湖北省武汉市高一(上)期末数学考试
2020-2020学年湖北省武汉市高一上期末数学试卷(含答案解析)
2020-2020学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C． D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知tanα=2，则=．15．（5分）已知，，则tanα的值为．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）6﹣2（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．2020-2020学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁U A={﹣1，0，1，2，6}，∁U B={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x•sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（x，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣x，2﹣y），∴，解得x=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；对于C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于D，函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：B．8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A9．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【解答】解：由f（x）+f（x+1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）已知tanα=2，则=．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5分）已知，，则tanα的值为．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（x+y）=7，故x+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴x（y﹣2）=（x+4）y，∴x=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴k=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sinx（x∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（3x+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x +）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22（1）请将表格补充完整，并写出f （x ）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22f（x）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f（x）最小值为，∴时，即时，f（x）最大值为6…（12分）21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（x）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．任取x1、x2且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）•，若x1、x2∈（0，1），则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．若x1、x2∈（1，+∞），则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，k均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜x＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，x＞1，=是增函数，∴h（m）=km，h（n）=kn，∴，∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，k满足条件．（12分）。
2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年湖北省武汉市东湖高新区高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设全集U =R ，集合A ={x|1<x <4}，集合B ={x|0<x <2}，则集合A ∩(∁U B)=( )A. (1,2)B. (1,2]C. (2,4)D. [2,4)2. 已知函数f(x)的图像是连续的，根据如下对应值表：A. 5个B. 4个C. 3个D. 2个3. 下列函数既是奇函数又是周期为π的函数是( )A. y =tan2xB. y =sin(2x +π2)C. y =|sinx|D. y =cos(32π−2x)4. 设a =30.7，b =(13)−0.8，c =log 0.70.8，则a ，b ，c 的大小关系为( )A. a <b <cB. b <a <cC. b <c <aD. c <a <b5. 已知函数f(x)=2+log √3tanx ，x ∈[π6,π3)，则函数y =f(x)的值域为( )A. [1,3]B. [1,3)C. [2,3]D. [2,3)6. 素数也叫质数，部分素数可写成“2n −1”的形式(n 是素数)，法国数学家马丁⋅梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“2n −1”形式(n 是素数)的素数称为梅森素数.2018年底发现的第51个梅森素数是M =282589933−1，它是目前最大的梅森素数.已知第8个梅森素数为P =231−1，第9个梅森素数为Q =261−1，则Qp 约等于( )(参考数据：lg2≈0.3)A. 107B. 108C. 109D. 10107. 设p ：关于x 的方程4x −2x+1−a =0有解；q ：函数f(x)=log 2(x +a −1)在区间(0,+∞)上恒为正值，则p 是q 的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件8. 已知函数f(x)={sinx,0≤x ≤πlog 2022(x −π+1),x >π，若a ，b ，c 互不相等，且f(a)=f(b)=f(c)，则a +b +c −2π的取值范围是( )A. (0,2021)B. (0,2022)C. (1,2022)D. [0,2022]二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9.下列运算中正确的是()A. log38log35=log85 B. (827)−13=32C. √(3−π)2=3−πD. (12)−log27+ln(lne)=710.在下列四个命题中，正确的是()A. 命题“∃x∈R，使得x2+x+1<0”的否定是“∀x∈R，都有x2+x+1≥0”B. 当x>1时，x+4x−1的最小值是5C. 若不等式ax2+2x+c>0的解集为{x|−1<x<2}，则a+c=2D. “a>1”是“1a<1”的充要条件11.下列命题中正确的是()A. 在△ABC中，cos(A+B)=cosCB. 若角α是第三象限角，则α3可能在第三象限C. 若tanθ=2，则sin2θ−2cos2θ=25D. 锐角α终边上一点坐标为P(−cos2,sin2)，则α=π−212.已知定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(−x)=f(x)；②∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0；③f(−1)=0.则下列选项成立的是()A. f(3)>f(−4)B. f(m−1)<f(2)成立的充要条件是m∈(−1,3)C. 若f(x)x>0，则x∈(−1,0)∪(1,+∞)D. ∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13.《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，其中有这样一个问题：“今有宛田，下周三十步，径十六步．问为田几何？”其意思为：“有一块扇形的田，弧长为30步，其所在圆的直径为16步，问这块田的面积是多少平方步？“该问题的答案为______平方步．14.若函数f(x)=ax2+2x−1在区间(−∞,6)上单调递增，则实数a的取值范围是______．15.若函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+π)=f(x)，当x∈[0,π2)时，f(x)=2sinx，则f(−133π)+f(94π)=______．16.已知函数f(x)=lg(ax−3)的图象经过定点(2,0)，若k为正整数，那么使得不等式2f(x)>lg(kx2)在区间[3,4]上有解的k的最大值是______．四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m 的图象关于y 轴对称，集合A ={x|1−a <x ≤3a +1}． (1)求m 的值；(2)当x ∈[√22,2]时，f(x)的值域为集合B ，若x ∈B 是x ∈A 成立的充分不必要条件，求实数a 的取值范围．18. 已知函数f(x)=3x +a 3x +1为奇函数．(1)求a 的值；(2)判断函数f(x)的单调性，并加以证明．19. 已知函数f(x)=√x ，g(x)=|x −2|．(1)求方程f(x)=g(x)的解集；(2)定义：max{a,b}={a,a ≥bb,a <b .已知定义在[0,+∞)上的函数ℎ(x)=max{f(x),g(x)}，求函数ℎ(x)的解析式；(3)在(2)的条件下，在平面直角坐标系中，画出函数ℎ(x)的简图，并根据图象写出函数ℎ(x)的单调区间和最小值．)，x∈R．20.已知函数f(x)=√3cos(2x+π6(1)求函数f(x)的最小正周期以及单调递增区间；]上的最小值及相应的x的值．(2)求函数f(x)在区间x∈[0,π221.常州地铁项目正在紧张建设中，通车后将给市民出行带来便利．已知某条线路通车后，地铁的发车时间间隔t(单位：分钟)满足2≤t≤20，t∈N.经测算，地铁载客量与发车时间间隔t相关，当10≤t≤20时地铁为满载状态，载客量为1200人，当2≤t<10时，载客量会减少，减少的人数与(10−t)的平方成正比，且发车时间间隔为2分钟时的载客量为560人，记地铁载客量为p(t)．(1)求p(t)的表达式，并求当发车时间间隔为6分钟时，地铁的载客量；(2)若该线路每分钟的净收益为Q=6p(t)−3360−360(元)，问当发车时间间隔为多少t时，该线路每分钟的净收益最大？已知f(x)为奇函数，g(x)为偶函数，且f(x)+g(x)=2log2(1−x)．(1)求f(x)及g(x)的解析式及定义域；(2)如果函数F(x)=2g(x)，若函数y=F(|2x−1|)−3k⋅|2x−1|+2k有两个零点，求实数k的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】解：∵U=R，B={x|0<x<2}，∴∁U B={x|x≤0或x≥2}，又∵A={x|1<x<4}，∴A∩(∁U B)=[2,4)，故选：D．先求集合B的补集，再求交集即可．本题考查了集合的运算，属于基础题．2.【答案】C【解析】解：函数f(x)的图像是连续的，f(2)f(3)=−63<0；f(3)f(4)=−77<0，f(4)f(5)=−55<0，所以f(x)在(2,3)、(3,4)，(3,4)之间一定有零点，即函数在区间[1,6]上的零点至少有3个．故选：C．利用零点存在性定理即可求解．本题考查了零点判定定理，属于基础题．3.【答案】D，故排除A；【解析】解：由于y=tan2x为奇函数，周期为π2)=cos2x，是偶函数，故排除B；由于y=sin(2x+π2由于y=|sinx|是偶函数，所以排除C；π−2x)=−sin2x是奇函数，周期为π，故D正确，由于y=cos(32故选：D．结合三角函数的诱导公式，判断三角函数的奇偶性和周期性，逐一判断各个选项是否满足条件，从而得出结论．本题主要考查诱导公式的应用，三角函数的奇偶性和周期性，属于基础题．4.【答案】D【解析】【分析】本题考查了利用指数函数和对数函数的性质比较大小，属于基础题．根据指数函数和对数函数的单调性，借助中间量1即可求出．【解答】解：a=30.7，b=(13)−0.8=30.8，由函数y=3x是R上的增函数，0.8>0.7>0，则30.8>30.7>30，即b>a>1，由函数y=log0.7x是R上的减函数，0.8>0.7，则log0.70.8<log0.70.7=1，∴c<a<b，故选：D．5.【答案】B【解析】解：∵x∈[π6,π3 ),∴√33≤tanx<√3，∴log√3√33≤log√3tanx<log√3√3，∴−1≤log√3tanx<1，∴1≤f(x)<3，∴f(x)的值域为[1,3)．故选：B．根据正切函数的单调性可得出√33≤tanx<√3，然后根据对数函数的单调性即可求出f(x)的值域．本题考查了正切函数和对数函数的单调性，函数值域的定义及求法，考查了计算能力，属于基础题．6.【答案】C【解析】【分析】本题考查有理指数幂的运算性质与对数的运算性质，是基础题．由QP 的值约等于261231≈230，令230=k，化指数式为对数式求解．【解答】解：因为P，Q两数远远大于1，所以QP 的值约等于261231，设261231=k，则230=k，即lg230=lgk，因此有30lg2=lgk ，以lgk ≈9，即k ≈109． 故选：C ．7.【答案】B【解析】解：根据题意，对于p ，方程4x −2x+1−a =0，设t =2x ，(t >0)，则t 2−2t −a =0，变形可得：a =t 2−2t =(t −1)2−1，(t >0)，若关于x 的方程4x −2x+1−a =0有解，必有a ≥−1，即a 的取值范围为[−1,+∞)； 对于q ，函数f(x)=log 2(x +a −1)在区间(0,+∞)上恒为正值，则有x +a −1>1在区间(0,+∞)上恒成立，必有x >2−a 在(0,+∞)上恒成立，必有a ≥2，即a 的取值范围为[2,+∞)； 又由[2,+∞)是[−1,+∞)真子集； 故p 是q 的必要不充分条件， 故选：B ．根据题意，分析命题p 、q 为真时a 的取值范围，结合充分必要条件的定义分析可得答案． 本题考查命题真假的判断，涉及充分必要的定义和判断，属于基础题．8.【答案】A【解析】解：依题意函数f(x)={sinx,0≤x ≤πlog 2022(x −π+1),x >π，f(π2)=sin π2=1，y =sinx(0≤x ≤π)关于x =π2对称． 不妨设0<a <b <π<c ， 则a +b =2×π2=π，由log 2022(x −π+1)=1可得x =2021+π， 所以π<c <2021+π，所以a +b +c ∈(π+π,π+2021+π)， 即a +b +c −2π∈(0,2021)． 故选：A ．结合对称性求得a +b +c 的取值范围，进而求解结论． 本题考查了三角函数的对称性、对数的计算，属于中档题．9.【答案】BD【解析】解：因为log 38log35=lg8lg3lg5lg3=lg8lg5=log 58，所以A 错；因为(827)−13=[(23)3]−13=32，所以B 对；因为√(3−π)2=π−3，所以C 错；因为(12)−log 27+ln(lne)=7+0=7，所以D 对． 故选：BD ．通过对数运算性质可判断AD ；通过幂指数运算可判断BC ．本题考查幂指数及对数运算性质，考查数学运算能力，属于基础题．10.【答案】ABC【解析】解：命题“∃x ∈R ，使得x 2+x +1<0”为特称命题，否定是“∀x ∈R ，都有x 2+x +1≥0，A 正确； x >1时，x +4x−1=x −1+4x−1+1≥2√(x −1)⋅4x−1+1=5，当且仅当x −1=4x−1，即x =3时取等号，B 正确；由不等式ax 2+2x +c >0的解集为{x|−1<x <2}得ax 2+2x +c =0的解为x =−1，x =2， 所以{−1+2=−2a−1×2=c a ，所以a =−2，c =4，a +c =2，C 正确； 当a =−1时，1a <1，D 显然错误． 故选：ABC ．结合含有量词的命题的否定检验选项A ，结合基本不等式检验选项B ，结合二次不等式的解集与二次方程根的关系检验选项C ，结合不等式的性质检验选项D ．本题主要考查了含有量词的命题的否定，基本不等式求解最值，二次不等式的解集与二次方程的根的关系的应用，不等式的性质，属于中档题．11.【答案】BCD【解析】解：对于A ，∵在△ABC 中，A +B +C =π，可得：A +B =π−C ，∴cos(A +B)=cos(π−C)=−cosC ，故A 错误；对于B ，若角α是第三象限角，即2kπ+π<α<2kπ+3π2，k ∈Z ，所以2kπ3+π3<α3<2kπ3+π2，k ∈Z ，当k =3n ，n ∈Z 时，α3为第一象限角，当k=3n+1，n∈Z时，α3为第三象限角，当k=3n+2，n∈Z时，α3为第四象限角，所以α3可能在第三象限，故B正确；对于C，若tanθ=2，则原式=sin2θ−2cos2θsin2θ+cos2θ=tan2θ−2tan2θ+1=22−222+1=25，故C正确；对于D，锐角α终边上一点坐标为P(−cos2,sin2)，由三角函数的定义可得tanα=sin2−cos2=−tan2=tan(π−2)，因为α是锐角α，则α=π−2正确．故选：BCD．运用象限角知识，诱导公式，三角函数的定义等知识对四个选项逐一分析可得答案．本题考查了象限角，诱导公式，三角函数的定义等知识，考查定义和运算能力，属于中档题．12.【答案】BCD【解析】【分析】本题考查函数的性质的应用，函数的单调性以及函数的奇偶性的应用，属于中档题．