2017-2018年湖北省武汉市部分重点中学高一上学期数学期末试卷(解析版)
2017-2018学年度湖北省部分重点中学联考高一理科数学(含答案)
湖北省部分重点中学2017-2018学年度下学期期中联考高一理科数学试卷命题学校：武汉市第一中学考试时间：2018年4月24日下午3:50-5:50 试卷满分：150分一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）1．在等差数列 中，前 项和 满足 ，则 （ ） A. 7 B. 9 C. 14 D. 182．在 中， ， ，且 的面积为，则 的长为 （ ）．A. B.C. D.3．已知 是等比数列，且 ， ，那么 的值等于（ ）．A. B. C. D.4．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若cos cos a A b B =，则ABC ∆为（ ）A. 等腰三角形B. 直角三角形C. 等腰直角三角形D. 等腰三角形或直角三角形 5.在数列 中，已知，111n n a a -=-，则 的值为（ ） A. 2018 B.C.D. 56.为了测量某塔AB 的高度，在一幢与塔AB 相距m 40的楼顶处测得塔底A 的俯角为o 30，测得塔顶B 的仰角为o 45，那么塔AB 的高度是（单位：m ）( ) A. )31(40+ B. )22(20+ C. )331(40+D. 607.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还。
”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起因脚痛每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地。
”问此人第4天和第5天共走了（ ）A ． 60里 B. 48里 C. 36里 D. 24里8.在△ABC 中，若AB =3BC =，120C ∠= ,则AC =（ ） A. 1B. 2C. 3D. 49．某种细胞开始有2个，1小时后分裂成4个并死去1个，2小时后分裂成6个并死去1个，3小时后分裂成10个并死去1个，…，按此规律进行下去，6小时后细胞存活的个数是( )A. 33个B. 65个C. 66个D. 129个10．在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，若02,45b B ==，且此三角形有两解，则a 的取值范围是（ ）A.)B. ()+∞C.)+∞ D. (2,11.平面向量a b 、、e 满足||1,a = ||2,b = 1,a b ⋅=e 为单位向量，当e 的方向变化时，a e b e ⋅+⋅的最大值是( )A. B. 6 C. D. 712.已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推. 如果该数列的前n 项和为2的整数幂且n 800，那么整数n 的最小值是( ) A.1894 B. 1895 C.1896 D. 1897二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需要写出解答过程，请把答案直接填空在答题纸相应位置上.）13．数列{}n a 的前n 项和n S ，则 .14．如图，设 ， 是 内的一点，点 到 的两边的距离 和 分别为11和2，则 的长为 .第14题图 第15题图15.如图，已知,,||2,||3,OA a OB b a b ====任意点M 关于点A 的对称点为S ，点S 关于点B 的对称点为N ，点C 为线段AB 中点，则MN OC ⋅=____________. 16. 若圆的直径AB 的长为4,该圆上的动弦CD 的长为2，则AC BD ⋅ 的取值范围是 .三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）17. (本小题满分10分)已知向量a =(3,－4), b =(2,x), c =(2,y), a //b ,a ⊥c . (1) 求x,y ；(2) 求2a c -与3b -的夹角θ.18. (本小题满分12分)在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，满足 . （1）求角 ；（2）若 ， ，求 的面积.19. (本小题满分12分)如图，设 是边长为1的正三角形，点123,,P P P 四等分线段BC ． （1） 求112AB AP AP AP ⋅+⋅的值；（2）Q 为线段1AP 上一点，若112AQ mAB AC =+， 求实数m 的值.20. (本小题满分12分)已知等比数列 的公比 ， ，且 成等差数列. （1）求数列 的通项公式；（2）记2n nnb a =，求数列 的前 项和 .21. (本小题满分12分)已知在 中，角 、 、 所对边分别为 、 、 ，且满足 . （1）求证： ；（2）若 为锐角三角形，且 ，求 的取值范围.22. (本小题满分12分)在正项等差数列{}n a 中,其前n 项和为,n S 2314,a a +=2358.a a S ⋅=+设12111n nT S S S =++⋅⋅⋅+. (1) 求数列{}n a 及数列{}n T 的通项公式；(2) 证明：11114182n T n ≤<-+. 武汉市部分重点中学2017-2018学年度下学期期中联考高一理科数学试卷参考答案1-12. BAA DDC CAB DCD13. ； 14. 14 ； 15. ； 16. – ，17解：（1）()()3,4,2,,x =-=a b a //b ，∴8,3x =-()2,,y =⊥c a c ∴……………………5分(2)由（1）得 8(2,)3=-b ，3(2,)2=c .∴()()()()23,44,31,7,36,8,-=--=---=-a c b∴(2)(3)cos 2|2||3|52θ-⋅-===--⋅-⨯a c b a c b . 0πθ≤≤……………………………………10分18．解：（1） 中，由条件及正弦定理得 ， ∴ .∵ ∴ ，∴ ，∵ ，∴………6分（2）∵ ，由余弦定理得，∴ .∴. ……12分19.解：（1）()21122111328AB AP AP AP AB AP AP AP ⋅+⋅=+⋅==………6分 （2）易知114BP BC =，即()114AP AB AC AB -=-， 即13144AP AB AC =+，因为Q 为线段1AP 上一点，设 13114412AQ AP AB AC mAB AC λλλ==+=+， 所以3411412m λλ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 所以14m = …………………………………………12分其它解法酌情给分.20．解:（1）∵数列 是等比数列， ，∴ ，∴ ， 又 成等差数列，∴ ，∴∵ ∴ ，∴ …………………………6分（2），①②①-②：，∴，∴. …………12分21．解：（1） ，由正弦定理知， 即 .因为 ，所以 ，且 ， 所以 ，所以 ， . …………………6分（2）由（1）知，.由 为锐角三角形得，得.由 得. …………………………12分其它解法酌情给分.22. 解：（1）设公差d ，则()()11112314,125548,2a d a d a d a d +=⎧⎪⎨++=+⨯⨯+⎪⎩ ∴142a d =⎧⎨=⎩或12512a d =⎧⎨=-⎩（舍去）∴22n a n =+ …………………3分 ∴23n S n n =+,111133n S n n ⎛⎫=- ⎪+⎝⎭,∴1111111323123n T n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭ 111111()183123n n n =-+++++…………………………………6分 其它结果供参考:2321131211183(6116)n n n T n n n ++=-+++，323211484918(6116)n n n n T n n n ++=+++.（2）∵1111111323123n T n n n ⎛⎫=++--- ⎪+++⎝⎭111111()183123n n n =-+++++ ∴数列{}n T 是递增数列 ∴当n=1时n T 最小∴1111111132********n T ⎛⎫≥++---=⎪+++⎝⎭ …………………8分 又∵111()182n T n --+111111111()()183123182n n n n ⎡⎤=-++--⎢⎥++++⎣⎦ 21111()()32313n n n =⋅-++++ 2122()323(1)(3)n n n n ⎡⎤+=⋅-⎢⎥+++⎣⎦ 213(1)(2)(3)n n n ⎡⎤-=⎢⎥+++⎣⎦0< ∴111182n T n <-+∴11114182n T n ≤<-+ …………………………………………12分说明：计算错误不给分，其它解法酌情给分.。
2018-2019学年湖北省武汉市部分学校高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖北省武汉市部分学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．sin(210)-的值为 A ．12-B ．12C． D．2【答案】B【解析】【详解】试题分析：由诱导公式得()()1sin 210sin 210sin 18030sin 302︒︒︒︒︒-=-=-+==，故选B ． 【考点】诱导公式．2．已知集合{}21,A y y x x Z ==-∈，{}sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0-【答案】D【解析】根据三角函数的值域与交集的运算求解即可. 【详解】{}{}sin ,|11B y y x x R y y ==∈=-≤≤,又{}{}21,1,0,3,8....A y y x x Z y ==-∈=-.故AB ={}1,0-.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的值域以及集合的交集运算,属于基础题型.3．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】由题[]22(2)(2)(4)log 42f f f f ====.故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型. 4．要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】B【解析】试题分析：sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数y = sin2x 的图象向左平移6π个单位 【考点】三角函数图像平移5．已知函数f （x ）＝ax |x |+bsinx +1，若f （3）＝2，则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．0D ．1【答案】C【解析】根据函数的对称性求解即可. 【详解】由()sin 1f x ax x b x =++,()()()sin 1sin 1f x a x x b x ax x b x -=--+-+=--+. 故()()2f x f x +-=.又(3)2f =故(3)2(3)0f f -=-=.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数性质的运用,属于基础题型. 6．下列关于函数f （x ）＝tanx 的说法正确的是（ ） A ．是偶函数B ．最小正周期为2πC ．对称中心为（kπ，0），k ∈ZD ．f （4π）+f （34π）＝0【答案】D【解析】根据正切函数的图像与性质判断即可. 【详解】()tan f x x =为奇函数,最小正周期为π,对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭.故A,B,C 错误. 又33()()tan tan 1104444f f ππππ+=+=-=.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了正切函数的性质,属于基础题型.7．若sin 76°＝m ，则cos 7°可用含m 的式子表示为（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析角度关系利用降幂公式求解即可. 【详解】由题,cos14sin 76m ︒=︒=,又21cos14cos 7cos 72+︒︒=⇒=︒=故选：B 【点睛】本题主要考查了诱导公式与降幂公式的运用,属于基础题型.8．已知函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（ ）A ．ω＝1，φ3π=-B ．ω＝1，φ6π=-C ．ω＝2，φ3π=-D ．ω＝2，φ6π=-【答案】D【解析】先利用周期求ω再代入最高点求得ϕ即可. 【详解】由题三角函数半个周期为362πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,故12==222ππωω⨯⇒.易得2A =,又函数过2,23π⎛⎫⎪⎝⎭,故2sin(2)22,36k k Z ππϕϕπ⨯+=⇒=-+∈,又πϕπ-<<, 故6πϕ=-.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式的方法,属于基础题型.9．已知函数f （x ）220x x x x ⎧≤=⎨⎩，，＞，若函数g （x ）＝f （x ）+x ﹣a 恰有一个零点，则实数a 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（1，+∞）C ．[0，1）D ．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【答案】D【解析】画出函数()f x 的图像再数形结合求()f x x a =-+ 只有一个交点的情况即可. 【详解】画出函数220()0x x f x x x ⎧≤=⎨⎩，，＞的图像,易得若()()g x f x x a =+-恰有一个零点则()f x x a =-+恰有一个根,即()f x 与y x a =-+恰有一个交点.故(](),01,a ∈-∞⋃+∞.故选：D 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,属于中等题型. 10．如表为某港口在某季节中每天水深与时刻的关系：若该港口水深y（单位：m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin（ωt+φ）+h来近似描述，则该港口在11：00的水深（单位：m）为（）A．4 B．5C．5D．3【答案】A【解析】根据表格可计算出对应的函数关系()siny A t hωϕ=++的解析式,再代入11t=计算即可.【详解】由表格知函数最大值为7,最小值为3.故73A hA h+=⎧⎨-+=⎩,即2,5A h==.又相邻两个最大值之间的距离为15312T=-=.故2126ππωω=⇒=.此时2sin56y tπϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,又当3t=时32sin5=76yπϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,故22ππϕ+=,即0ϕ=.故2sin56y tπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故当11t=时,112sin546yπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了正弦函数的实际运用,需要根据题意代入对应的点求解函数解析式,属于中等题型.11．已知函数f（x）6404214xx xxx-⎧-≤⎪=⎨⎪-⎩，＜，＞，若三个互不相同的正实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（0，16）B．（4，24）C．（16，24）D．