2017年数三考研真题_附答案解析

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学三试题及参考答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，

只有一个选项是符合题目要求的.

1.若函数1cos ,0(),0x f x ax

b x ⎧->⎪

=⎨⎪≤⎩

在0x =处连续，则（）

(A)12

ab =

(B)12

ab =-

(C)0

ab =(D)2

ab =2.二元函数(3)z xy x y =--的极值点（）

(A)(0,0)

(B)(0,3)

(C)(3,0)

(D)(1,1)

3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）

(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()

11f f >-(D)()()

11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞

=⎡⎤

⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣

⎦∑收敛，则k =(

)

(A)1(B)2(C)-1(D)-2

5.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()

(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆

(D)2T E αα-不可逆

6.已知矩阵200021001A ⎡⎤⎢⎥

=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

210020001B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦100020002C ⎡⎤

⎢⎥=⎢⎥

⎢⎥⎣⎦

，则()

(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似

(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似

7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独立，与C 相互独立，则A B ⋃与C 相互独立的充要条件是()

(A)A 与B 相互独立

(B)A 与B 互不相容

(C)AB 与C 相互独立(D)AB 与C 互不相容

8.设12,......(2)n X X X n ≥来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1

1n

i

i X X n ==∑则下列结论中不正确的是()

(A)

2

1()n

i i X μ=-∑服从2χ分布(B)2

12()n X X -服从2χ分布

(C)

21

()n i

i X

X =-∑服从2χ分布

(D)2()n X μ-服从2χ分布

二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分。

9.3(sin x dx π

π

-=

⎰.

10.差分方程122t

t t y y +-=的通解t y =

.

11.设生产某产品的平均成本)1Q C Q e -=+，其中Q 为产量，则边际成本为

.

12.设函数(,)f x y 具有一阶连续偏导数，且(,)(1)y y df x y ye dx x y e dy =++，

(0,0)0f =,则(,)f x y =

.

13.矩阵101112011A ⎛⎫ ⎪

= ⎪ ⎪⎝⎭,1,2,3,ααα为线性无关的三维列向量组，则向量组

1,2,3,A A A ααα的秩为

.

14.设随机变量x 的概率分布为{}1

22

P X =-=

，{}{}1,3P X a P X b ====，若0EX =则DX =

.

三、解答题：15～23小题，共94分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.求0

x

t x dt →.

16.计算积分()

3

2

2

41D

y dxdy x

y

++⎰⎰

，其中D

是第一象限中曲线y =与x 轴边

界的无界区域.

17.求2

1lim ln 1n

n k k k n

n →∞

=⎛⎫

+ ⎪⎝⎭∑.18.已知方程

()11

ln 1k x x

-=+在区间()0,1内有实根，求k 的范围.19.若01a =，0n a =，111

()(1,2,3....)1n n n a na a n n +-=

+=+，()S x 为幂级数1

n n n a x ∞

=∑的和函数.

(1)证明1n

n n a x ∞

=∑的收敛半径不小于1;

(2)证明(1)()()0x S x xS x '--=(1,1)x ∈-，并求()S x 的表达式.

20.设2阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+.（I）证()2r A =;

(II)123βααα=++,求AX β=的通解.

21.设二次型()222

123123121323,,2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换

x Qy =下的标准型为22

1122y y λλ+,求a 的值及一个正交矩阵Q .