专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题(解析版)

专题28 求几何图形面积及面积法解题的问题一、几何图形面积公式1.三角形的面积:设三角形底边长为a ，底边对应的高为h ，则面积S=ah/22.平行四边形的面积:设平行四边形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah3.矩形的面积:设矩形的长为a ，宽为b ，则面积S=ab4.正方形的面积:设正方形边长为a ，对角线长为b ，则面积S=222b a = 5.菱形的面积:设菱形的底边长为a ，高为h ，则面积S=ah若菱形的两条对角线长分别为m 、n ，则面积S=mn/2也就是说菱形的面积等于两条对角线乘积的一半。

6.梯形的面积:设梯形的上底长为a,下底长为b ，高为h ，则面积S=（a+b ）h/27.圆的面积:设圆的半径为r,则面积S=πr 28.扇形面积计算公式9．圆柱侧面积和表面积公式（1）圆柱的侧面积公式S 侧=2πrh2360r n s π⋅=lr s 21=或（2）圆柱的表面积公式：S 表=2S 底+S 侧=2πr 2+2πrh10.圆锥侧面积公式从右图中可以看出，圆锥的母线L 即为扇形的半径，而圆锥底面的周长是扇形的弧长2πr ，这样，圆锥侧面积计算公式:S 圆锥侧=S 扇形=πrL注意：有时中考题还经常考查圆的周长、扇形的弧长的公式的应用。

（1）圆的周长计算公式为：C=2πr（2）扇形弧长的计算公式为：（3）其他几何图形周长容易计算，不直接给出。

二、用面积法解题的理论知识1.面积方法：运用面积关系来证明或计算平面几何题的方法，称为面积方法，它是几何中的一种常用方法。

2.面积法解题的特点：把已知量和未知量用面积公式联系起来，通过运算达到求证的结果。

所以用面积法来解几何题，几何元素之间关系变成数量之间的关系，只需要计算，有时可以不添置补助线，即使需要添置辅助线，也很容易考虑到。

三、面积方法问题主要涉及以下两部分内容1.证明面积相等的理论依据（1）三角形的中线把三角形分成两个面积相等的部分。

（2）同底同高或等底等高的两个三角形面积相等。

1802360r n r n l ππ=⋅=（3）平行四边形的对角线把其分成两个面积相等的部分。

（4）同底（等底）的两个三角形面积的比等于高的比。

（5）同高（或等高）的两个三角形面积的比等于底的比。

（6）三角形的面积等于等底等高的平行四边形的面积的一半。

（7）三角形的中位线截三角形所得的三角形的面积等于原三角形面积的1/4（8）三角形三边中点的连线所成的三角形的面积等于原三角形面积的1/4（9）有一个角相等或互补的两个三角形的面积的比等于夹角的两边的乘积的比。

2.用面积法解几何问题的解题思路（1）分解法：通常把一个复杂的图形，分解成几个三角形。

（2）作平行线法：通过平行线找出同高（或等高）的三角形。

（3）利用有关性质法：比如利用中点、中位线等的性质。

（4）还可以利用面积解决其它问题。

【例题1】（2020•咸宁）如图，在⊙O中，OA＝2，∠C＝45°，则图中阴影部分的面积为（）A．π2−√2B．π−√2C．π2−2 D．π﹣2【答案】D【解析】由∠C＝45°根据圆周角定理得出∠AOB＝90°，根据S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB可得出结论．∵∠C＝45°，∴∠AOB＝90°，∴S阴影＝S扇形AOB﹣S△AOB=90⋅π×22360−12×2×2＝π﹣2．【对点练习】如图，在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，则图中阴影部分的面积是（）A．π B．2π C．3π D．6π【答案】C．【解析】根据平行四边形的性质可以求得∠C的度数，然后根据扇形面积公式即可求得阴影部分的面积．∵在▱ABCD中，∠B=60°，⊙C的半径为3，∴∠C=120°，∴图中阴影部分的面积是：=3π，【点拨】本题考查扇形面积的计算、平行四边形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用扇形面积的计算公式解答．【例题2】（2020•重庆）如图，在边长为2的正方形ABCD中，对角线AC的中点为O，分别以点A，C为圆心，以AO的长为半径画弧，分别与正方形的边相交，则图中的阴影部分的面积为．（结果保留π）【答案】4﹣π．【解析】据勾股定理求出AC，得到OA、OC的长，根据正方形的面积公式、扇形面积公式计算，得到答案．∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝2，∠DAB＝∠DCB＝90°，由勾股定理得，AC=2+BC2=2√2，∴OA＝OC=√2，×2＝4﹣π∴图中的阴影部分的面积＝22−90π×(√2)2360【对点练习】（2020铜仁模拟）已知一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，则这个菱形的面积为cm2．【答案】24．【解析】根据菱形的面积等于两对角线乘积的一半求得其面积即可．∵一个菱形的两条对角线长分别为6cm和8cm，∴这个菱形的面积S=×6×8=24（cm2）．【点拨】本题考查的是菱形的性质，熟知菱形的面积等于两对角线乘积的一半是解答此题的关键。

