2011中考二轮专题二次函数的应用试题1
二次函数的应用测试题(含答案)
二次函数的应用测试题(含答案)一.选择题(共8小题)1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是()A.1米B.3米C.5米D.6米2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2 +10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A.30万元B.40万元C.45万元D.46万元3.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A.y= (x+3)2B.y= (x+3)2C.y= (x﹣3)2D.y= (x﹣3)25.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.2sB.4sC.6sD.8s6一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是()A.2米B.5米C.6米D.14米7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A.3sB.4sC.5sD.6s8.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y= (x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A.40 m/sB.20 m/sC.10 m/sD.5 m/s二.填空题(共6小题)9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为_________米.10.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是_________.11.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x 为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为_________元.12.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P 的坐标是_________.13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为_________米.14.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为_________件(用含x的代数式表示).三.解答题(共8小题)15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元?16.在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.(1)求出y与x的函数关系式.(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是].17.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?18.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB= (x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?19.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?20.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)21.某体育用品商店试销一款成本为50元的排球,规定试销期间单价不低于成本价,且获利不得高于40%.经试销发现,销售量y(个)与销售单价x(元)之间满足如图所示的一次函数关系.(1)试确定y与x之间的函数关系式;(2)若该体育用品商店试销的这款排球所获得的利润Q元,试写出利润Q(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;当试销单价定为多少元时,该商店可获最大利润?最大利润是多少元?(3)若该商店试销这款排球所获得的利润不低于600元,请确定销售单价x的取值范围.22.某种商品每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间满足关系:y=ax2+bx ﹣75.其图象如图所示.(1)销售单价为多少元时,该种商品每天的销售利润最大?最大利润为多少元?(2)销售单价在什么范围时,该种商品每天的销售利润不低于16元?26.3.3二次函数的应用参考答案与试题解析一.选择题(共8小题)1.一个小球被抛出后,如果距离地面的高度h(米)和运行时间t(秒)的函数解析式为h=﹣5t2+10t+1,那么小球到达最高点时距离地面的高度是()A. 1米B.3米C.5米D. 6米考点:二次函数的应用.分析:直接利用配方法求出二次函数最值进而求出答案.解答:解:h=﹣5t2+10t+1=﹣5(t2﹣2t)+1=﹣5(t﹣1)2+6,故小球到达最高点时距离地面的高度是:6m.故选:D.点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确利用配方法求出是解题关键.2.某公司在甲、乙两地同时销售某种品牌的汽车.已知在甲、乙两地的销售利润y(单位:万元)与销售量x(单位:辆)之间分别满足:y1=﹣x2+10x,y2=2x,若该公司在甲,乙两地共销售15辆该品牌的汽车,则能获得的最大利润为()A. 30万元B.40万元C.45万元D. 46万元考点:二次函数的应用.分析:首先根据题意得出总利润与x之间的函数关系式,进而求出最值即可.解答:解:设在甲地销售x辆,则在乙地销售(15﹣x)量,根据题意得出:W=y1+y2=﹣x2+10x+2(15﹣x)=﹣x2+8x+30,∴最大利润为:= =46(万元),故选:D.点评:此题主要考查了二次函数的应用,得出函数关系式进而利用最值公式求出是解题关键.3.向上发射一枚炮弹,经x秒后的高度为y公尺,且时间与高度关系为y=ax2+bx.若此炮弹在第7秒与第14秒时的高度相等,则在下列哪一个时间的高度是最高的()A.第9.5秒B.第10秒C.第10.5秒D.第11秒考点:二次函数的应用.分析:根据题意,x=7时和x=14时y值相等,因此得到关于a,b的关系式,代入到x=﹣中求x的值.解答:解:当x=7时,y=49a+7b;当x=14时,y=196a+14b.根据题意得49a+7b=196a+14b,∴b=﹣21a,根据二次函数的对称性及抛物线的开口向下,当x=﹣=10.5时,y最大即高度最高.因为10最接近10.5.故选:C.点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据对称性看备选项中哪个与之最近得出结论是解题关键.4.如图是一副眼镜镜片下半部分轮廓对应的两条抛物线关于y轴对称.AB∥x 轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,高CH=1cm,BD=2cm.则右轮廓线DFE所在抛物线的函数解析式为()A. y= (x+3)2B.y= (x+3)2C.y= (x﹣3)2D. y= (x﹣3)2考点:二次函数的应用.专题:应用题.分析:利用B、D关于y轴对称,CH=1cm,BD=2cm可得到D点坐标为(1,1),由AB=4cm,最低点C在x轴上,则AB关于直线CH对称,可得到左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),于是得到右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),然后设顶点式利用待定系数法求抛物线的解析式.解答:解:∵高CH=1cm,BD=2cm,而B、D关于y轴对称,∴D点坐标为(1,1),∵AB∥x轴,AB=4cm,最低点C在x轴上,∴AB关于直线CH对称,∴左边抛物线的顶点C的坐标为(﹣3,0),∴右边抛物线的顶点C的坐标为(3,0),设右边抛物线的解析式为y=a(x﹣3)2,把D(1,1)代入得1=a×(1﹣3)2,解得a= ,故右边抛物线的解析式为y= (x﹣3)2.故选C.点评:本题考查了二次函数的应用:利用实际问题中的数量关系与直角坐标系中线段对应起来,再确定某些点的坐标,然后利用待定系数法确定抛物线的解析式,再利用抛物线的性质解决问题.5.烟花厂为国庆观礼特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点处引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A. 2sB.4sC.6sD. 8s考点:二次函数的应用.分析:礼炮在点火升空到最高点处引爆,故求h的最大值.解答:解:由题意知礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是:,∵<0∴当t=4s时,h最大为40m,故选B.点评:本题考查二次函数的实际应用,借助二次函数解决实际问题.6.一小球被抛出后,距离地面的高度h(米)和飞行时间t(秒)满足下面函数关系式:h=﹣5t2+20t﹣14,则小球距离地面的最大高度是()A. 2米B.5米C.6米D. 14米考点:二次函数的应用.分析:把二次函数的解析式化成顶点式,即可得出小球距离地面的最大高度.解答:解:h=﹣5t2+20t﹣14=﹣5(t2﹣4t)﹣14=﹣5(t2﹣4t+4)+20﹣14=﹣5(t﹣2)2+6,﹣5<0,则抛物线的开口向下,有最大值,当t=2时,h有最大值是6米.故选:C.点评:本题考查了二次函数的应用以及配方法求二次函数最值,把函数式化成顶点式是解题关键.7.烟花厂为成都春节特别设计制作一种新型礼炮,这种礼炮的升空高度h(m)与飞行时间t(s)的关系式是,若这种礼炮在点火升空到最高点引爆,则从点火升空到引爆需要的时间为()A. 3sB.4sC.5sD. 6s考点:二次函数的应用.专题:计算题;应用题.分析:到最高点爆炸,那么所需时间为﹣.解答:解:∵礼炮在点火升空到最高点引爆,∴t=﹣=﹣=4s.故选B.点评:考查二次函数的应用;判断出所求时间为二次函数的顶点坐标的横坐标的值是解决本题的关键.8.某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y= (x>0),若该车某次的刹车距离为5m,则开始刹车时的速度为()A. 40 m/sB.20 m/sC.10 m/sD. 5 m/s考点:二次函数的应用.专题:应用题.分析:本题实际是告知函数值求自变量的值,代入求解即可,另外实际问题中,负值舍去.解答:解:当刹车距离为5m时,即可得y=5,代入二次函数解析式得:5= x2.解得x=±10,(x=﹣10舍),故开始刹车时的速度为10m/s.故选C.点评:本题考查了二次函数的应用,明确x、y代表的实际意义,刹车距离为5m,即是y=5,难度一般.二.填空题(共6小题)9.如图是一个横断面为抛物线形状的拱桥,当水面宽4米时,拱顶(拱桥洞的最高点)离水面2米,水面下降1米时,水面的宽度为米.考点:二次函数的应用.专题:函数思想.分析:根据已知得出直角坐标系,进而求出二次函数解析式,再通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出水面宽度,即可得出答案.解答:解:建立平面直角坐标系,设横轴x通过AB,纵轴y通过AB中点O且通过C点,则通过画图可得知O为原点,抛物线以y轴为对称轴,且经过A,B两点,OA和OB可求出为AB的一半2米,抛物线顶点C坐标为(0,2),通过以上条件可设顶点式y=ax2+2,其中a可通过代入A点坐标(﹣2,0),到抛物线解析式得出:a=﹣0.5,所以抛物线解析式为y=﹣0.5x2+2,当水面下降1米,通过抛物线在图上的观察可转化为:当y=﹣1时,对应的抛物线上两点之间的距离,也就是直线y=﹣1与抛物线相交的两点之间的距离,可以通过把y=﹣1代入抛物线解析式得出:﹣1=﹣0.5x2+2,解得:x= ,所以水面宽度增加到米,故答案为:米.点评:此题主要考查了二次函数的应用,根据已知建立坐标系从而得出二次函数解析式是解决问题的关键.10.如图的一座拱桥,当水面宽AB为12m时,桥洞顶部离水面4m,已知桥洞的拱形是抛物线,以水平方向为x轴,建立平面直角坐标系,若选取点A为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x﹣6)2+4,则选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是y=﹣(x+6)2+4.考点:二次函数的应用.专题:数形结合.分析:根据题意得出A点坐标,进而利用顶点式求出函数解析式即可.解答:解:由题意可得出:y=a(x+6)2+4,将(﹣12,0)代入得出,0=a(﹣12+6)2+4,解得:a=﹣,∴选取点B为坐标原点时的抛物线解析式是:y=﹣(x+6)2+4.故答案为:y=﹣(x+6)2+4.点评:此题主要考查了二次函数的应用,利用顶点式求出函数解析式是解题关键.11.某种商品每件进价为20元,调查表明:在某段时间内若以每件x元(20≤x≤30,且x 为整数)出售,可卖出(30﹣x)件.若使利润最大,每件的售价应为25元.考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:本题是营销问题,基本等量关系:利润=每件利润×销售量,每件利润=每件售价﹣每件进价.再根据所列二次函数求最大值.解答:解:设最大利润为w元,则w=(x﹣20)(30﹣x)=﹣(x﹣25)2+25,∵20≤x≤30,∴当x=25时,二次函数有最大值25,故答案是:25.点评:本题考查了把实际问题转化为二次函数,再利用二次函数的性质进行实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题.12.在平面直角坐标系中,点A、B、C的坐标分别为(0,1)、(4,2)、(2,6).如果P(x,y)是△ABC围成的区域(含边界)上的点,那么当w=xy取得最大值时,点P 的坐标是(,5).考点:二次函数的应用.专题:压轴题.分析:分别求得线段AB、线段AC、线段BC的解析式,分析每一条线段上横、纵坐标的乘积的最大值,再进一步比较.解答:解:线段AB的解析式是y= x+1(0≤x≤4),此时w=x(x+1)= +x,则x=4时,w最大=8;线段AC的解析式是y= x+1(0≤x≤2),此时w=x(x+1)= +x,此时x=2时,w最大=12;线段BC的解析式是y=﹣2x+10(2≤x≤4),此时w=x(﹣2x+10 )=﹣2x2+10x,此时x= 时,w最大=12.5 .综上所述,当w=xy取得最大值时,点P的坐标是(,5).点评:此题综合考查了二次函数的一次函数,能够熟练分析二次函数的最值.13.如图,小李推铅球,如果铅球运行时离地面的高度y(米)关于水平距离x(米)的函数解析式,那么铅球运动过程中最高点离地面的距离为2米.考点:二次函数的应用.分析:直接利用公式法求出函数的最值即可得出最高点离地面的距离.解答:解:∵函数解析式为:,∴y最值= = =2.故答案为:2.点评:此题主要考查了二次函数的应用,正确记忆最值公式是解题关键.14.某种工艺品利润为60元/件,现降价销售,该种工艺品销售总利润w(元)与降价x(元)的函数关系如图.这种工艺品的销售量为(60+x)件(用含x的代数式表示).考点:二次函数的应用.分析:由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式w=mx2+n,设销售量为a,代入函数的解析式,即可得到a和x的关系.解答:解:由函数的图象可知点(30,2700)和点(60,0)满足解析式w=mx2+n,∴,解得:,∴w=﹣x2+3600,设销售量为a,则a(60﹣x)=w,即a(60﹣x)=﹣x2+3600,解得:a=(60+x ),故答案为:(60+x).点评:本题考查点的坐标的求法及二次函数的实际应用.此题为数学建模题,借助二次函数解决实际问题,用的知识点为:因式分解,题目设计比较新颖,同时也考查了学生的逆向思维思考问题.三.解答题(共8小题)15.某机械公司经销一种零件,已知这种零件的成本为每件20元,调查发现当销售价为24元时,平均每天能售出32件,而当销售价每上涨2元,平均每天就少售出4件.(1)若公司每天的现售价为x元时则每天销售量为多少?(2)如果物价部门规定这种零件的销售价不得高于每件28元,该公司想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为多少元?考点:二次函数的应用.分析:(1)由原来的销量﹣每天减少的销量就可以得出现在每天的销量而得出结论; (2)由每件的利润×数量=总利润建立方程求出其解即可.解答:解:(1)由题意,得32﹣×4=80﹣2x.答:每天的现售价为x元时则每天销售量为(80﹣2x)件;(2)由题意,得(x﹣20)(80﹣2x)=150,解得:x1=25,x2=35.∵x≤28,∴x=25.答:想要每天获得150元的销售利润,销售价应当为25元.点评:本题考查了销售问题的数量关系每件的利润×数量=总利润的运用,列一元二次方程解实际问题的运用,一元二次方程的解法的运用,解答时根据销售问题的等量关系建立方程是关键.16.在2014年巴西世界杯足球赛前夕,某体育用品店购进一批单价为40元的球服,如果按单价60元销售,那么一个月内可售出240套.根据销售经验,提高销售单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高5元,销售量相应减少20套.设销售单价为x(x≥60)元,销售量为y套.(1)求出y与x的函数关系式.(2)当销售单价为多少元时,月销售额为14000元;(3)当销售单价为多少元时,才能在一个月内获得最大利润?最大利润是多少?[参考公式:抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的顶点坐标是].考点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.专题:销售问题.分析:(1)根据销售量=240﹣(销售单价每提高5元,销售量相应减少20套)列函数关系即可;(2)根据月销售额=月销售量×销售单价=14000,列方程即可求出销售单价;(3)设一个月内获得的利润为w元,根据利润=1套球服所获得的利润×销售量列式整理,再根据二次函数的最值问题解答.解答:解:(1),∴y=﹣4x+480(x≥60);(2)根据题意可得,x(﹣4x+480)=14000,解得,x1=70,x2=50(不合题意舍去),∴当销售价为70元时,月销售额为14000元.(3)设一个月内获得的利润为w元,根据题意,得w=(x﹣40)(﹣4x+480),=﹣4x2+640x﹣19200,=﹣4(x﹣80)2+6400,当x=80时,w的最大值为6400∴当销售单价为80元时,才能在一个月内获得最大利润,最大利润是6400元.点评:本题考查了二次函数的应用以及一元二次方程的应用,并涉及到了根据二次函数的最值公式,熟练记忆公式是解题关键.17.某经销商销售一种产品,这种产品的成本价为10元/千克,已知销售价不低于成本价,且物价部门规定这种产品的销售价不高于18元/千克,市场调查发现,该产品每天的销售量y(千克)与销售价x(元/千克)之间的函数关系如图所示:(1)求y与x之间的函数关系式,并写出自变量x的取值范围;(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/千克)之间的函数关系式.当销售价为多少时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为多少?考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:(1)设函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入求出k和b即可,由成本价为10元/千克,销售价不高于18元/千克,得出自变量x的取值范围;(2)根据销售利润=销售量×每一件的销售利润得到w和x的关系,利用二次函数的性质得最值即可;(3)先把y=150代入(2)的函数关系式中,解一元二次方程求出x,再根据x的取值范围即可确定x的值.解答:解:(1)设y与x之间的函数关系式y=kx+b,把(10,40),(18,24)代入得,解得,∴y与x之间的函数关系式y=﹣2x+60(10≤x≤18);(2)W=(x﹣10)(﹣2x+60)=﹣2x2+80x﹣600,对称轴x=20,在对称轴的左侧y随着x的增大而增大,∵10≤x≤18,∴当x=18时,W最大,最大为192.即当销售价为18元时,每天的销售利润最大,最大利润是19 2元.(3)由150=﹣2x2+80x﹣600,解得x1=15,x2=25(不合题意,舍去)答:该经销商想要每天获得150元的销售利润,销售价应定为15元.点评:本题考查了二次函数的应用,得到每天的销售利润的关系式是解决本题的关键,结合实际情况利用二次函数的性质解决问题.18.某研究所将某种材料加热到1000℃时停止加热,并立即将材料分为A、B 两组,采用不同工艺做降温对比实验,设降温开始后经过x min时,A、B两组材料的温度分别为yA℃、yB℃,yA、yB与x的函数关系式分别为yA=kx+b,yB= (x﹣60)2+m(部分图象如图所示),当x=40时,两组材料的温度相同.(1)分别求yA、yB关于x的函数关系式;(2)当A组材料的温度降至120℃时,B组材料的温度是多少?(3)在0<x<40的什么时刻,两组材料温差最大?考点:二次函数的应用.专题:应用题;数形结合.分析:(1)首先求出yB函数关系式,进而得出交点坐标,即可得出yA函数关系式;(2)首先将y=120代入求出x的值,进而代入yB求出答案;(3)得出yA﹣yB的函数关系式,进而求出最值即可.解答:解:(1)由题意可得出:yB= (x﹣60)2+m经过(0,1000),则1000= (0﹣60)2+m,解得:m=100,∴yB= (x﹣60)2+100,当x=40时,yB= ×(40﹣60)2+100,解得:yB=200,yA=kx+b,经过(0,1000),(40,200),则,解得:,∴yA=﹣20x+1000;(2)当A组材料的温度降至120℃时,120=﹣20x+1000,解得:x=44,当x=44,yB= (44﹣60)2+100=164(℃),∴B组材料的温度是164℃;(3)当0<x<40时,yA﹣yB=﹣20x+1000﹣(x﹣60)2﹣100=﹣x2+10x=﹣(x﹣20) 2+100,∴当x=20时,两组材料温差最大为100℃.点评:此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式以及二次函数最值求法等知识,得出两种材料的函数关系式是解题关键.19.“丹棱冻粑”是眉山著名特色小吃,产品畅销省内外,现有一个产品销售点在经销时发现:如果每箱产品盈利10元,每天可售出50箱;若每箱产品涨价1元,日销售量将减少2箱.(1)现该销售点每天盈利600元,同时又要顾客得到实惠,那么每箱产品应涨价多少元?(2)若该销售点单纯从经济角度考虑,每箱产品应涨价多少元才能获利最高?考点:二次函数的应用;一元二次方程的应用.专题:销售问题.分析:(1)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得方程求解即可;(2)设每箱应涨价x元,得出日销售量将减少2x箱,再由盈利额=每箱盈利×日销售量,依题意得函数关系式,进而求出最值.解答:解:(1)设每箱应涨价x元,则每天可售出(50﹣2x)箱,每箱盈利(10+x)元,依题意得方程:(50﹣2x)(10+x)=600,整理,得x2﹣15x+50=0,解这个方程,得x1=5,x2=10,∵要使顾客得到实惠,∴应取x=5,答:每箱产品应涨价5元.(2)设利润为y元,则y=(50﹣2x)(10+x),整理得:y=﹣2x2+30x+500,配方得:y=﹣2(x﹣7.5)2+612.5,当x=7.5元,y可以取得最大值,∴每箱产品应涨价7.5元才能获利最高.点评:此题考查了一元二次方程的应用以及二次函数应用,解答此题的关键是熟知等量关系是:盈利额=每箱盈利×日销售量.20.某企业设计了一款工艺品,每件的成本是50元,为了合理定价,投放市场进行试销.据市场调查,销售单价是100元时,每天的销售量是50件,而销售单价每降低1元,每天就可多售出5件,但要求销售单价不得低于成本.(1)求出每天的销售利润y(元)与销售单价x(元)之间的函数关系式;(2)求出销售单价为多少元时,每天的销售利润最大?最大利润是多少?(3)如果该企业要使每天的销售利润不低于4000元,且每天的总成本不超过7000元,那么销售单价应控制在什么范围内?(每天的总成本=每件的成本×每天的销售量)考点:二次函数的应用.专题:销售问题.分析:(1)根据“利润=(售价﹣成本)×销售量”列出方程;。
