牛顿迭代法、二分法,定点法的区别与联系

牛顿迭代法、二分法，定点法的区别与联系

牛顿迭代法

牛顿迭代法，它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上近似求解方程的方法。多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的近似根就显得特别重要

Newton法是求解方程f(x)=0的最著名的和最有效的数值方法之一，其基本思想可以是将方程转化为线性方程来求解,设f(x)连续可微,则将函数f(x)在x k点处进行taylor展开,即

f x=f x k+f′x k x−x k+f′′x k x−x k2

2!

+⋯

如果f′(x k)≠0,取taylor展开式的线性部分近似代替f(x),得到f(x)=0的近似方程f x≈f x k+f′x k x−x k=0，将此方程的根记作x k+1，则得到

x k+1=x k−f(x k) f′(x k)

这就是Newton迭代公式迭代函数为

φx=x−f(x）f′(x）

不动点迭代

将方程f(x)=0改写成等价方程

x=φ(x)

则方程的根又称为函数φ的不动点.

为了求φ的不动点,取一个初始近似值x0,用迭代格式

x k=φ(x k−1),k=1,2

产生序列{x k},这种迭代法我们称之为不动点迭代,或简单迭代φ(x）又称为迭代函数.假设一个迭代法产生的序列{x k},k=0,1,2,,收敛,lim k→∞x k=x∗，X*是方程f(x)=0的一个解.

区间对分法

区间对分法是求解方程f(x)=0的一种直观而又简单的迭代法,它是建立在介值定理的理论基础之上的，第一个取值点取在含优区间的1/2处,然后逐渐逼近最优值的单因素试验设计方法。

联系

都是用来近似求方程根的方法，利用数列收敛于方程的根。在应用方面，区间对分法可用来求根的初始近似值,以供其它对初始值要求严格的迭代法使用，牛顿法和不定点迭代法都有局限性，收敛有方向性，如果初始值选的不恰当，则方程不收敛，也就不能得到方程的根。另外，方程f(x)=0和x=φ(x）是等价的，于是Newton迭代公式也属于不动点迭代。

区别

对分法每次50%的区间舍弃，试验选值跨跃的幅度过大，会使对分法漏掉了最佳值。从此误差估计式看出,近似解的误差下降速度较慢.但此方法比较简单,且安全可靠.在实际应用中,.需要注意的是此方法只能求单实根,而不能求复根或偶数重根.

在牛顿迭代和不动点迭代中，对不动点方程x=φ(x），它导出的迭代过程有可能发散，也可能收敛得非常缓慢，注意到x=x和x=φ(x）都是不动点方程，它们的加权平均h(x)=λx+λφ(x）也是不动点方程，而h(x)和φ(x）有完全相同的不动点。适当选取λ的值，可以使发散的迭代过程变得收敛，使收敛慢的迭代过程变得收敛迅速。