§4.4-5 线性空间的同构
高等代数线性空间的同构
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构映射的性质
证 因为 σ 是 V 到 V′ 的一个单射，所有如果 σ(α) = σ(β)，则 α = β. 于是有
k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0 ⇔σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = σ(0) ⇔k1σ(α1) + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs) = 0′
i=1
i=1
∑n
∑n
= aiγi + biγi
i=1
i=1
= σ(α) + σ(β),
∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi V 到 V′ 的一个同构映射，从而 V ∼= V′.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论.
σ :V ∑n
α = aiαi
i=1
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
数学竞赛讲座：同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。
线性空间的同构
τ o σ (α + β ) = τ (σ (α ) + σ ( β ) )
= τ (σ (α ) ) + τ (σ ( β ) ) = τ o σ (α ) + τ o σ ( β )
§6.8 线性空间的同构
τ o σ ( kα ) = τ (σ ( kα ) ) = τ ( kσ (α ) )
的子空间， （6） 若W是V的子空间，则W在 σ 下的象集 ） 是 的子空间 在
σ (W ) = {σ (α ) α ∈ W }
子空间， 是的 V ′ 子空间，且 dimW = dim σ (W ). 证： 首先，σ (W ) ⊆ σ (V ) = V ′ 首先，
且 Q 0= σ ( 0 ) ∈ σ (W ) , ∴ σ (W ) ≠ ∅
2 所以， 所以， dim C = dim R .
故， V1 ≅ V2 .
§6.8 线性空间的同构
证法二： 证法二：构造同构映射 作对应 σ : C → R 2 , σ ( a + bi ) = ( a , b ) . 则 σ 为C到R2的一个同构映射 到 的一个同构映射.
§6.8 线性空间的同构
W ≅ σ (W ) 故 dim W = dim σ (W ).
注意
可知， 由2可知，同构映射保持零元、负元、线性组合 可知 同构映射保持零元、负元、 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间 及线性相关性，并且同构映射把子空间映成子空间.
§6.8 线性空间的同构
3、两个同构映射的乘积还是同构映射. 、两个同构映射的乘积还是同构映射 证： 设 σ：V → V ′, τ : V ′ → V ′′ 为线性空间的同构 映射，则乘积 τ o σ 是 V 到V ′′ 的1－1对应 对应. 映射， － 对应 任取 α，β ∈ V , k ∈ P , 有
向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
第四章4.4-4.5 线性算子的基本定理强收敛弱收敛
T-1(k1y1+k2y2)=k1T-1y1+k2T-1y2T-1是线性算子。
定理5 （巴拿赫逆算子定理）设X, Y都是巴拿赫空间TB(X,Y)是 双射，则T-1是有界线性算子。 证 T是双射T-1存在且T-1是线性算子（定理4） 同时，T是双射 T是开映射 设 GX 是开集(T-1)-1(G)=T(G)Y是开集
u x0 r0 x r0 , Tnu Tn x0 r0Tn x
1 Tn x Tnu Tn x0 r0 1 1 2M Tn x Tnu Tn x0 Tnu Tn x0 r0 r0 r0 2M Tn sup Tn x , n 1, 2, r0 x 1
间，T: DY是线性算子，如果T的图像GT是XY的闭线性 子空间，则称T为闭线性算子。
定理9 (闭线性算子的充要条件) 设X, Y都是线性赋范空间，DX 是线性子空间。T: DY是线性算子，则T是闭线性算子的充要条 件是对{xn}D, 当xnxX, TxnyY时，有xD, 且Tx=y. 证 “” (x,y)GT{(xn,Txn)}GT, 使(xn,Txn)(x,y) {xn}D，使xnx, Txny xБайду номын сангаасD, 且 Tx=y (x,y)=(x,Tx)GT GT=GT T是闭线性算子 “” GT是闭集, 设{xn}D, 且xnxX, TxnyY (xn,Txn)(x,y) {(xn,Txn)}GT, GT是闭集(x,y)GT xD, 且Tx=y
对yY,有
S T Y X Y S T y sy T (Sy ) I y y y
2) T-1T=Ix, TT-1=Iy 3) 若T是线性算子，则T-1也是线性算子(将在后面证明)。
线性空间的同构商空间总结
V1 F n V2 V1 V2
定理：数域F上两个有限维线性空间V1与V2同构
dimV1 dimV2.