利用已知条件，判断函数的性质，然后判断选项的正误即可．【解答】解：定义在R上函数f(x)的图象是连续不断的，且满足以下条件：①∀x∈R，f(−x)= f(x)，说明函数是偶函数；②∀x1，x2∈(0,+∞)，当x1≠x2时，都有f(x2)−f(x1)x2−x1>0，说明函数在(0,+∞)是增函数；③f(−1)=0．所以f(3)<f(4)=f(−4)成立，所以A错误；若f(m−1)<f(2)，可得|m−1|<2，则m∈(−1,3)，所以B正确；由①得f(x)是定义在R上的偶函数，则f(−1)=f(1)=0，又函数f(x)在(0,+∞)是增函数，所以当x>1或x<−1时，f(x)>0；当−1<x<1时，f(x)<0，若f(x)x >0，则{f(x)>0x>0或{f(x)<0x<0,可得x∈(−1,0)∪(1,+∞)，所以C正确；因为函数是连续函数，又是偶函数，在x>0时是增函数，所以∀x∈R，∃M∈R，使得f(x)≥M，正确；故选：BCD．13.【答案】120【解析】解：因为圆的直径为16步，所以半径为8步，因为弧长为30步，所以扇形面积S=12lr=12×8×30=120，故答案为：120．利用扇形面积公式计算得出．本题考查了扇形面积公式，属于基础题．14.【答案】[−16,0]【解析】解：根据题意，函数f(x)=ax2+2x−1在区间(−∞,6)上单调递增，当a=0时，f(x)=2x−1，符合题意，当a≠0时，f(x)为二次函数，其对称轴为x=−1a ，必有{−1a≥6a<0，解可得−16≤a<0，即a的取值范围为[−16,0]；故答案为：[−16,0]．根据题意，分a=0与a≠0两种情况讨论，结合二次函数的性质可得关于a的不等式，计算可得答案．本题考查二次函数的性质以及应用，涉及函数单调性的定义，属于基础题．15.【答案】√2−√3【解析】解：函数f(x)是定义在R上的奇函数，且满足f(x+π)=f(x)，可得f(x)的最小正周期为π，又当x∈[0,π2)时，f(x)=2sinx，所以f(−133π)+f(9π4)=f(4π−133π)+f(2π+π4)=f(−π3)+f(π4)=−f(π3)+f(π4)=−2sinπ3+2sinπ4=−√3+√2．故答案为：√2−√3．由题意可得f(x)的最小正周期为π，由奇函数的定义和周期性，结合特殊角的三角函数值，计算可得所求和．本题考查函数的奇偶性和周期性的运用，考查转化思想和运算能力，属于基础题．16.【答案】1【解析】解：由已知可得f(2)=lg(2a −3)=0，则2a −3=1，解得a =2，故f(x)=lg(2x −3)，由2f(x)>lg(kx 2)得lg(2x −3)2>lg(kx 2)， 因为x ∈[3,4]，则kx 2<4x 2−12x +9，可得k <9x 2−12x+4，令t =1x ∈[14,13]，g(t)=9t 2−12t +4， 则函数g(t)在[14,13]上单调递减， 所以，g(t)max =g(14)=2516， ∴k <2516．因此，正整数k 的最大值为1． 故答案为：1．由f(2)=0可得出a =2，由已知不等式结合参变量分离法可得出k <9x 2−12x+4，令t =1x∈[14,13]，求出函数g(t)=9t 2−12t +4在[14,13]上的最大值，即可得出实数k 的取值范围，即可得解．本题考查了函数的单调性及转化思想，属于基础题．17.【答案】解：(1)由幂函数f(x)=(m 2−3m +3)x m ，可知m 2−3m +3=1，解得m =1或m =2， 当m =1时，f(x)=x 的图象不关于y 轴对称，舍去， 当m =2时，f(x)=x 2的图象关于y 轴对称，满足条件， 因此，m =2．(2)当x ∈[−1,2]时，f(x)的值域为[12,4]，则集合B =[12,4]， 由题意知B ⫋A ，得{1−a <3a +11−a <123a +1≥4，解得a ≥1，所以a 的取值范围为[1,+∞)．【解析】(1)由题意，利用幂函数的定义，函数的奇偶性，求得m 的值． (2)先求出B ，再根据B ⫋A ，考查端点间点的大小关系，求出a 的范围． 本题主要考查幂函数的定义，函数的奇偶性，集合间的包含关系，属于中档题．18.【答案】解：(1)因为函数f(x)是奇函数，且f(x)的定义域为R ，所以f(0)=1+a1+1=0，所以a =−1． 经检验，a =−1时f(x)=3x −13x +1为奇函数，满足题意．(2)由(1)知f(x)=3x −13x +1=1−23x +1，函数f(x)在定义域R 上单调递增．证明如下：设x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=2(3x 1−3x 2)(3x 1+1)(3x 2+1)．因为x 1<x 2，所以3x 1<3x 2，所以3x 1−3x 2<0， 所以f(x 1)<f(x 2)，所以函数f(x)在定义域R 上单调递增．【解析】(1)由奇函数f(x)在x =0处有定义，可得f(0)=0，解方程可得所求值； (2)由单调性的定义和指数函数的单调性可判断f(x)的单调性．本题考查函数的奇偶性和单调性的定义和性质，考查方程思想和运算能力，属于基础题．19.【答案】解：(1)由√x =|x −2|，得x 2−5x +4=0，∴x 1=1，x 2=4；解集为{1,4}； (2)由已知得ℎ(x)={√x,√x ≥|x −2||x −2|,√x <|x −2|={2−x,0≤x <1√x,1≤x ≤4x −2,x >4； (3)函数ℎ(x)的图象如图实线所示： 函数ℎ(x)的单调递减区间是[0,1]， 单调递增区间是(1,+∞)， 其最小值为1．【解析】(1)根据题意可得√x =|x −2|，平方即可求解． (2)由题意比较√x 与|x −2|的大小，从而可得出答案．(3)由(2)得到的函数关系，作出函数图象，根据图象可得函数的单调区间和最小值． 本题考查了分类讨论思想及数形结合思想，属于基础题．20.【答案】解：(1)∵f(x)=√3cos(2x +π6)，∴f(x)最小正周期T =2π2=π．令−π+2kπ≤2x +π6≤2kπ(k ∈Z)， 解得−7π12+kπ≤x ≤−π12+kπ(k ∈Z)，∴f(x)的单调递增区间是[−7π12+kπ,−π12+kπ](k ∈Z)． (2)当x ∈[0,π2]时，π6≤2x +π6≤7π6，∴当2x +π6=π，即x =5π12时，函数取得最小值3cos(π)=−√3，∴函数f(x)的最小值为−√3，此时x =5π12．【解析】(1)利用余弦函数的周期求解最小正周期，结合余弦函数的单调性，求解f(x)的单调递增区间．(2)当x ∈[0,π2]时，π6≤2x +π6≤7π6，然后根据余弦函数的图象与性质，求出f(x)最小值即可．本题考查三角函数的周期的求法，函数的最值以及函数的单调区间的求法，是基础题．21.【答案】解：(1)由题意知p(t)={1200−k(10−t)2,2≤t <101200,10≤t ≤20，t ∈N ，(k 为常数)，∵p(2)=1200−k(10−2)2=560， ∴k =10，∴p(t)={1200−10(10−t)2,2≤t <101200,10≤t ≤20={−t 2+200t +200,2≤t <101200,10≤t ≤20，∴p(6)=1200−10(10−6)2=1040； (2)由Q =6p(t)−3360t −360，可得Q ={6[1200−10(10−t)2−560t−60],2≤t <103840t−360,10≤t ≤20，当2≤t <10时，Q =6[140−10(t +36t)]≤6(140−10×12)=120，当且仅当t =6时等号成立； 当10≤t ≤20时，Q =7200−3360t−360≤384−360=24，当t =10时等号成立，∴当发车时间间隔为t =6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元． 答：当发车时间间隔为t =6分钟时，该线路每分钟的净收益最大，最大为120元．【解析】(1)由题意知p(t)={1200−k(10−t)2,2≤t <101200,10≤t ≤20，t ∈N ，(k 为常数)，再由p(2)=560求得k ，则p(t)可求，进一步求得p(6)得答案； (2)由Q =6p(t)−3360t−360，可得Q ={6[1200−10(10−t)2−560t−60],2≤t <103840t−360,10≤t ≤20，分段求最值得答案．本题考查简单的数学建模思想方法，考查利用基本不等式求最值，考查计算能力，是中档题．22.【答案】(1)因为f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，所以f(−x)=−f(x)，g(−x)=g(x)，∵f(x)+g(x)=2log 2(1−x)，① ∴令x 取−x 代入上式得f(−x)+g(−x)=2log 2(1+x)， 即−f(x)+g(x)=2log 2(1+x)，②联立①②可得，f(x)=log(1−x)−log 2(1+x)=log 21−x1+x (−1<x <1)， g(x)=log(1−x)+log 2(1+x)=log 2(1−x 2)(−1<x <1)．(2)F(x)=1−x2，x∈(−1,1)，−1<|2x−1|<1，x∈(−∞,1)，∴y=1−|2x−1|2−3k⋅|2x−1|+2k，x∈(−∞,1)．设t=|2x−1|∈[0,1)，∴y=−t2−3kt+2k+1，t∈[0,1)，∵当t∈(0,1)时，y=t与y=|2x−1|有两个交点，要使函数y=F(|2x−1|)−3k⋅|2x−1|+2k有两个零点，即使得函数y=−t2−3kt+2k+1，在t∈(0,1)有一个零点(t=0时x=0，y只有一个零点)，即方程t2+3kt−2k−1=0在(0,1)内只有一个实根，∵Δ>0，或k>0．令u(t)=t2+3kt−2k−1，则使u(0)⋅u(1)<0即可，∴k<−12)∪(0,+∞)．∴k的取值范围k∈(−∞,−12【解析】(1)由奇偶性的定义可得−f(x)+g(x)=2log2(1+x)，与f(x)+g(x)=2log2(1−x)联立，即可求解f(x).g(x)的解析式及定义域；(2)设t=|2x−1|∈[0,1)，则y=−t2−3kt+2k+1，t∈[0,1)，当t∈(0,1)时，y=t 与y=|2x−1|有两个交点，要使函数y=F(|2X−1|)−3k⋅|2X−1|+2k有两个零点，即使得函数y=−t2−3kt+2k+1，在t∈(0,1)有一个零点，即方程t2+3kt−2k−1=0在(0,1)内只有一个实根，由此能求出实数k的取值范围．本题考查函数的解析式、定义域的求法，考查实数的取值范围的求法，考查函数的奇偶性、换元法等基础知识，考查运算求解能力、化归与转化思想，是中档题．。
湖北省部分学校2023-2024学年高一上学期期末考试数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．已知集合 A {x∣x x 4 0}, B x∣log3x 1 ，则 AI B （ ）
A． 4,
12．已知函数 f x 是定义域为 R 的奇函数，直线 x 1是函数 y f x 的图象的一条对
称轴，当 x 0,1 时， f x x3 ，则（ ）
A． f x f x 4
B． f 2024 1
C． f x 在 1,3 上单调递减
D．方程 f x lgx 0 恰有 10 个解
A． 2 3
B． 2 3
C． 3
D． 3
6．已知 0, π ，且 sin cos 7 ，则 tan （ ）
13
试卷第 1 页，共 4 页
A． 5 12
B． 5 12
C． 12 5
7．已知 a log163,b lg2lg5, c log9 2 ，则 a,b, c 的大小关系为（
于违法行为.某人饮酒后，体内血液酒精含量迅速上升到100mg /100ml ，然后血液酒精
含量会以每小时 20% 的速度减少，则按照新规他至少经过小时后才能开车（. 参考数据：
lg2 0.3 ）
16．已知函数 f x m 2ex x2 nx ，若 x∣f x 0 ⫋ x∣f f x 0 ，则 m ，
B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．函数 f x x sinx 的部分图象大致为（ ）
A．
B．
C．
D．
5．在平面直角坐标系中，角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的非负半轴重合，终边落
2021-2022学年湖北省部分省示范高中(武汉十四中等)高一(上)期末数学试卷(附答案详解)
2021-2022学年湖北省部分省示范高中（武汉十四中等）高一（上）期末数学试卷一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 已知R 为实数集，集合A ={x|x >1}，B ={x|x ≥2}，则(∁R B)∩A =( )A. (1,2)B. (1,2]C. (−∞,1]D. [2,+∞)2. 若a =e 0.5，b =sin22π5,c =log 20.2，则a 、b 、c 的大小关系为( )A. b >a >cB. a >b >cC. c >a >bD. b >c >a3. 已知角α的终边经过点P(2a +1,a −2)，且cosα=−35，则实数a 的值是( )A. −2B. 211C. −2或211D. 24. 函数y =(2x −2−x )sinx 在[−π,π]的图象大致为( )A.B.C.D.5. 设tan160°=k ，则sin160°=( )√1+k 2√1+k 2√1+k 2√1+k 26. 已知函数f(x)={(a +3)x,(x ≤1)x a −7,(x >1)是减函数，则实数a 的取值范围是( )A. (−∞,−9]B. (−∞,−3)C. [−9,−3)D. (−3,0)7. 已知−π2<α<0，sinα+cosα=15，则1cos 2α−sin 2α的值为( )A. 75B. 257C. 725D. 24258. 已知函数f(x)={−x,x ≤0−x 2+2x,x >0，若方程f 2(x)+bf(x)+14=0有六个相异实根，则实数b 的取值范围( )A. (−2,0)B. (−2,−1)C. (−54,0)D. (−54,−1)二、多选题（本大题共4小题，共20.0分） 9. 下列命题为真命题的是( )A. 若a >b ，则ac 2>bc 2B. 若−2<a <3，1<b <2，则−4<a −b <2C. 若b <a <0，m <0，则ma >mb D. 若a >b ，c >d ，则ac >bd10. 已知函数f(x)=2x −12x +1，下面说法正确的有( )A. f(x)的图像关于原点对称B. f(x)的图像关于y 轴对称C. f(x)的值域为(−1,1)D. ∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2,f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>011. 下列命题是假命题的是( )A. y =lg[sin(π4−x)]的单调递增区间为(2kπ+5π4,2kπ+7π4],k ∈ZB. 若sinα<0，则α是第三或四象限的角C. 函数y =sin(π3x +π4)的最小正周期是6D. (12)sinα<√22，则2kπ+π6<α<2kπ+7π6,k ∈Z12. 已知实数x 1，x 2为函数f(x)=(12)x −|log 2(x −1)|的两个零点，则下列结论正确的是( )A. (x 1−2)(x 2−2)∈(−∞,0)B. (x 1−1)(x 2−1)∈(0,1)C. (x 1−1)(x 2−1)=1D. (x 1−1)(x 2−1)∈(1,+∞)三、单空题（本大题共3小题，共15.0分）13. 一个面积为2的扇形，所对的弧长为1，则该扇形的圆心角为 弧度． 14. 已知函数f(x)=tanx −ksinx +2(k ∈R)，若f(π3)=−1,f(−π3)=______． 15. 已知对满足x +4y =xy 的任意正实数x ，y ，都有x 2+2xy +y 2−ax −ay +1≥0，则实数a 的取值范围为______ ．四、解答题（本大题共7小题，共75.0分）16. 设ω>0，若函数f(x)=2sinωx 在[−π3,π4]上单调递增，则ω的取值范围是______．17. 化简求值：(1)(0.064)−13−(π−1)0−(338)13+(116)−34； (2)log 279+2lg5+lg4−21−log 23．18. 已知m >0，p ：x 2−4x −12<0，q ：2−m ≤x ≤2+m ．(1)若p 是q 的充分条件，求实数m 的取值范围；(2)若m =5，命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，求实数x 的取值范围．19. (1)已知方程sin(α−3π)=2cos(α−4π)，求sin(π−α)+5cos(2π−α)2sin(3π2−α)−sin(−α)的值．(2)已知tanα,1tanα是关于x 的方程，x 2−kx +k 2−3=0的两个实根，且3π<α<72π，求cosα+sinα的值．20.已知函数f(x)=3sin(ωx+π4)(ω>0)图象的两相邻对称轴之间的距离为π2．(1)求函数f(x)的解析式，并写出使函数取得最大值的x的集合；(2)求函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间．21.为防止未成年人沉迷网络游戏，切实保护未成年人身心健康，2021年8月30日，国家新闻出版署下发《关于进一步严格管理切实防止未成年人沉迷网络游戏的通知》，通知要求：“严格限制向未成年人提供网络游戏服务的时间，所有网络游戏企业仅可在周五，周六，周日和法定节假日每日20时至21时向未成年人提供1小时服务，其他时间均不得以任何形式向未成年人提供网络游戏服务．”为落实上述通知要求，某网络游戏企业对新出品的一款游戏没定了“防沉迷系统”，规则如下：①0到45分钟(不含0，含45分钟)为正常游戏时间，玩家在这段时间内获得的累积经验值E与游戏时间t(分钟)满足关系式：E=19t2+4t+a；②45到55分钟(含55分钟)为视力疲劳时间，玩家在这段时间内获得的经验值为0(即累积经验值不变)；③55到60分钟(含60分钟)为下线提醒时间，累积经验值开始减少，玩家每多玩1分钟，累积经验值将减少64；④1小时后，无论玩家是否退出游戏，平台都将自动关闭．(1)当a =15时，求出累积经验值E 与游戏时间t(0<t ≤60)的函数关系式E =f(t)； (2)该游戏企业把累积经验值E 与游戏时间t 的比值称为“玩家愉悦指数”，记作H(t)，若a >0且该游戏企业希望在正常游戏时间内，这款游戏的“玩家愉悦指数”不低于6，求a 的最小值．