2017年数三考研真题

2017年数学三考研真

题

作者：凯程洛老师，免费赠送数学三真题讲解解析。

一、选择题:18小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题

目要求的.

(1)若函数1cos ,0(),0

x

x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则(

)

(A)12

ab =

(B)12

ab =-

(C)0ab =(D)2

ab =(2)二元函数(3)z xy x y =--的极值点是(

)

(A)（0，0）

(B)（0，3）

(C)（3，0）(D)（1，1）

(3)设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>，则(

)(A)(1)(1)

f f >-(B)(1)(1)f f <-(C)

(1)(1)

f f >-(D)(1)(1)

f f <-(4)若续数

21

1sin ln(1)n k n n ∞

=⎡⎤--⎢⎥⎣

⎦∑收敛，则k =()

(A)1

(B)2

(C)-1

(D)-2

(5)设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则(

)

(A)E ααT

-不可逆(B)E ααT

+不可逆(C)2E ααT +不可逆

(D)2E ααT

-不可逆

(6)已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭,100020002C ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭

,则(

)

(A)A 与C 相似,B 与C 相似

(B)A 与C 相似,B 与C 不相似(C)A 与C 不相似,B 与C 相似(D)A 与C 不相似,B 与C 不相似

(7)设A ，B ，C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，B 与C 相互独立，则A B 与C 相互

独立的充分必要条件是

（

）

(A)A 与B 相互独立（B）A 与B 互不相容（C）AB 与C 相互独立

（D）AB 与C 互不相容

(8)设1,2,...(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i i x x n ==∑则下列结论正确的

是

（

）

(A)

2

1()

n

i

i x μ=-∑服从2

x 分布

(B)212()n x x -服从2

x 分布

(C)

2

1

()

n

i

i x X =-∑服从2

x 分布

(D)2

()n X μ-服从2

x 分布

二、填空题：914小题,每小题4分,共24分.

(9)

3

22(sin

)x x dx π

ππ-

+-=⎰________.

(10)差分方程122t

t t y y +-=通解为t y =(11)设生产某产品的平均成本()1q

C q e

-=+，其中产量为q ，则边际成本为

(12)设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且

(,)(1)y y

df x y ye dx x y e dy =++，(0,0)0f =，则(,)f x y =

(13)设矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭,1α、2α、3α为线性无关的3维列向量组。则向量组1A α、2A α、

3A α的秩为

(14)设随机变量X 的概率分布为{}1

22

P X =-=

，{}1P X a ==，{}3P X b ==，若0EX =,

则DX =

三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.(15)(本题满分10分)

求+

3

lim x

t x x te dt x →-⎰

(16)(本题满分10分)

计算积分3242

(1)D

y dxdy x y ++⎰⎰，其中D 是第一象限中以曲线y x =与x 轴为边界的无界区域.

(17)(本题满分10分)

求21

lim

(1)n

n k k k ln n λ→∞=+∑(18)(本题满分10分)

已知方程

11

ln(1)k x x

-=+在区间（0,1）内有实根，确定常数k 的取值范围.

(19)(本题满分10分)

设01a =，10a =，111

()(1231n n n a na a n n +-=+=⋅⋅⋅+、、），()x S 为幂级数0

n n n a x ∞

=∑的和函数(I)证幂

n

n

n a x

∞

=∑的收敛半径不小于1.

(II)证()(1)()()0(1,1)X S x xS x x '--=∈-，并求()S x 表达式.(20)(本题满分11分)

设3阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+.(I)证明()2r A =；

(II)若123βααα=++，求方程组Ax β=的通解.(21)(本题满分11分)

设二次型()2

2

2

123123121323,,2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标

准型为2

2

1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q .

(22)(本题满分11分)