2011-2012全国各中考数学试题分考点解析汇编--二次函数的应用
AD EFMO O 2011—2012学年度（下）十五中九年级数学月考试卷参考答案一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案CDDAABCCAB二、填空题：11、2)3(-a 12、m>1 13、相交 14、y=(x-2)2+1 15、2116、100 三、解答题：17、（1）解：原式＝1＋1＋9 ………………5分＝11 ………………7分（2）解：原式=a b ab a a b a 222+-÷-…………………3分 =2)(b aaa b a -∙- …………………6分 =ba -1 …………………7分 18、在□ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝CD ………………2分∴∠E ＝∠H ，∠EAF ＝∠D ………………4分 ∵AD ∥BC ∴∠HCG ＝∠D∴∠EAF ＝∠HCG ………………6分 ∵AE ＝AB ，CH ＝CD∴AE ＝CH ………………8分 ∴△AEF ≌△CHG ………………10分 19、解：（1）…4分（2）甲的票数是：200×34%=68（票）乙的票数是：200×30%=60（票）丙的票数是：200×28%=56（票） …………7分 （3）甲的平均成绩：1.853523855922681=++⨯+⨯+⨯=x乙的平均成绩：5.853523955902602=++⨯+⨯+⨯=x 丙的平均成绩：7.823523805952563=++⨯+⨯+⨯=x ∵乙的平均成绩最高 ∴应该录取乙。
…………12分甲 乙丙竞选人100 95 90 85 80 75 70分数笔试 面试图二20、解：（1）证明：连接OE∵AM 、DE 是⊙O 的切线，OA 、OE 是⊙O 的半径 ∴∠ADO=∠EDO,∠DAO=∠DEO=90°…………2分 ∴∠AOD=∠EOD=21∠AOE …………4分 ∵∠ABE=21∠AOE ∴∠AOD=∠ABE ∴OD ∥BE …………5分 (2) OF =21CD …………6分 理由：连接OC∵BE 、CE 是⊙O 的切线∴∠OCB=∠OCE …………8分 ∵AM ∥BN∴∠ADO+∠EDO+∠OCB+∠OCE=180° 由（1）得 ∠ADO=∠EDO∴2∠EDO+2∠OCE=180° 即∠EDO+∠OCE=90° …………10分 在Rt △DOC 中， ∵ F 是DC 的中点 ∴OF =21CD …………12分 21、解：（1）设商店购买彩电x 台，则购买洗衣机（100-x ）台。
中考二次函数应用题(含答案解析)
中考二次函数应用题(含答案解析)二次函数应用题1．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x（元/件）（10x≥的整数），每天销售利润为y（元）．(1)求y与x的函数关系式，并写出x的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y的取值范围．2．某地在“精准扶贫”活动中销售一农产品，经分析发现月销售量y（万件）与月份x（月）的关系为： y81620712x x xx x x+≤≤⎧=⎨-+≤≤⎩（，为整数）（，为整数），每件产品的利润z（元）与月份x（月）的关系如表：x123456789101112z191817161514131211101010(1)请你根据表格直接写出每件产品利润z（元）与月份x（月）的关系式；(2)若月利润w（万元）＝当月销售量y（万件）×当月每件产品的利润z（元），求月利润w（万元）与月份x（月）的关系式；(3)当x为何值时，月利润w有最大值，最大值为多少？3．某商场购进一种每件成本为100元的新商品，在商场试销发现：销售单价x（元/件）与每天销售量y（件）之间满足如图所示的关系：(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)写出每天的利润W与销售单价x之间的函数关系式；(3)疫情期间，有关部门规定每件商品的利润率不得超过30%，那么将售价定为多少，来保证每天获得的总利润最大，最大总利润是多少？（利润率=利润÷成本×100%）(4)疫情过后，有关部门规定每件商品的利润率不得超过50%，每销售一件商品便向某慈善机构捐赠a 元（10≤a ≤25），捐赠后发现，该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大．请直接写出a 的取值范围．4．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()2,1P 称为“爱凌点”，经过点()2,1P 的函数，称为“爱凌函数”．(1)若点()34,r s r s ++是“爱凌点”，关于x 的数2y x x t =-+都是“爱凌函数”，则r =_____，s =_____，t =_____．(2)若关于x 的函数y kx b =+和my x=都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值．(3)如图，点()11,C x y 、()22,D x y 是抛物线232y x x =-+上两点，其中D 在第四象限，C 在第一象限对称轴右侧，直线AC 、AD 分别交y 轴于F 、E 两点： ①求点E ，F 的坐标；（用含1x ，2x 的代数式表示）；②若1OE OF ⋅=，试判断经过C 、D 两点的一次函数()0y kx b k =+≠是否为“爱凌函数”，并说明理由．5．国家推行“节能减排，低碳经济”政策后，低排量的汽车比较畅销，某汽车经销商购进A ，B 两种型号的低排量汽车，其中A 型汽车的进货单价比B 型汽车的进货单价多2万元；花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同． (1)求A ，B 两种型号汽车的进货单价；(2)销售过程中发现：A 型汽车的每周销售量yA （台）与售价xA （万元台）满足函数关系yA ＝﹣xA +18；B 型汽车的每周销售量yB （台）与售价xB （万元/台）满足函数关系yB ＝﹣xB +14．若A 型汽车的售价比B 型汽车的售价高1万元/台，设每周销售这两种车的总利润为w 万元．①当A 型汽车的利润不低于B 型汽车的利润，求B 型汽车的最低售价？②求当B 型号的汽车售价为多少时，每周销售这两种汽车的总利润最大？最大利润是多少6．某商店购进一种商品，每件商品进价30元．试销中发现这种商品每天的销售量y （件）与每件销售价x (元)的关系数据如下： x 30 32 34 36 y40363228(1)已知y 与x 满足一次函数关系，根据上表，求出y 与x 之间的关系式（不写出自变量x 的取值范围）；(2)设该商店每天销售这种商品所获利润为w (元)，求出w 与x 之间的关系式，并求出每件商品销售价定为多少元时利润最大？7．某服装厂批发应季T 恤衫，其单价y （元）与一次批发数量x （件）（x 为正整数．．．．）之间的关系满足图中折线的函数关系．(1)求y 与x 的函数关系式；(2)若每件T 恤衫的成本价是60元，当100400x <≤时，求服装厂所获利润w （元）与x （件）之间的函数关系式，并求一次批发多少件时所获利润最大，最大利润是多少？ 8．嘉琪第一期培植盆景与花卉各40盆，售后统计，盆景的平均每盆利润是120元，花卉的平均每盆利润是15元，调研发现：①盆景每增加1盆，盆景的平均每盆利润减少2元；每减少1盆，盆景的平均每盆利润增加2元；②花卉的平均每盆利润始终不变．嘉琪计划第二期培植盆景与花卉共100盆，设培植的盆景比第一期增加x 盆，第二期盆景与花卉售完后的利润分别为1W ，2W （单位：元）．(1)第二期盆景的数量为_________盆，花卉的数量为_________盆； (2)用含x 的代数式分别表示1W ，2W ；(3)当x 取何值时，第二期培植的盆景与花卉售完后获得的总利润W 最大，最大总利润是多少？9．为响应政府“节能”号召，某强照明公司减少了白炽灯的生产数量，引进新工艺生产一种新型节能灯，己知这种节能灯的出厂价为每个20元．某商场试销发现，销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个． (1)求出每月销售量y （个）与销售单价x （元）之间的函数关系式；(2)设该商场每月销售这种节能灯获得的利润为w （元）与销售单价x （元）之间的函数关(3)若每月销售量不少于200个，且每个节能灯的销售利润至少为7元，则销售单价定为多少元时，所获利润最大？最大利润是多少？10．如图，用长30米的竹篱笆围成一个矩形菜园，其中一面靠墙，墙长10米，墙的对面有一个2米宽的门，设垂直于墙的一边长为x 米，菜园的面积为S 平方米．(1)直接写出S 与x 的函数关系式； (2)若菜园的面积为96平方米，求x 的值；(3)若在墙的对面再开一个宽为a （0＜a ＜3）米的门，且面积S 的最大值为124平方米，直接写出a 的值．【参考答案】二次函数应用题1．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥， ∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键．2．(1)()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数 (2)()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数 (3)当6x =时，w 有最大值为196． 【解析】 【分析】（1）观察表中数据可得，当19x ≤≤时，20z x =-+；当1012x ≤≤时，10z =，则z 与x 的关系式可得；（2）分三种情况：当16x 时，当79x ≤≤时，当1020x ≤≤时，分别写出w 关于x 的函数关系式并化简，则可得答案；（3）分别写出当16x 时，当78x 时，当912x 时的函数最大值，然后比较取最大值即可． (1)解：观察表中数据可得，当19x ≤≤时，20z x =-+；当1012x ≤≤时，10z =． z ∴与x 的关系式为：()()2019,101012,x x x z x x ⎧-+≤≤⎪=⎨≤≤⎪⎩为整数为整数； (2)解：当16x 时，2(20)(8)12160w x x x x =-++=-++； 当79x ≤≤时，2(20)(20)40400w x x x x =-+-+=-+； 当1020x ≤≤时，10(20)10200w x x =-+=-+；w ∴与x 的关系式为：()()()221216016,4040079,102001012,x x x x w x x x x x x x ⎧-++⎪=-+≤≤⎨⎪-+≤≤⎩为整数为整数为整数；(3)解：当16x 时，212160w x x =-++2(6)196x =--+，6x ∴=时，w 有最大值为196；当79x ≤≤时，2240400(20)w x x x =-+=-，w 随x 增大而减小，7x ∴=时，w 有最大值为169；当1020x ≤≤时，10200w x =-+，w 随x 增大而减小，10x ∴=时，w 有最大值为100；100169196<<，6x ∴=时，w 有最大值为196．【点睛】本题考查了二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系正确列式并分段计算是解题的关键．3．(1)180(100180)y x x =-+<≤ (2)228018000(100180)W x x x =-+-<≤(3)将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元 (4)2025a ≤≤ 【解析】 【分析】（1）设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠，利用待定系数法可求出其解析式，再求出x 的取值范围即可；（2）根据利润=（售价-单价）×销售量，即可得出答案；（3）根据题意可求出x 的取值范围，再根据二次函数的性质，即可得出答案；（4）根据题意可求出x 的取值范围和W 与x 、a 的关系式，再将其配方，根据该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增，即可得出关于a 的不等式，解出a 的解集即可得出答案． (1)解：设y 与x 之间的函数关系式为(0)y kx b k =+≠， 根据图象可知点(130，50)和点(150，30)在y kx b =+的图象上，∴5013030150k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得：1180k b =-⎧⎨=⎩．∴180y x =-+． 令0y =，则1800x -+=， 解得：180x =，∴y 与x 之间的函数关系式为180(100180)y x x =-+<≤； (2)根据题意可得2(100)(100)(180)28018000W x y x x x x =-=--+=-+-，即每天的利润W 与销售单价x 之间的函数关系式为228018000(100180)W x x x =-+-<≤； (3)根据题意可得：10030%100x -≤， 解得：130x ≤． ∴100130x <≤．∵2228018000(140)1600W x x x =-+-=--+， ∴当130x =时，W 有最大值，且2max (130140)16001500W =--+=（元）．故将售价定为130元，每天获得的总利润最大，最大总利润是1500元； (4)根据题意可知10050%100x -≤ 解得：150x ≤．22228018000(180)(140)40160024a a W x x a x x a ⎡⎤=-+---+=--++-+⎢⎥⎣⎦．∵该商品每天销售的总利润仍随着售价的增大而增大， ∴1401502a+≥， 解得：20a ≥． ∵1025a ≤≤， ∴2025a ≤≤． 【点睛】本题考查一次函数与二次函数的实际应用．根据题意找到等量关系，列出等式是解题关键．4．(1)2；-1；-1；(2)12k =-；(3)①()20,2E x -+；()10,2F x -+；②经过C 、D 两点的一次函数y =kx +b (k ≠0)是“爱凌函数”；理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k 的值；（3）首先根据前提条件推出x 1与x 2的关系，然后利用C ，D 坐标用x 1和x 2表示出直线斜率kCD ，进一步代入点C 或者点D 的坐标，表示出截距b ，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件． (1)解：∵（3r ＋4s ，r ＋s ）为“爱凌点”，∴3421r s r s ⎧⎨⎩＋＝＋＝， 解得：21r s ⎧⎨-⎩＝＝，将（2，1）代入y ＝x 2−x ＋t 得：2122t =-+，解得t ＝−1． 故答案为：2；-1；-1． (2)将（2，1）分别代入y ＝kx ＋b 与y ＝mx中， 得1212k bm =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即122b k m =-⎧⎨=⎩，∵两个函数图象有且只有一个交点，∴kx ＋1−2k ＝2x只有一个根，即：kx 2＋（1−2k ）x −2＝0， Δ＝（1−2k ）2＋8k ＝0， ∴k ＝−12． (3)①令x 2−3x ＋2＝0，得：11x =，x 2=2， ∴A （1，0），B （2，0）， ∵C 、D 两点在抛物线上，∴C （x 1，x 12−3x 1＋2），D （x 2，22232x x -+），设AD 的函数关系式为：11AD y k x b =+，则11212122032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：121222k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()2222AD y x x x =-+-+， 令x ＝0，则22y x =-+，∴()202E x -+，， 设AC 的函数关系式为：22AC y k x b =+，则22221211032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：212122k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()1122AC y x x x =-+-+， 令x ＝0，则12y x =-+，∴()102F x -+，； ②y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”，理由如下： ∵若OE •OF ＝1，∴21221x x -+-+=， ∴（2−x 2）（x 1−2）−1＝0， ∴2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，∵一次函数y =kx +b 经过C 、D 两点，∴211122223232kx b x x kx b x x ⎧+=-+⎨+=-+⎩， 解得：121232k x x b x x =+-⎧⎨=-⎩，∴CD 的关系式为：y ＝（x 1＋x 2−3）x ＋2−x 1x 2， 将（2，1）代入得： 2（x 1＋x 2−3）＋2−x 1x 2=1，即2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，与前提条件OE•OF ＝1所得出的结论一致， ∴经过C ，D 的一次函数y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细．5．(1)A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元 (2)①B 型汽车的最低售价为414万元/台，②A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元 【解析】 【分析】（1）设未知数，用未知数分别表示A 型汽车、B 型汽车的进价，然后根据花50万元购进A 型汽车的数量与花40万元购进B 型汽车的数量相同列分式方程求解即可．