（0，24）【答案】C【解析】画出函数()f x的图像再分析当()()()f a f b f c==时的情况即可.【详解】画出函数()f x 的图像,设()()()f a f b f c m ===,()0,3m ∈. 则64421c a b m a b --+=-=-=.故1144a b ab a b ⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭. 故4abc c =.又()4,6c ∈,故()416,24c ∈.故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合以及函数的综合运用,需要根据题意画出对应的函数图像,再分析abc 中的定量关系进行化简从而求得范围.属于中等题型.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值，且满足f （6π-）+f （3π）＝0，则实数φ的取值范围是（ ）A ．（56π-，6π） B ．（23π-，3π） C ．（3π-，23π） D ．（6π-，56π）【答案】D【解析】根据题意可画图分析确定()f x 的周期,再列出在区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值可画出简图,又063f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故周期T 满足()236T T πππ=--⇒=.故22ππωω=⇒=.故()sin(2)f x x ϕ=+.又πϕπ-<<,故322325662262πππϕππϕπππϕ⎧<⨯+<⎪⎪⇒-<<⎨⎛⎫⎪-<⨯-+< ⎪⎪⎝⎭⎩.故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦型函数图像的综合运用,需要根据题意列出端点处的函数对应的表达式求解.属于中等题型.二、填空题13．设扇形的半径长为4cm ，面积为16cm 2，则其圆心角的弧度数是_____． 【答案】2．【解析】根据面积公式直接求解即可. 【详解】由题意,设圆心角的弧度数为α则2116422αα=⨯⇒=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题型.14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），当0≤x ≤2时，f （x ）＝x 2，则f （10）＝_____． 【答案】4【解析】根据奇函数以及()()22f x f x +=-,将(10)f 中自变量变换到[]0,2内求解即可. 【详解】因为奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-,故(10)(28)(28)(6)(6)(24)(24)f f f f f f f =+=-=-=-=-+=--2(2)(2)24f f =--===.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数性质求解函数值的问题,需要根据题中所给的性质将自变量转换到已知解析式的定义域中进行计算.属于中等题型.15．若sin （4πα+）13=，则24cos sin απα=-（）_____． 【答案】23-【解析】利用和差角以及二倍角公式展开求解即可. 【详解】)2222sin cos 2sin 4342cos sin απαααπα⎛⎫==+=-+=- ⎪⎝⎭-（）. 故答案为：23- 【点睛】本题主要考查了和差角公式以及二倍角公式等.属于中等题型. 16．若函数f （x ）＝sin 211x x +-是区间[a ，+∞）上的单调函数，则实数a 的最小值为_____．【答案】2334ππ+-【解析】讨论211x x +-的单调性,再利用复合函数的单调性分析,利用恒成立问题的求解方法求解即可. 【详解】根据题意,f （x ）＝sin 211x x +-, 设t 211x x +=-,则y ＝sint , t 211x x +==-231x +-,在区间（1,+∞）上为减函数,且t ＞2在（1,+∞）上恒成立, y ＝sint 在区间[2,32π]上为减函数,若函数f （x ）＝sin211x x +-是区间[a ,+∞）上的单调函数,必有21312a a π+≤-,解可得：a 2334ππ+≥-,即a 的最小值为2334ππ+-；故答案为：2334ππ+- 【点睛】本题主要考查了三角函数的综合运用,需要根据题意分析自变量的范围以及单调性对正弦函数的影响等.属于中等题型.三、解答题17．已tanθ＝3，求值： （1）23sin cos sin cos θθθθ-+；（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ．【答案】（1）110（2）85【解析】(1)上下同时除以cosθ再代入tanθ＝3求解即可.(2)将原式化简为222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-+再上下同时除以2cos θ代入tanθ＝3求解即可. 【详解】 （1）∵tanθ＝3,2232133133110sin cos tan sin cos tan θθθθθθ---===++⨯+,（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-=+, 22321tan tan tan θθθ+-=+, 9928915+-==+．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及其运用等.属于基础题型.18．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣3，1）． （1）求sinα的值；（2）已知角β为钝角，且满足cos （α+β）35=，求cosβ的值．【答案】（1）10（2）50-【解析】(1)根据正弦值的定义求解即可.(2)根据凑角的方法得cosβ＝cos [（α+β）﹣α]再求解即可. 【详解】（1）由题意可知：sinα==；（2）由（1）可知cosα==,∴2παπ＜＜, ∵β为钝角,∴2πβπ＜＜,∴π＜α+β＜2π, ∵cos （α+β）35=,∴sin （α+β）45=-,∴cosβ＝cos [（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα50=- 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义求解以及余弦函数差角公式等.属于中等题型.19．函数f （x ）＝（cosx ）cosx ． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间[75126ππ，]上的最小值，以及取得该最小值时x 的值． 【答案】（1）函数的最小正周期为T =π，函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，]，（k ∈Z ）（2）x 23π=时，f （x ）取得最小值12- 【解析】(1)利用降幂公式与和差角公式将函数化简成()()sin f x A x B ωϕ=++ 的结构再求解即可.(2)根据三角函数图像性质求解即可. 【详解】（1）f （x ）＝cos 2x 2122cos x +=+sin 2x ＝sin （2x 6π+）12+ ∴函数的最小正周期为T 22π==π, 由2kπ2π-≤2x 6π+≤2kπ2π+（k ∈Z ）,解得k 36x k ππππ-≤≤+,∴函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，],（k ∈Z ）；（2）当x ∈[712π,56π]时,可得：4112366x πππ≤+≤,∴当2x 362ππ+=时,即x 23π=时,f （x ）取得最小值12-．【点睛】本题主要考查了降幂公式与和差角公式化简三角函数的方法,同时也考查了根据函数图像与性质求最值的方法等.属于中等题型.20．已知函数f （x ）2222x x -=+．（1）求f （﹣1）+f （3）的值； （2）求证：f （x +1）为奇函数；（3）若锐角α满足f （2﹣si nα）+f （cosα）＞0，求α的取值范围． 【答案】（1）0（2）证明见解析（3）04πα∈（，） 【解析】(1)直接求解(1),(3)f f -求和即可. (2)令()(1)g x f x =+证明()()g x g x -=-即可.(3)根据()(1)g x f x =+的奇偶性与单调性化简f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0求解即可. 【详解】（1）331355f f -=-=（），（）,故f （﹣1）+f （3）＝0； （2）证明：：令g （x ）＝f （x +1）,则2121x x g x -=+（）,此时21122112x xx xg x g x -----===-++（）（）, ∴函数g （x ）为奇函数,即f （x +1）为奇函数；（3）由（2）可得函数21212121x x xg x -==-++（）, 函数g （x ）的定义域为R ,任取x 1＜x 2∈R ,122112122222*********x x x x x x g x g x --=-=++++（）（）（）（）（）, ∵x 1＜x 2,∴12220x x -＜,则g （x 1）﹣g （x 2）＜0,∴函数g （x ）在R 上为增函数,且f （2﹣sinα）＝g （1﹣sinα）,f （cosα）＝g （cosα﹣1）,∴f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0即为g （1﹣sinα）+g （cosα﹣1）＞0, 又∵奇函数g （x ）在R 上为增函数,∴1102sin cos πααα--∈＞，（，）,解得4πα∈（0，）．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性判定以及利用奇偶性与单调性求不等式的方法等.属于中等题型.21．如图，OB 、CD 是两条互相平行的笔直公路，且均与笔直公路OC 垂直（公路宽度忽略不计），半径OC ＝1千米的扇形COA 为该市某一景点区域，当地政府为缓解景点周边的交通压力，欲在圆弧AC 上新增一个入口E （点E 不与A 、C 重合），并在E 点建一段与圆弧相切（E 为切点）的笔直公路与OB 、CD 分别交于M 、N ．当公路建成后，计划将所围成的区域在景点之外的部分建成停车场（图中阴影部分），设∠CON ＝θ，停车场面积为S 平方千米．（1）求函数S ＝f （θ）的解析式，并写出函数的定义域；（2）为对该计划进行可行性研究，需要预知所建停车场至少有多少面积，请计算当θ为何值时，S 有最小值，并求出该最小值． 【答案】（1）f （θ）11224tan sin πθθ=+-（），θ∈（0，4π）（2）6πθ=时，S 取得最【解析】(1) 连接OE ,根据平面几何的性质分析边角关系即可.(2)根据(1)中的函数表达式,令tanθ＝t ,再化简利用基本不等式,根据“一正二定三相等”的方法求得最小值以及取最小值时的角度大小即可. 【详解】（1）连接OE ,∵∠CON ＝θ,∴22EOM π∠θ=-,CN ＝NE ＝tanθ,OM 11222sin cos πθθ==-（）, ∴1122OMNC S tan sin θθ=+四边形（）, 则f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）； （2）由f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）． 令tanθ＝t ,θ∈（0,4π）,则t ∈（0,1）,则S 21131322443444t t t t t πππ+=+-=+-≥⋅=（）（）当且仅当13t t =,即t =时,S此时tanθ=,6πθ=．【点睛】本题主要考查了三角函数在平面几何中的运用,同时也考查了利用基本不等式求解函数的最值问题等.属于中等题型.22．定义在R 上的两个函数f 1（x ）＝|sinx ﹣a |和f 2（x ）＝cos 2x ，其中a ∈R ． （1）当a ＝0时，若存在实数x 0使得f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ，求实数k 的值； （2）设函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ），求f （x ）最小值g （a ）的表达式．【答案】（1）k =2）g （a ）＝25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜， 【解析】(1)利用题目条件列出|sinx 0|＝cos 2x 0＝k ,再根据关于二次函数的复合函数方法求解即可.(2)分a ≥1, a ≤﹣1与﹣1＜a ＜1三种情况进行分析,同时结合正弦函数的取值范围进行讨论,再分段讨论函数的最值即可. 【详解】（1）当a ＝0时,f 1（x ）＝|sinx |,f 2（x ）＝cos 2x ； 由f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ,得|sinx 0|＝cos 2x 0＝k ,∴|sinx 0|＝1﹣sin 2x 0＝120sinx -,解得|sinx 0|＝1|sinx 0|=（不合题意,舍去）,所以k =； （2）由题意知,函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ）＝|sinx ﹣a |﹣cos 2x ,①当a ≥1时,f （x ）＝a ﹣sinx ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x ﹣sinx +a ﹣1,此时g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； ②当a ≤﹣1时,f （x ）＝sinx ﹣a ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x +sinx ﹣a ﹣1,此时g （a ）＝f （x ）min 21122=---（）a ﹣1＝﹣a 54-； ③当﹣1＜a ＜1时,f （x ）2211sin x sinx a sinx asin x sinx a sinx a⎧+--≥=⎨-+-⎩，，＜；若12＜a ＜1,则g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； 若﹣1＜a 12-＜,则g （a ）＝f （x ）min 212=-+（）（12-）﹣a ﹣1＝﹣a 54-； 若1122a -≤≤,则g （a ）＝f （x ）min ＝a 2﹣a +a ﹣1＝a 2﹣1；综上知,f （x ）最小值g （a ）的表达式为g （a ）＝f （x ）min 25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜，．【点睛】本题主要考查了关于正弦函数的二次复合函数问题,包括二次函数的求根以及最值范围的问题以及分类讨论的思想等.属于难题.。
湖北省孝感一中、应城一中等五校2017-2018学年高一上学期期末联考数学试题
2017-2018学年度五校上学期期末考试高一数学参考答案一、选择题二、填空题:13、错误！未找到引用源。
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16、③④三、解答题：17、（本小题满分10分）解：（1）错误！未找到引用源。
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(12)19、（本小题满分12分）解：（1）（必修四第108页B组第4题改编）取错误！未找到引用源。
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(12)20、（本小题满分12分）解：（1）由图知，错误！未找到引用源。
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湖北省长阳中学2017-2018学年高一数学上学期期末考试题(含精品解析)
