二次函数面积最值
2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题(必考知识点)
一、知识梳理1．三角形面积公式：S 2024年中考数学二次函数中三角形面积最值及平行四边形存在性问题（必考知识点）=21×底×高2．平行四边形的性质：对边相等、对角相等、对角线互相平分3．判别式法求最值：通过判别式判断二次方程的根的情况，进而求出最值二、问题分析1．三角形面积最值存在性问题：∙利用二次函数的性质和对称性，找到合适的底和高，计算三角形的面积；∙设置关于底和高的二次方程，利用判别式判断方程的根的情况，进而求出面积的最值。
2．平行四边形存在性问题：∙利用二次函数的对称性和性质，找到满足平行四边形性质的点；∙利用平行四边形的性质证明这些点构成平行四边形。
三、例题解析【例1】已知抛物线y=x2−2x和直线y=2x+b相交于A、B两点，且∠AOB=90°，其中O为坐标原点。
求△AOB的面积。
【答案】联立方程组：y=x2−2x，y=2x+b.消去y得：x2−4x−b=0.由于直线与抛物线有两个交点，所以判别式Δ>0：Δ=16+4b>0⇒b>−4.设交点A、B坐标分别为(x1，y1)和(x2，y2)，由韦达定理得：x1+x2=4，x1x2=−b.由于∠AOB=90，所以x1x2+y1y2=0。
代入y1=2x1+b和y2=2x2+b，解得：−b+(2x1+b)(2x2+b)=0.化简得：−b−4b+8b+b2=0⇒b2+3b=0.解得：b=−3或b=0。
当b=0时，A、B坐标分别为(0，0)和(4，8)，点A和点O重合，不符合条件。
因此，b =−3，代入方程组得A (1，-1)，B (3，3)。
所以，△AOB 的面积为：S =21×∣O A ∣×∣O B ∣=21×2211）（）（-+×2233）（）（+=21×2×18=3.【例2】抛物线6221y 2--=x x 与x 轴相交于点A 、点B ，与y 轴相交于点C 。
中考二次函数面积最值问题（含答案）
）x 02x 212+-=S （2）∵）∵a=a=21-<0 <0 ∴∴S 有最大值有最大值 ∴0221202a2b x =-´-=-=）（ ∴ S 的最大值为200200220212=´+´-=S ∴当x 为20cm 时，三角形面积最大，最大面积是200cm 2。
2.2.如图，矩形如图，矩形ABCD 的两边长AB =18cm =18cm，，AD =4cm =4cm，点，点P 、Q 分别从A 、B 同时出发，P 在边AB 上沿AB 方向以每秒2cm 的速度匀速运动，Q 在边BC 上沿BC 方向以每秒1cm 的速度匀速运动．设运动时间为x 秒，△PBQ 的面积为y （cm 22）.（1）求y 关于x 的函数关系式，并写出x 的取值范围；（2）求△PBQ 的面积的最大值的面积的最大值. .解：（1）∵）∵S S △PBQ =21PB PB··BQ, PB=AB PB=AB－－AP=18AP=18－－2x 2x，，BQ=x BQ=x，， ∴y=21（1818－－2x 2x））x ，即y=y=－－x 2+9x +9x（（0<x 0<x≤≤4）; （2）由（）由（11）知：）知：y=y=y=－－x 2+9x +9x，，∴y=y=－－(x (x－－29）2 +481,∵当0<x 0<x≤≤29时，时，y y 随x 的增大而增大，的增大而增大， 而0<x 0<x≤≤4，∴当x=4时，时，y y 最大值=20=20，即△，即△，即△PBQ PBQ 的最大面积是20cm 2.3．如图，在矩形ABCD 中，中，AB=6cm AB=6cm AB=6cm，，BC=12cm BC=12cm，点，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以 1cm/s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm/s 的速度移动，如的速度移动，如 果P ，Q 两点同时出发，分别到达B ，C 两点后就停止移动．两点后就停止移动．（1）设运动开始后第t 秒钟后，五边形APQCD 的面积为Scm 2，写出S 与t 的函数关的函数关系式，并指出自变量t 的取值范围．的取值范围．（2）t 为何值时，为何值时，S S 最小？最小值是多少？最小？最小值是多少？解：（1）第t 秒钟时，秒钟时，AP=tcm AP=tcm AP=tcm，故，故PB=PB=（（6﹣t ）cm cm，，BQ=2tcm BQ=2tcm，，故S △PBQ =•（•（66﹣t ）•2t=﹣）•2t=﹣t t 22+6t 二次函数最值问题例1、小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(x(单位：单位：单位：cm)cm)cm)的边与这的边与这条边上的高之和为40 cm 40 cm，这个三角形的，这个三角形的，这个三角形的面积面积S(S(单位：单位：单位：cm cm 2)随x(x(单位：单位：单位：cm)cm)cm)的变化而变的变化而变化．