数字信号处理实验2报告

实验名称：基于MATLAB的数字滤波器设计

一、实验目的与要求：

(1)掌握用窗函数法、频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法；

(2)熟悉线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性,了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响;

(3)掌握双线性变换法及脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器的具体设计方法及其原理;

(4)观察双线性变换及脉冲响应不变法设计的滤波器的频域特性，了解双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。

二、实验原理、内容和步骤

1、实验原理

线性相位实系数FIR滤波器按其N值奇偶和h(n)的奇偶对称性分为四种：

1、h(n)为偶对称，N为奇数

H(e jω)的幅值关于ω=0，π，2π成偶对称。

2、h(n)为偶对称，N为偶数

H(e jω)的幅值关于ω=π成奇对称，不适合作高通。

3、h(n)为奇对称，N为奇数

H(e jω)的幅值关于ω=0，π，2π成奇对称，不适合作高通和低通。

4、h(n)为奇对称，N为偶数

H(e jω)ω=0、2π＝0，不适合作低通。

(一)窗口法

窗函数法设计线性相位FIR滤波器步骤：

确定数字滤波器的性能要求：临界频率{ωk}，滤波器单位脉冲响应长度N；

根据性能要求，合理选择单位脉冲响应h(n)的奇偶对称性，从而确定理想频率响应Hd(ejω)的幅频特性和相频特性；

求理想单位脉冲响应hd(n)，在实际计算中，可对Hd(ejω)按M(M远大于N)点等距离采样，并对其求IDFT得hM(n)，用hM(n)代替hd(n)；

选择适当的窗函数w(n)，根据h(n)= hd(n)w(n)求所需设计的FIR滤波器单位脉冲响应；

求H(ejω)，分析其幅频特性，若不满足要求，可适当改变窗函数形式或长度N，重复上述设计过程，以得到满意的结果。

（二）频率采样法

频率采样法是从频域出发，将给定的理想频率响应Hd(ejω)加以等间隔采样

然后以此Hd(k)作为实际FIR数字滤波器的频率特性的采样值H(k),即令

由H(k)通过IDFT可得有限长序列

将上式代入到Z变换中去可得

其中Φ(ω)是内插函数

（三）FIR滤波器的优化设计

FIR滤波器的优化设计是按照最大误差最小化准则，使所设计的频响与理想频响之间的最大误差，在通带和阻带范围均为最小，而且是等波动逼近的。

为了简化起见，在优化设计中一般将线性相位FIR滤波器的单位脉冲响应h(n)的对称中心置于n=0处，此时，线性相位因子α=0。当N为奇数，且N=2M+1，则

定义一逼近误差函数：

E(ω)为在希望的滤波器通带和阻带内算出的误差值，W(ω)为加权函数。

k应当等于比值δ1/δ2，δ1为通带波动，δ2为阻带波动。在这种情况下，设计过程要求|E(ω)|

在区间的最大值为最小，它等效于求最小δ2。根据数学上多项式逼近连续函数的理论，用三角多项式逼近连续函数，在一定条件下存在最佳逼近的三角多项式，而且可以证明这个多项式是唯一的。这一最佳逼近定理通常称作交替定理。

在逼近过程中，可以固定k，M，ωp，ωs而允许改变δ2，按照交替定理，首先估计出(M+2)个误差函数的极值频率点{ωi}，i=0,1,...,M+1，共计可以写出(M+2)个方程

式中ρ表示峰值误差。一般仅需求解出ρ，接着便可用三角多项式找到一组新的极值频率点，并求出新的峰值误差ρ。依此反复进行，直到前、后两次ρ值不变化为止，最小的ρ即为所求的δ2。

这一算法通常称作雷米兹(Remez)交替算法。

(四) 脉冲响应不变法

用数字滤波器的单位脉冲响应序列h(n)模仿模拟滤波器的冲激响应ha(t),让h(n)正好等于ha(t)的采样值，即

h(n)= ha(nT)