2017-2018学年湖北省宜昌市长阳中学高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.若向量=（2，3），=（4，6），则=（）A. B. C. D.2.已知sinα+cosα=-，则sin2α=（）A. B. C. D.3.下列区间中，使函数y=sin x为增函数的是（）A. B. C. D.4.已知向量=（1，2），=（x，-4），若 ∥，则x=（）A. 4B.C. 2D.5.若f（x）是偶函数，其定义域为（-∞，+∞），且在[0，+∞）上是减函数，则f（-4）与f（3）的大小关系是（）A. B. C. D. 不能确定6.已知集合A={1，2，3}，B={x|-1＜x＜3，x∈Z}，则A∪B等于（）A. B. C. 1，2， D. 2，7.函数f（x）=lg（2x-1）的定义域为（）A. RB.C.D.8.下列各组函数中，表示同一函数的是（）A. ，B. ，C. ，D. ，9.f（x）=，＞，，＜，则f{f[f（-1）]}等于（）A. 0B.C.D. 910.函数y=x-2在[，1]上的最大值是（）A. B. C. D. 411.函数f（x）=2x+x-2的零点所在的区间是（）A. B. C. D.12.函数y=log（2x-x2）的单调减区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.cos300°的值等于______．14.若log a3=m，log a2=n，a m+2n=______．15.函数y=a x-2+2（a＞0且a≠1）一定过定点______．16.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜）的图象如图所示，则函数的解析式为f（x）=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，求：A∩B，A∪B，（∁U A）∩B，（∁U B）∩A，（∁U A）∩（∁U B）．18.已知向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，（1）求•；（2）求|+|．19.（1）已知cos b=-，且b为第二象限角，求sin b的值．（2）已知tanα=2，计算的值．20.已知=（1，1），=（1，-1），当k为何值时：（1）k+与-2垂直？（2）k+与-2平行？21.（1）已知f（x）是一次函数，且f[f（x）]=9x+4，求f（x）的解析式．（2）已知f（x）为二次函数，且f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，求f（x）．22.设向量=（sin2x，cos x+sin x），=（1，cos x﹣sin x），其中x∈R，函数f（x）=•．（1）求f（x）的最小正周期；（2）若f（θ）=1，其中0＜θ＜，求cos（θ﹣）的值．答案和解析1.【答案】A【解析】解：根据题意，向量=（2，3），=（4，6），则=-=（-2，-3）；故选：A．根据题意，由向量运算的三角形法则可得=-，由向量的减法运算公式计算可得答案．本题考查向量的坐标计算，关键是掌握向量加减法的坐标计算公式．2.【答案】D【解析】解：把sinα+cosα=-两边平方得：（sinα+cosα）2=sin2α+2sinαcosα+cos2α=1+sin2α=，则sin2α=-．故选D把已知的等式两边平方，左边利用同角三角函数间的基本关系及二倍角的正弦函数公式化简，整理后即可求出sin2α的值．此题考查了二倍角的正弦函数公式，以及同角三角函数间的基本关系，熟练掌握公式及基本关系是解本题的关键．3.【答案】B【解析】解：函数y=sinx其增函数对应的单调递增区间为：[，]，k∈Z．令k=0，可得，故选：B．根据正弦函数的性质即可求解．本题考查了正弦三角函数的图象，单调递增区间的求法．比较基础．4.【答案】D【解析】解：∵∥，∴-4-2x=0，解得x=-2．故选：D．利用向量共线定理即可得出．本题考查了向量共线定理，属于基础题．5.【答案】A【解析】解：f（x）是偶函数，其定义域为（-∞，+∞），且在[0，+∞）上是减函数，则f（-4）=f（4），且f（4）＜f（3），则f（-4）＜f（3），故选：A．由题意可得f（-4）=f（4），且f（4）＜f（3），即可得到所求大小关系．本题考查函数的奇偶性和单调性的运用：比较大小，考查运算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：∵B={x|-1＜x＜3，x∈Z}={0，1，2}，∴A∪B={0，1，2，3}，故选：C根据集合并集的定义进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据并集的定义是解决本题的关键．比较基础．7.【答案】D【解析】解：函数f（x）=lg（2x-1）有意义，可得2x-1＞0，解得x＞，则定义域为（，+∞）．故选：D．函数f（x）=lg（2x-1）有意义，可得2x-1＞0，解不等式即可得到所求定义域．本题考查函数的定义域的求法，注意对数的真数大于0，考查运算能力，属于基础题．8.【答案】C【解析】解：A．函数g（x）=x0的定义域为{x|x≠0}，所以两个函数的定义域不同，所以A不是相同函数B．g（x）==x-2，g（x）的定义域为{x|x≠-2}，所以两个函数的定义域不同，所以B不是相同函数．C．由g（x）==|x|，得两个函数的定义域和对应法则，所以C表示的是相同函数．D．g（x）=（）2=x，x≥0，两个函数的定义域不相同则，所以D表示的是不是相同函数．故选：C．分别判断两个函数的定义域和对应法则是否相同即可．本题考查了判断两个函数是否是同一个函数．判断的标准是看两个函数的定义域和对应法则是否相同．9.【答案】B【解析】解：由分段函数的表达式得f（-1）=0，f（0）=π，f（π）=π2，故f{f[f（-1）]}=π2，故选：B根据分段函数的表达式，利用代入法进行求解即可．本题主要考查函数值的计算，根据分段函数的表达式，利用代入法是解决本题的关键．10.【答案】D【解析】解：根据幂函数的性质函数在[，1]递减，故x=时，函数取最大值，最大值是4，故选：D．根据幂函数的单调性求出函数的最大值即可．本题考查了函数的单调性问题，以及根据函数的单调性求出函数的最值，是一道基础题．11.【答案】B【解析】解：因为函数f（x）=2x+x-2为递增函数，f（-1）=-1-2=-＜0，f（0）=20+0-2=-1＜0，f（1）=2+1-2=1＞0，f（2）=4＞0，f（3）=9＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选B．将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．12.【答案】A【解析】解：令t=2x-x2＞0，求得0＜x＜2，可得函数的定义域为{x|0＜x＜2}，且y=log t，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质可得函数t在定义域内的增区间为（0，1]，故选：A．令t=2x-x2＞0，求得函数的定义域，且y=log t，本题即求函数t在定义域内的增区间，再利用二次函数的性质求得函数t在定义域内的增区间．本题主要考查复合函数的单调性，二次函数、对数函数的性质，属于中档题．13.【答案】【解析】解：cos300°=cos（-60°）=cos60°=，故答案为：．利用诱导公式进行化简所给的式子，可得结果．本题主要考查应用诱导公式化简三角函数式，要特别注意符号的选取，这是解题的易错点，属于基础题．14.【答案】12【解析】解：由log a3=m，log a2=n，得a m=3，a n=2，则a m+2n=a m•a2n=3×4=12．故答案为：12．由对数函数化为指数函数，然后由指数函数的运算性质计算得答案．本题考查了对数函数和指数函数的运算性质，是基础题．15.【答案】（2，3）【解析】【分析】本题考查指数型函数的图象恒过定点问题，关键是掌握此类问题的求法，是基础题．由指数式的指数等于0求得x值，进一步求得y值，则答案可求．【解答】解：由x-2=0，得x=2，此时y=3．∴函数y=a x-2+2（a＞0且a≠1）一定过定点（2，3）．故答案为（2，3）．16.【答案】【解析】解：由题意可知A=3，T=2（）=4π，ω==，当x=时取得最大值3，所以3=3sin（+φ），sin（）=1，，∵，所以φ=，函数f（x）的解析式：f（x）=．故答案为：．由题意求出A，T，利用周期公式求出ω，利用当x=时取得最大值3，求出φ，得到函数的解析式，即可．本题是基础题，考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期的求法，考查计算能力，常考题型．17.【答案】解：∵全集U={0，1，2，3，4，5，6，7，8}，集合A={0，1，3，5，8}，集合B={2，4，5，6，8}，则∁U A={2，4，6，7}，∁U B={0，1，3，7}∴A∩B={5，8}，A∪B={0，1，2，3，4，5，6，8}，（∁U A）∩B={2，4，6}，（∁U B）∩A={0，1，3}，（∁U A）∩（∁U B）={7}．【解析】根据集合的基本运算进行求解即可．本题主要考查集合的基本运算，根据交集并集和补集的定义是解决本题的关键．比较基础．18.【答案】解：（1）向量，的夹角为60°，且||=4，||=2，可得•=4×2×cos60°=8×=4；（2）|+|=====2．【解析】（1）运用向量数量积的定义，计算即可得到所求值；（2）运用向量数量积的性质：向量的平方即为模的平方，计算即可得到所求值．本题考查向量数量积的定义和性质，主要是向量的平方即为模的平方，考查运算能力，属于基础题．19.【答案】解：（1）∵cos b=-，且b为第二象限角，∴sin b==．（2）∵已知tanα=2，∴===．【解析】（1）由题意利用同角三角函数的基本关系求得sinb的值．（2）由题意利用同角三角函数的基本关系求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，属于基础题．20.【答案】解：（1）=（1，1），=（1，-1），可得k+=（k+1，k-1），-2=（-1，3），由题意可得（k+）•（-2）=0，即为-（1+k）+3（k-1）=0，解得k=2，则k=2，可得k+与-2垂直；（2）k+与-2平行，可得3（k+1）=-（k-1），解得k=-，则k=-，可得k+与-2平行．【解析】（1）求得k+=（k+1，k-1），-2=（-1，3），由向量垂直的条件：数量积为0，解方程即可得到所求值；（2）运用两向量平行的条件可得3（k+1）=-（k-1），解方程即可得到所求值．本题考查向量的平行和垂直的条件，注意运用坐标表示，考查运算能力，属于基础题．21.【答案】解：∵f（x）是一次函数，∴设f（x）=ax+b，（a≠0），则f[f（x）]=f[ax+b]=a（ax+b）+b=a2x+ab+b，又∵f[f（x）]=9x+4，∴a2x+ab+b=9x+4，即，解得或，∴f（x）=3x+1或f（x）=-3x-2；（2）∵f（x）为二次函数，∴设f（x）=ax2+bx+c，（a≠0），∵f（0）=2，∴c=2．由f（x+1）-f（x）=x-1，即a（x+1）2+b（x+1）+2-ax2-bx-2=x-1，解得：a=，b=-，∴f（x）的解析式为：f（x）=x2-x+2．【解析】（1）由题意，设f（x）=ax+b，代入f[f（x）]中，利用多项式相等，对应系数相等，求出a、b的值即可；（2）由题意，设f（x）=ax2+bx+c，由f（0）=2，f（x+1）-f（x）=x-1，利用待定系数法求解即可．本题考查了求函数解析式的问题，解题时应用待定系数法，设出函数的解析式，求出系数即可，是中档题．22.【答案】解：（1）由题意得：f（x）=sin2x+（cos x+sin x）•（cos x-sin x），=sin2x+cos2x=2sin（2x+），故f（x）的最小正周期T==π（2）由（1）可知，f（θ）=2sin（2θ+）若f（θ）=1，则sin（2θ+）=又因为0＜θ＜，所以＜2θ+＜，则2θ+=，故θ=当θ=时，cos（θ-）=cos（-）=，∴cos（θ-）的值．【解析】（1）根据向量的坐标运算，二倍角公式及辅助角公式，求得f（x）=2sin（2x+），由T=，即可求得f（x）的最小正周期；（2）由f（θ）=1，及0＜θ＜，即可求得θ，代入即可求得答案．本题考查三角恒等变换，正弦函数的性质，特殊角的三角函数值，考查转化思想，属于中档题．。
湖北省部分重点中学2016-2017学年高一上学期期末联考数学试题 Word版含答案
2016年秋季湖北省部分重点中学期末联考高一数学试卷一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若集合{}3A x x =<，{}0B x x =>，则A B = （ ）A ．{}03x x <<B ．{}0x x >C ．{}3x x <D ．R 2.已知α是锐角，那么2α是（ ）A ．第一象限角B ．第二象限角C ．第一或第二象限角D ．小于180︒的正角3.对于任意两个向量a b，，下列说法正确的是（ ） A ．若a b ，满足a b >，且a 与b 同向，则a b >B ．当实数0λ＝时，0a λ=C ．a b a b ⋅≤D ．a b a b -≤-4.已知扇形的周长是6cm ，面积是22cm ，则扇形的圆心角的弧度数是（ ） A ．1 B ．4 C.1或4 D ．2或45.设0.32a =，20.3b =，2log 3c =，则a b c ，，的大小关系是（ ） A ．a b c << B ．c b a << C.c a b << D ．b a c <<6.已知5AB a b =+ ，28BC a b =-+ ，()CD a b λ=-，且A ，B ，D 三点共线，则λ的值为（ ）A ．3B ．3- C.2 D ．2-7.某同学骑车上学，离开家不久，发现作业本忘家里了，于是返回家找到作业本再上学，为了赶时间快速行驶，下图中横轴表示出发后的时间，纵轴表示离学校的距离，则较符合该同学走法的图是（ ）A ．B ． C. D ．8.把函数()sin 36f x x π⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭的周期扩大为原来的2倍，再将其图象向右平移3π个单位长度，则所得图象的解+析式为（ ）A ．sin 66y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭B ．cos6y x = C.23sin 32x y π⎛⎫=- ⎪⎝⎭D ．3sin 62y x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭9.若12e e ，是夹角为60︒的两个单位向量，122a e e =+ ，1232b e e =-+ ，则a b，的夹角为（ ）A ．60︒B ．120︒ C.30︒ D ．150︒ 10.设函数()f x =K ，定义函数()()()()K f x f x Kf x K f x K⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，，，若对于函数()f x =x ，恒有()()K f x f x =，则（ ）A ．K的最小值为．K 的最大值为1 C.K的最大值为．K 的最小值为111.如图，ABC △的外接圆的圆心为O ，2AB =，3AC =，BC =则AO BC ⋅=（ ）A ．32 B ．52C.2 D ．3 12.已知函数()()sin 06f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭在403π⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递增，在423ππ⎛⎤ ⎥⎝⎦，上单调递减，当[]2x ππ∈，时，不等式()33m f x m -≤≤+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ） A ．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦， B ．()2-∞-， C. 542⎡⎤-⎢⎥⎣⎦， D ．722⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13.点C 在线段AB 上，且52AC CB =，AC AB λ=，BC AB μ= ，则λμ+= ． 14.某班共有50名学生，通过调查发现有30人同时在张老师和王老师的朋友圈，只有1人不在任何一个老师的朋友圈，且张老师的朋友圈比王老师的朋友圈多7人，则张老师的朋友圈有 人．15.已知α为第四象限角，化简cos sin += ．16.已知函数()()()5log 3333x x f x x ⎧-≠⎪=⎨=⎪⎩，，，若函数()()()2F x f x bf x c =++有五个不同的零点125x x x ，，…，，则()125f x x x +++=… ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17. （本小题满分12分）已知集合{}3327x A x =≤≤，{}2log 1B x x =>． （1）求()R A C B ；（2）已知集合{}1C x x a =<<，若C A C = ，求实数a 的取值集合． 18. （本小题满分12分） 已知()()()()()()2sin cos 2tan sin tan 3a a a f a a a πππππ-⋅-⋅-+=-+⋅-+．（1）化简()f a ； （2）若()18f a =，且42a ππ<<，求cos sin a a -的值； （3）若313a π=-，求()f a 的值． 19. （本小题满分12分） 已知sin 213a x π⎛⎫⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，，)1b =- ，，()f x a b =⋅．（1）求()f x 的周期及单调减区间；（2）已知02x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，求()f x 的值域．20. （本小题满分12分） 设a 是实数，()()221x f x a x R =-∈+． （1）证明：()f x 是增函数；（2）是否存在实数a ，使函数()f x 为奇函数？ 21. （本小题满分12分）某工厂生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产一百台，需要新增加投入2.5万元．经调查，市场一年对此产品的需求量为500台，销售收入为()2162R t t t =-（万元），()05t <≤，其中t 是产品售出的数量（单位：百台）． （1）把年利润y 表示为年产量x （单位：百台：的函数； （2）当年产量为多少时，工厂所获得年利润最大？ 22. （本小题满分12分）如图，在OAB △中，14OC OA = ，12OD OB =，AD 与BC 交于点M ，设OA a = ，OB b = ．（1）用a b ，表示OM；（2）在线段AC 上取一点E ，在线段BD 上取一点F ，使EF 过点M ，设OE pOA =，OF qOB = ，求证：13177p q+=． 2016～2017学年度上学期孝昌一中、应城一中、孝感一中三校期末联考高一数学参考答案一、选择题二、填空题:13．7314．43 15．ααsin cos - 16．12log 5 三、解答题：本大题共6小题，共75分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17、（本小题满分10分）解：(1)}31|{}2733|{≤≤=≤≤=x x x A x ……………….1分}2|{}1log |{2>=>=x x x x B ,}2{≤=∴x x B C R ………………….2分∴)(B C A R }.2x 1{x ≤≤= ………………….4分(2) C A C = A C ⊆∴. ………………….5分 ①当1a ≤时，C =∅，此时C A ⊆； ………………….7分 ②当1a >时，C A ⊆，则1a 3<≤； ………………….9分综合①②，可得a 的取值范围是(]3，∞- ………………….10分 18、（本小题满分12分）解: (1) 由诱导公式 f (α)＝sin 2α·cos α·tan α －sin α －tan α ＝sin α·cosα. …………….4分(2)由f (α)＝sin αcos α＝18可知(cos α－sin α)2＝cos 2α－2sin αcos α＋sin 2α＝1－2sin αcos α＝1－2×18＝34. ……….6分 又∵π4<α<π2，∴cos α<sin α，即cos α－sin α<0.∴cos α－sin α＝－32. ………8分 (3) ∵α＝－31π3＝－6×2π＋5π3， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－31π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3·sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－6×2π＋5π3＝cos 5π3·sin 5π3＝12·⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝－34. …….12分 19、（本小题满分12分） 解：(1) 1)32sin(3)(--=⋅=πx b a x f …………………1 分所以)(x f 的周期ππ==22T . …………………3 分 令3511222,2321212k x k k x k πππππππππ+≤-≤++≤≤+解得1211125ππππ+≤≤+k x k …………………5 分 511[,],1212k k k Z ππππ∴++∈为)(x f 的单调减区间. …………………6 分(2) 因为20,2,sin(2)123333x x x πππππ≤≤-≤-≤≤-≤ ……………9分所以.251)23(3)(min -=--⋅=x f .13113)(max -=-⋅=x f ……11分 所以)(x f 的值域为]13,25[--………………12分20、（本小题满分12分） 解：(1)证明：设x 1＜x 2，则 f (x 2)－f (x 1)＝＞0，即f (x 2)＞f (x 1)．∴f (x )在R 上为增函数． …………………………….. 6分 (2) 存在a =1，使)(x f 为奇函数 …………………………….. 8分 若)(x f 为奇函数，则f (－x )＝a －22－x ＋1＝a －2x ＋11＋2x，－f (x )＝－a ＋22x ＋1，由 f (－x )＝－f (x )，得a －2x ＋11＋2x ＝－a ＋22x＋1， …………………………….10分 ∴(a －1)(2x ＋1)＝0恒成立，∴a ＝1. …………………………….. 12分 （也可先由0)0(=f 得到a =1，将a =1代入解+析式，再证明)(x f 为奇函数.） 21、（本小题满分12分） 解：（1）当05x <≤时21()60.5 2.52f x x x x =---213.50.52x x =-+- …………3分 当5x >时21()6550.5 2.52f x x =⨯-⨯--17 2.5x =- …………5分即=y 21 3.50.5()217 2.5x x f x x⎧-+-⎪=⎨⎪-⎩ (05)(5)x x <≤> …………6分（2）当05x <≤时21()(71)2f x x x =--+21745()228x =--+ ∴当 3.5(0.5]x =∈时，max 45() 5.6258f x == ………………8分 当5x >时，()f x 为(5,)+∞上的减函数, 则()(5)17 2.55 4.5f x f <=-⨯= ….10分 又5.625 4.5>∴max ()(3.5) 5.625f x f == ……….11分故当年产量为350台时，工厂所获年利润最大. …………12分22、（本小题满分12分）(1)解 设OM →＝m a ＋n b ，则AM →＝(m －1)a ＋n b ，AD →＝－a ＋12b .∵点A 、M 、D 共线，∴AM →与AD →共线，∴m －1－1＝n12，∴m ＋2n ＝1.① …………3分CM →＝OM →－OC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫m －14a ＋n b ，CB →＝－14a ＋b .∵点C 、M 、B 共线，∴CM →与CB →共线，∴m －14－14＝n1， ∴4m ＋n ＝1.② …………6分联立①②可得m ＝17，n ＝37，∴OM →＝17a ＋37b . …………8分(2)证明 EM →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫17－p a ＋37b ，EF →＝－p a ＋q b ， ∵EF →与EM →共线， ∴17－p－p ＝37q，∴17q －pq ＝－37p ，即17p ＋37q ＝1. ……………12分。
2017-2018学年湖北省黄冈市高一(上)期末数学试卷(解析版)
2017-2018学年湖北省黄冈市高一（上）期末数学试卷一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合M={-1，0，1}，N={x|x=ab，a，b∈M，且a≠b}，则集合N的真子集个数为（）A. 8B. 7C. 4D. 32.已知幂函数f（x）=（2n2-n）x n+1，若在其定义域上为增函数，则n等于（）A. 1，−12B. 1 C. −12D. −1,123.如图，设全集U=R，M={x|x≤1，x∈R}，N={x|x≤0或x≥2}，则图中阴影部分表示的集合为（）A. {x|1≤x≤2}B. {x|1≤x<2}C. {x|1<x≤2}D. {x|1<x<2}4.已知弧度数为2的圆心角所对的弦长也是2，则这个圆心角所对的弧长是（）A. 2B. 2sin1C. 2sin1D. sin25.已知函数f（x）=tan（2x+π3），则下列说法正确的是（）A. f(x)在定义域是增函数B. f(x)的对称中心是(kπ4−π6,0)(k∈Z)C. f(x)是奇函数D. f(x)的对称轴是x=kπ2+π12(k∈Z)6.向一杯子中匀速注水时，杯中水面高度h随时间t变化的函数h=f（t）的大致图象如图所示，则杯子的形状可能是（）A.B.C.D.7.已知非零向量AB与AC满足(AB|AB|+AC|AC|).BC=0且AB|AB|⋅AC|AC|=12．则△ABC为（）A. 等边三角形B. 直角三角形C. 等腰非等边三角形D. 三边均不相等的三角形8.若a=(67)−1，b=(76)1，c=log278，定义在R上的奇函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）且x1≠x2都有f(x1)−f(x2)x1−x2＜0，则f（a），f（b），f（c）的大小顺序为（）A. f(b)<f(a)<f(c)B. f(c)>f(b)>f(a)C. f(c)>f(a)>f(b)D. f(b)>f(c)>f(a)9.要得到函数f(x)=cos(2x−π6)的图象，只需将函数g（x）=sin2x的图象（）A. 向左平移π6个单位 B. 向右平移π6个单位 C. 向左平移π3个单位 D. 向右平移π3个单位10.已知O是三角形ABC内部一点，且OA+2OB+OC=0，则△OAB的面积与△OAC的面积之比为（）A. 12B. 1 C. 32D. 211.已知函数f（x）=x3，x∈R，若当0≤θ＜π2时，f（m sinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是（）A. (0,1)B. (−∞,0)C. (1,+∞)D. (−∞,1)12.函数的定义域为D，若满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在区间[a，b]，使f（x）在区间[a，b]上的值域为[a2，b2]，那么就称函数为“减半函数”，若函数f(x)=log c(2c x+t)(c＞0，c≠1)是“减半函数”，则t的取值范围为（）A. (0,1)B. (0,1]C. (−∞,18] D. (0,18)二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4），则sin(α−2017π2)=______．14. 已知函数f （x ）= x 2,x <0f (x−2),x≥0，则f （2018）=______．15. 已知函数f （x ）=-sin2ωx （ω＞0）的图象关于点M (5π4，0)对称，且在区间[0，π2]上是单调函数，则ω的值为______．16. 若定义在R 上的函数f （x ），其图象是连续不断的，且存在常数λ（λ∈R ）使得f （x +λ）+λf （x ）=0对任意实数x 都成立，则称f （x ）是一个“λ～特征函数”．则下列结论中正确命题序号为______． ①f （x ）=0是常数函数中唯一的“λ～特征函数”； ②f （x ）=2x -1不是“λ～特征函数”；③“13～特征函数”至少有一个零点； ④f （x ）=e x 是一个“λ～特征函数”． 三、解答题（本大题共6小题，共70.0分） 17. 已知平面上三个向量a ，b ，c ，其中a =(1，2)．（1）若|c |=3 5且a∥c ，求c 的坐标； （2）若|b |=3 5，且(4a −b )⊥(2a +b )，求a 与b 的夹角θ的余弦值．18. （1）计算 (−2)2+(−127)23−log 280+(log 252)−1的值；（2）已知tanα=2，求2sinα−3cosα4sinα−9cosα和sinαcosα的值．19. 若函数f （x ）=A sin （ωx +φ），(A ＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象如图所示．（1）求函数f （x ）的解析式及其对称中心；（2）若将函数f （x ）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函数g （x ）的图象，求函数g （x ）在区间[0，π]上的单调区间．20. “菊花”型烟花是最壮观的烟花之一，制造时一般是期望在它达到最高时爆裂，通过研究，发现该型烟花爆裂时距地面的高度h （单位：米）与时间t （单位：秒）存在函数关系，并得到相关数据如表：（1）根据上表数据，从下列函数中选取一个函数描述该型烟花爆裂时距地面的高度h 与时间t 的变化关系：y 1=kt +b ，y 2=at 2+bt +c ，y 3=ab t ，确定此函数解析式并简单说明理由；（2）利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳时刻，并求此时烟花距地面的高度．21. 已知函数y =x +tx 有如下性质：如果常数t ＞0，那么该函数(0， t )上是减函数，在[ t ，+∞)上是增函数．（1）用函数单调性定义来证明x ∈(0， t )上的单调性；（2）已知f(x)=4x2−12x−3，x∈[0，1]，求函数f（x）的值域；2x+1（3）对于（2）中的函数f（x）和函数g（x）=-x-2a，若对任意x1∈[0，1]，总存在x2∈[0，1]，使得g（x2）=f（x1）成立，求实数a的值．22.已知f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，且f（x）+g（x）=2log2（1-x）．（1）求f（x）及g（x）的解析式及定义域；（2）若关于x的不等式f（2x）-m＜0恒成立，求实数m的取值范围．（3）如果函数F（x）=2g（x），若函数y=F（|2x-1|）-3k•|2x-1|+2k有两个零点，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合M={-1，0，1}，N={x|x=ab，a，b∈M，且a≠b}，∴N={-1，0}．N的真子集有：∅，{-1}，{0}．集合N的真子集个数为：3．故选：D．利用已知条件求出集合N，然后写出真子集即可．本题考查集合的求法，真子集的个数问题，较简单，若N中有n个元素，则其所有子集的数目为2n．2.【答案】C【解析】解：幂函数f（x）=（2n2-n）x n+1，∴2n2-n=1，解得n=1或n=-；又f（x）在其定义域上为增函数，∴n=-时，f（x）=满足题意，即n的值为-．