2020年湖北省武汉市数学高一(上)期末综合测试模拟试题

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷

一、选择题

1．在各项均为正数的等比数列{}n a 中，公比()0,1q ∈，若355a a +=，26·

4a a =，2log n n b a =，数列{}n b 的前n 项和为n S ，则12

12n S S S n

+++L 取最大值时，n 的值为（ ） A ．8

B ．9

C ．17

D ．8或9

2．等差数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S 与n T ，对一切自然数n ，都有1n

n S

n

T n =+，则55

a b 等于（） A.

3

4

B.

56

C.

910

D.

1011

3．在空间四边形ABCD 中，2AD = ， 23BC =，E ，F 分别是AB ， CD 的中点 ，

7EF =，则异面直线AD 与BC 所成角的大小为（ ）

A.150?

B.60?

C.120?

D.30? 4．若数列

对任意

满足

，下面给出关于数列

的四个命题：①可以是等差数列，②可以是等比数列；③

可以既是等差又是等比数列；④

可以既不是等差

又不是等比数列；则上述命题中，正确的个数为（ ）

A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个 5．已知为三角形内角，且

，若，则关于

的形状的判断，正确的是

A ．直角三角形

B ．锐角三角形

C ．钝角三角形

D ．三种形状都有可能

6．已知ABC ?的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若ABC ?的面积为2

221()4

a b c -

+-，1

sin 2

B =

，则A =（ ） A.105o

B.75o

C.30o

D.15o

7．为了得到函数sin 2,4y x x R π??

=-∈ ??

?

的图象，只需将函数cos2,y x x R =∈图象上所有的点（ ）

A ．向左平行移动38π

个单位长度 B ．向右平行移动38π

个单位长度 C ．向左平行移动8

π

个单位长度

D ．向右平行移动8

π

个单位长度

8．若2log 0.2a =，0.22b =，0.2log 0.3c =，则下列结论正确的是（ ） A.c b a >>

B.b a c >>

C.a b c >>

D.b c a >>

9．若()cos sin f x x x =-在[]

,a a -是减函数，则a 的最大值是 A ．

4

π B ．

2

π C ．

34

π D ．π

10．已知定义在R 上的函数()f x 是奇函数且满足，3()(2)32f x f x f ??

-=-=-

???

，，数列{}n a 满足

11a =-，且2n n S a n =+，(其中n S 为{}n a 的前n 项和).则()()56f a f a +=（）

A ．3

B ．2-

C ．3-

D ．2

11．已函数()()sin 0,2f x x πωφωφ??

=+><

??

?

的最小正周期是

，若将其图象向右平移

3

π

个单位后得到的图象关于原点对称，则函数()f x 的图象( ) A.关于直线12

x π

=

对称 B.关于直线512

x π

=

对称 C.关于点,012π??

???对称

D.关于点5,012π??

???

对称 12．半径为R 的半圆卷成一个圆锥，圆锥的体积为（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．已知函数2

()f x x x a =++，若存在实数[1,1]x ∈-，使得)(4))((x af a x f f >+成立，则实数a 的

取值范围是_______.

14．当x ∈(1,2)时，不等式x 2

＋mx ＋4＜0恒成立，则m 的取值范围是______． 15．不等式

1

1x

<的解为 。 16．圆2

2

230x y y ++-=与圆2

2

6230x y x y ++++=的公共弦长为______________。 三、解答题

17．已知圆心在坐标原点的圆O 经过圆2

2

(3)(3)10x y -+-=与圆2

2

(2)(2)20x y +++=的交点，A 、B 是圆O 与y 轴的交点，P 为直线y=4上的动点，PA 、PB 与圆O 的另一个交点分别为M 、N. (1)求圆O 的方程； (2)求证：直线MN 过定点.

18．在ABC △中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c 且sin cos 6a B b A π??

=- ??

?

. （1）求角A 的大小；

（2）若3a =

，3b c +=，求ABC △的面积.

19．一微商店对某种产品每天的销售量（x 件）进行为期一个月的数据统计分析，并得出了该月销售量

的直方图（一个月按30天计算）如图所示.假设用直方图中所得的频率来估计相应事件发生的概率.

