求极限的方法大全(2)
各种求极限方法
=
lim e 1 x2
çæ è
1 x
sin
x
-1÷ö ø
=
sin x - x 2
2
x
ö
÷
x -1ø
=
é
lim
x® +¥
êêêëççèæ1
+
x -1
1
x -1 2
÷÷øö
2
çæ1 + è
2
1ù
x
2 -
1
÷ö ø
2
ú ú úû
=
e2
例
6：(1) lim çæ1 x ® +¥ è
1 x2
x
ö ÷
；(2)已知
lim
æ ç
ø
x ® +¥ è
x + 2a ö x ÷
x-a ø
= 8 ，求 a 。
,
x®0
x2
(a >0).
【解】 a x = e xln a = 1 + x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) , 2
a -x = 1 - x ln a + x 2 ln 2 a + o( x 2 ) ; 2
a x + a -x - 2 = x 2 ln 2 a + o( x 2 ).
x ®1
x -1
x®1
2．分子分母同除求极限
例
2：求极限
lim
x®¥
x3 - x2 3x3 +1
【说明】 ¥ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。 ¥
【解】 lim
x3
- x2
求函数极限的方法总结及例题
求函数极限的方法总结及例题一、求函数极限的方法总结。
1. 代入法。
当函数在极限点处连续时，直接将极限点代入函数求值。
例如，对于函数f(x)=x + 1，求lim_x→2(x + 1)，直接将x = 2代入，得到lim_x→2(x+1)=2 + 1=3。
2. 因式分解法。
适用于(0)/(0)型的极限。
例如，求lim_x→1frac{x^2-1}{x 1}，将分子因式分解为(x + 1)(x 1)，则原式=lim_x→1((x + 1)(x 1))/(x 1)=lim_x→1(x + 1)=2。
3. 有理化法。
对于含有根式的函数，通过有理化来消除根式。
例如，求lim_x→0(√(x+1)-1)/(x)，分子分母同时乘以√(x + 1)+1进行有理化，得到lim_x→0((√(x + 1)-1)(√(x + 1)+1))/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(x)/(x(√(x + 1)+1))=lim_x→0(1)/(√(x + 1)+1)=(1)/(2)。
4. 等价无穷小替换法。
当x→0时，sin xsim x，tan xsim x，ln(1 + x)sim x，e^x-1sim x等。
例如，求lim_x→0(sin2x)/(x)，因为sin2xsim2x(x→0)，所以lim_x→0(sin2x)/(x)=lim_x→0(2x)/(x)=2。
5. 洛必达法则。
对于(0)/(0)型或(∞)/(∞)型的极限，可对分子分母分别求导再求极限。
例如，求lim_x→0frac{e^x-1}{x}，这是(0)/(0)型，根据洛必达法则，lim_x→0frac{e^x-1}{x}=lim_x→0frac{(e^x-1)'}{x'}=lim_x→0frac{e^x}{1}=1。
二、例题。
1. 例1。
求lim_x→3frac{x^2-9}{x 3}解析：这是(0)/(0)型极限，可先对分子因式分解，x^2-9=(x + 3)(x 3)。
高等数学中几种求极限的方法
高等数学中几种求极限的方法极限是微积分中的一条主线，是学好微积分的重要前提条件。
而此问题一般来说比较困难，要根据具体情况进行具体分析和处理，方法很多比较凌乱。
以下是小编搜索整理的高等数学中几种求极限的方法，供参考借鉴！一、由定义求极限极限的本质??既是无限的过程，又有确定的结果。
一方面可从函数的变化过程的趋势抽象得出结论，另一方面又可从数学本身的逻辑体系下验*其结果。
然而并不是每一道求极限的题我们都能通过直观观察总结出极限值，因此由定义法求极限就有一定的局限*，不适合比较复杂的题。
二、利用函数的连续*求极限此方法简单易行但不适合于f(x)在其定义区间内是不连续的函数，及f(x)在x0处无定义的情况。
三、利用极限的四则运算法则和简单技巧求极限极限四则运算法则的条件是充分而非必要的，因此，利用极限四则运算法则求函数极限时，必须对所给的函数逐一进行验*它是否满足极限四则运算法则条件。
满足条件者，方能利用极限四则运算法则进行求之，不满足条件者，不能直接利用极限四则运算法则求之。
但是，并非不满足极限四则运算法则条件的函数就没有极限，而是需将函数进行恒等变形，使其符合条件后，再利用极限四则运算法则求之。
而对函数进行恒等变形时，通常运用一些简单技巧如拆项，分子分母同乘某一因子，变量替换，分子分母有理化等等。
