3、4、…、19、20这20个自然数中，至少任选几个数，就可以保证其中一定包括两个数，它们的差是12.1【例5】(★★★★) 板块二:抽屉原理的讨论【例4】(★★★★)求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a、b、c、d、e、f，使得(a－b)(c－d)(e－f)是105的倍数. ⑴在边长为1的正方形里随意放入3个点，以这3个点为顶点的三角形的面积最大是_____.⑵在边长为1的正方形里随意放入9个点，这9个点任意3个点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过正方形的1 .8【超常大挑战】(★★★★★)假设在一个平面上有任意六个点，无三点共线，每两点用红色或蓝色的线段连起来，都连好后，问你能不能找到一个由这些线构成的三角形，使三角形的三边同色？知识大总结1. 抽屉原理：⑴有余＋1，无余取整⑵找苹果、找抽屉2. 最不利原则:⑴保证发生，最少⑵个数＝最倒霉＋13. 难点：以某些东西的种类作为抽屉.【今日讲题】例1、例2、例3、超常大挑战【讲题心得】__________________________________________________________________.【家长评价】________________________________________________________________. 2。
抽屉原理[1].
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一、 知识点介绍抽屉原理有时也被称为鸽笼原理，它由德国数学家狄利克雷首先明确提出来并用来证明一些数论中 的问题，因此，也被称为狄利克雷原则•抽屉原理是组合数学中一个重要而又基本的数学原理，利用它可 以解决很多有趣的问题，并且常常能够起到令人惊奇的作用.许多看起来相当复杂，甚至无从下手的问题，在利用抽屉原则后，能很快使问题得到解决.二、 抽屉原理的定义（1）举例桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放 两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
（2）定义一般情况下，把n +1或多于n +1个苹果放到n 个抽屉里，其中必定至少有一个抽屉里至少有两个苹 果。
我们称这种现象为抽屉原理。
三、 抽屉原理的解题方案（一） 、利用公式进行解题 苹果十抽屉=商……余数 余数：（1）余数=1,结论：至少有（商+ 1）个苹果在同一个抽屉里 （2）余数=x 1Y ：X Y n-1,结论：至少有（商+ 1 ）个苹果在同一个抽屉里（3） 余数=0,结论：至少有“商”个苹果在同一个抽屉里（二） 、利用最值原理解题将题目中没有阐明的量进行极限讨论， 将复杂的题目变得非常简单， 也就是常说的极限思想 “任我意” 方法、特殊值方法.知识精讲模块一、利用抽屉原理公式解题 （一）、直接利用公式进行解题 （1）求结论【例1】6只鸽子要飞进5个笼子，每个笼子里都必须有 1只，一定有一个笼子里有 2只鸽子•对吗?【巩固】 把9条金鱼任意放在 8个鱼缸里面，请你说明至少有一个鱼缸放有两条或两条以上金鱼.8-2抽屉原理、【巩固】教室里有5名学生正在做作业，现在只有数学、英语、语文、地理四科作业试说明：这5名学生中，至少有两个人在做同一科作业.【巩固】年级一班学雷锋小组有13人•教数学的张老师说：“你们这个小组至少有2个人在同一月过生日•”你知道张老师为什么这样说吗？【巩固】数学兴趣小组有13个学生，请你说明：在这13个同学中，至少有两个同学属相一样. 【巩固】光明小学有367名2000年出生的学生，请问是否有生日相冋的学生？【巩固】用五种颜色给正方体各面涂色（每面只涂一种色），请你说明：至少会有两个面涂色相冋.【例2】向阳小学有730个学生，问：至少有几个学生的生日是冋一天？【巩固】试说明400人中至少有两个人的生日相同.【例3】三个小朋友在一起玩，其中必有两个小朋友都是男孩或者都是女孩.【例4】“六一”儿童节，很多小朋友到公园游玩，在公园里他们各自遇到了许多熟人.试说明：在游园的小朋友中，至少有两个小朋友遇到的熟人数目相等.【巩固】五年级数学小组共有20名冋学，他们在数学小组中都有一些朋友，请你说明：至少有两名冋学，他们的朋友人数一样多.【例5】在任意的四个自然数中，是否其中必有两个数，它们的差能被3整除？【巩固】四个连续的自然数分别被3除后，必有两个余数相同，请说明理由.【例6】证明：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数.【巩固】证明：任取6个自然数，必有两个数的差是5的倍数。
