2010年全国硕士研究生入学统一考试农学门类联考数学真题及详解【圣才出品】

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在括号内.

1．设函数，则（ ）.3()(3)()

x e e f x x x e -=--A ．x ＝3及x ＝e 都是的第一类间断点

()f x B ．x ＝3及x ＝e 都是的第二类间断点

()f x C ．x ＝3是的第一类间断点，x ＝e 是的第二类间断点

()f x ()f x D ．x ＝3是的第二类间断点，x ＝e 是的第一类间断点

()f x ()f x 【答案】C

【解析】，由于函数在点x ＝3没有定义，因此x ＝3为第一类可去间断点；

又，因此函数在x ＝e 点为第二类无穷间断点.3

lim (3)(1)

x x e e e x x →-=∞--2．曲线的凸弧区间是（ ）.2(4)

x y x =-A ．（，－8）

-∞B ．（－8，－4）

C ．（－4，4）

D ．（4，＋∞）

【解析】

由.

3．设函数具有二阶导数，，则()()f x g x ，00()()0()0g x a g x g x '''==<，，在取极大值的一个充分条件是（ ）.

(())f g x 0x A ．()0

f a '

f a '>C ．()0

f a ''

f a ''>【答案】B

【解析】由于于是

因为，则即可满足条件，在取极0()0g x '=0(())0f g x ''>[]0()0f g x '''⎡⎤<⎣⎦

0x 大值.

4．设函数在区间上连续，，且，记()f x []0,10()1f x <<1

01()2

f x dx <⎰

则（ ）.

A ．123

I I I <

I I I <

I I I <

I I I <<【答案】D

【解析】

由于0()1f x <<()1()

f x f x >>-因此

即．

12I I >又由于

且

所以

所以，所以．

5．设向量组：可由向量组Ⅱ：线性表示．下列命题I 12r ααα⋅⋅⋅

，，，12s βββ⋅⋅⋅，，，

正确的是（ ）.A ．若向量组线性无关，则I r s

≤B ．若向量组线性相关，则I r s

>C ．若向量组Ⅱ线性无关，则r s

≤D ．若向量组Ⅱ线性相关，则r s

>【答案】A

【解析】由于向量组I 能由向量组Ⅱ线性表示，所以r （I ）≤r（II ），即

()()1212r s r r s

αααβββ⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅≤，，，，，，若向量组I 线性无关，则，所以

()12r r r ααα=L ，，，,即.()()1212r s r r r s αααβββ=⋅⋅⋅≤⋅⋅⋅

≤，，，，，，r s ≤6．设A 为4阶实对称矩阵，且，若A 的秩为3，则A 相似于（ ）.

2A A O +=A ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

B ．1110⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

C ．1110⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

D ．1110-⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

【答案】D

【解析】设A 的特征值为，因为，所以，即

λ20A A +=20λλ+=或，又因为A 为实对称阵，故A 必可相似对角化，又由于

(1)00λλλ+=⇒=1λ=-r （A ）＝3，所以是三重特征根，即.1λ=-1110A ⎛⎫ ⎪- ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭

:7．设随机变量X 服从（－1，1）上的均匀分布，事件A ＝{0＜X ＜1}，

，则（ ）.14B X ⎧⎫=<⎨⎬⎩

⎭A ．P （AB ）＝0

B ．P （AB ）＝P （A ）

C ．P （A ）＋P （B ）＝1

D ．P （AB ）＝P （A ）P （B ）

⋅【答案】D

【解析】

8．设是来自总体的简单随机样本，记统计量

12n X X X ⋅⋅⋅，，，2(,)(0)N μσσ>，则E （T ）＝（ ）.21

1n i i T X n ==∑A ．2

σB ．2

μC ．22

σμ+D ．22

σμ-【答案】C

【解析】由题意知，

，则有

2222,EX DX EX

μσμσ==⇒=+二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在题目中的横线上．

9．＝____.lim x

x x x a →∞⎛⎫ ⎪-⎝⎭

【答案】a e 【解析】.