【例题3】（2019•湖南邵阳）如图，在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，AD是∠BAC的角平分线，且AD＝6，以点A为圆心，AD长为半径画弧EF，交AB于点E，交AC于点F．（1）求由弧EF及线段F C.C B.BE围成图形（图中阴影部分）的面积；（2）将阴影部分剪掉，余下扇形AEF，将扇形AEF围成一个圆锥的侧面，AE与AF正好重合，圆锥侧面无重叠，求这个圆锥的高h．【答案】见解析。

【解析】（1）利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，BD＝CD，则可计算出BD＝6，然后利用扇形的面积公式，利用由弧EF及线段F C.C B.BE围成图形（图中阴影部分）的面积＝S△ABC﹣S扇形EAF进行计算；∵在等腰△ABC中，∠BAC＝120°，∴∠B＝30°，∵AD是∠BAC的角平分线，∴AD⊥BC，BD＝CD，∴BD＝AD＝6，∴BC＝2BD＝12，∴由弧EF及线段F C.C B.BE围成图形（图中阴影部分）的面积S＝S△ABC﹣S扇形EAF＝×6×12﹣＝36﹣12π；（2）设圆锥的底面圆的半径为r，利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和弧长公式得到2πr＝，解得r＝2，然后利用勾股定理计算这个圆锥的高h．根据题意得2πr＝，解得r＝2，这个圆锥的高h＝＝4．【对点练习】（2019•湖北省荆门市）如图，已知平行四边形ABCD中，AB＝5，BC＝3，AC＝2．（1）求平行四边形ABCD的面积；（2）求证：BD⊥B C．【答案】见解析。