exp 2 : n阶对角阵
exp 1: 次数 n 1的多项式
f ( x) an1xn1 a1x
在基1, x,
Fn [ x ]
a0
, xn1.
a0 an1
A
a11
ann
(5)两个同构映射的乘积还是同构映射
V3
1 2
V1
1
V2
1 1(1) 2
1 2 (1)
2 1(2 )
2 2(2)
记为 2 1
(1 2 ) 2 (1(1 2 )) 2 (1 2 ) 1 2 (1) (2 ) (k ) 2 (1(k )) 2 (k1( )) k21( ) k ( ).
( W ) ( W ) ( ) W ,
c( W ) c W .
则V 对于所定义的运算构成域F上的线性
空间，称为V的商空间. 记作V /W.
11
定理18：设V是n维线性空间，W是V的
m维子空间，则dimV /W n m.
证 : 设1, ,m是W的一组基，扩充为V 的基，1, ,m , m1, , n. 若
例21:
y
W
W
O
V R2, W是过原点的直线 W是平行W的直线.
x
9
模W的同余类的基本性质:
(1) 若 W , 则 W W.
(2) 若 W , 而 W ,
则 ( W ) ( W ) ,
证(1) W W ,使 .
W , 1 W，使 1 1 （ 1） W 左 右；
km1 ( m1 W ) km2 ( m2 W ) kn (n W ) 0 W ,
线性空间的基与维数及线性同构
有
1 E 11 = 0 0 E 21 = 1
0 0 , E 12 = 0 0 0 0 , E 22 = 0 0
1 , 0 0 1
k1 k 2 , k 1 E 11 + k 2 E 12 + k 3 E 21 + k 4 E 22 = k3 k4
1 ( a 0 − a 1 , a 1, a 2 , a 3 , a 4 ) 2 注意 线性空间 V的任一元素在不同的基下所对的 坐标一般不同， 坐标一般不同，一个元素在一个基下对应的坐标是 唯一的． 唯一的．
T
例２ 所有二阶实矩阵组成的集合 V，对于矩阵 的加法和数量乘法， 的加法和数量乘法，构成实数域 R上的一个线性 空间． 空间．对于 V 中的矩阵
λα ↔ λ ( x1 , x2 ,⋯, xn )
T
结论 １．数域 P上任意两个n 维线性空间都同 构． 同构的线性空间之间具有反身性、对称性 ２．同构的线性空间之间具有反身性、 与传递性． 与传递性． ３．同维数的线性空间必同构． 同维数的线性空间必同构．
同构的意义 在线性空间的抽象讨论中， 在线性空间的抽象讨论中，无论构成线性空间 的元素是什么，其中的运算是如何定义的， 的元素是什么，其中的运算是如何定义的，我们所 关心的只是这些运算的代数性质． 关心的只是这些运算的代数性质．从这个意义上可 以说，同构的线性空间是可以不加区别的， 以说，同构的线性空间是可以不加区别的，而有限 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数． 维线性空间唯一本质的特征就是它的维数．
二、元素在给定基下的坐标
定义２ 定义２ 设α 1 , α 2 ,⋯ ,α n是线性空间 Vn的一个基 , 对
于任一元素 α ∈ Vn , 总有且仅有一组有序 数 x1 , x 2 ,⋯ , x n , 使
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§4.4 线性空间的同构下面讨论同构的概念在线性空间中的应用，以便将两个线性空间进行比较。
设V 与V '都是数域P 上的线性空间，在V 与V '上各有加法和数量乘法运算，并且都用普通的加法和乘法符号表示。
定义4.4.1 设V 与V '都是数域P 上的线性空间，如果存在V 到V '上的双映射σ满足 （1） )()()(βσασβασ+=+； （2） )()(ασασk k =，其中βα,是V 中任意向量，k 是数域P 中任意数，则称σ为V 到V '的同构映射，并且称V 与V '是同构的。
同构的线性空间具有如下性质。
定理4.4.1 设V 与V '是数域P 上的同构线性空间，σ为V 到V '的同构映射，则 （1） )0(σ=0；（2） 对任意V ∈α，)()(ασασ-=-；（3） 如果m αα,,1 是V 的一个向量组，∈m k k ,,1 P ，则)()()(1111m m m m k k k k ασασαασ++=++ ；（4） V 中向量组m αα,,1 线性相关当且仅当它们的像)(1ασ,)(,m ασ 是V '中线性相关的向量组；（5） 如果V 是n 维的，n εε,,1 是V 的一组基，则V '也是n 维的，并且)(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。
