清华附中 高三下数学 理 统练 无答案
清华大学附属中学2025届高三下学期一模考试数学试题含解析
清华大学附属中学2025届高三下学期一模考试数学试题考生须知：1．全卷分选择题和非选择题两部分，全部在答题纸上作答。
选择题必须用2B 铅笔填涂；非选择题的答案必须用黑色字迹的钢笔或答字笔写在“答题纸”相应位置上。
2．请用黑色字迹的钢笔或答字笔在“答题纸”上先填写姓名和准考证号。
3．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，在草稿纸、试题卷上答题无效。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知l ，m 是两条不同的直线，m ⊥平面α，则“//l α”是“l ⊥m ”的（ ）A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A ．83B ．3C ．113D ．43．在平面直角坐标系xOy 中，将点()1,2A 绕原点O 逆时针旋转90︒到点B ，设直线OB 与x 轴正半轴所成的最小正角为α，则cos α等于( )A ．25B ．5-C 5D ．25- 4．对于函数()f x ，若12,x x 满足()()()1212f x f x f x x +=+，则称12,x x 为函数()f x 的一对“线性对称点”．若实数a 与b 和+a b 与c 为函数()3xf x =的两对“线性对称点”，则c 的最大值为（ ） A ．3log 4 B ．3log 41+ C ．43 D ．3log 41-5．《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍.其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相承也.又以高乘之，三十六成一”.该术相当于给出了由圆锥的底面周长L 与高h ，计算其体积2136V L h ≈的近似公式.它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3.那么近似公式23112V L h ≈相当于将圆锥体积公式中的圆周率近似取为（ ）A ．227B ．15750C ．289D ．337115 6．已知平面向量a b ，满足21a b a ＝，＝,与b 的夹角为2 3π，且)2(()a b a b λ⊥+－，则实数λ的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．2 D ．37．已知点P 在椭圆τ：2222x y a b+=1(a>b >0)上，点P 在第一象限，点P 关于原点O 的对称点为A ，点P 关于x 轴的对称点为Q ，设34PD PQ =，直线AD 与椭圆τ的另一个交点为B ，若PA ⊥PB ，则椭圆τ的离心率e =（ ） A ．12 B ．22 C ．32 D ．338．如图所示的程序框图输出的S 是126，则①应为（ ）A ．5?n ≤B ．6?n ≤C ．7?n ≤D ．8?n ≤9．设复数z 满足|3|2z -=，z 在复平面内对应的点为(,)M a b ，则M 不可能为（ ）A ．3)B ．(3,2)C ．(5,0)D ．(4,1)10．中国铁路总公司相关负责人表示，到2018年底，全国铁路营业里程达到13.1万公里，其中高铁营业里程2.9万公里，超过世界高铁总里程的三分之二，下图是2014年到2018年铁路和高铁运营里程（单位：万公里）的折线图，以下结论不正确的是（ ）A ．每相邻两年相比较，2014年到2015年铁路运营里程增加最显著B ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程与年价正相关C ．2018年高铁运营里程比2014年高铁运营里程增长80%以上D ．从2014年到2018年这5年，高铁运营里程数依次成等差数列11．已知复数11i z i +=-，则z 的虚部是（ ） A ．i B ．i - C ．1- D ．112．下列函数中既关于直线1x =对称，又在区间[1,0]-上为增函数的是( )A ．sin y x =π.B ．|1|y x =-C ．cos y x π=D ．e e x x y -=+二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
清华大学附中高三数学试卷
一、选择题（每题5分，共50分）1. 若函数$f(x) = \frac{2x}{x-1}$，则$f(-1)$的值为（）A. -2B. 2C. 1D. 无定义2. 已知复数$z = 1 + i$，则$|z|$的值为（）A. $\sqrt{2}$B. 1C. $\sqrt{3}$D. 23. 下列函数中，在其定义域内是奇函数的是（）A. $f(x) = x^2$B. $f(x) = \sqrt{x}$C. $f(x) = \frac{1}{x}$D. $f(x) = |x|$4. 已知数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 1$，$a_2 = 3$，且对于任意$n \geq 3$，都有$a_n = 2a_{n-1} - a_{n-2}$，则数列$\{a_n\}$的通项公式为（）A. $a_n = 2^n - 1$B. $a_n = 2^n + 1$C. $a_n = 2^{n-1} - 1$D. $a_n = 2^{n-1} + 1$5. 若直线$l$的方程为$x + 2y - 3 = 0$，则直线$l$与圆$x^2 + y^2 = 9$的位置关系是（）A. 相交B. 相切C. 相离D. 重合6. 设向量$\vec{a} = (2, -3)$，$\vec{b} = (1, 4)$，则$\vec{a} \cdot\vec{b}$的值为（）A. -5B. 5C. -10D. 107. 已知等差数列$\{a_n\}$的前$n$项和为$S_n$，若$a_1 = 1$，$S_5 = 15$，则数列$\{a_n\}$的公差为（）A. 1B. 2C. 3D. 48. 若函数$f(x) = \ln(x + 1)$，则$f'(x)$的值为（）A. $\frac{1}{x + 1}$B. $\frac{1}{x - 1}$C. $\frac{1}{x + 1} -\frac{1}{x - 1}$ D. $\frac{1}{x - 1} + \frac{1}{x + 1}$9. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x$，则$f(x)$的极值点为（）A. $x = -1$B. $x = 0$C. $x = 1$D. $x = 3$10. 设等比数列$\{a_n\}$的公比为$q$，若$a_1 = 2$，$a_4 = 16$，则$q$的值为（）A. 2B. $\frac{1}{2}$C. 4D. $\frac{1}{4}$二、填空题（每题5分，共50分）11. 若复数$z = a + bi$（$a, b$为实数），则$|z|^2 =\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ \_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_\_ 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2025届北京市清华附中高三第三次模拟考试数学试卷含解析
2025届北京市清华附中高三第三次模拟考试数学试卷 注意事项 1．考生要认真填写考场号和座位序号。 2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B 铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。 3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知全集UR，集合{|31}Mxx，{|||1}Nxx，则阴影部分表示的集合是（ ）
A．[1,1] B．(3,1] C．(,3)(1,) D．(3,1) 2．已知双曲线2221xya的一条渐近线方程是33yx，则双曲线的离心率为（ ） A．33 B．63 C．32 D．233 3．已知函数2()2ln(0)fxaexxa，1,1De若所有点(,())sft，(,)stD所构成的平面区域面积为2e1，则a（ ）
A．e B．1e2 C．1 D．2ee
4．若x、y满足约束条件220100xyxyy，则32zxy的最大值为（ ） A．5 B．9 C．6 D．12 5．已知复数z满足1zii，(i为虚数单位)，则z( )
A．2 B．3 C．2 D．3
6．在ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若1a，23c，sinsin3bAaB，则sinC（ ） A．37 B．217 C．2112 D．5719 7．中国古代用算筹来进行记数，算筹的摆放形式有纵横两种形式（如图所示），表示一个多位数时，像阿拉伯记数一样，把各个数位的数码从左到右排列，但各位数码的筹式需要纵横相间，其中个位、百位、方位……用纵式表示，十位、千位、十万位……用横式表示，则56846可用算筹表示为（ ）
清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案
1清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案数学（理科）试卷说明：本试卷分第І卷（选择题）和第П卷（非选择题）两部分。
满分160分。
考试时间120分钟。
第І卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
1、已知甲、乙两个样本（样本容量一样大），若甲样本的方差是0.4，乙样本的方差是0.2, 那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是 （ ） A ．甲样本的波动比乙大 B ．乙样本的波动比甲大 C ．甲、乙的波动一样大 D ．无法比较2、 “3x >”是“24x >”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分不必要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件 3、已知向量()()8,3,,2,6,5m a n b ==，若//m n ，则a b +的值为 （ ） A ．0B ．52C ．8D ．2124、复数z 满足方程224z i z i ++-=，z 对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．椭圆C ．一个圆D ．线段5、已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14,3,5,90AB AD AA BAD ===∠=，1160BAA DAA ∠=∠=，则1AC 等于（ ）AB ．85C． D ．506、已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[2,2]-上有最大值3，那么此函数在[2,2]-上的最小值为 （ ） A ．37- B ． 29- C ． 5- D ． 11- 7、已知椭圆22ax +y 2=1（a>1）的两个焦点为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60°，则 |PF 1|·|PF 2|的值为 （ ） A ．1B ．31 C ．34 D ．32 8、函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a 的值为 （ ） A ．43a a ==-或 B ．4a = C ．43a a =-=或 D ．3a =-9、已知点F 1、F 2分别是双曲线2222by a x -=1的左、右焦点，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （A ．（1，+∞）B ．（1，3C ．（2－1，1+2）D ．（1，1+2）10、过抛物线x y =2的焦点F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）A ．]221,41(+B ．)1,41[C ．]1,41(D ．),21(+∞ 第П卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案
清华大学附属中学高三期末考试理科数学试题及答案数学（理科）试卷说明：本试卷分第І卷（选择题）和第П卷（非选择题）两部份。
满分160分。
考试时刻120分钟。
第І卷（选择题共50分）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