22. 定义在D 上的函数f(x)，如果满足：对任意x ∈D ，存在常数M ≥0，都有|f(x)|≤M成立，则称f(x)是D 上的有界函数，其中M 称为函数f(x)的一个上界．已知函数f(x)=1+a(12)x +(14)x ，g(x)=log 121−axx−1．(1)若函数g(x)为奇函数，求实数a 的值；(2)在(1)的条件下，求函数g(x)在区间[97,3]上的所有上界构成的集合； (3)若函数f(x)在[0,+∞)上是以5为上界的有界函数，求实数a 的取值范围．答案和解析1.【答案】A【解析】解：R为实数集，集合A={x|x>1}，B={x|x≥2}，∁R B={x|x<2}，(∁R B)∩A={x|1<x<2}．故选：A．求出∁R B，由此能求出(∁R B)∩A．本题考查集合的运算，考查交集、补集定义、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2.【答案】B【解析】【分析】本题考查三个数的大小的判断，考查指数函数、对数函数、三角函数的单调性等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．利用指数函数、对数函数、三角函数的单调性直接求解．【解答】解：∵a=e0.5>e0=1，b=sin22π5=sin2π5∈(0,1)，c=log20.2<log21=0，∴a、b、c的大小关系为a>b>c．故选：B．3.【答案】A【解析】解：由题意可得：角α的终边经过点P(2a+1,a−2)，且cosa=−35=√(2a+1)2+(a−2)2，整理可得11a2+20a−4=0，解得a=−2，或211，由于√(2a+1)2+(a−2)2=−35<0，可得2a+1<0，即a<−12，所以a=−2．故选：A．由题意利用任意角的三角函数的定义可得−35=√(2a+1)2+(a−2)2，整理可得11a2+20a−4=0，解方程即可求解．本题是基础题，考查任意角的三角函数的定义，属于常考题型．4.【答案】A【解析】解：f(−x)=(2−x−2x)sin(−x)=(2x−2−x)sinx=f(x)，则f(x)是偶函数，图象关于y轴对称，排除B，当0<x<π时，f(x)>0，排除D，当0<x<π2时，f(x)为增函数，排除C，故选：A．判断函数的奇偶性，对称性以及单调性，利用排除法进行求解即可．本题主要考查函数图象的识别和判断，结合函数的奇偶性和单调性，利用排除法是解决本题的关键．难度中等．5.【答案】B【解析】解：设tan160°=k<0，sin160°>0，可得cos2160°=11+tan2160∘=11+k2，可得sin160°=√1−11+k2=√1+k2=√1+k2．故选：B．利用同角三角函数基本关系式即可求解．本题主要考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．6.【答案】C【解析】解：因为函数f(x)={(a +3)x,(x ≤1)x a −7,(x >1)是减函数，所以{a +3<0a <0a +3≥1−7，解得−9≤a <−3，即实数a 的取值范围是[−9,−3)． 故选：C ．由f(x)为减函数可知，x ≤1及x >1时，f(x)均递减，且a −3≥1−7，由此可求a 的取值范围．本题主要考查函数的单调性，分段函数的性质，考查运算求解能力，属于基础题．7.【答案】B【解析】解：∵−π2<α<0，sinα+cosα=15，则1+2sinαcosα=125，∴2sinαcosα=−2425， ∴cosα−sinα=√(cosα−sinα)2=√1+2sinαcosα=75， 则1cos 2α−sin 2α=1(cosα+sinα)⋅(cosα−sinα)=115⋅75=257，故选：B ．由条件利用同角三角函数的基本关系求得2sinαcosα的值，可得cosα−sinα=√(cosα−sinα)2 的值，从而求得要求式子的值．本题主要考查同角三角函数的基本关系的应用，以及三角函数在各个象限中的符号，属于基础题．8.【答案】D【解析】解：令t =f(x)，则原函数方程等价为t 2+bt +14=0． 作出函数f(x)的图象如图1：图象可知当由0<t <1时，函数t =f(x)有3个交点． 所以要使f 2(x)+bf(x)+14=0有六个相异实根， 则等价为有两个根t 1，t 2， 且0<t 1<1，0<t 2<1．令g(t)=t 2+bt +14，则由根的分布(如图2)可得{ △>0f(0)=14>0f(1)=1+b +14>00<−b 2<1，即{b 2−1>0b >−54−2<b <0，即{b >1或b <−1b >−54−2<b <0，解得−54<b <−1，则实数b 的取值范围是(−54,−1)．故选：D ．先将函数进行换元，转化为一元二次函数问题．同时在结合函数f(x)的图象，确定b 的取值范围．本题考查复合函数零点的个数问题，以及二次函数根的分布，解决本题的关键是利用换元，将复合函数转化为我们熟悉的二次函数，换元是解决这类问题的关键．9.【答案】BC【解析】解：对于A ，c =0时，显然错误， 对于B ，∵−2<a <3，1<b <2， ∴−2<a <3，−2<−b <−1， ∴−4<a −b <2，故B 正确， 对于C ，∵b <a <0，m <0，， ∴1a <1b <0，∴m a>mb，故C 正确， 对于D ，令a =−1，b =−2，c =2，d =1，显然错误， 故选：BC ．根据不等式的基本性质分别判断即可．本题考查了不等式的基本性质，考查特殊值法的应用，是基础题．10.【答案】ACD【解析】解：因为f(x)=2x −12x +1的定义域为R ，关于原点对称，则f(−x)=2−x −12−x +1=(2−x −1)2x(2−x +1)2x =1−2x1+2x =−f(x)，所以f(x)是奇函数，图象关于原点对称，故选项A 正确，选项B 不正确； 因为f(x)=2x −12x +1=2x +1−22x +1=1−22x +1，又因为2x >0，所以2x +1>1，所以0<12x +1<1，−2<−22x +1<0， 所以−1<1−22x +1<1，可得f(x)的值域为(−1,1)，故选项C 正确； 设任意的x 1<x 2，则f(x 1)−f(x 2)=1−22x 1+1−(1−22x 2+1)=22x 2+1−22x 1+1=2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)， 因为2x 1+1>0，2x 2+1>0，2x 1−2x 2<0，所以2(2x 1−2x 2)(2x 1+1)(2x 2+1)<0，即f(x 1)−f(x 2)<0，所以f(x 1)−f(x 2)x 1−x 2>0，故选项D 正确．故选：ACD ．判断f(x)的奇偶性即可判断选项AB ，求f(x)的值域可判断C ，证明f(x)的单调性可判断选项D ，即可得正确选项．本题考查命题真假性的判断，主要涉及函数的相关性质，考查利用定义证明函数单调性的方法，属于中档题．11.【答案】ABD【解析】解：y =lg[sin[(π4−x)]，变形为y =lg[−sin(x −π4)]， 由x −π4∈[2kπ+π2,2kπ+π)，k ∈Z 得：x ∈[2kπ+3π4,2kπ+5π4)，k ∈Z ；即y =lg[sin(π4--x)]的单调递增区间为(2kπ+3π4,2kπ+5π4)，故A 错误；若sinα<0，则α是第三或四象限的角或y 轴非正半轴角，故B 错误；函数y =sin(π3x +π4)的最小正周期T =2ππ3=6，故C 正确；由(12)sinα<√22，得sinα>12，∴2kπ+π6<α<2kπ+5π6，k ∈Z ，故D 错误．故选：ABD ．利用复合函数的单调性，求出函数y =lg[sin(π4−x)]的单调递增区间，可判断A ；sinα<0，则α是第三或四象限的角或y 轴非正半轴角，可判断B ；求得函数y =sin(π3x +π4)的最小正周期可判断C ；由(12)sinα<√22，得sinα>12，可得α的范围可判断D ．本题考查正弦函数的单调性，周期性，考查综合应用知识的能力，属中档题．12.【答案】AB【解析】 【分析】本题考查了函数的零点与方程根的关系，此类问题一般会把方程的根转化为两个函数图象交点的横坐标来处理，属于中档题．将问题转化为实数x 1，x 2为y =(12)x 与y =|log 2(x −1)|图象交点的横坐标，然后作出两个函数的图象，利用{(12)x 1=−log 2(x 1−1)(12)x 2=log 2(x 2−1)，结合对数与指数的互化，得到(x 1−1)(x 2−1)=2(12)x 2−(12)x 1，结合x 1，x 2的取值范围进行分析，即可得到答案． 【解答】解：实数x 1，x 2为函数f(x)=(12)x −|log 2(x −1)|的两个零点， 故实数x 1，x 2为y =(12)x 与y =|log 2(x −1)|图象交点的横坐标， 作出函数y =(12)x 与y =|log 2(x −1)|的图象如图所示，不妨设x 1<x 2，则有{(12)x 1=−log 2(x 1−1)(12)x 2=log 2(x 2−1), 所以x 1−1=2−(12)x 1，x 2−1=2(12)x2， 故(x 1−1)(x 2−1)=2(12)x 2−(12)x 1，又因为(12)x 2−(12)x 1<0，所以2(12)x 2−(12)x1<1，所以0<(x 1−1)(x 2−1)<1， 又因为x 1<2，x 2>2， 所以(x 1−2)(x 2−2)<0， 故选项A ，B 正确． 故选：AB ．13.【答案】14【解析】 【分析】利用扇形面积及弧长公式即可算出结果．本题主要考查了扇形面积公式，以及弧长公式，是基础题． 【解答】解：∵扇形面积公式为S =12lr ， ∴2=12×1r ， ∴r =4，∴扇形的圆心角|α|=1r =14， 故答案为：14．14.【答案】5【解析】解：因为f(x)=tanx −ksinx +2(k ∈R)，所以f(−x)=tan(−x)−ksin(−x)+2=−tanx +ksinx +2， 所以f(x)+f(−x)=4，因为f(π3)=−1，则f(−π3)=4−f(π3)=4−(−1)=5． 故答案为：5．利用诱导公式求出f(−x)，从而可得f(x)+f(−x)=4，结合已知即可求解． 本题主要考查三角函数的求值，诱导公式的应用，考查运算求解能力，属于基础题．15.【答案】a ≤829【解析】解：因为正实数x ，y 满足x +4y =xy ，则1y +4x =1， 所以x +y =(x +y)⋅(1y +4x )=xy +4y x+5≥2√x y ⋅4y x+5=9，当且仅当x =2y =6时取等号，因为x 2+2xy +y 2−ax −ay +1≥0对任意正实数x ，y 恒成立， 则a ≤x +y +1x+y 对任意正实数x ，y 恒成立， 令t =x +y ≥9，则t +1t 在[9,+∞)上单调递增， 所以当t =9时，t +1t 有最小值829， 所以a ≤829．故答案为：a ≤829．先将已知的等式变形，然后利用“1”的代换求出x +y 的取值范围，将不等式恒成立转化为求解x +y +1x+y 的最小值，利用换元法结合单调性求解最值即可．本题考查了不等式恒成立问题的求解，利用基本不等式求解最值，要掌握不等式恒成立问题的一般求解方法：参变量分离法、数形结合法、最值法等，属于中档题．16.【答案】(0,32]【解析】 【分析】依题意，f(x)=2sinωx 在[−π3,π4]上单调递增，从而可求得ω的取值范围． 本题考查正弦函数的单调性，考查分析运算能力，属于中档题． 【解答】解：∵ω>0，若函数f(x)=2sinωx 在[−π3,π4]上单调递增， ∴f(x)=2sinωx 在[−π3,π4]上单调递增，，∴0<ω≤32． 故答案为：(0,32].17.【答案】解：(1)原式=[(0.4)3]−13−1−[(32)3]13+(2−4)−34=52−1−32+8=8．(2)原式=log 3332+2(lg5+lg2)−2log 223=23+2−23=2．【解析】利用有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质求解． 本题主要考查了有理数指数幂的运算性质和对数的运算性质，是基础题．18.【答案】解：解不等式x 2−4x −12≤0，解得−2≤x ≤6，即p ：−2≤x ≤6．(1)∵p 是q 的充分条件，∴[−2,6]是[2−m,2+m]的子集， 解得m ≥4，所以m 的取值范围是[4,+∞)； (2)当m =5时，p ：−3≤m ≤7，由于命题p 、q 其中一个是真命题，一个是假命题，分以下两种情况讨论： ①p 真q 假时，解得x ∈⌀；②p 假q 真时，解得−3≤x <−2或6<x ≤7． 所以实数x 的取值范围为[−3,−2)∪(6,7]．【解析】(1)先利用一元二次不等式的解法求出命题p，然后将p是q的充分条件转化为集合之间的包含关系分析求解即可；(2)求出当m=5时命题q，然后利用复合命题的真假得到命题p、q其中一个是真命题，一个是假命题，分情况分别求解即可．本题考查了充分条件与必要条件的应用、复合命题真假的应用、一元二次不等式的解法、集合的包含关系的应用等，属于中档题．19.【答案】解：(1)由sin(α−3π)=2cos(α−4π)，得：−sinα=2cosα，即tanα=−2．sin(π−α)+5cos(2π−α)2sin(3π2−α)−sin(−α)=sinα+5cosα−2cosα+sinα=tanα+5−2+tanα=−2+5−2−2=−34；(2)∵tanα,1tanα是关于x的方程，x2−kx+k2−3=0的两个实根，∴{tanα+1tanα=ktanα⋅1tanα=k2−3，解得k=±2，∵3π<α<72π，∴k=2，即tanα+1tanα=2，tanα=1，α=134π．∴cosα+sinα=cos134π+sin134π=−√22−√22=−√2．【解析】(1)由已知利用诱导公式化简得到tanα的值，再由诱导公式化简sin(π−α)+5cos(2π−α)2sin(3π2−α)−sin(−α)为含有tanα的形式，代入tanα的值得答案；(2)由根与系数关系列式求出k的值，结合α的范围求出tanα，进一步求得α，则cosα+ sinα的值可求．本题考查了三角函数的化简与求值，考查了三角函数的诱导公式，解答此题的关键是化弦为切，是中档题．20.【答案】解：(1)因为两相邻对称轴之间的距离为π2，可知函数的周期T=π， (2))∴ω=2，……(3分)f(x)=3sin(2x+π4)，……(4分)当2x+π4=π2+2kπ,x=π8+kπ(k∈Z)，∴函数f(x)取得最大值3，使函数取得最大值的x的集合为{x|x=π8+kπ,k∈Z} (6))(2)对于y =sinx 的单调递减区间为[π2+2kπ,3π2+2kπ],(k ∈Z)故有π2+2kπ≤2x +π4≤3π2+2kπ,(k ∈Z)……(8分)解得π8+kπ≤x ≤5π8+kπ,(k ∈Z)……(10分)当k =0时，π8≤x ≤5π8，此时x ∈[0,π]；……(11分) 当k =1时，9π8≤x ≤13π8，此时x ∉[0,π]，所以函数f(x)在[0,π]上的单调递减区间为[π8,5π8].……(12分)【解析】(1)利用函数的周期，求解ω，然后求解函数的解析式，利用函数的最大值求解x 的集合即可．(2)利用正弦函数的单调性，转化求解函数的单调区间即可．本题考查三角函数的解析式的求法，函数的单调区间的求法，是中档题．21.【答案】解：(1)∵a =15，∴当0<t ≤45时，E =19t 2+4t +15，当45<t ≤55时，E =19×452+4×45+15=420， 当55<t ≤60时，E =420−64(t −55)=−64t +3940， ∴累积经验值E 与游戏时间t(0<t ≤60)的函数关系式为： E =f(t)={19t 2+4t +15,0<t420,45<t ≤55−64t +3490,55<t ≤60．(2)正常游戏时间内，即0<t ≤45时，H(t)=E t=19t +at+4，由题设知对任意t ∈(0,45]，都有19t +at +4≥6成立， 即对任意t ∈(0,45]，都有19t 2−2t +a ≥0成立，∵函数y =19t 2−2t +a 在(0,9]上单调递减，在(9,45]上单调递增， ∴当t =9时，函数y =19t 2−2t +a 取得最小值a −9， ∴只需a −9≥0，即a ≥9，∴a 的最小值为9．【解析】(1)根据已给模型能求出累积经验值E 与游戏时间t(0<t ≤60)的函数关系式E =f(t)；(2)在(0,45]内，求出H(t)=Et ，然后由不等式恒成立，转化为求函数的最小值，利用最小值不小于0，能求出参数a 的最小值．本题考查函数解析式、实数的最小值的求法，考查函数的单调性、一元二次函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．22.【答案】解：(1)因为函数g(x)为奇函数，所以g(−x)=−g(x)，即log 121+ax −x−1=−log 121−axx−1，即1+ax −x−1=x−11−ax ，得a =±1，而当a =1时不合题意，故a =−1． (2)由(1)得：g(x)=log 121+xx−1，而g(x)=log 121+x x−1=log 12(1+2x−1)，易知g(x)在区间(1,+∞)上单调递增，所以函数g(x)=log 121+xx−1在区间[97,3]上单调递增，所以函数g(x)=log 121+xx−1在区间[97,3]上的值域为[−3,−1]，所以|g(x)|≤3，故函数g(x)在区间[97,3]上的所有上界构成集合为[3,+∞)．(3)由题意知，|f(x)|≤5在[0,+∞)上恒成立，−5≤f(x)≤5，−6−(14)x ≤a(12)x ≤4−(14)x ．∴−6⋅2x −(12)x ≤a ≤4⋅2x −(12)x 在[0,+∞)上恒成立．∴[−6⋅2x −(12)x ]max ≤a ≤[4⋅2x −(12)x ]min设2x =t ，ℎ(t)=−6t −1t ，P(t)=4t −1t ，由x ∈[0,+∞)，得t ≥1． 易知P(t)在[1,+∞)上递增， 设1≤t 1<t 2，ℎ(t 1)−f(t 2)=(t 2−t 1)(6t 1t 2−1)t 1t 2>0，所以ℎ(t)在[1,+∞)上递减，ℎ(t)在[1,+∞)上的最大值为ℎ(1)=−7，p(t)在[1,+∞)上的最小值为p(1)=3，所以实数a 的取值范围为[−7,3]．【解析】(1)根据函数奇偶性的定义求出a 的值即可；(2)先求出函数的单调区间，求出函数的值域，从而求出函数g(x)在区间[97,3]上的所有上界构成的集合；(3)问题转化为−6⋅2x −(12)x ≤a ≤4⋅2x −(12)x 在[0,+∞)上恒成立，通过换元法求解即可．本题考查了函数的单调性、奇偶性问题，考查函数的新定义问题，考查换元思想，是一道中档题．。
