1-5 线性空间的同构
高等代数线性空间的同构
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
. .. . . ..
同构映射的性质
证 因为 σ 是 V 到 V′ 的一个单射，所有如果 σ(α) = σ(β)，则 α = β. 于是有
k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs = 0 ⇔σ(k1α1 + k2α2 + · · · + ksαs) = σ(0) ⇔k1σ(α1) + k2σ(α2) + · · · + ksσ(αs) = 0′
i=1
i=1
∑n
∑n
= aiγi + biγi
i=1
i=1
= σ(α) + σ(β),
∑n
∑n
σ(kα) = σ( (kai)αi) = (kai)γi
i=1
i=1
∑n
= k aiγi V 到 V′ 的一个同构映射，从而 V ∼= V′.
. . . .... .... .... . . . . .... .... .... . .
线性空间同构的概念
数域 P 上 n 维线性空间 V 与数域 P 上 n 元有序组组成的线性 空间 Pn 非常相像. 例如，对于 Pn 中向量组 α1, α2, · · · , αs 生成 的子空间 U = L(α1, α2, · · · , αs)，向量组 α1, α2, · · · , αs 的一个 极大线性无关组是 U 的一个基，dim U 等于 rank{α1, α2, · · · , αs}. 对于 V 中向量组生成的子空间也有同样的结论.
σ :V ∑n
α = aiαi
i=1
线性空间的同构与同态
线性空间的同构与同态线性空间是很多高阶数学领域所需要用到的基本概念，因此在线性代数的学习中，我们不得不对线性空间基本的性质、定义、等价性、基础定理等有一个深刻的理解。
当然，线性空间的同构与同态作为线性变换的代名词，也是我们学习线性空间理论时，需要重点关注的。
一、线性空间同构同构，是数学中一个十分重要的概念。
它指的是两个结构相同、具有相同性质的数学对象。
更准确地说，如果两个集合之间存在一一对应，且它们之间的映射不仅是单射还是满射，那么这两个集合就是同构的。
对于线性空间，它满足向量的加法和数量的乘法这两个运算规则，因此，我们可以要求用以下方式定义两个线性空间的同构：定义：若存在双射映射$f:V\to W$，并满足：1. $\forall u,v\in V$，有$f(u+v)=f(u)+f(v)$。
2. $\forall u\in V$和$c\in F$，有$f(cu)=cf(u)$。
则称线性空间$V$和$W$之间存在同构，称$f$为同构映射。
其中，$F$是一个数域，它是一个固定的标量（标量乘法满足分配律、结合律、单位元和逆元等基本性质）。
同构可以理解为两个向量空间“外形”相同，尽管它们之间的标量乘法、向量加法的具体运算方式可能不同。
关于线性空间同构，我们有如下三个重要结论：（1）同构是一种双射关系，即两个线性空间同构当且仅当它们的维度相等。
（2）两个线性空间同构，则它们必须同构于数域$F$上的$n$维线性空间$F^n$。
（3）两个线性空间同构，当且仅当它们的基底个数相等。
通过上述结论，我们可以发现，实际上同构所关注的是两个线性空间的向量基。
只有当两个线性空间的维度相等、同构映射满足条件时，它们才是同构的。
因此，为了构造同构映射，我们通常需要找到两个向量空间之间的一个映射，满足一一对应、线性、满射的性质，这样才能实现同构。
二、线性空间同态同态是另一个重要的概念。
它们也是线性代数中常用的术语，他们主要与线性空间中的变换相关。
6.8 线性空间的同构
V
β
α α＋β
V/
σ(β)
σ(α) σ(α＋β)=σ(α)+σ(β)
P
k
α
kα
P σ(α)
σ(kα)= kσ(α)
实例： 取映射 f：V3 R3 , 规定 V3
x
间. 设 dim V1 r, 1, ,r是V1 的基 f (1), , f (r（) f (V1)）线性 无关.
f (V1), a11 arr V1, f ( ) f (a11 arr )
a1 f (1) ar f (r ) f (1), , f (r ) 是 f (V1) 的基，即
5) f 是满射 , f (V1), , V1, f ( ) , f ( ) ；
由因 V1 是子空间 a,b P, a b V
a b af ( ) bf ( ) f (a b ) f (V1) f (V1)是W 的子空
gf 是V到V// 的同构映射.