（2）①用利润公式：利润=（售价-进价）×数量，分别表示出A 、B 型汽车利润，然后列不等式求解即可；②B 型号的汽车售价为t 万元/台，然后将两车的总利润相加得出一个二次函数，求二次函数的最值即可． (1)解：设B 型汽车的进货单价为x 万元，根据题意，得： 502x +＝40x， 解得x ＝8，经检验x ＝8是原分式方程的根， 8+2＝10（万元），答：A 种型号汽车的进货单价为10万元、B 两种型号汽车的进货单价为8万元； (2)设B 型号的汽车售价为t 万元/台，则A 型汽车的售价为（t +1）万元/台， ①根据题意，得：（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]≥（t ﹣8）（﹣t +14）， 解得：t ≥414，∴t 的最小值为414，即B 型汽车的最低售价为414万元/台， 答：B 型汽车的最低售价为414万元/台； ②根据题意，得：w ＝（t +1﹣10）[﹣（t +1）+18]+（t ﹣8）（﹣t +14） ＝﹣2t 2+48t ﹣265 ＝﹣2（t ﹣12）2+23，∵﹣2＜0，当t ＝12时，w 有最大值为23．答：A 、B 两种型号的汽车售价各为13万元、12万元时，每周销售这两种汽车的总利润最大，最大利润是23万元． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，二次函数的应用，理清数量关系，明确等量关系是解题关键． 6．(1)2100y x =-+(2)221603000w x x =-+-，当销售单价为40元时获得利润最大 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解一次函数解析式即可；（2）根据题意得210()(3)00w x x +--=，计算求出满足要求的解即可． (1)解：设该函数的表达式为y kx b =+，根据题意，得30403236k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2100k b =-⎧⎨=⎩∴y 与x 之间的关系式为2100y x =-+． (2)解：根据题意，得210()(3)00w x x +--= 221603000x x =-+-224020(0)x =--+∵20a =-<∴当40x =时，w 的值最大∴当销售单价为40元时，获得利润最大． 【点睛】本题考查了一次函数的应用，二次函数的应用，二次函数的图象与性质．解题的关键在于熟练掌握一次函数与二次函数的知识． 7．(1)100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩(2)一次批发250件时，获得的最大利润为6250元【解析】【分析】（1）利用待定系数法结合图象求出解析式；（2）根据件数乘以单件的利润列得函数关系式，根据二次根式的性质解答．(1)解：当0≤x ≤100时，y =100；当100<x ≤400时，设y 与x 的函数关系式为y =kx +b ，则10010040070k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得110110k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， ∴111010y x =-+； 当x >400时，y =70； 综上，100(0100)1110(100400)1070(400)y x y y x x y x =≤≤⎧⎪⎪==-+<≤⎨⎪=>⎪⎩ (2)11106010w x x ⎛⎫=-+- ⎪⎝⎭=215010x x -+ =()21250625010x --+ 当x =250时，w 有最大值，即一次批发250件时，最大利润为6250元．【点睛】此题考查了求函数解析式，二次函数的最值问题，正确理解函数图象求出函数解析式是解题的关键．8．(1)40x +，60x -(2)212404800W x x =-++，215900W x =-+(3)6x =时，W 最大，最大利润为5778元【解析】【分析】（1）根据第二期培植盆景与花卉共100盆，培植的盆景比第一期增加x 盆列式即可； （2）根据利润＝平均利润×销售数量列式计算即可；（3）表示出总利润W ，根据二次函数的性质求出最大值即可．(1)解：由题意得：第二期盆景的数量为()40x +盆，则花卉的数量为()()1004060x x -+=-盆，故答案为：40x +，60x -；(2)解：由题意得：21(40)(1202)2404800W x x x x =+-=-++，()2156015900W x x =-=-+；(3)解：由题意得：22122404800159002255700W W W x x x x x -++--+=++=+=， ∵对称轴为254x =，而x 为正整数， ∴当6x =时，5778W =，当7x =时，5777W =，∵57785777>，∴6x =时，W 最大，最大利润为5778元．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，找到合适的数量关系列出算式是解题的关键． 9．(1)10500y x =-+(2)21070010000w x x =-+-(3)销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【解析】【分析】（1）根据“销售单价定为25元/个，每月销售量为250个；每涨价1元，每月少卖10个”可得函数解析式；（2）由（1）及题意可进行求解；（3）由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩，然后根据（2）及二次函数的性质可进行求解． (1)解：由题意得：()250102510500y x x =--=-+；(2)解：由（1）及题意得：()()220105001070010000w x x x x =--+=-+-；(3)解：由题意可得10500200207x x -+≥⎧⎨-≥⎩， 解得：2730x ≤≤，由（2）可知21070010000w x x =-+-，∵100-<，即开口向下，对称轴为直线352b x a=-=， ∴当2730x ≤≤时，w 随x 的增大而增大，∴当x =30时，所获利润最大，最大利润为1090070030100002000w =-⨯+⨯-=；答：销售单价定为30元时，所获利润最大，最大利润是2000元．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，熟练掌握二次函数中的销售问题是解题的关键．10．(1)S＝﹣2x2+32x(2)12(3)2.8【解析】【分析】（1）根据矩形面积公式即可写出函数关系式；（2）根据（1）所得关系式，将S=96代入即可求解；（3）再开一个宽为a的门，即矩形的另一边长为（32-2x+a）m，根据矩形的面积公式即可求解．(1)根据题意得，S＝（30﹣2x+2）x＝﹣2x2+32x；(2)当S＝96时，即96＝﹣2x2+32x，解得：x1＝12，x2＝4，∵墙长10米，∴30﹣8+2＝25＞10，∴x的值为12；(3)∵S＝（30﹣2x+a+2）x＝﹣2x2+（32+a）x，∵32﹣2x+a≤10，则x≥12a+11，∵面积取得最大值为S＝124，∴﹣2x2+（32+a）x＝124，把x＝12a+11代入，得﹣2（12a+11）2+（32+a）（12a+11）＝124，解得a＝2.8．答：a的值为2.8．【点睛】本题主要考查二次函数的应用，根据矩形面积公式得出函数解析式是根本，根据养鸡场的长不超过墙长取舍是关键．。
中考数学复习专题训练 二次函数的综合应用(含解析)
中考数学复习专题训练二次函数的综合应用一、选择题1.下列函数是二次函数的是（ ）A. y=2x+1B. y=﹣2x+1C. y=x2+2D. y=x﹣22.函数y=（m﹣3）x|m|﹣1+3x﹣1是二次函数，则m的值是（ ）A. ﹣3B. 3C. ±2D. ±33.已知抛物线y=ax2+bx+c经过原点和第一、二、三象限，那么（）A. a＞0，b＞0，c＞0B. a＞0，b＞0，c=0C. a＞0，b＞0，c＜0D. a＞0，b＜0，c=04.如图，在同一坐标系下，一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+4的图象大致可能是（）A. B. C. D.5.在平面直角坐标系中，抛物线y=x2-1与y轴的交点坐标是( )A. （1，0）B. （0，1）C. （0，-1）D. （-1，0）6.二次函数的图象如图所示，则这个二次函数的解析式为（）A. y （x﹣2）2+3B. y= （x﹣2）2﹣3C. y=﹣（x﹣2）2+3D. y=﹣（x﹣2）2﹣37.如图，已知二次函数y1= x2﹣x的图象与正比例函数y2= x的图象交于点A（3，2），与x轴交于点B（2，0），若y1＜y2，则x的取值范围是（）A. 0＜x＜2B. 0＜x＜3C. 2＜x＜3D. x＜0或x＞38. 设二次函数y1=a（x﹣x1）（x﹣x2）（a≠0，x1≠x2）的图象与一次函数y2=dx+e（d≠0）的图象交于点（x1，0），若函数y=y1+y2的图象与x轴仅有一个交点，则（）A. a（x1﹣x2）=dB. a（x2﹣x1）=dC. a（x1﹣x2）2=dD. a（x1+x2）2=d9.二次函数y=x2﹣8x+15的图象与x轴相交于M，N两点，点P在该函数的图象上运动，能使△PMN的面积等于的点P共有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个10.已知二次函数y=3x2+c与正比例函数y=4x的图象只有一个交点，则c的值为（）A. B. C. 3 D. 411.当﹣2≤x≤1时，二次函数y=﹣（x﹣m）2+m2+1有最大值4，则实数m的值为（ ）A. -B. 或-C. 2或-D. 2或或-12.现有A、B两枚均匀的小立方体（立方体的每个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6）．用小莉掷A 立方体朝上的数字为x小明掷B立方体朝上的数字为y来确定点P（x，y），那么它们各掷一次所确定的点P落在已知抛物线y=﹣x2+4x上的概率为（）A. B. C. D.二、填空题13.若函数y=（m+2）是二次函数，则m=________14.抛物线y= （x﹣4）2+3与y轴交点的坐标为________．15.已知抛物线的顶点坐标为（1，﹣1），且经过原点（0，0），则该抛物线的解析式为________．16.二次函数y=x2+4x+5中，当x=________时，y有最小值．17.二次函数y=ax2+bx+c（a，b，c为常数，且a≠0）中的x与y的部分对应值如表x﹣1013y﹣1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y的值随x值的增大而减小．③当x=2时，y=5；④3是方程ax2+（b﹣1）x+c=0的一个根；其中正确的有________．（填正确结论的序号）18.已知抛物线y=ax2+bx+c（a＞0）的对称轴为直线，且经过点（-3，y1），（4，y2），试比较y1和y2的大小：y1________y2（填“＞”，“＜”或“＝”）．19.如图是二次函数和一次函数y2=kx+t的图象，当y1≥y2时，x的取值范围是________．20.如图，二次函数的图象经过点，对称轴为直线，下列5个结论：①；②；③；④；⑤，其中正确的结论为________ ．（注：只填写正确结论的序号）三、解答题21.已知抛物线y= x2﹣2x的顶点是A，与x轴相交于点B、C两点（点B在点C的左侧）．（1）求A、B、C的坐标；（2）直接写出当y＜0时x的取值范围．22.在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C.（1）求点A的坐标；（2）当S△ABC=15时，求该抛物线的表达式；（3）在（2）的条件下，经过点C的直线与抛物线的另一个交点为D.该抛物线在直线上方的部分与线段CD组成一个新函数的图象。
中考二次函数应用题附答案解析
中考二次函数应用题附答案解析二次函数应用题1．北京冬奥会上，由于中国冰雪健儿们的发挥出色，中国金牌总数位列第三，向世界证明了中国是冰雪运动强国！青蛙公主谷爱凌发挥出色一人斩获两金一银．在数学上，我们不妨约定：在平面直角坐标系中，将点()2,1P 称为“爱凌点”，经过点()2,1P 的函数，称为“爱凌函数”．(1)若点()34,r s r s ++是“爱凌点”，关于x 的数2y x x t =-+都是“爱凌函数”，则r =_____，s =_____，t =_____．(2)若关于x 的函数y kx b =+和my x=都是“爱凌函数”，且两个函数图象有且只有一个交点，求k 的值．(3)如图，点()11,C x y 、()22,D x y 是抛物线232y x x =-+上两点，其中D 在第四象限，C 在第一象限对称轴右侧，直线AC 、AD 分别交y 轴于F 、E 两点： ①求点E ，F 的坐标；（用含1x ，2x 的代数式表示）；②若1OE OF ⋅=，试判断经过C 、D 两点的一次函数()0y kx b k =+≠是否为“爱凌函数”，并说明理由．2．某商店销售一种商品，童威经市场调查发现：该商品的周销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价、周销售量、周销售利润w （元）的三组对应值如表： 售价x （元/件） 60 70 80 周销售量y （件） 100 80 60 周销售利润w （元）200024002400【注：周销售利润＝周销售量×（售价﹣进价）】(1)①直接写出：此商品进价 元，y 关于x 的函数解析式是 ．（不要求写出自变量的取值范围）②当售价是多少元/件时，周销售利润最大，并求出最大利润．(2)由于某种原因，该商品进价提高了m元/件（m>0），物价部门规定该商品售价不得超过70元/件，该商店在今后的销售中，周销售量与售价仍然满足（1）中的函数关系．若周销售最大利润是1600元，求m的值．3．冰墩墩（BingDwenDwen）．是2022年北京冬季奥运会的吉样物．它将银猫形象与富有超能量的冰晶外壳结合．头部外壳造型取自冰雪运动头盔．装饰彩色光环．整体形象酷似航天员．冬奥会期间．某商家开始古样物“冰墩墩“纪含品的销售．每个纪念品进价40元．规定销售单价不低于44元．且不高于52元．销售期间发现．当销售单价定为44元时．每天可出售300个．销售单价每上涨1元．每天销量减少10个．现商家决定提价销售．设每天销售量为y个．销售单价为x元(1)求当每个纪念品的销售单价是多少元时．商家每天获利2400元：(2)将纪念品的销售单价定为多少元时．商家每天销售纪念品获得的利润w元最大？最大利润是多少元？4．为了助农增收，推动乡村振兴，某网店出售“碱水”面条．面条进价为每袋40元，当售价为每袋60元时，每月可销售300袋．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调研反映，销售单价每降1元，则每月可多销售30袋．该网店店主热心公益事业，决定每月从利润中捐出200元资助贫困学生．设当每袋面条的售价降了x元时，每月的销售量为y袋．(1)求出y与x的函数关系式；(2)设该网店捐款后每月利润为w元，则当每袋面条降价多少元时，每月获得的利润最大，最大利润是多少？5．星光公司投资150万元引进一台新设备，若不计维修保养费用，投入生产后每月可创收33万元，投入生产后从第一个月到第x月的维修保养费用累计为y（万元），且2=+，若将创收扣除投资和维修保养费用，成为该新设备的纯收益w（万元），w y ax bx也是关于x的二次函数．(1)若维修保养费用第1个月为2万元，第2个月为4万元，求y与x的解析式；(2)求纯收益w关于x的解析式；(3)问新设备投入生产第几个月后，纯收益达到最大?几个月后，能收回投资?6．某商店购进一批进价为40元/件的日用商品，第一个月，按进价提高50%的价格出售，售出600件；第二个月，商店准备在不低于原售价的基础上进行加价销售，根据销售经验，提高销售单价会导致销售量的减少．销售量y(件)与销售单价x(元)的关系如图所示．(1)请直接写出y 与x 之间的函数表达式： ；自变量x 的取值范围为 ； (2)第二个月的销售单价定为多少元时，可获得最大利润？最大利润是多少？ 7．如图，用18米长的篱笆（虚线部分），围成两面靠墙的矩形苗圃．(1)设矩形一边为x （米），面积为y （平方米），求y 与x 的函数表达式； (2)当矩形苗圃面积为72平方米时，求矩形的边长； (3)当x 为何值时，所围苗甫面积最大，最大值是多少？8．为了优化人居环境、提升城市品质，某小区准备在空地上新建一个边长为8m 的正方形花坛；如图，该花坛由4块全等的小正方形组成．在小正方形ABCD 中，O 为对称中心，点E 、F 分别在AB 、AD 上，AE ＝AF ，G 、H 分别为BE 、DF 的中点．(1)设m AE x ，请用x 的代数式表示四边形OHFG 的面积S （单位：2m ）；(2)已知：小正方形ABCD 中，在△AFG 、四边形OHFG 内分别种植不同的花卉，每平方米的种植成本分别是80元、60元；其余部分种植草坪，每平方米的种植成本为95元．若另外的3块正方形区域也按相同方式种植，问：在这个花坛内种植花卉和草坪至少需要花费多少元？9．从下列两题中选择1题完成，两题都完成的仅批改第1题．(1)第1题：某宾馆有50个房间供游客居住．当每个房间每天的定价为180元时，房间会全部住满；当每个房间每天的定价每增加10元时，就会有一个房间空闲．如果游客居住房间，宾馆需对居住的每个房间每天支出20元的各种费用．房价定为多少时，宾馆利润最大? 第2题：张大爷佩戴能计步的运动手环进行快走锻炼，两次锻炼后整理数据如下表．与第一次锻炼相比，张大爷第二次锻炼时步数在增加，平均步长在减少，其中步数增长的百分率是其平均步长减少的百分率的3倍．设平均步长减少的百分率为x （0<x <0.5）．(2)根据题意完成表格填空①_________，②_________．(3)求平均步长减少的百分率x ；【温馨提示：数学运算可以先约分后化简】(4)张大爷发现好友中步数排名第一为24000步，因此在两次锻炼结束后又走了500米，使得总步数恰好为24000步，求张大爷这500米的平均步长．10．某商店销售一种商品，经市场调查发现：在实际销售中，售价x 为整数，且该商品的月销售量y （件）是售价x （元/件）的一次函数，其售价x （元/件）、月销售量y （件）、月销售利润w （元）的部分对应值如表：注：月销售利润＝月销售量×（售价－进价） (1)求y 关于x 的函数表达式；(2)当该商品的售价是多少元时，月销售利润最大？并求出最大利润；(3)现公司决定每销售1件商品就捐赠m 元利润（6m ≤）给“精准扶贫”对象，要求：在售价不超过52元时，每月扣除捐赠后的月销售利润随售价x 的增大而增大，求m 的取值范围．【参考答案】二次函数应用题1．(1)2；-1；-1；(2)12k =-；(3)①()20,2E x -+；()10,2F x -+；②经过C 、D 两点的一次函数y =kx +b (k ≠0)是“爱凌函数”；理由见解析 【解析】【分析】（1）根据已知条件，代入求解即可；（2）首先用待定系数法求出反比例函数解析式，然后应用一元二次方程根的判别式求出k 的值；（3）首先根据前提条件推出x 1与x 2的关系，然后利用C ，D 坐标用x 1和x 2表示出直线斜率kCD ，进一步代入点C 或者点D 的坐标，表示出截距b ，然后将坐标（2，1）代入一次函数，和前面的结论比较是否符合条件． (1)解：∵（3r ＋4s ，r ＋s ）为“爱凌点”，∴3421r s r s ⎧⎨⎩＋＝＋＝， 解得：21r s ⎧⎨-⎩＝＝，将（2，1）代入y ＝x 2−x ＋t 得：2122t =-+， 解得t ＝−1． 故答案为：2；-1；-1． (2)将（2，1）分别代入y ＝kx ＋b 与y ＝mx中， 得1212k bm =+⎧⎪⎨=⎪⎩，即122b k m =-⎧⎨=⎩，∵两个函数图象有且只有一个交点，∴kx ＋1−2k ＝2x只有一个根，即：kx 2＋（1−2k ）x −2＝0， Δ＝（1−2k ）2＋8k ＝0， ∴k ＝−12． (3)①令x 2−3x ＋2＝0，得：11x =，x 2=2， ∴A （1，0），B （2，0）， ∵C 、D 两点在抛物线上，∴C （x 1，x 12−3x 1＋2），D （x 2，22232x x -+），设AD 的函数关系式为：11AD y k x b =+，则11212122032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：121222k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()2222AD y x x x =-+-+，令x ＝0，则22y x =-+，∴()202E x -+，， 设AC 的函数关系式为：22AC y k x b =+，则22221211032k b k x b x x +=⎧⎨+=-+⎩， 解得：212122k x b x =-⎧⎨=-+⎩，∴()()1122AC y x x x =-+-+， 令x ＝0，则12y x =-+，∴()102F x -+，； ②y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”，理由如下： ∵若OE •OF ＝1， ∴21221x x -+-+=， ∴（2−x 2）（x 1−2）−1＝0， ∴2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，∵一次函数y =kx +b 经过C 、D 两点，∴211122223232kx b x x kx b x x ⎧+=-+⎨+=-+⎩， 解得：121232k x x b x x =+-⎧⎨=-⎩，∴CD 的关系式为：y ＝（x 1＋x 2−3）x ＋2−x 1x 2， 将（2，1）代入得： 2（x 1＋x 2−3）＋2−x 1x 2=1，即2x 1−x 1x 2＋2x 2−5＝0，与前提条件OE•OF ＝1所得出的结论一致， ∴经过C ，D 的一次函数y ＝kx ＋b 是“爱凌函数”． 【点睛】本题考查一次函数、反比例函数和二次函数相关知识点，将结论与前提条件进行比较，整个题目涉及的未知数比较多，计算过程中需要仔细．2．