理论力学 第十二章

i=1
n
Lz = ∑Mz (mvi ) i
i= 1
n
[LO]z = Lz
即
L = Lxi + Ly j + Lzk O
（1） 刚体平移 L = MO(mvC ) Lz = Mz (mvC ) O （2） 刚体绕定轴转动
Lz = Jzω
Lz = ∑Mz (mi vi ) = ∑mi vi ri
= ∑miωri ri = ω ∑mi ri2 2 J z = ∑mi ri －－转动惯量 －－转动惯量
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例12-5 12-
m 已知：物理摆（复摆）， 已知：物理摆（复摆）， , JO , a 。
求：微小摆动的周期 。
d2ϕ 解： JO 2 =−mgasinϕ dt 微小摆动时， 微小摆动时， sin ϕ ≈ϕ d2ϕ JO 2 = −mgaϕ dt d2ϕ mga ϕ =0 即： 2 +
dt JO
M2 M1 − i12 α1 = J2 J1 + 2 i12
§12-4 刚体对轴的转动惯量 12Jz = ∑mr2 i i
i= 1 n
1.
简单形状物体的转动惯量计算
(1)均质细直杆对一端的转动惯量 (1)均质细直杆对一端的转动惯量 l ρll3 Jz = ∫ ρl x2dx = 0 3 由 m = ρl l ，得
约束力: 约束力: FN1 , FN 2
d (Jzω) =∑Mz (F ) +∑Mz (F i ) i N dt =∑Mz (F) i
dω =∑Mz (F ) 即: Jz i dt
或 J α =∑M (F) z z
d2ϕ 或 J =∑Mz (F) z 2 dt
}
转动 微分 方程
思考：花样滑冰运动员如何加速、减速？ 思考：花样滑冰运动员如何加速、减速？
d MO(mv) = MO(F) dt
2.质点系的动量矩定理 2.质点系的动量矩定理
d MO(mvi ) = MO(F(i) ) + MO(F(e) ) i i i dt d ∑ MO(mvi ) =∑MO(F(i) ) +∑MO(F(e) ) 0i i i dt dLO d d ∑ MO(mvi ) = ∑MO(mvi ) = i i dt dt dt
§12-2 121．质点的动量矩定理 为定点, 设O为定点,有 为定点
动量矩定理
d d MO(mv) = (r ×m ) v dt dt
dr d = v ×mv + r × Fmv) ( dt dt
0
d Mx (mv) = Mx (F) 投影式: dt d My (mv) = My (F) dt 质点对某定点 定点的动量矩对时间的 质点对某定点的动量矩对时间的 一阶导数,等于作用力对同一点的矩. 一阶导数,等于作用力对同一点的矩. d Mz (mv) = Mz (F) dt －－质点的动量矩定理 －－质点的动量矩定理
证明：
2 2 JzC =∑m (x1 + y1 ) i
2 = ∑m[x1 +( y1 + d)2 ] Jz = ∑mi r = ∑mi (x + y ) i
2
2
2
2 = ∑mi (x1 + y1 ) + 2d ∑mi y1 + d 2 ∑mi 2
0
Jz = JzC +m 2 d
4．组合法
已知： 已知：杆长为 l 质量为 m ，圆盘半径为 d ，质量为 m . 1 2
问题的引出
α ω
C
动量矩守恒定律实例
p = mvC = 0
如何描述绕转轴的转动？ 如何描述绕转轴的转动？
航天器中反作用轮姿 态控制系统示意简图
卫星姿态控制
第十二章 动 量 矩 定 理
§12-1 质点和质点系的动量矩 121．质点的动量矩
对点 O 的动量矩
mv
M O (mv )
M z (mv )
MO(m ) = r ×m v v
v dv 由 ω= = a ,得 R dt
M − mgR2 sin θ R a= J + mR2
例12-2：已知 12求:（1） α
,不计摩擦 不计摩擦. m, J , m , m2 , r , r2 ,不计摩擦. 1 1
O
（2）O 处约束力 F ） N （3）绳索张力 F 1， F 2 T T
解： (1)
投影式:
dLx =∑Mx (F(e) ) i dt
dLy dt dt dLz =∑Mz (F(e) ) i dt =∑My (F(e) ) i
dL O = ∑MO(F(e) ) i dt