抽屉原理
抽屉原理（又名鸽笼原理）什么是“抽屉原理”？举个简单例子来说明：把3个苹果分放在2个抽屉里，必定有1个抽屉里放了2个或2个以上苹果。
这就是“抽屉原理”。
道理很简单，谁都能理解，很容易用反证法证明。
用数学语言表达如下：抽屉原理一：把多于n个物体(n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放2个或2个以上的物体。
抽屉原理二：把多于m×n个物体（m、n为正整数），放到n个抽屉里，必定有1个抽屉里放m+1个或m+1个以上的物体。
以上原理是德国数学家狄利克雷首先发现的，所以也叫狄利克雷原理。
它是一个重要而又基本的数学原理。
应用它可以解决一些有趣的看起来相当复杂的问题。
举两个简单的例子：1．第四次人口普查表明，我国50岁以下的人口已经超过8亿。
试证明：在我国至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。
解：50年的秒数约等于15.8亿秒，设2秒为1个抽屉，抽屉总数小于8亿个，所以至少有2人的出生时间相差不超过2秒钟。
2．某工厂生产一种天平托盘1000付，要求每付两个托盘的重量相差≤1毫克，而该厂的冲床设备生产的产品重量误差是±5毫克，问该厂用这种冲床设备，至少要生产多少个托盘才能配出1000付符合要求的托盘？解：设10个重量相差为1毫克以内的抽屉：（－5＜－4），（－4＜－3），（－3＜－2）……（+3＜+4），（+4≤+5）。
最差的情况是每一个抽屉都是奇数，那么有10个托盘不能配对，所以只要生产2010个合格托盘，就能配出1000付符合要求的托盘。
以下几道题，请读者自己解：1．证明：在25人中，至少有3人属相相同。
2．6个小朋友，每人至少有1本书，一共有20本书，试证明：至少有2个小朋友有相同数量的书。
（提示：如果每人的书数量都不相同，至少要21本书。
）3．在2行5列的2×5的方格子中，随意用红、绿两种颜色染上，证明：不管怎样染，至少有两列着色完全相同.关于抽屉原理关于整除问题a.任意n+1个自然数中，总有两个自然数的差是n的倍数例1：任取8个自然数，必有两个数的差是7的倍数。
29.五年级奥数第29讲——抽屉原理
学生课程讲义课程名称五年级奥数上课时间任课老师沈老师第29讲，本讲课题：抽屉原理内容概要桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。
这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。
解决有关抽屉原理的问题时,首先在审题时要弄清楚问题中什么是抽屉,什么是苹果,如果问题比较复杂,一时在题目中没有直接给出抽屉和苹果,那就要依据给定的条件,自已来构造抽屉,明确苹果.常见的构造抽屉的方法有:“数的分组法”、“图形分割法”、“染色法”及“剩余类法”【例1】木箱里装有红色球3个、黄色球5个、蓝色球7个，若蒙眼去摸，为保证取出的球中有两个球的颜色相同，则最少要取出多少个球？随堂练习11、有黑色、白色、蓝色手套各5只（不分左右手），至少要拿出多少只（拿的时候不许看颜色），才能使拿出的手套中一定有两双是同颜色的。
2、有11名学生到老师家借书，老师的书房中有Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ四类书，每名学生最多可借两本不同类的书，最少借一本。
试证明：必有两个学生所借的书的类型相同。
用“数的分组法”构造抽屉【例2】从1,2,3,…,100这100个数中任意挑出51个数来, 证明在这51个数中,一定有:(1)2个数互质;(2)2个数的差为50. 随堂练习2从1,2,3,…·,49,50这50个数中,取出若干个数使其中任意两个数的和都不能被7整除,最多可取（）个数。
【例3】问在1,3,5,7,…,97,99这50个奇数中,最多能取出多少个数,使其中任何一个数都不是另一个数的倍数.随堂练习3从1,2,3,4,…,1988,1989这些自然数中,最多可以取（ ）个数,其中每两个数的差不等于4。