故选：C．根据幂函数的定义与性质，即可求出n的值．本题考查了幂函数的定义与性质的应用问题，是基础题．3.【答案】D【解析】解：由Venn图得阴影部分对应的集合为∁U（M∪N），∵M={x|x≤1，x∈R}，N={x|x≤0或x≥2}，∴M∪N={x|x≤1或x≥2}，则∁U（M∪N）={x|1＜x＜2}，故选：D．根据Venn图进行转化求解即可．本题主要考查集合的基本运算，利用Venn图表示集合关系是解决本题的关键．4.【答案】B【解析】解：如图：∠AOB=2，过点0作OC⊥AB，C为垂足，并延长OC交于D，∠AOD=∠BOD=1，AC=AB=1，Rt△AOC中，AO==，从而弧长为α•r=，故选：B．解直角三角形AOC，求出半径AO，代入弧长公式求出弧长的值．本题考查弧长公式的应用，解直角三角形求出扇形的半径AO的值，是解决问题的关键．5.【答案】B【解析】解：根据正切函数的单调性，可得选项A：f（x）在定义域是增函数，错误；令2x+=，求得x=-，k∈Z，可得f（x）的对称中心是（-，0），k∈Z，故B正确；显然，函数f（x）=tan（2x+）不是奇函数，故选项C错误；显然，函数f（x）=tan（2x+）的图象无对称轴，故选项D错误，故选：B．利用正切函数的单调性以及图象的对称性，得出结论．本题主要考查正切函数的单调性以及图象的对称性，属于基础题．6.【答案】A【解析】解：由已知可得：第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的水面面积不变，第二段上升速度更快，说明第二段水面面积较小，故选：A．由已知可得：第一段和第二段杯中水面高度h匀速上升，故杯子的水面面积不变，但第二段上升速度更快，说明第二段水面面积较小，进而得到答案．本题考查的知识点是函数的图象与图象的变化，难度不大，属于基础题．7.【答案】A【解析】解：因为，所以∠BAC的平分线与BC垂直，三角形是等腰三角形．又因为，所以∠BAC=60°，所以三角形是正三角形．故选：A．通过向量的数量积为0，判断三角形是等腰三角形，通过=求出等腰三角形的顶角，然后判断三角形的形状．本题考查向量的数量积的应用，考查三角形的判断，注意单位向量的应用，考查计算能力．8.【答案】B【解析】解：根据题意，函数f（x）满足：对任意的x1，x2∈[0，+∞）且x1≠x2都有，则f（x）在[0，+∞）上为减函数，又由f（x）为定义在R上的奇函数，则函数f（x）在（-∞，0]上为减函数，则函数f（x）在R上为减函数，c=log2＜0，=，而，则a＞b＞0，故f（c）＞f（b）＞f（a）．故选：B．根据题意，由函数单调性的定义可得f（x）在[0，+∞）上为减函数，结合函数的奇偶性可得函数f（x）在R上为减函数，进而可得=log2＜0且a＞b＞0，结合函数的单调性分析可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数在R上的单调性，属于综合题．9.【答案】A【解析】解：将函数g（x）=sin2x=cos（2x-）的图象向左平移个单位，可得函数的图象，故选：A．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．10.【答案】A【解析】解：△ABC中，由，得+=-2=2，∴=（+），设D是AC的中点，则=（+），∴=，O为中线BD的中点，∴△AOB，△AOD，△COD的面积相等，∴△AOB与△AOC的面积之比为1：2．故选：A．由题意，利用平面向量的线性运算法则与中线的性质，得出O为中线BD的中点，由此求得△AOB与△AOC的面积比．本题考查了平面向量的线性运算与应用问题，是基础题．11.【答案】D【解析】解：函数f（x）=x3，x∈R，可得f（x）时奇函数，由f（msinθ）+f（1-m）＞0，可得：f（msinθ）＞f（m-1），f（x）=x3，在R上递增，∴msinθ＞m-1，那么m（1-sinθ）＜1；∵，∴0≤sinθ＜1．则0＜1-sinθ≤1．∴f（msinθ）+f（1-m）＞0恒成立，则实数m的取值范围是：m＜1；故选：D．根据f（x）=x3，可得f（x）时奇函数，在R上递增，可得f（msinθ）＞f（m-1），脱去“f”，即可求解．本题主要考查了函数恒成立问题的求解，转化思想的应用，三角函数闭区间是的最值的应用．12.【答案】D【解析】解：∵f（x）=log c（2c x+t）（c＞0，c≠1），c＞1或0＜c＜1，f（x）都是R上的增函数，∴f（a）=a，且f（b）=b，即log c（2c x+t）=x，即2c x+t=c有两不等实根，令c=m（m＞0），∴t=m-2m2有两不等正根，∴，解得0＜t＜．故选：D．根据指数函数和对数函数的图象和性质以及复合函数的单调性可知f（x）都是R上的增函数，再根据“减半函数”的定义得到log c（2c x+t）=x，构造关于m的方程，根据根与系数的关系，即可得到结论．本题考查了新定义，以及对数函数指数函数的图象和性质，复合函数的单调性，方程根的问题，属于中档题．13.【答案】-35【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，角α的终边经过点P（3，4），∴cosα==，则=sin（α-1018π-）=sin（α-）=-cosα=-，故答案为：．由题意利用任意角的三角函数的定义，诱导公式，求得要求式子的值．本题主要考查任意角的三角函数的定义，诱导公式，属于基础题．14.【答案】4【解析】解：∵函数f（x）=，当x≥0时，函数是周期函数，周期为2，∴f（2018）=f（0）=f（-2）=（-2）2=4．故答案为：4．由2018＞0，得f（2018）=f（-2），利用分段函数的解析式，求出结果．本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用．15.【答案】25【解析】解：由题意图象关于点对称，∴2ω×=kπ，k∈Z可得：ω=在区间上是单调函数，即T，可得：T≥2π，那么：2ω≤1，∴0＜ω≤当k=1时，可得ω=．故答案为：．将点带入可得关系ω的方程，根据在区间上是单调函数，即可确定ω的值本题主要考查三角函数的图象和性质的应用．属于基础题．16.【答案】②③④【解析】解：对于①，设f （x ）=C 是一个“λ～特征函数”，则（1+λ）C=0，当λ=-1时，可以取遍实数集， 因此f （x ）=0不是唯一一个常值“λ～特征函数”，①错误；对于②，f （x ）=2x-1时，f （x+λ）+λf （x ）=2（x+λ）-1+λ（2x-1）=0，即2（λ+1）x=1-λ， ∴当λ=-1时，f （x+λ）+λf （x ）=2≠0； λ≠-1时，f （x+λ）+λf （x ）=0有唯一解，∴不存在常数λ（λ∈R ）使得f （x+λ）+λf （x ）=0对任意实数x 都成立， ∴f （x ）=2x-1不是“λ～特征函数”，②正确；对于③，令x=0，得f （）+f （0）=0，所以f （）=-f （0），若f （0）=0，显然f （x ）=0有实数根；若f （0）≠0，f （）•f （0）=-[f （0）]2＜0．又因为f （x ）的函数图象是连续不断，所以f （x ）在（0，）上必有实数根．因此任意的“λ～特征函数”必有根，即任意“～特征函数”至少有一个零点，③正确； 对于④，假设f （x ）=e x 是一个“λ～特征函数”，则e x+λ+λe x =0对任意实数x 成立， 则有e λ+λ=0，而此式有解，所以f （x ）=e x 是“λ～特征函数”，④正确． 综上，结论正确的序号是②③④． 故答案为：②③④．根据新定义“λ～特征函数”，对题目中的命题认真分析，判断正误即可．本题考查了函数的概念与应用问题，也考查了新概念的理解与应用问题，是中档题．17.【答案】解：（1）∵a ∥c ，∴可设c =λa =（λ，2λ）， ∴ λ2+(2λ)2=3 5，解得λ=±3，∴c=（3，6）或（-3，-6） （2）∵(4a −b )⊥(2a +b )，∴(4a -b ）⋅(2a +b )=8a 2+2a ⋅b -b 2=8×5+2a ⋅b -(3 5)2=0， ∴a ⋅b =52，可得cosθ=a⋅b |a |⋅|b|=16． 【解析】（1）由，可设=λ=（λ，2λ），于是=3，解得λ即可得出．（2）由，可得，可得：，即可得出cosθ=．本题考查了平面向量共线定理、数量积运算性质、向量夹角公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． 18.【答案】解：（1）原式=2+19−2(log 216+log 25)+1log 252=2+19−2(4+log 25)+2log 25=19−6 =-539．（2）由tanα=2，那么2sinα−3cosα4sinα−9cosα=2tanα−34tanα−9=2×2−34×2−9=−1， sinαcosα=sinαcosαsin 2α+cos 2α=tanαta n 2α+1=25．【解析】（1）根据指数幂的运算和对数公式求解即可； （2）弦化切即可求解．本题考查指数幂，对数的运算和弦化切的思想，同角三角函数关系式的计算．考查计算能力19.【答案】解：（1）由函数f（x）=A sin（ωx+φ），(A＞0，ω＞0，−π2＜φ＜π2)的部分图象，A=2，34•2πω=π3+5π12，解得ω=2．再结合五点法作图可得2×π3+φ=π2，∴φ=-π6，函数f（x）=2sin（2x+π6）．令2x−π6=kπ，x=kπ2+π12(k∈Z)，∴函数对称中心为(kπ2+π12，0)(k∈Z)．（2）将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得g(x)=2sin(x−π6)的图象，∵0≤x≤π，∴−π6≤x−π6≤5π6，故当-π6≤x-π6≤π2，即0≤x≤2π3时，g（x）为增函数；故当π2≤x-π6≤5π6，即2π3≤x≤π时，g（x）为增函数，故g（x）的增区间为[0，2π3]，减区间为[2π3，π]．【解析】（1）由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，可得函数的解析式，再利用正弦函数的图象的对称性，求得其对称中心．利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，求得g（x）的解析式，再利用正弦函数的单调性，求得函数g（x）在区间[0，π]上的单调区间．本题主要考查由函数y=Asin（ωx+φ）的部分图象求解析式，由函数的图象的顶点坐标求出A，由周期求出ω，由五点法作图求出φ的值，正弦函数的图象的对称性，函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，正弦函数的单调性，属于中档题．20.【答案】解：（1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，故选择取该函数．设h（t）=at2+bt+c，有19=a+b+c23.5=94a+32b+c 19=4a+2b+c．解得a=-18，b=54，c=-17，所以h（t）=-18t2+54t-17，（t≥0），（2）h（t）=-18t2+54t-17=-18（x-32）2+23.5，∴当烟花冲出后1.5s是爆裂的最佳时刻，此时距地面的高度为23.5米【解析】（1）由表中数据分析可知，烟花距地面的高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势，则在给定的三类函数中，只有y2可能满足，设h（t）=at2+bt+c，利用待定系数法将表格所提供的三组数据代入，列方程组求出函数解析式；（2）由二次函数的图象与性质，求出即可．本题考查了二次函数模型的应用问题，也考查了利用二次函数的图象与性质求函数最值的问题，确定函数的模型是解题关键．21.【答案】解：（1）证明：设0＜x1＜x2＜t，f（x1）-f（x2）=x1+tx1-x2+tx2=(x1−x2)(x1x2−t)x1x2，又由0＜x1＜x2＜t，则x1-x2＜0，0＜x1x2＜t，则f（x1）-f（x2）＞0，故函数函数y=x+tx在（0，t）上单调递减；（2）y=f(x)=4x2−12x−32x+1=2x+1+42x+1−8，设u=2x+1，x∈[0，1]，则1≤u≤3，则y=u+4u−8，u∈[1，3]．由已知性质得，当1≤u≤2，即0≤x≤12时，f（x）单调递减；所以减区间为[0，12]；当2≤u≤3，即12≤x≤1时，f（x）单调递增；所以增区间为[12，1]；f(0)=−3，f(12)=−4，f(1)=−113，得f（x）的值域为[-4，-3]（3）由（2）知f（x）的值域为[-4，-3]，又g（x）=-x-2a为减函数，故g（x）∈[-1-2a，-2a]，x∈[0，1]．由题意知，f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集， 则有 −2a ≥−3−1−2a≤−4，解可得a =32， 故a 的值为32． 【解析】（1）根据题意，设，利用作差法分析可得结论；（2）根据题意，将函数的解析式变形，设u=2x+1，则，由复合函数的单调性判断方法分析y=f （x ）的单调性，进而求出其最值，即可得函数的值域，即可得答案；（3）根据题意，分析g （x ）的单调性，进而求出g （x ）在[0，1]上的值域，据此可得f （x ）的值域是g （x ）的值域的子集，则有，解可得a 的值，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及复合函数的单调性的判断以及函数的值域，属于综合题． 22.【答案】解：（1）∵f （x ）是奇函数，g （x ）是偶函数，∴f （-x ）=-f （x ），g （-x ）=g （x ），∵f （x ）+g （x ）=2log 2（1-x ），①∴令x 取-x ，代入上式得f （-x ）+g （-x ）=2log 2（1+x ）， 即-f （x ）+g （x ）=2log 2（1+x ），②联立①②可得，f （x ）=log 2（1-x ）-log 2=log 21−x1+x ，-1＜x ＜1， g （x ）=log 2（1-x ）+log 2（1+x ）=log 2（1-x 2），-1＜x ＜1．（2）∵f （x ）=log 21−x 1+x ，∴f （2x）=log 21−2x 1+2，设t =1−2x 1+2，则t =1−2x 1+2=-1+21+2， ∵f （x ）的定义域为（-1，1），2x＞0，∴0＜2x ＜1，1＜1+2x＜2，12＜11+2x ＜1，0＜−1+21+2x ＜1，即0＜t ＜1，log 2t ＜0，∵关于x 的不等式f （2x）-m ＜0恒成立，则m ＞（f （2x ））max ，又∵f （2x）＜0，∴m ≥0， ∴m 的取值范围为m ∈[0，+∞）．（3）F (x )=1−x 2，x ∈(−1，1)，∴−1＜|2x −1|＜1，x ∈(−∞，1)，设t =|2x -1|∈[0，1）∴y =-t 2-3kt +2k +1，t ∈[0，1），∵当t ∈（0，1）时，y =t 与y =|2x-1|有两个交点，要使函数y =F （|2X -1|）-3k •|2X-1|+2k 有两个零点，即使得函数y =-t 2-3kt +2k +1，在t ∈（0，1）有一个零点，（t =0时x =0，y 只有一个零点）即方程t 2+3kt -2k -1=0在（0，1）内只有一个实根，∵△＞0，令u (t )=t 2+3kt −2k −1，则使u (0)⋅u (1)＜0即可∴k ＜−12或k ＞0． ∴k 的取值范围k ∈(−∞，−12)∪(0，+∞)． 【解析】（1）由f （-x ）=-f （x ），g （-x ）=g （x ），f （x ）+g （x ）=2log 2（1-x ），得-f （x ）+g （x ）=2log 2（1+x ），由此能求出f （x ）及g （x ）的解析式及定义域．（2）由f （x ）=log 2，得f （2x）=log 2，设t=，则t==-1+，由此能求出m 的取值范围．（3）设t=|2x -1|∈[0，1），则y=-t 2-3kt+2k+1，t ∈[0，1），当t ∈（0，1）时，y=t 与y=|2x -1|有两个交点，要使函数y=F （|2X-1|）-3k•|2X -1|+2k 有两个零点，即使得函数y=-t 2-3kt+2k+1，在t ∈（0，1）有一个零点，即方程t 2+3kt-2k-1=0在（0，1）内只有一个实根，由此能求出实数k 的取值范围．本题考查函数的解析式、定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的奇偶性、换元法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．。