2022-2023学年湖北省武汉市华中师范大学第一附属中学高一年级上册学期期末数学试题【含答案】
华中师大一附中2022—2023学年度上学期高一期末检测数学试题一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.1. 如图，是全集，，，是的子集，则阴影部分表示的集合是（）U M N P UA. B. ()M N P ⋂⋂()M N P ⋃⋂C.D.()()U M N P ⋂⋂ ()()UM N P ⋃⋂ 【答案】C 【解析】【分析】根据文氏图的意义，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，求解即可.M N P 【详解】根据题意，阴影部分为集合的外部与集合集合交集内部的公共部分，M N P 即.()()UM N P ⋂⋂ 故选：C.2. 若，均为实数，则“”是“”的（ ）a b 22a b >a b >A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件【答案】B 【解析】【分析】通过不等式的性质一一验证其充分性与必要性即可.【详解】若，则，则或，故充分性不成立；22a b >a b >a b >a b<-若，则，故必要性成立；a b>22a b >故“”是“”的必要不充分条件.22a b >a b >故选：B.3. 下列坐标所表示的点不是函数图象的对称中心的是（ ）tan 34y x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭A. B. C. D. 5,012π⎛⎫⎪⎝⎭3,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭,06π⎛⎫ ⎪⎝⎭,012π⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】C 【解析】【分析】根据正切函数的性质即可求得对称中心.【详解】由已知，令()3,Z 42612k k x x k ππππ-=⇒=+∈当时，，ABD 均符合题意，0,1,2k =35,,121212x πππ=故选：C4. 尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解.例如，地震时释放出的能量（单位：焦耳）与地震级数之间的关系式为.2022年9月18日14时44分在中E M lg 4.8 1.5E M =+国台湾花莲发生的6.9级地震所释放出来的能量是2020年12月30日8时35分在日本本州东海岸发生的5.1级地震的倍，则下列各数中最接近的值为（ ）m m A. 100 B. 310C. 500D. 1000【答案】C 【解析】【分析】根据地震释放出的能量与地震级数之间的关系式，将两次地震等级分别代E M lg 4.8 1.5E M =+入，利用对数运算法则可得两次能量的比值，近似计算可确定选项.E 【详解】设6.9级地震所释放出来的能量是，日本5.1级地震所释放出来的能量是，1E 2E 则，；1lg 4.8 1.5 6.9E =+⨯2lg 4.8 1.5 5.1E =+⨯可得，所以1122lg lg lg2.7E E E E -==()2.7 2.53121010,10E m E ==∈而，即.52.521010316==≈()316,1000m ∈故选：C5. 函数的部分图象形状大致是（ ）()21sin 1πxf x x ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭A. B.C. D.【答案】A 【解析】【分析】首先根据函数解析式可判断函数为偶函数，再利用特殊值的符号通过排除法即可得出结果.()f x 【详解】根据题意可知，定义域为，()2π11sin sin 1ππ1x xxf x x x -⎛⎫=-⋅=⋅ ⎪++⎝⎭x ∈R 而，()()π11ππ1sin()sin sin ()π1π1π1x x x x x x f x x x x f x ------=⋅-=⋅-=⋅=+++所以函数为偶函数，图像关于轴对称，可排除CD ；()f x y 根据图象可利用可排除B.()2221sin 201πf ⎛⎫=-⋅ ⎪+⎝⎭>故选：A6. 若扇形的周长为定值，圆心角为，则当扇形的面积取得最大值时，该扇形的圆心角l ()02παα<<的值为（ ）αA. 1 B. 2C. 3D. 4【答案】B 【解析】【分析】根据扇形的弧长公式和面积公式，将面积写成关于的表达式，再利用二次函数性质即可求得S l 结果.【详解】设扇形的半径为，弧长为，r L 因此，22L r r r l α+=+=扇形的面积，2111(2)222S Lr l r r r lr ==-=-+由二次函数性质可知，当时，扇形面积取到最大值；4lr =此时，.2lr α=2α=故选：B 7. 设，，，则（ ）3log 2a =6log 4b =135log 40c =A. B. C. D. c b a <<a b c<<b a c<<a c b<<【答案】D 【解析】【分析】利用换底公式将表示成分式形式，再利用加糖不等式和对数函数单调性即可判断出大小.,,a b c 【详解】由题意可知，，3lg 2log 2lg 3a ==，6lg 42lg 2lg 2lg 2lg 6lg 3lg 2lg 3lg 2log 4b =+=++==利用加糖不等式可知；(0,0)m m k m n k n n k +<<+a b <又13135131lg 2lg 5lg 40lg 5lg83lg 2lg 5lg 2lg 53log 401lg135lg 5lg 273lg 3lg 5lg 3lg 5lg 3lg 53c ++++======++++又因为，1358,lg 5lg 2<<同理根据加糖不等式，，即.1313lg 2lg 2lg 5lg 2lg 2lg 3lg 3lg 2lg 3lg 5++++<<a c b <<故选：D8. 定义在上的偶函数满足，且当时，R ()f x ()()22f x f x -=+[]0,2x ∈，若关于的方程至少有8个实数解，则实数的取值范()21,012sin 1,122x x f x x x π⎧-≤≤⎪=⎨-<≤⎪⎩x ()ln x f x λ=λ围是（）A. B. 11,ln 6ln 5⎡⎤-⎢⎥⎣⎦11,ln 6ln 5⎛⎤- ⎥⎝⎦C.D. 11,,ln 6ln 5⎛⎤⎡⎫-∞-⋃+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭11,00,ln 6ln 5⎡⎫⎛⎤-⋃⎪ ⎢⎥⎣⎭⎝⎦【答案】A 【解析】【分析】根据函数的周期性画出函数的图像，利用对称性判断轴两个函数图像交点个数列出不等式，解y 不等式即可得到范围.【详解】由已知满足， 且函数为偶函数，()f x ()()22f x f x -=+()f x 所以，()()()()2222f x f x f x f x +=-=--=-⎡⎤⎣⎦令，()2(4)t x f t f t =-⇒+=所以函数是周期为的周期函数.()f x 4又因为与函数都是偶函数，由对称性可知()f x ln xλ由于关于的方程至少有8个实数解，x ()ln x f x λ=故当时，与至少有个交点.0x >()y f x =ln y x λ=4函数与图像如图所示.()y fx =ln y x λ=由图可知：当时，只需，解得0λ>ln 51λ≤10ln 5λ<≤当时，只需，解得0λ<ln 61λ≥-1ln 6λ-≤<当时，显然符合题意.0λ=综上所述：.11,ln 6ln 5λ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦故选：A二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的.全选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.9. 若，则下列说法中正确的是（ ）()*0,1,N n a b a n n =>>∈A. 当为奇数时，的次方根为 B. 当为奇数时，的次方根为n b n a n a n b C. 当为偶数时，的次方根为 D. 当为偶数时，的次方根为n a n b ±n b n a±【答案】AD 【解析】【分析】根据，讨论为奇数和偶数两种情况，求出的次方根即可判断得()*0,1,N n a b a n n =>>∈n b n 出结果.【详解】当为奇数时，可知的次方根只有一个，为，n b n a 当为偶数时，由于，所以的次方根有两个，为;n ()n na ab ±==b n a ±所以只有AD 正确.故选：AD10. 已知，则下列不等式正确的是（）1m n >>A.B.22n nm m +<+11m n m n +>+C. D.3322+>m n m n 11+>+m n n m【答案】BD 【解析】【分析】通过对选项利用不等式性质进行拆解，在通过已知条件反证一一推导即可.【详解】对于选项A ：，1m n >> ，22m n ∴>，22mn m mn n ∴+>+，()()22m n n m ∴+>+都大于零,m n ，22n nm m +∴>+故选项A 错误；对于选项B ：，1m n >> ，且，1mn >∴1m n ->，()mn m n m n∴->-，22m n mn m n ∴->-，22m n n mn m ∴+>+，11m n m n +>+∴故选项B 正确；对于选项C ：当，时，3m =2n =，33227835236m n m n +=+=<=故选项C 错误；对于选项D ：，1m n >> ，110n m ∴>>，11m n n m +>+∴故选项D 正确.故选：BD11. 已知，，则下列结论正确的是（ ）()0,θπ∈7sin cos 5θθ-=A.B.C.D. ,2πθπ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭4cos 5θ=-3tan 4θ=-2tan 121tan 25θθ=-+【答案】AD 【解析】【分析】由已知得，，确定的范围判断A ，求解与值判断B 与C ，把sin 0θ>cos 0θ<θcos θtan θ代入，化简判断D.tan θ2tan 1tan θθ+【详解】对于A ：由，，两边平方得：，()0,πθ∈7sin cos 5θθ-=4912sin cos 25θθ-=则,得，，则,故A 正确；242sin cos 025θθ=-<sin 0θ>cos 0θ<π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭对于B 、C 、D ：∵，则，π,π2θ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭ππ3π,444θ⎛⎫-∈ ⎪⎝⎭∴，(πsin cos 4θθθ⎛⎫-=-∈ ⎪⎝⎭又，1sin cos 5θθ+====±当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩4sin 5θ=3cos 5θ=-∴，；sin 4tan cos 3θθθ==-24tan 123161tan 2519θθ-==-++当时，联立，解得，，1sin cos 5θθ+=-1sin cos 57sin cos 5θθθθ⎧+=-⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩3sin 5θ=4cos 5θ=-∴，.sin 3tan cos 4θθθ==-23tan 12491tan 25116θθ-==-++故B 、C 错误，D 正确.故选：AD.12. 设函数是定义在上的减函数，并且同时满足下列两个条件：①对，都()f x ()0,∞+(),0,x y ∀∈+∞有；②；则下列结论正确的是（）()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭()21f =-A.()10f =B. 不等式的解集为()()21f x f x +-<01x x ⎧⎪<<+⎨⎪⎩C.()42f =-D. 使关于的不等式有解的所有正数的集合为x ()()22f kx f x +-<k 14k k ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭【答案】ACD 【解析】【分析】利用赋值法判断选项A ，C ，根据函数的单调性化简不等式，求其解，即可判断B ，根据函数的单调性化简不等式，根据不等式有解列不等式求的范围判断D ．k 【详解】因为对，都有，(),0,x y ∀∈+∞()()x f f x f y y⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，即，则，故选项A 正确；1x y ==(1)(1)(1)f f f =-(1)0f =令，则，又，所以，故选项C 正确；4,2x y ==(2)(4)(2)f f f =-()21f =-()42f =-令，则，所以，12,2x y ==()()1422f f f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭所以，，可化为，()()21f x f x +-<(0,2)x ∈()()122f x f x f ⎛⎫+-< ⎪⎝⎭故，所以()()()1122f x f f f x ⎛⎫-<-- ⎪⎝⎭()122f x f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭因为函数在上单调递减，所以，且，()f x ()0+∞，122x x >-02x <<解得：，所以的取值范围为，故选项B错误；11x <<+x 11x x ⎧⎪-<<+⎨⎪⎩不等式可化为，()()22f kx f x +-<()()11222f kx f f f x ⎛⎫⎛⎫-<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故，所以且，，()1242f kx f x ⎛⎫< ⎪-⎝⎭1242kx x >-02x <<0k >得，此不等式有解，等价于，14(2)k x x >-min 14(2)k x x ⎡⎤>⎢⎥-⎣⎦在的范围内，由基本不等式，当且仅当，即时等号成02x <<22(2)12x x x x +-⎛⎫-≤= ⎪⎝⎭2x x =-1x =立，，，故即为所求范围，故选项D 正确，4(2)4x x -≤114(2)4x x ≥-14k >故选：ACD ．【点睛】问题解决的关键在于通过赋值法求函数值，利用已知关系及函数单调性化简不等式.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.第16题第一小问2分，第二小问3分.13. 函数的单调递增区间是______.()()213log 65f x x x =-+-【答案】##(3,5)[3,5)【解析】【分析】由对数函数的真数大于零可得的定义域，根据复合函数单调性同增异减原则，即求()f x 的单调递减区间即可.265u x x =-+-【详解】由有意义可得，所以，故函数()()213log 65f x x x =-+-2650x x -+->15x <<的定义域为，()()213log 65f x x x =-+-()1,5令， ，265u x x =-+-15x <<又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，265u x x =-+-(1,3]在区间上单调递减，[3,5)又由函数为单调递减函数，13log y u=根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.()f x [3,5)故答案为：.[3,5)14.______.())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+-=⎪⎝⎭【答案】133【解析】【分析】通过指对运算一步一步运算即可得出答案.【详解】())21lg122log 392lg 5lg 2·lg 5014-⎛⎫++-+- ⎪⎝⎭()())102243lg 5lg 2·lg 5lg1019⎛⎫=+++-+⎪⎝⎭()()223lg 5lg 2·lg 5113=+++-+()210lg 5lg 2·lg 5lg 23=+++()10lg 5·lg 5lg 2lg 23=+++()10lg 5·lg10lg 23=++10lg 5lg 23=++1013=+133=故答案为：.13315. 在中，为它的三个内角，且满足，，则ABC ,,A B C 3sin 4cos 6A B +=3cos 4sin 1A B +=______.C =【答案】##π630【解析】【分析】将题目中的两个式子平方后相加，可得，再利用诱导公式和三角函数单调性即可1sin()2A B +=求得结果.【详解】由题意可知，将两边同时平方得3sin 4cos 63cos 4sin 1A B A B +=⎧⎨+=⎩将两式相加得22229sin 16cos 24sin cos 369cos 16sin 24cos sin 1A B A B A B A B ⎧++=⎨++=⎩，即，所以24(sin cos cos sin )12A B A B +=1sin()2A B +=1sin 2C =可得或；π6C =5π6C =又因为，得，13cos 4sin 0A B -=>11cos 32A <<由余弦函数单调性可得，所以不合题意；π3A >5π6C =因此.π6C =故答案为：π616. 已知函数的图象是一个中心对称图形，它的对称中心为______；函数()1117122f x x x x =+++--的图象与函数图象的交点分别为，，，…，（为正整()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y m 数），则______.()()()()112233m m x y x y x y x y ++++++++= 【答案】 ①.②. 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，92m 【解析】【分析】证明函数为奇函数，由此确定函数的对称中心，证明与的对称中()712f x +-()f x ()g x ()f x 心重合，结合对称性及加法的运算律求值.