一、已知甲、乙两个样本（样本容量一样大），若甲样本的方差是，乙样本的方差是,那么比较甲、乙两个样本的波动大小的结果是 （ ） A ．甲样本的波动比乙大 B ．乙样本的波动比甲大 C ．甲、乙的波动一样大 D ．无法比较 二、 “3x >”是“24x >”的 （ ）A ．必要不充分条件B ．充分没必要要条件C ．充分必要条件D ．既不充分也没必要要条件 3、已知向量()()8,3,,2,6,5m a n b ==，若//m n ，则a b +的值为 （ ） A ．0B ．52C ．8D ．2124、复数z 知足方程224z i z i ++-=，z 对应点的轨迹是 （ ）A ．一条直线B ．椭圆C ．一个圆D ．线段五、已知在平行六面体1111ABCD A B C D -中，14,3,5,90AB AD AA BAD ===∠=，1160BAA DAA ∠=∠=，则1AC 等于（ ）A ．85B ．85C ．52D ．50六、已知32()26f x x x m =-+（m 为常数），在[2,2]-上有最大值3，那么此函数 在[2,2]-上的最小值为 （ ） A ．37- B ． 29- C ． 5- D ． 11-7、已知椭圆22ax +y 2=1（a>1）的两个核心为F 1、F 2，P 为椭圆上一点，且∠F 1PF 2=60°，则|PF 1|·|PF 2|的值为 （ ） A ．1B ．31 C ．34 D ．32 八、函数322()f x x ax bx a =+++在1x =时有极值10，则a 的值为 （ ）A ．43a a ==-或B ．4a =C ．43a a =-=或D ．3a =-九、已知点F 1、F 2别离是双曲线2222by a x -=1的左、右核心，过F 1且垂直于x 轴的直线与双曲线交于A 、B 两点，若△ABF 2为锐角三角形，则该双曲线的离心率e 的取值范围是 （ ） A ．（1，+∞）B ．（1，3）C ．（2－1，1+2）D ．（1，1+2）10、过抛物线x y =2的核心F 的直线m 的倾斜角m ,4πθ≥交抛物线于A 、B 两点，且A 点在x轴上方，则|FA|的取值范围是（ ）A ．]221,41(+B ．)1,41[C ．]1,41(D ．),21(+∞ 第П卷（非选择题共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。
2021年北京市清华附中高考数学统练试卷(8)(附答案详解)
2021年北京市清华附中高考数学统练试卷（8）一、单选题（本大题共10小题，共40.0分）1.(2021·云南省曲靖市·月考试卷)已知集合A={−1,0，1}，集合B={x∈Z|x2−2x≤0}，那么A∪B等于()A. {−1}B. {0,1}C. {0,1，2}D. {−1,0，1，2}2.(2020·湖南省邵阳市·模拟题)设复数z满足(2−i)z=2+i，则z在复平面内所对应的点位于()A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限3.(2014·广东省汕头市·期末考试)函数f(x)=lnx+x−6的零点所在区间为()A. (2,3)B. (3,4)C. (4,5)D. (5,6)4.(2016·天津市·模拟题)在(x22−1√x)6的二项展开式中，含x2的系数为()A. 152B. 154C. −152D. −1545.(2021·北京市市辖区·模拟题)某四面体的三视图如图所示，该四面体的最长的棱长为()A. 4B. 2√5C. 2√7D. 4√26.(2021·北京市市辖区·模拟题)已知点P与点(3,4)的距离不大于1，则点P到直线3x+4y+5=0的距离最小值为()A. 4B. 5C. 6D. 77.(2021·北京市市辖区·模拟题)已知双曲线C：x2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点为F(4,0)，并且双曲线C的渐近线恰为矩形OAFB的边OA，OB所在直线(O为坐标原点)，则双曲线C的方程是()A. x28−y28=1 B. x24−y212=1 C. x232−y232=1 D. x212−y24=18. (2021·北京市市辖区·模拟题)已知α，β∈R ，则“α=β+kπ，k ∈Z ”是“sin2α=sin2β”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件9. (2019·浙江省杭州市·期中考试)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，其中n ∈N ∗，则下列说法正确的是( )A. 若a 3>a 1>0，则a n >0B. 若a 3>a 1>0，则S n >0C. 若a 3+a 2+a 1>a 2+a 1>0，则a n >0D. 若a 3+a 2+a 1>a 2+a 1>0，则S n >010. (2021·北京市市辖区·模拟题)若函数f(x)的图象上任意一点M(x,y)的坐标满足条件|x|>|y|，则称函数f(x)具有性质P.下列函数中具有性质P 的是( )A. f(x)=x +1B. f(x)=x 2C. f(x)=e x −1D. f(x)=sinx二、单空题（本大题共5小题，共25.0分）11. (2021·北京市市辖区·模拟题)函数f(x)=√x +1+lg(4−x)的定义域是______ ． 12. (2021·北京市市辖区·模拟题)已知正方形ABCD 的边长为√3，若BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，则PA⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的值为______ ．13. (2021·北京市市辖区·模拟题)已知抛物线y 2=4x 的焦点为F ，准线为l ，点P 在抛物线上，PQ ⊥l 于点Q.若△PQF 是钝角三角形，则点P 的横坐标的取值范围是______ 14. (2021·北京市市辖区·模拟题)若函数f(x)=sin(x +π4)+cos(x +φ)的最大值为2，则常数φ的一个取值为______ ．15. (2021·北京市市辖区·模拟题)如图是国家统计局发布的2020年2月至2021年2月全国居民消费价格涨跌幅折线图．说明：(1)在统计学中，同比是指本期统计数据与上一年同期统计数据相比较，例如2021年2月与2020年2月相比较；环比是指本期统计数据与上期统计数据相比较，例如2020年4月与2020年3月相比较．(2)同比增长率=本期数−同期数同期数×100%，环比增长率=本期数−上期数上期数×100%．给出下列三个结论：①2020年11月居民消费价格低于2019年同期；②2020年3月至7月居民的消费价格持续增长；③2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格．其中所有正确结论的序号是______ ．三、解答题（本大题共6小题，共85.0分）16.(2021·北京市市辖区·模拟题)如图，在四棱锥P−ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，AD⊥DP，AB//CD，∠ADC=90°，且AD=CD=PD=2AB=2．(Ⅰ)求证：AB//平面PCD；(Ⅱ)求证：AB⊥平面PAD；(Ⅲ)求二面角A−PB−C的余弦值．17.(2021·北京市市辖区·模拟题)在△ABC中，a=√3，A=π3，____．(Ⅰ)求sin B；(Ⅱ)求c 以及S △ABC 的值． 从①cosB =−34，②b 2=2√63asinB ，③sinB =3sinC ，这三个条件中选一个，补充在上面问题中，使△ABC 存在并作答．18. (2021·北京市市辖区·期末考试)某公司为了解用户对其产品的满意程度，从A 地区随机抽取了400名用户，从B 地区随机抽取了100名用户，请用户根据满意程度对该公司产品评分.该公司将收集到的数据按照[20,40)，[40,60)，[60,80)，[80,100]分组，绘制成评分频率分布直方图如图：(Ⅰ)从A 地区抽取的400名用户中随机选取一名，求这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率；(Ⅱ)从B 地区抽取的100名用户中随机选取两名，记这两名用户的评分不低于80分的个数为X ，求X 的分布列和数学期望；(Ⅲ)根据频率分布直方图，假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，估计A 地区抽取的400名用户对该公司产品的评分的平均值为μ1，B 地区抽取的100名用户对该公司产品的评分的平均值为μ2，以及A ，B 两个地区抽取的500名用户对该公司产品的评分的平均值为μ0，试比较μ0和μ1+μ22的大小.(结论不要求证明)19.(2021·北京市市辖区·模拟题)已知椭圆C：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为23，A1，A2分别为椭圆C的左、右顶点，B为椭圆C的上顶点，F1为椭圆C的左焦点，且△A1F1B的面积为√52．(Ⅰ)求椭圆C的方程；(Ⅱ)设过点D(1,0)的动直线l交椭圆于E、F两点(点E在x轴上方)，M，N分别为直线A1E，A2F与y轴的交点，O为坐标原点，求|OM||ON|的值．20.(2021·北京市市辖区·模拟题)已知函数f(x)=e x⋅(1x−lnx+a)，其中a∈R．(Ⅰ)若曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，求a的值；(Ⅱ)若函数f(x)在定义域内单调递减，求a的取值范围；(Ⅲ)若不等式f(x)≥2e对x∈(0,1]恒成立，求a的取值范围．21.(2021·北京市市辖区·模拟题)首项为0的无穷数列{a n}同时满足下面两个条件①|a n+1−a n|=n(n=1,2，3，…)；②a n≤n−12(n=1,2，3，…)．(Ⅰ)请写出a4的所有可能值；(Ⅱ)求证：对任意正整数n，a n，a n+1中至少有一个小于0；(Ⅲ)对于给定的正整数k，求a1+a2+⋯+a k的最大值．答案和解析1.【答案】D【知识点】并集及其运算【解析】解：∵集合A={−1,0，1}，集合B={x∈Z|x2−2x≤0}={x∈Z|0≤x≤2}={0,1，2}，∴A∪B={−1,0，1，2}．故选：D．先分别求出集合A，B，再由并集定义能求出A∪B．本题考查并集的求法，考查并集定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】A【知识点】复数的代数表示及其几何意义【解析】解：由(2−i)z=2+i，得z=2+i2−i =(2+i)(2+i)(2−i)(2+i)=3+4i5=35+45i，则z在复平面内所对应的点的坐标为(35,45)，位于第一象限．故选：A．把已知等式变形，再由复数代数形式的乘除运算化简，求出z的坐标得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．3.【答案】C【知识点】函数零点存在定理【解析】解：∵f(2)=2+ln2−6<0，f(3)=4+ln3−6<0，f(4)=4+ln4−6<0，f(5)=5+ln5−6>0，f(6)=6+ln6−6>0，∴f(4)⋅f(5)<0，∴函数f(x)=lnx+x−6的零点所在区间为(4,5)．故选C．据函数零点的判定定理，判断f(2)，f(3)，f(4)，f(5)，f(6)的符号，即可求得结论．考查函数的零点的判定定理，以及学生的计算能力．解答关键是熟悉函数的零点存在性定理，此题是基础题．4.【答案】B【知识点】二项展开式的特定项与特定项的系数 【解析】解：(x 22−1√x)6二项展开式的通项公式为： T r+1=C 6r⋅(x 22)6−r ⋅(−1√x)r =(−1)r ⋅(12)6−r ⋅C 6r⋅x 12−5r2，令12−5r 2=2，解得r =4；所以展开式中含x 2项的系数为：(−1)4C 62(12)2=154．故选：B ．利用二项展开式的通项公式求出求出展开式中含x 2项的系数即可．本题考查了二项式定理的应用问题，也考查了利用通项公式求特定项的问题，是基础题目．5.【答案】C【知识点】空间几何体的三视图【解析】解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为底面为钝角三角形，高为2的三棱锥体A −BCD ； 如图所示：所以：DE =DC =2，BE =2√3，AD =2．故：BD =√(2√3)2+22=4，BC =√42+(2√3)2=2√7，AB =√22+42=2√5，AC =2√2．故最长为棱长为BC=2√7．故选：C．首先把三视图转换为直观图的直观图，进一步利用勾股定理的应用求出个各棱长，最后确定结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体的直观图之间的转换，几何体的棱长的求法，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．6.【答案】B【知识点】点到直线的距离公式【解析】解：设P(x,y)，则(x−3)2+(y−4)2≤1，即P在圆(x−3)2+(y−4)2=1内和圆上，则点P到直线3x+4y+5=0的距离最小值为|3×3+4×4+5|√32+42−1=5．故选：B．设P(x,y)，则(x−3)2+(y−4)2≤1，即P在圆(x−3)2+(y−4)2=1内和圆上，然后结合圆的性质及点到直线的距离公式可求．本题主要考查了两点间的距离公式及点到直线的距离公式，属于基础题．7.【答案】A【知识点】双曲线的性质及几何意义【解析】解：如图，由题意，c=4，∵双曲线C的渐近线恰为矩形OAFB的边所在直线，∴ba=1，又a2+b2=c2，∴a2+b2=16，解得a=b=2√2．∴双曲线C的方程是x28−y28=1．故选：A ．由已知可得c ，且ba =1，结合隐含条件求得a 与b ，则双曲线C 的方程可求． 本题考查双曲线的几何性质，考查数形结合思想，是基础题．8.【答案】A【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断【解析】解：①当α=β+kπ，k ∈Z 时，则2α=2β+2kπ，k ∈Z ， ∴sin2α=sin(2β+2kπ)=sin2β，∴充分性成立，②当sin2α=sin2β时，则2α=2β+2kπ，k ∈Z 或2α+2β=π+2kπ，k ∈Z ， ∴α=β+kπ或α+β=π2+kπ，k ∈Z ，∴必要性不成立， 故选：A ．利用正弦函数的性质，结合充要条件的定义即可判断．本题考查了三角函数方程的解法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．9.