（1）求频率分布直方图中a 的值；

（2）求日销量的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）；

（3）若微商在一天的销售量超过25件（包括25件），则上级商企会给微商赠送100元的礼金，估计该微商在一年内获得的礼金数.

20．已知点()3,1M ，圆()()2

2

124x y -+-=.

（1）求过点M 的圆的切线方程；

（2）若直线40ax y -+=与圆相交于A 、B 两点，且弦AB 的长为23，求a 的值. 21．已知ABC ?的三个内角,,A B C 成等差数列，它们的对边分别为,,a b c ，且满足

:23,2a b c ==.

（1）求,,A B C ； （2）求ABC ?的面积S .

22．设函数2()log ()x x

f x a b =-，且(1)1f =，2(2)lo

g 12f =.

（1）求a ，b 的值；

（2）当[1,2]x ∈时，求()f x 最大值. 【参考答案】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D C D B C D B D A A B C

13．()2,-+∞ 14．(],5-∞- 15．0x <或1x > 16．23三、解答题

17．（1）2

2

4x y +=（2）证明略 18．（1）3

A π

=

（2319．（1）0.02；（2）22.5；（3）10800元 20．（1）3x =或3450x y --=；（2）34

a =- 21．(1) 4

A π

=,3

B π

=

，512

C π

=

;(2)33ABC S ?=. 22．(1) 4

2

a b =??

=?；(2) 2log 12.

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷

一、选择题

1．我国魏晋时期的数学家刘徽，创立了用圆内接正多边形面积无限逼近圆面积的方法，称为“割圆术”，为圆周率的研究提供了科学的方法.在半径为1的圆内任取一点，则该点取自圆内接正十二边形外的概率为 A ．3

π

B ．3

1π-

C ．

3π

D ．31π

-

2．同时具有性质“周期为π，图象关于直线πx 3=对称，在ππ,63??

-????

上是增函数”的函数是( ) A ．x πy sin 26??=+

??? B ．πy cos 2x 3??=+ ??? C ．πy cos 2x 6??=- ??? D ．πy sin 2x 6?

?=- ??

?

3．已知梯形ABCD 是直角梯形，AD BC ∥，AB BC ⊥，且2AD =，4BC =，2AB =.按照斜二测画法作出它的直观图''''A B C D ，则直观图''''A B C D 面积为( ) A.3 B.22

C.

32

4

D.

32

2

4．已知

是定义在上的奇函数，且对任意的，都有

.当

时，

，则

（ ）

A. B.

C.0

D.1

5．函数

2

12

()log (4)f x x =-的单调递增区间为( ) A.

()0,?+∞ B.(),0-∞

C.()2,+∞

D.(),2-∞-

6．已知函数2

()f x x bx =+的图象过点(1,2)，记1

()

n a f n =，若数列{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 等于（ ）

A ．1n

B ．11

n +

C ．1n n

-

D ．1

n n +

7．若实数,x y 满足15x y ≤+≤且11x y -≤-≤，则3x y +的取值范围是（ ）

A ．[1,11]

B ．[0,12]

C ．[3,9]

D ．[1,9]

8．AQI 是表示空气质量的指数,AQI 指数值越小,表明空气质量越好,当AQI 指数值不大于100时称空气质量为“优良”.如图是某地4月1日到12日AQI 指数值的统计数据,图中点A 表示4月1日的AQI 指数值为201,则下列叙述不正确的是( )

A.这12天中有6天空气质量为“优良”

B.这12天中空气质量最好的是4月9日

C.这12天的AQI 指数值的中位数是90

D.从4日到9日,空气质量越来越好 9．已知函数，若

，且当

时

，则的取值范围是

（ ） A ．

B ．

C ．

D ．

10．的定义域为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

11．在平面直角坐标系中，,A B 分别是x 轴和y 轴上的动点，若以AB 为直径的圆C 与直线

240x y +-=相切，则圆C 面积的最小值为（ ）

A ．

45

π B ．

34

π C ．(625)π-

D ．

54

π 12．若函数为偶函数，则a=（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

二、填空题

13．已知ABC ?中，角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且满足,33

B a c b π

∠=

+=则

a

c

=___ 14．已知圆2

2

:1O x y +=，圆2

2

:()(2)2M x a y -+-=．若圆M 上存在点P ，过点P 作圆O 的两条切线，切点为,A B ，使得PA PB ⊥，则实数a 的取值范围为______． 15．已知函数()[]sin 2f x x π??= ???