□
该定理说明：线性空间 V V （自反性）；
V W W V （对称性）；
V V/，V/ V// V V// （传递性）
即线性空间之间的同构关系是一个等价关系.
4. (定理 12) V W dim V dim W
证明： V W V的基 e1, ,en 在同构映射 f 下的像
f ( ) f ( ) f 是V3到R3的映射.
, V3 , 设 xe1 ye2 ze3 , x/e1 y /e2 z /e3
数学竞赛讲座：同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。
南京工业大学矩阵论ch1 线性空间讲义
第一章 线性空间线性空间是我们以前学习过的n 维向量空间的推广和抽象，它不仅在线性代数和矩阵的有关理论中占有重要的地位，而且它的理论和方法已经渗透到自然科学和工程技术的许多领域。
§1.1 线性空间的定义和性质为下面讨论需要，先引入数域的概念。
定义1 设P 是由一些复数组成的集合，如果它包含0与1，且P 中任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍然属于P ，则称P 为一个数域。
显然，有理数集Q 、实数集R 和复数集C 都是数域，分别称为有理数域、实数域和复数域。
另外，数集},3{)3(Q b a b a Q ∈+=也是一个数域，但整数集不是数域。
我们知道n 维向量空间n R 就是全体n 维向量组成的集合，在其中定义了加法运算和实数与向量的数乘运算，并且这二种运算满足八条规律。
另外，在全体n m ⨯阶实矩阵组成的集合n m R ⨯中，也定义了矩阵的加法运算和实数与矩阵的数乘运算，且这二种运算满足八条规律。
还有很多这样的例子，从这些例子中可见，所考虑的对象虽然完全不同，但它们有一个共同点，即它们都具有两种运算：一种是两个元素之间的加法运算；另一种运算是数与元素之间的数乘运算，且满足八条规律。
我们撇开这些对象的具体含义，加以抽象化，得到线性空间的概念。
定义2 设P 是一个数域，V 是一个非空集合，如果1. V 中元素具有可加性 对任意V ∈βα,，在V 中总存在唯一元素γ与它们对应，γ称为α与β的和，记作βαγ+=，并且对任意V ∈γβα,,满足：（1）交换律 αββα+=+（2）结合律 )()(γβαγβα++=++（3）在V 中存在零元素0，使对任意V ∈α，都有αα=+0；（4）对任意V ∈α，存在V 中的元素β，使得0=+βα（β称为α的负元素，记为－α）；2. V 中元素与数域P 中的数具有可乘性 对任意P k ∈和任意V ∈α，在V 中总存在唯一元素δ与之对应，δ称为数k 与α的数量乘法（简称数乘），记为αδk =，并且对任意P l k ∈,，任意V ∈α，满足（5）αα=1；（6）结合律 αα)()(kl l k =；（7）左分配律 αααl k l k +=+)(；（8）右分配律 βαβαk k k +=+)(；则称非空集合V 为数域P 上的一个线性空间。
向量空间的同构知识点总结
向量空间的同构知识点总结一、引言向量空间是线性代数中的一个重要概念，它是一个具有加法和数乘运算的集合，同时满足一定的性质。
同构是一个重要的概念，它指的是两个向量空间之间存在一个双射线性变换，使得它们具有相同的结构。
在本文中，我们将对向量空间的同构进行详细的介绍和总结。
二、向量空间的定义和性质向量空间是一个非空集合V，集合中的元素被称为向量，同时满足以下性质：1.加法封闭性：对于任意的向量u，v∈V，u+v∈V。
2.数乘封闭性：对于任意的向量u∈V和标量α，αu∈V。
3.加法结合律：对于任意的向量u，v，w∈V，有(u+v)+w=u+(v+w)。
4.加法交换律：对于任意的向量u，v∈V，有u+v=v+u。
