鲁教版初四上学期第二章第4节二次函数y=a(x-h)2图象性质
二次函数y=a(x-h)2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(提高)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（提高）责编：常春芳【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()0h ，x=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值0． 0a <向下()0h ，x=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值0．a 的符号开口方向 顶点坐标 对称轴 性质0a >向上()h k ， x=hx h >时，y 随x 的增大而增大；x h <时，y 随x 的增大而减小；x h =时，y 有最小值k ． 0a <向下 ()h k ，x=hx h >时，y 随x 的增大而减小；x h <时，y 随x 的增大而增大；x h =时，y 有最大值k ．⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1. 已知2()y a x h k =-+是由抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线．(1)求出a 、h 、k 的值；(2)在同一坐标系中，画出2()y a x h k =-+与212y x =-的图象； (3)观察2()y a x h k =-+的图象，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大；当x 取何值时，y 随x 增大而减小，并求出函数的最值；(4)观察2()y a x h k =-+的图象，你能说出对于一切x 的值，函数y 的取值范围吗? 【答案与解析】(1)∵ 抛物线212y x =-向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度得到的抛物线是21(1)22y x=--+，∴12a=-，1h=，2k=．(2)函数21(1)22y x=--+与212y x=-的图象如图所示．(3)观察21(1)22y x=--+的图象知，当1x<时，y随x的增大而增大；当1x>时，y随x增大而减小，当x＝1时，函数y有最大值是2．(4)由图象知，对于一切x的值，总有函数值y≤2．【总结升华】先根据平移的性质求出抛物线212y x=-平移后的抛物线的解析式，再对比2()y a x h k=-+得到a、h、k的值，然后画出图象，由图象回答问题．举一反三：【高清课程名称：《二次函数》专题第二讲：函数2()(0)y a x h a=-≠与函数2()(0)y a x h k a=-+≠的图象与性质高清ID号：391919 关联的位置名称（播放点名称）：练习3】【变式】把二次函数2()y a x h k=-+的图象先向左平移2个单位，再向上平移4个单位，得到二次函数21(1)12y x=-+-的图象．（1）试确定a、h、k的值；（2）指出二次函数2()y a x h k=-+的开口方向，对称轴和顶点坐标，分析函数的增减性．【答案】（1）1,1,52a h k=-==-.（2）开口向下，对称轴x=1, 顶点坐标为（1，-5），当x≥1时，y随x的增大而减小；当x＜1时，y随x的增大而增大.2.已知函数()()()()22113513x xyx x⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞，则使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（）A ．0B ．1C ．2D ．3【答案】D ；【解析】函数()()()()22113513x x y x x ⎧--⎪=⎨--⎪⎩≤＞ 的图象如图：，根据图象知道当y=3时，对应成立的x 恰好有三个，∴k=3． 故选D ．【总结升华】此题主要考查了利用二次函数的图象解决交点问题，解题的关键是把解方程的问题转换为根据函数图象找交点的问题．类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用 3.（2014秋•滨海县期末）已知：二次函数y=x 2﹣4x+3． （1）求出该二次函数图象的对称轴和顶点坐标； （2）求出该抛物线与x 轴的交点坐标； （3）当x 取何值时，y ＜0． 【解析】解：（1）∵y=x 2﹣4x+3，∴y=（x ﹣2）2﹣1， ∴对称轴为：直线x=2， ∴顶点（2，﹣1）； （2）令y=0，则，x 2﹣4x+3=0， ∴（x ﹣1）（x ﹣3）=0， ∴x 1=1，x 2=3，∴与x 轴的交点坐标为（1，0），（3，0）； （3）当1＜x ＜3时，y ＜0．【总结升华】本题考查了二次函数的性质，抛物线与x 轴坐标的求解方法，二次函数与不等式，熟记性质并把函数解析式整理成顶点式形式求解更简便． 举一反三：【变式】（2014秋•岑溪市期末）已知抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8． （1）直接写出它的顶点坐标： ，对称轴： ； （2）x 取何值时，y 随x 增大而增大？ 