，其中[]x 表示不超过x 的最大整数，下列关于()f x 说法正确的有:______．

①()f x 的值域为[-1,1] ②12f x ?

?

+

???

为奇函数 ③()f x 为周期函数，且最小正周期T=4 ④()f x 在[0，2）上为单调增函数

⑤()f x 与2

y x =的图像有且仅有两个公共点

16．已知数列{}n a 的首项1a a =，2162a a =-，()

1842,n n a a n n n N *

++=+≥∈.若对任意n *∈N ，

都有1n n a a +<恒成立，则a 的取值范围是_____ 三、解答题

17．某地合作农场的果园进入盛果期，果农利用互联网电商渠道销售苹果，苹果单果直径不同则单价不同，为了更好的销售，现从该合作农场果园的苹果树上随机摘下了50个苹果测量其直径，经统计，其单

果直径分布在区间[50]95，

内（单位：mm )，统计的茎叶图如图所示：

（Ⅰ)按分层抽样的方法从单果直径落在[)80,85，[)85,90的苹果中随机抽取6个，则从[)80,85，

[)85,90的苹果中各抽取几个？

（Ⅱ)从（Ⅰ)中选出的6个苹果中随机抽取2个，求这两个苹果单果直径均在[)85,90内的概率； （Ⅲ)以此茎叶图中单果直径出现的频率代表概率，若该合作农场的果园有20万个苹果约5万千克待出售，某电商提出两种收购方案：方案A ：所有苹果均以5.5元/千克收购；方案B ：按苹果单果直径大小分3类装箱收购，每箱装25个苹果，定价收购方式为：单果直径在[)50,65内按35元/箱收购，在

[)65,90内按45元/箱收购，在[]90,95内按55元/箱收购.包装箱与分拣装箱费用为5元/箱（该费用由

合作农场承担).请你通过计算为该合作农场推荐收益最好的方案.

18．设等比数列{n a }的首项为12a =，公比为q(q 为正整数),且满足33a 是18a 与5a 的等差中项；数列{n b }满足2

3

2()0(,)2

n n n t b n b t R n N *-++

=∈∈. (1)求数列{n a }的通项公式;

(2)试确定t 的值，使得数列{n b }为等差数列：

(3)当{n b }为等差数列时，对每个正整数是k ，在k a 与1k a +之间插入k b 个2,得到一个新数列{n C }，设

n T 是数列{n C }的前n 项和，试求满足13m m T c +=的所有正整数m .

19．已知函数()()sin ,f x A x x R ω?=+∈（其中0,0,02

A π

ω?>><<

）的图象如图所示：

（1）求函数()f x 的解析式及其对称轴的方程； （2）当0,

2x π??

∈????

时，方程()23f x a =-有两个不等的实根12,x x ，求实数a 的取值范围，并求此时12x x +的值.

20．已知在ΔABC 中，内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ，A 为锐角，且满足3b 5asinB =. （1）求2

B C

sin2A cos

2

++的值；

（2）若a =

ΔABC 的面积为

3

2

，求b,c . 21．某乡镇为了提高当地地方经济总量，决定引进资金对原有的两个企业A 和B 进行改造，计划每年对两个企业共投资500万元，要求对每个企业至少投资50万元.根据已有经验，改造后A 企业的年收益P （单位：万元）和B 企业的年收益Q （单位：万元）与投入资金a （单位：万元）分别满足关系式：

()

120P a =+，()1

1604

Q a a =+.设对A 企业投资额为x （单位：万元），每年两个企业的总收

益为()f x （单位：万元）. （1）求()300f ；

（2）试问如何安排两个企业的投入资金，才能使两个企业的年总收益达到最大，并求出最大值.