用“图形分割法”构造抽屉【例4】在一个边长为1的正方形内(含边界),任意给定9个点 (其中没有三点共线),证明:在以这些点为顶点的各个三角形中,必有1个三角形,它的面积不大于18。
随堂练习4在一个边长为1的等边三角形内随意放置10个点，试说明：至少有两个点之间的距离不超过13用“涂色法”分类【例5】如图，是一个3行10列共30个小正方形的长方形，现在把每个小方格图上红色或黄色，请证明无论怎么涂法一定能找到两列，他们的涂色方式完全相同。
小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理
小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理小学五年级逻辑思维学习—抽屉原理知识定位1．充分理解和掌握抽屉原理的基本概念2．运用抽屉原理求解的较为复杂的组合计算与证明问题本讲的知识点必须让学生充分理解、吃透，因为所与这个知识点的变形很多，与其他知识点的结合类型也很多。
知识梳理一．抽屉原理的概念①举例：桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，有的抽屉可以放一个，有的可以放两个，有的可以放五个，但最终我们会发现至少我们可以找到一个抽屉里面至少放两个苹果。
②定义：一般情况下，如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假如有n ＋1或多于n ＋1个元素放到n 个集合中去，其中必定至少有一个集合里至少有两个元素。
我们称这种现象为抽屉原理。
集合：一定范围的，确定的，可以区别的事物，当作一个整体来看待，就叫做集合。
元素：集合中各事物叫做集合的元素。
二. 抽屉原理的分类抽屉原理一：将n+1个元素放到n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有两个元素．抽屉原理二：将nr+1个元素放到n 个抽屉中去，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有r+1个元素．抽屉原理三：将m 个元素放到n 个抽屉中去(m ≥n)，则无论怎么放，必定有一个抽屉至少有个元素．11m n -??+例题精讲【题目】证明：在从1开始的前10个奇数中任取6个，一定有2个数的和是20.【题目】从1，2，3，…，2007，2008这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？【题目】从1至1993这1993个自然数中最多能取出多少个数，使得其中任意的两数都不连续且差不等于4？【题目】从1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的2倍?【题目】从1，3，5，7，…，97，99中最多可以选出多少个数，使得选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数?【题目】证明：任给12个不同的两位数，其中一定存在着这样的两个数，它们的差是个位与十位数字相同的两位数．【题目】从1，2，3，…，49，50这50个数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除，则最多能取出多少个数?【题目】从1，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数．证明：(1)在这51个数中，一定有两个数互质；(2)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；(3)在这51个数中，一定存在9个数，它们的最大公约数大于1．【题目】求证：可以找到一个各位数字都是4的自然数，它是1996的倍数．【题目】某班有16名学生，每个月教师把学生分成两个小组．问最少要经过几个月，才能使该班的任意两个学生总有某个月份是分在不同的小组里?【题目】两个布袋各有12个大小一样的小球，且都是红、白、蓝各4个。
小学五年级奥数第六讲__抽屉原理及作业