化． (1) (1)请直接写出请直接写出S 与x 之间的函数关系式之间的函数关系式((不要求写出自变量x 的取值范围的取值范围))；(2) (2)当当x 是多少时，这个三角形面积S 最大最大??最大面积是多少最大面积是多少??21解：（1解：（1）∵四边形ABCD 是矩形，是矩形，∴AB=CD，∴AB=CD，AD=BC AD=BC AD=BC，，∵BC=xm，∵BC=xm，AB+BC+CD=40m AB+BC+CD=40m AB+BC+CD=40m，∴AB=，∴AB=，∴花园的面积为：y=x•=﹣x 2+20x +20x（（0＜x≤15）； ∴y 与x 之间的函数关系式为：之间的函数关系式为：y=y=y=﹣﹣x 2+20x +20x（（0＜x≤15）； （2）∵y=﹣x 22+20x=+20x=﹣﹣（x ﹣2020））22+200+200，， ∵a=﹣＜0，∴当x ＜20时，时，y y 随x 的增大而增大，的增大而增大，∴当x=15时，时，y y 最大，最大值y=187.5y=187.5．． ∴当x 取15时花园的面积最大，最大面积为187.5187.5．．5.5.已知边长为已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE ABCDE（如图）（如图），其中AF=2AF=2，，BF=1BF=1．．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x DN=x，，NP=y NP=y，，则矩形PNDM 的面积S=xy S=xy（2≤x≤4）（2≤x≤4）（2≤x≤4）易知CN=4-x CN=4-x，，EM=4-y EM=4-y．．过点B 作BH BH⊥⊥PN 于点H则有△则有△AFB AFB AFB∽△∽△∽△BHP BHP∴PH BH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ，时，12454212=´+´-=最大S ． 6．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．米．∵S 矩形ABCD =6×12=72．∴S=72﹣=6×12=72．∴S=72﹣S S △PBQ =t 22﹣6t+726t+72（（0＜t ＜6）； （2）∵S=t 2﹣6t+72=6t+72=（（t ﹣3）2+63+63，∴当，∴当t=3秒时，秒时，S S 有最小值63cm 63cm．．4．在某居民小区要在一块一边靠墙（墙长15m 15m）的空地上修建一个矩形花园）的空地上修建一个矩形花园ABCD ABCD，花园，花园，花园 的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成如图，若设花园的BC 边长为x （m ）花园）花园 的面积为y （m 2）（1）求y 与x 之间的之间的函数函数关系式，并求自变量的x 的范围．的范围．（2）当x 取何值时花园的面积最大，最大面积为多少？ x x xy S 5212+-==)42(££x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5x=5，∴当，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，的增大而增大，对于42££x 来说，当x=4解：解：(1)(1)(1)∵长为∵长为x 米，则宽为350x -米，设面积为S 平方米．平方米． )50(313502x x x x S --=-×=3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米平方米) ) ) 即：鸡场的长度为即：鸡场的长度为25米时，面积最大．米时，面积最大． (2) (2) 中间有中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x 米，设面积为S 平方米．平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-×= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=xA B C DP Q解：∵∠∵∠APQ APQ APQ=90°,=90°,=90°,∴∠∴∠APB APB APB+∠+∠+∠QPC QPC QPC=90°.