第二类拉格朗日方程的初积分
理论力学判断题
1。
作曲线运动的动点在某瞬时的法向加速度为零，则运动其轨迹在该点的曲率必为零.（× ）2。
刚体作定点运动时，其瞬时转动轴上所有点相对固定系的速度都为零，所以在运动过程中瞬时转动轴相对固定系始终静止不动。
( × ）3. 刚体作平面运动时，平面图形内两点的速度在任意轴上的投影相等.（× ）平面运动不是平动！!！！4。
在复合运动问题中，点的相对加速度是其相对速度对时间的相对导数。
( √ ）5。
在刚体复合运动中,角速度合成公式为：( × )记住这个肯定是错的6. 刚体的角速度是刚体相对参考系的转角对时间的导数。
( × ）7。
在复合运动问题中,定参考系可以是相对地面运动的,而动参考系可以是相对地面静止不动的。
( √ ）8。
速度投影定理只适用于作平面运动的刚体，不适用于作一般运动的刚体。
（× ）可以9. 刚体作平动时，刚体上各点的轨迹均为直线。
( × ）刚体视作整体10。
圆轮沿直线轨道作纯滚动，只要轮心作匀速运动，则轮缘上任意一点的加速度的方向均指向轮心。
（√ ）圆心是加速度瞬心11。
理想约束的约束反力不做功。
（× )不做虚功12。
真实位移是虚位移之一.（× ）可能不位移13 如果所作的受力图是一个显然不平衡的力系，那么受力图一定有错。
（× ）14 跨过滑轮的柔绳两端的拉力一定相等。
（× )拉力不是张力15.如果作一般运动的刚体的角速度不为零，在刚体或其延拓部分上一定存在速度等于零的点。
（× ）角速度和速度同直线即角速度的线速度与平动速度方向垂直第五题思路：将杆分成小微元，写出每个微元的加速度和重力，代入达朗贝尔－拉各朗日原理（将求和号改为积分号1 刚体作平面运动时,如果刚体的瞬时角速度和角加速度都不等于零,则刚体的瞬时加速度中心一定存在。
( √ ）2 刚体作定点运动时，若其角速度向量相对刚体不动，则相对固定参考系也不动；反之亦然.( √ ）3.速度投影定理给出的刚体上两点速度间的关系只适用于作平面运动的刚体。
拉格朗日方程复习与例题
(i 1,2, , n)
mi ai ) δ ri 0 (i 1,2, , n)
(F F
i i
Ni
系统的总虚功为
(F F
i i
Ni
mi ai ) δ ri 0
(i 1,2, , n)
利用理想约束条件
F
得到
i
i
Ni
δ ri 0
(m1 m2 ) g m1lcos
2
例题3 质量为m 的三棱柱ABC 1
通过滚轮搁置在光滑的水平面上。 质量为m2、半径为R的均质圆轮沿 三棱柱的斜面AB无滑动地滚下。
y
A ae C2
D
2 ar B
求：1、三棱柱后退的加速度a1； OC 2、圆轮质心C2相对于三棱 柱加速度ar。 解：1、分析运动 三棱柱作平动，加速度为 a1。 圆轮作平面运动，质心的牵连 加速度为ae= a1 ；质心的相对加 速度为ar；圆轮的角加速度为2。
x A y A x B y B yC
l cos l sin l cos l sin 2l sin
m2g
y1
3、应用动力学普遍方程
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
3、应用动力学普遍方程 rA FIA m1g l
C
O1
x1
l l
A
FIA δx A FIB δxB m1 g δy A m1 g δy B m2 g δyC 0
根据几何关系，有
B
rC
rB FIB
l m1g
x A lsin y A lcos xB lsin y B lcos yC 2lcosBiblioteka (i 1,2, , n)
理论力学拉格朗日方程
d mivi dt
( ri ) q j
所以
(mi
dvi ) ri dt q j
d dt
(mi vi
ri q j
)
mi vi
d dt
( ri q j
)
代入上式有
Q*j
n
[
i 1
d dt
(mi vi
ri q j
) mivi
d dt
( ri q j