(1)①40，y ＝﹣2x +220；②当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元；(2)销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【解析】 【分析】（1）①该商品进价等于周销售利润除以周销售量，再减去进价；设y 关于x 的函数解析式为y =kx +b ，用待定系数法求解即可；②根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据二次函数的性质可得答案；（2）根据周销售利润=周销售量×（售价-进价），列出w 关于x 的二次函数，根据题意及二次函数的性质得出取得最大利润时的售价，再列出关于m 的方程，求解即可． (1)解：（1）①该商品进价是60﹣2000÷100＝40（元/件）；设y 关于x 的函数解析式为y ＝kx +b ，将（60，100），（70，80）分别代入得：100608070k bk b =+⎧⎨=+⎩， 解得：k ＝﹣2，b ＝220．∴y 关于x 的函数解析式为y ＝﹣2x +220； 故答案为：40，y ＝﹣2x +220；②由题意得：w ＝y （x ﹣40）＝（﹣2x +220）（x ﹣40）＝﹣2x 2+300x ﹣8800＝﹣2（x ﹣75）2+2450，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，∴当售价是75元/件时，周销售利润最大，最大利润是2450元； (2)解∶ 由题意得：w ＝（﹣2x +220）（x ﹣40﹣m ） ＝﹣2x 2+（300+2m ）x ﹣8800﹣220m ，∵二次项系数﹣2<0，抛物线开口向下，对称轴为：300217542m x m +=-=+-， 又∵x ≤70，∴当x <7512m +时，w 随x 的增大而增大，∴当x ＝70时，w 有最大值：（﹣2×70+220）（70﹣40﹣m ）＝1600， 解得：m ＝10．∴周销售最大利润是1600元时，m 的值为10． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及二次函数在实际问题中的应用，理清题中的数量关系并明确二次函数的性质是解题的关键． 3．(1)50元 (2)52元；2640元 【解析】 【分析】（1）根据题意直接写出y 与x 之间的函数关系式和自变量的取值范围，根据销售量×（售价-进价）=2400，解方程求出在自变量范围内的解即可；（2）根据销售利润=销售量×（售价-进价），列出平均每天的销售利润w （元）与销售价x （元/箱）之间的函数关系式，再依据函数的增减性求得最大利润． (1)解：由题意得：300104410740y x x =--=-+（）， ∴y 与x 之间的函数关系式为107404452y x x =-+≤≤（）；当获利2400元时，由题意得：10740402400x x -+-=（）（）， 整理得：211432000x x -+=， 解得：125064x x ==，， ∵4452x ≤≤， ∴50x =，∴当每个纪念品的销售单价是50元时，商家每天获利2400元； (2)根据题意得：2210740401011402960010572890w x x x x x =-+-=-+-=--+（）（）（） ，∵-10＜0，∴当57x ＜时，w 随x 的增大而增大， ∵4452x ≤≤，∴当52x =时，w 有最大值，最大值为2640，∴将纪念品的销售单价定为52元时，商家每天销售纪念品获得的利润最大，最大利润是2640元． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用以及一元二次方程的应用，最大销售利润的问题常利函数的增减性来解答，我们首先要吃透题意，确定变量，建立函数模型，然后结合实际选择最优方案．其中要注意应该在自变量的取值范围内求最大值（或最小值），也就是说二次函数的最值不一定在2bx a=-时取得． 4．(1)30030y x =+(2)当降价5元时，每月获得的利润最大，最大利润是6550元 【解析】 【分析】（1）由销售单价每降1元，则每月可多销售30袋，可知降了x 元时，销量增加30x 袋，由此可解；（2）根据每月利润＝每袋利润×月销量－捐款，得到w 关于x 的函数表达式，改成顶点式求出函数的最大值即可． (1)解：由题意得，y 与x 之间的函数关系式为y =300+30x ； (2)解：由题意得，22(6040)(30030)200303005800=305)6550w x x x x x =--+-=-++--+（，∵300-<，∴当x =5时，w 有最大值，最大值为6550．答：当降价5元时，每月获得的利润最大，最大利润是6550元． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用，根据题意列出w 关于x 的函数表达式是解题的关键． 5．(1)2y x x =+(2)232150w x x =-+-(3)投入生产第6个月后，纯收益达到最大w 最大值106=；投入生产第6个月后，能收回投资． 【解析】 【分析】（1）将x ，y 的两组对应值代入即可求a 、b 的值，继而即可求y 的函数关系式； （2）根据纯收益w ＝投入后每月可创收33万元×月数x ﹣投资150万元﹣从第1个月到第x 个月的维修保养费用累计y ，列出函数关系式；（3）求函数最大值，及w ＞0时，x 的值，可确定回收投资的月份． (1)由题意，得：当1x =时，2y =； 当2x =时，246y =+=，将上述两组数据代入2y ax bx =+，得：2642a ba b =+⎧⎨=+⎩， 解得：11a b =⎧⎨=⎩，∴y 与x 的解析式为：2y x x =+； (2)由题意得：()233150w x x x =--+233150x x x =--- 232150x x =-+-∴纯收益w 关于x 的解析式为：232150w x x =-+-； (3)∵()223215016106w x x x =-+-=--+， ∴当16x =时，w 最大值106=，即投入生产第6个月后，纯收益达到最大， 又∵当016x <≤，w 随x 的增大而增大， 当05x <≤时，0w <；当6x ≥时，0w >， ∴投入生产第6个月后，能收回投资． 【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式及二次函数的实际应用．此题为数学建模题，借助二次函数解决实际问题． 6．(1)y ＝－20x ＋1800，60≤x ≤90(2)第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可；（2）根据总利润=单件利润乘以销售量，列出函数解析式，根据二次函数的性质求解即可． (1)第一个月该商品的售价为40×(1＋50%)＝60(元)， 设y 与x 之间的函数解析式为y ＝kx ＋b ， 将点(60，600)，(70，400)代入y ＝kx ＋b 中，得6006040070k b k b =+⎧⎨=+⎩， 解得201800k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 之间的函数解析式为y ＝－20x ＋1800； 当y ＝0时，x ＝90，∴自变量x 的取值范围为60≤x ≤90； 故答案为：y ＝－20x ＋1800；60≤x ≤90； (2)设第二个月的利润为w 元，由题意得，24040201()()()8002(0651250)0w x y x x x =-=-=+--+-． ∵200-<，∴当x ＝65时，w 的最大值为12500．∴第二个月的销售单价定为65元/件时，可获得最大利润，最大利润是12500元． 【点睛】本题主要考查了二次函数及一次函数的应用，解题的关键是熟练掌握待定系数法求函数解析式，并根据题意确定等量关系，列出函数解析式． 7．(1)y =-x 2+18x(2)矩形的一边长为6米，另一边长为12米(3)当x =9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81平方米． 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，矩形的一边长为x 米，则另一边长为（18-x ）米，故矩形的面积y =x （18-x ），然后化简，即可得到y 关于x 的函数表达式； （2）令y =72，解关于x 的一元二次方程即可；（3）将（1）中的函数关系式化为顶点式，然后根据二次函数的性质，即可解决问题． (1)由题意可得， y =x （18-x ）=-x 2+18x ，即y 关于x 的函数表达式为y =-x 2+18x ； (2)当y =72时，则-x 2+18x =72， 解得：x 1=6，x 2=12，∴矩形的一边长为6米，另一边长为12米；(3)由（1）知，y =-x 2+18x =-（x -9）2+81，∵-1＜0，∴当x =9时，y 取得最大值，最大值为81，∴当x =9时，所围苗圃的面积最大，最大面积是81平方米．【点睛】本题考查二次函数和一元二次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．8．(1)21=44S x -+ (2)5475元【解析】【分析】（1）分别计算出AGF 和四边形AGOH 的面积即可得到答案；（2）首先计算出正方形ABCD 中种草坪部分的面积，再根据题意可用x 表示出总共的花费，最后根据二次函数的性质即得出答案．(1)解：∵AE x =，4AB =∴4BE x =-， ∴122EG BG x ==-， ∴112222AG AE EG x x x =+=+-=+， ∴2111()224122AGF AG A S F x x x x =⋅=⨯=++． ∵O 为对称中心， ∴O 到AD 的距离等于O 到AB 的距离等于422=， ∴1=22242AGO AHO AGO AGOH S S G x S S A +==⋅⋅⨯+=四边形 ∴2211=4()444A OH GF AG S S x Sx x x -=+-+=-+四边形； (2) 解：在正方形ABCD 中，种植草坪的面积为221144()(4)1244AGF ABCD S S x S x x x --=⨯-+--+=-正方形， ∴在正方形ABCD 中，需要费用为2221180()60(4)95(12)515138044x x x x x x ++-++-=-+， ∴在这个花坛内种植花卉和草坪需要花费2224(5151380)2060552020(3)5475x x x x x -+=-+=-+．∴当3x =时，在这个大正方形花坛内种植花卉和草坪所需的总费用最低，为5475元．【点睛】本题考查了二次函数的应用，解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出等式．9．(1)房价为350元时，宾馆利润最大；(2)①0.6（1－x ）；②10000（1+3x ）；(3)x ＝0.1；(4)王老师这500米的平均步幅为0.5米【解析】【分析】（1）设房价为（180+10x ）元，宾馆总利润为y 元，根据利润=（房价-支出）×房间数量，列出关系式求解即可；（2）根据题意结合表格中的数据求解即可；（3）根据距离=步长×步数列出方程求解即可；（4）先由（3）求出两次张大爷的步数，即可得到500m 的步数，从而即可求出步长．(1)解：设房价为（180+10x ）元，宾馆总利润为y 元，依题意得：()22(1801020)(50)103408000101710890y x x x x x =+--=-++=--+∵－10<0，抛物线开口向下，∴当x ＝17时，y 有最大值，180+10x=350元，答：房价为350元时，宾馆利润最大．(2)解：由题意得第二次锻炼的平均步长为()0.61x -，第二次锻炼的平均步数为()1000013x +，故答案为：()0.61x -；()1000013x +；(3)解：由题意得：10000（1+3x ）×0.6（1－x ）＝7020． 解得：1170.530x =>（舍去），20.1x = ∴x ＝0.1；(4)解：根据题意可得：10000+10000（1+0.1×3）＝23000，500÷（24000－23000）＝0.5（m ）．答：王老师这500米的平均步幅为0.5米．【点睛】本题主要考查了二次函数的应用，列代数式，一元二次方程的应用，有理数混合计算的应用，正确理解题意是解题的关键．10．(1)y ＝－10x ＋7000(2)4000元(3)3＜m ≤6【解析】【分析】（1）设出函数解析式，用待定系数法求函数解析式即可；（2）根据表中数据可以求出每件进价，设该商品的月销售利润为w 元，根据利润=单件利润×销售量列出函数解析式，根据函数的性质求出函数最值；（3）根据总利润=（单件利润-m ）×销售量列出函数解析式，再根据x ≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x 的增大而增大，利用函数性质求m 的取值范围．(1)解：设一次函数解析式为y kx b =+，根据题意，得4030045250k b k b +⎧⎨+⎩＝＝， 解得：10700k b -⎧⎨⎩＝＝， 所以y 与x 的函数表达式为10700y x =-+；(2) 解：由表中数据知，每件商品进价为30040300300030⨯-=（元）， 设该商品的月销售利润为w 元，则(30)w x y =- (30)(10700)x x =--+210100021000x x =-+-210504000=--+（）x ，∵-10＜0，∴当x =50时，w 最大，最大值为4000，∴当该商品的售价是50元时，月销售利润最大，最大利润为4000元；(3)解：根据题意得：230107001010001021000700w x m x x m x m =---+=-++--（）（）（），对称轴为直线()100010502102m m x +=-=+⨯-， ∵-10＜0， ∴当025x m ≤+时，w 随x 的增大而增大， ∵x ≤52时，每天扣除捐赠后的日销售利润随售价x 的增大而增大， ∴555120m .+＞，解得：3m ＞，∵36m ≤＜，∴m 的取值范围为36m ≤＜．【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的应用，重点是掌握求最值的问题．注意：数学应用题来源于实践，用于实践，在当今社会市场经济的环境下，应掌握一些有关商品价格和利润的知识，总利润等于总收入减去总成本，然后再利用二次函数求最值．。
中考二次函数应用题(及答案解析)
中考二次函数应用题(及答案解析)二次函数应用题1．汽车智能辅助驾驶已开始得到应用，其自动刹车的工作原理是用雷达测出车辆与前方障碍物之间的距离（并集合车速转化为所需时间），当此距离等于报警距离时就开始报警提醒，等于危险距离时就自动刹车．若将报警时间划分为4段，分别为准备时间t 0、人的反应时间t 1、系统反应时间t 2、制动时间t 3，相应的距离分别为d 0，d 1，d 2，d 3，如下图所示．当车速为v （米/秒），且(0,33.3]v ∈时，通过大数据统计分析得到下表给出的数据（其中系数k 随地面湿滑程度等路面情况而变化，[1,2]∈k ）．阶段 0．准备 1．人的反应 2．系统反应 3．制动时间时间 t 0 t 1=0.8秒 t 2=0.2秒 t 3距离d 0=10米d 1d 22320v d k =米(1)请写出报警距离d （米）与车速v （米/秒）之间的函数关系式d （v ）；(2)若要求汽车不论在何种路面情况下行驶，报警距离均小于50米，则汽车的行驶速度应限制在多少千米/小时？2．某商场销售一种小商品，进货价为8元/件，当售价为10元/件时，每天的销售量为100件．在销售过程中发现：销售单价每上涨1元，每天的销售量就减少10件．设销售单价为x （元/件）（10x ≥的整数），每天销售利润为y （元）． (1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；(2)若每件该小商品的利润率不超过100%，且每天的进货总成本不超过800元，求该小商品每天销售利润y 的取值范围．3．网络购物越来越方便快捷，远方的朋友通过网购就可以迅速品尝到茂名的新鲜荔枝，同时也增加了种植户的收入，种植户老张去年将全部荔枝按批发价卖给水果商，收入6万元，今年的荔枝产量比去年增加2000千克，计划全部采用互联网销售，网上销售比去年的批发价高50%，若按此价格售完，今年的收入将达到10.8万元． (1)去年的批发价和今年网上售价分别是多少？(2)若今年老张按（1）中的网上售价销售，则每天的销量相同，20天恰好可将荔枝售完，经调查发现，当网上售价每上升0.1元/千克，每日销量将减少5千克，将网上售价定为多少，才能使日销量收入最大？4．为响应江阴市“创建全国文明城市”号召，某单位不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的墙长不超过18m ，另外三边由36m 长的栅栏围成．设矩形ABCD 空地中，垂直于墙的边AB ＝x cm ，面积为y m 2如图所示）．(1)求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)若该单位用8600元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共400棵（每种植物的单价和每棵栽种的合理用地面积如表）．问丙种植物最多可以购买多少棵？此时，这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由．甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m 2/棵）0.410.45．某社区委员会决定把一块长40m ，宽30m 的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为()m 610x x ≤≤，健身活动区域的面积为2m S ．(1)求出S 与x 之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S 的最大值． 6．问题提出(1)如图①，在矩形ABCD 中，4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，点E 在BC 上，2BE EC =，连接FE 并延长交DC 的延长线于点G ，求CG 的长；问题解决(2)如图②，某生态农庄有一块形状为平行四边形ABCD 的土地，其中4km AB =，6km BC =，60B ∠=︒．管理者想规划出一个形状为EMP 的区域建成亲子采摘中心，根据设计要求，点E 是AD 的中点，点P 、M 分别在BC 、AB 上，PM AB ⊥．设BP 的长为(km)x ，EMP 的面积为y 2(km )．①求y 与x 之间的函数关系式；②为容纳更多的游客，要求EMP 的面积尽可能的大，请求出EMP 面积的最大值，并求出此时BP 的长．7．2022年北京冬奥会即将召开，激起了人们对冰雪运动的极大热情．如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为x 轴，过跳台终点A 作水平线的垂线为y 轴，建立平面直角坐标系，图中的抛物线211:215C y x x =-++近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点O 正上方4米处的A 点滑出，滑出后沿一段抛物线221:4C y x bx c =-++运动．(1)求山坡坡顶的高度；(2)当运动员运动到离A 处的水平距离为2米时，离水平线的高度为7米，求抛物线2C 的函数解析式（不要求写出自变量x 的取值范围）；(3)在（2）的条件下，当运动员运动的水平距离为多少米时，运动员与小山坡的竖直距离为1米？8．为了提高巴中市民的生活质量，巴中市对老旧小区进行了美化改造．如图，在老旧小区改造中，某小区决定用总长27m 的栅栏，再借助外墙围成一个矩形绿化带ABCD ，中间用栅栏隔成两个小矩形，已知房屋外墙长9m ．(1)当AB 长为多少时，绿化带ABCD 的面积为242m(2)当AB 长为多少时，绿化带ABCD 的面积最大，最大面积是多少？9．某商场销售一款服装，经市场调查发现，每月的销售量y （件）与销售单价x （元/件）之间的函数关系如表格所示．同时，商场每出售1件服装，还要扣除各种费用150元．销售单价x （元/件） 260 240 220 销售量y （件）637791(1)求y 与x 之间的函数关系式；(2)当销售单价为多少元时，商场每月能够获得最大利润？最大利润是多少？(3)4月底，商场还有本款服装库存580件．若按（2）中获得最大月利润的方式进行销售，到12月底商场能否销售完这批服装？请说明理由．10．为缓解停车难的问题，太阳山小区利用一块长方形空地建了一个小型的惠民停车场，其布局如图所示．已知停车场的长为52m ，宽为28m ，阴影部分设计为停车位，其余部分是等宽的通道，已知停车位占地面积为640m 2．(1)求通道的宽是多少米；(2)该停车场共有64个车位，据调查发现：当每个车位的月租金为400元时，可全部租出；当每个车位的月租金每上涨10元时，就会少租出1个车位，当每个车位的月租金上涨时，停车场的月租金收入会超过27000元吗？【参考答案】二次函数应用题1．(1)()210033.320v d v v k =++<≤(2)汽车的行驶速度应限制在72千米/小时 【解析】 【分析】（1）根据0123=+++d d d d d 即可得到答案；（2）由已知得21020v d v k=++，要求50d <，即要求2140120k v v <-恒成立，根据12k 可得2401120v v ->，即可解得答案． (1)解：由题意得 20123100.80.220v d d d d d v v k =+++=+++，故答案为：()210033.320v d v v k =++<≤；(2)解：对任意()12k k ，均要求50d <， 2105020v v k∴++<恒成立，即2140120k v v <-恒成立， 12k ，∴111402020k， ∴2401120v v ->， 化简整理得2208000v v +-<， 解得4020v -<<，020v ∴<<，∴汽车的行驶速度应限制在20米/秒以下，即72千米/小时以下，答：汽车的行驶速度应限制在72千米/小时． 