【详解】因为，所以，()1117122f x x x x =+++--()7111212f x x x x -=++--设，则函数的定义域为，()()71111211h x f x x x x =+-=+++-()h x ()()()(),11,00,11,-∞-⋃-⋃⋃+∞且，()()1111111111h x h x x x x x x x ⎛⎫-=++=-++=- ⎪-+----+⎝⎭所以函数为奇函数，故函数的图象关于原点对称，即函数的图象关于原点对称，()h x ()h x ()712f x +-所以函数的图象关于对称，()f x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为，所以，()132121xx g x -⋅+=+()()17321752512212212x x xxg x +⋅+⋅-+-=-=++所以，()()()()()()521512771122221212xx x x g x g x ----⎡⎤-+-===-+-⎢⎥++⎣⎦所以函数为奇函数，故函数的图象关于对称，()712g x +-()g x 712⎛⎫ ⎪⎝⎭，又函数的图象与函数图象的交点分别为，，…，，()f x ()132121x x g x -⋅+=+()11,x y ()22,x y (),m m x y ，点不在函数图象上，所以为偶数，设，()712g =71,2⎛⎫ ⎪⎝⎭()f x m 2m k =不妨设，则，122k x x x <<⋅⋅⋅<1222112k k k k x x x x x x -++=+=⋅⋅⋅=+=，1222117k k k k y y y y y y -++=+=⋅⋅⋅=+=所以，()()()1212121222112k k k k k k k k x x x x x x x x x x x x k m+--+++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++=++++⋅⋅⋅++==同理，121212772k k k k m y y y y y y k +-++⋅⋅⋅+++⋅⋅⋅++==.()()()()()()11223312212292m m k k m x y x y x y x y x x x y y y ++++++++=++⋅⋅⋅++++⋅⋅⋅+=【点睛】本题解决的关键在于通过证明，为奇函数，确定其对称性，结合对称()712f x +-()712g x +-性求解问题.四、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17. 设全集，集合，非空集合，其中.U =R 12324x A x ⎧⎫=≤<⎨⎬⎩⎭{}232B x a x a =-≤≤+a ∈R （1）若，求；1a =()U A B ∩ （2）从下列三个条件中任选一个作为已知条件，求的取值范围.①；②a ()()UUUA B B ⋃= ；③的一个充分条件是.注：如果选择多个条件分别作答，按第一个条件的解()U B A =∅x A ∈x B ∈答计分.【答案】（1）{}21x x -≤<（2）113a -≤<【解析】【分析】（1）将代入，求出集合，再求出集合，进一步求解即可；1a =B A （2）三个条件都说明，所以利用子集关系及非空集合列不等式计算即可.B A ⊆B 【小问1详解】当时，，或，又，1a ={}15B x x =≤≤{1U B x x =< }5x >{}25A x x =-≤<则.(){}21U A B x x ⋂=-≤< 【小问2详解】选择条件①：因为，所以，()()UUUA B B ⋃= ()()UUA B Í 即，又已知非空集合，BA ⊆{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件②：因为，则，()U B A =∅B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a aa a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<选择条件③：的一个充分条件是，则，x A ∈x B ∈B A ⊆又已知非空集合，{}232B x a x a =-≤≤+所以，23222325a a a a -≤+⎧⎪-≥-⎨⎪+<⎩所以.113a -≤<18. 已知函数.()2f x mx nx=-（1）若的解集为，求不等式的解集；()f x t≥{}21x x -≤≤20nxmx t ++≤（2）若，且，求的最小值.0m >0n >()10f >14m m n n ++-【答案】（1） {|12}x x -≤≤（2）6【解析】【分析】(1)根据题意可得：和方程的两根，利用韦达定理得出2-120(0)mx nx t m --=<，，将要解的不等式化简整理即可求解；n m =-2t m =(2)由可得，然后利用基本不等式即可求解.()10f >0m n ->【小问1详解】因为的解集为，()f x t≥{}21x x -≤≤所以和方程的两根，由韦达定理可知：，2-120(0)mx nx t m --=<12nm t m ⎧=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩则有，，所以不等式可化为，n m =-2t m =20nx mx t ++≤220mx mx m -++≤因为，所以不等式可化为，解得：，0m <220x x --≤12x -≤≤所以不等式的解集为.20nx mx t ++≤{|12}x x -≤≤【小问2详解】因为，也即，又因为，，()10f >0m n ->0m >0n >所以，1414()6m m n n m n n m n n ++=-+++≥=--（当且仅当和同时成立时取等，也即时取等）1m n m n -=-4n n =3,2m n ==所以的最小值为.14m m n n ++-619. 已知函数（其中，）的最小正周期为，当时，取()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π4xπ=()f x 到最大值.（1）求函数的单调递增区间；()f x （2）当时，若函数在区间上的值域为，求实数，的值.0a >()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3a b 【答案】（1）， 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z （2），43a =53b =【解析】【分析】（1）根据已知条件，结合三角函数的周期公式，求出，再结合当时，取到最大值，ω4x π=()f x 推出的解析式，再结合三角函数的单调性即可得出答案；()f x （2）结合（1）的结论，的取值范围，得出的范围，即可得出的值域，根据已知条件列出方x ()f x ()g x 程组求解即可得出答案.【小问1详解】函数（其中，）的最小正周期为，()()sin 2f x x ωϕ=+0ω>ϕπ<23π，则，3223πωπ∴==()()sin 3f x x ϕ=+又当时，取到最大值，4x π=()f x ，，3242k ππϕπ∴⨯+=+k ∈Z解得，，24k πϕπ=-k ∈Z ，，则，ϕπ< 4πϕ∴=-()sin 34f x x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭令，，232242k x k πππππ-+≤-≤+k ∈Z 解得，，2212343k x k ππππ-+≤≤+k ∈Z 故函数的单调递增区间为，；()f x 22,12343k k ππππ⎡⎤-++⎢⎥⎣⎦k ∈Z 【小问2详解】，，,363x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 33,464x πππ⎡⎤∴-∈-⎢⎥⎣⎦，1sin 3,142x π⎛⎫⎡⎤∴-∈- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦，()12a b g x a b∴-+≤≤+函数在区间上的值域为， ()()g x af x b =+,363ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]1,3，解得，.1123a b a b ⎧-+=⎪∴⎨⎪+=⎩43a =53b =20. 两社区和相距2km ，现计划在两社区外以为直径的半圆弧（不含，两点）上选择一A B ABAB A B 点建造口袋公园（如图所示），其对社区的噪音影响度与所选地点到社区的距离有关.口袋公园对社区C 的噪音影响度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为0.01；对社区的噪音影响A A B 度是所选地点到社区的距离的平方的反比例函数，比例系数为，对社区和社区的总噪音影响度为B K A B 对社区和社区的噪音影响度之和.记点到社区的距离为，建在处的口袋公园对社区和社A B C A km x C A 区的总噪音影响度为.统计调查表明：当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪B yAB A B 音影响度为0.05.（1）将表示成的函数；y x （2）判断半圆弧上是否存在一点，使得建在此处的口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小？AB A B 若存在，求出该点到社区的距离；若不存在，说明理由.A 【答案】（1）22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<（2）存在，当该点到社区的距离时，袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小.A 1x =A B 【解析】【分析】（1）利用勾股定理即可得出，再根据反比例函数定义和已知条件可解得，224BC x =-0.09K =即可写出关于的函数；（2）利用整体代换和基本不等式确定的最小值，验证等号成立时的取值是y x y x 否符合题意，即可判断得出结论并确定位置.【小问1详解】由为直径可得，所以AB ACBC ⊥224BC x =-由题意可知，220.01(02)4Ky x x x =+-<<又当口袋公园建在半圆弧的中点时，对社区和社区的总噪音影响度为0.05，AB A B 即时，，代入得，x =0.05y =0.09K =所以，220.010.09(02)4y x x x =+-<<即关于的函数为y x 22119(02)1004y x x x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭<<【小问2详解】口袋公园对社区和社区的总噪音影响度最小，即的取值最小，A B y 由（1）知2222222211984211004100(4)25(4)x x y x x x x x x ++⎛⎫=+== ⎪---⎝⎭22242222211222122192542525119551222442x x x x x x x x ++=⨯=⨯=⨯-+⎛⎫⎛⎫⎛⎫-++--+++- ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭+ ⎪⎝⎭令，则可得2119,222x t ⎛⎫+=∈ ⎪⎝⎭2192554y t t=⨯-+-，当且仅当时，等号成立；99555244t t t t ⎛⎫-+-=-++≤-+= ⎪⎝⎭32t =且，所以，9504t t -+->212119252522554y t t =⨯≥⨯=-+-即，此时，即，解得.min 125y =32t =21322x +=1x =因此，半圆弧上存在一点，且该点到社区的距离满足时，建在此处的口袋公园对社区和社AB A 1x =A 区的总噪音影响度最小.B 21. 已知函数（且）为奇函数.()412x f x a a =-+0a >1a ≠（1）求实数的值及函数的值域；a ()f x （2）若函数在区间上有两个不同的零点，求实数的取值范围.()()()12x g x mmf x =+-(],2-∞m 【答案】（1），的值域为2a =()f x ()1,1-（2）2017⎤-⎥⎦【解析】【分析】（1）根据函数解析式可判断定义域，再根据奇函数性质利用可计算的值，将代入根()00f =a a 据指数型函数值域得求法即可求得函数的值域；（2）将函数在区间上有两个不同的()f x ()g x (],2-∞零点转化成方程在上有两个不相等的实数根，利用换元法根据二次函数根()20212x x m m +++=(],2-∞的分布情况即可求得实数的取值范围.m 【小问1详解】由题意可知，函数的定义域为，()f x x ∈R 由奇函数性质可知，，得；()044011022f a a a =-=-=++2a =所以，；()411222221x x f x =-=-⨯++又因为，所以()211,x+∈+∞()20,221x ∈+因此()()211,121x f x =-∈-+即函数的值域为.()f x ()1,1-【小问2详解】由得，，()()()12xg x m mf x =+-()()212121x x g x m m ⎛⎫=+- ⎪⎝+⎭-又函数在区间上有两个不同的零点，()g x (],2-∞即方程在区间上有两个不同的实数根；()0112122x x m m ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭-+(],2-∞整理得，()20212x x m m +++=令，由得，2xt =(],2x ∈-∞(]0,4∈t 即在上有两个不相等的实数根；()210m t t m +++=(]0,4∈t 所以，且或10m +≠14(1)0m m ∆=-+>1m -<1m -<时，需满足，解得1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++<⎪⎪+⨯++≤⎨⎪⎪<-<+⎪⎩0201798m m m ⎧⎪<⎪⎪≤-⎨⎪⎪<-⎪⎩2017m ≤-当时，需满足，该不等式组无解；1m -<()()22100014401042(1)m m m m m ⎧⎪+⨯++>⎪⎪+⨯++≥⎨⎪⎪<-<+⎪⎩综上可知，实数，m 2017m≤-即2017m ⎤∈-⎥⎦22. 欧拉对函数的发展做出了巨大贡献，除特殊符号、概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定()y f x =D 的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”.x x D -∈()()1f x f x ⋅-=()y f x =（1）已知，，判断和是不是倒函数，并说明理由；()10xf x =()22xg x x -=+()y f x =()y g x =（2）若是定义在上的倒函数，当时，，方程是否有整数解？()f x R 0x ≤()413x f x x -=+()2023f x =并说明理由；（3）若是定义在上的倒函数，其函数值恒大于0，且在上单调递增.记，()f x R R ()()()21f x F x f x ⎡⎤-⎣⎦=证明：是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【答案】（1）函数为倒函数，函数不是倒函数，理由见解析；()f x ()g x （2）方程没有整数解，理由见解析；()2023f x =（3）证明见解析.【解析】【分析】（1）利用“倒函数”的定义判断函数、，可得出结论；()f x ()g x （2）分析可知当时，，则方程若存在整数解，则，构造函数0x <()()0,1f x ∈()2023f x =0x 00x >，利用零点存在定理可得出结论；()()2023h x f x =-（3）推导出函数的奇偶性、单调性，再利用函数的单调性、奇偶性结合充分条件、必要条件()F x ()F x 的定义证明可得结论.【小问1详解】函数的定义域为，对任意的，，()f x R x ∈R ()()10101x x f x f x -⋅-=⋅=所以，函数为倒函数，()f x 函数的定义域为，该函数的定义域不关于原点对称，()22xg x x -=+{}2x x ≠-故函数不是倒函数；()g x 【小问2详解】当时，则，由倒函数的定义可得，0x >0x -<()()413x f x x f x ==+-由满足倒函数的定义，()01f =当时，函数、均为增函数，故函数在上为增函数，0x >3x y =4y x =()f x ()0,∞+当时，，，，当时，，0x >31x >40x >()1f x >0x <()()()10,1f x f x =∈-若函数有整数解，则，()2023f x =0x ()00,x ∈+∞设，则函数在上单调递增，()()2023h x f x =-()h x ()0,∞+因为，，()5453520230h =+-<()6463620230h =+->故方程无整数解，()2023f x =【小问3详解】因为函数是上的倒函数，其函数值恒大于，且在上是严格增函数，()y f x =R 0R 所以，，()()()()()()()211f x F x f x f x f x f x f x ⎡⎤-⎣⎦==-=--任取、且，则，所以，，，m n ∈R m n >m <n --()()f m f n >()()f n f m ->-所以，()()()()()()F m F n f m f m f n f n -=-----⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦，()()()()0f m f n f n f m =-+--->⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦所以，函数为上的增函数，()F x R 因为，故函数为上的奇函数.()()()()F x f x f x F x -=--=-()F x R当时，即，则，所以，，120x x +>12x x >-()()()122F x F x F x >-=-()()120F x F x +>即“”“”；120x x +>⇒()()120F x F x +>若，则，所以，，即.()()120F x F x +>()()()122F x F x F x >-=-12x x >-120x x +>所以，“”“”.120x x +>⇐()()120F x F x +>因此，是的充要条件.120x x +>()()120F x F x +>【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.。
湖北省武汉市武昌区2019-2020学年高一上学期期末考试数学试题及答案
（2）已知
3 tan
=
−2
tan
+
4
，求
cos
2
+
4
的值.