第六讲抽屉原理一、一个盒子里有10个红球、8个蓝球、6个绿球、4个白球，如果闭上眼睛，从盒子中摸球，每次只许摸一个球，至少要摸出（）个，才能保证摸出的这几个球中至少有两个颜色相同。
二、红星小学五年级（1）班有54个同学，能否有2人在同一星期内过生日？三、参加数学竞赛的有210名同学，能否保证有18名或18名以上的同学在一个月出生，为什么？四、盒子里放着红色、黄色、蓝色、白色、黑色五种手套各6只，如果闭上眼睛，让你在盒子中拿手套，至少拿多少只能可以保证拿到一副颜色相同的手套？五、在1米长的线段上任意点六个点，请证明，这六个点中至少有两个点的距离不大于20厘米。
六、口袋中有16个白球，4个黄球，6个黑球。
请你闭上眼睛从口袋中摸球，至少取出多少个球，才能保证取出的球有黄球？七、袋子里有红、黄、黑、白袜子各10双，要想闭上眼睛摸出颜色相同的4双袜子，至少要摸出几双袜子，才能保证达到目的？八、公交集团有51辆客车，各种座位位数不同，最少的有18座，最多的有60座，那么在这些客车中，至少有几辆的座位数是相同的？九、某袋内装有70只球，其中20只是红球，20只是绿球20只是黄球，其余是黑球和白球，为确保取出的球中至少包含有10只同颜色的球，问：最少必须从袋中取出几只球？十、从1、2、3、……、2004这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得每两个数的差不等于4？第六讲抽屉原理作业1、长江小区有367名儿童在2000年出生的，至少有两人在同一天过生日，这是因为把（）当作抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。
2、盒子里有红、白两种颜色的贺卡若干张，现在有4个小朋友每人从盒子里任取两张，则必须有两个小朋友取出两张颜色完全相同的贺卡，其中抽屉数为（）个，元素（）个。
3、一个正方体，给它的每个面涂上颜色，黄色、红色，则至少有两个面颜色相同，其中把（）当成抽屉，有（）个，把（）当作元素，有（）个。
4、有30个小朋友同在2月份出生，至少有（）个小朋友同一天出生。
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第24讲抽屉原理二内容概述抽屉原理在教字、表格、图形等具体问题中有较复杂的应用．能够根据已知条件合理地选取和设计“抽屉”与“苹果”，有时还应构造出达到最佳状态的例子．典型问题兴趣篇1．将60个红球、8个白球排成一条直线，至少会有多少个红球连在一起？答案：7详解：60÷（8＋1）=6……6,6＋1=7个。
2．17名同学参加一次考试，考试题是3道判断题（答案只有对或错），每名同学都在答题纸上依次写上了3道题目的答案．请问：至少有几名同学的答案是一样的？答案：3详解：答案的结果有23=8种情况，即8个抽屉。
17÷8=2……1，2＋1=3名。
3．任意写一个由数字1、2组成的六位数，从这个六位数中任意截取相邻两位，可得一个两位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有两位数中，一定有两个相等．详解：两位数的情况共4种：12,21,11,22。
六位数可以截取出5个两位数，所以必有重复。
4．将1至6这6个自然数随意填在图2，4-1的六个圆圈中，试说明：图中至少有一行的数字之和不小于8。
详解：1＋2＋3＋4＋5＋6＋7=21,21÷3=7，图形总共有3行，第一行只有一个数，最大填6，那么后两行至少有一行是大于7的整数，即不小于8。
5．从l，2，3，…，99，100这100个数中任意选出51个数，请说明：(1)在这51个数中，一定有两个数的差等于50；详解：构造差为50的抽屉：（1,51）、（2,52）、……、（50,100），共50个抽屉。
选出51个数，必有两数来自一组，即差为50.(2)在这51个数中，一定有两个数差1．详解：构造差为1的抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（99,100），共50个抽屉。
必有两数来自一组，即差为1.6．从1，2，3，…，21这些自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差都不等于4？答案：12详解：构造差为4的抽屉：（1,5）、（2,6）、（3,7）、（4,8）、（9,13）、（10，14）、（11，15）、（12,16）、（17,21）、（18）、（19）、（20）共12个抽屉，最多取12个数。