=90°.=90°.∵∠∵∠APB APB APB+∠+∠+∠BAP BAP BAP=90°,=90°,=90°,∴∠∴∠QPC QPC QPC=∠=∠=∠BAP BAP BAP，∠，∠，∠B B =∠=∠C C =90°=90° ∴△∴△∴△ABP ABP ABP∽△∽△∽△PCQ. PCQ.,86,y x x CQ BP PC AB =-=∴x x y 34612+-=． 8.8.小李想用篱笆围成一个周长为小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(S(单位：平方米单位：平方米单位：平方米))随矩形一边长x(x(单位：米单位：米单位：米))的变化而变化．的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；的取值范围；（2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x x S 3022602+-=×-=自变量的取值范围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值有最大值(1)(1)要使鸡场要使鸡场要使鸡场面积面积最大，鸡场的长度应为多少m ？(2)(2)如果中间有如果中间有n (n 是大于1的整数的整数))道篱笆隔墙，道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，要使鸡场面积最大，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多鸡场的长应为多少米？比较少米？比较(1)(2)(1)(2)(1)(2)的结果，你能得到什么结论？的结果，你能得到什么结论？时，2625max +=n S (平方米平方米) ) 由(1)(2)(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米．米．即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．值与中间有多少道隔墙无关． 7．如图，如图，矩形矩形ABCD 的边AB=6 cm cm，，BC=8cm BC=8cm，，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠使∠APQ APQ成直角，设BP=x cm BP=x cm，，CQ=y cm CQ=y cm，试以，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．当较难 如图，为坐标原点）方向向∴AB===10=10．时，AQ=2t AQ=2t AQ=2t，，BP=3t BP=3t，则∵PQ∥BO，∴，即，解得t=，t=秒时，PQ∥BO．秒时，PQ∥BO． ①如图②所示，过点P 作∴，即，解得PD=6﹣﹣t S=AQ•PD=•2t•（•2t•（6﹣t =6t﹣﹣t ﹣（﹣）S=﹣﹣（﹣）＜）t=秒时，秒时，S 为9. ＜）。
铅垂线法二次函数面积最大值问题
铅垂线法二次函数面积最大值问题铅垂线法二次函数面积最大值问题1. 引言在数学中，二次函数是一种非常重要的函数形式。
它以抛物线的形式呈现，具有丰富的几何和代数特性。
铅垂线法是一种常见的解决问题的方法，可以应用于许多数学和物理问题中。
本文将介绍铅垂线法在二次函数面积最大值问题中的应用，探讨如何通过该方法求解最优解。
2. 二次函数的基本形式二次函数可以写为 y = ax^2 + bx + c 的形式，其中 a、b 和 c 是常数，a ≠ 0。
它的图像是一个抛物线，开口的方向取决于 a 的正负。
二次函数的图像关于一个对称轴对称，这个对称轴可以用铅垂线表示。
铅垂线是通过顶点并与抛物线垂直的线段，它对应的 x 坐标就是对称轴的 x 坐标。
3. 铅垂线法的基本原理铅垂线法是一种基于几何和代数思想的问题解决方法。
对于一个给定的二次函数，我们希望找到一个特定的线段，使得这个线段和 x 轴以及抛物线所围成的面积达到最大值。
根据几何原理，这个线段应该与铅垂线重合。
4. 铅垂线法步骤以下是使用铅垂线法求解铅垂线方程和最大面积的一般步骤：1）确定二次函数的标准形式，并找出对称轴的 x 坐标；2）以对称轴上的一点作为铅垂线的起点，并确定该线段的长度；3）利用铅垂线的起点和终点，计算所围成的面积；4）随着铅垂线的移动，不断重复步骤 2 和步骤 3；5）比较每一次计算的面积值，找到最大值对应的铅垂线长度，得到最大面积。
5. 铅垂线法在二次函数面积最大值问题中的应用对于给定的二次函数 y = ax^2 + bx + c，我们可以通过铅垂线法求解铅垂线方程。