【答案】D【知识点】等比数列的求和、等比数列的通项公式 【解析】 【分析】本题考查等比数列的通项公式和前n 项和，属于中档题.. 设公比为q(q ≠0)，由若a 3>a 1>0，得{a 1>0q >1或q <−1，即可判断A ，B ；由a 3+a 2+a 1>a 2+a 1>0，得{a 1>0q >−1且q ≠0，即可判断C ，D ．【解答】解：等比数列{a n }中，设公比为q(q ≠0)， 若a 3>a 1>0，即a 1q 2>a 1>0，解得{a 1>0q >1或q <−1，选项A ，当q <−1时，a 2<0，故A 错误； 选项B ，当q <−1，n 为偶数时，S n =a 1(1−q n )1−q<0，故B 错误；若a 3+a 2+a 1>a 2+a 1>0，即a 1q 2+a 1q +a 1>a 1q +a 1>0，解得{a 1>0q >−1且q ≠0,选项C ，当−1<q <0，且n 为偶数时，a n =a 1q n−1<0，故C 错误；选项D ，当−1<q <1时(q ≠0)，1−q >0，q n<1，S n =a 1(1−q n )1−q>0，当q >1时，1−q <0，q n >1，S n =a 1(1−q n )1−q>0，当q =1，由a 1>0得S n =na 1>0． 故D 正确． 故选：D ．10.【答案】D【知识点】函数图象的作法 【解析】解：不等式|x|≥|y|表示的平面区域如图所示： 函数f(x)具有性质P ，则函数图象必须完全分布在阴影区域内，分别作出函数的对应的图象，由图象可知满足条件的只有函数f(x)=sinx ， 故选：D ．根据性质P 的定义，只需要满足函数的图象都在区域|x|≥|y|内即可．本题主要考查与函数有关的新定义题，正确理解题意是解决本题的关键，利用数形结合是解决本题的基本方法．11.【答案】[−1,4)【知识点】函数定义域与值域 【解析】解：由题意得{x +1≥04−x >0，解得−1≤x <4， 故函数的定义域[−1,4)． 故答案为：[−1,4)．根据函数的解析式，列出使函数解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了求函数定义域的应用问题，解题的关键是列出使函数解析式有意义的不等式组，是基础题目．12.【答案】98【知识点】向量的数量积 【解析】解：如图，∵正方形ABCD 的边长为√3，∴BD =√6，∵BP ⃗⃗⃗⃗⃗ =3PD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，∴BP =34BD =3√64，∴PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =PB ⃗⃗⃗⃗⃗ 2−BA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅BP ⃗⃗⃗⃗⃗=(3√64)2−√3×3√64×√22=98．故答案为：98．由已知画出图形，求出BD 、BP 的长度，再由PA ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(PB ⃗⃗⃗⃗⃗ +BA ⃗⃗⃗⃗⃗ )⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，展开后结合数量积公式求解．本题考查平面向量的数量积运算，考查数学转化与数形结合思想，是中档题．13.【答案】(0,1)【知识点】抛物线的性质及几何意义【解析】解：由抛物线的性质可得PQ =PF ， 若△PQF 是钝角三角形，只需∠QPF >90°， 只需要P 在过焦点F 垂直x 轴的直线左侧，由抛物线的方程可得焦点F 的坐标(1,0)，所以P 的横坐标的范围(0,1)， 故答案为：(0,1)．由抛物线的方程可得焦点F 的坐标，再由△PQF 是锐角三角形，所以最大角为∠QPF ，只需要P 在焦点F 的右侧，可得P 的横坐标的范围．本题考查抛物线的性质，到焦点的距离等于到准线的距离，属于中档题．14.【答案】π4【知识点】三角函数的最值【解析】解：函数f(x)=sin(x+π4)+cos(x+φ)=√22sinx+√22cosx+cosφcosx−sinφsinx=(√22−sinφ)sinx+(√22+cosφ)cosx，由于函数f(x)的最大值为2，故(√22−sinφ)2+(√22+cosφ)2=4，整理得√2sinφ+√2cosφ=2，所以sin(π4+φ)=1，当φ=π4时，函数的最大值为2，故答案为：π4．首先把函数的关系式进行变换，把函数的关系式转换为正弦型的形式，进一步利用最值建立等量关系求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．15.【答案】①③【知识点】总体密度曲线、命题及其关系【解析】【分析】本题考查的知识要点：频率分布折线图，消费价格的关系式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．直接利用频率分布折线图，消费价格的关系式的应用判断①②③的结论．【解答】解：根据题意：对于①，从2020年11月的同比增长率为−0.5，由同比增长率的计算公式知2020年11月居民消费价格低于2019年同期的，故①正确；对于②，由图可知，2020年3月至6月的环比增长率为负值，由环比增长率的计算公式可知消费价格下降，故②错误；对于③，设2020年3月的居民消费价格为a3，2020年4月的居民消费价格为a4，2020年5月的居民消费价格为a5，2020年6月的居民消费价格为a6，2020年7月的居民消费价格为a7，所以a 4−a 3a 3×100%=−0.9%，解得a 4=0.991a 3，a 5−a 4a 4×100%=−0.8%，解得a 5≈0.983a 4， a 6−a 5a 5×100%=−0.1%，解得a 6≈0.982a 3， a 7−a 6a 6×100%=0.6%，解得a 7≈0.988a 3，所以a 7<a 3，所以2020年7月的消费价格低于2020年3月的消费价格，故③正确． 故答案为：①③．16.【答案】解：(Ⅰ)证明：∵AB//CD ，AB ⊄平面PCD ，CD ⊂平面PCD ， ∴AB//平面PCD ；(Ⅱ)证明：∵AB//CD ，∠ADC =90°， ∴AB ⊥AD ，∵平面PAD ⊥平面ABCD ，平面PAD ∩平面ABCD =AD ，AB ⊂平面ABCD ， ∴AB ⊥平面PAD ；(Ⅲ)以点D 为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，则D(0,0，0)，A(2,0，0)，P(0,0，2)，B(2,1，0)，C(0,2，0)， ∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ =(0,1,0),PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =(2,1,−2),BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =(−2,1,0)， 设平面PAB 的一个法向量为m ⃗⃗⃗ =(x,y,z)，则{m ⃗⃗⃗ ⋅AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =y =0m ⃗⃗⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2x +y −2z =0，则可取m⃗⃗⃗ =(1,0,1)，设平面PBC 的一个法向量为n⃗ =(a,b,c)，则{n ⃗ ⋅PB ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a +b −2c =0n ⃗ ⋅BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =−2a +b =0，则可取n ⃗ =(1,2,2)， ∴cos <m ⃗⃗⃗ ,n ⃗ >=m ⃗⃗⃗ ⋅n ⃗⃗ |m ⃗⃗⃗ ||n ⃗⃗ |=1+2√2⋅√9=√22， 又二面角A −PB −C 的平面角为锐角，则二面角A −PB −C 的余弦值为−√22．【知识点】线面垂直的判定、利用空间向量求线线、线面和面面的夹角、线面平行的判定【解析】(Ⅰ)由AB//CD 结合线面平行的判定定理易得证； (Ⅱ)由面面垂直的性质定理易得证；(Ⅲ)建立空间直角坐标系，求得各点的坐标，再求出平面PAB 及平面PBC 的法向量，利用向量的夹角公式求解即可．本题考查线面平行的判定以及线面垂直的判定，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查推理能力及运算能力，属于中档题．17.【答案】解：(Ⅰ)选条件①时，在△ABC 中，a =√3，A =π3，cosB =−34，所以sinB =√1−cos 2B =√74，(Ⅱ)利用正弦定理：asinA =bsinB ，整理得：b =√72，所以a 2=b 2+c 2−2bccosA ， 整理得：3=74+c 2−√72c ，解得c =√7+3√34， 故S △ABC =12bcsinA =7√3+9√732． 选条件②时，2R =asinA =2 b 2=2√63asinB ， 整理得sinB =2√63×√32×14=√32， (Ⅱ)由于，B =π3． 所以sinB =√32；所以该三角形为等边三角形， 则c =√3．故S △ABC =12×√3×√3×√32=3√34选条件③时，sinB =3sinC ， 故sinB =3sin(A +B)， 整理得：sinB =−3√3cosB ， 利用sin 2B +cos 2B =1， 解得sinB =3√2114根据正弦定理得：b =3c ． 故a 2=b 2+c 2−2bccosA ，整理得3=9c 2+c 2−2×3c ×c ×12，故c =√217．故b =3√217．所以S △ABC =12×√217×3√217×√32=9√328．【知识点】余弦定理、正弦定理【解析】(Ⅰ)选条件①时，直接利用三角函数关系式的变换和余弦定理的应用求出结果； 选条件②时，直接利用三角函数关系式的变换和正弦定理的应用求出结果； 选条件③时，直接利用三角函数关系式的变换和正、余弦定理的应用求出结果； (Ⅱ)直接利用(Ⅰ)的结论，进一步利用三角形的面积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的变换，正弦定理余弦定理和三角形面积公式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于中档题．18.【答案】解：(Ⅰ)由题知A 地区共抽取400名用户，其中有240名用户对该公司产品的评分不低于60分，所以从A 地区抽取的400名用户中随机选取一名，这名用户对该公司产品的评分不低于60分的概率是240400=0.6．(Ⅱ)由题可知X 的可能取值为0，1，2．P(X =0)=C 902C 1002=89110；P(X =1)=C 901C 101C 1002=211；P(X =2)=C 102C 1002=1110．所以X 的分布列如下表：所以X 的数学期望EX =0×89110+1×211+2×1110=15． (Ⅲ)μ0>μ1+μ22．【知识点】离散型随机变量的期望与方差、频率分布直方图、离散型随机变量及其分布列【解析】(Ⅰ)由频率分布直方图可以确定400名用户中评分不低于60分的人数，利用古典概型的概率公式可以计算；(Ⅱ)由题意分析可以确定X 的取值分别为0，1，2，分别利用古典概型的概率公式求出，即可解决；(Ⅲ)利用频率分布直方图的数据关系可以比较μ0和μ1+μ22的大小．本题考查了统计与概率中的频率分布直方图，期望与方差，属于基础题．19.【答案】解：(Ⅰ)设椭圆C 的左焦点F 1(−c,0)，则e =ca =23，则c =23a ， 又a 2=b 2+c 2=b 2+49a 2， 所以b 2=59a 2①，又△A 1F 1B 的面积为√52，所以12×|A 1F 1|×b =b(a−c)2=√52，即ab =3√5②，由①②可得a 2=9，b 2=5， 所以椭圆C 的标准方程为x 29+y 25=1；(Ⅱ)由题意，点E 在x 轴上方且过点D(1,0)，则直线l 的斜率不等于0， 设直线l 的方程为x =my +1，设E(x 1,y 1)，F(x 2,y 2)， 联立方程组{x =my +1x 29+y 25=1，可得(m 2+95)y 2+2my −8=0，所以△=4m 2+4×8(m 2+95)>0， y 1+y 2=−2mm 2+95,y 1y 2=−8m 2+95，则y 1+y 2y1y 2=m4，即my 1y 2=4(y 1+y 2)，由A 1(−3,0)，A 2(3,0)， 所以k A 1E =y 1x1+3，则直线A 1E 的方程为y =y 1x 1+3(x +3)，令x =0，可得y =3y 1x 1+3，所以M(0,3y 1x 1+3)，同理可得，N(0,−3y 2x 2−3)，所以|OM||ON|=|3y 1x 1+3||−3y 2x 2−3|=|y 1(x 2−3)||y 2(x 1+3)|=|my 1y 2−2y 1||my 1y 2+4y 2|=|4(y 1+y 2)−2y 1||4(y 1+y 2)+4y 2|=|2y 1+4y 2||4y 1+8y 2|=2|y 1+2y 2|4|y 1+2y 2|=12，故|OM||ON|的值为12．【知识点】直线与椭圆的位置关系【解析】(Ⅰ)利用离心率得到a和c的关系，从而得到a和b的关系，然后由三角形的面积得到ab=3√5，联立方程组求出a，b，即可得到椭圆的标准方程；(Ⅱ)由题意可知直线l的斜率不等于0，直线l的方程为x=my+1，与椭圆的方程联立，得到韦达定理，从而得到my1y2=4(y1+y2)，求出直线A1E的方程，得到点M的坐标，同理求出点N的坐标，表示出|OM||ON|，然后化简整理即可得到答案．