试述卡诺图化简逻辑函数的原则和步骤
逻辑函数的卡诺图化简法
[例]已知:真值表如下,写出 已知:真值表如下, 该逻辑函数和其反函数的标 准与或式 解:由题可知: 由题可知:
F = XY Z + XY Z + XY Z + XYZ
= m0 + m2 + m5 + m7
= ∑ ( 0 ,2 ,5 ,7 ) m
∴ F =
QF + F = 1
∑ m (1, 3 , 4 , 6 )
例如 CD AB 00 01 11 10 00 1 1 1 1 01 1 1 11 1 1 10 1 1 1 1 8 个相邻项合并消去 3 个变量 A ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD=ABD ABCD+ABCD +ABCD+ABCD =ACD +ACD =AD
2 个相邻项合并消去 4 个变量， 个相邻项合并消去 个变量， 1 个变量，化简结果 2 个变量， 化简结果为相同变量相与。 化简结果为相同变量相与。 为相同变量相与。 为相同变量相与。
3. 已知一般表达式画函数卡诺图 的卡诺图。 [例] 已知 Y = AD + AB ( C + BD ) ，试画出 Y 的卡诺图。 解：(1) 将逻辑式转化为与或式 ) (2) 作变量卡诺图 ) Y = AD + AB + (C + BD ) (3) 根据与或式填图 ) = AD + AB + CBD CD 00 01 11 10 AB 1 1 00 01 11 10 1 1 1 1 1 1
[例 ]
Y = ABC + ABC + ABC + ABC
合并最小项 三个圈最小项分别为： 三个圈最小项分别为：
逻辑函数的卡诺图化简
逻辑函数的卡诺图化简默认分类2009-11-21 13:33:47 阅读74 评论0 字号：大中小逻辑函数有四种表示方法，分别是真值表、逻辑函数式、逻辑图和卡诺图。
前三种方法在1.3.4中已经讲过，此处首先介绍逻辑函数的第四种表示方法－卡诺图表示法。
1.5.1 用卡诺图表示逻辑函数1．表示最小项的卡诺图（1）相邻最小项若两个最小项只有一个变量为互反变量，其余变量均相同，则这样的两个最小项为逻辑相邻，并把它们称为相邻最小项，简称相邻项。
例如三变量最小项ABC和AB，其中的C和为互反变量，其余变量AB都相同，故它们是相邻最小项。
显然两个相邻最小项相加可以合并为一项，消去互反变量，如。
（2）最小项的卡诺图将n 变量的2n 个最小项用2n 个小方格表示，并且使相邻最小项在几何位置上也相邻且循环相邻，这样排列得到的方格图称为n 变量最小项卡诺图，简称为变量卡诺图。
二变量、三变量、四变量的卡诺图如图1-17所示。
图1-17变量卡诺图注意：卡诺图一般画成正方形或矩形，卡诺图中小方格数应为2n 个；变量取值的顺序按照格雷码排列。
几何相邻的三种情况：①相接——紧挨着，如m5和m7、m8和m12等；②相对——任意一行或一列的两头（即循环相邻性，也称滚转相邻性）如m4和m6、m8和m10 、m3和m11等；相重——对折起来位置相重合，如五变量卡诺图中m19和m23、m25和m29等，显然相对属于相重的特例。
2．逻辑函数的卡诺图上面讲的是空白卡诺图，任何逻辑函数都可以填到与之相对应的卡诺图中，称为逻辑函数的卡诺图。
对于确定的逻辑函数的卡诺图和真值表一样都是唯一的。
（1）由真值表填卡诺图由于卡诺图与真值表一一对应，即真值表的某一行对应着卡诺图的某一个小方格。
因此如果真值表中的某一行函数值为“1”，卡诺图中对应的小方格填“1”；如果真值表的某一行函数值为0”，卡诺图中对应的小方格填“0”。
即可以得到逻辑函数的卡诺图。
【例1-18】已知逻辑函数,画出表示该函数的卡诺图解:逻辑函数的真值表如表1-14所示。
逻辑函数的卡诺图化简
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
例1. 化简函数F(A,B,C,D)=∑m(3,4,5,7,9,13,14,15)。 解：首先作出逻辑函数F的卡诺图如下：
Digital Logic Circuit
F ( A, B,C, D) ABC ABC ACD ACD
Digital Logic Circuit
F(A,B,C)=∑m(0,1,5,7)+∑d(4,6)
化简具有任意项的逻辑函数的步骤是：
①画出函数对应的卡诺图，任意项对应的小方格填上φ 或d或×。 ②按2的整数次幂为一组构成卡诺圈，如果任意项方格为1时可以圈得 更大，则将任意项当作1来处理，否则当0处理。未被圈过的任意项一律当 作0处理。
③写出化简的表达式。
可见，函数的化简结果不具有唯一性，函数表示的唯一性仅在最大项 表达式或最小表达式中才具有。
5. 具有任意项的逻辑函数的化简
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