假设对称轴的 x 坐标为 p，则铅垂线的方程可以表示为 x = p。
利用二次函数的顶点公式，我们可以得到顶点的坐标 (-b/2a, f(-b/2a))。
铅垂线的起点坐标可以表示为 (p, f(p))。
为了计算所围成的面积，我们可以使用定积分。
根据定积分的定义，对于一个 x 坐标在 p 和 q 之间的函数 f(x)，所围成的面积可以表示为∫[p,q] f(x)dx。
二次函数中的面积最值问题最佳处理方法
因材教育二次函数中的面积最值问题从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0）．∴点P 坐标为（－32，154）三、切线法若要使△PBC 的面积最大，只需使BC 上的高最大．过点P 作BC 的平行线l ，当直线l 与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC 的解析式是y ＝x ＋3，过点P 作BC 的平行线l ，从而可设直线l 的解析式为：y ＝x ＋b ．＝278．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE ⊥x 轴交于点E ，交BC 于点F ，怍PM ⊥BC 于点M ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0），则F(x ，x ＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P 作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1.二次函数之面积问题的处理思路①分析目标图形的点、线、图形特征；②依据特征、原则对图形进行割补、转化；③设计方案，求解、验证．面积问题的处理思路：公式、割补、转化．坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C点坐标为(2，t )．（1）若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与直线y x p =-+交于点A 和点C (2，-3).（1）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，求M ，N 两点的坐标．（2）在（1）的条件下，若点Q 是x 轴下方抛物线上的一动点，当△QMN 的面积最大时，请求出△QMN 的最大面积及此时点Q 的坐标．4.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接PB ．（1）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RMP 与△RMB 的面积相等？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，-3)．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，已知点H (0，-1)．①在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使得S △ABH =S △ABD ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．②在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、知识点睛充分利用横平竖直的线段长函数特征几何特征互转二、精讲精练12。
二次函数面积最值问题
已知点P沿射线AB运动，点Q沿边BC的延长线运动，PQ与
直线相交于点D。
(1)设 AP的长为x，△PCQ的面积为S，求出S关于x的函数关系式；
(2)当AP的长为何值时，S△PCQ= S△ABC
解：（１）∵P、Q分别从A、C两点同时出发，速度相等
∴AP=CQ=x 当P在线段AB上时
1
S△PCQ＝
即S＝
二次函数的应用（最值问题）
（一）复习引入
1.二次函数y＝ax2+bx＋c（a≠0）的顶点坐标、 对称轴和最值
2.（1）求函数y＝x2+2x－3的最值。 （2）求函数y＝x2+2x－3的最值。（0≤x ≤ 3）
3、抛物线在什么位置取最值？
1。自变量X的取值范围为一切实数，顶点处取最值。 2。有取值范围的在端点和顶点处取最值。
设窗户的透光面积为Sm2,则
S= 1πx2+2x(6-2x-0.5πx)
21Leabharlann =-(2π+4)x2+12x
12
12
当 x 2(1 π 4)
≈1.1时,s的值最大.