22．已知二次函数()2

f x x bx c =++的图像经过点()113

， ，且满足()()21f f -=， (1)求()f x 的解析式；

(2)已知()()2

2,13t g x f x x x ??<=--???，求函数()g x 在[]

,2t 的最大值和最小值；

函数()y f x =的图像上是否存在这样的点，其横坐标是正整数，纵坐标是一个完全平方数？如果存在，求出这样的点的坐标；如果不存在，请说明理由 【参考答案】*** 一、选择题

13．1

2

或2 14．[2,2]-

15．③⑤ 16．()3,5 三、解答题

17．（Ⅰ)4个；（Ⅱ)2

5

p =

；（Ⅲ）方案是B 18．（1）2n

n a =；（2）3t =；（3）2m =.

19．（1）()2sin 26f x x π??

=+ ??

?

，()6

2k x k Z π

π=

+

∈；（2）522

a ≤<，3π.

20．（Ⅰ）

53

50

（Ⅱ） b c == 21．（1）420万元； （2）对A 企业投资108万元，对B 企业投资392万元时总收益最大，最大收益为432万元.

22．（1）2

()11f x x x =++ ； （2）当[,2]x t ∈时，max ()0g x =，当12t ≤<，

2min ()()2g x g t t t ==-

当11t <，min ()1g x =-；当1t <，2

min ()()2g x g t t t ==-+；（3）(10,121).

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷

一、选择题

1．若函数2

1

()3sin cos cos ()2

f x x x x x R =-+∈的图象上所有点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍，再向左平行移动

6π

个单位长度得函数()y g x =的图象，则函数1()3y g x =-在区间[2,4]ππ-内的所有零点之和为（） A ．

52

π B ．

7

2

π C ．3π D ．4π

2．在三棱锥A BCD -中，AB ⊥面,4,25,2BCD AB AD BC CD ====，则三棱锥A BCD -的

外接球表面积是（ ） A ．25π

B ．5π

C ．5π

D ．20π

3．函数()f x 满足：()y f x 1=+①为偶函数：②在[

)1,∞+上为增函数.若2x 1>-，且12x x 2+<-，则()1f x -与()2f x -的大小关系是( ) A ．()()12f x f x ->- B ．()()12f x f x -< C ．()()12f x f x -≤- D ．不能确定

4．在直角三角形ABC 中，2C π

=

，3AC =，对于平面ABC 内的任一点M ，平面ABC 内总有一点D 使得

32MD MB MA

=+u u u u r u u u r u u u r ，则(CD CA ?=u u u r u u u r ) A ．1

B ．2

C ．4

D ．6

5．如图给出的是计算

1111

246102

+++???+的值的一个程序框图，其中判断框中应填入的是（ ）

A ．102i >

B ．102i ≤

C ．100i >

D ．100i ≤

6．已知1cos 3α=，()3cos βα-=，且0βαπ<<<，则cos β=（ ） A.539-

B.33

-

23

D.

53

9

7．已知32

20

()()

x x x f x g x x ?-≤=?

>?为奇函数，则()g x =（ ） A ．322x x --

B ．322x x -+

C ．322x x -

D ．322x x +

8．已知函数()cos()(01,||)f x x ω?ω?π=+<<<.若对任意,(1)()(6)x R f f x f ∈≤≤，则（ ）

A ．(2021)(2018)0f f -<

B ．(2021)(2018)0f f -=

C ．(2021)(2018)0f f +>

D ．(2021)(2018)0f f +=

9．若函数()()2sin f x x ω?=+对任意的x ∈R ，都有()(

)3

f x f x π

-=．若函数

()()cos 1g x x ω?

=+-，则()6

g π

的值是（ ）

A.-2

B.-1

C.1

2

-

D.0

10．记集合(){}

2

2,|16A x y x

y =

+≤，集合()(){},|40,,B x y x y x y A =+-≤∈表示的平面区域分别为12,ΩΩ.若在区域1Ω内任取一点(),P x y ，则点P 落在区域2Ω中的概率为（ ） A ．

2

4ππ

- B ．

32

4ππ

+ C ．

2

4ππ

+ D ．

32

4ππ

- 11．如图，三棱柱中，侧棱

底面，底面三角形

是正三角形，是

中

点，则下列叙述正确的是（ ）

A ．平面

B ．与

是异面直线 C ． D ．

12．函数的零点个数是（ ） A ．0

B ．1

C ．2

D ．3

二、填空题 13．设17sin

4a π=，cos 5b π=，7tan 6

c π

=，用“<”把,,a b c 排序_______. 14．已知函数33,0()log ,0

x x f x x x ?≤=?>?，若1

()2f a =，则实数a = ______.

