级数敛散性

学 年 论 文
题目：
级数敛散性判别

学 生： 刘 星
学 号： 201212010229
院 （系）： 理学院
专 业： 数学与应用数学
指导教师： 郭改慧
2014 年 3月 20日
陕 西 科 技 大 学
学年论文任务书
理 学院 数学与应用数学 专业 数学122 班级 学生：刘星
题目：级数敛散性判别
课题的意义及培养目标:
级数是研究问题的一种完全技术性的工具，是一个很有用、很方
便，但在原则上却没有多少新东西的工具，是数学分析理论的重要组
成部分，而收敛性判断是研究级数的重要一步。
通过学习级数敛散性判别，学会对级数的敛散性进行判断并解决
实际问题。
课题的主要任务（需附有技术指标分析）：
要求学生通过查阅相关的书籍、资料文献，首先了解匈牙利法，
掌握一些基本的性质，掌握指派问题的最新科研成果以及问题。本课
题旨在研究指派问题的应用举例，利用指派问题的定义及其性质来求
解中文说明书翻译的最优化模型。
学 生： 日期：
指导教师： 日期：
教研室主任： 日期：
级数敛散性判别
数学122班：刘星 指导教师:郭改慧
（陕西科技大学理学院 陕西 西安 710021）
摘要：对于同一个级数，用不同的方法判断敛散性的难易程度不同，选用合适的方式，可以
得到事半功倍的效果。我们有必要总结一下判断敛散性的方法，了解它们的特性，以便更好
地运用它们。
关键词：级数，敛散性，判断方法

The Criterion of Convergence of Series
Abstract: For the same series, judged by different methods of convergence and
divergence of different levels of difficulty, choose the appropriate way, can
get twice the result with half the effort.. We need to
summarize judge convergence method, to understand their characteristics, in
order to better use of them.
Key word: Series, Convergence and divergence, Judging method

1级数介绍

级数是将数列nu的项 1u，2u，，nu，…依次用加号连接起来的函数，数项级数的
简称。如：12nuuu，简写为nu，nu称为级数的通项，记nnsu称之
为级数的部分和，如果当n时 ，数列ns有极限s，则说级数收敛，并以s为其和，记
为 nus；否则就说级数发散。
常见的几类重要的常数项级数
正项级数：级数中所有项均大于等于零。
交错级数：级数中的项正负相间的级数。

等比级数: nnaqaqaqaqaqa.............32
调和级数: 11111123nnn

P--级数: 111111123pppppnnn
2关于级数的相关定理
定理一：如果0limnna，则可判断该级数一定不收敛。
定理二：等比级数判别法：)0(11aarnn
(1)1r时，级数收敛； （2）当1r时，级数发散

定理三：p级数判别法：)0(11pnnp
(1)当10p时，级数发散； (2)当1p时，级数收敛；
注：调和级数是特出的p级数，这时1p。
定理四：设nu与nv是两个正项级数，若
(1)当nnvu且级数nv收敛时，级数nu也收敛；
(2)当nnuv且级数nv发散时，级数nu也发散；

定理五：（极限形式）若nu为正项级数，且lim1limnnnuqu则
(1)当1q时，级数nu也收敛；
(2)当1q时，或q时，级数nu发散；
注：当1q时，比式判别法不能对级数的敛散性作出判断，因为它可能是收敛的，

也可能是发散的.例如，级数21n与n1，它们的比式极限都是1lim1nnnuu 但21n是
收敛的，而n1是发散的。
定理六：绝对收敛与条件收敛

对于一般项级数,21nuuu其各项为任意实数，若级数1nnu各项的绝对
值所构成的正项级数1nnu收敛，则称级数1nnu绝对收敛；若级数1nnu收敛，而级数
1nnu发散，则称级数

1n
n
u

条件收敛。易知2111)1(nnn是绝对收敛级数，而

n
nn1)1(11




是条件收敛级数。

掌握正项级数敛散性的判别方法,可以为判定一般级数的敛散性打好基础。

3相关例题

例题1判别级数211(,0)()nbanbnc的敛散性
解：因n时，2211()anbncan而
22
111111212nnanan


收敛，当时

发散，当时

故211121()2nanbnc收敛，当时发散，当时
例题2 又如以下两题

（1）1(1cos)xnn（2）12sin3xnnnx用此方法很容易得出结论
例题3 设常数0，级数21nna收敛，试判断级数21(1)nnnan的敛散性。
解：因级数21nna收敛，211nn也收敛，因此2211()nnan收敛，又因为
2
2
22

111
()2nnnaaannn




，由比较判别法知，21nnan收敛，所以级数

2
1(1)nnnan






绝对收敛。

例题4 设0na，且aannlim，试判断级数)0()(1xaxnnn的敛散性。