证明 （1）－(3) 由定义4.4.1即得。
（4） 如果向量组m αα,,1 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P 使得011=++m m k k αα由（1）和（3）得0)()(11'=++m m k k ασασ所以)(1ασ,)(,m ασ 线性相关。
反过来，如果)(1ασ,)(,m ασ 线性相关，则存在不全为零的数∈m k k ,,1 P ，使得0)()(11=++m m k k ασασ即0)(11=++m m k k αασ因为σ是双映射，所以011=++m m k k αα ，从而m ααα,,,21 线性相关。
（5） 由（4）知)(,),(1n εσεσ 是V '的线性无关向量组。
对任意∈'αV '，因为σ是满映射，所以存在∈αV 使得αασ'=)(。
因为 n n x x εεα++= 11，则)()()(1111n n n n x x x x εσεσεεσα++=++='由定理4.2.1知V '是n 维的，并且)(,),(1n εσεσ 是V '的一组基。
□ 类似于定理3.2.8, 有如下结论。
定理4.4.2 设V V V ''',,都是数域P 上的线性空间。
如果σ为V 到V '的同构映射，τ是V '到V ''的同构映射，则（1）τσ是V 到V ''的同构映射；（2）1-ϕ是V '到V 的同构映射。
在数域P 上线性空间组成的集合中同构是一个等价关系。
因此，如果只涉及线性空间在线性运算下的代数性质，那么同构的线性空间具有相同的性质。
定理4.4.3设V 是数域P 上的n 维线性空间，则V 与n P 同构。
证明 设n εεε,,,21 是V 的一组基。
对V 中任一向量α，它可唯一地表示为n n x x x εεεα+++= 2211 。
令σ：V → nP ，n n x x x εεεα+++= 2211 → x =⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21，则σ是V 到nP 上的双映射，并且σ保持运算关系不变。
事实上，对∈k P 及V 中向量β，有 n n y y y εεεβ+++= 2211，n n n y x y x y x εεεβα)()()(222111++++++=+ ， n n kx kx kx k εεεα+++= 2211 。
因为==x )(ασ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n x x x 21， =)(βσ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n y y y y 21，则)()()(βσασβασ+=+=+y x ，)()(ασασk kx k == ， 即σ是V 到n P 的同构映射。
因此，n 维线性空间V 与n P 同构。
□定理4.4.3说明在n 维线性空间V 中取定一组基以后，向量与它的坐标之间的对应就是V 到n P 的一个同构映射。
因而线性空间V 的讨论也就可以归结为n P 的讨论，n 维向量空间n P 的一些结论在一般的n 维线性空间中也成立。
定理4.4.4 数域P 上的两个有限维线性空间V 与V '同构的充分必要条件是它们的维数相同。
证明 必要性由定理4.4.1(5)即得。
下面证充分性。
设n V V ='=)dim()dim(。
由定理4.4.3知，V 与nP 同构，并且V '与nP 同构。
因为线性空间的统购是等价关系，所以V 与V '同构。
□§4.5 商空间设V 是数域P 上的线性空间，W 是V 的子空间。
我们可以在V 上定义一个关系“～”：对任意V ∈βα,，βα~当且仅当W ∈-βα， （4.5.1） 则这个关系是V 中的一个等价关系。
线性空间V 按等价关系～可构造商集~/V 。
因为等价关系～是由V 的子空间W 确定的，所以将~/V 称为线性空间V 对子空间W 的商集，记为W V /。
此商集的元素为等价关系～的等价类。
用[]α表示包含元素α的等价类。
对[]βα∈，则W ∈-αβ，从而存在W ∈γ使得W ∈+=γγαβ,。
反之，若V ∈β可表示为上述形式，则αβ~，从而[]βα∈。
因此，等价类[]α可表示为[]{|}W W αααγγ=+=+∈。
（4.5.2）通常称W +α为一个W 型的线性流形（manifold ），并称)dim(W 为线性流形W +α的维数。