【点睛】本题考查二次函数的实际应用和列函数关系式，解题的关键是读懂题意，根据12k 得出2401120v v ->． 2．(1)2102801600y x x =-+- （10x ≥的整数） (2)200360y ≤≤ 【解析】 【分析】（1）销售单价为x 元/件时，每件的利润为(8)x -元，此时销量为[10010(10)]x --，由此计算每天的利润y 即可；（2）首先求出利润不超过100%时的销售单价的范围，且每天的进货总成本不超过800元，再结合（1）的解析式，利用二次函数的性质求解即可． (1)解：（1）根据题意得： (8)[10010(10)]y x x =--- 整理，得 2102801600y x x =-+-（10x ≥的整数） (2)解：∵每件小商品的利润不超过100%，∴8100%8x -⨯≤， ∴16x ≤，∵每天进货总成本不超过800元， ∴[100(10)10]8800x --⨯⨯≤， ∴10x ≥，∴1016x ≤≤，∵2210280160010(14)360y x x x =-+-=--+， 当14x =时，有360y =最大值当10x =时，有210(1014)360200y =-⨯-+=最小值，∴小商品每天销售利润y 的取值范围是：200360y ≤≤ 【点睛】本题考查二次函数的实际应用问题，准确表示出题中的数量关系，熟练运用二次函数的性质求解是解题关键．3．(1)去年的批发价为6元，今年网上售价为9元 (2)网上售价定为10.5元，才能使日销量收入最大 【解析】 【分析】（1）设去年的售价为x 元，则今年的售价为（1+50%）x 元，去年的产量为y 千克，则今年的产量为（y +2000）千克，由题意，得()()60000150?2000108000xy x y =⎧⎨++=⎩％，计算求解即可；（2）由题意得，今年的产量为：10000+2000＝12000千克，则网上日销售量为：12000÷20＝600千克，设日销售收入为w 元，网上售价为a 元，由题意得，960050.1a w a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭，求出满足要求的a 值即可． (1)解：设去年的售价为x 元，则今年的售价为（1+50%）x 元，去年的产量为y 千克，则今年的产量为（y +2000）千克，由题意得，()()60000150?2000108000xy x y =⎧⎨++=⎩％、解得610000x y =⎧⎨=⎩∴今年的售价为（1+50%）x ＝9元∴去年的批发价为6元，今年的网上售价为9元． (2)解：由题意得，今年的产量为10000+2000＝12000千克，则网上日销售量为12000÷20＝600千克，设日销售收入为w 元，网上售价为a 元，由题意得，960050.1a w a -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭∴2501050w a a =-+221110255022a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭∵500a =-< ∴当212a =时，日销量最大，最大为110252∴网上售价定为10.5元，才能使日销量收入最大．【点睛】本题考查了解方程组，二次函数的应用．解题的关键在于正确的列等式求解并熟练掌握二次函数的图象与性质． 4．(1)y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）(2)丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上．理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的面积公式计算即可；（2）利用二次函数的性质求出y 的最大值，设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵，由题意得1440016288600a b a b --++=（），可得71500a b +=，推出b 的最大值为214，此时2a =，再求出实际植物面积即可判断． (1)解：∵AB ＝x ， ∴BC ＝36﹣2x ，∴y ＝x （36﹣2x ）＝﹣2x 2+36x ， ∵0＜36﹣2x ≤18， ∴9≤x ＜18．∴y 与x 之间的函数关系式为y ＝﹣2x 2+36x （9≤x ＜18）； (2)解：∵y ＝﹣2x 2+36x ＝﹣2（x ﹣9）2+162， ∴x ＝9时，y 有最大值162（m 2），设购买了乙种绿色植物a 棵，购买了丙种绿色植物b 棵， 由题意：14（400﹣a ﹣b ）+16a +28b ＝8600， ∴a +7b ＝1500， ∴b 的最大值为214， 此时a ＝2．需要种植的面积＝0.4×（400﹣214﹣2）+1×2+0.4×214＝161.2（m 2）＜162m 2， ∴丙种植物最多可以购买214棵，此时这批植物可以全部栽种到这块空地上． 【点睛】本题考查二次函数的应用，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．(1)24201200S x x =-++；()610x ≤≤ (2)活动区域面积S 的最大值为21176m 【解析】 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S 与x 之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． (1)（1）由题意解得：()2=4030454201200S x x x x ⨯--=-++；()610x ≤≤ (2)（2）2254201200412252S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵40a =-<，抛物线开口向下，对称轴为52x =， ∴当610x ≤≤时，S 随x 的增大而减小， ∴当6x =时，S 有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S 的最大值为21176m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键． 6．(1)1CG =(2)①2y x =；②EMP 2，此时BP 的长为11km 2【解析】 【分析】（1）证明FEB GEC △∽△，依据相似三角形的性质进行求解即可；（2）①分点P 在点H 左侧和右侧两种情况讨论求解即可；②由二次函数的性质可得解． (1)在矩形ABCD 中，90ABC BCD BCG ∠=∠=∠=︒， ∵FEB GEC ∠=∠， ∴FEB GEC △∽△， ∴BF BECG CE=， ∵4AB =，6BC =，点F 是AB 的中点，2BE EC =， ∴2BF =，4BE =，2CE =， ∴242CG =， ∴1CG =. (2)①过点E 作EH //AB 交BC 于点H ，交射线MP 于点G ，易得四边形ABHE 是平行四边形， ∴4EH AB ==.∵EH //AB ，PM AB ⊥，∴60PHG B ∠=∠=︒，EG PM ⊥，即EG 是PME △边MP 上的高. ∵点E 是AD 的中点， ∴3BH AE ==.如图1-1，当点P 在点H 左侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x xEG EH HG --=+=+=. 如图1-2，当点P 在点H 右侧时，3PH x =-，∴1322x HG PH -==， ∴311422x xEG EH HG --=-=-=， ∴PME △的边MP 上的高112xEG -=. 在Rt MBP 中，3sin 60x MP BP =⋅︒= ∴2113113113222x x y MP EG x -=⋅==. ②)222311333111213112y x x x x ⎫==-=-⎪⎝⎭ ∴当112x =时，1213y =最大 ∴EMP 21213，此时BP 的长为11km 2.【点睛】本题是一道相似形的综合题，考查了全等三角形的判定及性质，相似三角形的判定及性质，三角函数值的运用．在解答时添加辅助线构建全等形和相似形是关键． 7．(1)山坡坡顶的高度为6米； (2)21244y x x =-++；(3)当运动员运动水平线的水平距离为1米 【解析】 【分析】（1）抛物线C 1的顶点纵坐标即为山坡的高度；（2）由两点坐标A （0，4），（2，7）待定系数法求函数解析式即可； （3）根据两函数y 值的差为1米，列方程求解即可； (1)根据题意可()22111:215655C y x x x =-++=--+知：∴坡顶坐标为()5,6， ∴山坡坡顶的高度为6米； (2)解：根据题意把()0,4A ，点()2,7代入抛物线221:4C y x bx c =-++，得：4127c b c =⎧⎨-++=⎩，解得：42c b =⎧⎨=⎩∴抛物线2C 的函数解析式21244y x x =-++；(3)解：∵运动员与小山坡的竖直距离为1米， ∴22112421145x x x x ⎛⎫-++--++= ⎪⎝⎭，解得：1x =-2x =故当运动员运动水平线的水平距离为1米； 【点睛】本题考查了二次函数的实际应用，求二次函数解析式和顶点坐标，根据题意弄清条件所表达的坐标是解题关键．8．(1)AB 长为7m 时，绿化带ABCD 的面积为242m (2)当AB 长为6m 时，绿化带ABCD 的面积最大，为254m 【解析】 【分析】（1）设AB 长为x m ，则BC 长为()273x -m ，由题意得：()27342x x -=，计算求出满足要求的解即可；（2）设绿化带ABCD 的面积为2m y ，AB 长为x m ，由题意得()273y x x =-，根据函数的图象与性质，x 的取值范围，求出符合要求的解即可． (1)解：设AB 长为x m ，则BC 长为()273x -m 由题意得：()27342x x -= 整理得：29140x x -+=解得：12x =，27x =∵02739x <-≤，∴69x ≤<，∴x ＝7∴AB 长为7m 时，绿化带ABCD 的面积为242m ．(2)解：设绿化带ABCD 的面积为2m y ，AB 长为x m ，由题意得()229243273327324y x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭ ∵6930x ≤<-<，， ∴当x ＝6时，54y =最大∴当AB 长为6m 时，绿化带ABCD 的面积最大，最大面积为254m ．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，二次函数的应用．解题的关键在于熟练掌握解一元二次方程，二次函数的图象与性质．9．(1)724510y x =-+ (2)当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元(3)不能，理由见解析【解析】【分析】（1）根据表格数据判断为一次函数，设y kx b =+，用待定系数法求出解析时； （2）利润=单件利润⨯销售数量，化简为二次函数的顶点式，根据函数性质判断； （3）计算按（2）中获得最大月利润的方式进行销售时的数量，与580比较．(1)解：由表格可知，此函数为一次函数，故设y kx b =+；则有24077{22091k b k b +=+=， 解得710245k b ⎧=-⎪⎨⎪=⎩， 724510y x ∴=-+； (2)设销售利润为w 元，由题意得：7(150)(245)10w x x =--+ 273503675010x x =-+-27(250)700010x =--+ 7010a =-<， w ∴有最大值，∴当250x =时，w 取最大值，7000w =最大，答：当售价为250元时，商场每月所获利润最大，最大利润为7000元；(3)当250x =时，70y =（件），70(124)560580⨯-=<，∴12月底不能销售完这批服装．【点睛】本题考查一次函数和二次函数的实际应用，解题关键用待定系数法求出一次函数解析式，注意二次函数最值讨论时,一般整理成顶点式，再通过看a 值确定最大值或最小值． 10．(1)通道的宽是6米；(2)停车场的月租金收入会超过27000元．【解析】(1)解：设通道的宽是x m ，则阴影部分可合成长为（52-2x ）米，宽为（28-2x ）米的长方形， 依题意得：（28-2x ）（52-2x ）=640，整理得：x 2-40x +204=0，解得：x 1=6，x 2=34．又∵28-2x ＞0，∴x ＜14，∴x =6．答：通道的宽是6米；(2)解：设当每个车位的月租金上涨y 元时，停车场的月租金收入为w 元，则可租出（6410y -）个车位， 依题意得：w =（400+y ）（6410y -）=110-y 2+24y +25600=110-（y -120）2+27040， ∵110-＜0， ∴当y =120时，w 取得最大值，最大值为27040．又∵27040＞27000，∴停车场的月租金收入会超过27000元．【点睛】本题考查了一元二次方程的应用和二次函数的应用，理解题意，设出未知数，列出方程和二次函数关系式是解题关键．。
中考二次函数应用题(及答案解析)
中考二次函数应用题(及答案解析)二次函数应用题1．如图1，足球场上守门员李伟在O 处抛出一高球，球从离地面1m 处的点A 飞出，其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，且飞行的路线是抛物线的一部分．以点O 为坐标原点，竖直向上的方向为y 轴的正方向，球飞行的水平方向为x 轴的正方向建立坐标系，并把球看成一个点（参考数据：取437≈，265≈）(1)求足球的飞行高度(m)y 与飞行水平距离(m)x 之间的函数关系式； (2)在没有队员干扰的情况下，球飞行的最远水平距离是多少？(3)若对方一名1.7m 的队员在距落点3m C 的点H 处，跃起0.3m 进行拦截，则这名队员能拦到球吗？(4)如图2，在（2）的情况下，若球落地后又一次弹起，据实验测算，足球在草坪上弹起后的抛物线与原来的抛物线形状相同，最大高度减少到原来最大高度的一半，那么足球弹起后，会弹出多远？2．东东在网上销售一种成本为30元/件的T 恤衫．销售过程中的其他各种费用（不再含T 恤衫成本）总计50（百元）．若销售价格为x （元/件）．销售量为y （百件）．当4060x ≤≤时，y 与x 之间满足一次函数关系．且当40x =时，6y =，有关销售量y （百件）与销售价格x （元/件）的相关信息如下： 销售量y （百件） _____________ 240y x =销售价格x （元/件）4060x ≤≤6080x ≤≤(1)求当4060x ≤≤时．y 与x 的函数关系式：(2)①求销售这种T 恤衫的纯利润w （百元）与销售价格x （元/件）的函数关系式； ②销售价格定为每件多少元时．获得的利润最大?最大利润是多少?3．因为疫情，体育中考中考生进入考点需检测体温．防疫部门为了解学生错峰进入考点进行体温检测的情况，调查了一所学校某天上午考生进入考点的累计人数y （人）与时间x （分钟）的变化情况，数据如下： 时间x （分钟） 0 123456789915x <≤人数y （人）0 170 320 450 560 650 720 770 800 810 810(1)研究表中数据发现9分钟内考生进入考点的累计人数是时间的二次函数，请求出9分钟内y 与x 之间的函数关系式．(2)如果考生一进考点就开始排队测量体温，体温检测点有2个，每个检测点每分钟检测20人，求排队人数最多时有多少人？全部考生都完成体温检测需要多少时间？(3)在（2）的条件下，如果要在12分钟内让全部考生完成体温检测，从一开始就应该至少增加几个检测点？4．某社区委员会决定把一块长40m ，宽30m 的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为()m 610x x ≤≤，健身活动区域的面积为2m S ．(1)求出S 与x 之间的函数关系式； (2)求健身活动区域的面积S 的最大值．5．某地草莓已经到了收获季节，已知草莓的成本价为10元/千克，投入市场销售后，发现该草莓销售不会亏本，且每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间的函数关系如图所示．(1)求y 与x 的函数关系式，并写出x 的取值范围．(2)若产量足够，当该品种的草莓定价为多少时，每天销售获得的利润最大？最大利润是多少？6．为进一步落实“双减增效”政策，某校增设活动拓展课程——开心农场．如图，准备利用现成的一堵“L ”字形的墙面（粗线ABC 表示墙面，已知AB BC ⊥，3AB =米，1BC =米）和总长为14米的篱笆围建一个“日”字形的小型农场DBEF （细线表示篱笆，小型农场中间GH 也是用篱笆隔开），点D 可能在线段AB 上（如图1），也可能在线段BA 的延长线上（如图2），点E 在线段BC 的延长线上．(1)当点D在线段AB上时，①设DF的长为x米，请用含x的代数式表示EF的长；②若要求所围成的小型农场DBEF的面积为12平方米，求DF的长；(2)DF的长为多少米时，小型农场DBEF的面积最大?最大面积为多少平方米?7．在“乡村振兴”行动中，某村办企业开发了一种有机产品，该产品的成本为每盒30元．市场调查发现：该产品每盒的售价是60元时，每天可以销售500盒，每涨价1元，每天少销售10盒．(1)设每盒产品的售价是x元（x是整数），每天的利润是w元，求w关于x的函数解析式；(2)当每盒售价订为多少元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是多少？a>给村级经济合作社，物价部门要(3)现在该企业打算回报社会，每销售1盒捐赠a元()5求该产品销售定价不得超过每盒75元，该企业在严格执行物价部门的定价前提下欲使每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，求a的取值范围．8．“互联网+”时代，网上购物备受消费者青睐．某网店专售一款休闲裤，其成本为每条40元，当售价为每条80元时，每月可销售100条．为了吸引更多顾客，该网店采取降价措施．据市场调查反映：销售单价每降1元，则每月可多销售5条．设每条裤子的售价为x 元（x为正整数且x≤80），每月的销售量为y条．(1)直接写出y与x的函数关系式；(2)设该店每月所获利润为w元，当销售单价降低多少元时，每月所获利润最大，最大利润是多少？(3)该网店店主热心公益事业，决定每月从出售的每条裤子中捐出5元资助贫困学生．总捐款额不低于750元，求捐款后每月最大利润．9．某商场一种商品的进价为每件30元，售价为每件40元，每天可以销售48件，为尽快减少库存，商场决定降价促销．经调查，若该商品每降价0.5元，每天可多销售4件，设每件商品的售价下降x元，每天的销售利润为w元．(1)求w与x的函数关系式；(2)每天要想获得510元的利润，每件应降价多少元？(3)每件商品的售价为多少元时，每天可获得最大利润？最大利润是多少元？10．如图，一个圆形喷水池的中央竖直安装了一个柱形喷水装置OA ，A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下，按如图所示的直角坐标系，水流喷出的高度y （m ）与水平距离x （m ）之间的关系式是2724y x x =-++（x ＞0）．(1)柱子OA 的高度是______米；(2)若不计其他因素，水池的半径至少为多少米，才能使喷出的水流不至于落在池外？【参考答案】二次函数应用题1．(1)21(6)412y x =--+ (2)13m(3)这名队员不能拦到球 (4)足球弹起后，会弹出10m 【解析】 【分析】（1）根据其飞行的最大高度是4m ，最高处距离飞出点的水平距离是6m ，设顶点式()264y a x =-+，将()0,1A 代入，待定系数法求解析式即可；（2）令0y =，求得与x 轴的交点坐标即可求解； （3）将10x =代入求得y 的值，进而比较即可求解（4）根据题意求得新抛物线的解析式，根据题意即求元抛物线与2y =的所截线段长即可，解一元二次方程求解即可 (1)①当最大高度4y =时，6x =，∴设y 与x 之间的函数关系式为()264y a x =-+， 又()0,1A ， ∴()21064a =-+， ∴112a =-，∴21(6)412y x =--+； (2)令0y =，则210(6)412x =--+， 解得143613x =+≈，2436x =-+（负值舍去）， ∴球飞行的最远水平距离是13m ； (3)当13310x =-=时，81.70.323y =>+=， ∴这名队员不能拦到球； (4)）如图，足球第二次弹出后的距离为CD ，根据题意知CD EF =（即相当于将抛物线AEMFC 向下平移了2个单位长度），∴21(6)4212x --+=， 解得1626x =-，2626x =+， ∴214610m CD x x =-=≈. 答：足球弹起后，会弹出10m .【点睛】本题考查了二次函数的应用，掌握二次函数的平移，二次函数与坐标轴的交点问题，二次函数图像与性质，掌握二次函数图像与性质是解题的关键． 2．(1)0.110y x =-+(2)①当4060x ≤≤时，20.113350=-+-w x x ；当6080x <≤时，7200190=-+w x； ②销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元 【解析】 【分析】（1）把把60x =代入240y x=得4y =，设y 与x 的函数关系式为：y =kx +b ，把x =40，y =6；x =60，y =4，代入解方程组即可得到结论；（2）①根据x 的范围分类讨论，由“总利润=单件利润×销售量”可得函数解析式； ②结合①中两个函数解析式，分别依据二次函数的性质和反比例函数的性质求其最值即可． (1)解：把60x =代入240y x=得4y =． 