15．在数列{}n a 中，112a =，且133431n n

a a n n +=++.记131n

n i ai S i ==+∑，13

n i n i i a T ==∑，则下列判断正确的是

__________．（填写所有正确结论的编号）

①数列31n a n ??

??+??

为等比例数列；②存在正整数n ，使得n a 能被11整除；

③10243S T >；④21T 能被51整除.

16．已知

2{(,)|9,0}M x y y x y ==-≠，{(,)|}N x y y x b ==+，若M N ≠?I ，则b 的取值

范围是__________． 三、解答题

17．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：

（1）求频率分布直方图中x 的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x 和中位数m （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会. ①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数： 年龄 [20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70]

人数

②若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在

[30,40)的概率.

18．已知正项数列{}n a ，其前n 项和为n S ，且对任意的*n N ∈，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项.

（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式； （Ⅱ）若数列{}n b 满足1111,2n n n a b b b ++==

，求证：

1231111

221n n

a b b b b +++≥+-L ． 19．已知圆C 的圆心在y 轴上，点P 是圆C 的上任一点，且当点P 的坐标为9

7(,)55

--时，P 到直线

34240x y +-=距离最大.

（1）求直线12580x y --=被圆C 截得的弦长；

（2）已知(1,2)Q ，经过原点，且斜率为(0)k k ≠的直线l 与圆C 交于11(,)A x y ，22(,)B x y 两点. （Ⅰ）求证：

12

11

y y +为定值； （Ⅱ）若2

2

22QA QB +=，求直线l 的方程. 20．已知数列的前n 项和为，

且

求数列

的通项公式；

设，求数列的前n 项和

．

21．已知函数()()

log 1(0x

a f x a a =->且1a ≠）. （1）求()f x 的定义域； （2）讨论函数()f x 的单调性.

22．ABC ?中，角A,B,C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知63,cos ,2

a A B A π===+， (1)求

b 的值； (2)求ABC ?的面积. 【参考答案】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 C D A D B D D A B B D

C

13．c a b << 14．3log 2-或3 15．①②④ 16．(3,32]- 三、解答题

17．（1）0.025x=，平均数x 为52，中位数为53.75m =（2）①略②35

18．（Ⅰ）21n a n =-； （Ⅱ）略.

19．（1）42（2）（Ⅰ）略；（Ⅱ）y x = 20．（1）

；（2）

.

21．（1）当1a >时， 定义域是()0,∞+；当01a <<时，定义域是(),0-∞；（2）当1a >时，

()()log 1x a f x a =-在（0，+∞）上是增函数，当01a <<时，()()

log 1x a f x a =-在（-∞，0）上也

是增函数.

22．（1）3223

22

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷

一、选择题

1．若直线l ：y kx =与曲线M ：2y 11(x 3)=+--有两个不同交点，则k 的取值范围是( ) A.13,44??

???

B.13,

24??

????

C.15,29??

????

D.30,

4??

????

2．直角坐标系xOy 中，已知点P(2﹣t ，2t ﹣2)，点Q(﹣2，1)，直线l ：0ax by +=．若对任意的t ∈R ，点P 到直线l 的距离为定值，则点Q 关于直线l 对称点Q′的坐标为 A ．(0，2)

B ．(2，3)

C ．(

25，11

5

) D ．(

2

5

，3) 3．已知奇函数()y f x =的图像关于点(

,0)2π

对称，当[0,)2

x π

∈时，()1cos f x x =-，则当5(

,3]2

x π

π∈时，()f x 的解析式为（ ） A.()1sin f x x =-- B.()1sin f x x =- C.()1cos f x x =-- D.()1cos f x x =- 4．已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴的非负半轴重合，31,22P ??

- ? ???为其终边上一点，则

sin 2πα??

+= ???