【解析】本题主要考查了平行四边形的性质、勾股定理及其逆定理以及全等三角形的判定与性质，综合性较强．（1）作CE⊥AB交AB的延长线于点E，如图：设BE＝x，CE＝h在Rt△CEB中：x2+h2＝9①在Rt△CEA中：（5+x）2+h2＝52②联立①②解得：x＝，h＝∴平行四边形ABCD的面积＝AB•h＝12；（2）作DF⊥AB，垂足为F∴∠DFA＝∠CEB＝90°∵平行四边形ABCD∴AD＝BC，AD∥BC∴∠DAF＝∠CBE又∵∠DFA＝∠CEB＝90°，AD＝BC∴△ADF≌△BCE（AAS）∴AF＝BE＝，BF＝5﹣＝，DF＝CE＝在Rt△DFB中：BD2＝DF2+BF2＝（）2+（）2＝16∴BD＝4∵BC＝3，DC＝5∴CD2＝DB2+BC2∴BD⊥B C．一、选择题1．（2020•株洲）如图所示，点A、B、C对应的刻度分别为0、2、4、将线段CA绕点C按顺时针方向旋转，当点A首次落在矩形BCDE的边BE上时，记为点A1，则此时线段CA扫过的图形的面积为（）πA．4πB．6 C．4√3D．83【解析】求线段CA 扫过的图形的面积，即求扇形ACA 1的面积．由题意，知AC ＝4，BC ＝4﹣2＝2，∠A 1BC ＝90°．由旋转的性质，得A 1C ＝AC ＝4．在Rt △A 1BC 中，cos ∠ACA 1=BC A1C =12． ∴∠ACA 1＝60°．∴扇形ACA 1的面积为60×π×42360=83π．即线段CA 扫过的图形的面积为83π．2．（2020•攀枝花）如图，直径AB ＝6的半圆，绕B 点顺时针旋转30°，此时点A 到了点A '，则图中阴影部分的面积是（ ）A ．π2B ．3π4C ．πD ．3π【答案】D【解析】由半圆A ′B 面积+扇形ABA ′的面积﹣空白处半圆AB 的面积即可得出阴影部分的面积． ∵半圆AB ，绕B 点顺时针旋转30°，∴S 阴影＝S 半圆A ′B +S 扇形ABA ′﹣S 半圆AB＝S 扇形ABA ′=62π⋅30360̂，则DC的长为3．（2020•武威）如图，A是⊙O上一点，BC是直径，AC＝2，AB＝4，点D在⊙O上且平分BC（）A．2√2B．√5C．2√5D．√10【答案】D【解析】先根据圆周角得：∠BAC＝∠D＝90°，根据勾股定理即可得结论．̂，∵点D在⊙O上且平分BĈ=CD̂，∴BD∵BC是⊙O的直径，∴∠BAC＝∠D＝90°，∵AC＝2，AB＝4，∴BC=√22+42=2√5，Rt△BDC中，DC2+BD2＝BC2，∴2DC2＝20，∴DC=√10̂上一点，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分4．（2020•泰州）如图，半径为10的扇形AOB中，∠AOB＝90°，C为AB别为D、E．若∠CDE为36°，则图中阴影部分的面积为（）A ．10πB ．9πC ．8πD ．6π 【答案】A【分析】连接OC ，易证得四边形CDOE 是矩形，则△DOE ≌△CEO ，得到∠COB ＝∠DEO ＝∠CDE ＝36°，图中阴影部分的面积＝扇形OBC 的面积，利用扇形的面积公式即可求得．【解析】连接OC ，∵∠AOB ＝90°，CD ⊥OA ，CE ⊥OB ，∴四边形CDOE 是矩形，∴CD ∥OE ，∴∠DEO ＝∠CDE ＝36°，由矩形CDOE 易得到△DOE ≌△CEO ，∴∠COB ＝∠DEO ＝36°∴图中阴影部分的面积＝扇形OBC 的面积，∵S 扇形OBC =36⋅π×102360=10π∴图中阴影部分的面积＝10π5．（2020•连云港）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，A、B、C、D、E、O 均是正六边形的顶点．则点O是下列哪个三角形的外心（）A．△AED B．△ABD C．△BCD D．△ACD【答案】D【解析】根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，进行判断即可．∵三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，∴从O点出发，确定点O分别到A，B，C，D，E的距离，只有OA＝OC＝OD，∴点O是△ACD的外心.6．（2020•苏州）如图，在扇形OAB中，已知∠AOB＝90°，OA=√2，过AB̂的中点C作CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．π2−1 C．π−12D．π2−12【答案】B【分析】根据矩形的判定定理得到四边形CDOE是矩形，连接OC，根据全等三角形的性质得到OD＝OE，得到矩形CDOE是正方形，根据扇形和正方形的面积公式即可得到结论．【解析】∵CD⊥OA，CE⊥OB，∴∠CDO＝∠CEO＝∠AOB＝90°，∴四边形CDOE是矩形，连接OC，∵点C是AB̂的中点，∴∠AOC＝∠BOC，∵OC＝OC，∴△COD≌△COE（AAS），∴OD＝OE，∴矩形CDOE是正方形，∵OC＝OA=√2，∴OE＝1，∴图中阴影部分的面积=90⋅π×2360−1×1=π2−17．