四、利用两边夹定理求极限定理如果X≤Z≤Y，而limX=limY=A，则limZ=A两边夹定理应用的关键：适当选取两边的函数(或数列)，并且使其极限为同一值。
注意：在运用两边夹定理求极限时要保*所求函数(或数列)通过放缩后所得的两边的函数(或数列)的极限是同一值，否则不能用此方法求极限。
五、利用两个重要极限求极限六、利用单调有界原理求极限单调有界准则即单调有界数列必定存在极限。
使用单调有界准则时需*两个问题：一是数列的单调*，二是数列的有界*;求极限时，在等式的两边同时取极限，通过解方程求出合理的极限值。
利用单调有界原理求极限有两个难点：一是*数列的单调*，二是*数列的有界*，在*数列的单调*和数列的有界*时，我们通常都采用数学归纳法。
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)
高等数学求极限的常用方法(附例题和详解)高等数学求极限的常用方法（附例题和详解）在高等数学中，求极限是一个基础而重要的概念，它在各个数学领域都有广泛的应用。
本文将介绍一些常用的方法，以及针对这些方法的例题和详细解析。
I. 无穷小量法无穷小量法是求解极限最常见的方法之一。
它的基本思想是将待求极限转化为无穷小量之间的比较。
下面通过一个例题来说明这个方法。
例题1：求极限lim(x→0) (sin x) / x解析：考虑当 x 趋近于 0 时，sin x 和 x 的关系。
根据三角函数的极限性质，我们知道 sin x / x 的极限为 1。
因此，原式可以看作(sin x) / x ≈ 1，即它在 x 趋近于 0 时趋近于 1。
故lim(x→0) (sin x) / x = 1.II. 夹逼法夹逼法也是常用的求解极限的方法，它适用于求解含有不等式的极限问题。
下面通过一个例题来说明夹逼法的思想。
例题2：求极限lim(x→0) x^2sin(1/x)解析：首先，我们要注意到 x^2sin(1/x) 的取值范围在 [-x^2, x^2] 之间，因为 -1 ≤sin(θ) ≤ 1 对任意θ 成立。
然后，我们可以利用夹逼法，将 x^2sin(1/x) 夹逼在 0 和 0 之间。
也就是说，对于任何 x，都有 -x^2 ≤ x^2sin(1/x) ≤ x^2。
根据夹逼定理，当 x 趋近于 0 时，x^2sin(1/x) 的极限为 0。
故lim(x→0) x^2sin(1/x) = 0.III. 泰勒展开法泰勒展开法是一种将函数在某点附近进行多项式逼近的方法，它可以帮助我们求解一些复杂的极限问题。
下面通过一个例题来说明泰勒展开法的应用。
例题3：求极限lim(x→0) (e^x - 1) / x解析：考虑函数 f(x) = e^x 在 x = 0 处的泰勒展开式：f(x) = f(0) + f'(0)x + f''(0)x^2 / 2! + f'''(0)x^3 / 3! + ...其中，f'(0)表示 f(x) 在 x = 0 处的导数，依次类推。
高等数学求极限的17种常用方法(附例题和详解)
(iii)
(iv)单调有界准则
（v）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）
（vi）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限 存在的充分必要条件是：
二．解决极限的方法如下：
1.等价无穷小代换。只能在乘除时候使用。例题略。
2.洛必达（L’hospital）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）
它的使用有严格的使用前提。首先必须是X趋近，而不是N趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x趋近情况下的极限，数列极限的n当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f（x）、g（x）,没告诉是否可导，不可直接用洛必达法则。另外，必须是“0比0”或“无穷大比无穷大”,并且注意导数分母不能为0。洛必达法则分为3种情况：
；
cos=
ln（1+x）=x-
(1+x) =
以上公式对题目简化有很好帮助
4.两多项式相除:设 ，
P（x）= ,
(i) （ii）若 ，则
5.无穷小与有界函数的处理办法。例题略。
面对复杂函数时候，尤其是正余弦的复杂函数与其他函数相乘的时候，一定要注意这个方法。面对非常复杂的函数可能只需要知道它的范围结果就出来了。
（i）“ ”“ ”时候直接用
(ii)“ ”“ ”，应为无穷大和无穷小成倒数的关系，所以无穷大都写成了无穷小的倒数形式了。通项之后，就能变成(i)中的形式了。即 ；