质点系对某定点 的动量矩对 质点系对某定点O的动量矩对 定点 时间的导数,等于作用于质点系的 时间的导数 等于作用于质点系的 外力对于同一点的矩的矢量和. 外力对于同一点的矩的矢量和
空心圆 柱
m 2 2 ρz = Jz = (R + r ) 2
1 2 2 (R + r ) 2 πl(R2 −r2 )
薄壁空 心球
2 2 Jz = mR 3
2 ρz = R 3
3 πRh 2
实心球
2 2 Jz = mR 5
圆锥体
3 Jz = mr2 10 Jx = Jy 3 = m(4r2 +l2 ) 80
πabh
长方体
m 2 2 (a +b ) ρz = 1 (a2 +b2) 12 12 m 1 Jy = (a2 +c2) ρx = (a2 +c2) 12 12 1 2 2 m Jy = (b2 +c2 ) ρy = 12 (b +c ) 12 Jz =
5．实验法 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？ 思考：如图所示复摆如何确定对转轴的转动惯量？
将曲柄悬挂在轴 O上，作微幅摆动. 上 作微幅摆动. 由
J π T =2 mgl
已知, 可测得， 其中 m, l 已知,T 可测得，从而求得
J .
6. 查表法
物体的 形状 简
均质物体的转动惯量 图 转动惯量 惯性半径 体积
回转半径（惯性半径） 2. 回转半径（惯性半径）
Jz ρz = m
或
Jz = m z ρ2
3．平行轴定理
Jz = JzC +m d 轴平行的轴， 式中 zC轴为过质心且与 z轴平行的轴，d 为 z
2
与 zC 轴之间的距离。 轴之间的距离。 即：刚体对于任一轴的转动惯量，等于刚体对于通过 刚体对于任一轴的转动惯量， 质心并与该轴平行的轴的转动惯量， 质心并与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量 与两轴间距离平方的乘积. 与两轴间距离平方的乘积.
FN
（2）由质心运动定理
F −(m+ m + m )g = (m+ m + m )aCy N 1 2 1 2
ɺ ∑m ɺ i −m a1 + m2a2 α(−m r + m2r2 ) iy 1 11 ɺ aCy = ɺ C = y = = ∑m m+ m + m2 m+ m + m2 i 1 1
F = (m+ m + m2 )g +α(−mr + m2r2 ) N 1 1 1
J 求： O .
解：
JO = JO杆 + JO盘
1 2 JO杆 = ml 3 1 d 2 d 2 JO盘 = m ( ) + m (l + ) 2 2 2 2 2
3 2 2 = m2 ( d + l + ld) 8
1 2 3 2 2 JO = ml + m2 ( d +l +ld) 1 3 8
已知： 已知：m, R , R 。 1 2 解：
F1 = m (g −rα) T 1 1 （4） 研究 m 2 F − m2 g = m2a2 = m2r2α T F = m2 (g + r2α) T
2
2
m 1 m g − F = ma1 = mrα 1 T 1 1 1
（3） 研究
1
例12-4：已知：两小球质量皆为 12已知： 求：剪断绳后, 剪断绳后,
mga ( t +θ) 通解为 ϕ =ϕO sin JO ϕO 称角振幅，θ 称初相位，由初始条件确定. 角振幅， 初相位，由初始条件确定.
周期
JO T =2 π mga
例12-7 12-
J 已知： 已知： O,ω0, F , R，动滑动摩擦因数 f 。 N
求：制动所需时间 解：
t .
dω JO = FR = f F R N dt
问题： 问题：内力能否改变质 点系的动量矩？ 点系的动量矩？
－－质点系的动量矩定理 －－质点系的动量矩定理
3．动量矩守恒定律 常矢量, 若∑MO(F(e) ) ≡ 0 则 L = 常矢量, O
(e) 常量。 若 ∑Mz (F ) ≡ 0 则 Lz = 常量。
面积速度定理： 面积速度定理： 质点在有心力作用下其面积速度守恒. 质点在有心力作用下其面积速度守恒. 有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心. 力心. 有心力：力作用线始终通过某固定点, 该点称力心
J 求 ： z.