2017-2018学年湖北省孝感高中高一(上)期末数学试题(解析版)
2017-2018学年湖北省孝感高中高一（上）期末数学试题一、单选题1．已知全集为，集合，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】本题首先可以对集合进行化简，将其化简为，然后利用交集定义即可直接求出的集合。
【详解】因为全集为，集合，，所以故选C。
【点睛】本题考查交集的求法，考查交集定义等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题。
2．的值是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】本题首先可以根据两角和的余弦公式，将原式化简为，再根据特殊角的三角函数值即可计算出所求式子的结果，得出答案。
【详解】故选A。
【点睛】本题是一个求三角函数式子的值的题目，本题着重考查了诱导公式、特殊角的三角函数值与两角和的余弦公式等知识，属于基础题。
3．已知函数的图像关于原点对称，则（）A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】首先由题意可知为奇函数，再通过为奇函数即可得到，再将代入函数中即可求出的取值范围，得出结果。
【详解】因为函数的图像关于原点对称，所以函数是奇函数，所以故选D 。
【点睛】本题主要考查了三角函数的相关性质，着重考查了三角函数的奇偶性以及奇函数的相关性质，考查了计算能力，是基础题。
4．如图，，下列等式中成立的是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】本题首先可结合向量减法的三角形法则对已知条件中的进行化简，化简为然后化简并代入即可得出答案。
【详解】因为，所以，所以，即，故选B。
【点睛】本题考查的知识点是平面向量的基本定理，考查向量减法的三角形法则，考查数形结合思想与化归思想，是简单题。
5．若的内角所对的边分别为，已知，则（）A．或B．C．D．【答案】D【解析】本题首先可以根据正弦定理以及计算出的值，再通过三角形的角边关系分析可得，即可计算出的值，得出答案。
【详解】由题意可知，在中，，则有，因为，所以，则，故选D项。
【点睛】本题考查正弦定理的应用以及三角形的角边关系的相关性质，关键是掌握正弦定理的形式，属于基础题。
2017-2018年湖北省武汉市华中师大一附中高一(上)期中数学试卷及参考答案
12． （5 分）函数 f（x）的定义域为 D，若对于任意的 x1，x2∈D，当 x1＜x2 时， 都有 f（x1）≤f（x2） ，则称函数 f（x）在 D 上为非减函数．设函数 f（x）在[0， 1]上为非减函数，且满足以下三个条件：①f（0）=0；②f（ ）= ﹣x）=1﹣f（x） ，则 f（ A． B． C． D． ）等于（ ） ；③f（1
二、填空题： （本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分） 13． （5 分）函数 y=ax+3（a＞0 且 a≠1）的图象恒过定点 14． （5 分）若 15． （5 分）某同学在研究函数 f（x）= 论： ①f（﹣x）+f（x）=0 在 x∈R 时恒成立； ②函数 f（x）的值域为（﹣1，1） ； ③若 x1≠x2，则一定有 f（x1）≠f（x2） ； ④函数 g（x）=f（x）﹣x 在 R 上有三个零点． 其中正确结论的序号有 ． 是奇函数，则 a= ． ．
2017-2018 学年湖北省武汉市华中师大一附中高一（上）期中数 学试卷
一、选择题： （本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的） 1． （5 分）设全集 U={1，2，3，4，5，6}，集合 A={2，3，4}，B={3，4，5}， 则∁ U（A∩B）=（ ） D．{1，2，5，6}
（x∈R）时，分别给出下面几个结
16． （5 分）设定义域为 R 的函数，若关于 x 的函数 f（x）=
，若
关于 x 的函数 y=2f2（x）+2bf（x）+1 有 8 个不同的零点，则实数 b 的取值范围 是 ．
三、解答题： （本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤） 17． （10 分）计算： （1） ． 18． （12 分）设函数 f（x）= （1）求函数 f（x）= ，函数 g（x）=ax+5﹣2a（a＞0） ． ×
2017-2018学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学(理)试题(解析版)
2017-2018学年湖北省荆州中学高一上学期期末考试数学（理）试题（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知集合A={1，2}，集合B满足A∪B={1，2}，则集合B有（）个．A. 1B. 2C. 3D. 42.计算cos47°cos13°-cos43°sin167°的结果等于（）A. 22B. 33C. 12D. 323.下列四组函数中的f(x)和g(x)相等的是()A. f(x)=x−1,g(x)=x2x −1 B. f(x)=tan x,g(x)=cos xsin xC. f(x)=x2,g(x)= x63 D. f(x)=x2,g(x)=(x)44.如果函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点（4π3，0）中心对称，那么φ 的最小值为（）A. π6B. π4C. π3D. π25.若向量a，b满足a=1，b=2且a ⊥b，则a+2b=（）A. 9B. 9+4C. 3D. 1+26.设函数f(x)=sin(2x−π2)，x∈R，则f（x）是（）A. 最小正周期为π的奇函数B. 最小正周期为π2的偶函数 C. 最小正周期为π2的奇函数 D. 最小正周期为π的偶函数7.已知平面向量a=（1，2），b=（-2，m），且a ∥b，则3a+2b等于（）A. (−2,−4)B. (−1,−2)C. (−4,−8)D. (1,2)8.函数f（x）=e x+x-2的零点所在的一个区间是（）A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)9.已知O，A，B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC+CB=0，则OC等于()A. 2OA−OBB. −OA+2OBC. 23OA−13OB D. −13OA+23OB10.设函数f（x）=2sin（π2x+π5），若对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2）成立，则x1-x2的最小值为（）A. 4B. 2C. 1D. 1211.已知−π2＜α＜0，且2tanα⋅sinα=3，则sin(α−π3)的值是（）A. 0B. −32C. −1 D. 3212.设f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b（b为常数），则f（-ln2）等于（）A. −12B. 1C. −1D. −3二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.时间经过5小时，分针转过的弧度数为______．14.已知定义在R上的函数f(x)满足f(x+5)=−f(x)+2，且当x∈(0,5)时，f(x)=x，则f(2018)的值为______．15.已知函数f(x)=log a x，0＜x≤1(3a−1)x+12a，x＞1对定义域中任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，则实数a的取值范围是______．16.两个向量a，b满足a−2b=1， 2a+3b=2，则(5a−3b)⋅(a−9b)=______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.已知函数f(x)=−x−6，x∈(−∞，−1.5 3x，x∈(−1.5，1)x+2，x∈[1，+∞)．（1）画出函数f（x）的图象；（2）由图象写出满足f（x）≥3的所有x的集合（直接写出结果）；（3）由图象写出满足函数f（x）的值域（直接写出结果）．18.已知cosα=17，cos（α-β）=1314，且0＜β＜α＜π2．（Ⅰ）求tan2α的值；（Ⅱ）求cosβ．19.（1）计算log327+lg25+lg4+(−9.8)0+log(2−1)(3−22)；（2）已知lgx+lgy=2lg(x−2y)，求log2y−log2x的值．20.已知a＞0，函数f（x）=-2a sin（2x+π6）+2a+b，当x∈[0，π2时，-5≤f（x）≤1．（1）求常数a，b的值；（2）设g（x）=f（x+π2）且lg g（x）＞0，求g（x）的单调区间．21.已知函数f（x）=A sin（ωx+φ）(A＞0，ω＞0，φ＜π2，x∈R)的图象的一部分如图所示．（1）求函数f（x）的解析式；（2）当x∈[−6，−23时，求函数y=f（x）+f（x+2）的最大值与最小值及相应的x值．22.已知函数f（x）=ax2+bx+c，其中a∈N，b∈N，c∈．（1）若b＞2a，且f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求f（x）的最小值；（2）若对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1），且存在x0使得f（x0）＜2（x02+1）成立，求c的值．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵集合 A={1，2}，集合B满足A∪B=A，∴B⊆A，∴B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．∴满足条件的集合B有4个．故选：D．已知得B⊆A，从而B=∅，B={1}，B={2}，B={1，2}．本题考查满足条件的集合个数的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意集合的并集的性质的合理运用．2.【答案】C【解析】解：cos47°cos13°-cos43°sin167°=cos47°cos13°-sin47°sin13°=．故选：C．利用诱导公式、两角和差的余弦公式即可得出．本题考查了诱导公式、两角和差的余弦公式，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：对于A，函数f（x）=x-1（x∈R），与g（x）=-1=x-1（x≠0）的定义域不同，不是相等函数；对于B，函数f（x）=tanx（x≠+ π，∈），与g（x）=（x≠ π，∈）的定义域不同，不是相等函数；对于C，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x≥0）的定义域相同，对应关系也相同，是相等函数；对于D，函数f（x）=x2（x∈R），与g（x）==x2（x≥0）的定义域不同，不是同一函数．故选：C．根据两个函数的定义域相同，对应关系也相同，即可判断它们是同一函数．本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题，是基础题．4.【答案】A【解析】解：∵函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称．∴∴由此易得．故选：A．先根据函数y=3cos（2x+φ）的图象关于点中心对称，令x=代入函数使其等于0，求出φ的值，进而可得φ 的最小值．本题主要考查余弦函数的对称性．属基础题．5.【答案】C【解析】解：向量，满足=1，=2且⊥，∴•=0，∴=+2•+2=1+0+2×4=9，∴+=3．故选：C．根据平面向量的数量积定义计算模长即可．本题考查了平面向量的数量积运算问题，是基础题．6.【答案】D【解析】解：函数，化简可得：f（x）=-cos2x，∴f（x）是偶函数．最小正周期T==π，∴f（x）最小正周期为π的偶函数．故选D根据三角函数的图象和性质判断即可．本题主要考查对三角函数的化简能力和三角函数的图象和性质的运用，比较基础．7.【答案】B【解析】解：∵=（1，2），=（-2，m），且∥，∴m+4=0，即m=-4．∴=（-2，-4），则3+2=（3，6）+（-4，-8）=（-1，-2）．故选：B．由向量共线的坐标运算求得m，再由向量的数乘与加法运算得答案．本题考查向量共线的坐标运算及向量的数乘与加法运算，是基础题．8.【答案】C【解析】解：因为f（0）=-1＜0，f（1）=e-1＞0，所以零点在区间（0，1）上，故选：C．将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）•f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．9.【答案】A【解析】解：∵依题．∴．故选：A．本小题主要考查平面向量的基本定理，把一个向量用平面上的两个不共线的向量来表示，这两个不共线的向量作为一组基底参与向量的运算，注意题目给的等式的应用本题是向量之间的运算，运算过程简单，但应用广泛，向量具有代数特征和几何特征，借助于向量可以实现某些代数问题与几何问题的相互转化．10.【答案】B【解析】解：∵对任意x∈R都有f（x1）≤f（x）≤f（x2），∴f（x1）是最小值，f（x2）是最大值；∴ x1-x2的最小值为函数的半个周期，∵T=4，∴ x1-x2的最小值为2，故选：B．由已知可知f（x1）是f（x）中最小值，f（x2）是值域中的最大值，它们分别在最高和最低点取得，它们的横坐标最少相差半个周期，由三角函数式知周期的值，结果是周期的值的一半．本题是对函数图象的考查，我们只有熟悉三角函数的图象，才能解决好这类问题，同时，其他的性质也要借助三角函数的图象解决，本章是数形结合的典型．11.【答案】B【解析】解：∵，∴2•sinα=3，可得：sin2α=cosα，∵sin2α+cos2α=1，可得：2cos2α+3cosα-2=0，∴解得：cosα=，或-2（舍去），∴sinα=-=-，∴=sinα-cosα==-．故选：B．由已知利用同角三角函数基本关系式可得2cos2α+3cosα-2=0，解得cosα，进而可求sinα，利用两角差的正弦函数公式即可计算得解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的正弦函数公式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：∵f（x）为定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=e x+b，∴f（0）=e0+b=0，即b=-1．∴当x≥0时，f（x）=e x-1，则f（-ln2）=-f（ln2）=-（e ln2-1）=-1．故选：C．由奇函数的性质求得b，再由f（-ln2）=-f（ln2）求得f（-ln2）的值．本题考查函数奇偶性的性质及应用，是基础的计算题．13.【答案】-10π【解析】【分析】本题考查的知识点是弧度制，其中一周角=2π，是解答本题的关键．根据一个小时，分针转过一周角，一个周角为2π，即可得到答案．【解答】解：由于经过一个小时，分针转过一周角，由一周角为2π，又由顺时针旋转得到的角是负角，故经过一个小时，分针转过的弧度数为-2π，所以时间经过5小时，分针转过的角的弧度数是5×（-2π）=-10π．故答案为-10π．14.【答案】-1【解析】解：∵定义在R上的函数f（x）满足f（x+5）=-f（x）+2，当x∈（0，5）时，f（x）=x，∴f（x+10）=-f（x+5）+2=-[-f（x）+2 +2=f（x），∴f（2018）=f（201×10+8）=f（8）=-f（3）+2=-3+2=-1．故答案为：-1．