本题考查了椭圆标准方程的求解、直线与椭圆位置关系的应用，在解决直线与圆锥曲线位置关系的问题时，一般会联立直线与圆锥曲线的方程，利用韦达定理和“设而不求”的方法进行研究，属于难题．20.【答案】解：(I)f(1)=e(1+a)，f′(x)=e x(−1x2−lnx+a)，f′(1)=e(a−1)，∵曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，∴e(a−1)=e，解得a=2．(II)∵函数f(x)在定义域内单调递减，x∈(0,+∞)，∴f′(x)=e x(−1x2−lnx+a)≤0，化为：a≤1x2+lnx，令g(x)=1x2+lnx，∴g′(x)=−2x3+1x=x2−2x3，可得x=√2时，函数g(x)取得极小值即最小值，g(√2)=12+12ln2，∴a≤12+12ln2，∴a的取值范围是(−∞,12+12ln2]．(Ⅲ)不等式f(x)≥2e对x∈(0,1]恒成立，化为：a≥2ee x +lnx−1x的最大值，x∈(0,1]．令ℎ(x)=2ee x +lnx−1x，x∈(0,1]．ℎ′(x)=e x(1+x)−2ex2e x x2，令u(x)=e x(1+x)−2ex2，u′(x)=e x(x+2)−4ex=v(x)，v′(x)=e x(x+3)−4e，在x∈(0,1]上单调递增．∴v′(x)≤v′(1)=0，∴v(x)在x∈(0,1]上单调递减，v(0)=2，v(1)=−e，∴存在x0∈(0,1)．使得函数u(x)在(0,x0)上单调递增，在(x0,1)上单调递减．u(0)=1，u(1)=2e−2e=0，∴ℎ′(x)>0在x∈(0,1)上恒成立，因此ℎ(x)在x∈(0,1]上单调递增．ℎ(1)=1，∴a≥1，∴a的取值范围是[1,+∞)．【知识点】利用导数研究闭区间上函数的最值、导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性【解析】(I)f(1)=e(1+a)，f′(x)=e x(−1x2−lnx+a)，可得f′(1)，根据曲线y=f(x)在x=1处的切线与直线y=ex平行，可得f′(1)=e，解得a．(II)由函数f(x)在定义域内单调递减，x∈(0,+∞)，可得f′(x)≤0，分离参数，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出a的取值范围．(Ⅲ)不等式f(x)≥2e对x∈(0,1]恒成立，化为：a≥2ee x +lnx−1x的最大值，x∈(0,1].令ℎ(x)=2ee x +lnx−1x，x∈(0,1].利用导数研究函数的单调性极值与最值即可得出a的取值范围．本题考查了利用导数研究函数的单调性极值与最值、方程与不等式的解法、等价转化方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.【答案】(Ⅰ)解：由|a2−a1|=1，又a1=0，所以|a2|=1，又a2≤12，所以a2=−1，则|a3−a2|=2，可得|a3|=−3或1，均满足a3≤3−12=1，当a3=−3时，|a4−a3|=3，可得|a4|=0或−6，均满足a4≤4−12=32，当a3=1时，|a4−a3|=3，可得|a4|=−2或4，均满足a4≤4−12=32，故a4=−2，综上所述，a4的所有可能取值为0，−2，−6；(Ⅱ)证明：假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，因为|a i+1−a i|=i，若a i+1−a i=i，则有a i+1=a i+i≥i>(i+1)−12，与条件矛盾；若a i+1−a i=−i，则有a i=a i+1+i≥i>i−12，与条件矛盾．故假设不成立，即对任意正整数n，a n，a n+1中至少有一个小于0；(Ⅲ)解：记S k=a1+a2+⋅⋅⋅+a k，由(Ⅱ)可得，a n+1，a n不能都未非负数，当a n≥0，则a n+1<0，根据|a n+1−a n|=n，可得a n=a n+1−n，所以a n+a n+1=2a n−n≤2×n−12−n≤−1，当a n+1≥0，则a n<0，根据|a n+1−a n|=n，可得a n=a n+1−n，所以a n+a n+1=2a n−n≤2×n+1−12−n≤0，所以总有a n+a n+1≤0成立，当n为奇数时，|a n+1−a n|=n，故a n+1，a n的奇偶性不同，则a n+a n+1≤−1，当n为偶数时，a n+a n+1≤0，当k为奇数时，S k=a1+a2+⋅⋅⋅+a k≤0，考虑数列：0，−1，1，−2，2，⋅⋅⋅，−k−12,k−12，⋅⋅⋅，可以验证，所给数列满足条件，且S k=0，所以S k的最大值为0，当k为偶数时，S k=a1+a2+⋅⋅⋅+a k≤−k2，考虑数列：0，−1，1，−2，2，⋅⋅⋅，−k−12,k−12，−k2，⋅⋅⋅，可以验证，所给数列满足条件，且S k=−k2．综上所述，S k的最大值为0．【知识点】数列的递推关系、数列的综合应用【解析】(Ⅰ)根据数列满足的两个条件直接求解即可；(Ⅱ)用反证法，先假设数列{a n}中存在a i，a i+1同时为非负数，然后证明与条件矛盾即可；(Ⅲ)根据题意可得，当n为奇数时，a n+a n+1≤−1，当n为偶数时，a n+a n+1≤0，然后讨论当k为奇数和k为偶数时的情况，即可得到答案．本题考查数列的性质和应用，解题时要注意归纳总结能力的培养，考察了转化能力和运算能力，属于难题．第21页，共21页。
北京市清华大学附中2024届高三下学期开学考试数学试题
北京市清华大学附中2024届高三下学期开学考试数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．已知集合{}1,2A =，A B ⊆，则B 可以为（ ） A ．{}3B ．{}1,3,4C ．{}2D ．{}1,2,32．已知复数z 满足2i z z -=，则z 的虚部为（ ） A ．1B ．1-C ．2D ．2-3．工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A ．两条相交直线确定一个平面 B ．两条平行直线确定一个平面 C ．四点确定一个平面D ．直线及直线外一点确定一个平面 4．若(),01,0x a x f x bx x +<⎧=⎨->⎩是奇函数，则（ ）A ．1,1a b ==-B ．1,1a b =-=C ．1,1a b ==D ．1,1a b =-=-5．已知,,a b c 分别为ABC V 三个内角,,A B C 的对边，若22a b bc -=，sin 2sin C B =，则A 等于（ ）A ．5π6B ．2π3 C ．π3D ．π66．已知抛物线()220y px p =>的焦点为F ，过F 的直线与抛物线交于A ，B 两点，2AF BF =，则（ ）A ．13BF p =B ．12BF p = C ．23BF p =D ．34BF p =7．在无穷项等比数列{}n a 中，n S 为其前n 项的和，则“{}n a 既有最大值，又有最小值”是“{}n S 既有最大值，又有最小值”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分又不必要条件8．已知关于x 的方程22x xaa -=有3个不同的实数解，则实数a 的取值范围为（ ） A ．()0,2B ．()2,4C ．()2,∞+D ．()4,+∞9．在平面直角坐标系xOy 中，对于点()()1122,,,A x y B x y ，若2121x x y y -=-，则称点A和点B 互为等差点．已知点Q 是圆224x y +=上一点，若直线x =Q 的等差点P ，则||OP 的取值范围为（ ）A ．B ．C ．D ．10．平面内互不重合的点1A 、2A 、3A 、1B 、2B 、3B 、4B ，若123i i i A B A B A B i ++=u u u u r u u u u r u u u u r，其中1i =，2，3，4，则122334B B B B B B ++的取值范围为（ ）A ．48,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦B ．416,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．410,33⎡⎤⎢⎥⎣⎦D ．[]1,5二、填空题11．已知()()344324321011x x a x a x a x a x a -++=++++，则2a =. 12．双曲线2221x y -=的离心率为.13．已知等差数列{}n a 的公差为()0d d ≠，前n 项和记为()N n S n *∈，满足233326a a S +=+，若数列{}n S 为单调递增数列，则公差d 的取值范围为.14．正方体1111ABCD A B C D -中，E 是棱1CC 的中点，F 是侧面11BCC B 内的动点，且1//A F 平面1D AE ，若正方体1111ABCD A B C D -的棱长是2，则线段1A F 的最小值.15．海水受日月的引力，会发生潮汐现象.在通常情况下，船在涨潮时驶入航道，进入港口，落潮时返回海洋.某兴趣小组通过1A 技术模拟在一次潮汐现象下货船出入港口的实验：首先，设定水深y （单位：米）随时间x （单位：小时）的变化规律为0.8sin 2()y x R ωω=+∈，其中0xπω剟；然后，假设某货船空载时吃水深度（船底与水面的距离）为0.5米，满载时吃水深度为2米，卸货过程中，随着货物卸载，吃水深度以每小时0.4米的速度减小；并制定了安全条例，规定船底与海底之间至少要有0.4米的安全间隙.在此次模拟实验中，若货船满载进入港口，那么以下结论正确的是. ①若6π=ω，货船在港口全程不卸货，则该船在港口至多能停留4个小时； ②若6π=ω，货船进入港口后，立即进行货物卸载，则该船在港口至多能停留4个小时； ③若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则2x π=时，船底离海底的距离最大；④若1ω=，货船于1x =时进入港口后，立即进行货物卸载，则23x π=时，船底离海底的距离最大.三、解答题16．已知函数()cos 2sin f x x a x =+，22f π⎛⎫=- ⎪⎝⎭.(1)求()f x 的最小值；(2)设()2sin 4g x x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭，求()g x 的取值范围，17．在三棱柱111ABC A B C -中，平面11ABB A ⊥平面ABC ，ABC V 为正三角形，D ，E 分别为BC 和11AC 的中点.(1)求证：//DE 平面11ABB A ；(2)2AB =，23AA =，再从条件①，条件②，条件③中选择一个作为已知，使三棱柱唯一确定，求DE 与平面11A B C 所成角的正弦值. 条件①：4DE =条件②：11AC B C =条件③：1BB AC ⊥注：如果选择的条件不符合要求，第（2）问得0分；如果选择多个符合要求的条件分别解答，按第一个解答计分.18．甲、乙两名同学积极参与体育锻炼，对同一体育项目，在一段时间内甲进行了6次测试，乙进行了7次测试，每次测试满分均为100分，达到85分及以上为优秀，两位同学的测试成绩如下表：(1)从甲、乙两名同学共进行的13次测试中随机选取一次，求该次测试成绩超过90分的概率：(2)从甲同学进行的6次测试中随机选取4次，设X 表示这4次测试成绩达到优秀的次数，求X 的分布列及数学期望()E X ；(3)记样本中甲进行的六次测试成绩的方差为21S ，样本中乙进行的七次测试成绩的方差为22S ，样本中甲、乙两名同学共进行的13次测试成绩的方差为23S ，写出21S ，22S ，21S 的大小关系.（结论不要求证明）19．已知函数()()2e axf x x b =-+，曲线()y f x =在()()0,0f 处的切线方程为33y x =--.(1)求a ，b 的值：(2)①求证：()f x 只有一个零点；②记()f x 的零点为0x ，曲线()y f x =在()(),u f u 处的切线l 与x 轴的交点横坐标为1x .若10x x >，求u 的取值范围.20．已知椭圆()2222:10x y E a b a b +=>>，E 的离心率e =，短轴长为4.(1)求椭圆E 的标准方程：(2)对于给定的点()0,P t ，在E 上存在不同的三点A ，B ，Q ，使得四边形APBQ 为平行四边形，且直线AB 过点()0,1，求t 的取值范围.21．由m 个正整数构成的有限集{}123,,,,m M a a a a =⋅⋅⋅（其中123m a a a a <<<⋅⋅⋅<），记()12m P M a a a =++⋅⋅⋅+，特别规定()0P ∅=，若集合M 满足：对任意的正整数()k P M ≤，都存在集合M 的两个子集A ，B ，使得()()k P A P B =-成立，则称集合M 为“满集”. (1)分别判断集合{}11,2M =与{}22,3M =是否为“满集”，请说明理由； (2)若集合M 为“满集”，求1a 的值：(3)若M 为满集，()2024P M =，求m 的最小值.。
2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷及答案解析(3月份)