【答案与解析】解：（1）抛物线y=2（x ﹣1）2﹣8的顶点坐标为（1，﹣8），对称轴为直线x=1；故答案为（1，﹣8），直线x=1；（2）当x ＞1时，y 随x 增大而增大．4. 如图所示，抛物线213(1)y x =+的顶点为C ，与y 轴交点为A ，过点A 作y 轴的垂线，交抛物线于另一点B ．(1)求直线AC 的解析式2y kx b =+； (2)求△ABC 的面积；(3)当自变量x 满足什么条件时，有12y y >? 【答案与解析】(1)由213(1)y x =+知抛物线顶点C(-1，0)，令x ＝0，得3y =，∴ (0,3)A ．由待定系数法可求出3b =，3k =，∴ 233y x =+．(2)∵ 抛物线213(1)y x =+的对称轴为x ＝-1，根据抛物线对称性知(2,3)B -． ∴ 12332ABC S =⨯⨯=△． (3)根据图象知0x >或1x <-时，有12y y >．【总结升华】 图象都经过A 点和C 点，说明A 点、C 点同时出现在两个图象上，A 、C 两点的坐标均满足两个函数的解析式，解答这类题时，要画出函数图象，结合几何图形的性质，运用数形结合的思想和抛物线的对称性，特别要慎重处理平面直角坐标系中的坐标(数)与线段长度(形)之间的关系，不要出现符号上的错误，充分利用函数图象弄清函数值与自变量的关系，利用图象比较函数值的大小，或根据函数值的大小，确定自变量的变化范围．。
二次函数y=a(x-h)^2+k(a≠0)的图象与性质—知识讲解(基础)
二次函数y=a （x-h)2+k(a ≠0)的图象与性质—知识讲解（基础）【学习目标】1.会用描点法画出二次函数2()y a x h k =-+(a 、h 、k 常数，a ≠0)的图象．掌握抛物线2()y a x h k =-+与2y ax =图象之间的关系；2.熟练掌握函数2()y a x h k =-+的有关性质，并能用函数2()y a x h k =-+的性质解决一些实际问题；3.经历探索2()y a x h k =-+的图象及性质的过程，体验2()y a x h k =-+与2y ax =、2y ax k =+、2()y a x h =-之间的转化过程，深刻理解数学建模思想及数形结合的思想方法．【要点梳理】要点一、函数2()(0)y a x h a =-≠与函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质1.函数2()(0)y a x h a =-≠的图象与性质2.函数2()(0)y a x h k a =-+≠的图象与性质要点诠释：二次函数2()+(0y a x h k a =-≠）的图象常与直线、三角形、面积问题结合在一起，借助它的图象与性质．运用数形结合、函数、方程思想解决问题．要点二、二次函数的平移 1.平移步骤：⑴ 将抛物线解析式转化成顶点式()2y a x h k =-+，确定其顶点坐标()h k ，； ⑵ 保持抛物线2y ax =的形状不变，将其顶点平移到()h k ，处，具体平移方法如下：2.平移规律：在原有函数的基础上“h 值正右移，负左移；k 值正上移，负下移”．概括成八个字“左加右减，上加下减”． 要点诠释：⑴c bx ax y ++=2沿y 轴平移:向上（下）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成m c bx ax y +++=2（或m c bx ax y -++=2）⑵c bx ax y ++=2沿x 轴平移：向左（右）平移m 个单位，c bx ax y ++=2变成c m x b m x a y ++++=)()(2（或c m x b m x a y +-+-=)()(2）【典型例题】类型一、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠图象及性质1．将抛物线22(1)3y x =-+作下列移动，求得到的新抛物线的解析式． (1)向左平移2个单位，再向下平移3个单位； (2)顶点不动，将原抛物线开口方向反向；(3)以x 轴为对称轴，将原抛物线开口方向反向． 【答案与解析】抛物线22(1)3y x =-+的顶点为(1，3)．(1)将抛物线向左平移2个单位，再向下平移3个单位后，顶点为(-1，0)，而开口方向和形状不变，所以a ＝2，得到抛物线解析式为222(1)242y x x x =+=++． (2)顶点不动为(1，3)，开口方向反向，则2a =-， 所得抛物线解析式为222(1)3241y x x x =--+=-++．(3)因为新顶点与原顶点(1，3)关于x 轴对称，故新顶点应为(1，-3)．又∵ 抛物线开口反向， ∴ 2a =-．故所得抛物线解析式为222(1)3245y x x x =---=-+-．【总结升华】当抛物线的形状确定以后，其位置完全决定于顶点，方向决定于a 的符号，故可利用移动后的顶点坐标与开口方向求移动后的抛物线的解析式． 举一反三：【变式】将抛物线23y x =-向右平移2个单位，再向上平移5个单位，得到的抛物线解析式为 ． 【答案】23127y x x =-+-.2．把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线，求b ，c 的值. 