( ) A ．3

-

B ．12

-

C ．

12

D ．

3 5．已知函数()sin (0)f x x ωω=>在25[,]36

ππ

-上单调递增，且存在唯一0[0,]x π∈，使得0()1f x =，则实数ω的取值范围为（ ）

A ．13[,]25

B ．13[,)25

C ．113(

,]205 D ．113[,]205 6．在平面上，四边形ABCD 满足AB DC =u u u r u u u r ，0AC BD ?=u u u

r u u u r ，则四边形ABCD 为（ ）

A ．梯形

B ．正方形

C ．菱形

D ．矩形

7．已知点(,)P x y 是直线240x y -+=上一动点，直线,PA PB 是圆2

2

:20C x y y ++=的两条切线，

,A B 为切点，C 为圆心，则四边形PACB 面积的最小值是（ ）

A.2

B.5

C.25

D.4

8．已知甲、乙两组数据的茎叶图如图所示，若它们的中位数相同，则甲组数据的平均数为（ ）

A.32

B.33

C.34

D.35

9．如图，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，此时测得点

A 的仰角为45?再由点C 沿北偏东15?方向走10m 到位置D ，测得45BDC ∠=?，则塔A

B 的高是

A.10m

B.102m

C.103m

D.106m

10．函数f （x ）=x 3+2x ﹣1一定存在零点的区间是（ ） A.11()42

，

B.1(0)4

，

C.1(1)2

，

D.（1，2）

11．把正方形ABCD 沿对角线AC 折起，当以A ，B ，C ，D 四点为顶点的三棱锥体积最大时，直线

BD 和平面ABC 所成的角的大小为（ ）. A ．90? B ．60? C ．45?

D ．30°

12．在下列区间中，函数()43x

f x e x =+-的零点所在的区间为（ ） A ．1,04??

-

???

B ．10,4?? ???

C ．11,42??

???

D ．13,24??

???

二、填空题 13．已知12sin 313a π?

?+= ??

?，则cos 6a π??-= ??

?__________. 14．已知函数

，

，若

，则实数a 的取值范围______．

15．设函数()sin 23f x x π?

?

=+ ??

?

，则下列结论 ①()f x 的图像关于直线3

x π

=对称

②()f x 的图像关于点,04π??

???

对称 ③()f x 的图像向左平移

12

π

个单位，得到一个偶函数的图像

④()f x 的最小正周期为π，且在06π??

????

，上为增函数

其中正确的序号为________.（填上所有正确结论的序号）

16．已知向量 OA u u u r 与OB uuu r 满足2OA =u u u r ，1OB =u u u v ．又OM tOA =u u u u v u u u v ，(1)ON t OB =-u u u

v u u u v ，且MN u u u u r 在2

7

t =

时取到最小值，则向量 OA u u u r 与 OB uuu r 的夹角的值为____ 三、解答题

17．东莞市摄影协会准备在2019年10月举办主题为“庆祖国70华诞——我们都是追梦人”摄影图片展.通过平常人的镜头记录国强民富的幸福生活，向祖国母亲的生日献礼，摄影协会收到了来自社会各界的大量作品，打算从众多照片中选取100张照片展出，其参赛者年龄集中在[20,70]之间，根据统计结果，做出频率分布直方图如图：

（1）求频率分布直方图中x 的值，并根据频率分布直方图，求这100位摄影者年龄的样本平均数x 和中位数m （同一组数据用该区间的中点值作代表）；

（2）为了展示不同年龄作者眼中的祖国形象，摄影协会按照分层抽样的方法，计划从这100件照片中抽出20个最佳作品，并邀请相应作者参加“讲述照片背后的故事”座谈会. ①在答题卡上的统计表中填出每组相应抽取的人数： 年龄 [20,30)

[30,40)

[40,50)

[50,60)

[60,70]

人数

②若从年龄在的作者中选出2人把这些图片和故事整理成册，求这2人至少有一人的年龄在

[30,40)的概率.

18．设函数2

()cos 2sin 3f x x x π??=++ ??

?．

（1）求函数()f x 的最小正周期． （2）求函数()f x 的单调递减区间；

（3）设,,A B C 为V ABC 的三个内角，若1

cos 3B =，124C f ??

=- ???

，且C 为锐角，求sin A ．

19．化简或求下列各式的值．

（1）(221

3345333254a b a b a b ?????-÷ ? ?????