Jz = J1 − J2
1 1 2 2 = m R − m2 R2 1 1 2 2
2 其中 m = ρπR2l m = ρπ R2l 2 1 1 1 4 Jz = ρπl(R4 − R2 ) 1 2 1 2 2 = ρπl(R2 − R2 )(R2 + R2 ) 1 1 2
2 2 由 ρπl(R − R2 ) = m 得 ， 1 1 2 J z = m(R2 + R2 ) 1 2
∫ω J
−
0
0
O
dω = ∫ fF R t N d
0
t
JOω0 t= fF R N
例12-8 12-
R2 J , M1, M2 。 求： 1 。 α 已知： 已知： 1, J2 ,i12 = R 1
解：
J1α1 = M1 − F′R t 1
J2α2 = F R2 − M2 t
因
， α1 = i12 = R2 ，得 Ft′ = Ft α2 R 1
细直杆
m 2 JzC = l 12
ρz =
C
l 2 3
m2 Jz = l 3
薄壁圆 筒
l ρz = 3
Jz = mR2
ρz = R
2R π lh
圆柱
1 JZ = mR2 2 Jx = Jy
ρz =
R 2
ρx = ρy
πR2l
1 m 2 2 = (3R2 +l2 ) = (3R +l ) 12 12
1 2 Jz = ml 3
（2）均质薄圆环对中心轴的转动惯量
J z = ∑mi R2 = R2 ∑mi = mR2
（3）均质圆板对中心轴的转动惯量
m = 2πr dr ⋅ ρA i i i
m 式中： ρA = π R2
R4 JO = ∫ (2πrρAdr ⋅ r2 ) = 2π ρA 0 4
R
1 JO = mR2 或 2
2 ρz = R 5
3 3 πR 4
ρz =
3 r 10 3 2 2 (4r +l ) 80
ρx = ρy
=
π 2 rl 3
圆环
3 2 ρz = R2 + r2 2π2r2R Jz = m(R2 + r ) 4 4
3
椭圆形 薄板
m 2 2 (a +b ) 1 ρz = a2 +b2 4 2 m a Jy = a2 ρx = 4 2 b m 2 ρy = Jy = b 2 4 Jz =
对 z 轴的动量矩
r
Mz (mv) = MO (mv)xy
代数量, 轴正向看, 代数量,从 z 轴正向看, 逆时针为正,顺时针为负. 逆时针为正,顺时针为负.
[MO(m )]z = Mz (m ) v v
2．质点系的动量矩
对点的动量矩 对轴的动量矩 二者关系
L =∑MO(mvi ) O i
L = JOω + mv r + m v2r O 1 11 2 2 2 2 =ω(JO + m r + m2r2 ) 11
∑MO(F ) = (mr −m r )g 11 2 2
(e)
dLO 由 =∑MO(F(e) ) ,得 dt dω (m r −m2r2 )g 11 α= = dt JO + m r2 + m2r22 11
m ,初始角速度 ω0 。
θ 角时的
ω.
解：
θ = 0 时, Lz1 = 2maω0a = 2ma2ω0
θ ≠0
时,
Lz2 = 2m(a +l sin θ)2ω
a2ω0 ω= 2 (a +l sin θ)
Lz1 = Lz2
§12-3 刚体绕定轴的转动微分方程 12主动力: 主动力:
F, F ,⋯ , F ⋯ n 1 2
MO(F) = 0
(1)
M(mv) = r ×mv = 常矢量
r× dr = 常量 dt
必在一固定平面内,即点M的运动轨迹是平面曲线 的运动轨迹是平面曲线. 与 必在一固定平面内,即点 的运动轨迹是平面曲线. r v
dr (2) r ×mv = r ×m = b = 常 量 即 dt 因此, dA =常量 因此, r ×dr = 2dA dt
面积速度
思考：谁先到达顶部？ 思考：谁先到达顶部？
小车不计摩擦. 例12-1 已知： R, J, M,θ, m,小车不计摩擦. 12- 已知： 求:小车的加速度a. 解:
LO = Jω + mv R
(e) MO = M − mg sinθ ⋅ R
d [Jω + mvR = M − mgsin θ ⋅ R ] dt