20.（本题满分 12 分）
已知函数 f (x) = −x2 + 2x + 3 + x
（1）求 f ( x) 的定义域；
（2）求 f ( x) 的最小值.
21.（本题满分 12 分）
( ) 已知函数 f (x) = log4 4x +1 + kx(k R) 是偶函数.
（1）求 k 的值；
（2）若方程
f
(x)
=
log4
m 2x
−1 有解，求实数 m
的取值范围.
22.（本题满分 12 分）
用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假
7.已知 a = log0.1 0.2 ， b = log1.1 0.2， c = 1.10.2 ，则 a ， b ， c 的大小关系为（ ）
A. a b c B. a c b C. c b a D. c a b
8.在同一直角坐标系中，分别作函数
y
=
1 ax
，
y
= loga
lg(2 − x) + 1 的定义域为（ ） x +1
A. (−1, 2] B. [−1, 2) C. (−1, 2) D.[−1, 2)
6.若
cos
4
−
=
3 5
湖北省高一上学期期末数学试题(解析版)
一、单选题1．已知集合，则（ ）{}{}20,1,2,3,8A B x x ==≤A B = A ． B ． {}0,1,2{}1,0,1-C ． D ．{}0,1,2,3{}2,1,0,1,2--【答案】A【解析】先解出集合B,再求.A B ⋂【详解】∵，而{}{282B x x x x =≤=-≤≤{}0,1,2,3A =∴ A B = {}0,1,2故选：A【点睛】集合的交并运算： (1)离散型的数集用韦恩图； (2) 连续型的数集用数轴． 2．已知，，则“”是“”的（ ） a b ∈R a b >1>abA ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】D 【分析】由或，即可判断出结论. 1ab>⇔0a b >>0a b <<【详解】当时，成立，当时，，故充分性不成立，0a b >>1>a b0b <1ab <当时，若则，若，则，则必要性不成立. 1>ab0,b >a b >0b <a b <所以“”是“”的既不充分又不必要条件. a b >1>ab故选：D3．已知函数的定义域为（ ） ()ln(3)f x x =++()f x A ． B ．C ．D ．(3,)+∞()3,3-(,3)-∞-(,3)-∞【答案】A【解析】要使函数，解出即可. ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩【详解】要使函数 ()ln(3)f x x =+3030x x +>⎧⎨->⎩解得3x >所以函数的定义域为 ()f x (3,)+∞故选：A4．中国的5G 技术领先世界，5G 技术的数学原理之一便是著名的香农公式：，2log 1S C W N ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭它表示：在受噪声干扰的信道中，最大信息传递速率C 取决于信道带宽W ､信道内信号的平均功率S ､信道内部的高斯噪声功率N 的大小，其中叫做信噪比.当信噪比比较大时，公式中真数中的1SN可以忽略不计，按照香农公式，若不改变带宽W ，而将信噪比从1000提升至5000，则C 大约SN增加了（ ）（附：） lg 20.3010≈A ．20% B ．23%C ．28%D ．50%【答案】B【分析】根据题意写出算式，再利用对数的换底公式及题中的数据可求解. 【详解】将信噪比从1000提升至5000时，C 大约增加了SN()()()222log 15000log 11000log 11000W W W +-++.222lg 5000lg1000log 5001log 1001lg 51lg 2lg 2lg 20.2323%lg1000log 100133lg 2---=≈==≈=故选：B.5．已知函数（且）的图像经过定点，且点在角的终边上，则26()3x f x a -=+0a >1a ≠A A θ（ ）sin cos sin cos θθθθ-=+A ．B ．0C ．7D ．17-17【答案】D【分析】由题知,进而根据三角函数定义结合齐次式求解即可. ()3,4A 【详解】解:令得,故定点为, 260x -=3x =A ()3,4A 所以由三角函数定义得，4tan 3θ=所以41sin cos tan 1134sin cos tan 1713θθθθθθ---===+++故选：D6．函数的图像大致为（ ）()2x xe ef x x --=A ． B ．C ．D ．【答案】B【分析】通过函数的奇偶性，变化趋势，特殊值排除答案. 【详解】函数的定义域为，关于原点对称()f x {}0x x ≠，函数是奇函数，图像关于原点对称，故排除A 选()()()22x xx x e e e e f x f x x x -----===-- ∴()f x 项；又，故排除D 选项；()1121101e e f e e--==-> ，当时，，即在()()()()()243222xx x x x x ee x e e xx e x e f x xx---+--⋅-++'==2x >()0f x ¢>()f x 上单调递增，故排除C 选项. ()2+∞，故选：B.7．已知偶函数在上是增函数，若，，，则，()g x ()0,+¥()2log5.1a g =-()0.82b g =()3c g =a b，的大小关系为（ ） c A ． B ． C ． D ．a b c <<c b a <<b a c <<b<c<a 【答案】C【解析】由于为偶函数，所以，然后利用对数函数和指数函数的()g x 22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=性质比较大小，再利用在上是增函数，可比较，，的大小0.82log 5.1,2,3()g x ()0,+¥a b c 【详解】解；由题意为偶函数，且在上单调递增，()g x ()0,+¥所以，22(log 5.1)(log 5.1)a g g =-=又，， 2222log 4log 5.1log 83=<<=0.8122<<所以，故，0.822log 5.13<<b a c <<故选：C.8．若函数y =f （x ）图象上存在不同的两点A ，B 关于y 轴对称，则称点对[A ，B ]是函数y =f （x ）的一对“黄金点对”（注：点对[A ，B ]与[B ，A ]可看作同一对“黄金点对”）．已知函数f （x ）=，则此函数的“黄金点对“有（ ） 222040412324x x x x x x x x ，＜，，＞⎧⎪-+≤≤⎨⎪-+⎩A ．0对 B ．1对C ．2对D ．3对【答案】D【分析】根据“黄金点对“，只需要先求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，再作出函数的图象，利用两个图象交点个数进行求解即可．【详解】由题意知函数f （x ）=2x ，x ＜0关于y 轴对称的函数为，x ＞0， 122xxy -⎛⎫== ⎪⎝⎭作出函数f （x ）和，x ＞0的图象，12xy ⎛⎫= ⎪⎝⎭由图象知当x ＞0时，f （x ）和y=（）x，x ＞0的图象有3个交点． 12所以函数f （x ）的““黄金点对“有3对． 故选D ．【点睛】本题主要考查分段函数的应用，结合“黄金点对“的定义，求出当x ＜0时函数f （x ）关于y 轴对称的函数的解析式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．二、多选题9．下列结论正确的是（ ） A ．是第二象限角 43π-B ．若为锐角，则为钝角 α2αC ．若，则 αβ=tan tan αβ=D ．若圆心角为的扇形的弧长为，则该扇形的面积为6ππ3π【答案】AD【分析】为锐角时，为不一定为钝角；α2α 时，没有意义.2παβ==tan α【详解】对于A ：， 42233πππ-=-+是第二象限角，所以A 正确； ∴43π-对于B ：时，并不是钝角，所以B 错误； 10α= 220α= 对于C ： 时，没有意义，所以C 错误；2παβ==tan α对于D ：，， l rα=∴66l r ππα===，D 正确.∴116322S lr ππ==⨯⨯=扇∴故选：AD.10．已知，且，则下列不等式恒成立的有（ ）>>c a b 0ac <A ． B ．C ．D ．<0c b a ->b c a a 11>a c22>b a c c【答案】BC【解析】根据不等式的性质判断．错误的可举反例． 【详解】，且，则，>>c a b c<0a 0,0a c ><，，A 错误； 0b a -<0b ac->，则，B 正确； ,0b c a >>b ca a>，则，C 正确； 0a c >>110a c>>与不能比较大小．如，此时，，D 错误． 2a 2b 2,3,4a bc ==-=-21a c =-2914b c =-<-故选：BC ．11．对于实数x ，符号表示不超过x 的最大整数，例如，，定义函数[]x []3π=[]1.082-=-，则下列命题中正确的是（ ）()[]f x x x =-A ．函数的最大值为1 B ．函数的最小值为0 ()f x ()f x C ．方程有无数个根 D ．函数是增函数()102f x -=()f x 【答案】BC【分析】首先根据题意画出函数的图像，再依次判断选项即可. ()f x 【详解】画出函数的图象，如下图所示：()[]f x x x =-，对选项A ，由图象得，函数无最大值，故A 不正确； ()f x 对选项B ，由图知：函数的最小值为0，故B 正确； ()f x 对选项C ，函数每隔一个单位重复一次， ()f x 所以函数与函数有无数个交点， ()y f x =12y =即方程有无数个根，故C 正确； ()102f x -=对选项D ，图象可知函数不是单调递增，故D 不正确. ()f x 故选：BC .12．已知函数，若方程有三个实数根，，，且12log ,04()10,4x x f x x x ⎧<≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩()f x a =1x 2x 3x 123x x x <<，则下列结论正确的为（ ）A ．121=x x B ．的取值范围为 a 50,2⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．的取值范围为 312x x x [)5,+∞D ．不等式的解集为 ()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭【答案】ACD【分析】分析给定函数的性质，作出函数的图象，数形结合逐一分析各选项判断作答. ()f x 【详解】函数在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，()f x (0,1](1,4](4,)+∞方程的三个实数根分别是直线与函数图象交点的横坐标，如图，()f x a =y a =()y f x =123,,x x x由，必有，而，则，即，解得12()()f x f x =111222|log ||log |x x =12x x <111222log log 0x x +=1122log 0x x =，A 正确；121=x x 因在上单调递增，，当时，直线与函数的图象只有两个()f x (1,4](4)2f =2<a <52y a =()y f x =公共点，因此，方程有三个实数根，当且仅当，B 不正确； ()f x a =02a <≤在中，当时，，而函数在上单调递减，则当时，10(4)y x x=>2y =5x =()f x (4,)+∞02a <≤35x ≥，，C 正确； 3312[5,)x x x x =∈+∞当时，因当时，，于是得，且，解得04x <≤14x ≤≤12|log |2x ≤01x <<11221log 2log 4x >=， 104x <<当时，，解得，所以不等式的解集为，D 正确. >4x 102x >45x <<()2f x >()10,4,54⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭故选：ACD三、填空题13．已知集合，集合，若，则实数__________． {}0,1M ={}0,2,1N m =-M N ⊆m =【答案】0【分析】依题意可得，即可得到，解得即可；1N ∈11m -=【详解】解：由题意知，又集合，因此，即．故． M N ⊆{}0,1M =1N ∈11m -=0m =故答案为：. 014．已知，则______． ()7sin cos 0π13ααα+=<<tan α=【答案】 125-【分析】由同角三角函数的平方关系和商数关系，并分析三角函数值的正负即可求解. 【详解】解：已知①，则， 7sin cos 13αα+=()2sin cos 12sin cos 69491αααα+=+=， 60sin cos 0169αα=-<，，则，，0πα<< sin 0α∴>cos 0α<sin cos 0αα->②， 17sin cos 13αα∴-===联立①②，得，12sin 13α=5cos 13α=-， 12tan 5α∴=-故答案为：. 125-15．已知定义在上的函数满足，且当时，，若的R ()f x ()()1f x f x -=-12x >1()f x x m x =++()f x 值域为，则实数的取值范围为________． R m 【答案】(],2-∞-【分析】由可得关于对称，再分析得当时，的值域包含()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭12x >()f x 即可()0,∞+【详解】当时，，当且仅当，即时等号成立，12x >1()2f x x m m m x =++≥=+1x x =1x =故当时，，又由可得关于对称，且由12x >()[)2,f x m ∈++∞()()1f x f x -=-()f x 1,02⎛⎫⎪⎝⎭可得， 11122f f ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭102f ⎛⎫= ⎪⎝⎭故只需包含区间即可，故，[)2,m ++∞()0,∞+20m +≤故 (],2m ∈-∞-故答案为：(],2-∞-四、双空题16．设函数，.①的值为_______；②若函11,0()2(2),0xx f x f x x ⎧⎛⎫-≤⎪ ⎪=⎨⎝⎭⎪->⎩()log (1)a g x x =-(1)a >(2019)f 数恰有个零点，则实数的取值范围是___________. ()()()h x f x g x =-3a 【答案】 1【解析】①根据分段函数的解析式，求得的值. ②求得的部分解析式，由此画()f x ()2019f ()f x 出和两个函数图象，根据两个函数图象有个交点，确定的取值范围. ()f x ()g x 3a 【详解】①.()()()11201920171112f f f -⎛⎫===-=-= ⎪⎝⎭②当时，，所以.02x <≤220x -<-≤()()21212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.24x <≤022x <-≤()()41212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.46x <≤224x <-≤()()61212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭当时，，所以.68x <≤426x <-≤()()81212x f x f x -⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭画出和两个函数图象如下图所示，由，由.由()f x ()g x ()log 413,a a -==()log 613,a a -==图可知，当两个函数图象有个交点，也即函数恰有个零点时，的取值范围是3()()()h x f x g x =-3a故答案为：（1）；（2）1【点睛】本小题主要考查分段函数求函数值，考查分段函数解析式的求法，考查分段函数的图象与性质，考查函数零点问题的求解策略，考查数形结合的数学思想方法，属于中档题.五、解答题 17．计算：(1) ()()1201980.54-⎛⎫-- ⎪⎝⎭(2) 2log 3491lg2log 27log 8100--⋅【答案】(1)32(2)74-【分析】（1）由指数的运算以及指数幂与根式的互相转化即可求解； （2）由对数的运算以及指数幂与根式的互相转化，并利用换底公式即可求解.【详解】（1）解：原式.11331122222-⎛⎫=-+=-+= ⎪⎝⎭（2）原式. 1332222lg 27lg81lg 3lg 2197lg10ln e 323lg 4lg 92lg 2lg 3244-=-+-⋅=--+-⋅=-=-18．已知正数满足；,x y 82xy x y =+（1）求的最小值，并求出取得最小值时的的值；xy ,x y （2）求的最小值.42x y +【答案】（1）最小值为64，；（2）xy 4,16x y ==24+【分析】（1）对等式右边直接使用基本不等式，转化为求关于xy 的不等式；（2）把条件转化为，再进行求解. 82xy x y =+281x y+=【详解】解：（1）因为是正数，所以,x y 82xy x y =+≥=即8≥64xy ≥当且仅当即，时取等号82x y =4x =16y =所以最小值为64 xy （2）即为 82xy x y =+281x y+=所以 2843242(42)()2424y x x y x y x y x y+=++=++≥+当且仅当即 432y x x y=2x =+8y =+19．（1）求函数，的值域； ()222log log x x =+1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦（2）解关于的不等式：（，且）． x ()2log (1)log 3a a x x +>-0a >1a ≠【答案】（1）；（2）时，原不等式的解集为；时，原不等式的1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦1a >{1x x -<<∣01a <<解集为． {11}xx -<<∣【分析】（1）令，，，然后利用二次函数的知识求解即2log t x =[1,1]t ∈-221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭可；（2）分、两种情况，结合对数函数的单调性解出不等式即可.1a >01a <<【详解】（1）令，由于，则． 