设y 与x 的函数关系式为：y kx b =+， ∵当40x =时，6y =，当60x =时，4y =，∴406604k b k b +=⎧⎨+=⎩， 解得：0.110k b =-⎧⎨=⎩，∴y 与x 的函数关系式为：0.110y x =-+． (2)①当4060x ≤≤时，()()2300.110500.113350w x x x x =--+-=-+-；当6080x <≤时，()24072003050190w x x x=-⋅-=-+； ②当4060x ≤≤时，()220.1133500.16572.5w x x x =-+-=--+， ∵4060,65,x x ω≤≤≤随x 的增大而增大． ∴当60,70x w ==最大 （百元）． 当6080x ≤≤时，7200190xω=-+ ∵72000-<，∴w 随x 的增大而增大，当80x =时，100w =最大 （百元）．答：销售价格定为80元/件时，获得的利润最大，最大利润是100百元． 【点睛】本题主要考查二次函数和反比例函数的应用，理解题意依据相等关系列出函数解析式，并熟练掌握二次函数和反比例函数的性质是解题的关键． 3．(1)210180y x x =-＋(2)排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； (3)2 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法可求解析式；（2）设第x 分钟时的排队人数为w 人，由二次函数的性质和一次函数的性质可求当x ＝7时，w 的最大值＝490，当9＜x ≤15时，210≤w ＜450，可得排队人数最多时是490人，由全部考生都完成体温检测时间×每分钟检测的人数＝总人数，可求解；（3）设从一开始就应该增加m 个检测点，由“在12分钟内让全部考生完成体温检测”，列出不等式，可求解． (1)根据表格中数据可知，当x ＝0时，y ＝0， ∴二次函数的关系式可设为：y ＝ax 2＋bx ，将()()1,1703450，，代入，得17093450a b a b =⎧⎨=⎩＋＋ 解得：10180a b =-⎧⎨=⎩，∴9分钟内y 与x 之间的函数关系式()21018009y x x x =-≤≤＋； (2)设第x 分钟时的排队人数为w 人，()810915y x =<≤由题意可得：w ＝y −40x ＝210140(09)81040(915)x x x x x ⎧-≤≤⎨-≤⎩＋＜，①当0≤x ≤9时，w ＝−10x 2＋140x ＝−10（x −7）2＋490， ∴当x ＝7时，w 的最大值＝490，②当9＜x ≤15时，w ＝810−40x ，w 随x 的增大而减小， ∴210≤w ＜450，∴排队人数最多时是490人，要全部考生都完成体温检测，根据题意得：810−40x ＝0， 解得：x ＝20.25，答：排队人数最多时有490人，全部考生都完成体温检测需要20.25分钟； (3)设从一开始就应该增加m 个检测点，由题意得：12×20（m ＋2）≥810， 解得m ≥118， ∵m 是整数， ∴m ≥118的最小整数是2， ∴一开始就应该至少增加2个检测点． 【点睛】本题考查了二次函数的应用，二次函数的性质，一次函数的性质，一元一次不等式的应用，理解题意，求出y 与x 之间的函数关系式是本题的关键． 4．(1)24201200S x x =-++；()610x ≤≤ (2)活动区域面积S 的最大值为21176m 【解析】 【分析】（1）利用健身区域的面积等于矩形的面积减掉周围四个长方形花坛的面积即可求解； （2）把（1）中求得的S 与x 之间的函数关系式化成二次函数的顶点式，利用二次函数的增减性即可求解． (1)（1）由题意解得：()2=4030454201200S x x x x ⨯--=-++；()610x ≤≤(2)（2）2254201200412252S x x x ⎛⎫=-++=--+ ⎪⎝⎭，∵40a =-<，抛物线开口向下，对称轴为52x =， ∴当610x ≤≤时，S 随x 的增大而减小， ∴当6x =时，S 有最大值，最大值为1176， 答：活动区域面积S 的最大值为21176m ． 【点睛】本题考查了二次函数的应用及二次函数的性质，读懂题意，找出题目中的等量关系是解题的关键．5．(1)10300y x =-+，1030x ≤≤；(2)当该品种的草莓定价为20元时，每天销售获得的利润最大，为1000元． 【解析】 【分析】（1）由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系，设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式求解即可；（2）设利润为w 元，求得w 与x 的关系式，然后利用二次函数的性质求解即可． (1)解：由图象可知每天销售量y （千克）与销售单价x （元/千克）之间是一次函数的关系， 设y kx b =+，将(10,200)，(15,150)代入解析式，可得1020015150k b k b +=⎧⎨+=⎩，解得10300k b =-⎧⎨=⎩ 即10300y x =-+，由题意可得，10x ≥，103000x -+≥，解得1030x ≤≤ 即10300y x =-+，1030x ≤≤， (2)解：设利润为w 元，则2(10)(10300)104003000w x x x x =--+=-+-， ∵100-<，开口向下，对称轴为20x ，1030x ≤≤∴当20x 时，w 有最大值，为1000元，【点睛】此题考查了一次函数与二次函数的应用，解题的关键是掌握二次函数的性质，理解题意，找到题中的等量关系，正确列出函数关系式． 6．(1)①153EF x =-；②4米(2)饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米 【解析】 【分析】（1）①根据题意结合图形即可求解； ②根据矩形的面积公式列方程求解即可；（2）设饲养场DBEF 的面积为S ，求出关于DF 的长的关于x 的函数关系式，根据二次函数的性质即可解答． (1)①设DF 的长为x 米， ∵点D 在线段AB 上，∴()()1421153EF x x x =---=-米， ②∵3AB =，∴3EF ≤，即1533x -≤， ∴4x ≥；设DF 的长为x 米，根据题意得：()15312x x -=， 解得：14x =，21x =（此时点D 不在线段AB 上，舍去）， ∴4x =，答：饲养场的长DF 为4米； (2)设饲养场DBEF 的面积为S ，DF 的长为x 米， ①点D 在15段AB 上，由（1）知此时4x ≥， 则()22575153315324S x x x x x ⎛⎫=-=-+=--+ ⎪⎝⎭，∵30a ，抛物线对称轴是直线52x =， ∴在对称轴右侧，S 随x 的增大而减小，∴4x =时，S 有最大值，23415412S =-⨯+⨯=最大值（平方米）；②点D 在线段BA 的延长线上，此时4x <， 则()()2132715333222S x x x =-+=--+， ∵302a =-<，34<，∴3x =时，S 有最大值，272S =最大值， ∴3x =时，272S =最大值（平方米）； ∵27122>， ∴饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 答：饲养场的宽DF 为3米时，饲养场DBEF 的面积最大，最大面积为272平方米． 【点睛】此题主要考查的是二次函数的应用，一元二次方程的应用，掌握矩形的面积计算方法是解题的关键．7．(1)w＝-10x2＋1400x-33000；(2)每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元；(3)10≤a＜30．【解析】【分析】（1）根据利润＝（售价-进价）×销量，即可得到w关于x的函数解析式；（2）把（1）中的函数解析式化成顶点式，根据二次函数的性质，即可得出答案；（3）根据题意，仿照（1）列出函数关系式，求出对称轴，再根据二次函数的性质分析，即可得到a的取值范围．(1)解：当售价为x元时，上涨（x-60）元，销量为500-10（x-60）＝-10x+1100，∴w＝（x-30）（-10x+1100）＝-10x2＋1400x-33000，故w关于x的函数解析式是w＝-10x2＋1400x-33000；(2)解：w＝-10x2＋1400x-33000＝-10（x-70）2+16000∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值即当x＝70时，w有最大值，最大值是16000，故每盒售价订为70元时，可使当天获得最大销售利润，销售利润是16000元．(3)解：由题意得w＝（x-30-a）（-10x+1100）＝-10x2＋（1400+10a）x-（33000+1100a）其中60≤x≤75，∵-10＜0∴抛物线开口向下，函数有最大值，抛物线的对称轴是x＝140010170202aa+-=+-，∵每天捐赠后的日销售利润随产品售价的增大而增大，∴当60≤x≤75时，w随着x的增大而增大，∴1702a+≥75即a≥10，又∵x-30-a＞0，∴a＜x-30，其中60≤x≤75，∴ a ＜60-30，即a ＜30时，a ＜x -30恒成立，∴ 10≤a ＜30∴a 的取值范围是10≤a ＜30．【点睛】本题考查了二次函数在销售问题中的应用，熟练应用二次函数求最值是解决问题的关键． 8．(1)5500y x =-+（x 为正整数且x ≤80）(2)10元，4500元(3)3750元【解析】【分析】(1)直接利用销售单价每降1元，则每月可多销售5条列出y 与x 的函数关系式并整理即可；(2)利用“销售量×每件利润＝总利润”列出函数关系式，然后运用二次函数的性质求最值即可；(3) 利用“销售量×（每件利润-5）＝总利润”列出函数关系式，再根据总捐款额不低于750元以及题意列不等式组求出x 的取值范围，最后利用二次函数的性质求最值即可．(1)解：由题意可得：y ＝100+5（80﹣x ），整理得 y ＝﹣5x +500（x 为正整数且x ≤80）．(2)（2）由题意，得：w ＝（x ﹣40）（﹣5x +500）＝﹣5x 2+700x ﹣20000＝﹣5（x ﹣70）2+4500，∵a ＝﹣5＜0，∴w 有最大值，即当x ＝70时，w 最大值＝4500，∴应降价80﹣70＝10（元）．答：当降价10元时，每月获得最大利润为4500元．(3)（3）由题意，得：w ＝（x ﹣40﹣5）（﹣5x +500）＝﹣5（x ﹣72.5）2+3781.25，由题意得5(5500)75080x x -+≥⎧⎨≤⎩， 解得x ≤70，∵﹣5＜0，∴x ＜72.5时，w 随x 的增大而增大，∴x ＝70时，w 最大值＝﹣5（x ﹣72.5）2+3781.25＝3750．答：捐款后每月最大利润是3750元．【点睛】本题主要考查了二次函数和不等式组在销售问题中的应用，理清题中的数量关系、正确列出函数关系式是解答本题的关键．9．(1)w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)每件商品应降价2.5元；(3)每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【解析】【分析】（1）设每件商品应降价x 元，由每件利润×销售数量＝每天获得的利润可列出关于x 的关系式；（2）根据题意列出一元二次方程，解方程可得答案；（3）把w 关于x 的函数解析式配方成顶点式，再利用二次函数的性质可得答案．(1)解：由题意得w ＝（40−30−x ）（4×0.5x ＋48）＝−8x 2＋32x ＋480， 答：w 与x 的函数关系式是w ＝−8x 2＋32x ＋480；(2)解：由题意得，510＝−8x 2＋32x ＋480，解得：x 1＝1.5，x 2＝2.5，所以为尽快减少库存每件商品应降价2.5元；答：每天要想获得510元的利润，每件应降价2.5元.(3)解：∵w ＝−8x 2＋32x ＋480＝−8（x −2）2＋512，∴当x ＝2时，w 有最大值512，此时售价为40−2＝38（元），答：每件商品的售价为38元时，每天可获得最大利润，最大利润是512元．【点睛】此题主要考查了二次函数的应用，一元二次方程应用，关键是根据题意找到等式两边的平衡条件，这种价格问题主要解决价格变化前后的平衡关系，列出方程，解答即可．10．(1)74(2) 【解析】【分析】（1）OA 在y 轴上，2724y x x =-++中，令x =0，可得y 即为OA ； （2）水流落得最远时，落点在x 轴上，在2724y x x =-++中，当y ＝0时，27204x x -++=，求得1x ． (1)在2724y x x =-++中，令x =0，则y = 74， ∴柱子OA 的高度为74米； 故答案为74； (2)（2）在2724y x x =-++中， 当y ＝0时27204x x -++=， 272-04-x x =， ()27=-2-41-=114⎛⎫∆⨯⨯ ⎪⎝⎭，∴1x ==∴1x =，2x =·， 又∵x ＞0，∴解得x =【点睛】本题考查了二次函数的应用，解决问题的关键是平面直角坐标系中x 轴上的纵坐标为0，y 轴上的横坐标为0，解方程．。
专题11 二次函数的实际应用-九年级数学上册(解析版)
专题11二次函数的实际应用考点1：拱桥问题；考点2：抛球、喷泉问题；考点3：面积问题；考点4：利润问题。
1．赵州桥的桥拱是近似的抛物线形，建立如图所示的平面直角坐标系，其函数的关系式为y=−125x2，当水面离桥拱顶的高度DO是4m时，这时水面宽度AB为（）A．﹣20m B．10m C．20m D．﹣10m解：根据题意B的纵坐标为﹣4，把y＝﹣4代入y=−125x2，得x＝±10，∴A（﹣10，﹣4），B（10，﹣4），∴AB＝20m．即水面宽度AB为20m．答案：C．2．图2是图1中拱形大桥的示意图，桥拱与桥面的交点为O，B，以点O为原点，水平直线OB为x轴，建立平面直角坐标系，桥的拱形可近似看成抛物线y=−1400（x﹣80）2+16，桥拱与桥墩AC的交点C恰好在水面，有AC ⊥x轴，若OA＝10米，则桥面离水面的高度AC为（）A．16940米B．174米C．16740米D．154米题型01拱桥问题解：∵AC⊥x轴，OA＝10米，∴点C的横坐标为﹣10，当x＝﹣10时，y=−1400（x﹣80）2+16=−1400（﹣10﹣80）2+16=−174，∴C（﹣10，−174），∴桥面离水面的高度AC为174m．答案：B．3．（易错题）三孔桥横截面的三个孔都呈抛物线形，两小孔形状、大小完全相同．当水面刚好淹没小孔时，大孔水面宽度为10米，孔顶离水面1.5米；当水位下降，大孔水面宽度为14米时，单个小孔的水面宽度为4米，若大孔水面宽度为20米，则单个小孔的水面宽度为（）A．43米B．52米C．213米D．7米解：如图，建立如图所示的平面直角坐标系，由题意可得MN＝4，EF＝14，BC＝10，DO=32，设大孔所在抛物线解析式为y＝ax2+32，∵BC＝10，∴点B（﹣5，0），∴0＝a×（﹣5）2+32，∴a=−350，∴大孔所在抛物线解析式为y=−350x2+32，设点A（b，0），则设顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y＝m（x﹣b）2，∵EF＝14，∴点E的横坐标为﹣7，∴点E坐标为（﹣7，−3625），∴−3625b）2，∴x1=b，x2=−b，∴MN＝4，+b﹣（b）|＝4∴m=−925，∴顶点为A的小孔所在抛物线的解析式为y=−925（x﹣b）2，∵大孔水面宽度为20米，∴当x＝﹣10时，y=−92，∴−92925（x﹣b）2，∴x1=b，x2∴单个小孔的水面宽度＝|+b）﹣（+b）|＝52（米），答案：B．4．如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y＝ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需36秒．解：如图，设从O到A花10秒，从O到B花26秒，则由对称性可知OA＝BC，故从B到C也花10秒，故从O到C一共花26+10＝36（秒），答案：36．5．如图，一抛物线型拱桥，当拱顶到水面的距离为2米时，水面宽度为4米；那么当水位下降1米后，水面的宽解：如图，建立平面直角坐标系，设横轴x通过AB，纵轴y通过AB中点O且通过C点，则通过画图可得知O为原点，抛物线以y轴为对称轴，且经过A，B两点，OA和OB可求出为AB的一半2米，抛物线顶点C坐标为（0，2），通过以上条件可设顶点式y＝ax2+2，其中a可通过代入A点坐标（﹣2，0），到抛物线解析式得出：a＝﹣0.5，所以抛物线解析式为y＝﹣0.5x2+2，当水面下降1米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y＝﹣1时，对应的抛物线上两点之间的距离，也就是直线y＝﹣1与抛物线相交的两点之间的距离，可以通过把y＝﹣1代入抛物线解析式得出：﹣1＝﹣0.5x2+2，解得：x＝±6，所以水面宽度增加到26米，答案：26米．6．某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线型门，并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48m3，还要兼顾美观、大方，和谐、通畅等因素，设计部门按要求价出了两个设计方案．现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中，如图所示：方案一，抛物线型拱门的跨度ON＝12m，拱高PE＝4m．其中，点N在x轴上，PE⊥ON，OE＝EN．方案二，抛物线型拱门的跨度ON′＝8m，拱高P'E'＝6m．其中，点N′在x轴上，P′E′⊥O′N′，O′E′＝E′N′．要在拱门中设置高为3m的矩形框架，其面积越大越好（框架的粗细忽略不计）．方案一中，矩形框架ABCD的面积记为S1，点A、D在抛物线上，边BC在ON上；方案二中，矩形框架A'B'C′D'的面积记为S2，点A'，D'在抛物线上，边B'C'在ON'上．现知，小华已正确求出方案二中，当A'B'＝3m时，2=1222，请你根据以上提供的相关信息，解答下列问题：（1）求方案一中抛物线的函数表达式；（2）在方案一中，当AB＝3m时，求矩形框架ABCD的面积S1并比较S1，S2的大小．解：（1）由题意知，方案一中抛物线的顶点P（6，4），设抛物线的函数表达式为y＝a（x﹣6）2+4，把O（0，0）代入得：0＝a（0﹣6）2+4，解得：a=−19，∴y=−19（x﹣6）2+4=−19x2+43x；∴方案一中抛物线的函数表达式为y=−19x2+43x；（2）在y=−19x2+43x中，令y＝3得：3=−19x2+43x；解得x＝3或x＝9，∴BC＝9﹣3＝6（m），∴S1＝AB•BC＝3×6＝18（m2）；∵18＞122，∴S1＞S2．7．（易错题）如图1是一座抛物线型拱桥侧面示意图．水面宽AB与桥长CD均为24m，在距离D点6米的E处，测得桥面到桥拱的距离EF为1.5m，以桥拱顶点O为原点，桥面为x轴建立平面直角坐标系．（1）求桥拱顶部O离水面的距离．（2）如图2，桥面上方有3根高度均为4m的支柱CG，OH，DI，过相邻两根支柱顶端的钢缆呈形状相同的抛物线，其最低点到桥面距离为1m．①求出其中一条钢缆抛物线的函数表达式．②为庆祝节日，在钢缆和桥拱之间竖直装饰若干条彩带，求一条彩带长度的最小值．解：（1）根据题意可知点F的坐标为（6，﹣1.5），可设拱桥侧面所在二次函数表达式为：y1＝a1x2．将F（6，﹣1.5）代入y1＝a1x2有：﹣1.5＝36a1，求得a1=−124，∴y1=−124x2，当x＝12时，y1=−124×122＝﹣6，∴桥拱顶部离水面高度为6m．（2）①由题意可知右边钢缆所在抛物线的顶点坐标为（6，1），可设其表达式为y2＝a2（x﹣6）2+1，将H（0，4）代入其表达式有：4＝a2（0﹣6）2+1，求得a2=112，∴右边钢缆所在抛物线表达式为：y2=112（x﹣6）2+1，同理可得左边钢缆所在抛物线表达式为：y3=112（x+6）2+1②设彩带的长度为Lm，则L＝y2﹣y1=112（x﹣6）2+1﹣（−124x2）=182−+4=18(−4)2+2，∴当x＝4时，L最小值＝2，答：彩带长度的最小值是2m．8．某景点的“喷水巨龙”口中C处的水流呈抛物线形，该水流喷出的高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系如图所示，D为该水流的最高点，DA⊥OB，垂足为A．已知OC＝OB＝8m，OA＝2m，则该水流距水平面的最大高度AD的长度为（）A．9m B．10m C．11m D．12m解：根据题意，设抛物线解析式为y＝a（x﹣2）2+k，将点C（0，8）、B（8，0）代入，得：4+=836+=0，解得=−14=9，∴抛物线解析式为y=−14（x﹣2）2+9，所以当x＝2时，y＝9，即AD＝9m，答案：A．9．某幢建筑物，从10米高的窗口A用水管和向外喷水，喷的水流呈抛物线（抛物线所在平面与墙面垂直），（如图）如果抛物线的最高点M离墙1米，离地面403米，则水流下落点B离墙距离OB是（）题型02抛球、喷泉问题A．2米B．3米C．4米D．5米解：设抛物线解析式：y＝a（x﹣1）2+403，把点A（0，10）代入抛物线解析式得：a=−103，∴抛物线解析式：y=−103（x﹣1）2+403．当y＝0时，x1＝﹣1（舍去），x2＝3．∴OB＝3米．答案：B．10．竖直上抛物体离地面的高度h（m）与运动时间t（s）之间的关系可以近似地用公式h＝﹣5t2+v0t+h0表示，其中h0（m）是物体抛出时离地面的高度，v0（m/s）是物体抛出时的速度．某人将一个小球从距地面1.5m的高处以20m/s的速度竖直向上抛出，小球达到的离地面的最大高度为（）A．23.5m B．22.5m C．21.5m D．20.5m解：由题意可得，h＝﹣5t2+20t+1.5＝﹣5（t﹣2）2+21.5，因为a＝﹣5＜0，故当t＝2时，h取得最大值，此时h＝21.5，答案：C．11．（易错题）如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高2.5m时，水柱落点距O点2.5m；喷头高4m时，水柱落点距O点3m．