(iii)“ ”“ ”“ ”对于幂指函数,方法主要是取指数还取对数的方法，即 ，这样就能把幂上的函数移下来了，变成“ ”型未定式。
3.泰勒公式(含有 的时候，含有正余弦的加减的时候）
例1已知A=｛x -2≤x<3｝，B=｛x -1<x≤5｝，求A B，A B
求极限的方法(自己总结的)
求极限的方法(自己总结的)一、求极限的基本原理求极限是数学中重要的概念，它可用来表示函数变化过程中某一值的上限或下限。
它是一个基本的非线性分析方法，可以提出有关变量在不同时期间的变化过程。
其基本原理是：给定一个函数y=f(x)，在x→a时，如果满足全部左邻值不大于f(a)、全部右邻值不小于f(a)，则称f(a)的上限或下限为此时的极限。
有时也会解决一些极限问题，即在x→a时，求函数f(x)的上限或下限。
二、求极限的典型方法（1）图解方法由于图解的特点，表明函数在x→a时极值的上限、极小值的下限，从而确定函数极限是否存在，以及极限是多少，这种方法简单、直观，能给出准确的极限结果。
（2）数值方法将x逼近a，同时记录y的变化结果，通过数据中的趋势，来进行极限的估计。
（3）分析方法这种方法的核心在于将函数表示成y=g(x)或y=g(x) / h(x) (x≠c)的形式，然后根据极限的定义，分析g(x)或h(x)时x→a时，从而分析函数在x→a时是否收敛、收敛到多少。
（4）应用求极限定理求极限定理是求极限过程中的重要依据，它提出了一组有效的定理，包括极限运算定理、因数分解求极限定理、无穷小系数求极限定理等，这些定理为求极限提供了完善的理论依据。
三、求极限的具体步骤（1）检验可行的函数形式。
（2）通过图解、数值概念确定极限的性质，至少限定极限所存在的范围。
（3）严格推导极限的表达式，并利用极限相关定理计算出确切结果。
（4）检查计算结果是否满足问题要求，结果不符合时，重新计算极限问题。
四、求极限几种应用（1）经济学中有关增长和收益的分析应用。
（2）在物理学中，用极限运算求解分析力学问题、能量问题。
（3）在几何学中，用极限计算定义空间几何形体的尺寸和形状特征。
（4）在数理统计学中，用极限求积分，研究随机变量分布特征。
（5）在工程数学中，用极限求函数最大值、最小值，用极限检验不等式和条件。
数学求极限的方法总结
数学求极限的方法总结数学求极限的方法有：求未定式极限、求和，积分等。
求未定式极限包括：利用柯西不等式、洛必达法则、函数单调性等。
求和，积分等，如运用数学归纳法。
1。
求未定式极限求未定式极限，通常是利用数列的极限的性质或无穷小量的比较来进行的。
若两个无穷小的比值相等，那么它们的极限也相等。
这个结论叫做数列的极限存在准则，它是我们进一步讨论极限概念和计算极限的基础。
例如，在复利计算中，常常使用到数列的极限存在准则：limnlnn=lim[n（ 1+x） n+x]所以，对于无穷大量，可以把它看成是无穷小量的连续函数。
我们先根据无穷小量的比较法则，比较两个无穷小量的大小关系，看它们是否相等。
2。
求和，积分可以运用数学归纳法，把几个极限连乘积，再把所得的商加起来，就得出了极限值。
例如，在求函数极限的过程中，如果是在小于等于零的地方，可以运用函数的单调性，也可以直接进行四则运算求极限。
因为这样的题目是考查基本的知识点，只要基本功扎实，稍微努力即可得出答案。
3。
运用数学归纳法。
数学归纳法是通过观察和研究，发现事物之间内在的联系和规律，从而达到对事物认识和掌握的一种数学方法。
这个方法有很多优点，例如，有利于培养人们的逻辑思维能力，有利于提高解决问题的能力。
我们应该充分发挥它的优势。
计算，证明都可以使用它。
4。
利用柯西不等式进行判断如果已经确定了极限的存在性，可以利用柯西不等式的推导方法，简化计算。
例如，若f(x) =lim_{ntoinfty} f(n)=0， then f'(x)=lim_{ntoinfty} lim_{ntoinfty}f'(n)=infty。
5。
洛必达法则用洛必达法则求极限时，需要用到三个等式，即无穷大量与无穷小量之比是无穷大量;二者的绝对值之比也是无穷大量。
两个无穷大量之比是无穷小量;当两个无穷小量的比值是无穷小量时，其差是无穷小量。
总之，我们要学会运用各种方法去解题，不要死读书。
(完整版)极限的运算法则及计算方法
一．极限的四则运算法则 定理 设 lim f ( x) A, lim g( x) B, 则 (1) lim[ f ( x) g( x)] A B; (2) lim[ f ( x) g( x)] A B; (3) lim f ( x) A , 其中B 0. g( x) B 推论1 如果 lim f ( x)存在,而c为常数,则 lim[cf ( x)] c lim f ( x). 常数因子可以提到极限记号外面.