（2020•聊城）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为点M，连接OC，DB．如果OC∥DB，OC＝2√3，那么图中阴影部分的面积是（）A．πB．2πC．3πD．4π【答案】B【分析】连接OD ，BC ，根据垂径定理和等腰三角形的性质得到DM ＝CM ，∠COB ＝∠BOD ，推出△BOD 是等边三角形，得到∠BOC ＝60°，根据扇形的面积公式即可得到结论．【解析】连接OD ，BC ，∵CD ⊥AB ，OC ＝OD ，∴DM ＝CM ，∠COB ＝∠BOD ，∵OC ∥BD ，∴∠COB ＝∠OBD ，∴∠BOD ＝∠OBD ，∴OD ＝DB ，∴△BOD 是等边三角形，∴∠BOD ＝60°，∴∠BOC ＝60°，∵DM ＝CM ，∴S △OBC ＝S △OBD ，∵OC ∥DB ，∴S △OBD ＝S △CBD ，∴S △OBC ＝S △DBC ，∴图中阴影部分的面积=60⋅π×(2√3)2360=2π8．（2020•聊城）如图，有一块半径为1m ，圆心角为90°的扇形铁皮，要把它做成一个圆锥形容器（接缝忽略不计），那么这个圆锥形容器的高为（ ）A ．14mB ．34mC ．√154mD ．√32m 【答案】C【解析】根据已知条件求得圆锥的底面半径，然后利用勾股定理求得其高即可．设底面半径为rm ，则2πr =90π×1180， 解得：r =14，所以其高为：√12−(14)2=√154m ， 9．（2020•济宁）如图，在△ABC 中，点D 为△ABC 的内心，∠A ＝60°，CD ＝2，BD ＝4．则△DBC 的面积是（ ）A ．4√3B ．2√3C ．2D ．4【分析】过点B 作BH ⊥CD 于点H ．由点D 为△ABC 的内心，∠A ＝60°，得∠BDC ＝120°，则∠BDH ＝60°，由BD ＝4，求得BH ，根据三角形的面积公式即可得到结论．【解析】过点B 作BH ⊥CD 于点H ．∵点D 为△ABC 的内心，∠A ＝60°，∴∠DBC +∠DCB =12（∠ABC +∠ACB ）=12（180°﹣∠A ），∴∠BDC ＝90°+12∠A ＝90°+12×60°＝120°，则∠BDH ＝60°，∵BD ＝4，∴DH ＝2，BH ＝2√3，∵CD ＝2，∴△DBC 的面积=12CD •BH =12×2×2√3=2√310．（2020•重庆）如图，AB 是⊙O 的切线，A 为切点，连接OA ，OB ．若∠B ＝35°，则∠AOB 的度数为（）A ．65°B ．55°C ．45°D ．35°【解析】根据切线的性质得到∠OAB＝90°，根据直角三角形的两锐角互余计算即可．∵AB是⊙O的切线，∴OA⊥AB，∴∠OAB＝90°，∴∠AOB＝90°﹣∠B＝55°11．（2020•重庆）如图，AB是⊙O的切线，A为切点，连接OA，OB，若∠B＝20°，则∠AOB的度数为（）A．40°B．50°C．60°D．70°【答案】D【解析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论．∵AB是⊙O的切线，A为切点，∴∠A＝90°，∵∠B＝20°，∴∠AOB＝90°﹣20°＝70°12．（2020•遂宁）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，点O在AB上，经过点A的⊙O与BC相切于点D，交AB于点E，若CD=√2，则图中阴影部分面积为（）A．4−π2B．2−π2C．2﹣πD．1−π4【答案】B【分析】连接OD，OH⊥AC于H，如图，根据切线的性质得到OD⊥BC，则四边形ODCH为矩形，所以OH＝CD=√2，则OA=√2OH＝2，接着计算出∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，然后利用扇形的面积公式，利用图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE进行计算．【解析】连接OD，过O作OH⊥AC于H，如图，∵∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝∠CAB＝45°，∵⊙O与BC相切于点D，∴OD⊥BC，∴四边形ODCH为矩形，∴OH＝CD=√2，在Rt△OAH中，∠OAH＝45°，∴OA=√2OH＝2，在Rt△OBD中，∵∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，BD＝OD＝2，∴图中阴影部分面积＝S△OBD﹣S扇形DOE=12×2×2−45×π×2180＝2−12π．13．（2020•常德）一个圆锥的底面半径r＝10，高h＝20，则这个圆锥的侧面积是（）A．100√3πB．200√3πC．100√5πD．200√5π【答案】C【解析】先利用勾股定理计算出母线长，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．这个圆锥的母线长=√102+202=10√5，这个圆锥的侧面积=12×2π×10×10√5=100√5π．