那么喷头高8m时，水柱落点距O点4m．解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，当喷头高2.5m时，可设y＝ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出6.25a+2.5b+2.5＝0，整理得2.5a+b+1＝0①；喷头高4m时，可设y＝ax2+bx+4；将（3，0）代入解析式得9a+3b+4＝0②，联立可求出a=−23，b=23，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，∴此时的解析式为y=−23x2+23x+h，将（4，0）代入可得−23×42+23×4+h＝0，解得h＝8．答案：8．12．如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（单位：m）与飞行时间t（单位：s）之间具有函数关系：h＝﹣5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t＝2s．解：∵h＝﹣5t2+20t＝﹣5（t﹣2）2+20，且﹣5＜0，∴当t＝2时，h取最大值20，答案：2．13．某学生在一平地上推铅球，铅球出手时离地面的高度为53米，出手后铅球在空中运动的高度y（米）与水平距离x（米）之间的函数关系式为y=−112x2+bx+c，当铅球运行至与出手高度相等时，与出手点水平距离为8米，则该学生推铅球的成绩为10米．解：设铅球出手点为点A，当铅球运行至与出手高度相等时为点B，根据题意建立平面直角坐标系，如图：由题意可知，点A（0，53），点B（8，53），代入y=−112x2+bx+c，得：==−112×82+8+，解得=23=53．∴y=−112x2+23x+53，当y＝0时，0=−112x2+23x+53，解得x1＝10，x2＝﹣2（不符合题意，舍去）．∴该学生推铅球的成绩为10m．答案：10．14．一次足球训练中，小明从球门正前方8m的A处射门，球射向球门的路线呈抛物线．当球飞行的水平距离为6m 时，球达到最高点，此时球离地面3m．已知球门高OB为2.44m，现以O为原点建立如图所示直角坐标系．（1）求抛物线的函数表达式，并通过计算判断球能否射进球门（忽略其他因素）；（2）对本次训练进行分析，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，则当时他应该带球向正后方移动多少米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处？解：（1）∵8﹣6＝2，∴抛物线的顶点坐标为（2，3），设抛物线为y＝a（x﹣2）2+3，把点A（8，0）代入得：36a+3＝0，解得a=−112，∴抛物线的函数表达式为y=−112（x﹣2）2+3；当x＝0时，y=−112×4+3=83＞2.44，∴球不能射进球门．（2）设小明带球向正后方移动m米，则移动后的抛物线为y=−112（x﹣2﹣m）2+3，把点（0，2.25）代入得：2.25=−112（0﹣2﹣m）2+3，解得m＝﹣5（舍去）或m＝1，∴当时他应该带球向正后方移动1米射门，才能让足球经过点O正上方2.25m处．15．（易错题）跳台滑雪运动可分为助滑、起跳、飞行和落地四个阶段，运动员起跳后飞行的路线是抛物线的一部分（如图中实线部分所示），落地点在着陆坡（如图中虚线部分所示）上，着陆坡上的基准点K为飞行距离计分的参照点，落地点超过K点越远，飞行距离分越高．2022年北京冬奥会跳台滑雪标准台的起跳台的高度OA为66m，基准点K到起跳台的水平距离为75m，高度为hm（h为定值）．设运动员从起跳点A起跳后的高度y（m）与水平距离x（m）之间的函数关系为y＝ax2+bx+c（a≠0）．（1）c的值为66；（2）①若运动员落地点恰好到达K点，且此时a=−150，b=910，求基准点K的高度h；②若a=−150时，运动员落地点要超过K点，则b的取值范围为b＞910；（3）在（2）的条件下，若运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，试判断他的落地点能否超过K点，并说明理由．解：（1）∵起跳台的高度OA为66m，∴A（0，66），把A（0，66）代入y＝ax2+bx+c得：c＝66，答案：66；（2）①∵a=−150，b=910，∴y=−150x2+910x+66，∵基准点K到起跳台的水平距离为75m，∴y=−150×752+910×75+66＝21，∴基准点K的高度h为21m；②∵a=−150，∴y=−150x2+bx+66，∵运动员落地点要超过K点，∴x＝75时，y＞21，即−150×752+75b+66＞21，解得b＞910，答案：b＞910；（3）他的落地点能超过K点，理由如下：∵运动员飞行的水平距离为25m时，恰好达到最大高度76m，∴抛物线的顶点为（25，76），设抛物线解析式为y＝a（x﹣25）2+76，把（0，66）代入得：66＝a（0﹣25）2+76，解得a=−2125，∴抛物线解析式为y=−2125（x﹣25）2+76，当x＝75时，y=−2125×（75﹣25）2+76＝36，∵36＞21，∴他的落地点能超过K点．16．（易错题）科研人员为了研究弹射器的某项性能，利用无人机测量小钢球竖直向上运动的相关数据．无人机上升到离地面30米处开始保持匀速竖直上升，此时，在地面用弹射器（高度不计）竖直向上弹射一个小钢球（忽略空气阻力），在1秒时，它们距离地面都是35米，在6秒时，它们距离地面的高度也相同．其中无人机离地面高度y1（米）与小钢球运动时间x（秒）之间的函数关系如图所示；小钢球离地面高度y2（米）与它的运动时间x（秒）之间的函数关系如图中抛物线所示．（1）直接写出y1与x之间的函数关系式；（2）求出y2与x之间的函数关系式；（3）小钢球弹射1秒后直至落地时，小钢球和无人机的高度差最大是多少米？解：（1）设y1与x之间的函数关系式为y1＝kx+b，∵函数图象过点（0，30）和（1，35），则+=35=30，解得：=5=30，∴y1与x之间的函数关系式为y1＝5x+30；（2）∵x＝6时，y1＝5×6+30＝60，∵y2的图象是过原点的抛物线，设y2＝ax2+bx，∴点（1.35），（6.60）在抛物线y2＝ax2+bx上，∴+=3536+6=60，解得：=−5=40，∴y2＝﹣5x2+40x，答：y2与x的函数关系式为y2＝﹣5x2+40x；（3）设小钢球和无人机的高度差为y米，由﹣5x2+40x＝0得，x＝0或x＝8，①1＜x≤6时，y＝y2﹣y1＝﹣5x2+40x﹣5x﹣30＝﹣5x2+35x﹣30＝﹣5（x−72）2+1254∵a＝﹣5＜0，∴抛物线开口向下，又∵1＜x≤6，∴当x=72时，y的最大值为1254；②6＜x≤8时，y＝y1﹣y2＝5x+30+5x2﹣40x＝5x2﹣35x+30＝5（x−72）2−1254，∵a＝5＞0，∴抛物线开口向上，又∵对称轴是直线x=72，∴当x＞72时，y随x的增大而增大，∵6＜x≤8，∴当x＝8时，y的最大值为70，∵1254＜70，∴高度差的最大值为70米．题型03面积问题17．九年级2班计划在劳动实践基地内种植蔬菜，班长买回来8米长的围栏，准备围成一边靠墙（墙足够长）的菜园，为了让菜园面积尽可能大，同学们提出了围成矩形、等腰三角形（底边靠墙）、半圆形这三种方案，最佳方）案是（A．方案1B．方案2C．方案3D．方案1或方案2解：方案1：设AD＝x米，则AB＝（8﹣2x）米，则菜园面积＝x（8﹣2x）＝﹣2x2+8x＝﹣2（x﹣2）2+8，当x＝2时，此时菜园最大面积为8米2；方案2：如图，过点B作BH⊥AC于H，则BH≤AB＝4，=12•AC•BH，∵S△ABC；∴当BH＝4时，△ABC的面积最大为12×4×4＝8方案3：半圆的半径=8米，∴此时菜园最大面积=H(8)22=32米2＞8米2；答案：C．18．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角（两边足够长），用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD（篱笆只围AB，BC两边），设AB＝m．若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内（含边界，不考虑树的粗细），则花园面积S的最大值为（）A．193B．194C．195D．196解：∵AB＝m米，∴BC＝（28﹣m）米．则S＝AB•BC＝m（28﹣m）＝﹣m2+28m．即S＝﹣m2+28m（0＜m＜28）．由题意可知，≥628−≥15，解得6≤m≤13．∵在6≤m≤13内，S随m的增大而增大，∴当m＝13时，S＝195，最大值即花园面积的最大值为195m2．答案：C．19．（易错题）如图，利用一个直角墙角修建一个梯形储料场ABCD，其中∠C＝120°．若新建墙BC与CD总长为12m，则该梯形储料场ABCD的最大面积是（）A．18m2B．183m2C．243m2D．4532m2解：如图，过点C作CE⊥AB于E，则四边形ADCE为矩形，∴CD＝AE，∠DCE＝∠CEB＝90°，设CD＝AE＝xm，则∠BCE＝∠BCD﹣∠DCE＝30°，BC＝（12﹣x）m，在Rt△CBE中，∵∠CEB＝90°，∴BE=12BC＝（6−12x）m，∴AD＝CE=3BE＝（63−32x）m，AB＝AE+BE＝x+6−12x＝（12x+6）m，∴梯形ABCD面积S=12（CD+AB）•CE=12（x+12x+6）•（63−32x）338x2+33x+183=−338（x﹣4）2+243，＝243．∴当x＝4时，S最大即CD长为4m时，使梯形储料场ABCD的面积最大为243m2；答案：C．20．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为75m2．解：设垂直于墙的材料长为x米，则平行于墙的材料长为27+3﹣3x＝30﹣3x，则总面积S＝x（30﹣3x）＝﹣3x2+30x＝﹣3（x﹣5）2+75，故饲养室的最大面积为75平方米，答案：75．21．如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m（篱笆的厚度忽略不计），当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．解：设AB＝xm，则BC=12（900﹣3x），由题意可得，S＝AB×BC＝x×12（900﹣3x）=−32（x2﹣300x）=−32（x﹣150）2+33750∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750，∴AB＝150m，答案：150．22．（易错题）为了节省材料，某农场主利用围墙（围墙足够长）为一边，用总长为80m的篱笆围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等，则能围成的矩形区域ABCD的面积最大值是300m2．解：如图，∵三块矩形区域的面积相等，∴矩形AEFD面积是矩形BCFE面积的2倍，∴AE＝2BE，设BC＝x，BE＝FC＝a，则AE＝HG＝DF＝2a，∴DF+FC+HG+AE+EB+EF+BC＝80，即8a+2x＝80，∴a=−14x+10，3a=−34x+30，∴矩形区域ABCD的面积S＝（−34x+30）x=−34x2+30x，∵a=−14x+10＞0，∴x＜40，则S=−34x2+30x（0＜x＜40）；∵S=−34x2+30x=−34（x﹣20）2+300（0＜x＜40），且二次项系数为−34＜0，∴当x＝20时，S有最大值，最大值为300m2．答案：300．23．为落实国家《关于全面加强新时代大中小学劳动教育的意见》，某校准备在校园里利用围墙（墙长12m）和21m 长的篱笆墙，围成Ⅰ、Ⅱ两块矩形劳动实践基地．某数学兴趣小组设计了两种方案（除围墙外，实线部分为篱笆墙，且不浪费篱笆墙），请根据设计方案回答下列问题：（1）方案一：如图①，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ区中留一个宽度AE＝1m的水池，且需保证总种植面积为32m2，试分别确定CG、DG的长；（2）方案二：如图②，使围成的两块矩形总种植面积最大，请问BC应设计为多长？此时最大面积为多少？解：（1）∵（21﹣12）÷3＝3（m），∴Ⅰ、Ⅱ两块矩形的面积为12×3＝36（m2），设水池的长为am，则水池的面积为a×1＝a（m2），∴36﹣a＝32，解得a＝4，∴DG＝4m，∴CG＝CD﹣DG＝12﹣4＝8（m），即CG的长为8m、DG的长为4m；（2）设BC长为xm，则CD长度为21﹣3x，∴总种植面积为（21﹣3x）•x＝﹣3（x2﹣7x）＝﹣3（x−72）2+1474，∵﹣3＜0，∴当x =72时，总种植面积有最大值为1474m 2，即BC 应设计为72m 总种植面积最大，此时最大面积为1474m 2．24．一件工艺品进价为100元，标价135元售出，每天可售出100件．根据销售统计，一件工艺品每降价1元出售，则每天可多售出4件，要使每天获得的利润最大，每件需降价的钱数为（）A ．5元B ．10元C ．0元D ．36元解：设每件需降价的钱数为x 元，每天获利y 元，则y ＝（135﹣x ﹣100）（100+4x ）即：y ＝﹣4（x ﹣5）2+3600∵﹣4＜0∴当x ＝5元时，每天获得的利润最大．答案：A ．25．某宾馆共有80间客房．宾馆负责人根据经验作出预测：今年7月份，每天的房间空闲数y （间）与定价x （元/间）之间满足y =14x ﹣42（x ≥168）．若宾馆每天的日常运营成本为5000元，有客人入住的房间，宾馆每天每间另外还需支出28元的各种费用，宾馆想要获得最大利润，同时也想让客人得到实惠，应将房间定价确定为（）A ．252元/间B ．256元/间C ．258元/间D ．260元/间解：设每天的利润为W 元，根据题意，得：W ＝（x ﹣28）（80﹣y ）﹣5000＝（x ﹣28）[80﹣（14x ﹣42）]﹣5000=−14x 2+129x ﹣8416=−14（x ﹣258）2+8225，∵当x ＝258时，y =14×258﹣42＝22.5，不是整数，∴x ＝258舍去，∴当x ＝256或x ＝260时，函数取得最大值，最大值为8224元，题型04利润问题又∵想让客人得到实惠，∴x＝260（舍去）∴宾馆应将房间定价确定为256元时，才能获得最大利润，最大利润为8224元．答案：B．26．“闻起来臭，吃起来香”的臭豆腐是长沙特色小吃，臭豆腐虽小，但制作流程却比较复杂，其中在进行加工煎炸臭豆腐时，我们把“焦脆而不糊”的豆腐块数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，“可食用率”P与加工煎炸时间t（单位：分钟）近似满足的函数关系为：P＝at2+bt+c（a≠0，a，b，c是常数），如图记录了三次实验的数据．根据上述函数关系和实验数据，可以得到加工煎炸臭豆腐的最佳时间为（）A．3.50分钟B．4.05分钟C．3.75分钟D．4.25分钟解：将图象中的三个点（3，0.8）、（4，0.9）、（5，0.6）代入函数关系P＝at2+bt+c中，9+3+=0.816+4+=0.925+5+=0.6，解得=−0.2=1.5=−1.9，所以函数关系式为：P＝﹣0.2t2+1.5t﹣1.9，由题意可知：加工煎炸臭豆腐的最佳时间为抛物线顶点的横坐标：t=−2=−1.52×(−0.2)=3.75，则当t＝3.75分钟时，可以得到最佳时间．答案：C．27．某快餐店销售A、B两种快餐，每份利润分别为12元、8元，每天卖出份数分别为40份、80份．该店为了增加利润，准备降低每份A种快餐的利润，同时提高每份B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A 种快餐利润每降1元可多卖2份，每份B种快餐利润每提高1元就少卖2份．如果这两种快餐每天销售总份数不变，那么这两种快餐一天的总利润最多是1264元．解：设每份A种快餐降价a元，则每天卖出（40+2a）份，每份B种快餐提高b元，则每天卖出（80﹣2b）份，由题意可得，40+2a+80﹣2b＝40+80，解得a＝b，∴总利润W＝（12﹣a）（40+2a）+（8+a）（80﹣2a）＝﹣4a2+48a+1120＝﹣4（a﹣6）2+1264，∵﹣4＜0，∴当a＝6时，W取得最大值1264，即两种快餐一天的总利润最多为1264元．答案：1264．28．某食品零售店新上架一款冷饮产品，每个成本为8元，在销售过程中，每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的关系如图所示，当10≤x≤20时，其图象是线段AB，则该食品零售店每天销售这款冷饮产品的最大利润为121元（利润＝总销售额﹣总成本）．解：当10≤x≤20时，设y＝kx+b，把（10，20），（20，10）代入可得：10+=2020+=10，解得=−1=30，∴每天的销售量y（个）与销售价格x（元/个）的函数解析式为y＝﹣x+30，设该食品零售店每天销售这款冷饮产品的利润为w元，w＝（x﹣8）y＝（x﹣8）（﹣x+30）＝﹣x2+38x﹣240＝﹣（x﹣19）2+121，∵﹣1＜0，∴当x＝19时，w有最大值为121，答案：121．29．某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销售20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元（a＞0）．未来30天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天起每天的单价均比前一天降1元．通过市场调研发现，该时装单价每降1元，每天销量增加4件．在这30天内，要使每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，a的取值范围应为0＜a＜6．解：设未来30天每天获得的利润为y，y＝（110﹣40﹣t）（20+4t）﹣（20+4t）a化简，得y＝﹣4t2+（260﹣4a）t+1400﹣20a每天缴纳电商平台推广费用后的利润随天数t（t为正整数）的增大而增大，∴−260−42×(−4)＞29.5，解得，a＜6，又∵a＞0，即a的取值范围是：0＜a＜6．30．（易错题）某商店销售某种商品的进价为每件30元，这种商品在近60天中的日销售价与日销售量的相关信息如下表：时间：第x（天）1≤x≤3031≤x≤60日销售价（元/件）0.5x+3550日销售量（件）124﹣2x（1≤x≤60，x为整数）设该商品的日销售利润为w元．（1）直接写出w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）该商品在第几天的日销售利润最大？最大日销售利润是多少？解：（1）当1≤x≤30时，w＝（0.5x+35﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣x2+52x+620，当31≤x≤60时，w＝（50﹣30）•（﹣2x+124）＝﹣40x+2480，∴w与x的函数关系式w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)，答案：w=−2+52+620(1≤≤30)−40+2480(31≤≤60)；（2）当1≤x≤30时，w＝﹣x2+52x+620＝﹣（x﹣26）2+1296，∵﹣1＜0，∴当x＝26时，w有最大值，最大值为1296；当31≤x≤60时，w＝﹣40x+2480，∵﹣40＜0，∴当x＝31时，w有最大值，最大值为﹣40×31+2480＝1240，∵1296＞1240，∴该商品在第26天的日销售利润最大，最大日销售利润是1296元．31．（易错题）某工厂计划从A，B两种产品中选择一种生产并销售，每日产销x件．已知A产品成本价m元/件（m 为常数，且4≤m≤6，售价8元/件，每日最多产销500件，同时每日共支付专利费30元；B产品成本价12元/件，售价20元/件，每日最多产销300件，同时每日支付专利费y元，y（元）与每日产销x（件）满足关系式y ＝80+0.01x2．（1）若产销A，B两种产品的日利润分别为w1元，w2元，请分别写出w1，w2与x的函数关系式，并写出x的取值范围；（2）分别求出产销A，B两种产品的最大日利润．（A产品的最大日利润用含m的代数式表示）（3）为获得最大日利润，该工厂应该选择产销哪种产品？并说明理由．【利润＝（售价﹣成本）×产销数量﹣专利费】解：（1）根据题意，得w1＝（8﹣m）x﹣30，（0≤x≤500）．w2＝（20﹣12）x﹣（80+0.01x2）＝﹣0.01x2+8x﹣80，（0≤x≤300）．（2）∵8﹣m＞0，∴w1随x的增大而增大，又0≤x≤500，∴当x＝500时，w1有最大值，即w最大＝﹣500m+3970（元）．∵w2＝﹣0.01x2+8x﹣80＝﹣0.01（x﹣400）2+1520．又∵﹣0.01＜0．对称轴x＝400．∴当0≤x≤300时，w2随x的增大而增大，∴当x＝300时，w2最大＝﹣0.01×（300﹣400）2+1520＝1420（元）．（3）①若w1最大＝w2最大，即﹣500m+3970＝1420，解得m＝5.1，②若w1最大＞w2最大，即﹣500m+3970＞1420，解得m＜5.1，③若w1最大＜w2最大，即﹣500m+3970＜1420，解得m＞5.1．又4≤m≤6，综上可得，为获得最大日利润：当m＝5.1时，选择A，B产品产销均可；当4≤m＜5.1时，选择A种产品产销；当5.1＜m≤6时，选择B种产品产销．答：当A产品成本价为5.1元时，工厂选择A或B产品产销日利润一样大，当A产品4≤m＜5.1时，工厂选择A 产品产销日利润最大，当5.1＜m≤6时，工厂选择B产品产销日利润最大．。
中考二次函数应用题(含答案)
中考二次函数应用题(含答案)1、某体育用品商店购进一批滑板，每件进价为100元，售价为130元，每星期可卖出80件。
商家决定降价促销，根据市场调查，每降价5元，每星期可多卖出20件。