5.加法单位元：存在一个向量0∈V，对于任意的向量u∈V，有u+0=u。
6.加法逆元：对于任意的向量u∈V，存在一个向量-v∈V，使得u+(-v)=0。
7.数乘结合律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(αβ)u=α(βu)。
8.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有(α+β)u=αu+βu。
9.数乘分配律：对于任意的向量u∈V和标量α，β，有α(u+v)=αu+αv。
在向量空间中，我们可以定义向量的长度和夹角，从而引出内积和范数的概念。
内积和范数是向量空间的重要性质，它们在向量的运算和分析中起着重要的作用。
三、同构的概念同构是指两个向量空间之间存在一个一一对应的线性变换，使得它们具有相同的结构。
具体定义如下：设V和W是两个向量空间，如果存在一个线性变换T:V→W是一个一一对应，同时满足T(u+v)=T(u)+T(v)和T(αu)=αT(u)，则称V与W同构。
此时，我们将T称为从V到W的同构映射。
同构的概念是非常重要的，在许多情况下，我们需要将一个向量空间映射到另一个向量空间，通过同构，我们可以保持向量空间的结构不变，从而方便我们进行运算和分析。
四、同构的性质同构具有一些重要的性质，这些性质在研究向量空间的同构时起着重要的作用：1.同构是一一对应的：同构映射T是一个双射。
第八节线性空间的同构
其中 α , β 是 V 中任意向量， k 是 P 中任意的数，则称 σ 为 V 到 V ′ 的同构映 射，这时也称线性空间 V 与 V ′ 同构
注意：1）定义 12 中条件 1）2）于下面条件 3）等价： 注意 3） σ ( kα + lβ ) = kσ (α ) + lσ ( β ) ， ∀α , β ∈ V ， ∀k , l ∈ P 。
线性空间的同构一线性空间同构的概念定义12的11对应且满足的同构映射这时也称线性空间v同构注意
§8 线性空间的同构
一、线性空间同构的概念
定义 12 设 V 与 V ′ 是数域 P 上线性空间， σ 是 V 到 V ′ 的 1-1 对应，且满足 1） σ (α + β ) = σ (α ) + σ ( β ) ； 2） σ ( kα ) = kσ (α ) 。
2）任意线性空间都与自己同构。
3）数域 P 上任一 n 维线性空间都与 P n 同构。
例 1:设 V = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , A′ = A} ，
W = { A | A = ( a ij ) ∈ P 3×3 , a ij = 0, i > j ,1 ≤ i, j ≤ 3} ，规定：
二、同构映射的性质
1） σ (0) = 0 ， σ ( −α ) = −σ (α ) ；
2） σ ( k1α 1 + k 2α 2 + L + k r α r ) = k1σ (α 1 ) + L + k r σ (α r ) ；
3）V 中向量组 α 1 , α 2 ,Lα r 线性相关（无关）等价于 σ (α 1 ), σ (α 2 ),Lσ (α r ) 线性相关（无关） 。
线性空间的基与维数及线性同构
f
(
n
1)( a
)
T
设 1 , 2 ,, n 是n维线性空间V n的一组基,在
这组基下,V n中的每个向量都有唯一确定的坐标. 而向量的坐标可以看作Rn中的元素,因此向量与它 的坐标之间的对应就是V n到 Rn的一个映射.
由于 Rn中的每个元素都有V n中的向量与之对 应,同时V n中不同的向量的坐标不同,因而对应Rn 中的不同元素.我们称这样的映射是V n与 Rn的一个 1 1对应的映射.这个对应的重要性表现在它与运 算的关系上.