Digital Logic Circuit
任意项（无关最小项）：不决定函数的值的最小项。
从定义可以看出，与任意项对应的逻辑函数值既可以看成1，也可以看 成0。因此在卡诺图或真值表中，任意项常用φ 或d或×来表示；在函数表 达式中常用φ 或d来表示任意项。如：
④写出最简的函数表达式。
演示1
演示2
基本步骤图示
第5讲 逻辑函数 的卡诺图化简
逻辑表达式 Y(A,B,C,D)=m(3,5,7,8,11,12,13,15) 或真值表
Digital Logic Circuit
1
卡诺图
1
AB
CD
00 01 11
10
00 0
0
1
1
卡诺图化简
卡诺图化简法卡诺图化简法又称为图形化简法。
该方法简单、直观、容易掌握，因而在逻辑设计中得到广泛应用。
一卡诺图的构成卡诺图是一种平面方格图，每个小方格代表一个最小项，故又称为最小项方格图。
1．结构特点卡诺图中最小项的排列方案不是唯一的，图2．5(a)、(b)、(c)、(d)分别为2变量、3变量、4变量、5变量卡诺图的一种排列方案。
图中，变量的坐标值应0表示相变量的反变量，1表示相应变量的原变量。
各小方格依变量顺序取坐标值，所得二进制数对应的十进制数即相应最小项的下标i。
在五变量卡诺图中，为了方便省略了符号“m”，直接标出m的下标i。
图2. 5 2～5变量卡诺图从图2.5所示的各卡诺图可以看出，卡诺图上变量的排列规律使最小项的相邻关系能在图形上清晰地反映出来。
具体地说，在n个变量的卡诺图中，能从图形上直观、方便地找到每个最小项的n个相邻最小项。
以四变量卡诺图为例，图中每个最小项应有4个相邻最小项，如m5的4个相邻最小项分别是m1，m4，m7，m13，这4个最小项对应的小方格与m5对应的小方格分别相连，也就是说在几何位置上是相邻的，这种相邻称为几何相邻。
而m2则不完全相同，它的4个相邻最小项除了与之几何相邻的m3和m6之外，另外两个是处在“相对”位置的m0(同一列的两端)和m10(同一行的两端)。
这种相邻似乎不太直观，但只要把这个图的上、下边缘连接，卷成圆筒状，便可看出m0和m2在几何位置上是相邻的。
同样，把图的左、右边缘连接，便可使m2和m10相邻。
通常把这种相邻称为相对相邻。
除此之外，还有“相重”位置的最小项相邻，如五变量卡诺图中的m3，除了几何相邻的m1，m2，m7和相对相邻的m11外，还与m19相邻。
对于这种情形，可以把卡诺图左边的矩形重叠到右边矩形之上来看，凡上下重叠的最小项相邻，这种相邻称为重叠相邻。
归纳起来，卡诺图在构造上具有以下两个特点：☆ n个变量的卡诺图由2n个小方格组成，每个小方格代表一个最小项；☆ 卡诺图上处在相邻、相对、相重位置的小方格所代表的最小项为相邻最小项。
卡诺图化简法
• 一、逻辑函数的卡诺图 • 二、合并最小项的规律 • 三、化简的方法及步骤
• 一、逻辑函数的卡诺图
1、卡诺图
• 对于一个N变量函数，用一个小 方块代表一个最小项，把所有 的最小项，即2N个小方块排列 起来，使之具有逻辑相邻和几 何相邻的一致性，所得的图形 就是N变量卡诺图。
00
01
m0 m4
m1 m5 m13
m3 m7 m15
m2 m6
11
m12
m14
10
m8
m9
m11
m10
四个相邻的最小项合并消去两个因子。
• 一行、一列、四个小方块组成 的大方块、四角等都可合并， 消去两个因子，合并的结果是 它们的公因子。
• 八个相邻的最小项合并消去三 个因子。
• 三、化简的方法及步骤
• 1、画出逻辑函数的卡诺图 • 2、合并最小项 • 3、写出最简与或表达式
最简的特点：
• 1、“圈”最少，表明项数最少 • 2、每个"圈"最大，表明每一项 因子最少
例
F m(0,2,5,6,8,9,10,11 ,12,13,14,15)
1、卡诺图
• 几何相邻：位置相邻。 • 逻辑相邻：如果最小项中，只 有一个因子不同，则称它们为 逻辑相邻。
1、卡诺图
•例
A BC
•
ABC
A BC D
A BC D
BC A 0 1 00 m0 01 m1 11 m3 10 m2
m4
m5
m7
m6
AB 00 01
CD 00
m0 m4 m12
01
m1 m5 m13
11
m3 m7 m15
用卡诺图化简逻辑函数合并最小项的规则
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
[例2.5.17]：用卡诺图将下式化简为最简与-或逻辑
函数式。
Y ABC ABD CD ABC ACD ACD
解： Y CD
AB 00 01 11 10
D
00 1 0 0 1
01 1 0 0 1
11 1 1 1 1
第五节 逻辑函数的化简
A A 1
可在逻辑函数式中的某一项乘 ( A A)，
然后拆成两项分别与其他项合并。
[例2.5.13]：Y BC AC AB