2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷一、选择题（共8小题）1．如图是某几何体的三视图，该几何体是（）A．圆柱B．球C．三棱柱D．长方体2．故宫又称紫禁城，位于北京中轴线的中心，占地面积高达720000平方米，在世界宫殿建筑群中面积最大．请将720000用科学记数法表示应为（）A．0.72×105B．7.2×105C．7.2×104D．72×1033．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＞﹣2B．|a|＞b C．a+b＞0D．b﹣a＜04．将一副三角板（∠A＝30°，∠E＝45°）按如图所示方式摆放，使得BA∥EF，则∠AOF 等于（）A．75°B．90°C．105°D．115°5．如果x2+2x﹣2＝0，那么代数式x（x+2）+（x+1）2的值是（）A．﹣5B．5C．3D．﹣36．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（）A．a＜﹣2B．b＜1C．a＞b D．﹣a＞b7．如图，平行四边形ABCD中，E为DC的中点，AC与BE交于点F．则△EFC与△BF A 的面积比为（）A．1：B．1：2C．1：4D．1：88．某函数的图象如图所示，当0≤x≤a时，在该函数图象上可找到n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n），使得，则n的取值不可能为（）A．3B．4C．5D．6二、填空题9．若代数式有意义，则实数x的取值范围是．10．分解因式：4a2﹣28ab＝．11．把“不相等的角不是对顶角”改写成“如果…，那么…”的形式是．12．数据组：28，37，32，37，35的中位数是．13．如图，正六边形ABCDEF的边长为2，以顶点A为圆心，AB的长为半径画圆，则图中阴影部分的面积为．14．如图，已知双曲线y＝（k＞0）经过直角三角形OAB斜边OB的中点D，与直角边AB相交于点C，若△OBC的面积为6，则k＝．15．小林、小芳和小亮三人玩飞镖游戏，各投5支飞镖，规定在同一圆环内得分相同，中靶和得分情况如图，则小亮的得分是．16．小夏同学从家到学校有A ，B 两条不同的公交线路．为了解早高峰期间这三条线路上的公交车从甲地到乙地的用时情况，在每条线路上随机选取了500个班次的公交车，收集了这些班次的公交车用时（单位：分钟）的数据，统计如下：公交车用时频数公交车线25≤t ≤3030＜t ≤3535＜t ≤4040＜t ≤45合计A 59151166124500B4357149251500据此估计，早高峰期间，乘坐B 线路“用时不超过35分钟”的概率为；若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐（填A或B ）线路．三、解答题：（共68分）17．计算：．18．解不等式组：．19．下面是晓彤在证明“平行四边形的对角相等”这个性质定理时使用的三种添加辅助线的方法，请你选择其中一种，完成证明．平行四边形性质定理：平行四边形的对角相等．已知：如图，▱ABCD ．求证：∠BAD ＝∠BCD ，∠ABC ＝∠ADC ．方法一：证明：如图，连接AC ．方法二：证明：如图，延长BC 至点E ．方法三：证明：如图，连接AC 、BD ，AC 与BD 交于点O ．20．关于x 的方程x 2﹣2x +2m ﹣1＝0有实数根，且m 为正整数，求m 的值及此时方程的根．21．如图，在菱形ABCD中，O为AC，BD的交点，P，M，N分别为CD，OD，OC的中点．（1）求证：四边形OMPN是矩形；（2）连接AP，若AB＝4，∠BAD＝60°，求AP的长．22．已知一次函数y＝kx+b的图象经过（1，2），（3，﹣4）两点且与y轴交于A点．（1）求函数解析式及点A的坐标；（2）当x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝kx+b的值，求m 的取值范围．23．某水果店销售某种水果，由历年市场行情可知，从第1月至第12月，这种水果每千克售价y1（元）与销售时间第x月之间存在如图1（一条线段）所示的变化趋势，每千克成本y2（元）与销售时间第x月之间存在如图2（一段抛物线）所示的变化趋势．（1）分别求函数y1和y2的表达式；（2）销售这种水果，第几月每千克所获得利润最大？最大利润是多少？24．抛物线y＝ax2+bx+3经过点A、B、C，已知A（﹣1，0），B（3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P为线段BC上一点，过点P作y轴平行线，交抛物线于点D，当△BDC的面积最大时，求点P的坐标；（3）如图2，在（2）的条件下，延长DP交x轴于点F，M（m，0）是x轴上一动点，N是线段DF上一点，当△BDC的面积最大时，若∠MNC＝90°，请直接写出实数m的取值范围．25．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，过点D作DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，CF＝CD．（1）求证：CF是⊙O的切线；（2）若，求⊙O半径的长．26．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2x+c（a≠0）与y轴交于点A，将点A向右平移4个单位长度，得到点B．（1）若c＝4，点C（﹣2，4）在抛物线上，求抛物线的解析式及对称轴；（2）若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合函数图象，求a的取值范围．27．如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴的正半轴上，点B的坐标（0，﹣2），过原点的直线OC与直线AB交于C，∠COA＝∠OCA＝∠OBA＝30°，AB＝4．（1）点C坐标为，OC＝，△BOC的面积为，＝；（2）点C关于x轴的对称点C′的坐标为；（3）过O点作OE⊥OC交AB于E点，则△OAE的形状为，请说明理由；（4）在坐标平面内是否存在点F使△AOF和△AOB全等，若存在，请直接写出F坐标；若不存在，请说明理由．28．已知：四边形ABCD为⊙O的内接四边形，BD、AC相交于点E，AB＝AC．（1）如图1，求证：2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）如图2，过点C作CF⊥AB于点F，交BD于点G，当∠DBC＝45°时，求证：CE ＝CG；（3）如图3，在（2）的条件下，连接AO并延长交BD于点H，当AE＝CE＝3时，求CD的长．2024年北京市海淀区清华附中中考数学统练试卷参考答案与试题解析（3月份）一、选择题（共8小题）1．【分析】根据一个空间几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，可判断该几何体是柱体，进而根据俯视图的形状，可判断柱体侧面形状，得到答案．【解答】解：由几何体的主视图和左视图都是宽度相等的长方形，故该几何体是一个柱体，又∵俯视图是一个圆，故该几何体是一个圆柱．故选：A．【点评】本题考查的知识点是三视图，如果有两个视图为三角形，该几何体一定是锥，如果有两个矩形，该几何体一定柱，其底面由第三个视图的形状决定．2．【分析】把一个大于10的数记成a×10n的形式，其中a是整数数位只有一位的数，n是正整数，这种记数法叫做科学记数法，由此即可得到答案．【解答】解：将720000用科学记数法表示应为7.2×105．故选：B．【点评】本题考查科学记数法，关键是掌握用科学记数法表示较大数的方法．3．【分析】根据数轴确定a，b的大小与符号，然后根据实数的运算法则计算即可．【解答】解：由数轴可知，a＜﹣2，故A结论错误，不符合题意；a＜﹣2，0＜b＜1，|a|＞b，故B结论正确，符合题意；a＜0，b＞0，|a|＞|b|，a+b＜0，故C结论错误，不符合题意；a＜0，b＞0，b﹣a＝b+（﹣a）＞0，故D结论错误，不符合题意．故选：B．【点评】本题考查的是实数与数轴，解题的关键是关键数轴确定a，b的符号与绝对值的大小．4．【分析】依据AB∥EF，即可得∠FCA＝∠A＝30°，由∠F＝∠E＝45°，利用三角形外角性质，即可得到∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．【解答】解：∵BA∥EF，∠A＝30°，∴∠FCA＝∠A＝30°．∵∠F＝∠E＝45°，∴∠AOF＝∠FCA+∠F＝30°+45°＝75°．故选：A．【点评】本题主要考查了平行线的性质，解题时注意：两直线平行，内错角相等．5．【分析】根据单项式乘多项式的运算法则、完全平方公式、合并同类项法则把原式化简，整体代入计算，得到答案．【解答】解：x（x+2）+（x+1）2＝x2+2x+x2+2x+1＝2x2+4x+1，∵x2+2x﹣2＝0，∴x2+2x＝2，则原式＝2（x2+2x）+1＝2×2+1＝5，故选：B．【点评】本题考查的是整式的化简求值，掌握完全平方公式、单项式乘多项式的运算法则是解题的关键．6．【分析】利用数轴与实数的关系，及正负数在数轴上的表示求解．【解答】解：根据图形可以得到：﹣2＜a＜0＜1＜b＜2；所以：A、B、C都是错误的；故选：D．【点评】本题考查了数轴与实数的关系，理解并正确运用是解题的关键．7．【分析】利用平行四边形的性质得出AB∥DC，AB＝DC，再利用相似三角形的判定与性质得出即可．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥DC，AB＝DC，∴△CEF∽△ABF，∴＝，∵E为DC的中点，∴＝＝，∴＝．故选：C．【点评】此题主要考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，得出△CEF ∽△ABF是解题关键．8．【分析】设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx的图象上，根据正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点的个数即可得出答案．【解答】解：设＝k，则在该函数图象上n个不同的点（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）也都在函数y＝kx 的图象上，即：正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点，由图象可知，正比例函数y＝kx的图象与如图所示的图象的交点可能有1个或2个或3个或4个或5个．故选：D．【点评】本题主要考查了函数图象，数形结合是解题的关键．二、填空题9．【分析】根据分式有意义，分母不等于0列式计算即可得解．【解答】解：由题意得，x+1≠0，解得x≠﹣1．故答案为：x≠﹣1．【点评】本题考查了分式有意义的条件，从以下三个方面透彻理解分式的概念：（1）分式无意义⇔分母为零；（2）分式有意义⇔分母不为零；（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．10．【分析】原式提取公因式即可．【解答】解：原式＝4a（a﹣7b）．故答案为：4a（a﹣7b）．【点评】此题考查了因式分解﹣提公因式法，熟练掌握提取公因式的方法是解本题的关键．11．【分析】分析命题的题设和结论，写成“如果…那…”的形式即可．【解答】解：命题“不相等的角不是对顶角”的题设是两个角不相等，结论为这两个角不是对顶角．改写成“如果…那…”的形式为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．故答案为：如果两个角不相等，那么这两个角不是对顶角．【点评】本题考查了命题即相关知识，掌握命题的形式是解决本题的关键．12．【分析】先把这组数据从小到大排列，再找出最中间的数即可得出答案．【解答】解：把这组数据从小到大排列为：28，32，35，37，37，最中间的数是35，则中位数是35．故答案为：35．【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会出错．13．【分析】利用扇形的面积公式求解即可．【解答】解：由题意，∠FAB＝120°，AF＝AB＝2，＝＝，∴S阴故答案为：．【点评】本题考查正多边形与圆，扇形的面积等知识，解题的关键是记住扇形的面积S ＝．14．【分析】过D点作x轴的垂线交x轴于E点，可得到四边形DBAE，和三角形OBC的面积相等，通过面积转化，可求出k的值．【解答】解：过D点作x轴的垂线交x轴于E点，∵△ODE的面积和△OAC的面积相等．∴△OBC的面积和四边形DEAB的面积相等且为6．设D点的横坐标为x，纵坐标就为，∵D为OB的中点．∴EA＝x，AB＝，∴四边形DEAB的面积可表示为：（+）x＝6k＝4．故答案为：4．【点评】本题考查反比例函数的综合运用，关键是知道反比例函数图象上的点和坐标轴构成的三角形面积的特点以及根据面积转化求出k的值．15．【分析】设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，根据等量关系列出方程组，再解方程组即可．【解答】解：设掷中外环区、内区一次的得分分别为x，y分，依题意得：，解这个方程组得：，则小亮的得分是2x+3y＝6+15＝2（1分）．故答案为21；【点评】此题主要考查了二元一次方程组的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程组．16．【分析】用乘坐B线路“用时不超过35分钟”的班次数量除以总数量即可得出答案；先结合表中数据得出两线路40分钟之内到达学校的概率，从而得出答案．【解答】解：由表知，早高峰期间，乘坐B线路“用时不超过35分钟”的概率为＝，∵A线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.752，B线路40分钟之内到达学校的概率为＝0.498，∴若要在40分钟之内到达学校，应尽量选择乘坐A线路，故答案为：，A．【点评】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．三、解答题：（共68分）17．【分析】原式第一项化为最简二次根式，第二项利用特殊角的三角函数值计算，第三项利用绝对值的代数意义化简，第四项利用负整数指数幂法则计算．【解答】解：原式＝，＝，＝9．【点评】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．