一、线性空间的基与维数
已知：在 Rn中，线性无关的向量组最多由 n 个向量组成，而任意 n 1个向量都是线性相关的．
问题：线性空间的一个重要特征——在线性空 间V 中，最多能有多少线性无关的向量？
定义１ 满足：
在线性空间 V 中，如果存在 n个元素
1,2 ,,n
(1) 1 , 2 ,, n线性无关;
思考题解答
解令
k1 f 1(x) k2 f 2(x) k3 f 3(x) k4 f 4(x) 0 则得
(k1 2 k 2 k 3 2 k 4) x3 (2 k1 3 k 2 5 k 4) x2
(4 k1 9 k 2 6 k 3 7 k 4)x (k1 k 2 5 k 3 5 k 4) 0.
空间．对于V中的矩阵
E
11
1 0
0 0
,
E
12
0 0
1 , 0
E
21
0 1
0 0
,
E
22
0 0
0 1
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dimV dimV .
证 设 dimV n, 1 , 2 ,, n 为V 中任意一组基.
由2，3 知， ( 1 ), ( 2 ),, ( n )为 的一组基.
所以 dimV n dimV .
：V V 的逆映射 1 为 V 到V 的同构映射.
我们知道，在数域F上的n维线性空间V中取定 一组基后， V中每一个向量 有唯一确定的坐标: 向量的坐标是F上的n元数组，因此属于 F n ,这样 对于V中每一个向量 ,令 在这组基下的坐标为 (a1 , a2 ,, an ), 则 (a1 , a2 ,, an )与 对应，就得到V 到 一来，取定了V 的一组基 1 , 2 ,, n ,
矩阵论教程A
哈尔滨工程大学理学院 矩阵论教学团队
Department of Mathematics, College of Sciences
课程要求
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书后要求的习题,主动自觉做,抽查和不定时收取
使用教材
《 矩阵论教程》国防工业出版社 2012
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( ) (a1 , a2 ,, an ),
这个对应的重要性表现在它与运算的关系上.
定义
设 V ,V 都是数域F上的线性空间，如果映射
：V V 具有以下性质：
i) 为双射
ii) ( ) ( ) ( ),
iii) k k ,
线性空间既是代数学的基本概念，也是矩阵论
的基本概念之一，本章首先介绍这一概念。学习过 这一部分内容的同学可以将本章作为对所学知识的 回顾和延伸。 线性空间是解析几何和线性代数中向量概念的
抽象化。
本章将给出线性映射和线性变换的概念与性
质，同时也建立了矩阵和线性映射及线性变换之间
的一种关系
§1.5
线性空间的同构
1 2
V1 P , V2 P
n
n
例2、把复数域看成实数域R上的线性空间， 证明： C R 2 证法一：证维数相等
首先， x C , x 可表成 x a1 bi , a , b R
其次，若 a1+ bi= 0, 则 a= b 0. 所以，1，i 为C的一组基， dim C 2. 又， dim R 2 2 所以， dim C dim R2 . 故， V1 V2 .
证 首先 1 :V V 是1－1对应，并且 1 1 IV , IV , I为恒等变换.
任取 , V ,
1
)) 1 ( ) ( (
1 ( ) 1 ( ) ( 1 ( )) ( 1 ( )) ( 1 ( ) 1 ( ))
1
传递性：V V , V V V V
定理2 数域F上的两个有限维线性空间V1 ,V2 同构 dimV1 dimV2 .
证： " " 若 V1 V2 ,由性质2之4）即得 dimV1 dimV2 . " " 若 dimV dimV , 有
k k
所以，乘积 是 V 到V 的同构映射.
同构关系具有：
反身性： V V
IV
对称性： V V V V
是的 V 子空间，且 dim W dim (W ).