( A A)BC AC AB
ABC ABC AC AB
AB AC
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则可合并为一项并消去一对因子。 2. 若四个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去两对因子。 3. 若八个最小项相邻且排列成一个矩形组，
则可合并为一项并消去三对因子。
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
合并两个相邻最小项的情况：
BC A 00 01 11 10
01 1 0 1
B
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2020/3/4
第五节 逻辑函数的化简
卡诺图化简的步骤：
1. 将函数化为最小项之和的形式。
2. 画出表示该逻辑函数的卡诺图。
3. 找出可以合并的最小项。
4. 选取化简后的乘积项。
选取乘积项的原则： 1. 这些乘积项应包含函数式中所有的最小项。 2. 所用的乘积项数目最少。 3. 每个乘积项包含的因子最少。
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2020/3/4
逻辑函数的化简方法
一、公式法化简：是利用逻辑代数的基本公式，对函数进行消项、消因子。
常用方法有：①并项法利用公式AB+AB’=A 将两个与项合并为一个，消去其中的一个变量。
②吸收法利用公式A+AB=A 吸收多余的与项。
③消因子法利用公式A+A’B=A+B 消去与项多余的因子④消项法利用公式AB+A’C=AB+A’C+BC 进行配项，以消去更多的与项。
⑤配项法利用公式A+A=A，A+A’=1配项，简化表达式。
二、卡诺图化简法逻辑函数的卡诺图表示法将n变量的全部最小项各用一个小方块表示，并使具有逻辑相邻性的最小项在几何位置上相邻排列，得到的图形叫做n变量最小项的卡诺图。
逻辑相邻项：仅有一个变量不同其余变量均相同的两个最小项，称为逻辑相邻项。
1.表示最小项的卡诺图将逻辑变量分成两组，分别在两个方向用循环码形式排列出各组变量的所有取值组合，构成一个有2n个方格的图形，每一个方格对应变量的一个取值组合。
具有逻辑相邻性的最小项在位置上也相邻地排列。
用卡诺图表示逻辑函数：方法一：1、把已知逻辑函数式化为最小项之和形式。
2、将函数式中包含的最小项在卡诺图对应的方格中填1，其余方格中填0。
方法二：根据函数式直接填卡诺图。
用卡诺图化简逻辑函数：化简依据：逻辑相邻性的最小项可以合并，并消去因子。
化简规则：能够合并在一起的最小项是2n个。
如何最简：圈数越少越简；圈内的最小项越多越简。
注意：卡诺图中所有的1 都必须圈到，不能合并的1 单独画圈。
说明，一逻辑函数的化简结果可能不唯一。
合并最小项的原则：1）任何两个相邻最小项，可以合并为一项，并消去一个变量。
2）任何4个相邻的最小项，可以合并为一项，并消去2个变量。
3）任何8个相邻最小项，可以合并为一项，并消去3个变量。
卡诺图化简法的步骤：画出函数的卡诺图;画圈（先圈孤立1格；再圈只有一个方向的最小项（1格）组合）；画圈的原则：合并个数为2n；圈尽可能大（乘积项中含因子数最少）；圈尽可能少（乘积项个数最少）；每个圈中至少有一个最小项仅被圈过一次，以免出现多余项。
逻辑函数的卡诺图化简
F ( A, B,C) m1 m4 m6
1 1 0 01
=ABC+ABC+ABC
图 2.6.4
F ( A, B,C) M 0 M 2 M3 M5 M 7 =( A + B + C )( A + B + C )( A + B + C )
( A + B + C )( A + B + C )
2.5 逻辑函数的卡诺图化简 ：
1.逻辑函数的卡诺图表示 (1) 卡诺图的构成
卡诺图实质上是将逻辑函数的最小项按逻 辑相邻的原则排列而成的方格图。
1
两个特点： 1、将真值表中的变量分成两组，构成两维图表 。一个方格对应一个最小项（对应两轴上的变 量）。 2、行、列的组合排列顺序按循环码排列。（几 何相邻、对称相邻和头尾相邻）。 约定：高位权变量在斜下角。
0
11
1
11
7
③ 方法三：观察法 方法：在包含乘积项中全部变量的小格中填 1 例2.6.12 试将 F(A,B,C,D) = ABCD + ABD + AC 用卡诺图表示。
解：
CD
AB 00 01 11 10 00
01 1 1
11 1
1 1 图 2.6.5
10
11
8
练习：将F（ABCD）=ABCD + BC D +AC + A 添入卡诺图。
解：
CD AB 00 01 11 10
00 1 1
01 1 1
11 1 1 1 1 10 1 1 1 1
9