)]
第七章 拉格朗日方程
§7-2 拉格朗日方程
r i
k
j 1
r i
q
q j
j
n
代入动力学普遍方程
(Fi Fi* ) ri 0 有
i 1
n [(Fi Fi* )
i 1
k j 1
ri q
q j
j
]
k
[
j 1
n i 1
(Fi
ri q j
)
n i 1
(Fi*
ri q j
)]q
j
0
广义力 记为Qj
k
这样动力学普遍方程可写为
[Q j
Q* ]q
代入前面所得动力学普遍方程的转化式
k
[Q j
Q* ]q
j
j
0
有
j 1
k
[Q j Q*j ]q j
j 1
k
[Q j
j 1
d dt
T ( q j
)
T q j
]q j
0
对于完整系统，广义虚位移δqj 都是独立的，并具有任意性，所以为使上
式成立，则有
Qj
d dt
T ( q j
)
动力学普遍方程及拉格朗日方程
O1
x1
δα
l α α l
A
− FIA ⋅ δxA + FIB ⋅ δxB + m1g ⋅ δyA + m1g ⋅ δyB + m2 g ⋅ δyC = 0
根据几何关系，有 根据几何关系，
ωB
δrC
δrB FIB
l m1g
xA = −lsinα yA = lcosα xB = lsinα yB = lcosα yC = 2lcosα
由动力学普遍方程， 由动力学普遍方程，得
∑F ⋅ δr −∑m a ⋅ δr
i =1 i i i =1 i i
n j j
N
N
i
=0
∑F ⋅ δr = ∑Q δ q
i =1 i i j =1
N
Q j ——广义力
n N ∂ri ∂r && ⋅ ∑ δ qj = ∑(∑mi && ⋅ i )δ qj ri ∑miai ⋅ δr i = ∑miri j=1 ∂qj ∂qj i =1 j =1 i =1 i =1
MI2 = J2 α2
J2 = 1 m2 R2 2
α
m2 g
B
x
m1g
ar = Rα2
m2 gsinα ⋅ Rδϕ + FI2ecosα ⋅ Rδϕ − FI2r ⋅ Rδϕ－J2α2 ⋅ δϕ = 0
1 3 sinα ⋅ + (a1cosα − ar ) = 0 g 2
解：4、应用动力学普遍方程 令： δ x ≠ 0，δ ϕ = 0
i i i i i
(i = 1,2, ⋅⋅⋅, N)
动力学普遍方程的直角坐标形式
∑[(F
拉格朗日第二类方程
代入初始条件，t =0 时， 0 0 , 0 0 得 C1 C2 0
故：
3M
gt 2
(2P9Q)( Rr)2
20
[例]图示系统，物块C质量为m1 ，均质轮A、B质量均为m2， 半径均为R，A作纯滚动，求系统的运动微分方程。 解：系统具有一自由度，保守
系统。以物块C的平衡位置为
原点，取x为广义坐标：
AF q j
（4）不含约束力。
二、保守系统的拉格朗日方程
如果作用于质点系的力是有势力，则：
Qj
V q j
而拉氏方程为：
15
d dt
T q j
T q j
V q j
由于V=V（q1，q2，...，qk），不含广义速度，所以
V q j
0,
d dt
V q j
0
上式为：
d dt
T q j
T q j
d dt
V q j
V q j
或：d dt
(T V q j
)
(T V q j
)
0
令L=T-V——拉格朗日函数
d dt
(
L q j
)
L q j
0 ( j1,2,,k )
保守系统的拉格朗日第二类方程。
16
应用拉氏方程解题的步骤：
1. 判定质点系的自由度 f，选取适宜的广义坐标。必须注意： 不能遗漏独立的坐标，也不能有多余的（不独立）坐标。
Q
A
M
T
1 2P 6
9Q (R g
r ) 2
;
d T
dt
1 2P 9Q (R r)2
6
g
;
T 0
19
分析力学拉格朗日方程
分析力学拉格朗日方程拉格朗日方程是描述物体在力的作用下运动规律的一个重要工具，是分析力学中的核心内容之一、它由意大利科学家拉格朗日在17世纪末提出，是一种基于能量的方法，对于描述系统的运动非常方便和有效。
