2020版高中数学第2章数列2.3等差数列的前n项和第1课时等差数列的前n项和及其性质课时作业案新人教A版必修5

1 第1课时 等差数列的前n项和及其性质 A级 基础巩固 一、选择题 1．若等差数列{an}的前三项和S3＝9，且a1＝1，则a2等于( A ) A．3 B．4 C．5 D．6

[解析] S3＝3a1＋3×22d＝9， 又∵a1＝1，∴d＝2， ∴a2＝a1＋d＝3. 2．已知数列{an}的通项公式为an＝2－3n，则{an}的前n项和Sn等于( A )

A．－32n2＋n2 B．－32n2－n2

C．32n2＋n2 D．32n2－n2 [解析] 易知{an}是等差数列且a1＝－1，所以Sn＝na1＋an2＝n1－3n2＝－32n2＋n2.故选A． 3．(2018·全国卷Ⅰ理，4)记Sn为等差数列{an}的前n项和．若3S3＝S2＋S4，a1＝2，则a5＝( B ) A．－12 B．－10 C．10 D．12

[解析] 33a1＋3×22×d＝2a1＋d＋4a1＋4×32×d⇒9a1＋9d＝6a1＋7d⇒3a1＋2d＝0⇒6＋2d＝0⇒d＝－3， 所以a5＝a1＋4d＝2＋4×(－3)＝－10. 4．(2019·全国Ⅰ理，9)记Sn为等差数列{an}的前n项和．已知S4＝0，a5＝5，则( A ) A．an＝2n－5 B．an＝3n－10

C．Sn＝2n2－8n D．Sn＝12n2－2n [解析] 设首项为a1，公差为d. 由S4＝0，a5＝5可得 a1＋4d＝5，4a1＋6d＝0， 2

解得 a1＝－3，d＝2. 所以an＝－3＋2(n－1)＝2n－5， Sn＝n×(－3)＋nn－12×2＝n2－4n.故选A．

5．在－12和8之间插入n个数，使这n＋2个数组成和为－10的等差数列，则n的值为( B ) A．2 B．3 C．4 D．5

[解析] 依题意，有－10＝－12＋82×(n＋2)，解得n＝3. 6．《九章算术》是我国第一部数学专著，下有源自其中的一个问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤．问金箠重几何？”其意思为：“今有金杖(粗细均匀变化)长5尺，截得本端1尺，重4斤，截得末端1尺，重2斤．问金杖重多少？”则答案是( B ) A．14斤 B．15斤 C．16斤 D．18斤 [解析] 由题意可知等差数列中a1＝4，a5＝2，

则S5＝a1＋a5×52＝4＋2×52＝15， ∴金杖重15斤．故选B． 二、填空题 7．(2019·山东荣成六中高二月考)若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有__13__项． [解析] 设这个等差数列为{an}，由题意得

 a1＋a2＋a3＝34 ①

an＋an－1＋an－2

＝146 ②

，

①＋②得3(a1＋an)＝180，∴a1＋an＝60. ∴Sn＝na1＋an2＝30n＝390，∴n＝13. 8．在等差数列{an}中，a23＋a28＋2a3a8＝9，且an<0，则S10＝__－15__. [解析] 由a23＋a28＋2a3a8＝9得(a3＋a8)2＝9， ∵an<0，∴a3＋a8＝－3.

∴S10＝10a1＋a102＝10a3＋a82＝10×－32＝－15. 3

三、解答题 9．若等差数列{an}的公差d<0，且a2·a4＝12，a2＋a4＝8.求： (1)数列{an}的首项a1和公差d； (2)数列{an}的前10项和S10的值． [解析] (1)根据题意，得

 a2＋a4＝a1＋d＋a1＋3d＝8a2·a4＝a1＋d·a1＋3d＝12，解得 a1＝8

d＝－2

.

(2)S10＝10a1＋10×10－12d＝10×8＋10×92×(－2) ＝－10. 10．设{an}为等差数列，Sn为数列{an}的前n项和，已知S7＝7，S15＝75，Tn为数列Snn的

前n项和，求数列Snn的前n项和Tn. [解析] 设等差数列{an}的公差为d，则 Sn＝na1＋12n(n－1)d.

