习题空间直线及其方程

z
c
o xa
by
二、空间直线的方程
[1] 空间直线的一般方程 1 : A1 x B1 y C1z D1 0
z
1 L
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
2
L
:
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
x
o
y
[2] 空间直线的对称式方程
x x0 y y0 z z0
将x 1代入的y 1, z 1的平面过点M(1,1,1)
直线的方向向量为s (1,0,1) (1,1,1)
设所求平
面法向量
为n，则
由
已知得n
s
又平面平行于x轴，即n
bx by bz
1
ar
r b
r b
ar;
rr a , b （2）以 为邻边的平行四边形面积
(3) 与
ar
r , b同时垂直的向量可取作
S
ar
r b
nr
ar
r b
两非零向量平行、垂直的等价条件：
rr r r rr r
a Pb b a a b 0
bx
by
bz
ax ay az
r r rr a b a b 0 axbx ayby azbz 0
则a
b
(2)
若a
b
c
b
(b
0)，则a
c
(3) (a b)c a(b c)
(4)
(a
b)
a
(a
b)
b
0
(5)
若a
b，则
a/
b
(6)
若a
b，a
c，则a//
b
c
(7)
若 a
b
a
b，
则a
b
( ) ( ) ( )
()
( )
()
()
例2： 若a
3，b
1，(
a,
b)
求 ： （1）
空间直线及其方程
I. 空间直线方程的几种形式 一、空间直线的一般方程
A1 A2
x x
B1 B2
y y
C1z C2z
D1 D2
0 0
二、空间直线的对称式方程与参数方程
x x0 y y0 z z0
m
n
p
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
II、两直线的位置关系
三、两直线的夹角
5 向量的投影
r
Prjarb
r b
cos
ar ,
r b
br在ar上的投影
二、 向量的运算
1 线性运算
加(减):
ar
r b
ax bx , ay by , az bz
数乘 ar ax,ay ,az , ar Par
2 数量积 :
ar
r b
ar
r b
cos
axbx ayby
（3）单叶双曲面 （4）圆锥面
x2 y2 z2 a2 b2 c2 1
x2 y2 z2
五、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
[3] 空间曲线在坐标面上的投影
设空间曲线的一般方程：
定义 两直线的方向向量的夹角称之.（锐角）
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1 ,
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2 ,
m2
n2
p2
L1
s1
L2
s2
cos s1 s2
m1m2 n1n2 p1 p2
s1 s2
m12 n12 p12 m22 n22 p22
1 , 2 不全为 0
通常取： ( A1x B1y C1z D1)
(A2x B2 y C2z D2 ) 0
其中： 为任意实数
例1. 求直线
在平面
上的投影直线方程. 提示：过已知直线的平面束方程
x y z 1 (x y z 1) 0
即
从中选择 使其与已知平面垂直：
(a
b,a
b )；
6
(2)
以a
b，a
b为
邻
边的
平
行
四边
形
面积
解
a
b
|
a||
b|
cos
(a , b )
3
2
(a
b)(a
b)
|
a
|2
|
b |2
2
|
a
b |2
(a
b)(a
b)
|
a
|2
|
b |2
2a b
3 1 2 3 cos 7
6
|
a
b |2 |
x 1 y z 3 3 4 1
垂直；
（2）通过点(1,0,-2)且与平面3x 4y z 6 0 平行，
又与直线 x 3 y 2 z 1 41
垂直；x 1 y z 2 2 1 2
（3）通过点(0,-1,1)且与直线
L
:
x
2y z x y
2
0
x y 1 z 1
1 1 1
两直线的夹角公式
III、直线与平面的位置关系 四、直线与平面的夹角
定义 直线和它在平面上的投影直线的夹
角 称为直线与平面的夹角．
0 .
2
L:
x x0 y y0 z z0 ,
m
n
p
s {m, n, p},
: Ax By Cz D 0, n { A, B, C},
sin
| Am Bn Cp |
平行．
例6. 利用平面束方程解题：
通过两平面 x y z 2 0 3x y z 5 0
的交线，且通过点(1,8,2)的平面方程 . 解 设过交线的平面束方程为
x y z 2 3x y z 5 0
因平面过点(1,8,2) ，代入平面束方程，得 5
4
故所求方程为 11x y z 17 0
A2 B2 C 2 m2 n2 p2
补充：
1.点 M0 (x0, y0, z0 ) 到平面 ：A x+B y+C z+D =
的距离为
0
d
M0
d
2. 过直线
L:
A1x A2 x
B1 B2
y y
C1z C2 z
D1 D2
0 0
的平面束 方程
1 ( A1x B1y C1z D1) 2 ( A2x B2 y C2z D2 ) 0
， 求 的u坐uur标表达式．
OA
3uuur O同A向的单位向量为
uuuur
OA0 cos,cos ,cos
其中 cos cos cos 1
32
又 cos 1 cos2 cos2 1
2
于是
uuur
OA
uuuur 8OA0
8
1 2
,
1 2
,
1 2
4, 4, 4
2
例4. 求下列各平面方程 （1）平行于x轴且经过两点(4,0,-2),(5,1,7)；
II. 空间解析几何： 一、平面方程
[1] 平面的点法式方程
A( x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0 [2] 平面的一般方程
Ax By Cz D 0
[3] 平面的截距式方程 x yz 1 a bc
z
n
M0 M
o
y
x
M0( x0 , y0 , z0 )
n ( A, B, C)
且有
s
0.
s
k
0,
s
i
0,
6 2m
p
0
0
p 6,
s
0,
n 0,
m 0,
故当 m 0, n 0, p 6 时结论成立．
习题课
主要内容: I. 向量代数 II. 空间解析几何
I . 向量代数
一、向量及其坐标
1.向量
a ax, ay, az
模
a
ax2
a
2 y
az2
azbz
1 ar ar ar ;
2cos
ar ar
r br b
ar
rr 0, b
r 0
;
3
ar
r b
ar
Pr
r jar b
r b
Pr
jr ar;
b
4 ar
r b
ar
r b
0.