18．【分析】先分别求出两个不等式的解集，再找出它们的公共部分．【解答】解：解不等式4（x+1）≤7x+10，得：x≥﹣2，解不等式，得：x＜5，则不等式组的解集为：﹣2≤x＜5．【点评】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．19．【分析】根据平行四边形的性质和全等三角形的判定和性质解答即可．【解答】证明：选择方法一：如图，连接AC，∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AD∥BC，AB∥CD，∴∠DAC＝∠BCA，∠BAC＝∠DCA，∴∠BAC＝∠DAC，在△ADC与△BCA中，，∴△ADC≌△BCA（SAS），∴∠B＝∠D，即平行四边形的对角相等．【点评】此题考查平行四边形的性质，关键是根据平行四边形的对边相等且平行．20．【分析】直接利用根的判别式得出m的取值范围进而解方程得出答案．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣2x+2m﹣1＝0有实数根，∴b2﹣4ac＝4﹣4（2m﹣1）≥0，解得：m≤1，∵m为正整数，∴m＝1，∴原方程可化为x2﹣2x+1＝0，则（x﹣1）2＝0，解得：x1＝x2＝1．【点评】此题主要考查了根的判别式，正确得出m的值是解题关键．21．【分析】（1）由三角形中位线定理得PM∥OC，PN∥OD，得四边形OMPN是平行四边形，再由菱形的性质得AC⊥BD，则∠MON＝90°，即可得出结论；（2）证△ABD是等边三角形，得AD＝BD＝AB＝4，得OD＝2，再由勾股定理得OA＝2，则AN＝OA+ON＝3，然后由矩形的性质得NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，即可解决问题．【解答】（1）证明：∵P，M，N分别为CD，OD，OC的中点，∴PM、PN是△OCD的中位线，∴PM∥OC，PN∥OD，∴四边形OMPN是平行四边形，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴∠MON＝90°，∴平行四边形OMPN是矩形；（2）解：如图，∵四边形ABCD是菱形，∴AB＝AD，OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，∵∠BAD＝60°，∴△ABD是等边三角形，∴AD＝BD＝AB＝4，∴OD＝BD＝2，在Rt△OAD中，由勾股定理得：OA＝＝＝2，∴OC＝2，∵M，N分别为OD，OC的中点，∴OM＝OD＝1，ON＝OC＝，∴AN＝OA+ON＝3，由（1）可知，四边形OMPN是矩形，∴NP＝OM＝1，∠PNA＝90°，∴AP＝＝＝2．【点评】本题考查了矩形的判定与性质、菱形的性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识．熟练掌握矩形的判定与性质是解题的关键．22．【分析】（1）把2个已知点的坐标分别代入y＝kx+b中得到关于k、b的方程组，再解方程组求出k、b，从而得到以此函数解析式，然后计算自变量为0对应的函数值得到点A 的坐标；（2）根据题意，当m≥0，x＝1时，函数y＝mx的函数值比y＝﹣3x+5的函数值小，所以m≤﹣3+5；当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，所以﹣3≤m＜0．【解答】解：（1）把（1，2），（3，﹣4）分别代入y＝kx+b得，解得，∴一次函数解析式为y＝﹣3x+5，当x＝0时，y＝﹣3x+5＝5，∴A点坐标为（0，5）；（2）∵x＜1时，对于x的每一个值，函数y＝mx的值都小于函数y＝﹣3x+5的值，当m≥0时，x＝1时，m≤﹣3+5，即m≤2，当m＜0时，函数y＝mx的图象与函数y＝kx+b的图象的交点只能在第四象限或平行，则﹣3≤m＜0，∴m的取值范围为﹣3≤m≤2．【点评】本题考查了待定系数法求一次函数解析式：求一次函数y＝kx+b，则需要两组x，y的值．也考查了一次函数图象与系数的关系．23．【分析】（1）设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，用待定系数法求解即可；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得w关于x的二次函数，根据二次函数的性质可得答案．【解答】解：（1）由题意设y1＝kx+b（k≠0），y2＝a（x﹣5）2+8，将（6，10），（9，9）代入y1＝kx+b，得：，解得，∴y1＝﹣x+12；将（11，14）代入y2＝a（x﹣5）2+8，得：14＝a（11﹣5）2+8，解得a＝，∴y2＝（x﹣5）2+8，函数y1和y2的表达式分别为y1＝﹣x+12，y2＝（x﹣5）2+8；（2）设第x月每千克所获得的利润为w（元），由题意得：w＝﹣x+12﹣[（x﹣5）2+8]＝﹣（x﹣4）2+2.5，＝2.5．∴当x＝4时，w有最大值，w最大∴销售这种水果，第4个月每千克所获得利润最大，最大利润是2.5元．【点评】本题考查了一次函数和二次函数在销售问题中的应用，数形结合、理清题中的数量关系、熟练掌握待定系数法和二次函数的性质是解题的关键．24．【分析】（1）由y＝ax2+bx+3经过点A（﹣1，0），B（3，0），利用待定系数法即可求得此抛物线的解析式；（2）首先令x＝0，求得点C的坐标，然后设直线BC的解析式为y＝kx+b′，由待定系数法求得直线BC的解析式为y＝﹣x+3，再设P（a，3﹣a），即可得D（a，﹣a2+2a+3），＝S△PDC+S△PDB，得到S△BDC＝﹣（a﹣）2+，利用二次求出PD的长，由S△BDC函数的性质，即可求得当△BDC的面积最大时，点P的坐标；（3）将x＝代入抛物线解析式y＝﹣x2+2x+3求出点P的纵坐标，过点C作CG⊥DF，然后分①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大，然后根据勾股定理得出CD2+DM2＝CM2，列出关于m的方程，解方程求出m的最大值；②点N在线段GF上时，设GN＝x，然后表示出NF，根据同角的余角相等求出∠NCG＝∠MNF，然后证明△NCG和△MNF相似，根据相似三角形对应边成比例列出比例式用x表示出MF，再根据二次函数的最值问题求出y的最大值，然后求出MO，从而得到点M的坐标，求出m的最小值．【解答】解：（1）由题意得：，解得：，故抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3；（2）令x＝0，则y＝3，即C（0，3）．设直线BC的解析式为y＝kx+b′，则，解得：，故直线BC的解析式为y＝﹣x+3．设P（a，3﹣a），则D（a，﹣a2+2a+3），∴PD＝（﹣a2+2a+3）﹣（3﹣a）＝﹣a2+3a，＝S△PDC+S△PDB＝PD•a+PD•（3﹣a）＝PD•3＝（﹣a2+3a）＝﹣（a ∴S△BDC﹣）2+，∴当a＝时，△BDC的面积最大，此时P（，）；（3）将x＝代入y＝﹣x2+2x+3，得y＝﹣（）2+2×+3＝，∴点D的坐标为（，）．过点C作CG⊥DF，则CG＝．①点N在DG上时，点N与点D重合时，点M的横坐标最大．∵∠MNC＝90°，∴CD2+DM2＝CM2，∵C（0，3），D（，），M（m，0），∴（﹣0）2+（﹣3）2+（m﹣）2+（0﹣）2＝（m﹣0）2+（0﹣3）2，解得m＝．∴点M的坐标为（，0），即m的最大值为；②点N在线段GF上时，设GN＝x，则NF＝3﹣x，∵∠MNC＝90°，∴∠CNG+∠MNF＝90°，又∵∠CNG+∠NCG＝90°，∴∠NCG＝∠MNF，又∵∠NGC＝∠MFN＝90°，∴Rt△NCG∽△MNF，∴＝，即＝，整理得，MF＝﹣x2+2x＝﹣（x﹣）2+，∴当x＝时（N与P重合），MF有最大值，此时M与O重合，∴M的坐标为（0，0），∴m的最小值为0，故实数m的变化范围为0≤m≤．【点评】此题考查了待定系数法求函数的解析式、三角形的面积、相似三角形的判定与性质、二次函数的最值、勾股定理等知识．此题综合性很强，难度较大，注意掌握数形结合思想、分类讨论思想与方程思想的应用．25．【分析】（1）连接OC，则∠OCB＝∠OBC，由CD⊥AB于点E，得∠BEC＝90°，由CH⊥DF，CF＝CD，得∠FCH＝∠DCH，则∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC ＝90°，即可证明CF是⊙O的切线；（2）由垂径定理得CE＝DE，而CD＝CF＝8，所以CE＝CD＝4，由＝tan∠DCB＝，则BE＝CE＝2，根据勾股定理得（OC﹣2）2+42＝OC2，即可求得OC＝5，则⊙O半径的长是5．【解答】（1）证明：连接OC，则OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC，∵CD⊥AB于点E，∴∠BEC＝90°，∵DH⊥CB交CB的延长线于点H，点F是DH延长线上一点，∴CH⊥DF，∵CF＝CD，∴∠FCH＝∠DCH，∴∠OCF＝∠FCH+∠OCB＝∠DCH+∠OBC＝90°，∵OC是⊙O的半径，且CF⊥OC，∴CF是⊙O的切线．（2）解：∵AB⊥CD，∴∠OEC＝∠BEC＝90°，CE＝DE，∵CD＝CF＝8，∴CE＝CD＝×8＝4，∵＝tan∠DCB＝，∴BE＝CE＝×4＝2，∵OE2+CE2＝OC2，OE＝OB﹣2＝OC﹣2，∴（OC﹣2）2+42＝OC2，解得OC＝5，∴⊙O半径的长是5．【点评】此题重点考查切线的性质、垂径定理、圆周角定理、等腰三角形的“三线合一”、勾股定理、锐角三角函数与解直角三角形等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．26．【分析】（1）利用待定系数法求得抛物线的解析式后，利用对称轴公式即可求得抛物线的对称轴；（2）分a＞0、a＜0两种情况，结合函数图象，分别求解即可．【解答】解：（1）若c＝4，则抛物线为y＝ax2﹣2x+4（a≠0），∵点C（﹣2，4）在抛物线上，∴4＝4a+4+4，∴a＝﹣1，∴抛物线为y＝﹣x2﹣2x+4，∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝﹣1；（2）当a＞0时，如图1．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＞0，∵将点A向右平移4个单位长度，得到点B，抛物线与线段AB恰有一个公共点，∴＞2，∴0＜a＜；（ⅱ）当a＜0时，如图2．∴抛物线的对称轴为直线x＝﹣＝＜0，∴抛物线与线段AB只有一个公共点A，∴a＜0，综上所述，a的取值范围是：0＜a＜或a＜0．【点评】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，分类讨论、数形结合是解题的关键．27．【分析】（1）先由∠OBA＝30°、AB＝4得到OA的长，即可得到点A的坐标，过点C 作CD⊥x轴于点D，然后结合∠COA＝∠OCA＝30°求得AC的长，进而得到AD、CD 的长，即可得到点C的坐标；然后得到OC的长；由点B的坐标得到OB的长，进而得到△BOC的面积；由点A、点B、点C的坐标求得△OAC和△OAB的面积，再求得的值；（2）直接由点C的坐标求得点C'的坐标；（3）由OE⊥OC得到∠COE＝90°，然后由∠COA＝30°求得∠AOE＝60°，再由∠OBA＝30°求得∠OAE＝60°，即可得到∠AOE＝∠OAB＝60°，从而得到△OAE是等边三角形；（4）分情况讨论：①△AOB≌△AOF；②△AOB≌OAF，然后作出对应的图形求得点F 的坐标．【解答】解：（1）∵点B（0，﹣2），∴OB＝2，∵AB＝4，∠OBA＝30°，∠AOB＝90°，∴OA＝2，即A（2，0），∵∠AOC＝∠ACO＝30°，∴AC＝OA＝2，∠OAB＝60°，过点C作CD⊥x轴于点D，则∠CAD＝60°，∠ADC＝90°，∴∠ACD＝30°，∴AD＝1，CD＝，∴OD＝OA+AD＝2+1＝3，∴C（3，），＝＝＝3，∴OC＝2，S△BOC＝＝，S△OAB＝＝2，∴S△AOC∴＝，故答案为：（3，），2，3，．（2）∵C（3，），点C与点C'关于x轴对称，∴C'（3，﹣），故答案为：（3，﹣）；（3）∵OE⊥OC，∴∠COE＝90°，∵∠COA＝30°，∴∠AOE＝60°，∵∠OAE＝60°，∴∠AOE＝∠OAB＝60°，∴△OAE是等边三角形，故答案为：等边三角形；（4）在坐标平面内存在点F使△AOF和△AOB全等；理由如下：①如图1，当△AOB≌△AOF时，OB＝OF，∵OB＝2，∴OF＝2，∴F1（0，2），F2（0，﹣2），②如图2，当△AOB≌OAF时，AF＝OB，∴AF＝2，∴F3（2，2），F4（2，﹣2），综上所述，存在F1（0，2），F2（0，﹣2），F3（2，2），F4（2，﹣2），使得△OAB与△OAF全等．【点评】本题考查了含30°角的直角三角形三边关系、等腰三角形、等边三角形的判定、全等三角形的判定与性质，解题的关键是通过含30°角的直角三角形三边关系求得相关线段的长度．28．【分析】（1）根据圆周角定理，将2∠ADB+∠CDB转化为△ABC的内角和即可；（2）过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，利用ASA证明△CEN≌△CGN，从而证明结论；（3）连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O作OM⊥AB于M，先证AQ⊥BC，再证EH＝GH，在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，求得PE＝HE＝，由△CDE∽△BAE，即可求得CD的值．