其中T为采样间隔，如果以Ha(S)及H(z)分别表示ha(t)的拉式变换及h(n)的Z变换，则

(五) 双线性变换法

S平面与z平面之间满足以下映射关系：

s平面的虚轴单值地映射于z平面的单位圆上，s平面的左半平面完全映射到z平面的单位圆内。双线性变换不存在混叠问题。

双线性变换时一种非线性变换，这种非线性引起的幅频特性畸变可通过预

畸而得到校正。

2、实验内容

(1)N=15,。用Hanning窗设计一线性相位带通滤波器，观察它的实际

3dB和20dB带宽。N=45，重复这一设计，观察幅频和相位特性的变化，注意长度N变化的影响；

(2)分别改用矩形窗和Blackman窗，设计(1)中的带通滤波器，观察并记录窗函数对滤波器幅频特性的影响，比较三种窗的特点；

(3)用Kaiser窗设计一专用线性相位滤波器，N=40，如下图所示，当β0=4，6，10

时，分别设计、比较它们的幅频和相频特性，注意β0取不同值时的影响；

(4)用频率采样法设计(3)中的滤波器，过渡带分别设一个过渡点，令H(k)=0.5。比较两种不同方法的结果；

(5)用雷米兹(Remez)交替算法设计(3)中的滤波器，并比较(3)、(4)、(5)三种方法的结果。

(6)fp=0.3KHz,Ap=0.8dB, fr=0.2KHz,Ar=20dB,T=1ms；设计一Chebyshev高通滤波器；观察其通带损耗和阻带衰减是否满足要求。

(7)fp=0.2KHz,Ap=1dB, fr=0.3KHz,Ar=25dB,T=1ms；分别用脉冲响应不变法及双线性变换法设计一Butterworth数字低通滤波器，观察所设计数字滤波器的幅频特性曲线，记录带宽和衰减量，检查是否满足要求。比较这两种方法的优缺点。

三、结论分析与实验体会

实验代码

%1

N=15;

wvtool(barthannwin(N));

N=45;

wvtool(barthannwin(N));

%2

%矩形窗

N=15;

wvtool(boxcar(N));

N=45;

wvtool(boxcar(N));

%blackman窗

N=15;

wvtool(bartlett(N));

N=45;

wvtool(bartlett(N));

%3

wn=kaiser(40,4);

nn=[0:1:39];

alfa=(40-1)/2;

hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa))./(pi*(nn-alfa));

h=hd.*wn';

[h1,w1]=freqz(h,1);

subplot(3,1,1)

plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));

axis([0,1,-80,10]);

grid;

xlabel('1éò??ˉ?μ?ê/p')

ylabel('·ù?è/dB')

wn=kaiser(40,6);

nn=[0:1:39];

alfa=(40-1)/2;

hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa))./(pi*(nn-alfa)); h=hd.*wn';

[h1,w1]=freqz(h,1);

subplot(3,1,2)

plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));

axis([0,1,-80,10]);

grid;

xlabel('1éò??ˉ?μ?ê/p')

ylabel('·ù?è/dB')

wn=kaiser(40,10);

nn=[0:1:39];

alfa=(40-1)/2;

hd=sin(0.4*pi*(nn-alfa))./(pi*(nn-alfa)); h=hd.*wn';

[h1,w1]=freqz(h,1);

subplot(3,1,3)

plot(w1/pi,20*log10(abs(h1)));

axis([0,1,-80,10]);

grid;

xlabel('1éò??ˉ?μ?ê/p')

ylabel('·ù?è/dB')

实验结果及截图

3、实验体会

通过对本次实验的学习，掌握到窗函数法、频率采样法及优化设计法设计FIR滤波器的原理及方法。熟悉了线性相位FIR滤波器的幅频特性和相频特性，了解各种不同窗函数对滤波器性能的影响。掌握了双线性变换法及脉冲相应不变法设计IIR数字滤波器的具体设计方法及其原理。了解了双线性变换法及脉冲响应不变法的特点。

本次实验的主要难度是在于程序的编写，大部分同学都是和懂得的同学一起讨论研究的，实验结果的波形也一样。所以这次实验还是较为简单的，主要是能够了解实验原理。