线性流形W +α等于α确定的等价类[]α，于是}|{/V W W V ∈+=αα， （4.5.3）即商集W V /由V 的所有W 型的线性流形组成。
线性流形W +α中α称为代表元。
对V ∈βα,，由定理1.5.1知，[][]αβ=的充分必要条件是βα~。
因此，W W +=+βα当且仅当W ∈-βα。
（4.5.4）因为0[0]W W =+=，所以子空间W 也是一个线性流形。
定理4.5.1 若域P 上的n 元非齐次线性方程组 m n m P b P A b Ax ∈∈=⨯,,有解，则它的解集合是一个线性流形)(0A N +γ，其中0γ是b Ax =的一个解，)(A N 是A 的零空间。
证明 设线性方程组b Ax =的所有解组成的集合记为S ，则S A N ⊆+)(0γ。
任取S ∈γ，则)(0A N ∈-γγ。
于是)()(000A N +∈-+=γγγγγ，所以)(0A N S +⊆γ。
因此，)(0A N S +=γ。
□我们可以在线性空间V 对子空间W 的商集W V /上定义加法与数量乘法运算。
定理4.5.2 设W 是域P 上线性空间V 的子空间，对[],[]/V W αβ∈，P k ∈，令 [][]()()()[]W W W αβαβαβαβ+=+++=++=+， （4.5.5） []()[]k k W k W k αααα=+=+=， （4.5.6） 则W V /按上述加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。
证明 （4.5.5）和（4.5.6）都用到线性流形的代表元，但一个线性流形的代表元可以有多种选取方式，因此我们首先证明（4.5.5）和（4.5.6）的结果不依赖于代表元的选取。
设W W W W +=+'+=+'ββαα,，由（4.5.4）得W W ∈-'∈-'ββαα,。
因为W 是V 的子空间，所以W ∈-'+-'=+-'+')()()()(ββααβαβα，W k k k ∈-'=-')(αααα，则由（4.5.4）得W k W k W W +=+'+'+=+'+'ααβαβα,)()(。
上式说明（4.5.5）和（4.5.6）定义了W V /上的加法与数量乘法，并且由定理4.5.2容易验证W V /按（4.5.5）和（4.5.6）定义的加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。
□W V /按上面定义的加法与数量乘法构成域P 上的线性空间。
这个线性空间称为线性空间V 对子空间W 的商空间，其零元素是0[0]W W =+=。
定理4.5.3 设W 是域P 上有限维线性空间V 的子空间，则)dim()dim()/dim(W V W V -=。
（4.5.7）证明 设m W n V ==)dim(,)dim(，m αα,,1 是W 的一组基。
把m αα,,1 扩充成V 的一组基n m m αααα,,,,,11 +。
任取W V W /∈+β，设n n x x x αααβ+++= 2211，则)()()()()()()()()(111111112211W x W x W x W x W W W x W x W x W x Wx x x W n n m m n n m m n n m m m m n n ++++=+++++++=+++++++++=++++=+++++++αααααααααααβ 。
这表明W V /中任一向量可经W W n m +++αα,,1 线性表示。
下面证明W W n m +++αα,,1 线性无关。
现设W W k W k n n m m =++++++)()(11αα ，则W W k k n n m m =+++++)(11αα ，从而W k k n n m m ∈++++αα 11。
于是 m m n n m m k k k k αααα---=++++ 1111 ，即01111=+++++++n n m m m m k k k k αααα 。
因为n m m αααα,,,,,11 +线性无关，所以011======+n m m k k k k ，因此W W n m +++αα,,1 线性无关，即W W n m +++αα,,1 是W V /的一组基，从而)dim()dim()/dim(W V m n W V -=-=。
□一般地，线性空间V 及其子空间W 都是无限维的，而商空间W V /是有限维的。
在这种情况下，定理4.5.4不适用。
定义4.5.2 设W 是域P 上线性空间V 的一个子空间，如果V 对子空间W 的商空间W V /是有限维的，则)/dim(W V 称为子空间W 在V 中的余维数（codimension ），记为W co V dim 或W co dim 。