π 8
即当矩形窗框2 宽约2.2m,高约2.1m时,……
拓展：
如图，等腰Rt△ABC的直角边AB＝２，点P、
Q分别从A、C两点同时出发，以相等的速度作直线运动，
（1）运动开始后第几秒时，△PBQ的面积 等于8cm2？
(2）设运动开始后第t秒时，五边形 APQCD的面积为Scm2，写出S与t的函数关 系式，并指出自变量t的取值范围；
（3）t为何值时S最小？求出S的最小值。
D
C
Q
A
B
P
练习 4：
室内通风和
二次函数动点面积最值分割面积法课件
F
C
SABC SABD SCBD
D
铅垂高
1 BD • AE 1 BD • CF
2
2
A
E
B
1 BD( AE CF ) 2
水平宽a
二次函数动点面积最值分割面积法
题型一：分割面积法
【例1】（2016•自贡）如图，已知抛物线y=ax2+bx-2（a≠0）与x轴交于A、B两 点，与y轴交于C点，直线BD交抛物线于点D，并且D（2，3），tan∠DBA=1/2． （1）求抛物线的解析式； （2）已知点M为抛物线上一动点，且在第三象限，顺次连接点B、M、C、A，求四 边形BMCA面积的最大值；
二次函数动点面积最值分割面积法
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二次函数动点面积最值分割面积法
二次函数动点面积最值分割面积法
考点梳理
Test Points Collating
1．二次函数的表达式
一般式： y＝ax2＋bx＋c(a≠0) 交点式： y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0) 顶点式y＝a(x－h)2＋k(a≠0)
2. 二次函数的应用
二次函数的应用包括两个方法 ①用二次函数表示实际问题变量之间关系． ②用二次函数解决最大化问题(即最值问题)， 用二次函数的性质求解， 同时注意自变量的取值范围．
【解答】解：
（1）设y=a(x+1)(x﹣6)(a≠0)， 把B (5，﹣6)代入a(5+1)(5﹣6)=﹣6，a=1， ∴y=(x+1)(x﹣6)=x2﹣5x﹣6。
（2）如图1，过P向x轴作垂线 交AB与点D，交X轴于M 设P（m，m2﹣5m﹣6），有A （-1，0），B （5，﹣6）， 得YAB=-x-1 则D（m，﹣m﹣1） ∴PD= ﹣m﹣1- （ m2﹣5m﹣6）=-m2 +4m+5
二次函数中的面积最值问题
专题二二次函数中的面积最值问题从近几年的中考数学试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，介绍几种不同的解题方法.学习目标：1.能求二次函数的“关键点”2.能利用几何图形面积之间的数量关系求点的坐标3.能求“直放三角形”、“斜放三角形”的面积重难点：二次函数中动点构成的几何图形的面积问题教学过程：如何算下列各图中阴影部分面积？S△ABC= S△ABD= S四边形ACBD= S△ACD=S△ABC=S△ABD= S△ABD= S四边形ADCB= S△ACD=一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．二、“铅垂高，水平宽”面积法如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．例1.如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．1．（2015•遵义）如图，抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）与x轴交于A（﹣4，0），B（2，0），与y轴交于点C（0，2）．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线AC上方，当以A、C、D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；（3）以AB为直径作⊙M，直线经过点E（﹣1，﹣5），并且与⊙M相切，求该直线的解析式．2．（2015•安顺）如图，抛物线y＝ax2+bx+与直线AB交于点A（﹣1，0），B（4，），点D是抛物线A、B两点间部分上的一个动点（不与点A、B重合），直线CD与y轴平行，交直线AB于点C，连接AD，BD．（1）求抛物线的表达式；（2）设点D的横坐标为m，△ADB的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求出当S 取最大值时的点C的坐标．3．（2018•遵义）在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+x+c的图象经过点C（0，2）和点D（4，﹣2）．点E是直线y＝﹣x+2与二次函数图象在第一象限内的交点．（1）求二次函数的解析式及点E的坐标．（2）如图①，若点M是二次函数图象上的点，且在直线CE的上方，连接MC，OE，ME．求四边形COEM面积的最大值及此时点M的坐标．（3）如图②，经过A、B、C三点的圆交y轴于点F，求点F的坐标．4.如图，抛物线顶点坐标为点C (1,4),交x 轴于点A (3,0)，交y 轴于点B .(1)求抛物线和直线AB 的解析式；(2)点P 是抛物线(在第一象限内)上的一个动点，连结P A ，PB ，当P 点运动到顶点C 时，求△CAB 的铅垂高CD 及CAB S ； (3)是否存在一点P ，使S △P AB =89S △CAB ，若存在，求出P 点的坐标；若不存在，请说明理由.xC Oy ABD 1 1。
第21章 21.4.1 求面积中的最值
11．(绍兴中考)课本中有一个例题： 有一个窗户形状如图 1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框 的材料总长为 6m，如何设计这个窗户，使透光面积最大？ 这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为 0.35m 时，透光面积最大，最 大值约为 1.05m2. 我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图 2， 材料总长仍为 6m，利用图 3，解答下列问题：
为( C )
A．110m2
B．128m2
C．144m2
D．200m2
8．已知等腰三角形的面积 S 与底边 x 有如下关系：S＝－5x2＋10x＋14，要
使 S 有最大值，则 x＝ 1 .