【解答】（1）证明：∵AB＝AC，∴∠ACB＝∠ABC，∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠ADB＝∠ACB，∴∠ADB＝∠ABC，∵∠ADC＝∠CDB+∠ADB，∴∠ADC+∠ABC＝∠CDB+∠ADB+∠ADB＝∠CDB+2∠ADB＝180°，∴2∠ADB+∠CDB＝180°；（2）证明：过点C作CN⊥DB交BD于点N，交⊙O于点M，如图1，∵∠DBC＝45°，∴∠MCB＝180°﹣∠CNB﹣∠DBC＝45°，∴∠MCB＝∠DBC＝45°，∴，∵AB＝AC，∴，∴，∴∠ACM＝∠DBA，∵∠CNG＝∠GFB，∠NGC＝∠FGB，∴∠NCG＝180°﹣∠CNG﹣∠NGC＝180°﹣∠GFB﹣∠FGB＝∠GBF＝∠ECN，在△CEN与△CGN中，，∴△CEN≌△CGN（ASA），∴CE＝CG；（3）解：如图2，在DE上取EP＝EH，连接AP，OE，CH，延长AO交BC于Q，过O 作OM⊥AB于M，∵E为AC的中点，∴OE⊥AC，∵AB＝AC，∴OE＝OM，∴AQ平分∠CAB，∴AQ⊥BC，∵CQ＝BQ，点H在AQ上，∴CH＝BH，∵∠DBC＝45°，∴∠HCB＝∠DBC＝45°，∴∠CHB＝180°﹣∠HCB﹣∠DBC＝90°，∴CH⊥BD，∵CE＝CG，∴EH＝GH，∵在DE上取EP＝EH，则四边形APCH为▱APCH，∴AP∥CH，AP＝CH，∠APH＝90°，∵∠AHP＝∠BHQ＝45°，设PE＝x，∴AP＝PH＝2PE＝2x，AH＝PH＝2x，∵AH2﹣PH2＝AE2﹣PE2，∴8x2﹣4x2＝32﹣x2，3解得：x＝，∴PE＝HE＝，∴AP＝PH＝CH＝BH＝，BE＝，∴AH＝PH＝，∴HQ＝BH＝，在Rt△ABQ中，BQ＝HQ＝，AQ＝+＝，∴AB＝＝6，∵弦AC与BD相交于E，∴△CDE∽△BAE，∴＝，∴CD＝＝＝2；方法二：作DL⊥AC，如图4，∵∠DLA＝90°，∠DBC＝45°，∴△DLA是等膘直角三角形，∴DL＝AL，∵CF⊥AB，∠DBA+∠FGB＝90°，CE＝CG，∴∠FGB＝∠CGE＝∠CEG＝∠DEL，∴∠DBA＝∠ACE＝∠EDL，∵△DLE∽△DCL，设DL为x，则CL＝6﹣x，∴＝，解得：x＝2，∴CL＝4，∴CD＝＝2．【点评】本题考查圆的综合应用，掌握圆的相关性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，作辅助线构造全等三角形是解题的关键。
北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学(理)试题
北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试数学（理）试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共20小题，满分150分. 考试用时120分钟. 注意事项：1.答题前，考生先将自已所在县（市、区）、姓名、试室号、座位号和考生号填写清楚， 将条形码粘贴在指定区域。
2.第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卷上对应题目的答案标号涂黑，如需要改 动用先橡皮擦干净，再选涂其他答案标号。
第Ⅱ卷用黑色墨水签字笔在答题卷上书写作答。
在试题卷上作答，答案无效。
3.请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿 纸、试题卷上答题无效。
4.考试结束，监考人员将试卷、答题卷一并收回。
5.保持答题卷清洁，不要折叠、不要弄破。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1. 若集合{{}()122log 0x x a x x ->=<，则实数a 的值为A ．12B ． 2C ．32D ．12.若双曲线223x ty t -= 的焦距为 6 ，则该双曲线的离心率为A ．B C ． D ．3．已知R n m ∈,，i 是虚数单位，若n i mi =-+)1)(1(，则||ni m +的值为A ．2B ． 1C ．5D ．34.已知AB AC ⊥,1AB t=,AC t =,若P 点是ABC ∆所在平面内一点,且AB AC AP ABAC=+,当t 变化时,PB PC ⋅的最大值等于( )A.-2B.0C.2D.45.若数列{}n a 满足112,02121,12n n n n n a a a a a +⎧≤<⎪⎪=⎨⎪-≤<⎪⎩,且135a =,则2018a = ( )A.15 B.25 C.35 D.456.某工厂利用随机数表对产生的600个零件进行抽样测试，先将600个零件进行编号，编号分别为001，002，…，599，600．从中抽取60个样本，下图提供随机数表的第4行到第6行；若从表中第6行第6列开始向右依次读取3个数据，则得到的第6个样本编号是（ ） A ．522B ．324C ．535D ．5787.“垛积术”（隙积术）是由北宋科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创，南宋数学家杨辉、元代数学家朱世杰丰富和发展的一类数列求和方法，有茭草垛、方垛、刍童垛、三角垛等等．某仓库中部分货物堆放成如图所示的“菱草垛”：自上而下，第一层1件，以后每一层比上一层多1件，最后一层是件．已知第一层货物单价1万元，从第二层起，货物的单价是上一层单价的．若这堆货物总价是万元，则的值为（ ）328432214256184256345308293143783467643467568653070755353677522534423089060794443283388575122322234553437855568978770732352345786877909689560823420445n 910910020010n⎛⎫- ⎪⎝⎭nA ．10B ．9C ．8D ．78.已知函数()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足2(01),2()1(1)e xxx x f x x x ⎧-≤<⎪⎪=⎨-⎪≥⎪⎩，若函数()()F x f x m =-有6个零点，则实数m 的取值范围是 A.211(,)16e -B.211(,0)(0,)16e- C.21(0,)e D.21[0,)e 第Ⅱ卷二、填空题：本大题共6小题，每小题5分．9.已知直线1:10l x y -+=与2:30l x ay ++=平行，则a =，1l 与2l 之间的距离为 10.已知函数2()()()f x x t x t =+-是偶函数，则t =11.著名的“31n +猜想”是对任何一个正整数进行规定的变换，最终都会变成 1. 右边的程序框图示意了31n +猜想，则输出的n 为12.某校在科技文化艺术节上举行纸飞机大赛，，，，，五个团队获得了前五名．发奖前，老师让他们各自选择两个团队，猜一猜其名次：团队说：第一，第二； 团队说：第三，第四；团队说：第四，第五；团队说：第三，第五；A B C D E A C B B A D C E D D B C团队说：第一，第四．如果实际上每个名次都有人猜对，则获得第五名的是__________团队．13.已知平面内两个定点(3,0)M和点(3,0)N-，P是动点，且直线PM,PN的斜率乘积为常数(0)a a≠，设点P的轨迹为C.①存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离之和为定值；②存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离之和为定值；③不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(4,0),(4,0)-距离差的绝对值为定值；④不存在常数(0)a a≠，使C上所有点到两点(0,4),(0,4)-距离差的绝对值为定值.其中正确的命题是.（填出所有正确命题的序号）14.如图，在平面四边形ABCD中，90ABC∠=︒，2DCA BAC∠∠=．若BD xBA yBC=+（x y∈R，），则x y-的值为____________．三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15．（本小题满分13分）已知ABC∆的内角A B C，，的对边分别为a b c，，，满足sin1sin sinb Ca c A B=-++．（1）求角A的值；（2）若=3=22a b，sin(2+)B A的值．E A E16.（本小题满分13分）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -，1AA =，E 、F 分别为BC 、1BB 的中点，点D 为线段AB 上一点，3AD DB =．（1）求证：1AC ∥平面DEF ；（2）若1AC EF ⊥，求二面角F DE B --的余弦值．17．（本小题满分13分）某工厂生产、两种零件，其质量测试按指标划分，指标大于或等于的为正品，小于的为次品．现随机抽取这两种零件各100个进行检测，检测结果统计如下：（1）试分别估计、两种零件为正品的概率；（2）生产1个零件，若是正品则盈利50元，若是次品则亏损10元；生产1个零件，若是A B 80cm 80cm A B A正品则盈利60元，若是次品则亏损15元，在（1）的条件下：（i ）设为生产1个零件和一个零件所得的总利润，求的分布列和数学期望； （ii ）求生产5个零件所得利润不少于160元的概率．18.（本小题满分13分）已知函数()22224ln x a af x x x a +-=-+，a ∈R ．（1）当1a =，函数()y f x =图象上是否存在3条互相平行的切线，并说明理由？ （2）讨论函数()y f x =的零点个数．19.（本小题满分14分）如图，设椭圆C 1：x 2a2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，且椭圆C 1的离心率是√32．（1）求椭圆C 1的标准方程；（2）过F 作直线l 交抛物线C 2于A ，B 两点，过F 且与直线l 垂直的直线交椭圆C 1于另一点C ，求△ABC 面积的最小值，以及取到最小值时直线l 的方程．X A B X B20.（本小题满分14分）对于给定的奇数,(3)m m ≥，设A 是由m m ⨯个数组成的m 行m 列的数表，数表中第i 行，第j 列的数{}0,1ij a ∈，记()c i 为A 的第i 行所有数之和，()r j 为A 的第j 列所有数之和，其中{},1,2,...,i j m ∈.对于{},1,2,...,i j m ∈，若()2ij m ma c i -<且2mj <同时成立，则称数对(,)i j 为数表A 的一个“好位置”(1)直接写出右面所给的33⨯数表A 的所有的“好位置”； (2)当5m =时，若对任意的15i ≤≤都有()3c i ≥成立，求数表A 中的“好位置”个数的最小值；(3)求证：数表A 中的“好位置”个数的最小值为22m -．北京市清华大学附属中学2019届高三下学期第三次模拟考试理科数学试题参考答案及评分标准一．选择题二．填空题9. 1,- 10. 0,1 11. 6 12. 13.②④ 14.1- 三．解答题15．（本小题满分13分） 解：（1）∵sin 1sin sin b Ca c A B=-++， 由正弦定理得，1b ca c a b=-++． .…….……2分 化简得，222b c a bc +-=． .…….……3分由余弦定理得，2221cos 22b c a A bc +-==．.…….……5分又0πA <<，∴π3A =． .…….……6分（2）由（Ⅰ）知，π3A =，又 3a =，b = ∴sin sin b A B a =． .…….……8分 又b a <，D∴cos B=．.…….……9分∴sin22sin cosB B B=，.…….……10分21cos212sin3B B=-=-．.…….……11分∴πππsin(2)sin(2)sin2cos cos2sin333B A B B B+=+=+．.…….……13分16. （本小题满分13分）（1）证明：连结1BC交于EF于点H，E、F为BC、1BB的中点，114BH BDBC BA∴==，1AC DH∴∥，DH ⊂面DEF，1AC∴∥面DEF．（2）矩形11BCC B中，连结1C F、1C E，连结AE，AE BC⊥，面1BCC B⊥面ABC，1AE BCC B∴⊥面，AE EF∴⊥，1AC EF⊥，EF∴⊥面1AC E，1EF EC∴⊥，1FECRt△中，22211EF EC FC+=，221112FC B C=+，221184EC BC=+，22124EF BC=+，4BC∴=，以点B为原点，BA为x轴，BC为y轴，1BB为z轴，建立空间直角坐标系，(F，()1,0,0D，()E，(DF=-，()0,DE=，平面DEF的一个法向量()1,,x y z=n，∴11DFDE⎧⋅⎪⎨⋅==⎪⎩nn，即0x⎧-==⎪，取x=)1=n，平面ADE 的一个法向量()20,0,1=n ，()12,cos ∴=n n ，F DE B ∴--． 17．（本小题满分13分）（1）∵指标大于或等于的为正品，且、两种零件为正品的频数分别为80和75， ∴、两种零件为正品的概率估计值分别为，． （2）（i ）由题意知可能取值为，35，50，110，，， ，．∴的分布列为∴的数学期望为． （ii ）∵生产1个零件是正品的概率为，生产5个零件所产生的正品数服从二项分布，即， 生产5个零件所得利润不少于160元，则其正品数大于或等于4件， ∴生产5个零件所得利润不少于160元的概率为． 