1) 求商家降价前每星期的销售利润为多少元？解：每件滑板的利润为售价减去进价，即130-100=30元。
每星期的销售利润为80件乘以每件的利润，即80×30=2400元。
2) 降价后，商家要使每星期的销售利润最大，应将售价定为多少元？最大销售利润是多少？解：设降价后每件滑板的售价为x元，则每星期的销售量为80+20(x-130)/5=80+4(x-130)件。
每星期的销售利润为销售量乘以每件的利润，即(80+4(x-130))×(x-100)元。
化简得到销售利润的函数为y=4x-0.04x^2-600.这是一个开口向下的二次函数，最大值出现在顶点处，即x=50时，y=2200元。
因此，商家应将售价定为80元，最大销售利润为2200元。
2、某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施。
调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台。
1) 假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式。
解：每台冰箱的利润为售价减去进价，即2400-2000=400元。
每天销售的利润为销售量乘以每台冰箱的利润，即8×400=3200元。
每降价50元，销售量就增加4台，因此销售量与售价之间的函数表达式为销售量=8+4(x-2400)/50=8+0.08x-38.4.每天销售的利润为销售量乘以每台冰箱的利润，即y=400(8+0.08x-38.4)=3200-16x元。
2) 商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？解：每天销售的利润为4800元，代入y=3200-16x中，得到16x=1600，即x=100元。
中考数学《二次函数的实际应用与几何问题》专项练习题及答案
中考数学《二次函数的实际应用与几何问题》专项练习题及答案一、单选题1．如图，正六边形的边长为10，分别以正六边形的顶点A、B、C、D、E、F为圆心，画6个全等的圆．若圆的半径为x，且0＜x≤5，阴影部分的面积为y，能反映y与x之间函数关系的大致图形是（）A．B．C．D．2．正方形的边长为4，若边长增加x，那么面积增加y，则y关于x的函数表达式为( ) A．y=x2+16B．y=(x+4)2C．y=x2+8x D．y=16−4x23．若抛物线y=x2-4x-12与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则△ABC的面积为（）A．24B．36C．48D．964．如图，已知△ABC为等边三角形，AB=2，点D为边AB上一点，过点D作DE∥AC，交BC于E点；过E点作EF⊥DE，交AB的延长线于F点．设AD=x，△DEF的面积为y，则能大致反映y与x函数关系的图象是（）A．B．C．D．5．已知抛物线y=−316(x−1)(x−9)与x轴交于A，B两点，对称轴与抛物线交于点C，与x轴交于点D，⊙C的半径为2，G为⊙C上一动点，P为AG的中点，则DP的最大值为（）A．72B．√412C．√342D．2√36．如图所示，△DEF中，∠DEF=90°，∠D=30°，DF=16，B是斜边DF上一动点，过B作AB⊥DF于B，交边DE(或边EF)于点A，设BD=x，△ABD的面积为y，则y与x之间的函数图象大致为（）A．（B．C．D．（7．某公园有一个圆形喷水池，喷出的水流的高度h(单位：m)与水流运动时间t(单位：s)之间的关系式为ℎ=30t−5t2，那么水流从喷出至回落到地面所需要的时间是( )A．6s B．4s C．3s D．2s8．如图，从1×2的矩形ABCD 的较短边AD 上找一点E ，过这点剪下两个正方形，它们的边长分别是AE 、DE ，当剪下的两个正方形的面积之和最小时，点E 应选在（ ）A ．AD 的中点B ．AE ：ED=（√5﹣1）：2C ．AE ：ED=√2：1D ．AE ：ED=（√2﹣1）：29．有一个矩形苗圃园，其中一边靠墙，另外三边用长为20m 的篱笆围成．已知墙长为15m ，若平行于墙的一边长不小于8m ，则这个苗圃园面积的最大值和最小值分别为（ ）A ．48m 2，37.5m 2B ．50m 2，32m 2C ．50m 2，37.5m 2D ．48m 2，32m 210．已知二次函数y=（x+m ）2–n 的图象如图所示，则一次函数y=mx+n 与反比例函数y= mnx 的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．11．在平面直角坐标系中，已知点M ，N 的坐标分别为(−1，3)，(3，3)，若抛物线y =x 2−2mx +m 2−m +2与线段MN 只有一个公共点，则m 的取值范围是（ ）A ．−1⩽m <0或7−√172<m ⩽7+√172B ．−1⩽m <0或m >7−√172C ．m <0或7−√172<m ⩽7+√172D ．−1⩽m ⩽7+√17212．如图所示是二次函数y= −12x 2+2 的图象在x 轴上方的一部分，对于这段图象与x 轴所围成的阴影部分的面积，你认为可能的值是（ ）A ．4B ．163C ．2πD ．8二、填空题13．矩形的周长为 20cm ，当矩形的长为 cm 时，面积有最大值是 cm 2 ． 14．如图，坐标平面上，二次函数 y =−x 2+4x −k 的图形与 x 轴交于 A 、 B 两点，与 y 轴交于 C 点，其顶点为 D ，且 k >0 ．若 ΔABC 与 ΔABD 的面积比为 1:3 ，则 k 值为 ．15．在第一象限内作射线OC ，与x 轴的夹角为60°，在射线OC 上取一点A ，过点A 作AH ⊥x 轴于点H ，在抛物线y=x 2（x ＞0）上取一点P ，在y 轴上取一点Q ，使得以P ，O ，Q 为顶点的三角形与△AOH 全等，则符合条件的点A 的坐标是16．如图，有一块直角三角形土地，它两条直边AB=300米，AC=400米，某单位要沿着斜边BC修一座底面是矩形DEFG的大楼，D、G分别在边AB、AC上，这个矩形DEFG的面积最大值是.17．如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别交于点A和点B，与反比例函数y＝mx（m＞0）的图象交于点C（2，4），B为线段AC的中点，若点D为线段AC上的一个动点，过点D作DE∥x轴，交反比例函数图象于点E，连接OD，OE，则△ODE面积的最大值为.18．某农场拟建两间矩形饲养室，一面靠现有墙（墙足够长），中间用一道墙隔开，并在如图所示的三处各留1m宽的门．已知计划中的材料可建墙体（不包括门）总长为27m，则能建成的饲养室面积最大为 m2．三、综合题19．学校要围一个矩形花圃，花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为36米的篱笆恰好围成（如图所示）．设矩形的一边AB的长为x米（要求AB<AD），矩形ABCD的面积为S平方米．（1）求S与x之间的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；（2）要想使花圃的面积最大，AB边的长应为多少米？20．如图，直线y=x+3与x轴交于点A，与y轴交于点B，抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为抛物线在第二象限内一点，过点P作x轴的垂线，垂足为点M，与直线AB交于点C，过点P作x轴的平行线交抛物线于点Q，过点Q作x轴的垂线，垂足为点N，若点P在点Q左边，设点P的横坐标为m．①当矩形PQNM的周长最大时，求△ACM的面积；②在①的条件下，当矩形PMNQ的周长最大时，G是直线AC上一点，F是抛物线上一点，是否存在点G，使得以点P、C、G、F为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出F点的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，在矩形ABCD的场地内，修建横竖两条甬道，场地其余部分种植草评，已知竖向甬道的宽度是横向甬道宽度的2倍，AD=20米，AB=16米，设横向甬道的宽度为x米，草坪面积为y米2．（1）请写出y与x之间的函数关系式；（不必写出自变量的取值范围）（2）若草坪面积为270米2，请求出横向甬道的宽度．22．如图，二次函数y=ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）的图象与x轴交于A，B两点（点B在点A的右侧），与y轴的正半轴交于点C，顶点为D．若以BD为直径的⊙M经过点C．（1）请直接写出C，D的坐标（用含a的代数式表示）；（2）求抛物线的函数表达式；（3）⊙M上是否存在点E，使得∠EDB=∠CBD？若存在，请求出所满足的条件的E的坐标；若不存在，请说明理由．23．已知，抛物线y=-x2+bx+c经过点A（-1，0）和C（0，3）.（1）求抛物线的解析式；（2）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是以AC为直角边的直角三角形时，求点M的坐标. 24．某农场造一个矩形饲养场ABCD，如图所示，为节省材料，一边靠墙(墙足够长)，用总长为77m的木栏围成一块面积相等的矩形区域：矩形AEGH，矩形HGFD，矩形EBCF，并在①②③处各留1m装门(不用木栏)，设BE长为x(m)，矩形ABCD的面积为y(m2)（1）∵S矩形AEGH＝S矩形HGFD＝S矩形EBCF，∴S矩形AEFD＝2S矩形EBCF，∴AE：EB＝.（2）求y关于x的函数表达式和自变量x的取值范围.（3）当x为何值时，矩形ABCD的面积有最大值？最大值为多少？参考答案1．【答案】A 2．【答案】C 3．【答案】C 4．【答案】A 5．【答案】A 6．【答案】B 7．【答案】A 8．【答案】A 9．【答案】C 10．【答案】C 11．【答案】A 12．【答案】B 13．【答案】5；25 14．【答案】115．【答案】（ √3 ，3）或（ 13 ， √33 ）或（ 23 ， 2√33）或（2，2 √3 ）16．【答案】30000平方米 17．【答案】9218．【答案】7519．【答案】（1）解：∵四边形ABCD 是矩形，AB 的长为x 米∴CD=AB=x(米).∵矩形除AD 边外的三边总长为36米 ∴BC=36−2x(米).∴S =x(36−2x)=−2x 2+36x. 自变量x 的取值范围是0<x<12. (说明：由0<x<36−2x 可得0<x<12.)（2）解：∵S =−2x 2+36x =−2(x −9)2+162， 且x=9在0<x<12的范围内 ∴当x=9时，S 取最大值即AB 边的长为9米时,花圃的面积最大.20．【答案】（1）解：∵直线y=x+3与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，∴A （﹣3，0），B （0，3）．∵抛物线y=﹣x 2+bx+c 经过A 、B 两点，∴{−9−3b +c =0c =3 ，解得： {b =−2c =3 ，∴抛物线的解析式为y=﹣x 2﹣2x+3；（2）解：①∵点P 的横坐标为m ，∴P （m ，﹣m 2﹣2m+3），PM=﹣m 2﹣2m+3．∵抛物线y=﹣x 2﹣2x+3的对称轴为x=﹣ b 2a =﹣ −22×（−1）=﹣1，∴PQ=2（﹣1﹣m ）=﹣2m ﹣2，∴矩形PQMN 的周长=2（PM+PQ ）=2（﹣m 2﹣2m+3﹣2m ﹣2）=﹣2m 2﹣8m+2=﹣2（m+2）2+10，当m=﹣2时，矩形PQMN 的周长最大，此时点C 的坐标为（﹣2，1），CM=AM=1，∴S △ACM = 12 ×1×1= 12 ；②∵C （﹣2，1），∴P （﹣2，3），∴PC=3﹣1=2．∵点P 、C 、G 、F 为顶点的四边形是平行四边形，GF ∥y 轴，∴GF ∥PC ，且GF=PC ．设G （x ，x+3），则F （x ，﹣x 2﹣2x+3），当点F 在点G 的上方时，﹣x 2﹣2x+3﹣（x+3）=2，解得x=﹣1或x=﹣2（舍去），当x=﹣1时，﹣x 2﹣2x+3=4，即F 1（﹣1，4）；当点F 在点G 的下方时，x+3﹣（﹣x 2﹣2x+3）=2，解得：x= −3+√172 或x= −3−√172 ．当x= −3+√172 时，﹣x 2﹣2x+3= −1+√172 ；当x= −3−√172 时，﹣x 2﹣2x+3= −1−√172 ，故F 2（ −3+√172，−1+√172 ），F 3（ −3−√172，−1−√172）．综上所示，点F 的坐标为F 1（﹣1，4），F 2（ −3+√172，−1+√172 ），F 3（ −3−√172，−1−√172）．21．【答案】（1）解：设横向甬道的宽度为x 米，草坪面积为y 米2，则横向甬道的宽度为2x 米，剩余部分可合成为长（16-x ）米，宽（20-2x ）米的矩形，依题意可得y =(20−2x)(16−x)即y =2x 2−52x +320；（2）解：由题意可知2x 2−52x +320=270 解得：x 1=25，x 2=1∵x 1=25>16，不符合题意舍去 ∴只取x 2=1答：横甬道的宽度为1m ．22．【答案】（1）解：当x=0时，ax 2﹣2ax ﹣3a ﹣3a ，则点C 的坐标为（0，﹣3a ）；∵y=ax 2﹣2ax ﹣3a=a （x ﹣1）2﹣4a ∴点D 的坐标为（1，﹣4a ）（2）解：当y=0时，ax 2﹣2ax ﹣3a=0，解得x 1=﹣1，x 2=3，则A （﹣1，0），B （3，0） ∵BD 为⊙M 的直径 ∴∠BCD=90°而BC 2=（0﹣3）2+（﹣3a ﹣0）2=9a 2+9，CD 2=（0﹣1）2+（﹣3a+4a ）2=a 2+1，BD 2=（3﹣1）2+（0+4a ）2=16a 2+4在Rt △BCD 中，∵BC 2+CD 2=BD 2 ∴9a 2+9+a 2+1=16a 2+4整理得a 2=1，解得a 1=﹣1，a 2=1（舍去）； ∴抛物线解析式为：y=﹣x 2+2x+3 （3）解：存在．a=1，CD 2=a 2+1=2，BC 2=9a 2+9=18 ∵∠EDB=∠CBD ∴CD=BE 而BD 为直径 ∴∠BED=90° ∴Rt △BED ≌Rt △DCB ∴DE=BC 设E （x ，y ）∴ED 2=（x ﹣1）2+（y ﹣4）2，BE 2=（x ﹣3）2+y 2 ∴（x ﹣1）2+（y ﹣4）2=18，（x ﹣3）2+y 2=2解得x=4，y=1或x= 85 ，y=﹣ 15∴满足条件的E 点坐标为（4，1）、（ 85 ，﹣ 15）．23．【答案】（1）解： ∵ 抛物线y=-x 2+bx+c 经过点A （-1，0）和C （0，3）∴ 将A （-1，0）和C （0，3）代入抛物线，得 {−1−b +c =0c =3 解得： {b =2c =3 ∴ y=-x 2+2x+3（2）解： ∵ y=-x 2+2x+3=-（x-1）2+4 ∴ 点M 的横坐标为1. 设点M 的坐标为（1，m ） 则MC= √(1−0)2+(m −3)2第 11 页 共 11 CA= √[0−(−1)]2+(3−0)2 = √10MA= √[1−(−1)]2+(m −0)2 .分两种情况考虑：①当∠ACM=90°时，则MA 2=CA 2+MC 2，即4+m 2=10+1+ (m −3)2 ，解得：m= 83∴ 点M 的坐标为（1， 83）. ②当∠CAM=90°时，则MC 2=MA 2+CA 2，即1+ (m −3)2 =4+m 2+10，解得：m= −23∴ 点M 的坐标为（1， −23）. 综上所述：当△MAC 是直角三角形时，点M 的坐标为：（1， 83 ）或（1， −23） 24．【答案】（1）2:1（2）解：∵BE ＝x∴AE ＝HG ＝EF ＝2x根据题意得，EF ＝BC ＝ 77−2x−2x×3+32=40-4x ∴y ＝(40﹣4x)•3x ，即y ＝﹣12x 2+120x∵0＜BC ＜ 77+32 ，且0＜AB ＜ 77+383∴0＜40﹣4x ＜40，且0＜3x ＜30∴0＜x ＜10故y ＝﹣12x 2+120x(0＜x ＜10)（3）解：∵y ＝﹣12x 2+120x ＝﹣12(x ﹣5)2+300(0＜x ＜10)∴当x ＝5时，y 有最大值为：300故当x ＝5m 时，y 有最大值，最大值为300m 2.。
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第21课时 二次函数的应用
1、二次函数的应用常用于求解析式、交点坐标等。
（1）求解析式的一般方法：
①已知图象上三点或三对的对应值， 通常选择一般式 。
②已知图象的顶点坐标、对称轴、最值或最高（低）点等，通常选择顶点式 。
③已知图象与x轴的两个交点的横坐标为x1、x2， 通常选择交点式 （不
能做结果，要化成一般式或顶点式）。
（2）求交点坐标的一般方法：
①求与x轴的交点坐标，当y＝ 代入解析式即可；求与y轴的交点坐标，当x＝ 代
入解析式即可。
②两个函数图像的交点，将两个函数解析式联立成方程组解出即可。
2、二次函数常用来解决最优化问题，即对于二次函数2(0)yaxbxca，当x 时，
函数有最值y＝ 。最值问题也可以通过配方解决，即将2(0)yaxbxca配
方成2()(0)yaxhka，当x 时，函数有最值y＝ 。
3、二次函数的实际应用包括以下方面：
（1）分析和表示不同背景下实际问题，如利润、面积、动态、数形结合等问题中变量之间
的二次函数关系。
（2）运用二次函数的知识解决实际问题中的最值问题。
4、二次函数主要是利用现实情景或者纯数学情景，考查学生的数学建模能力和应用意识。
从客观事
实的原型出
发，具体构造
数学模型的过
程叫做数学建
模，它的基本
思路是：
【例题解析】
例1：如图1所示，一位运动员在距篮圈中心水平距离4米处跳起投篮，球
运行的路线是抛物线，当球运动的水平距离为2.5米时，达到最大高度3.5米，
然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米．求抛物线的表达式．
反思：将实际问题转化为数学问题，建立适当的平面直角坐标系是解决问题
的关键。建立坐标系的一般方法是尽可能将一些特殊点，如起点、最高点等放在坐标轴上或
作原点，这有助于问题的解决和帮助计算。
例2：某星期天，小明和他的爸爸开着一辆满载西瓜的大卡车首次到某
古城销售，来到城门下才发现古城门为抛物线形状（如图2所示）．小明的
爸爸把车停在城门外，仔细端详城门的高和宽以及自己卡车的大小，但还是十分担心卡车是
否能够顺利通过．经询问得知，城门底部的宽为6米，最高点距离地面5米．如果卡车的高
是4米，顶部宽是2.8米，那么卡车能否顺利通过？反思：此题是一道常见的拱桥、拱洞等
有关抛物线的实际问题应用题，坐标系的选择建立很关键，一般选择抛物线的底（顶）部水
平线为x轴，对称轴为y轴，或直接选取最高（低）点为坐标原点建立直角坐标系来解决问
题。
二次函数的应用
一、选择题
1.将二次函数2xy的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，所得图象的函数表
达式是（ ）
Ａ．2)1(2xy Ｂ．2)1(2xy Ｃ．2)1(2xy Ｄ．2)1(2xy
2.抛物线221yxx与x轴交点的个数是（ ）．
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3
3.二次函数2(1)2yx的最小值是（ ）
A．2 B．1 C．1 D．2
4. 二次函数2yaxbxc的图象如图所示，若点12(1)(2)AyBy，、，是它
图象上的两点，则1y与2y的大小关系是（ ）
A．12yy B．12yy C．12yy D．不能确定
二、填空题
5. 某种火箭被竖直向上发射时，它的高度(m)h与时间(s)t的关系可以用公式
2
515010htt
表示．经过________s，火箭达到它的最高点．
6.将221212yxx变为2()yaxmn的形式，则mn ．
7. 如图，已知⊙P的半径为2，圆心P在抛物线2112yx上运动，当⊙P与
x
轴相切时，圆心P的坐标为 .
8.抛物线242myxx与x轴的一个交点的坐标为10，，则此抛物线与x轴
的另一个交点的坐标是_________.
9.小颖同学想用“描点法”画二次函数2(0)yaxbxca的图象，取自变量x的5个
值，分别计算出对应的y值，如下表：
x
„ 2 1 0 1 2 „
y
„ 11 2 1 2 5 „
由于粗心，小颖算错了其中的一个y值，请你指出这个算错的y值所对应的x ．
O
x
y
x=3
三、解答题
10. 已知二次函数12cbxxy的图象过点P（2，1）．
（1）求证：42bc；（2）求bc的最大值；
（3）若二次函数的图象与x轴交于点A（1x，0）、B（2x，0），△ABP的面积是43，求
b
的值．
11.如图, 某中学要在教学楼后面的空地上用40米长的竹篱笆围出一个
矩形地块作生物园, 矩形的一边用教学楼的外墙,其余三边用竹篱笆. 设
矩形的宽为x,面积为y.
(1) 求y与x的函数关系式,并求自变量x的取值范围;
(2) 生物园的面积能否达到210平方米?说明理由.
12.某宾馆有50个房间供游客住宿，当每个房间的房价为每天l80元时，房间会全部住满．当
每个房间每天的房价每增加10元时，就会有一个房间空闲．宾馆需对游客居住的每个房间
每天支出20元的各种费用．根据规定，每个房间每天的房价不得高于340元．设每个房间
的房价每天增加x元(x为10的正整数倍)．
(1) 设一天订住的房间数为y，直接写出y与x的函数关系式及自变量x的取值范围；
(2) 设宾馆一天的利润为w元，求w与x的函数关系式；
(3) 一天订住多少个房间时，宾馆的利润最大? 最大利润是多少元?
13. 如图，直角梯形OABC中，OC∥AB，C（0，3），
B（4，1），以BC为直径的圆交x轴于E，D
两点
（D点在E点右方）.
（1）求点E,D 的坐标;
（2）求过B,C,D三点的抛物线的函数关系式；
(3)过B,C,D三点的抛物线上是否存在点Q，
使△BDQ是以BD为直角边的直角三角形？若不存
在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标.