14．（2020•黔东南州）如图，正方形ABCD的边长为2，O为对角线的交点，点E、F分别为BC、AD的中点．以C为圆心，2为半径作圆弧BD̂，再分别以E、F为圆心，1为半径作圆弧BÔ、OD̂，则图中阴影部分的面积为（）A．π﹣1 B．π﹣2 C．π﹣3 D．4﹣π【答案】B【分析】根据题意和图形，可知阴影部分的面积是以2为半径的四分之一个圆的面积减去以1为半径的半圆的面积再减去2个以边长为1的正方形的面积减去以1半径的四分之一个圆的面积，本题得以解决．【解析】由题意可得，阴影部分的面积是：14•π×22−12⋅π×12−2（1×1−14•π×12）＝π﹣2， 二、填空题15．（2020•绥化）已知圆锥的底面圆的半径是2.5，母线长是9，其侧面展开图的圆心角是 度．【答案】100．【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，然后根据扇形的面积公式得到2π•2.5=nπ×9180，再解关于n 的方程即可．【解析】设这个圆锥的侧面展开图的圆心角为n °，根据题意得2π•2.5=nπ×9180，解得n ＝100，即这个圆锥的侧面展开图的圆心角为100°．16．（2020•徐州）如图，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，AC ＝4，BC ＝3．若以AC 所在直线为轴，把△ABC 旋转一周，得到一个圆锥，则这个圆锥的侧面积等于 ．【答案】15π．【解析】运用公式s ＝πlr （其中勾股定理求解得到的母线长l 为5）求解．由已知得，母线长l ＝5，底面圆的半径r 为3，∴圆锥的侧面积是s ＝πlr ＝5×3×π＝15π．17．（2020•荆门）如图所示的扇形AOB 中，OA ＝OB ＝2，∠AOB ＝90°，C 为AB̂上一点，∠AOC ＝30°，连接BC ，过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，则图中阴影部分的面积为 ．【答案】23π−√32． 【解析】根据扇形的面积公式，利用图中阴影部分的面积＝S 扇形BOC ﹣S △OBC +S △COD 进行计算．∵∠AOB ＝90°，∠AOC ＝30°，∴∠BOC ＝60°，∵扇形AOB 中，OA ＝OB ＝2，∴OB ＝OC ＝2，∴△BOC 是等边三角形，∵过C 作OA 的垂线交AO 于点D ，∴∠ODC ＝90°，∵∠AOC ＝30°，∴OD =√32OC =√3，CD =12OC ＝1，∴图中阴影部分的面积═S 扇形BOC ﹣S △OBC +S △COD=60⋅π×22360−12×2×2×√32+12×√3×1=23π−√32． 18．（2020•武威）若一个扇形的圆心角为60°，面积为π6cm 2，则这个扇形的弧长为 cm （结果保留π）．【答案】π3．【解析】首先根据扇形的面积公式求出扇形的半径，再根据扇形的面积=12lR ，即可得出弧长． 设扇形的半径为R ，弧长为l ，根据扇形面积公式得；60π⋅R 2360=π6， 解得：R ＝1， ∵扇形的面积=12lR =π6， 解得：l =13π．19．（2020•凉山州）如图，点C 、D 分别是半圆AOB 上的三等分点，若阴影部分的面积是32π，则半圆的半径OA 的长为 ．【答案】3．【分析】连接OC 、OD ，利用同底等高的三角形面积相等可知阴影部分的面积等于扇形OCD 的面积，列式计算就可．【解析】连接OC 、OD 、CD ．∵△COD 和△CBD 等底等高，∴S △COD ＝S △BCD ．∵点C ，D 为半圆的三等分点，∴∠COD ＝180°÷3＝60°，∴阴影部分的面积＝S 扇形COD ，∵阴影部分的面积是32π，∴60π⋅r 2360=32π， ∴r ＝3，20．（2020•泰安）如图，点O 是半圆圆心，BE 是半圆的直径，点A ，D 在半圆上，且AD ∥BO ，∠ABO ＝60°，AB ＝8，过点D 作DC ⊥BE 于点C ，则阴影部分的面积是 ．【答案】64π3−8√3．【分析】连接OA ，易求得圆O 的半径为8，扇形的圆心角的度数，然后根据S 阴影＝S △AOB +S 扇形OAD +S 扇形ODE ﹣S △BCD 即可得到结论．【解析】连接OA ，∵∠ABO ＝60°，OA ＝OB ，∴△AOB 是等边三角形，∵AB ＝8，∴⊙O 的半径为8，∵AD ∥OB ，∴∠DAO ＝∠AOB ＝60°，∵OA ＝OD ，∴∠AOD ＝60°，∵∠AOB ＝∠AOD ＝60°，∴∠DOE ＝60°，∵DC ⊥BE 于点C ，∴CD =√32OD ＝4√3，OC =12OD =4，∴BC ＝8+4＝12，S阴影＝S△AOB+S扇形OAD+S扇形ODE﹣S△BCD=12×8×4√3+2×60π×82360−12×12×4√3=64π3−8√3三、解答题21.（2019•黑龙江省齐齐哈尔市）如图，以△ABC的边BC为直径作⊙O，点A在⊙O上，点D在线段BC的延长线上，AD＝AB，∠D＝30°．（1）求证：直线AD是⊙O的切线；（2）若直径BC＝4，求图中阴影部分的面积．【答案】见解析。