3 5
（2）计算有理分式在 x 极限的运算
例4：求下列极限
2x2 2x 1
x2 4
x2
(1) lim
; (2) lim
; (3) lim
x x2 5x 4
x x 2
x x2 4
解: 由于当 x 时，分子分母均趋于无穷大，极限不存在
所以极限的四则运算法则不能用
在分子分母中同时除以 x 的最高次幂，可化为极限存在的情况
分子分母分解因式
2x2 5x 2 (2x 1)( x 2) , 3x2 7 x 2 (3x 1)( x 2)
2x2 5x 2 lim x2 3x2 7x 2
(2x 1)( x 2) lim
x2 (3 x 1)( x 2)
(2x 1) lim
x2 (3 x 1)
Q lim( x2 x 2) 0 , lim( x 2) 0
x2
x2
所以极限的四则运算法则不能用
但是 x2 x 2 ( x 2)( x 1)
x2 x 2
( x 2)( x 1)
lim
lim
lim( x 1) 3
x2 x 2
x2
x2
x2
从而可以总结出下列规律：
求极限方法总结-全
极限求解总结1、极限运算法则设,,则(1)(2)(3)2、函数极限与数列极限的关系如果极限存在，为函数的定义域内任一收敛于的数列，且满足:，那么相应的函数值数列必收敛，且3、定理（1）有限个无穷小的和也是无穷小；（2）有界函数与无穷小的乘积是无穷小；4、推论（1）常数与无穷小的乘积是无穷小；（2）有限个无穷小的乘积也是无穷小；（3）如果存在，而c为常数，则（4）如果存在，而n是正整数，则5、复合函数的极限运算法则设函数是由函数与函数复合而成的，在点的某去心领域内有定义，若，且存在，当时，有，则6、夹逼准则如果(1)当(或>M)时,(2)那么存在，且等于A7、两个重要极限（1）（2）8、求解极限的方法（1）提取因式法例题1、求极限解：例题2、求极限解：例题3、求极限解：（2）变量替换法（将不一般的变化趋势转化为普通的变化趋势）例题1、解：令例题2、解：令x=y+1=例题3、解：令y==（3）等价无穷小替换法注：若原函数与x互为等价无穷小，则反函数也与x互为等价无穷小例题1、解：例题2、解：例题3、解：例题4、解：例题5、解：令y=x-1原式=例题6、解：令型求极限例题1、解：解法一（等价无穷小）：解法二（重要极限）：（5）夹逼定理（主要适用于数列）例题1、解：所以推广：例题2、解：1)所以2)所以例题3、解：所以例题4、所以例题5、解：所以（6）单调有界定理例题1、解：单调递减极限存在，记为A由（*）求极限得：A=A所以A=0例题2、求解：单调递增所以极限存在，记为L 时例题3、求极限解：当当所以极限存在时注：单调性有时依赖于的选取例题4、求极限解：（整体无单调性）所以单调递减，同理，单调递增有因为故和均存在，分别记为A,B即解得 A=B=所以（7）泰勒公式法例题1、设f有n阶连续导数证明：证明：即（8）洛必达法则例题1、求解：例题2、求解：例题3、求解：例题4、求解：（9）利用函数的图像通过对求解极限方法的研究，我们对极限有了进一步的了解。
求极限的各种方法
求极限的方法大全
1、利用函数的连续性求函数的极限（直接带入即可）
如果是初等函数，且点在的定义区间内，那么，因此计算当时的极限，只要计算对应的函数值就可以了。
2、利用有理化分子或分母求函数的极限
a.若含有，一般利用去根号
b.若含有，一般利用，去根号
3、利用两个重要极限求函数的极限
4、利用无穷小的性质求函数的极限
性质1：有界函数与无穷小的乘积是无穷小
性质2：常数与无穷小的乘积是无穷小
性质3：有限个无穷小相加、相减及相乘仍旧无穷小
5、分段函数的极限
求分段函数的极限的充要条件是:
6、利用抓大头准则求函数的极限
其中为非负整数.。