拉格朗日方程的形式为：d/dt(dL/dq) - ∂L/∂q = Q，其中L为系统的拉格朗日函数，q表示广义坐标，t表示时间，Q表示外力。
拉格朗日函数L通常由系统的动能和势能函数构成，即L = T - V，其中T表示动能，V表示势能。
拉格朗日方程的推导是基于广义坐标的变分原理，即作用量最小原理。
根据广义坐标的定义，系统的运动可以由广义坐标的函数关系描述。
在运动过程中，系统的作用量S定义为积分∫Ldt，即拉格朗日函数关于时间的积分。
根据变分原理，作用量的真实路径使得作用量的变分δS等于零。
通过变分运算可以得到拉格朗日方程。
拉格朗日方程的形式简洁、便于应用，可以用来描述各种复杂的物体和系统。
它可以用来研究刚体的转动、弹簧振子的运动、多体系统的动力学等。
拉格朗日方程的特点是将系统的动能和势能统一在一个函数中描述，因此能够非常清晰地反映出系统的能量变化情况。
拉格朗日方程的应用可以帮助我们解决物理问题和工程实践中的许多复杂情况。
例如，在机械系统中，可以根据拉格朗日方程求解刚体的绕定轴转动、杆塔的动力学问题等。
在电磁学中，可以使用拉格朗日方程来推导电磁场的变化规律，解决复杂电磁场的问题。
在天体力学中，拉格朗日方程可以用来计算行星、卫星和人造星的轨道运动。
总之，拉格朗日方程是分析力学中的一种重要工具，可以简洁明确地描述物体在力的作用下的运动规律。
它具有普适性和广泛的应用性，对于理解和解决物理问题有着重要的意义。
理论力学经典课件-第九章拉格朗日方程
9-2-2
拉氏方程基本形式
d T T = FQ j dt qj qj
故
j = 1,2,...k
为拉式第二类方程基本形式，以t为自变量， qj
为未知函数的二阶常微分方程组，2k个积分常量，
需2k个初始条件 q j 0 ,q j 0 。 关于 FQ 的计算
j
由 WF j FQ q j (见下述例题中) j (仅δqi≠0时，计算所有主动力虚功)
第九章 拉格朗日方程
9-2-1 两个经典微分关系
n个质点，s个完整约束，k＝3n－s，
ri = ri q1 ,q2 ,...qk ,t ( i 1,2,...,n ) ri ri 1) “同时消点” qj qj
证明: 因 ri ri (t , q1 , , qk ), 对时间t求导数， 得
第九章 拉格朗日方程
运用矢量力学分析约束动力系统，未知约束力多， 方程数目多，求解烦琐。能否建立不含未知约束力 的动力学方程？ 将达朗贝尔原理与虚位移原理相结合，建立动
力虚功方程，广义坐标化，能量化，化为拉氏第二
类方程，实现用最少数目方程，描述动力系统。
9-1 动力学普遍方程
9-1-1 方程的建立 9-1-2 典型问题
9-1-1 方程的建立
1. 一般形式
n个质点。对 m有 i
Fi FNi mi ai 0 则有 i 1, 2n
给 ri
i 1,2,...,n ,则有
Fi FNi m ai ri 0
而双面理想约束 故有
i Ii
F
i
Ni
ri 0
(9-1)
ri ri qj j 1 q j
理论力学答案完整版(清华大学出版社)10
子 C 沿水平轨道滚动而不滑动，试求重物 A 的加速度。
解： 取整个系统为研究对象，自由度为 1。设重物速度为 vA ，则轮
题 10-9 图
的角速度 ω = vA ，轮心速度为 R−r
vO
=
R
r −
r
vA 。系统的动能为
( ) T
拉格朗日方程的普遍形式
d dt
∂L ∂q& j
− ∂L ∂q j
= Q′j
( j = 1,2,..., m)
式中 Q′j 为非有势力对应的广义力。
矢量方法
动量法：动量定理
动量矩定理 质心运动定理 定轴转动微分方程 平面运动微分方程
质点系统动力学
动静法
动能定理
能量方法
拉格朗日方程
3 保守系统拉格朗日方程的初积分
10-3 质量为 m1 的匀质杆，长为 l，一端放在水平面上， 另一端与质量为 m2、半径为 r 的匀质圆盘在圆盘中心 O 点 铰接。圆盘在地面上作纯滚动，圆心速度为 v。求系统在此
