有限维线性空间的基

x1 = L = xn = 0.
从而它们均线性无关，故问题得证. 从而它们均线性无关，故问题得证. 它们均线性无关 实际上，更简单的方法来构造，令 实际上，更简单的方法来构造，
α k = (1, k , k 2 ,L , k n−1 ), k ∈ Z +
是无关的. 则{α k1 ,α k2 ,L ,α kn }, k i ≠ k j 是无关的 为范德蒙行列式. 这是因为det(α k1 ,α k2 ,L ,α kn ) 为范德蒙行列式
hn
hቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ1
h2 L h2 ( h +1) 1 0 h2 +1− h 1 M
M
0
hn ( hn−1 + mn−1 −1) hn ( h + m1 −1) 1 L ( hn + mn −1) −L− h hn−1 1
可以证明，对角线上的元素均不为零， 可以证明，对角线上的元素均不为零，从而行 列式不为零, 也即，方程组（ ）仅有平凡解， 列式不为零 也即，方程组（*）仅有平凡解，即
祝各位老师 新年快乐！ 新年快乐！
k = hn + m , 从而不妨任选 ε i1 , ε i2 ,L, ε in , it = ht n + mt
令 x1ε i1 + L + xnε in = 0, 得
( x1h1 +Lxnhn ) ε1 +L+ x1 ( h1 + m1 −1) +L+ xn ( hn + mn −1) εn = 0
2．常见的线性（子）空间的标准基 ．常见的线性（ （1）Pn [ x ] = a0 + a1 x + L + an−1 x n−1 ai ∈ P ）
{
}
{
1, x ,L , x n−1
}
（2）P m×n = A = aij aij ∈ P , i = 1,2,L , m; j = 1,2,L , n ）
{ E ij + E ji }i ≠ j U { E ii }
（5） F n×n = { A′ = − A A ∈ P n×n } ）
{ E ij − E ji } , i ≠ j
三、n维线性空间Vn ( P )的基的确定 维线性空间 1. 从一组给定的基 {α1 ,α 2 ,L ,α n }出发，可构造 出发， 出所有（无穷多） 的基. 出所有（无穷多）的不同的 Vn ( P ) 的基
基一般是不唯一的，在线性运算下， 基一般是不唯一的，在线性运算下，对具体的 来说，可由一组基来把握。 线性空间 Vn ( P ) 来说，可由一组基来把握。
正如[1， 所说： 给定有限维的向量空间， 正如 ，P171]所说：“给定有限维的向量空间， 所说 要求其维数，首先要抓‘ ’”。 要求其维数，首先要抓‘基’”。 关于有限维空间的基与维数， 关于有限维空间的基与维数，综合起来有以下 基本结论（ 基本结论（见[2]，P330）: ， ）
{ E } , i = 1, 2,L , m; j = 1, 2,L , n
ij
{ ( )
}
P n = {( a1 , a2 ,L , an ) ai ∈ P } ） （3）
{ε i = (0,L,0,1,0,L,0)} , i = 1,2,L, n
n n n n （4） S × = { A′ = A A ∈ P × } ）
唯一地线性表示； （3） α ∈ V ( P ) 都可经 {α1 ,α 2 ,L,α n }唯一地线性表示； ）∀
V （4） ( P ) = L (α1 ,α 2 ,L,α n ) ，且α (∈ V ( P )) ）
线性表示的表法唯一； 经 {α1 ,α 2 ,L,α n }线性表示的表法唯一；
（5）dimV ( P ) = n ，且{α1 ,α 2 ,L,α n } 线性无关； 线性无关； ）
从而 x1h1 + L xn hn = 0 ……，
x1 ( h1 + m1 − 1) + L + xn ( hn + mn − 1) = 0
（*） ）
又
h1 h2 h1 + 1 h2 + 1 M h1 + m1 − 1 M h1 + m1 − 1 h2 + m2 − 1
L
hn M =
L
hn + mn − 1
例5 （见[7，p49]）Again let V be the space ， ） of 2 × 2 matrices over F. Find a basic { A1 , A2 , A3 , A4 } for V such that Ai 2 = Ai for each i. 也是成立的. 这个结论对 P n×n 也是成立的
1 2 4 −1 α 1 = −2 −2 , α 2 = 1 1 , α 3 = −1 −5 1 3
与 β 1 = 2 1 , β 2 = 1 −2 , β 3 = 4 −1 1 3 −2 1 −1 −5 都是V 的基. 都是 的基 问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？ 问题：是否存在的由可逆的对称矩阵构造的基？ 若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？ 若有，有多少个？在相似的条件下有多少个？
{ E ii } U { E ii + E ij }i ≠ j 为 P n×n 的幂等基 的幂等基.
P n×n具有无穷多个幂等基 具有无穷多个幂等基. 例6 （见[8，定理 ） ，定理1]）
例7 （见[2，p319]）设V是数域 P上全体二阶 ， ） 是数域 上全体二阶 对称矩阵所成的线性空间，证明： 对称矩阵所成的线性空间，证明：
这样得到一个无穷的向量序列 这样得到一个无穷的向量序列 {ε i }i =1 .