7．从1至11这11个自然数中至少选出多少个不同的数，才能保证其中一定有两个数的和为12？答案：7详解：构造和为12的抽屉：（1,11）、（2,10）、（3,9）、（4,8）、（5,7）、（6）共6个抽屉，至少取7个。
8．(1)任给4个自然数，请说明：一定有两个数的差是3的倍数；详解：将全部自然数按照除以3的余数分成3组，则4个数中必有两数来自于同一组，即除以3同余，那么这两个数的差是3的倍数。
(2)至少取几个数，才能保证一定有两个数的差是7的倍数？详解：将全部自然数按照除以7的余数分成7组，则8个数中必有两数来自于同一组，即除以7同余，那么这两个数的差是7的倍数。
9．至少找出多少个不同的两位数，才能保证其中一定存在两个数，它们的差是个位数字与十位数字相同的两位数．答案：12详解：即差是11的倍数，将全部自然数按照除以11的余数分成11组，那么至少取出12个数，才能保证必有两数来自于同一组。
10．在一个边长为2厘米的等边三角形内（包括边界）选出5个点，请证明：一定有两个点之间的距离不大于1．详解：顺次连接三角形的各边中点，将原三角形分成4个相等的边长为1的小等边三角形，选5个点，必有两点来自同一个小三角形，那么这两点的距离肯定不超过1.拓展篇1．如图24—2，将2行5列的方格纸每一格染成黑色或白色，请说明：不管怎么染，总有两列的染色方式是一样的．详解：图形共有5列，而每列染色的情况共有4种：白白、白黑、黑白、黑黑，必有重复。
2．任意写一个由数字l、2、3组成的三十位数，从这个三十位数中任意截取相邻三位，可得一个三位数，请证明：在从各个不同位置上截得的所有三位数中，一定有两个相等．详解：由数字1、2、3组成的三位数共33=27种，三十位数可截取28个三位数，必有重复。
3．27只小猴分140颗花生，每只小猴最少分1颗，最多分9颗，请问：其中至少有几只小猴分到的花生颗数一样多？答案：4详解：1＋2＋…＋9=45,140÷45=3……5，3＋1=4只。
4．能否在4×4方格表的每个格子中填l、2、3中的一个数字，使得每行、每列以及它的两条对角线上的和互不相同？答案：不能详解：4行、4列、2条对角线，共需要10个不同的和，而由1、2、3中取出4个数的和有4、5、……、12，共只有9种，所以不能。
5．从l至99这99个自然数中，最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的和都不等于100？最多可以取出多少个数，使得其中每两个数的差不等于5？答案：50,50详解：和为100的抽屉共有50个，（1,99）、（2,98）、……、（50），最多取50个数。
差为5的抽屉共50个(10个数一大组，每大组分5小组)，最多取50个数。
6．如果在1，2，…，n中任取19个数，都可以保证其中必有两个数的差是6，那么n最大是多少？答案：36详解：12个数一大组，每大组分成差为6的6个小组，每组2数。
取19个数，最多18组，那么n=36.7．从1至50这50个自然数中至少要选出多少个数，才能保证其中必有两个数互质？答案：26详解：相邻两个自然数互质，构造抽屉：（1,2）、（3,4）、……、（49,50），共25个抽屉。
至少取26个数。
8．从1至30这30个自然数中取出若干个数，使其中任意两个数的和都不能被7整除．请问：最多能取出多少个数？答案：15详解：按照除以7的余数构造抽屉：（余1:5个）、（余2：5个）、（余3:4个）、（余4:4个）、（余5:4个）、（余6:4个）、（余0:4个），余1组和余6组不能同时选择，所以选择元素个数多的余1组，同理选择余2组，余3组和余4组任选一组，余0组最多从中选1个元素，那么5＋5＋4＋1=15个。
9．请说明：任意5个数中必有3个数的和是3的倍数．详解：将全部自然数按照除以3的余数分成3组，那么如果5个数中存在3个数除以3的余数相同，那这3个数之和是3的倍数；如果5个数中不存在3个数除以3同余，则必然存在3个数除以3分别余0、1、2，那这3个数的和是3的倍数。
10．任选7个不同的数，请说明：其中必有2个数的和或者差是10的倍数。
详解：按除以10的余数分类，构造6个抽屉：（0）、（1,9）、（2,8）、（3,7）、（4,8）、（5），选7个数，必有2数来自于同一组。