； （2）（lg5）2

+lg5?lg20+224

51

log log +．

20．设圆221:(3)(2)4C x y -+-=，圆22

2:(5)(4)25C x y -++=，

（1）判断圆1C 与圆2C 的位置关系；

（2）点A 、B 分别是圆1C ，2C 上的动点，P 为直线y x =上的动点，求PA PB +的最小值。 21．已知向量(cos

,2sin cos )222

x x x

a =-，(1,1)

b =-，()f x =?a b . （Ⅰ）求函数()f x 的单调递增区间； （Ⅱ）若2

(2)3

f α=

，求cos 2(1tan )1tan ααα-+的值.

22．某租赁公司拥有汽车100辆．当每辆车的月租金为3000元时，可全部租出．当每辆车的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一辆．租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护需50元．

（Ⅰ）当每辆车的月租金定为3600元时，能租出多少辆车？

（Ⅱ）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多少？ 【参考答案】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C C A A C A A B A C

C

13．1213

14．

15．③ 16．

π3

三、解答题

17．（1）0.025x=，平均数x 为52，中位数为53.75m =（2）①略②

35

18．（1）π（2）减区间为ππk π,k π44??-+????，k Z ∈（3223+19．（1）7

2

3352

a b --；（2）2

20．（1）圆1C 与圆2C 的位置关系为内含（2）727 21．（Ⅰ）3[4,4]2

2

k k π

π

ππ-+

k Z ∈; （Ⅱ）

29

22．（1）88（2）当

时，()f x 最大，最大值为

元．

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷

一、选择题

1．从一批产品中取出三件产品，设事件A 为“三件产品全不是次品”，事件B 为“三件产品全是次品”，事件C 为“三件产品不全是次品”，则下列结论正确的是（ ） A.事件A 与C 互斥 B.事件B 与C 互斥 C.任何两个事件均互斥

D.任何两个事件均不互斥

2．10名小学生的身高（单位：cm ）分成了甲、乙两组数据，甲组：115，122，105， 111，109；乙组：125，132，115， 121，119.两组数据中相等的数字特征是( ) A.中位数、极差 B.平均数、方差 C.方差、极差

D.极差、平均数

3．设()313x

x

f x =+，[]x 表示不超过实数x 的最大整数，则函数()()1122f x f x ????-+--????????的值域是( )

A ．{}1,0,1-

B ．{}0,1-

C ．[]

1,1-

D ．[]

1,0-

4．在圆22

(1)5x y -+=上一点()2,2P 的切线与直线10ax y -+=垂直，则(a = )

A ．2

B ．

12

C ．12

-

D ．2-

5．已知函数的图象是连续不断的，其部分函数值对应如下表： 1 2 3 4 5 0.37

2.72

则函数在区间

上的零点至少有（ ） A ．1个

B ．2个

C ．3个

D ．4个

6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（）

A ．16+25

B ．8+25

C ．16+5

D ．8+5

7．在ABC V 中，边a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，且满足()cos 3cos b C a c B =-，若

4BC BA ?=u u u r u u u r

，则ac 的值为 ()n n

A ．12

B ．11

C ．10

D ．9

8．一个人打靶时连续射击两次，则事件“至多有一次中靶”的互斥事件是（ ） A ．至少有一次中靶 B ．只有一次中靶 C ．两次都中靶 D ．两次都不中靶 9．在中，,,A B C ∠∠∠所对的边长分别是,,a b c ，若sin sin()sin 2C B A A +-=，则

的

形状为 A ．等腰三角形

B ．直角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等腰三角形或直角三角形

10．等比数列{}n a 中，452,5a a ==，则数列{}lg n a 的前8项和等于( ) A ．6

B ．5

C ．4

D ．3

11．在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据，并制作成如图所示的人体脂肪含量与年龄关系的散点图．根据该图，下列结论中正确的是（ ）

A ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数等于20%

B ．人体脂肪含量与年龄正相关，且脂肪含量的中位数小于20%

C ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数等于20%

D ．人体脂肪含量与年龄负相关，且脂肪含量的中位数小于20%

12．已知a r ， b r 是平面内两个互相垂直的单位向量，若向量c r 满足()()

0a c b c -?-=r r r r

，则c r 的最大值

是( )

A ．1

B ．2

C ．

D ．

二、填空题

13．在ABC ?中，D 为BC 边中点，且5AD =，10BC =，则AB AC ?=u u u r u u u r

______.

14．函数21x y =-__________． 15．在数列{}n a 中，已知11a =，()11sin

2

n n n a a π++-=，记n

S

为数列{}n a 的前n 项和，则

2019S =_________.