3. 向量积
ar
r b
是一向量：
模
ar
r b
ar
r
b sin
方向按ar ,
r b
,
ar
r b成右手系.
rr r rr i j k a b ax ay az
16 4 5
的交线关于xoy面的投影柱面方程和在xoy面上的投影 方程.
解 消去变量z，得所求投影柱面方程为
x 122 y2 1
260 13
所求交线的投影方程 为
x
12
2
y2
1
260 13
z 0
例9.求
过直线:
x x
z y
0 z
1
且
与x轴
平
行
的平面方程.
解 法一：用点法式方程
2 方向余弦
cos
ax
,cos
ay
,cos
az
ax2 ay2 az2
ax2 ay2 az2
ax2 ay2 az2
u
r
3 单位向量
ar 0
a ar
cos , cos , cos
基本单位向量
rrr i, j,k
4两ar向cc量os的aarr 夹bbrr角 arccos
axbx ayby azbz ax2 ay2 az2 bx2 by2 bz2
a
|2
|
b |2
2a
b
1
cos
cos(a
b,a b)
2
7
arccos 2
7
| (a b) (a b) || a a b b b a a b |
2
|
b
a|
2
|
a||
b|
sin
3
6
例3. 已知向量
O的uuAur模为8，且已知它与x轴和y轴正向的
夹角均为 解：设与
（2）通过点9 My(1,-1z,1)且2垂直于0两平面
（3）在x1轴: x上的y截距z为21，且0过点(0,-1,0)2和:(22,1x,3)．y z 1 0 2x y 3z 0
3x 6y 2z 6 0
例5.别求适合下列条件的直线方程：
（1）通过点(1,0,-3)且与平面3x 4y z 10 0
F ( x, G( x,
y, z) y, z)
0 0
消去变量z后得：H ( x, y) 0
曲线在xoy
面上的投影曲线为
H(
z
x, 0
y)
0
yoz 面上的投影曲线 xoz面上的投影曲线
R( y, z) 0
x
0
T( x, z) 0
y
0
典型例题
例1：下列结论正确吗？为什么？
(1)
若
a
b，
cos
| A1 A2 B1B2 C1C2 |
1
A12 B12 C12
A22
B22
C
2 2
[2] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
得 1, 从而得投影直线方程
xy
z y
1 z
0 0
这是投影平面
例2.
求过直线L:
x 5y z 0 xz40
且与平面
x 4y 8z
12 0 夹成 角的平面方程.
提示: 过直线 L 的平面束方程
n1
4
n
其法向量为 n1 {1 , 5, 1 }.
已知平面的法向量为 n {1, 4, 8}
两直线的夹角公式
[3] 直线与平面的夹角 0
2
平面的法向量 nr A, B,C,
直线的方向向量 sr m, n, p
sin cos sr¶, nr
Am Bn Cp
sr nr
四、曲面
[1] 旋转曲面
设有平面曲线
L
:
f
(
x, y) z0
0
(1) 曲线 L 绕 x 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f ( x, y2 z2 ) 0
(2) 曲线 L 绕 y 轴旋转所成的旋转曲面方程为
f ( x2 z2 , y) 0
（1）球面 （2）圆锥面 （பைடு நூலகம்）旋转双曲面
x2 y2 z2 1
x2 y2 z2
x2 a2
y2 a2
z2 c2
1
[2] 柱面
只含 x, y 而缺z 的方程F ( x, y) 0 ，在 空间直角坐标系中表示母线平行于z 轴的柱 面，其准线为 xoy面上曲线C .
(1) 圆柱面 x2 y2 R2
(2) 抛物柱面 x2 2 py ( p 0)
(3) 椭圆柱面
x2 a2
y2 b2
1
[3] 二次曲面
定义:三元二次方程所表示的曲面称为二次曲面.
（1）椭球面
x2 a2
y2 b2
z2 c2
1
（2）椭圆抛物面
x2 y2 z 2 p 2q ( p 与 q 同号 )
选择 使 cos n n1
4 n n1
3
4
从而得所求平面方程 x 20 y 7z 12 0.
还有其它平面方程吗？
思考题
在直线方程 x 4 y z 2 中，m 、 2m n 6 p
n、 p各怎样取值时，直线与坐标面 xoy 、 yoz 都平行.
思考题解答
s {2m, n, 6 p},
m
n
p
[3] 空间直线的参数方程 x
z s
L
M
M0
o
y
x x0 mt
y
y0
nt
z z0 pt
M0( x0 , y0 , z0 ) s (m, n, p)
三、直线、平面间的位置关系 n1
[1] 平面间的夹角
n2
1 : A1 x B1 y C1z D1 0
2
2 : A2 x B2 y C2z D2 0
例7 下列方程或方程组表示什么图形？
1 x2 y2 2z
旋转抛物面
2 x2 y2 z2 4x 0
球心在（2,0,0)的球面．
3
x2
y2
3
y x 1
平行的二条直线
4
x
2
y2
z2
2
z x2 y2
球面与上半圆锥的交线
例8. 求单叶双曲面 x2 y2 z2 1 与平面x 2z 3 0