当x∈（0，5）时，f（x）=x，f（x+10）=-f（x+5）+2=-[-f（x）+2 +2=f（x），从而f（2018）=f（201×10+8）=f（8）=-f（3）+2，由此能求出结果．本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．15.【答案】（0，27【解析】解：任意的x1，x2，当x1＜x2时都有f（x1）＞f（x2）成立，可得f（x）在R上为减函数，可得，即为，即有0＜a≤，故答案为：（0，．由题意可得f（x）在R上为减函数，由对数函数、一次函数的单调性以及函数的单调性定义，可得a的不等式，解不等式可得a 的范围．本题考查分段函数的单调性的判断，以及参数的范围，注意运用对数函数、一次函数的单调性以及函数的单调性定义，考查运算能力，属于中档题．16.【答案】5【解析】解：两个向量满足，所以：，则：①，由于：，所以②，由①②得：，同时，③，由②③得：．所以：==．故答案为：5．直接利用向量的数量积和向量的模的应用求出结果．本题考查的知识要点：向量的数量积和向量的模的运算的应用．17.【答案】解：（1）f（x）的图象如图所示：（2）（-∞，-9 ∪[1，+∞）；，+∞)．（3）[−92【解析】（1）运用分段函数的图象画法，可得f（x）的图象；（2）由y=3求得x=1或-9，可得不等式的解集；（3）由图象可得f（x）的最小值，即可得到所求值域．本题考查分段函数的图象和运用，考查不等式的解集和函数的值域，注意运用数形结合思想方法，属于基础题．18.【答案】解：（Ⅰ）由cosα=17，0＜α＜π2，得sinα=1−cos2α=1−(17)2=437；…（2分）∴tanα=sinαcosα=437×71=43，于是tan2α=2tanα1−tanα=31−(43)2=-8347；…（6分）（Ⅱ）由0＜α＜β＜π2，得0＜α-β＜π2，…（8分）又∵cos（α-β）=1314，∴sin（α-β）=1−cos2(α−β)=1−(1314)2=3314；…（10分）由β=α-（α-β）得：cosβ=cos[α-（α-β）=cosαcos（α-β）+sinαsin（α-β）=1 7×1314+437×3314=12．…（13分）【解析】（Ⅰ）根据同角的三角函数关系和二倍角根据，求出tanα和tan2α的值；（Ⅱ）由同角的三角函数关系和三角恒等变换，即可求出cosβ的值．本题考查了同角的三角函数关系与三角恒等变换的应用问题，是基础题．19.【答案】解：（1）log327+lg25+lg4+(−9.8)0+log(2−1)(3−22)=32+lg100+1+2=132…（6分）（2）∵x＞0，y＞0，x-2y＞0∴0＜yx ＜12…（7分）∵lg x+lg y=2lg（x-2y），∴xy=（x-2y）2，∴4(yx )2−5yx+1=0，∴x2−5xy+4y2=0，∴y x =14或yx=1(舍去)…（10分）∴log2y−log2x=log2yx=log214=-4…（11分）…（12分）【解析】（1）利用对数运算法则化简求解即可．（2）通过对数方程求出x，y的关系，化简所求表达式求解即可．本题考查对数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意对数的性质、运算法则的合理运用．20.【答案】解：f（x）=-2a sin（2x+π6）+2a+b，（1）当x∈[0，π2时，2x+π6∈[π6，7π6．∴-12≤sin（2x+π6）≤1．∴-2a≤-2a sin（2x+π6）≤a．则b≤f（x）≤3a+b．∵-5≤f（x）≤1．∴ 3a+b=1b=−5，解得：a=2，b=-5得f（x）=-4sin（2x+π6）-1．（2）g（x）=f（x+π2），即g（x）=-4sin[2（x+π2）+π6-1=-4sin（2x+7π6）-1=4sin（2x+π6）-1．∵lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．可得：4sin（2x+π6）-1＞1．∴sin（2x+π6）＞12．可得：2kπ+π6＜2x+π6≤2kπ+5π6，∈．求g（x）的单调增区间．∴2kπ+π6＜2x+π6≤2kπ+π2，∈．解得：π＜x≤kπ+π6．g（x）的单调增区间为（π，kπ+π6，∈．求g（x）的单调减区间．∴2kπ+π2≤2x+π6＜2kπ+5π6，解得：kπ+π6≤x＜kπ+π3单调减区间为[kπ+π6，kπ+π3），∈．【解析】（1）当x∈[0，时，求出内层函数范围，求解f（x）的值域，根据-5≤f（x）≤1．即可求解a，b的值；（2）由g（x）=f（x+）求解g（x）的解析式，lg g（x）＞0，即lg g（x）＞lg1．即可求g（x）的单调区间．本题考查了三角函数的图象即性质的运用和化简能力，解析式的确定．着重考查了对数不等式的求法，讨论三角函数的范围，再结合三角函数的性质求解单调区间，属于中档题．21.【答案】解：（1）由图象知A=2，T=8．∴T=2πω=8．∴ω=π4．图象过点（-1，0），则2sin（-π4+φ）=0，∵φ ＜π2，∴φ=π4，于是有f（x）=2sin（π4x+π4）．（2）y=f（x）+f（x+2）=2sin（π4x+π4）+2sin（π4x+π2+π4）=2sin（π4x+π4）+2cos（π4x+π4）=22sin（π4x+π2）=22cosπ4x．∵x∈[-6，-23，∴-32π≤π4x≤-π6．当π4x=-π6，即x=-23时，y max=6；当π4x=-π，即x=-4时，y min=-22．【解析】（1）由图象知A=2，T=8，从而可求得ω，继而可求得φ；（2）利用三角函数间的关系可求得y=f（x）+f（x+2）=2cos x，利用余弦函数的性质可求得x∈[-6，-时y的最大值与最小值及相应的值．本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，考查余弦函数的性质，考查规范分析与解答的能力，属于中档题．22.【答案】解：（1）据题意x∈[-1，1 时，f（x）max=2，f（x）min=-4，（1分）f(x)=a(x+b2a )2+c−b24a，∵b＞2a＞0，∴−b2a＜−1，∴f（x）在[-1，1 上递增，∴f（x）min=f（-1），f（x）max=f（1），（3分）∴ a−b+c=−4a+b+c=2，∴b=3，a+c=-1，（5分）∵b＞2a，∴a＜32，又a∈N，∴a=1，∴c=-2，（7分）∴f(x)=x2+3x−2=(x+32)2−174，∴f(x)min=−174．（8分）（2）由已对任意实数x，不等式4x≤f（x）≤2（x2+1）得，4≤f（1）≤4，∴f（1）=4，即a+b+c=4①，（9分）∵f（x）≥4x恒成立，∴ax2+（b-4）x+c≥0恒成立，∴△=（b-4）2-4ac≤0②，（11分）由①得b-4=-（a+c），代入②得（a-c）2≤0，∴a=c，（13分）由f（x）≤2（x2+1）得：（2-a）x2-bx+2-c≥0恒成立，若a=2，则b=0，c=2，∴f（x）=2（x2+1），不存在x0使f（x0）＜2（x02+1），与题意矛盾，（15分）∴2-a＞0，∴a＜2，又a∈N，∴a=1，c=1．（16分）【解析】（1）先由题找到x∈[-1，1 ，f（x）max=2，f（x）min=-4再利用a∈N，b∈N和b＞2a，判断出函数在x∈[-1，1 上递增，再利用f（sinα）（α∈R）的最大值为2，最小值为-4，求出a，b，c．在利用配方法求出f（x）的最小值；（2）先由4≤f（1）≤4找到a+b+c=4①，再f（x）≥4x恒成立⇒△=（b-4）2-4ac≤0②，和f（x）≤2（x2+1）的结合求出a=1，c=1．（注意对二次项系数的讨论）．本题考查了二次函数在闭区间上的最值问题，以及恒成立问题，是道综合题关于给定解析式的二次函数在固定闭区间上的最值问题，一般根据是开口向上的二次函数离对称轴越近函数值越小，离对称轴越远函数值越大；开口向下的二次函数离对称轴越近函数值越大，离对称轴越远函数值越小．。
2017-2018学年湖北省孝感市八校高一(上)期末数学试卷(理科)(解析版)
2017-2018学年湖北省孝感市八校高一（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.全集U={0，1，2，3，4，5，6}，A={3，4，5}，B={1，3}，那么集合{0，2，6}是（）A. B. C. D.2.函数的定义域是（）A. B.C. D.3.函数y=cos（2x+3π）是（）A. 周期为的奇函数B. 周期为的偶函数C. 周期为的奇函数D. 周期为的偶函数4.若a=log23，b=31.2，c=0.63，则a，b，c的大小关系为（）A. B. C. D.5.函数的零点所在的大致区间是（）A. B. C. D.6.△ABC中，D在AC上，，P是BD上的点，，则m的值（）A. B. C. D.7.为了得到函数，x∈R的图象，只需把函数，x∈R的图象（）A. 向右平移个单位长度B. 向左平移个单位长度C. 向右平移个单位长度D. 向左平移个单位长度8.设函数f（x）=a sin（πx+α）+b cos（πx+β）+4（其中a，b，α，β为非零实数），若f（2001）=5，则f（2018）的值是（）A. 5B. 3C. 8D. 不能确定9.函数的单调增区间为（）A. ∈B. ∈C. ∈D. ∈10.函数f（x）=A sin（ωx+φ）+b＞，＜＜，＞的部分图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）A.B.C.D.11.定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，若f（1）=0，则不等式f（log2x）＞0的解集为（）A. B. C. D.12.已知函数，若关于x的方程f（x）=kx2有两个不同的实数解，则实数k的取值范围是（）A. 或B.C. 或D.二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.函数的对称中心是______．14.设g（x）=，则g（g（））=______．15.函数y=cos2x+4sin x+3的值域______．16.关于函数，有下列命题：①其图象关于原点对称；②当x＞0时，f（x）是增函数；当x＜0时，f（x）是减函数；③f（x）的最小值是ln2；④f（x）在区间（0，1）和（-∞，-2）上是减函数；⑤f（x）无最大值，也无最小值．其中所有正确结论的序号是______．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17.（1）已知tanα=3，求sin（π-α）cos（2π-α）的值；（2）已知sin，＜＜，求sinα-cosα的值．18.设，，，（m＜0），与的夹角．（1）求；（2）若与同向，与垂直，求．19.已知：，，∈，，∈，．（1）求的值；（2）求cos（α+β）的值．20.已知定义域为R的函数是奇函数，（1）求a，b的值；（2）若对任意的t∈R，不等式f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0恒成立，求k的取值范围．21.已知：函数f（x）=cos4x-2sin x cosx-sin4x．（1）求f（x）的最小正周期；（2）当∈，时，求f（x）的最值以及取得最值时x的值．22.某同学用“描点法”画函数在区间，上的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，并在给出的直角坐标系中，画出f（x）在区间，上的图象；（2）利用函数的图象，直接写出函数f（x）在x∈R上的单调递增区间；（3）将y=f（x）图象上所有点向左平移θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g（x）的图象，若y=g（x）图象的一个对称中心为，，求θ的最小值．答案和解析1.【答案】C【解析】解：U A={0，1，2，6}，U B={0，2，4，5，6}，A B={1，3，4，5}，A∩B={3}，（U A）∩（U B）={0，2，6}，（U A）（U B）={0，1，2，4，5，6}．故选：C．根据集合的基本运算即可求．本题主要考查集合的基本运算，比较基础．2.【答案】B【解析】解：由，解得x＞-1且x≠2．∴函数的定义域是（-1，2）（2，+∞）．故选：B．由对数式的真数大于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．3.【答案】B【解析】解：函数y=cos（2x+3π）=-cos2x，∴T==π，∴函数y是周期为T的偶函数．故选：B．利用诱导公式化简函数y，求出最小正周期，判断函数y的周期性和奇偶性．本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题．4.【答案】C【解析】解：1＜log23＜2，31.2＞3，0.63＜0.60=1；∴c＜a＜b．可看出1＜log 23＜2，31.2＞3，0.63＜1，从而可得出a ，b ，c 的大小关系．考查对数函数、指数函数的单调性． 5.【答案】C【解析】解：函数是单调增函数，也连续函数，因为f （2）=ln2-1＜0，f （3）=ln3-＞0，可得f （2）f （3）＜0， 所以函数的零点所在区间为（2，3）． 故选：C ．判断函数的单调性以及函数的连续性，利用零点判定定理推出结果即可． 本题考查函数的零点判定定理的应用，注意函数的单调性与连续性的判断． 6.【答案】A【解析】解：∵=∴D 为AC 中点如图AEPF 为平行四边形=+=+m由===得==∴=+∴m=利用平面向量基本定理分析向量之间的关系，不难求解此题考查了平面向量基本定理的应用，难度不大．7.【答案】B【解析】解：把函数，x∈R的图象向左平移个单位长度，可得函数，x∈R的图象，故选：B．由题意利用函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．本题主要考查函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，属于基础题．8.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=asin（πx+α）+bcos（πx+β）+4，∴f（2001）=asin（2001π+α）+bcos（2001π+β）+4=-asinα-bcosβ+4=5，∴asinα+bcosβ=-1，∴f（2018）=）=asin（2008π+α）+bcos（2008π+β）+4=asinα+bcosβ+4=-1+4=3，故选：B．由题意利用诱导公式求得asinα+bcosβ=-1，再利用诱导公式求得f（2018）的值．本题主要考查诱导公式的应用，体现了整体的思想，属于基础题．9.【答案】C【解析】解：由函数=sin（2x-），求解单调递减区间可得原函数的单调增区间，令2x-，可得：≤x≤，k∈Z．即原函数的单调增区间为[，]，k∈Z．故选：C．根据正弦函数的单调性即可求解；本题考查了正弦函数的单调性问题，比较基础．解：∵A===2，排除A，Cx=时，f（）=2sin（2×-）+1=+1≠3，故排除B，故选：D．根据振幅a=2，排除A，C，根据x=的值，排除B本题考查了由y=Asin（ωx+φ）+B的部分图象确定其定义域．属中档题．11.【答案】A【解析】解：根据题意，定义在R上的偶函数f（x）在[0，+∞）上为增函数，且f（1）=0，则f（log2x）＞0⇒f（log2x）＞f（1）⇒f（|log2x|）＞f（1）⇒|log2x|＞1，解可得：0＜x＜或x＞2，即不等式的解集为（0，）（2，+∞）；故选：A．根据题意，由函数的奇偶性与单调性可得原不等式等价于f（|log2x|）＞f（1）即|log2x|＞1，解可得x的取值范围，即可得答案．本题考查函数奇偶性与单调性的综合应用，涉及抽象函数不等式的解法，属于基础题．12.【答案】C【解析】解：因为=kx2有两个不同的实数解，所以=k|x|，即k|x|（x+2）=1有且只有一个非零实数解，当k=1时，|x|（x+2）=1有2个解，x=-1，x=-1，不合题意，故排除A，D，当k=-1时，-|x|（x+2）=1只有一个解：x=-1-，符合题意，故排除B．故选：C．现将问题转化为k|x|（x+2）=1有且只有一个非零实数解，然后用k取两个特殊值-1，1排除A，B，D本题考查了函数的零点与方程根的关系．属中档题．13.