题 10-3 图
位置的动能。
解：杆作平移，动能为
T1
=
1 2
m1v2
；
圆盘作纯滚动，动能为
T2
=
1 2
m2v2
+
1 2
mivi
⋅ vi
，
其中 n 为系统中的质点数目，可以是有限或无穷，mi 和 vi 分别为各质点的质量和速度。 平
移刚体的动能 T = 1 mv2 ， 2
其中 m 为平移刚体的质量。
定轴转动刚体的动能
T
=
1 2
完整约束保守系的拉格朗日方程
四、完整约束保守系的拉格朗日方程：上次课我们导出了在完整约束下的第二类拉格朗日方程： ),2,1(s Q q T qT dt d ⋯==∂∂-∂∂αααα ,并用它解了一些题目。
考虑到如果我们要研究的系统所在的内外力场均是保守力场，或者其它作用于系统的力均不作虚功。
在这种情况下，上面这条完整约束下的第二类拉格朗日方程还可以进一步简化。
这次课准备要讲的内容就是，先由这条拉格朗日方程推出完整约束下保守系的拉格朗日方程，并举例应用，然后再讨论完整约束保守系的拉氏方程的一次积分。
我们由前面学过的知识可以知道，如果系统处在保守力场中，保守力系必有与其对应的势能V ，此势能是系统中各个质点的位置函数，即：V=V(nr r r ⋯⋯21)，且有V F i -∇=1 它的三个分量表达式为：iiz i iy i ix z V F y V F x V F ∂∂-=∂∂-=∂∂-=，，。
如果将i r 用广义坐标表示：),(t q r r i i = 则势能也就是广义坐标及时间t 的函数：V=V(q ，t)，由此我们很容易求得在保守力场中广义力αQ 的表达式。
由广义力的定义得：←⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂∂∂+∂∂∂∂+∂∂∂∂-=∂∂⋅∇-=∂∂⋅=∑∑∑i i i i i i i i i i i i q z z V y y y V q x x V q r V q r F Q ααααααα [根据复合函数的微分规则可知其结果为αq V ∂∂-=]将此结果代入第二类拉格朗日方程就可将它写成为：0)(=∂-∂-∂∂→∂∂-=∂∂-∂∂αααααq V T q T dt d q V q T q T dt d ∵0=∂∂αq V ∴左边的式子又可写成为：()()0=∂-∂-∂-∂ααq V T q V T dt d 在这里就定义：V T L -=，L 称作为拉格朗日函数，简称为拉氏函数，它就等于系统的动能与势能之差。
那么上式就可写成为：()s q L qL dt d ⋯==∂∂-∂∂,2,10ααα 这个方程就是完整约束保守系的拉格朗日方程。
07-分析力学基础-第二类拉格朗日方程的应用
∂L =0 ∂x
∂L = Qsinα ∂s
代入保守系统拉氏方程，并适当化简， 代入保守系统拉氏方程，并适当化简，得到系统的运动微分方 程。
& & (P+Q)& −Q⋅& cosα =0 x s & & 3& −2& cosα =2gsinα s x
拉格朗日函数
L = T −V
1 m(x2 -xθlsinθ + 1 l 2θ 2 ) & & && = 2 3 1 kx2 + mg(x + l cosθ ) 2 2
4、应用拉格朗日方程建立系统的运动微分方程
∂L = － + mgx kx ∂x
∂L = mx- 1 m &lsinθ & θ & ∂x 2
2 2 −mgl(θ12 +θ2 )/2 − kl 2 (θ12 −2θ1 θ2 +θ2 )/2
∂L =−mglθ −kl 2 (θ −θ ) =−(mgl + kl 2 )θ + kl 2θ 1 1 2 1 2 ∂θ1
∂L = ml 2θ & 1 & ∂θ1 d ∂L = ml 2θ && 1 & dt ∂θ1
O
r0
B k A
解：1、系统的约束为完整约束，且主动 系统的约束为完整约束， O θ B' W
r0 r