2log t x =1,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦[1,1]t ∈-于是原函数变为， 221124y t t t ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭图象为开口向上的抛物线，对称轴，且， ()y t 12t =-11(1)122⎛⎫⎛⎫---<-- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故当，取最小值；当时，取最大值2． 12t =-y 14-1t =y 所以原函数的值域为． 1,24⎡⎤-⎢⎥⎣⎦（2）当时，原不等式可化为：1a >， 223013x x x ⎧->⎨+>-⎩即 12x x x ⎧<⎪⎨><-⎪⎩或1x <<故时，原不等式的解集为．1a >{1x x -<<∣当时，原不等式可化为：01a <<， 21013x x x+>⎧⎨+<-⎩即，解得． 121x x >-⎧⎨-<<⎩11x -<<故时，原不等式的解集为． 01a <<{11}xx -<<∣综上：时，原不等式的解集为；时，原不等式的解集为. 1a >{1x x -<<∣01a <<{11}xx -<<∣20．我们知道，函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函()y f x =()y f x =数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数()y f x =(),P a b 为奇函数.()y f x a b =+-（1）若.32()3f x x x =-①求此函数图象的对称中心；②求的值；()()()()2018201920202021f f f f -+-++（2）类比上述推广结论，写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数()y f x =y ()y f x =为偶函数”的一个推广结论.【答案】（1）①；②；（2）函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是()1,2-8-()y f x =x a =函数为偶函数.()y f x a =+【解析】（1）①设函数图象的对称中心为，根据题意可知函数()323f x x x =-(),P a b 为奇函数，利用奇函数的定义可得出，可得出关于、()()g x f x a b =+-()()2f x a f x a b -+++=a 的方程组，解出、的值，即可得出函数的对称中心的坐标；b a b ()y f x =②推导出，由此可计算得出所求代数式的值；()()114f x f x -+++=-（2）根据题中结论可写出“函数的图象关于轴成轴对称的充要条件是函数为偶()y f x =y ()y f x =函数”的一个推广结论.【详解】解：（1）①设函数图象的对称中心为，，()323f x x x =-(),P a b ()()g x f x a b =+-则为奇函数，故，故，()g x ()()g x g x -=-()()f x a b f x a b -+-=-++即，()()2f x a f x a b -+++=即. ()()()()3232332x a x a x a x a b ⎡⎤⎡⎤-+--+++-+=⎣⎦⎣⎦整理得，故，解得， ()2323330a x a a b -+--=3233030a a a b -=⎧⎨--=⎩12a b =⎧⎨=-⎩所以函数图象的对称中心为；()323f x x x =-()1,2-②因为函数图象的对称中心为，32()3f x x x =-()1,2-所以，，()()114f x f x -+++=-故()()()()2018201920202021f f f f -+-++()()()()2018202020192021f f f f =-++-+⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦()()()()20191201912020120201f f f f =-++++-+++⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦；428=-⨯=-（2）推论：函数的图象关于直线成轴对称的充要条件是函数为偶函数.()y f x =x a =()y f x a =+【点睛】结论点睛：本题考查利用函数的对称性及其应用，可利用以下结论来转化：①函数的图象关于点对称，则；()f x (),a b ()()22f x f a x b +-=②函数的图象关于直线对称，则.()f x x a =()()2f x f a x =-21．已知函数.(),(0,1,)x f x a a a x R =>≠∈（1）当时，2a =①若函数满足求的表达式，直接写出的递增区间； ()g x (())g f x =()g x ()g x ②若存在实数使得成立，求实数的取值范围； []0,1x ∈1()()()()1f x mf x f x f x +<+--m （2）若函数满足当时，恒有，试确定a 的()g x (()),g f x x =[]2,3x a a ∈++(3)()1g x a g x a -+-≤取值范围.【答案】（1）①，增区间为；②；（2）. 221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩(2,)+∞4(,)3+∞【分析】（1）①应用换元法，令即可求的表达式，根据含对数的复合函数单调性可写出2x t =()g x 的递增区间；②由参变分离得，根据在闭区间存在使不等式成立，即()g x 211(2)21x x m >+-+x 即可求的取值范围； min 21[1(2)21x x m >+-+m （2）由题设求得，利用对数函数的性质可知，再由不等式恒成立，结合二次()log a g x x =01a <<函数的性质列不等式组求a 的取值范围.【详解】解：（1）①由题意知：，若，则，(2)1x g x ==-2x t =21og x t =∴，即， 2()log 1(0)g t t t =->221log ,02()log 1,2x x g x x x -<<⎧=⎨-≥⎩∴函数单调递增区间为.[2,)+∞②由题设有，，即有， 122221x x x x m -+<⋅+-[]0,1x ∈211(2)21x x m >+-+，则，即，[]0,1x ∈ []21,2x ∈[]2(2)211,3x x -+∈∴由使不等式成立知：当时，即可. []0,1x ∃∈2(2)213x x -+=43m >∴m 取值范围是 4(,)3+∞（2）由题意知：，令，则，即，()x g a x =x t a =()log a g t t =()log a g x x =∴由题设不等式中可知：，而(3),()g x a g x a --230a a +->0,1a a >≠，又，01a ∴<<(3)()1g x a g x a -+-≤∴，即有，对恒成立，若令221log (43)1a x ax a -≤-+≤22143a x ax a a≤-+≤[]2,3a a a ∀∈++，其对称轴为且开口向上，而，2243()x h x ax a -+=2x a =22a a <+∴在区间上递增，()h x []2,3a a ++∴上式等价于，解得0119644a a a a a<<⎧⎪⎪-≤⎨⎪-≥⎪⎩0a <≤【点睛】关键点点睛：（1）应用换元思想求函数解析式，结合对数型复合函数的单调性确定单调区间；由参变分离法有，根据存在使不等式能成立，即在对应区间内只需求参数范围；()m f x >min ()m f x >（2）根据对数函数的性质，结合不等式在闭区间内恒成立，列不等式组求参数范围.22．已知函数()，且满足. ()x a f x x -=0a >112f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（1）求a 的值；（2）设函数，()，若存在，，使得成立，()()g x xf x =()2x h x t t =-1t >1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =求实数t 的取值范围；（3）若存在实数m ，使得关于x 的方程恰有4个不同的正根，求实数()22220x a x x a mx ---+=m 的取值范围.【答案】（1）1；（2）；（3） 2t ≥10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）根据题意，代入函数值，即可求解；（2）根据题意，求解函数和值域，若存在，，使得成立，转()g x ()f x 1x 21,22x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦()()12h x g x =化为值域有交集，即可求解参数取值范围；（3）由（1）分析函数的值域，可知时，有两根；再观察方程，同除后方程可()f x ()()0,1f x ∈x 2x 化简为，只需使方程在上有两根，即可求解.()()2220f x f x m -+=()()0,1f x ∈【详解】（1）由，得或0. 1121122a f -⎛⎫== ⎪⎝⎭1a =因为，所以，所以. 0a >1a =()1x f x x -=（2）， ()()1,1211,12x x g x xf x x x -≤≤⎧⎪==⎨-≤<⎪⎩所以;故的值域为()01g x ≤≤()g x []0,1A =因为时，在， 1t >()2x h x t t =-1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦()222t h x t t ≤≤-所以的值域为，由题意， ()hx 22,2B t t t ⎤=-⎦A B φ⋂≠，所以，解得;20t <220t t -≥2t ≥综上:实数t 的取值范围是2t ≥（3）当时，，在上为增函数; 1x >()111x f x x x-==-()f x ()1,+∞当时，. ()1,x ∈+∞()()110,1f x x=-∈可得在上为减函数，当时，. ()f x ()0,1()0,1x ∈()()110,f x x =-∈+∞方程可化为， ()2221120x x x mx ---+=2211220x x m x x ---+=即.()()2220f x f x m -+=设，方程可化为.()s f x =2220s s m -+=要使原方程有4个不同的正根，则关于s 方程在有两个不等的根，，2220s s m -+=()0,11s 2s 则有，解得， 211602021120m m m ->⎧⎪>⎨⎪⨯-+>⎩1016m <<所以实数m 的取值范围为. 10,16⎛⎫ ⎪⎝⎭【点睛】（1）考查计算能力，基础题；（2）转化与化归思想解题，考查求函数值域，交集不空的参数范围，属于中等题；（3）转化方程与已知函数关联，考查函数与方程思想，转化与化归思想，一元二次方程根的限定条件，综合性较强，属于难题.。
2019-2020学年人教A版湖北省武汉市武昌区高一第一学期期末数学试卷 含解析
2019-2020学年高一第一学期期末数学试卷一、选择题1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．.（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．.（﹣2，+∞）D．.（﹣1，+∞）2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（）A．B．C．﹣D．﹣3．下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．5．函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣7．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b8．在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．49．已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣410．已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n11．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；②f（x）在单调递增；③ω的取值范围是其中，所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③12．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f （x0）＞0，则实数m的值可能是（）A．x0﹣2 B．C．D．x0+3二、填空题13．已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是．14．函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为．15．已知函数在上是增函数，则ω的最大值是．16．已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是．三、解答题17．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f （x），g（x）}．请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．18．已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．19．（1）求4cos50°﹣tan40°的值；（2）已知，求的值．20．已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的最小值．21．已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程有解，求实数m的范围．22．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，则A∩B＝（）A．.（﹣2，﹣1）B．（﹣1，1）C．.（﹣2，+∞）D．.（﹣1，+∞）【分析】进行交集的运算即可．解：∵A＝{x|﹣2＜x＜1}，B＝{x|x＞﹣1}，∴A∩B＝（﹣1，1）．故选：B．2．已知角α的终边经过点（4，﹣3），则cosα等于（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】由条件利用任意角的三角函数的定义，求得cosα的值．解：∵角α的终边经过点（4，﹣3），∴x＝4，y＝﹣3，r＝|OP|＝5，则cosα＝＝，故选：A．3．下列函数在（0，2）上是增函数的是（）A．B．C．D．【分析】根据常见函数的单调性的性质分别判断即可．解：对于A，函数在（0，2）递减，不合题意；对于B，函数在（0，2）递减，不合题意；对于C，函数在（0，2）递减，不合题意；对于D，函数在（0，2）递增，符合题意；故选：D．4．在2h内将某种药物注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是（）A．B．C．D．【分析】根据在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加；停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减即可得出．解：在注射期间，血液中的药物含量呈线性增加，则第一段图象为直线，且为增函数，排除A，D，停止注射后，血液中的药物含量呈指数衰减．排除C．能反映血液中药物含量Q随时间t变化的图象是B．故选：B．5．函数的定义域为（）A．（﹣1，2] B．[﹣1，2）C．（﹣1，2）D．[﹣1，2）【分析】由对数式的真数大于0，分母中根式内部的代数式大于0联立不等式组求解．解：由，解得﹣1＜x＜2．∴函数的定义域为（﹣1，2）．故选：C．6．若cos（﹣α）＝，则sin2α＝（）A．B．C．﹣D．﹣【分析】法1°：利用诱导公式化sin2α＝cos（﹣2α），再利用二倍角的余弦可得答案．法°：利用余弦二倍角公式将左边展开，可以得sinα+cosα的值，再平方，即得sin2α的值解：法1°：∵cos（﹣α）＝，∴sin2α＝cos（﹣2α）＝cos2（﹣α）＝2cos2（﹣α）﹣1＝2×﹣1＝﹣，法2°：∵cos（﹣α）＝（sinα+cosα）＝，∴（1+sin2α）＝，∴sin2α＝2×﹣1＝﹣，故选：D．7．已知a＝log0.10.2，b＝log1.10.2，c＝1.10.2，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞b＞a D．c＞a＞b【分析】利用指数对数函数的单调性即可得出．解：a＝log0.10.2∈（0，1），b＝log1.10.2＜0，c＝1.10.2＞1，则a，b，c的大小关系为：c＞a＞b．故选：D．8．在同一直角坐标系中，分别作函数，（a＞0，且a≠1）的图象如下，其中，可能正确的个数（）A．1 B．2 C．3 D．4【分析】根据对数函数的指数函数的单调性分别进行讨论即可．解：在对数中a＞0且a≠1，对数函数的定义域为（，+∞），则②④不正确，①中，对数函数为减函数，则0＜a＜1，此时函数y＝为增函数，故①正确，③中，对数函数为增函数，则a＞1，此时函数y＝为减函数，故③正确，故正确的有两个，故选：B．9．已知函数，将y＝f（x）的图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）的图象，则g（x）在上的最小值为（）A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4【分析】直接利用三角函数关系式的恒等变换和正弦型函数的性质的应用求出结果．解：知函数＝，把图象向左平移个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到y＝g（x）＝的图象，由于x，所以．故．所以函数的最小值为﹣3．故选：C．10．已知m＝a++1（a＞0），，则m，n之间的大小关系是（）A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．m≤n【分析】本题运用均值不等式和对数函数的性质分别得到m、n的取值范围，即可判断m，n之间的大小关系．解：由题意，可知m＝a++1≥2+1＝3，当且仅当a＝，即a＝1时，等号成立；又x＞，根据对数函数性质，可得n＝＜＝3，∴m≥3＞n，即m＞n．故选：A．11．设函数，已知f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点．给出下述三个结论：①y＝f（x）+1在（0，2π）有且仅有2个零点；②f（x）在单调递增；③ω的取值范围是其中，所有正确结论的编号是（）A．