18. （本小题满分13分）80cm A B A B ()8041005P A ==()7531004P B ==X 25-()111255420P X =-=⨯=()41135545P X ==⨯=()133505420P X ==⨯=()431105453P X ==⨯=X X ()()113325355011079.25205205E X =-⨯+⨯+⨯+⨯=B ()34P B =B Y 35,4Y B ⎛⎫~ ⎪⎝⎭B B ()()41545553138145C C 444128P P Y P Y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫==+==+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭（1）()()21ln 1x f x x x -=-+，()()()2211x f x x x -'=+，()()()()()24211411x x x x f x x x --+--''=+，则函数()f x '在()0,1单调递减，(1,2上单调递增，()2+∞上单调递减，∵1229f ⎛⎫'= ⎪⎝⎭，()10f '=，()94100f '=，x →+∞，()0f x '→， ∴存在切线斜率()0,0.09k ∈，使得()()()123f x f x f x k '''===，()10,1x ∈，()21,4x ∈，()34,x ∈+∞， ∴函数()y f x =图象上是存在3条互相平行的切线．（2）()()()2242224x a a x a f x x x a+-+'=+，当0a ≤，有()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当1a ≥，有0∆<，()22121201a a f a +-=-<+；()4424e 20e a f a =+>+， ()f x 在()0,+∞上单调递增；∴函数()f x 存在唯一一个零点在()41,e 内；当01a <<，有()()22124121610422200a a x x a a a a x x a ∆⎧=-≥⎪⎪+=-=->⎨⎪⋅=>⎪⎩，∴()f x 在()10,x 上单调递增，在()12,x x 上单调递减，在()2,x +∞上单调递增，22222222424e 220e a a a f a a a a --⎛⎫=-+-<-+-< ⎪ ⎪⎝⎭+， ()2221ln 22ln 10f a a a a a ⎛⎫=+-=+-> ⎪⎝⎭， ()10f <，()4424e 20e a f a=+>+，2224e 1e aa -<<<，∴函数()f x 一个零点在区间222e ,a a -⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭内，一个零点在区间()21,a 内，一个零点在()41,e 内． ∴函数()f x 有三个不同零点．综上所述：当(][),01,a ∈-∞+∞函数()f x 一个零点；当()0,1a ∈函数()f x 三个零点． 19．（本小题满分14分）解：（1）∵椭圆C 1：x 2a 2+y 2b 2=1（a ＞b ＞0），长轴的右端点与抛物线C 2：y 2=8x 的焦点F 重合，∴a =2，又∵椭圆C 1的离心率是√32．∴c =√3，⇒b =1，∴椭圆C 1的标准方程：x 24+y 2=1． （2）过点F （2，0）的直线l 的方程设为：x =my +2，设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2） 联立{y 2=8x x=my+2得y 2-8my -16=0．y 1+y 2=8m ，y 1y 2=-16，∴|AB |=√1+m 2√(y 1+y 2)2−4y 1y 2=8（1+m 2）． 过F 且与直线l 垂直的直线设为：y =-m （x -2） 联立{y =−m(x −2)x 24+y 2=1得（1+4m 2）x 2-16m 2x +16m 2-4=0，x C +2=16m 21+4m 2，⇒x C =2(4m 2−1)4m 2+1．∴|CF |=√1+m 2|x c −x F |=44m 2+1•√1+m 2． △ABC 面积s =12|AB |•|CF |=16(1+m 2)4m 2+1⋅√1+m 2．令√1+m 2=t(t ≥1)，则s =f （t ）=16t 34t 2−3，f ′（t ）=16(4t 4−9t 2)(4t 2−3)2，令f ′（t ）=0，则t 2=94，即1+m 2=94时，△ABC 面积最小．即当m =±√52时，△ABC 面积的最小值为9，此时直线l 的方程为：x =±√52y +2． 20. （本小题满分14分）解：（1）“好位置”有：(1,2),(1,3),(2,1),(3,1)（2）因为对于任意的1,2,3,4,5i =，()3c i ≥；所以当,1i j a =时，5|5()|532c i -≤-<， 当,0i j a =时，,5|5()|()2i j a c i c i -=>； 因此若(,)i j 为“好位置”， 则必有,1i j a =，且55()2r j -<，即()3r j ≥ 设数表中共有(15)n n ≥个1，其中有t 列中含1的个数不少于3， 则有5t -列中含1的个数不多于2， 所以52(5)15t t n +-≥≥，53t ≥， 因为t 为自然数，所以t 的最小值为2因此该数表中值为1，且相应位置不为“好位置”的数个数最多不超过326⨯= 所以，该数表好位置的个数不少于1569-=个 而下面的55⨯数表显然符合题意此数表的“好位置”的个数恰好为9综上所述，该数表的“好位置”的个数的最小值为9（3） 当(,)i j 为“好位置”时，且,1i j a =时，则有|()|2m m c i -<，所以()2m c i >， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i +≥ 同理得到1()2m r j +≥当(,)i j 为“好位置”，且,0i j a =时，则|()|2m m c i -<，则必有()2m c i <， 注意到m 为奇数，*()c i ∈N ，所以有1()2m c i -≤ 同理得到1()2m r j -≤因为交换数表的各行，各列，不影响数表中“好位置”的个数，所以不妨设11(),0,(),122m m c i i p c i p i m ++≥≤≤<+≤≤ 11(),0,(),122m m r j j q r j q j m ++≥≤≤<+≤≤ 其中0,p q m ≤≤，,p q ∈N 则数表A 可以分成如下四个子表其中1A 是p 行q 列，3A 是p 行m q -列，2A 是m p -行q 列，4A 是m p -行m q -列设1A ，2A ，3A ，4A 中1的个数分别为1234,,,x x x x则1A ，2A ，3A ，4A 中0的个数分别为12,(),pq x q m p x ---34(),()()p m q x m p m q x -----则数表A 中好位置的个数为14()()x m p m q x +---个 而 1312m x x p ++≥⨯，341()2m x x m q -+≤-⨯ 所以 1411()22m m x x p m q +--≥⨯--⨯所以 141411()()()()()22m m x m p m q x x x m p m q p m q +-+---≥-≥--+⨯--⨯而11()()()22m m m p m q p m q +---+⨯--⨯211()22m m m pm qm pq p m q +-=--++⨯--⨯211222m m m mp q pq -++=⨯-⨯++22111()()2242m m m m mp q +--+=---+21121()()224m m m m p q +-++=--+显然当11()()22m m p q +---取得最小值时，上式取得最小值， 因为0,p q m ≤≤，所以2211211121()()()(0)224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+2211211121()()(0)()224224m m m m m m m m p q m +-+++-++--+≥--+当p m =时，数表A 中至少含有12m m +⨯个1， 而11(1)22m m m m m +-⨯>+-⨯，所以q 至少为2 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121()(2)224m m m m m +-++≥--+21m =-当1p m =-时，数表A 中至少含有1(1)2m m +-⨯个1而11(1)22m m m m +--⨯>⨯，所以q 至少为1 此时21121()()224m m m m p q +-++--+21121[(1)](1)224m m m m m +-++≥---+22m =-下面的数表满足条件，其“好位置”的个数为22m -。
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清华附中2006—2007学年第二学期高三第二次统练数学(理)
本试卷满分100分，考试时间90分钟．
一、选择题：本大题共8小题，每小题4分，共32分．
1．15cot15tan的值是 ( )
A．2 B．32 C．4 D．334
2．设数列{an}是等比数列，2,51211qa，则a4与a10的等比中项为( )
A．41 B．81 C．41 D．81
3．过点(2，－2)且与双曲线1222yx有相同渐近线的双曲线方程是( )
A．12422yx B．12422xy C．14222yx D．14222xy
4．若不等式：)40(342mmxmxx恒成立，则x的取值范围是( )
A．31x B．1x C．3x D．31xx或
5．若数列{an}是等差数列，首项0,0,02042032042031aaaaa，使前n项和Sn<0
的最大自然数n是 ( )
A．405 B．406 C．407 D．408
6．在△ABC中，角A、B、C的对边分别是a、b、c，且∠A=2∠B，则BB3sinsin等于( )
A．cb B．bc C．ab D．ca
7．过椭圆的一个焦点F(－c，0)，倾斜角为43arccos的直线，交椭圆于A、B两点，若
|AF|:|BF|=1:3，那么椭圆的离心率e = ( )
A．31 B．32 C．33 D．32
8．已知直线l：mxy21与曲线C：|4|2112xy仅有三个交点，则m的取值范围
是 ( )
A．)12,12( B．)2,1( C．)21,1( D．)21,2(
二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分．
9．在复平面内，复数1ii对应的点位于第 象限．
10．若5(1)ax的展开式中3x的系数是80，则实数a的值是 ．
11．已知22,05302yxyxyx则的最大值是 ．
12．曲线1yx和2yx在它们交点处的两条切线与x轴所围成的三角形面积是 ．
13．给出以下四个命题：
①如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的一个平面和这个平面相交，那么这条直线
和交线平行；
②如果一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直，那么这条直线垂直于这个平面；
③如果两条直线都平行于一个平面，那么这两条直线互相平行；
④如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么些两个平面互相垂直．
其中真命题的个数是 ．
14．)6,2(),817,1(NM，点P是曲线4422xxy上的动点，则|MP|+|NP|的最小值为 ．
三、解答题：本大题共4小题，共44分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(本小题10分) 已知向量mur= (1，1)，向量n与向量mur的夹角为34，且mnurr= 1．
(1) 求向量n；
(2) 设向量))23(cos2,(cos),0,1(2xxba向量，其中320x，若0an，试求
||bn
的取值范围．
16．(本题满分10分) 某射手进行射击训练，假设每次射击击中目标的概率为53，且各次射
击的结果互不影响．
(1) 求射手在3次射击中，至少有两次连续击中目标的概率(用数字作答)；
(2) 求射手第3次击中目标时，恰好射击了4次的概率(用数字作答)；
(3) 设随机变量表示射手第3次击中目标时已射击的次数，求的分布列．
17．(本小题满分12分)如图，在四棱锥ABCDP中，底面ABCD是正方
形，侧棱PD 底面ABCD，DCPD，E是PC的中点，作
PBEF
交PB于点F．
(I) 证明 ∥PA平面EDB；
(II) 证明PB平面EFD；
(III) 求二面角D-PB-C的大小．
18．(本小题12分) 已知数列{an}满足.81),2(12241anaannn且
(1) 求数列的前三项：a1，a2，a3；
(2) 是否存在一个实数λ，使得数列}2{nna为等差数列？
若存在，求出λ的值；若不存在，说明理由；
(3) 求数列{an}的前n项和Sn．
附加题：(本小题14分)
已知F1、F2分别是椭圆)0(12222babyax的左、右焦点，P是此椭圆的一动点，并
且21PFPF 的取值范围是].34,34[
(1) 求此椭圆的方程；
(2) 点A是椭圆的右顶点，直线y = x与椭圆交于B、C两点(C在第一象限内)，又P、Q
是椭圆上两点，并且满足0||||21FFCQCQCPCP，求证：向量ABPQ与共线．
班级___________ 学号________________ 姓名____________________
2006—2007学年第二学期高三第一次统练数学答卷(理)
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案
9．__________________； 10． ______________； 11． ______________；
12．________________； 13．_______________； 14．________________．
15．(10分)
16．(10分)
17．(12分)
18．(12分)