【答案】，，k∈Z【解析】解：由，k∈Z，得x=，k∈Z．∴函数的对称中心是，k∈Z．故答案为：，k∈Z．由，k∈Z求得x值，即可得到函数的对称中心．本题考查正切型函数对称中心的求法，是基础题．14.【答案】【解析】解：∵g（x）=，∴g（）=ln=-ln2＜0，∴g（g（））=g（-ln2）=e-ln2==2-1=．故答案为：．根据分段函数的解析式，先求出g（）的值，再求g（g（））的值．本题考查了求分段函数的函数值的问题，解题时应对自变量进行分析，是基础题．15.【答案】[-1，7]【解析】解：令t=sinx，则-1≤t≤1y=1-t2+4t+3=-（t+2）2+8，函数的对称轴为：t=-2．∴函数在[-1，-1]上单调递减，∴t=-1时，函数取得最大值为7，t=1时，函数确定最小值-1．∴函数y=cos2x+4sinx-3的值域为[-1，7]故答案为：[-1，7]．利用换元法，转化为二次函数在指定区间上的值域问题，注意变量的范围的变化．本题考查三角函数的值域，解题的关键是利用换元法，转化为二次函数在指定区间上的值域问题．16.【答案】③④【解析】解：函数，由f（-x）=ln=f（x），可得f（x）为偶函数，故f（x）的图象关于y轴对称，则①不正确；②当x＞0时，f（x）=ln（x+）在x＞1递增，在0＜x＜1递减；当x＜0时，f（x）在x＜-1是减函数，-1＜x＜0是增函数，故②不正确；③f（x）=ln（|x|+）≥ln2，当且仅当x=±1取得等号，即f（x）的最小值是ln2，故③正确；④由f（x）在在0＜x＜1递减，在x＜-1是减函数，则f（x）在区间（0，1）和（-∞，-2）上是减函数，故④正确；⑤f（x）有最小值ln2，无最大值，故⑤不正确．故答案为：③④．由f（-x）=f（x），可得f（x）的图象关于y轴对称，即可判断①；结合对勾函数的单调性，即可判断②；由基本不等式可得f（x）的最小值，即可判断③；由②的结论，即可判断④；由本题考查函数的性质和运用，主要是对称性和单调性、最值的求法，考查定义法和运算能力，属于中档题．17.【答案】解：（1）原式=，∵tanα=3，∴原式=．（2）∵，＜＜，∴sinα＜cosα，∴令t=sinα-cosα＜0，∴ ，∴，∴，可得：sinα-cosα=-．【解析】（1）利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简所求即可得解．（2）由已知可得sinα＜cosα，将所求平方后利用同角三角函数基本关系式即可计算得解．本题主要考查了三角函数恒等变换在三角函数化简求值中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．18.【答案】解：（1）∵，，，，＜＞，∴ ，，∴，∴，∴ ，∴ ，∴（m-18）（m+2）=0，∴m=-2或m=18（舍）（m＜0），∴，．（2）∵ 与同向∴可设，（λ＞0），∴，．∵ ，∴ ，∴1+2λ+4-12λ=0，∴，∴，，∴．【解析】（1）由题意利用两个向量的夹角公式，求得m的值，可得的坐标．（2）由题意利用两个向量垂直的性质，求得的坐标，可得||的值．本题主要考查两个向量数量积公式，两个向量数量积的定义，两个向量垂直的性质，属于基础题．19.【答案】解：（1）∵，∴（2）∵ ，∴又∵∈，，∴∈，，∴ ，又∵，∈，，∴∈，，∴，∴，=，=．【解析】（1）直接利用三角函数中角的恒等变换求出结果．（2）直接利用三角函数的定义和角的恒等变换求出结果．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，角的恒等变换的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型．20.【答案】解：（1）因为f（x）是奇函数，所以f（0）=0，即=0⇒b=1；∴f（x）=；又∵定义域为R，则有f（-1）=-f（1），可得：=-⇒a=2；经检验：f（x）是奇函数，满足题意．所以a，b的值分别为2，1．（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）==-+，易知f（x）在（-∞，+∞）上为减函数；又因f（x）是奇函数，从而不等式：f（t2-2t）+f（2t2-k）＜0等价于f（t2-2t）＜-f（2t2-k）=f（k-2t2），因f（x）为减函数，f（t2-2t）＜f（k-2t2），得：t2-2t＞k-2t2即对一切t∈R有：3t2-2t-k＞0，开口向上，从而判别式△=4+12k＜0⇒k＜-即k的取值范围是 ，【解析】（1）根据奇函数的性质，定义域包括0，则有f（0）=0，定义域为R，f（-1）=-f（1）即可求得a，b的值．（2）将f（t2-2t）+f（2t2-k）0变形为：f（t2-2t）+＜-f（2t2-k），因为f（x）是奇函数，-f （2t2-k）=-f（k-2t2），在利用f（x）减函数解不等式即可本题考查了函数的基本性质和奇函数的运用能力．属于中档题．21.【答案】解：（1）f（x）=cos4x-2sin x cosx-sin4x=cos2x-sin2x-2sin x cosx=cos2x-2sin x•cos x=cos2x-sin2x==，∴f（x）的最小正周期，∴f（x）的最小正周期为π．（2）∵，∴，∴，当，即时，，此时：，当，即时，，此时：，综上可知：时，，时，．【解析】（1）推导出f（x）=cos4x-2sinxcosx-sin4x=cos2x-sin2x-2sinxcosx=，由此能求出f（x）的最小正周期．（2）由，得，由此能求出当时，f（x）的最值以及取得最值时x的值．本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查化归与转化思想，是中档题．故f（x）在区间，上的图象如下图所示：（2）由函数的图象可得，函数f（x）在x∈R上的单调递增区间为，k∈Z，（3）向左平移θ（θ＞0）个单位得到，∵g（x）的一个对称中心，，∴ ，∈，∴ ，∈，又∵θ＞0，∴θ的最小值为．【解析】（1）数据补全，利用五点法作图即可得解．（2）由函数的图象利用正弦函数的图象和性质可得函数f（x）在x∈R上的单调递增区间．（3）由题意可求，利用正弦函数的图象和性质可得，进而求得，结合θ＞0，可求θ的最小值．本题主要考查了五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象，考查了正弦函数的单调性的应用，考查了数形结合思想，属于中档题．。
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第1页（共19页） 2017-2018学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）某扇形的半径为r，圆心角α所对的弧长为2r，则α的大小是（ ） A．30° B．60° C．1弧度 D．2弧度 2．（5分）用二分法研究函数f（x）=x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A．（0，0.5）f（0.125） B．（0.5，1）f（0.25） C．（0.5，1）f（0.75） D．（0，0.5）f（0.25） 3．（5分）已知α锐角，那么2α是（ ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 4．（5分）在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ） （1）在上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数． A．y=tanx B．y=cosx
C．y=sin（x+3π） D．y=sin2x 5．（5分）已知，则=（ ）
A． B． C． D． 6．（5分）下列关于函数y=tan（x+）的说法正确的是（ ） A．图象关于点（，0）成中心对称 B．值域为[一1，1] C．图象关于直线x=成轴对称
D．在区间（，）上单调递增 第2页（共19页）
7．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ） A．x= B．x= C．x=π D．x= 8．（5分）已知sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα的值为（ ） A．﹣或﹣ B．﹣ C．﹣ D． 9．（5分）如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ）
A． B． C． D． 10．（5分）已知函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）的图象如图，则它的解析式为（ ）
A． 第3页（共19页）
B． C． D．或 11．（5分）已知a=sin29°•cos127°+cos29°•sin53°，，，则a，b，c的大小关系是（ ） A．a＜b＜c B．a＞b＞c C．c＞a＞b D．a＜c＜b 12．（5分）已知且3sinβ=sin（2α+β），，则α+β的值为（ ） A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共25分． 13．（5分）设扇形的周长为8cm，面积为4cm2，则扇形的圆心角的弧度数是 ． 14．（5分）在直角坐标系中，O是原点，A（，1），将点A绕O逆时针旋转90°到B点，则B点坐标为 ． 15．（5分）已知直线l1∥l2，A是l1，l2之间的一定点，并且A点到l1，l2的距离分别为3，4．B是直线l2上一动点，作AC⊥AB，使AC与直线l1交于点C，△ABC面积的最小值为 ． 16．（5分）定义min（a，b）=，已知函数f（x）=min（2x，x2），若f
（x1）=64，，则x1+x2= ．
三、解答题：本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17．（10分）已知角α为第四象限角，且 （1）求sinα+cosα的值； （2）求的值． 第4页（共19页）
18．（12分）已知函数 （1）求函数f（x）的最小正周期； （2）求函数f（x）的单调递减区间． 19．（12分）已知 （1）求tanx的值； （2）求的值．
20．（12分）某同学用“五点法”画函数f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表： ωx+φ 0 π 2π
x Asin（ωx+φ） 0 5 ﹣5 0 （1）请将上表数据补充完整，并求出函数f（x）的解析式； （2）将y=f（x）的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象．若关于
x的方程g（x）﹣（2m+1）=0在[0，]上有两个不同的解，求实数m的取值范围． 21．（12分）某商场销售一种“艾丽莎”品牌服装，销售经理根据销售记录发现，该服装在过去的一个月内（以30天计）每件的销售价格P（x）（百元）与时间x（天）的函数关系近似满足P（x）=1+（k为正的常数），日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的部分数据如表所示： x（天） 10 20 25 30 Q（x）（件） 110 120 125 120 已知第2哦天的日销售量为126百元． （Ⅰ）求k的值； （Ⅱ）给出以下三种函数模型： ①Q（x）=a•bx； ②Q（x）=a•logbx； 第5页（共19页）
③Q（x）=a|x﹣25|+b． 请您根据如表中的数据，从中选择你认为最合适的一种函数来描述日销售量Q（x）（件）与时间x（天）的变化关系，并求出该函数的解析式； （Ⅲ）求该服装的日销收入f（x）（1≤x≤30，x∈N*）（百元）的最小值． 22．（12分）若函数f（x）在x∈[a，b]时，函数值y的取值区间恰为[，]，就称区间[a，b]为f（x）的一个“倒域区间”，已知函数g（x）=． （I）写出g（x）在[0，2]上的单调区间和单调性（不需要证明）； （Ⅱ）求函数g（x）在[1，2]内的“倒域区间”； （Ⅲ）若函数g（x）在定义域内所有“倒域区间”上的图象作为函数y=h（x）的
图象，是否存在实数m，使y=h（x）与y=恰好有1个公共点？若存在求出m的范围，若不存在则说明理由． 第6页（共19页）
2017-2018学年湖北省武汉市部分重点中学高一（上）期末数学试卷 参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）某扇形的半径为r，圆心角α所对的弧长为2r，则α的大小是（ ） A．30° B．60° C．1弧度 D．2弧度 【解答】解：∵|a|===2 故选：D． 2．（5分）用二分法研究函数f（x）=x5+8x3﹣1的零点时，第一次经过计算f（0）＜0，f（0.5）＞0，则其中一个零点所在的区间和第二次应计算的函数值分别为（ ） A．（0，0.5）f（0.125） B．（0.5，1）f（0.25） C．（0.5，1）f（0.75） D．（0，0.5）f（0.25） 【解答】解：令f（x）=x5+8x3﹣1， 则f（0）＜0，f（0.5）＞0， ∴f（0）•f（0.5）＜0， ∴其中一个零点所在的区间为（0，0.5）， 第二次应计算的函数值应该为f（0.25） 故选：D． 3．（5分）已知α锐角，那么2α是（ ） A．小于180°的正角 B．第一象限角 C．第二象限角 D．第一或二象限角 【解答】解：∵α锐角，∴0°＜α＜90°，∴0°＜2α＜180°， 故选：A． 4．（5分）在下列函数中，同时满足以下三个条件的是（ ） （1）在上单调递减，（2）最小正周期为2π，（3）是奇函数． 第7页（共19页）
A．y=tanx B．y=cosx
C．y=sin（x+3π） D．y=sin2x 【解答】解：A．y=tanx在上单调递增，不满足条件（1）． B．函数y=cosx是偶函数，不满足条件（3）． C．函数y=sin（x+3π）=﹣sinx，满足三个条件． D．函数y=sin2x的最小周期T=π，不满足条件（2）． 故选：C． 5．（5分）已知，则=（ ）
A． B． C． D． 【解答】解：∵sin（﹣x）=sin[﹣（+x）]=cos（+x）=， ∴cos（﹣x）=cos[π﹣（+x）]=﹣cos（+x）=﹣． 故选：C． 6．（5分）下列关于函数y=tan（x+）的说法正确的是（ ）
A．图象关于点（，0）成中心对称 B．值域为[一1，1] C．图象关于直线x=成轴对称
D．在区间（，）上单调递增 【解答】解：关于函数y=tan（x+），令x=，可得y的值不存在，故图象关于点（，0）成中心对称，故A正确； 它的值域为R，故B错误； 当x=时，可得可得y的值不存在，故图象不关于直线x=成轴对称，故C错误； 在区间（，）上，x+∈（，），函数y=tan（x+）没有单调性，故D错误， 故选：A． 7．（5分）将函数y=cos（x﹣）的图象上各点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐 第8页（共19页）
标不变），再向左平移个单位，所得函数图象的一条对称轴是（ ） A．x= B．x= C．x=π D．x= 【解答】解：将函数y=cos（x﹣）的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数y=cos（x﹣）的图象， 再向左平移个单位，得到y=cos[（x+）﹣）]，即y=cos（x﹣）的图象， 令x﹣=kπ可解得x=2kπ+，
故函数的对称轴为x=2kπ+，k∈Z， 结合选项可得函数图象的一条对称轴是直线x=． 故选：D． 8．（5分）已知sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），则tanα的值为（ ）
A．﹣或﹣ B．﹣ C．﹣ D． 【解答】解：∵sinα+cosα=﹣，α∈（0，π），∴α为钝角， 结合sin2α+cos2α=1，∴sinα=，cosα=﹣，则tanα==﹣， 故选：C． 9．（5分）如图，有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆．垂直于x轴的直线l：x=t（0≤t≤a）经过原点O向右平行移动，l在移动过程中扫过平面图形的面积为y（图中阴影部分），若函数y=f（t）的大致图象如图，那么平面图形的形状不可能是（ ）
A． B．