16．若函数f （x ）=()12,152,1

a x x lgx x ?-+≤?-->?是在R 上的减函数，则a 的取值范围是______．

三、解答题

17．在ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且2π

3

C ∠=，6a =． （1）若14c =，求sin A 的值． （2）若ABC △的面积为3

3c 的值．

18．在ABC ?中，,,a b c 分别是内角,,A B C 3cos sin a B b A =。 （1）求角B ；

（2）若2,3ABC b S ?==ABC ?的周长。

19．已知点P 是圆2

2

:(3)4C x y -+=上的动点，点(3,0)A - ，M 是线段AP 的中点 （1）求点M 的轨迹方程；

（2）若点M 的轨迹与直线:20l x y n -+=交于,E F 两点，且OE OF ⊥，求n 的值.

20．（1）设直线m 的方程为()120()a x y a a R +++-=∈.若直线m 在两坐标轴上的截距相等，求直线m 的方程；

（2）过直线l ：y x =上的点()2,2P 作直线m ，若直线l ，m 与x 轴围成的三角形的面积为2，则直线

m 的方程.

21．在测试中，客观题难度的计算公式为，其中为第题的难度，为答对该题的人数，为参加

测试的总人数现对某校高三年级240名学生进行一次测试，共5道客观题测试前根据对学生的了解，预

估了每道题的难度，如表所示： 题号

1 2 3 4 5 考前预估难度

题号 1 2 3 4 5 实测答对人数

16

16

14

14

14

2从抽样的20名学生中随机抽取2名学生，记这2名学生中第5题答对的人数为，求的分布列和数学期望；

3试题的预估难度和实测难度之间会有偏差设为第题的实测难度，请用和设计一个统计量，并制定一个标准来判断本次测试对难度的预估是否合理．

22．如图，四边形ABCD 是边长为2的正方形，E 为CD 的中点，以AE 为折痕把ADE ?折起，使点

D 到达点P 的位置，且60PAB ∠=?.

（1）求证：平面PEC ⊥平面PAB ； （2）求二面角P AE B --的余弦值. 【参考答案】*** 一、选择题

题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 B C B A C A A C D C B

C

13．0 14．[)0,+∞ 15．1010 16．[-6，1） 三、解答题 17．（13

314

2）213

18．（1）3

B π

=

（2）6

19．（1）221x y +=；（2）10n =±

. 20．(1) 30x y +=或20x y ++=. (2) 220x y -+=或2x =. 21．（Ⅰ）48（Ⅱ）（Ⅲ）合理 22．（1）略；（2）

14

2019-2020学年高一数学上学期期末试卷

一、选择题 1．已知函数f （x ），若函数y ＝f （x ）﹣m 有两个不同的零点，则m 的取值范围

（ ） A.（﹣1，1） B.（﹣1，1] C.（﹣1，+∞）

D.[﹣1，+∞） 2．在三棱锥

中，平面

，

，

，点M 为

内切圆的圆心，若

，则三棱锥

的外接球的表面积为（ ）

A.

B.

C.

D.

3．执行如图所示的程序框图，则输出的n 值是（ ）

A.5

B.7

C.9

D.11

4．等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36=2S =18S ，，则10

5

S S 等于( ) A ．－ 3

B ．5

C ．33

D ．－31

5．已知{}n a 为等比数列,472a a +=,568a a =-,则110a a +=（ ） A ．7

B ．5

C ．5-

D ．7-

6．已知实数a 满足35a =，则函数5()2log 3x

f x a x =+-的零点在下列哪个区间内

A ．(2,1)--

B ．(1,0)-

C ．(0,1)

D ．(1,2)

7．下列函数是奇函数，且在区间上是增函数的是（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

8．函数()sin f x x x =，[,]x ππ∈-的大致图象是（ ）

A ．

B ．