【答案与解析】根据题意得，y=(x-4)2-2=x 2-8x+14, 所以【总结升华】把抛物线向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到抛物线， 也就意味着把抛物线向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到抛物线.举一反三：【变式】二次函数21(3)42y x =-+的图象可以看作是二次函数212y x =的图象向 平移4个单位，再向 平移3个单位得到的．【答案】上；右.类型二、二次函数2()(0)y a x h k a =-+≠性质的综合应用3．已知21()y a x h =-与2y kx b =+的图象交于A 、B 两点，其中A(0，-1)，B(1，0)．(1)确定此二次函数和直线的解析式； (2)当12y y <时，写出自变量x 的取值范围．【答案与解析】(1)∵ 21()y a x h =-，2y kx b =+的图象交于A 、B 两点，∴ 221001()()a h a h -=-⎧⎨=-⎩且0,1.k b b +=⎧⎨=-⎩解得1,1,a h =-⎧⎨=⎩ 且1,1.k b =⎧⎨=-⎩∴ 二次函数的解析式为2(1)y x =--，直线方程为1y x =-． (2)画出它们的图象如图所示，由图象知当x ＜0或x ＞1时，12y y <．【总结升华】可先由待定系数法建立方程组求出两个函数的解析式，然后利用函数图象写出自变量的取值范围．4.【总结升华】考查了运用待定系数法求二次函数的解析式，三角形的面积，二次函数的性质，难度适中．充分利用抛物线的对称性是解题的关键．。
初中数学鲁教版九年级上册3.4.二次函数y=a(x-h)2的图像与性质(第2课时)(31张PPT)
(1) y (2) y
1 x2 2 1(x 2
y 1 x 22
2
2)2
(3) y 1 ( x 2)2 2
-8
-6
-4
5 4 3 2 1
-2 B
-1
-2
-3
感悟新知
y 1 x2 2
y 1 x 22
2
2
4
6
感悟新知
y
1 2
(x
2)2
向左平移2 个单位
y 1 x2 2
向右平移2 个单位
y 1 (x 2)2 2
B．(2，0)
C．(0，－2)
D．(0，2)
2. 在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2
的是( A )
A．y＝(x＋2)2
B．y＝2x2－2
C．y＝－2x2－2
D．y＝2(x－2)2
感悟新知
3. 对于抛物线y＝2(x－1)2，下列说法正确的有( C ) ①开口向上；②顶点为(0，－1)；
③对称轴为直线x＝1；
2 在此坐标系中画出抛物线y=－
1
2 x2 (见图中虚线部
分 物)线, 观y=察－抛12物x2线有y什=么－关12 系(x？+1)2，2y=－
1 2
(x－1)2与抛
感悟新知
抛物线 y 1 (x 1)2 与抛物线 y 1 (x 1)2 y 1 x2
2
2
2
有什么关系?
感悟新知
y
1 2
x
2向1个左单平位移y
a＜0
在对称轴的左侧，y的值随x值的增大而增大； 在对称轴的右侧，y的值随x值的增大而减小
例1 下列命题中，错误的是( )
感悟新知
26.2(4) 二次函数y=a(x-h)^2+k的图象与性质
4米
3米
20
9
4米
8米
在出手角度和力度都不变的情况下,小明的出手高度为 多少时能将篮球投入篮圈?
6y
4
0,
20 9
2
（4，4）
（8，3）
8,
20 9
01 2
-2
3 4 55 6 7 8 9 10
x
在出手角度、力度及高度都不变的情况下，则小明朝 着篮球架再向前平移多少米后跳起投篮也能将篮球投 入篮圈？
2.请回答抛物线y = 4(x－3)2＋7由抛物线y=4x2怎 样平移得到? 3.抛物线y =－4(x－3)2＋7能够由抛物线y=4x2平移 得到吗?
1.对称轴是直线x=-2的抛物线是(C)
A y=-2x2-2
B y=2x2-2
C y=-1/2(x+2)2-2 D y=-5(x-2)2-6
2.抛物线y=3x2向右平移3个单位再向下平移2个
各种形式的二次函数的关系
|k| |h|
左 个右 单平 位移
y = a( x - h )2 + k
上 个下 单平 位移
y = ax2 + k
y = a(x - h )2
上下平移 |k|个单位
左右平移
y = ax2 |h|个单位
结论: 一般地，抛物线 y = a(x-h)2+k
与y = ax2形状相同，位置不同。
当a>0时，开口向上； 当a<0时，开口向下；
对称轴： 直线 x = h
顶点坐标：（h，k）
最值 当a>0时 x=h时，y有最小值k 当a<0时 x=h时，y有最大值k
各种形式的二次函数的关系
2.2.4二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质wyc
复习引入
y=ax2
左加 右减
上加 下减
y=ax2+k
左加 右减
y=a(x－h)2
上加 下减
y=a(x－h)2+k
温故知新 二次函数y=a（x-ｈ）2的性质
y＝a(x-ｈ)2
a>0
a<0
图象
开口 对称轴
顶点 增减性
最值
h>0
h<0
h>0
的增大而小
y (x 2)2 3
当x= - 1时， y最大值= - 2
练习
1.已知二次函数 y (x 2)2 3， 当x_____2______时，y随x的增大而减小。 2.抛物线 y 4(x 3)2 12 的对称轴是____x_____3___，顶点是___(_-3__，__1_2__)_______. 3.抛物线 y 2(x 5)2 4 的对称轴是___x______5___，当_______x_____5______时，