9．在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够 长)，用 28m 长的篱笆围成一个矩形花园 ABCD(篱笆只围 AB、BC 两边)， 设 AB＝xm. (1)若花园的面积为 192m2，求 x 的值； (2)若在 P 处有一棵树与墙 CD、AD 的距离分别是 15m 和 6m，要将这棵树 围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积 S 的最大值．
解：(1)∵AB＝xm，∴BC＝(28－x)m，则 x(28－x)＝192，解得 x1＝12，x2 ＝16； (2)由题意可得出：S＝x(28－x)＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.∵在 P 处有一 棵树与墙 CD、AD 的距离分别是 15m 和 6m，∴x28≥－6x≥15 ，∴6≤x≤13. ∴x＝13 时，S 取到最大值为：S＝－(13－14)2＋196＝195(m2)． 答：花园面积 S 的最大值为 195 平方米．
•9、要学生做的事，教职员躬亲共做；要学生学的知识，教职员躬亲共学；要学生守的规则，教职员躬亲共守。2021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021 •10、阅读一切好书如同和过去最杰出的人谈话。2021/9/12021/9/12021/9/19/1/2021 7:40:39 PM •11、只有让学生不把全部时间都用在学习上，而留下许多自由支配的时间，他才能顺利地学习……（这）是教育过程的逻辑。2021/9/12021/9/12021/9/1Sep-211-Sep-21 •12、要记住，你不仅是教课的教师，也是学生的教育者，生活的导师和道德的引路人。2021/9/12021/9/12021/9/1Wednesday, September 01, 2021
初中数学专题复习-二次函数的实际应用面积最值问题
二次函数的实际应用——面积最大(小)值问题知识要点：在生活实践中，人们经常面对带有“最”字的问题，如在一定的方案中，花费最少、消耗最低、面积最大、产值最高、获利最多等；解数学题时，我们也常常碰到求某个变量的最大值或最小值之类的问题，这就是我们要讨论的最值问题。
求最值的问题的方法归纳起来有以下几点：1．运用配方法求最值；2．构造一元二次方程，在方程有解的条件下，利用判别式求最值；3．建立函数模型求最值；4．利用基本不等式或不等分析法求最值．[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？（2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值范围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S t t t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=Θ[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=2 x x 3442+-= 4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x ∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的范围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小， ∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积．解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ，则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4）易知CN=4-x ，EM=4-y ．过点B 作BH ⊥PN 于点H则有△AFB ∽△BHP∴PHBH BF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ， 此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5，∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大，对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的，故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10] )24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008浙江台州)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米 ．2．(2008庆阳市)兰州市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为 元/平方米．5 m 12 m AB CD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )。