证 首先， W V V
且 0= 0 W , W
其次，对 , W , 有W中的向量 , 使 , . 于是有 kห้องสมุดไป่ตู้ k k , k P
证：设 ：V V , : V V 为线性空间的同构 映射，则乘积 是 V 到V 的1－1对应. 任取 ， V , k P , 有
k k k
F n 的一个映射
: V F , (a1 , a2 ,, an )
n
反过来，对于 F n中的任一元素(a1 , a2 ,, an ),
是V中唯一确定的元素，并且:
1a1 2a2 nan
即 也是满射.
因此， 是V到 F n 的一一对应.
由于W为子空间，所以 W , k W . 从而有 W , k W .
所以 W 是的 V 子空间. 显然， 也为W到 W 的同构映射，即 W W
故 dimW dim (W ).
两个同构映射的乘积还是同构映射.
k a a k ln a k k ln a k a
所以， 为 R到R 的同构映射. 故 R R.
方法二：作对应 : R R , x e x , x R
易证： 为 R到R 的1－1对应，而且也为同构映射. 事实上， 为 的逆同构映射.
0 0, .
证： 在同构映射定义的条件iii)
k k 中分别取 k 0与k 1,
即得 0 0,
k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ), i 1,2,, r .
反过来，由 k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ) 0 可得 ( k1,1 ,k2 kr r ) 0. 2 因此， 1 , 2 r 线性相关（线性无关） 而 ( 是一一对应，只有 线性相关（线性无关）. 1 ), ( 2 ),, ( r ) (0) 0. 所以可得 k11 k2 2 kr r 0.
, V
k P , V
则称 是V 到V 的一个同构映射，并称线性空间
V 与V 同构，记作 V V .
例1. V为数域F上的n维线性空间， 1 , 2 , , n
为V的一组基，则前面V到 F 的一一对应
n
: V F n [a1 , a2 ,, an ]T
第一章 线性空间与线性映射
1
2 3
线性空间 线性子空间
线性映射与线性变换
线性变换的不变子空间 线性空间的同构
授课预计 (8学时)
4
5
教学内容和基本要求
1，理解线性空间的概念，掌握基变换与坐标变换的公式； 2, 掌握子空间与维数定理，理解子空间的相关性质； 3, 理解线性映射及线性变换的概念，掌握线性映射及变 换 的矩阵表示。掌握线性映射的值域、核等概念 . 4, 理解线性变换的不变子空间得相关概念和性质 重点: 难点: 线性空间的概念；子空间的维数定理；线性映射 及线性变换;不变子空间 基变换与坐标变换;不变子空间
证：作对应 : R R, a ln a , a R 易证 为 R到R 的1－1对应. 且对 a, b R , k R, 有
a b ab ln ab ln a ln b a b
T
V
这里[a1 , a2 ,, an ] 为 在 1 , 2 , , n 基下的坐标
F n 的同构映射，所以 就是一个V到
V Fn
定理1 数域F上任一n维线性空间都与F n 同构.
同构映射的性质
设V ,V 是数域F上的线性空间， 是V 到V 的
同构映射，则有：
证法二：构造同构映射 作对应 : C R 2 , a bi a , b . 则 为C到R2的一个同构映射. 例3、全体正实数R+ 关于加法⊕与数量乘法 ：
a b ab, k a a k
作成实数域R上的线性空间.
把实数域R看成是自身上的线性空间. 证明： R R, 并写出一个同构映射.
是单射，有 1 ( ) 1 ( ) 1 ( ) 再由
1 (k ) k 1 ( ), V , k P 同理，有
所以， 1为 V 到V 的同构映射. 若W是V 的子空间，则W 在 下的象集
(W ) { ( ) W }
( k11 k2 2 kr r )
i V , ki F ,
V中向量组1 , 2 ,, r 线性相关（线性无关） 的充要条件是它们的象 (1 ), ( 2 ),, ( r ) 线性相关（线性无关）. 证 因为由 k11 k2 2 kr r 0 可得 k1 (1 ) k2 ( 2 ) kr ( r ) 0