∵S7＝7，S15＝75，∴ 7a1＋21d＝715a1＋105d＝75， 即 a1＋3d＝1a1＋7d＝5，解得a1＝－2，d＝1. ∴Snn＝a1＋12(n－1)d＝－2＋12(n－1)， ∵Sn＋1n＋1－Snn＝12， ∴数列Snn是等差数列，其首项为－2，公差为12， ∴Tn＝14n2－94n. B级 素养提升 一、选择题 1．等差数列{an}的前n项和记为Sn，若a2＋a4＋a15的值为一个确定的常数，则下列各数中也是常数的是( C ) A．S7 B．S8 C．S13 D．S15 4

[解析] ∵a2＋a4＋a15＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7为常数，∴S13＝13a1＋a132＝13a7为常数． 2．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于( A )

A．310 B．13 C．18 D．19 [解析] 据等差数列前n项和性质可知：S3，S6－S3，S9－S6，S12－S9仍成等差数列． 设S3＝k，则S6＝3k，S6－S3＝2k， ∴S9－S6＝3k，S12－S9＝4k， ∴S9＝S6＋3k＝6k，S12＝S9＋4k＝10k，

∴S6S12＝3k10k＝310. 3．一个等差数列的项数为2n，若a1＋a3＋…＋a2n－1＝90，a2＋a4＋…＋a2n＝72，且a1

－a2n＝33，则该数列的公差是( B )

A．3 B．－3 C．－2 D．－1

[解析] 由 a1＋a3＋…＋a2n－1＝na1＋nn－12×2d＝90a2＋a4＋…＋a2n＝na2＋nn－12×2d＝72，得nd＝－18. 又a1－a2n＝－(2n－1)d＝33，所以d＝－3. 4．一同学在电脑中打出如下图案：○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●…若将此图案依此规律继续下去，那么在前120个中的●的个数是( C ) A．12 B．13 C．14 D．15

[解析] S＝(1＋2＋3＋…＋n)＋n＝nn＋12＋n≤120， ∴n(n＋3)≤240，∴n＝14.故选C． 二、填空题

5．已知等差数列{an}的前n项和为Sn，若OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线(该直线不过原点O)，则S200＝__100__.

[解析] ∵OB→＝a1OA→＋a200OC→，且A、B、C三点共线， 5

∴a1＋a200＝1， ∴S200＝200×a1＋a2002＝100. 6．已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2an－2，则S3等于__14__. [解析] 对于Sn＝2an－2，当n＝1时，有a1＝2a1－2，解得a1＝2；当n＝2时，有S2

＝2a2－2，即a1＋a2＝2a2－2，所以a2＝a1＋2＝4；当n＝3时，有S3＝2a3－2，即a1＋a2＋

a3＝2a3－2，所以a3＝a2＋a1＋2，又a1＝2，a2＝4，则a3＝8，所以S3＝2a3－2＝14.

三、解答题 7．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． [解析] 设等差数列{an}的公差为d，前n项和为Sn，则

Sn＝na1＋nn－12d.

由已知得 10a1＋10×92d＝100，①100a1＋100×992d＝10.② ①×10－②整理得d＝－1150，代入①得，a1＝1 099100， ∴S110＝110a1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×－1150 ＝110×1 099－109×11100 ＝－110. 8．已知{an}是等差数列，公差为d，首项a1＝3，前n项和为Sn，令cn＝(－1)nSn(n∈N*)，{cn}的前20项和T20＝330.数列{bn}满足bn＝2(a－2)dn－2＋2n－1，a∈R. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若bn＋1≤bn，n∈N*，求a的取值范围． [解析] (1)设等差数列的公差为d， 因为cn＝(－1)nSn， 所以T20＝－S1＋S2－S3＋S4＋…＋S20＝330， 则a2＋a4＋a6＋…＋a20＝330，

则10(3＋d)＋10×92×2d＝330，解得d＝3， 所以an＝3＋3(n－1)＝3n. 6

(2)由(1)知bn＝2(a－2)3n－2＋2n－1，bn＋1－bn ＝2(a－2)3n－1＋2n－[2(a－2)3n－2＋2n－1] ＝4(a－2)3n－2＋2n－1

＝4·3n－2[(a－2)＋12(23)n－2]，

由bn＋1≤bn⇔(a－2)＋12(23)n－2≤0 ⇔a≤2－12(23)n－2，

因为2－12(23)n－2随着n的增大而增大， 所以n＝1时，2－12(23)n－2最小值为54，所以a≤54. 9．甲、乙两物体分别从相距70 m的两处同时相向运动，甲第1分钟走2 m，以后每分钟比前1分钟多走1 m，乙每分钟走5 m. (1)甲、乙开始运动后几分钟相遇？ (2)如果甲、乙到达对方起点后立即返回，甲继续每分钟比前1分钟多走1 m，乙继续每分钟走5 m，那么开始运动几分钟后第二次相遇？ [解析] (1)设n分钟后第1次相遇，依题意：

有2n＋nn－12＋5n＝70， 整理得n2＋13n－140＝0. 解之得n＝7，n＝－20(舍去)． 第1次相遇是在开始运动后7分钟． (2)设n分钟后第2次相遇，依题意，

有2n＋nn－12＋5n＝3×70， 整理得n2＋13n－420＝0. 解之得n＝15，n＝－28(舍去)． 第2次相遇是在开始运动后15分钟．