二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法
数学篇纵观近年来各地中考数学试题，一类以二次函数为载体，探讨图形面积的最值问题频频出现.这类试题整合了代数和几何的部分重要知识，并融合了许多数学方法，难度颇高.如何根据题目提供的信息，依据图形的变化特征，抓住解答问题的关键，从而化难为易，正确解题呢？对此，笔者介绍四种常用方法，希望能给同学们攻破难题带来帮助.一、割补法在平面直角坐标系中，当三角形任意一边均不在坐标轴上，或者不与坐标轴平行时，一般采用割补法求解.割补法分为两部分，割是指将图形分解成几部分分别求解；补是指将所求图形填上一部分，然后用补后的图形面积减去所补部分的面积.两种方法的实质都是将二次函数中图形面积的最值问题通过“转化”思想，化为“线段（和）”最值问题，间接地求出图形面积的最值.例1如图1，在平面直角坐标系中，二次函数y ＝x 2+2x -3交x 轴于点A ，B ，在y 轴上有一点E （0，1），连接AE ．（1）求直线AE 的解析式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴下方的一个动点，求△ADE面积的最大值．图1解：（1）∵y =x 2+2x -3=(x +3)(x -1)，∴当y =0时，x 1=-3，x 2=1，∴点A 的坐标为（-3，0），设直线AE 的解析式为y =kx +b ，∵过点A （-3，0），E （0，1），∴ìíî-3k +b =0,b =1,解得：ìíîïïk =13,b =1,∴直线AE 的解析式为y =13x +1；（2）如图1，过点D 作DG ⊥x 轴于点G ，延长DG 交AE 于点F ，设D (m ,m 2+2m -3)，则F (m ,13m +1)，∴DF =-m 2-2m +3+13m +1=-m 2-53m +4，∴S △ADE =S △ADF +S △DEF=12×DF ×AG +12DF ×OG =12×3×DF =32(-m 2-53m +4)=-32(m +56)2+16924，∴当m =-56时，△ADE 的面积取得最大值为16924．二、铅垂法如图2，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a )，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高”(h )．我们可以得出一种计算三角形面积的新方法：即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半.这种方法我们称之为铅垂法.求二次函数中三角形面积的最值，往往可以转化为求铅垂高的最值，当铅垂高取得最大值时，三角形的面积最大.二次函数背景下三角形面积最值问题的几种解法四川绵阳陈霖数苑纵横23数学篇例2已知：如图3，抛物线y＝ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（-2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．（1）求抛物线的解析式；（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？图3解：（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（-2，0），∴设抛物线解析式为y=a(x-6)(x+2)，将点A（0，6）代入，得：-12a=6，解得：a=-12，所以抛物线的解析式为y=-12(x-6)(x+2)=-12x2+2x+6；（2）如图3，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，设直线AB解析式为y=kx+b，将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：ìíîb=6,6k+b=0,解得：ìíîk=-1,b=6,则直线AB的解析式为y=-x+6，设P(t,-12t2+2t+6)，其中0＜t＜6，则N(t,-t+6)，所以PN=PM-MN=-12t2+2t+6-(-t+6)=-12t2+3t，所以S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN⋅AG+12PN⋅BM=12PN(AG+BM)=12PN⋅OB=12×(-12t2+3t)×6=-32(t-3)2+272，所以当t=3，P位于（3，152）时，△PAB三、切线法切线法体现了数学中最为常见的数形结合思想，将三角形的一边作为三角形的底，只要求出高的最大值就可以求出面积的最值．将底边所在的直线平移，与抛物线只有一个交点，即相切时，两直线的距离即高的长度最大，然后将直线与抛物线的解析式联立方程组，求出切点的坐标，此时不用求出三角形面积的解析式就可直接运用三角形的面积公式求出最值．例3如图4，在平面直角坐标系xOy中，直线y=-x-4与x轴，y轴分别交于点A和点B.抛物线y=ax2+bx+c经过A，B两点，且对称轴为直线x=-1，抛物线与x轴的另一交点为点C.（1）求抛物线的函数表达式；（2）设点E是抛物线上一动点，且点E在直线AB下方.当△ABE的面积最大时，求点E的坐标，及△ABE面积的最大值S.