y 1 (x 1)2 2 2
向下
当x≤1时， y随x的
x=1
(1，2)
增大而增大； 当x＞ 1时， y随x
当x= 1时， y最大值=2
的增大而减小
y 1 (x 1)2 2 2
向下
y 2(x 5)2 4 y 4(x 3)2 12
x=-1
当x≤-1时， y随x的
(-1，-2)
增大而增大； 当x＞ - 1时， y随x
直线x=1 (1,2)
当x≤0时， y随x的增大而减小； 当x≤1时， y随x的增大而减小； 当x＞0时， y随x的增大而增大 当x＞1时， y随x的增大而增大
1.2 第4课时 二次函数y=a(x-h)2+k的图象与性质
第4课时二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质1．会用描点法画出y＝a(x－h)2＋k的图象；2．掌握形如y＝a(x－h)2＋k的二次函数的图象与性质，并会应用；(重点)3．理解二次函数y＝a(x－h)2＋k与y＝ax2之间的联系．(难点)一、情境导入前面我们是如何研究二次函数y＝ax2、y＝a(x－h)2的图象与性质的？如何画出y＝12(x－2)2＋1的图象？二、合作探究探究点一：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与性质【类型一】二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象已知y＝12(x－3)2－2的部分图象如图所示，抛物线与x轴交点的一个坐标是(1，0)，则另一个交点的坐标是________．解析：由抛物线的对称性知，对称轴为x＝3，一个交点坐标是(1，0)，则另一个交点坐标是(5，0)．解：(5，0)变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第1题【类型二】二次函数y＝a(x－h)2＋k的性质试说明抛物线y＝2(x－1)2与y＝2(x－1)2＋5的关系．解析：对抛物线的分析应从开口方向，顶点坐标，对称轴，增减性，及最大(小)值几个方面分析．解：相同点：(1)它们的形状相同，开口方向相同；(2)它们的对称轴相同，都是x＝1.当x<1时都是左降，当x>1时都是右升；(3)它们都有最小值．不同点：(1)顶点坐标不同．y＝2(x－1)2的顶点坐标是(1，0)，y＝2(x －1)2＋5的顶点坐标是(1，5)；(2)y ＝2(x－1)2的最小值是0，y＝2(x－1)2＋5的最小值是5.方法总结：对于y＝a(x－h)2＋k 类抛物线，a决定开口方向；|a|决定开口大小；h决定对称轴；k决定最大(小)值的数值．变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第5题探究点二：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象的平移将抛物线y＝13x2向右平移2个单位，再向下平移1个单位，所得的抛物线是( )A．y＝13(x－2)2－1B．y＝13(x－2)2＋1C．y＝13(x＋2)2＋1D．y＝13(x＋2)2－1解析：由“上加下减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2向下平移1个单位所得抛物线的解析式为y＝13x2－1；由“左加右减”的平移规律可知，将抛物线y＝13x2－1向右平移2个单位所得抛物线的解析式为y＝13(x －2)2－1.故选A.变式训练：见《学练优》本课时练习“课堂达标训练”第6题探究点三：二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象与几何图形的综合如图所示，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x－h)2＋k.所得抛物线与x 轴交于A，B两点(点A在点B的左边)，与y轴交于点C，顶点为D.(1)求h，k的值；(2)判断△ACD 的形状，并说明理由．解析：(1)按照图象平移规律“左加右减，上加下减”可得到平移后的二次函数的解析式；(2)分别过点D作x轴和y轴的垂线段DE，DF，再利用勾股定理，可说明△ACD是直角三角形．解：(1)∵将抛物线y＝x2向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线y＝(x＋1)2－4，∴h＝－1，k＝－4；(2)△ACD为直角三角形．理由如下：由(1)得y＝(x＋1)2－4.当y＝0时，(x＋1)2－4＝0，x＝－3或x＝1，∴A(－3，0)，B(1，0)．当x＝0时，y＝(x＋1)2－4＝(0＋1)2－4＝－3，∴C点坐标为(0，－3)．顶点坐标为D(－1，－4)．作出抛物线的对称轴x＝－1交x轴于点E，过D作DF⊥y轴于点F，如图所示．在Rt△AED中，AD2＝22＋42＝20；在Rt△AOC中，AC2＝32＋32＝18；在Rt△CFD中，CD2＝12＋12＝2.∵AC2＋CD2＝AD2，∴△ACD是直角三角形．变式训练：见《学练优》本课时练习“课后巩固提升”第9题三、板书设计通过本节学习使学生掌握二次函数y ＝ax2，y＝a(x－h)2，y＝a(x－h)2＋k 图象的变化关系，从而体会由简单到复杂的认识规律.。