∞
下证，从中任选 个 它们均线性无关. 下证，从中任选n个，它们均线性无关. 从构造中易得， 从构造中易得，
εk = hε1 + ( h + 1) ε2 +L+ ( h + m −1) εm +L+ ( h + m −1) εn,
dim （6） V ( P ) = n 且V ( P ) = L (α1 ,α 2 ,L,α n ) ; ）
（7） ( P ) = L (α1 ) ⊕ L (α 2 ) ⊕ L ⊕ L ( α n ) . ） V
二、常见线性（子）空间的基与维数 常见线性（ 1．这是基本的习题内容 ． [3，习题6]的3（有8个小题）、 （有4个小题）、 ，习题 的 （ 个小题）、 个小题）、 个小题）、8（ 个小题 13（有3个小题）、 、16、17、18题。 （ 个小题）、 个小题）、14、 、 、 题
参考文献
[1] 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南 高等代数（上册）， 陈昭木、陈清华、王华雄、林亚南.高等代数 上册）， 高等代数（ 福建教育出版社， 福建教育出版社，1991，福州 ， [2] 庄瓦金 高等代数教程，国际华文出版社 2002年 高等代数教程， 年 [3] 北京大学数学系几何与高等代数教研室前代数小组编 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版） 王萼芳、石生明修订，高等代数（第三版） [4] 白述伟 高等代数选讲，黑龙江教育出版社，1996 高等代数选讲，黑龙江教育出版社， [5] 李师正主编 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 高等代数解题方法与技巧，高等教育出版社， 北京, 2004 北京 [6] 南开大学 南开大学2005年硕士研究生入学考试试题 年硕士研究生入学考试试题
取另一向量 ε n+1 = ε 1 + L + ε n , 则显然有从以上n+1向量中选出 个均可作为 维 向量中选出n个均可作为 则显然有从以上 向量中选出 个均可作为n维 线性空间的一组基. 线性空间的一组基 同样， 同样，依次取向量 ε n+ 2 , ε n+ 3 ,… 使得
ε n+ m = ε m +1 + ε m + 2 + Lε n+ m
( β 1 , β 2 ,L , β n ) = (α1 ,α 2 ,L ,α n ) A,
( β 1 , β 2 ,L, β n ) 线性无关
⇔ A ∈ P n×n 是可逆的
A = (aij ) ∈ P
n×n
,
⇔ ( β 1 , β 2 ,L, β n ) 为Vn ( P ) 的基 的基.
2. 指定条件下的线性空间基的确定 指定条件下的线性空间基的确定. 例1.设 V1 ,V2 ,L,Vs 是数域 P上n维线性空间 Vn ( P ) 设 维线性空间 个非平凡子空间. 试证： 的一个基， 的 任意 s 个非平凡子空间 试证：存在 V的一个基， 使这个基的n个基向量均不在 使这个基的 个基向量均不在 V1 ,V2 ,L,Vs 中. （见[2，p213],[4,p213],[5,p196]） ， ） 例2（见[3，补充题 ）设 V1 ,V2是线性空间 V 的 （ ，补充题4]） 两个非平凡子空间. 证明： 两个非平凡子空间 证明：在 V中存在 α 使 α ∈ V1 ,
α ∈ V2 同时成立. 同时成立
例3（见[3，补充题 ）设 V1 ,V2 ,L ,Vs 是线性 （ ，补充题5]） 个非平凡子空间， 空间 V 的s个非平凡子空间，证明：V 中至少有一 个非平凡子空间 证明： 中任何一个。 个向量不属于 V1 ,V2 ,L ,Vs 中任何一个。 例4（见[6]） （ ） 维线性空间(n≥1). 证明： 设 V 为数域 P 上n维线性空间 n≥1). 证明： 维线性空间 必存在 V 中一个无穷的向量序列 {α i } 使得
[7] K.Hoffman and R.Kunze,Lineasr Algebra (Second Edition),Prentice-Hall,Inc.,Englewoord Cliffs,New Jersery(1971),49. [8] 杨忠鹏 ，全矩阵代数 Mn(F ) 上的幂等阵，安顺师专 上的幂等阵， 学报， ），97-100. 学报，1989（2）， （ ），
α 设 V ( P )是数域 P上线性空间， 1 ,α 2 ,L ,α n ∈ V ( P ), 上线性空间，
则下列陈述彼此等价： 则下列陈述彼此等价： 的一组基； （1） {α1 ,α 2 ,L,α n } V ( P )的一组基； ） 是 线性无关， （2）{α1 ,α 2 ,L,α n }线性无关， ） 线性相关， 但{α1 ,α 2 ,L,α n , β } 线性相关， ∀β ∈ V ( P ).
∞
{α i }i =1
∞
i =1
中任何n个向量都是 的一组基. 中任何 个向量都是 V 的一组基.
证明：采用构造法. 证明：采用构造法. 取n维线性空间的一组基 维线性空间的一组基
ε 1 = ( 1,0,…,0 ) , ε 2 = ( 0,1,0,…,0 ) ,…, ε n = ( 0,…,0,1)
有限维线性空间的基
杨忠鹏 晏瑜敏 戴培培 莆田学院数学系
的三要素： 一、数域 P 上有限维线性空间Vn ( P )的三要素： 1．基 ． 2．维数 ． 3．坐标 ． 维数是 Vn ( P )的唯一的本质特征，在同构意义下 的唯一的本质特征，
Vn ( P ) 的研究可归结为 P n 的讨论。 的讨论。