图4解：（1）在y=-x-4中分别令x=0，y=0，可得点A（-4，0），B（0，-4），根据A，B坐标及对称轴为直线x=-1，可得方程组ìíîïïïï-b2a=-1,16a-4b+c=0,c=-4,解方程组可得：ìíîïïïïa=12,b=1,c=-4,∴抛物线的函数表达式为y=12x2+x-4；（2）设点E的坐标为(m，12m2数苑纵横数学篇上且距AB 最远，此时E 点所在直线与AB 平行，且与抛物线相切，只有一个交点，设点E 所在直线为l ：y =-x +b ，联立得方程组：ìíîïïy =-x +b ,y =12x 2+x -4,消去y ，得：12x 2+2x -4-b ＝0，据题意得Δ=22-4×12(-4-b )=0，解得b =-6，∴直线l 的解析式为y =-x -6，联立方程，得ìíîïïy =-x -6,y =12x 2+x -4,解得：ìíîx =-2,y =-4,∴点E (-2,-4)，过点E 作y 轴的平行线交直线AB 于H ，此时点N （-2，-2），EN =-2-（-4）=2，∴S △ABE =12EN ×AO =12×2×4=4，△ABE 面积的最大值为4.四、三角函数法对于三角形问题，三角函数的引入可以为求线段长度提供新的解题思路.在直角三角形中，只需要知道一边的长度和除直角外任意一个角的度数，就可以用三角函数式表示出其余的边长或高.然后将三角函数式带入三角形面积公式，求出三角形面积的解析式，利用二次函数的性质即可求得面积最值.例4如图5，已知抛物线y =-x 2+bx +c 经过点A （-1，0），B （3，0）两点，且与y 轴交于点C .（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线交y 轴于点C ，在抛物线上的第一象限上是否存在一点P ，使△PAC 的面积最大？若存在，求出点P 的坐标及△PAC 面积的最大值；若不存在，请说明理由.图5解：（1）把A （-1，0），B （3，0）代入y =-x 2+bx +c ，可得，{-1+b +c =0，-9-3b +c =0，解得{b =-2，c =3，∴抛物线的解析式为：y =-x 2-2x +3.（2）如图5，作PE ⊥x 轴于点E ，交AC 于点F ，作PM ⊥AC 于点M .设直线AC 的解析式为y =mx +n ，把B （-3，0）、C （0，3），代入得{-3m +n =0，n =3，解得{m =1，n =3，故直线BC 的解析式为y =x +3.设点P 的坐标为（x ，-x 2-2x +3）（-3＜x ＜0），则点F 的坐标为（x ，x +3）.由A 、C 坐标可知，AC =32，S ΔPAC =12AC ∙PM=12×32PF ∙sin ∠PFM =]()-x 2-2x +3-()x +3∙sin ∠ACO =32()-x 2-3x =-32æèöøx +322+278,当x =-32时，-x 2-2x +3=154，即P (-32,154).所以存在一点P ，使△PAC 的面积最大，最大值为278，P 点坐标为(-32,154).通过对以上四种方法的分析介绍，相信同学们对二次函数背景下三角形面积的最值问题的解法有了一定的了解.同学们只要掌握好了这四种方法，在二次函数的综合题中，再出现求图形面积的最值问题，就能轻松应对了.数苑纵横25。
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二次函数与图形面积最值
对于一些没有边与坐标轴平行的三角形常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，
一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变
成有利于表示面积的图形（也就是底和高都要是竖直的或者水平的线段）．
问题：如图，△ABC的三个顶点坐标为A（-3，4） ，B（-5，1） ，C（-1，3），求△ABC的面积.
方法一 补形
方法原理：如图，过△ABC的各个顶点分别作出与坐标轴平行的直线，就会发现可以将三角形补成了容
易表示面积的图形.
方法二 分割--“铅垂高，水平宽”面积法
方法原理：如图，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△
ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一
种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝12ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．
例：如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)如图，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P
的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．
练习：
如图，二次函数cbxaxy2的图像与x轴的交点为A、D（A在D的右测）与y轴交点为C，且A（4，
0），C（0，-3），对称轴是直线x=1.
(1)求该抛物线的解析式；
(2)若M为抛物线上的第四象限上一点，且横坐标为m，①当m为何值时，△ACM的面积存在最值？②设
四边形OCMA的面积为S，请写出S与m之间的函数关系式，并求出当m为何值时，四边形OCMA的面
积最大.