11．有9个人，每人至少与另外5个人互相认识．试证明：可以从中找到3个人，他们彼此相互认识．详解：设这9人为A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、I ，不妨设A 认识B 、C 、D 、E 、F 这5人，B 除了认识A 外还认识4人，这4人必然有一人是C 、D 、E 、F 这4人中的一人。
12．(1)在一个边长为1的正方形里放入3个点，以这3个点为顶点连出的三角形面积最大是多少？ 答案：21 详解：正方形内最大的三角形是与正方形等底等高的三角形，面积是正方形面积的一半。
(2)在一个边长为1的正方形中随意放入9个点，这9个点任何三点不共线，请说明：这9个点中一定有3个点构成的三角形面积不超过81． 详解：将正方形等分成4个小正方形，9个点至少有3个点落入同一个小正方形，然后利用（1）的结论。
超越篇1．从l 至12这12个自然数中最多能选出几个数，使得在选出的数中，每一个数都不是另一个数的倍数？答案：6详解：根据倍数关系构造抽屉：（1,2,4,8）、（3,9）、（5,10）、（6,12）、（7）、（11）共6个抽屉，所以最多能选出6个数。
2．(1)请说明：在任意的68个自然数中，必有两个数的差是67的倍数；详解：将全部自然数按照除以67的余数分成67组，则68个数中必有两数来自于同一组，即除以67同余，那么这两个数的差是67的倍数。
(2)请说明：在1，11，111，1111，…，这一列数中必有一个是67的倍数．详解：将这列数按照除以67的余数分成67组，则必有两数来自于同一组，即这两个数的差是67的倍数，而这两个数的差定是形如11…100…0这样的数，那么前面那若干个1组成的数必定是67的倍数，即属于此数列。
3．求证：对于任意的8个自然数，一定能从中找到6个数a 、b 、c 、d 、e 、f ，使得(a – b)×(c – d)×(e – f)是105的倍数．详解：这8个数中必有两数是除以7同余的，即它们的差是7的倍数，剩下的6个数中，必有两个数是除以5同余的，即它们的差是5的倍数，再剩下的4个数中，必有两个数是除以3同余的，即它们的差是3的倍数，这三个差相乘，便为105的倍数。
4．从l 至25这25个自然数中最多取出多少个数，使得在取出来的这些数中，任何一个数都不等于另两个不同数的乘积．答案：22详解：这25个数中2的倍数最多，其次是3的倍数…，当去掉2、3、4时，结论成立。
5．25名男生与25名女生坐在一张圆桌旁，请说明：至少有一人，他（或她）的两边都是女生． 详解：将每个位置1~50编号，则至少有13个女生在奇数号或偶数号，不妨设在奇数号，那么总共25个奇数中选出13个，必有相邻两奇数号上坐女生。
6．时钟的表盘上按标准的方式标着1，2，3，…，11，12这12个数，在其上任意做n 个120°的扇形，每一个都恰好覆盖4个数，每两个覆盖的数不全相同．如果从这任做的n 个扇形中总能恰好取出3个，这3个扇形能覆盖整个钟面的全部12个数，求n 的最小值．答案：9详解：全部的可能情况共4种：⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛3,2,1,1211,10,9,87,6,5,42,1,12,1110,9,8,76,5,4,31,12,11,109,8,7,65,4,3,212,11,10,98,7,6,54,3,2,1，先保证从每组里都选出两个，那么这是再选一个，无论来自哪组，都可凑出一整组。
2×4＋1=9个。
7．(1)将一个5×5的方格表每个方格都染成黑、白两种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个顶点处的四个方格同色；详解：总共25个格子，颜色多的至少有13个，不妨设黑色多，而且至少有3行比白色多，假设其中的2行如下图1所示，这2行中必有1列两个都是黑色，称为特殊列，那么黑色多的第3行至少有3个，若这3个都没有在特殊列，则结论成立，若这3个有1个落在特殊列，那么另2个不论落在哪列，特殊列都会与之搭配。
(2)将一个4×19的方格表每个方格都染成黑、白、红三种颜色之一，请证明：一定存在一个长方形，四个顶点处的四个方格同色．详解：颜色最多的至少有26个，而且至少是（7,7,6,6）这样组合，如果前3行按照（7,7,6）排列的话，至少产生一个特殊列，将表格分成4部分，那第四行的6个必有两个在同一区域，则结论成立。