b. 一般或与式的卡诺图填写方法 方法：在包含和项中全部变量的小格中填 0 例2.6.13 试将 F(A,B,C,D) = (A+B+C+D)(A+B+D) 用卡诺图表示。
chap3.3卡诺图化简
∑ ( 0 , 2 ,5,6 ,7 ,8,9 ,10 ,11,14 ,15 )
AB D
01 11 10
B C
AB BD
F = A BD + B D + A B + BC
3.3 卡诺图化简
F = ABD + B D + AB + BC
B D
A B A B D B C
& &
≥1
F
&
&
3.3 卡诺图化简
3.3 卡诺图化简
由一般式获得最小项标准式 代数法： 代数法：对逻辑函数采用拆项法
F = AB C + BC + AC = AB C + BC ( A + A) + AC ( B + B)
= AB C + ABC + ABC + ABC + ABC
真值表法：逻辑函数是真值表中 真值表法：逻辑函数是真值表中F=1那 那 些最小项相或而成的。 些最小项相或而成的。
3.3 卡诺图化简
ABC
000 001 010 011 100 101 110 111
AB C
1 0 0 0 0 0 0 0
BC
0 0 0 1 0 0 0 1
AC
0 0 0 0 1 0 1 0
F
1 0 0 1 1 0 1 1
AB C
ABC AB C ABC
ABC
F = AB C + ABC + AB C + ABC + ABC
3.3 卡诺图化简
最小项编号
序号 0 1 2 3 4 5 6 7 ABC 000 001 010 011 100 101 110 111 最小项名称
卡诺图化简法
性质3：任意两个不同的最小项的乘积必为0。
第6章
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 000 1 0 0 0 0 0 0 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 010 0 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 变0 量AB0C取值为0 001情1况下，0 各最0小项之0和为10。 1 0 0 【0因为其0 中只0有一个0最小项1为1，0其余全0 为0。0】 101 0 0 0 0 0 1 0 0 110 0 0 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 0 0 0 0 1
F ( A, B,C, D) ABCD ABC D ABC D ABC D ABC D ABCD ABC D
将这七个最小项填入四变量卡诺图内
化简得 F BC BD AC D
提示
（1）列出逻辑函数的最小项表达式，由最小项表达式确定变量 的个数（如果最小项中缺少变量，应按例的方法补齐）。
（2）画出最小项表达式对应的卡诺图。
（3）将卡诺图中的1格画圈，一个也不能漏圈，否则最后得到的 表达式就会与所给函数不等；1格允许被一个以上的圈所包围。 （4）圈的个数应尽可能得少。即在保证1格一个也不漏圈的前 提下，圈的个数越少越好。因为一个圈和一个与项相对应，圈 数越少，与或表达式的与项就越少。
性质1：任意一个最小项，只有一组变量取值使其值为1,
而在变量取其他各组值时这个最小项的值都是0。
第6章
（3）最小项的性质
3 变量全部最小项的真值表
A B C m0 m1 m2 m3 m4 m5 m6 m7 000 1 0 0 0 0 0 0 0 001 0 1 0 0 0 0 0 0 010 0 0 1 0 0 0 0 0 011 0 0 0 1 0 0 0 0 100 0 0 0 0 1 0 0 0 101 0 0 0 0 0 1 0 0 110 0 0 0 0 0 0 1 0 111 0 0 0 0 0 0 0 1
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试述卡诺图化简逻辑函数的原则和步骤卡诺图化简逻辑函数原理和步骤：
一、原则：
1. 完全性原则：卡诺图中的结构应与被化简的逻辑函数的结构一致。
2. 可辨识性原则：任意节点中的入度以及出度都应与被化简的逻辑函
数的语义一致。
3. 简化性原则：卡诺图中每条路径上的简单运算次数，都应该最少。
二、步骤：
1. 将主逻辑函数按照异或、与和或结构划分，将各个交换节点添加至
卡诺图中，并根据完全性原则建立其他节点；
2. 用实心箭头表示与运算，用虚线箭头表示或运算，即将表达式中带
有+的运算符改写为由向中心的实心箭头，将表达式中带有*.的运算符
改写为由中心向外的虚线箭头；
3. 根据可辨识性原则，以及表达式的结构对卡诺图中的节点进行排列，使其具有可读性和可懂性；
4. 根据简化性原则，消除各个简单差分路径上的不必要简单路径，使
得路径上的简单运算节点数量最少。