①②B．①③C．②③D．①②③【分析】先通过f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，来确定a的取值范围，再由此判断其他问题的正误．解：当x∈[0，2π]时，，∵f（x）在[0，2π]有且仅有5个零点，∴即，所以③正确；①当＜6π即时，函数y＝f（x）+1在（0，2π）上有3个零点，即①错误；②当x∈时，，若f（x）在单调递增，则即，∵，∴符合题意，即②正确；所以正确的有②③，故选：C．12．已知函数f（x）＝ax2﹣bx+c（a＜b＜c）有两个零点﹣1和m，若存在实数x0，使得f （x0）＞0，则实数m的值可能是（）A．x0﹣2 B．C．D．x0+3【分析】由题意可得a＜b＜c，则a＜0，c＞0，依题意可得：﹣＜＜1，然后结合根的对称性分析得答案．解：∵﹣1是函数f（x）＝ax2﹣bx+c的一个零点，∴a+b+c＝0，∵a＜b＜c，则a＜0，c＞0，∵﹣1×m＝＜0，∴m＞0．由a＜b，a＜0，得＜1①，由0＝a+b+c＞a+b+b＝a+2b，得﹣＜，即＞﹣②，由①②得：﹣＜＜1．函数f（x）＝ax2﹣bx+c的图象是开口向下的抛物线，其对称轴方程为x＝，则﹣＜＜．∴零点﹣1到对称轴的距离d∈（，），另一零点为m＞0，∴m﹣（﹣1）＝m+1＝2d∈（，3），因为f（x0）＞0，所以x0∈（﹣1，m），故0＜m﹣x0＜（2d）min，∴x0＜m+x0，综合四个选项，实数m的值可能是+x0．故选：C．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．已知集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，若A⊆B，则实数a的取值范围是（﹣∞，2] ．【分析】直接利用A⊆B即可求解．解：∵集合A＝{x|﹣a≤x≤a}，B＝{x|x≤2}，且A⊆B，∴a≤2，∴实数a的取值范围是：（﹣∞，2]，故答案为：（﹣∞，2]．14．函数f（x）＝3sin（x+）+cos2x的最大值为 4 ．【分析】化简函数为cos x的二次函数，根据cos x的范围求得f（x）的最大值．解：∵f（x）＝3sin（x+）+cos2x＝3cos x+2cos2x﹣1＝2（cos x+）2﹣，∵cos x∈[﹣1，1]，∴在cos x＝1时，f（x）取得最大值为2×（1+）2﹣＝4，故答案为：4．15．已知函数在上是增函数，则ω的最大值是2 ．【分析】结合正弦函数的性质先求出函数的单调递增区间，然后结合已知区间递增可建立不等式可求．解：由ωx+可得，，故函数的单调递增区间为（﹣，），又f（x）在（0，）上单调递增，故，解可得，0＜ω≤2即ω的最大值为2．故答案为：216．已知函数f（x）＝x|x|．若对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0，则实数m的取值范围是（﹣∞，﹣1] ．【分析】讨论当m≥0时，不等式显然不成立；当m＝﹣1时，恒成立；当m＜﹣1时，去绝对值，由二次函数的对称轴和区间的关系，运用单调性可得恒成立；当﹣1＜m＜0时，不等式不恒成立．解：由f（m+x）+mf（x）＜0得：（x+m）|x+m|+mx2＜0，x≥1，当m≥0时，即有（x+m）2+mx2＞0，在x≥1恒成立．当m＝﹣1时，即有（x﹣1）2﹣x2＝1﹣2x＜﹣1＜0恒成立；当m＜﹣1时，﹣m＞1，当x≥﹣m＞1，即有（x+m）2+mx2＝（1+m）x2+2mx+m2，由1+m＜0，对称轴为x＝﹣＜1，则区间[﹣m，+∞）为减区间，即有（1+m）x2+2mx+m2≤m3＜0恒成立；当﹣1＜m＜0时，由x+m＞0，可得（x+m）2+mx2＜0不恒成立．综上可得当m≤﹣1时，对任意的x≥1有f（x+m）+mf（x）＜0恒成立．故答案为：（﹣∞，﹣1]．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．给定函数f（x）＝x+1，g（x）＝（x+1）2，x∈R．（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象；（2）对任意实数x，用M（x）表示f（x），g（x）中的较大者，记为M（x）＝max{f （x），g（x）}．请分别用图象法和解析法表示函数M（x）．【分析】（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）．函数M（x）的图象图2．（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，解得x，即可得出．解：（1）在同一坐标系中画出函数f（x），g（x）的图象（图1）图1 函数f（x），g（x）的图象图2 函数M（x）的图象（2）由图1中函数取值情况，结合函数M（x）的定义，可得函数M（x）的图象（图2）．由x+1＝（x+1）2，得x（x+1）＝0，解得x＝﹣1，或x＝0．结合图2，得出函数M（x）＝．18．已知函数f（x）＝sinωx cosωx﹣sin2ωx（ω＞0）的最小正周期为π．（1）求ω的值；（2）求f（x）在区间[﹣π，0]上的最小值．【分析】（1）先结合二倍角公式及辅助角公式对已知函数进行化简，然后结合正弦函数的周期公式即可求解；（2）由已知x的范围，结合正弦函数的性质即可求解函数的最值．解：（1），因为，所以ω＝1．（2）由（1）知．因为﹣π≤x≤0，所以．当，即时，f（x）取得最小值．所以f（x）的最小值为．19．（1）求4cos50°﹣tan40°的值；（2）已知，求的值．【分析】（1）利用同角基本关系及二倍角及和差角公式进行化简即可求；（2）先由已知结合两角和的正切公式可求tanα，然后结合二倍角公式及同角基本关系可求．解：（1）＝，＝．（2）因为，所以tanα＝2或．因为，所以，分子分母同除以cos2α，得，将tanα＝2或分别代入上式，得．20．已知函数．（1）求f（x）的定义域；（2）求f（x）的最小值．【分析】本题第（1）题根据﹣x2+2x+3≥0即可解得函数f（x）的定义域；第（2）题对f（x）进行变形后运用三角换元法令，将一般函数转化为三角函数求最值问题．解：（1）依题意，由﹣x2+2x+3≥0，解得﹣1≤x≤3．故函数f（x）的定义域为[﹣1，3]．（2）由题意，根据，可知（x﹣1）2≤4．令，则，即．∵，∴，∴，∴，故f（x）的最小值为﹣1．21．已知函数为偶函数．（1）求k的值；（2）若方程有解，求实数m的范围．【分析】（1）根据偶函数可知f（x）＝f（﹣x），取x＝﹣1代入即可求出k的值；（2）问题转化为22x+2x+1﹣m＝0有解，令t＝2x，则t＞0，则t2+t+1﹣m＝0有解，从而求出m的范围即可．解：（1）由题意得f（﹣x）＝f（x），即log4（4﹣x+1）+k（﹣x）＝log4（4x+1）+kx，化简得log4＝2kx，从而4（2k+1）x＝1，此式在x∈R上恒成立，∴；（2）由（1）若方程有解，则log4（4x+1）＝log4（m﹣2x）有解，故22x+2x+1﹣m＝0有解，令t＝2x，则t＞0，则t2+t+1﹣m＝0有解，故＝m﹣有解，而（t+）2＞，故m﹣＞，解得：m＞1．22．用清水洗一堆蔬菜上残留的农药，用水越多，洗掉的农药量也越多，但总还有农药残留在蔬菜上现作如下假定：用x单位的水清洗次后，蔬菜上残留的农药量与本次清洗前残留的农药量之比为函数．（1）（ⅰ）试解释f（0）与f（1）的实际意义；（ⅱ）写出函数f（x）应该满足的条件和具有的性质；（2）现有a（a＞0）单位量的水，可以清洗一次，也可以把水平均分成2份后清洗两次．哪种方案清洗后蔬菜上残留的农药量比较少？请说明理由．【分析】（1）（i）根据函数f（x）的实际意义即可写出，（ii）由题意可得函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为，再利用作差法比较即可．解：（1）（ⅰ）f（0）＝1，表示没有用水清洗时，蔬菜上的农药量为1，，表示用1个单位的水清洗时，可清除蔬菜上残留的农药的；（ⅱ）函数f（x）在[0，+∞）上单调递减，并且有0＜f（x）≤1；（2）设清洗前蔬菜上的农药量为1，用a单位量的水清洗1次后，残留的农药量为W1，则，如果用单位的水清洗1次，则残留的农药量为，然后再用单位的水清1次后，残留的农药量为．由于，所以，W1﹣W2的符号由a2﹣16决定，当a＞4时，W1＞W2．此时，把a单位的水平均分成2份后，清洗两次，残留的农药量较少；当a＝4时，W1＝W2．此时，两种清洗方法效果相同；当a＜4时，W1＜W2．此时，用a单位的水清洗一次，残留的农药量较少．。
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湖北省武汉市高一(上)期末数学考试————————————————————————————————作者：————————————————————————————————日期：2016-2017学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知tanα=2，则=．15．（5分）已知，，则tanα的值为．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）6﹣2（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．2016-2017学年湖北省武汉市高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．【分析】根据补集与交集的定义，即可得出{﹣1，0，2}=（∁U A）∩（∁U B）．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁U A={﹣1，0，1，2，6}，∁U B={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣【分析】利用同角三角函数的基本关系，二倍角的余弦公式求得cos120゜的值．【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【分析】运用奇偶性的定义，逐一判断即可得到结论．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x•sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）【分析】根据平行四边形的对边平行且相等，得出向量则=，列出方程求出D点的坐标【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（x，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣x，2﹣y），∴，解得x=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数【分析】A，由a0=1可判定；B，根据幂函数的性质可判定；C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数；D，由函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞）可判定；【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；对于C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于D，函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【分析】利用函数y=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0）的图象的变换及正弦函数的对称性可得答案．【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍【分析】由题设中的定义，将音量值代入，计算出声音强度I1与声音强度I2的值，再计算出即可求出倍数【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：B．8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【分析】由已知可得，进而可得=，由P是BD 上的点，可得m+=1，即可得到m．【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A9．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【分析】由已知中函数，将x=﹣1代入，构造关于a的方程，解得答案．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A． B．C．D．【分析】先判断函数的奇偶性和，再令x=时，f（）=﹣＜0，问题得以解决．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【分析】由题意可知：函数的周期为2，根据偶函数的对称轴及单调性即可求得f（x）在[0，1]上为单调减函数，由A，B是锐角三角形的两个内角，求得A，B 的取值范围，根据函数的单调性即可求得答案．【解答】解：由f（x）+f（x+1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【分析】由g（x）=f（x）﹣b有两个零点可得f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，则函数在定义域内不能是单调函数，结合函数图象可求a的范围．【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【分析】由x+1＞0且x﹣3≠0，解不等式即可得到所求定义域．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）已知tanα=2，则=．【分析】利用诱导公式对所求的关系式进行化简，再弦化切即可得答案．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5分）已知，，则tanα的值为．【分析】根据诱导公式，可得cosα=，进而利用同角三角函数的基本关系公式，可得答案．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．【分析】以B为坐标原点建立坐标系，求出各个向量的坐标，进而构造关于x，y的方程组，解得答案．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（x+y）=7，故x+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【分析】（1）利用分数指数幂的运算法则，诱导公式求得所给式子的值．（2）利用同角三角函数的基本关系，求得cosA﹣sinA的值．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【分析】（1）由可得已知，结合，可得x（y﹣2）=（x+4）y，整理可得答案；（2）由已知可得：，结合有公共点C，可得：A、B、C三点共线，进而可得的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴x（y﹣2）=（x+4）y，∴x=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【分析】（1）由函数图象得A=2，，结合范围，可求ϕ，由，结合，可求ω，即可得解函数解析式．（2）由题意利用y=Asin（ωx+φ）的图象变换规律，得出结论．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴k=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sinx（x∈R ）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x ﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（3x +）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x +）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．【分析】（1）由表中数据列关于ω、φ的二元一次方程组，求得A、ω、φ的值，从而可求函数解析式．（2）由，可求，利用正弦函数的图象和性质即可得解．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22f（x）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f（x）最小值为，∴时，即时，f（x）最大值为6…（12分）21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．【分析】（1）运用偶函数的图形关于y轴对称，可得，求得θ，即可得到tanθ；再由同角的基本关系式，化为tanθ的式子，即可得到所求值；（2）由题意可得或，结合正弦函数的图形和性质，计算即可得到所求范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（x）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．【分析】（1）根据函数单调性的定义进行证明即可，（2）根据函数的性质利用作差法进行判断即可，（3）根据函数定义域和值域的关系建立方程，进行求解即可．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．任取x1、x2且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）•，若x1、x2∈（0，1），则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．若x1、x2∈（1，+∞），则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，k均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜x＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，x＞1，=是增函数，∴h（m）=km，h（n）=kn ，∴，∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，k满足条件．（12分）第21页（共21页）。