任意角和弧度制基础知识
2023年高考数学(理科)一轮复习—— 任意角和弧度制及任意角的三角函数
考点二 弧度制及其应用
例 1 (经典母题)一扇形的圆心角 α＝π3，半径 R＝10 cm，求该扇形的面积. 解 由已知得 α＝π3，R＝10， ∴S 扇形＝21α·R2＝12×π3×102＝503π(cm2).
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迁移 1 (变所求)若本例条件不变，求扇形的弧长及该弧所在弓形的面积.
解 l＝α·R＝π3×10＝103π(cm)，
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常用结论
1.三角函数值在各象限的符号规律：一全正，二正弦，三正切，四余弦. 2.角度制与弧度制可利用180°＝π rad进行互化，在同一个式子中，采用的度量
制必须一致，不可混用. 3.象限角
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4.轴线角
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诊断自测 1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)
(1)小于90°的角是锐角.( ×) (2)锐角是第一象限角，第一象限角也都是锐角.( × ) (3)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关.( √ ) (4)若α为第一象限角，则sin α＋cos α>1.( √ )
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分层训练 巩固提升
FENCENGXUNLIAN GONGGUTISHENG
A级 基础巩固
1.下列与角94π的终边相同的角的表达式中正确的是( C )
解析 (1)锐角的取值范围是0，π2. (2)第一象限角不一定是锐角.
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2.(易错题)时间经过4h(时)，时针转了___－__2_3π__弧度.
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3. 在 － 720° ～ 0° 范 围 内 ， 所 有 与 角 α ＝ 45° 终 边 相 同 的 角 β 构 成 的 集 合 为
_{_－__6__7_5_°__，___－__3_1_5_°___}_.
解析 设 P(x，y)，由题设知 x＝－ 3，y＝m， 所以 r2＝|OP|2＝(－ 3)2＋m2(O 为原点)，即 r＝ 3＋m2，
《任意角》 知识清单
《任意角》知识清单一、角的定义在平面几何中，角通常被定义为从一个点出发的两条射线所组成的图形。
然而，在更广泛的数学领域，为了满足各种实际和理论的需求，我们引入了任意角的概念。
任意角是指一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
其中，旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点。
二、角的度量1、角度制我们熟知的角度制，将一个周角平均分成 360 等份，每一份所对的角的大小叫做 1 度，记作 1°。
角度制的优点是直观易懂，便于日常生活中的使用。
2、弧度制另一种常用的角的度量方式是弧度制。
长度等于半径的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示。
如果弧长为 l，半径为 r，圆心角的弧度数为α，那么α ＝ l ／ r 。
弧度制在数学中的许多计算和公式推导中具有优势，例如在三角函数的研究中。
三、正角、负角和零角按照角的旋转方向，可将角分为正角、负角和零角。
正角：按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线未作旋转时形成的角。
四、象限角在平面直角坐标系中，角的终边落在哪个象限就称这个角是第几象限角。
例如，终边落在第一象限的角就是第一象限角。
需要注意的是，如果角的终边落在坐标轴上，就称这个角不属于任何象限。
五、终边相同的角所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α（k∈Z）。
理解终边相同的角对于解决周期性问题和简化计算非常重要。
六、角的运算1、两角和与差的三角函数例如，sin(α ＋β) ＝sinαcosβ ＋cosαsinβ ，cos(α ＋β) ＝cosαcosβ sinαsinβ 等。
2、倍角公式sin2α ＝2sinαcosα ，cos2α ＝cos²α sin²α 等。
这些公式在求解角的相关问题时经常用到。
七、角的应用1、物理学中的应用在物理学中，角的概念广泛应用于力学、电学等领域。
任意角和弧度制及任意角三角函数
任意角和弧度制及任意角三角函数一.知识梳理1．任意角（1）角的分类：任意角可按旋转方向分为、、．（3）角的度量①角的度量制有：，．②换算关系：1°＝ rad,1 rad＝ ( )°.2．任意角的三角函数三角 函数线 有向线段 为正弦线 有向线段 为余弦线 有向线段 为正切线二.基础自测1．若·18045(Z)k k α︒︒∈＝＋，则α在( ) A ．第一或第三象限 B ．第一或第二象限C ．第二或第四象限D ．第三或第四象限2．已知半径为2，圆心角为45°，那么这个圆心角所对的弧长___ _____．3．与2010°终边相同的最小正角为___ _____，最大负角为___ _____．4．已知点(tan cos )P αα，在第三象限，则角α的终边在第________象限．5．已知角α的终边在直线340x y ＋＝上，求sin cos tan ααα，，的值．三.典型例题【例1】(1) 若α是第二象限角，试分别确定2α，3α所在的象限． (2)写出终边在直线3y x ＝上的角的集合.(3)若角α与67π角的终边相同，求在[0,2)π内终边与3α角的终边相同的角．【例2】(1)扇形OAB 面积是12cm ，周长是4 cm ，求扇形的圆心角和弦AB 的长.(2)扇形的周长为20 cm ，当扇形的圆心角α等于多少弧度时，这个扇形的面积最大？【例3】(1)已知角α的终边上一点坐标为22(sin ,cos )33ππ，角α的最小正值为（ ） A. 56π B. 23π C. 53π D. 116π (2)若一个角α的终边上有一点(4)P a －，，且sin cos αα⋅＝34，则a 的值可能为 ( )A ．4 3B ．±4 3C ．－43或－433 D. 3【例4】(1) 若α是第二象限角，试比较sincos tan 222ααα，，的大小 (2)若02πα<<，试比较sin tan ααα、、的大小；四.巩固练习 1．点P 从点(0,1)开始沿单位圆221x y ＋＝顺时针第一次运动到点⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22时转过的角 的弧度数是________． 2．函数sin tan cos sin cos tan x x x y x x x=++的值域为________． 3.已知(0)απ∈，，且()sin cos 01m m αα<<＋＝，试判断式子sin cos αα－的符号．4．若02παβ<<<，试比较sin ββ－与sin αα－的大小．5.在平面直角坐标系xoy 中，21(cos)2P θ，在角α的终边上，2(sin 1)Q θ，－在角β的终边上，且12OP OQ ⋅=-,(1)求cos2θ的值；(2)求sin()αβ+的值．。
任意角和弧度制PPT课件
与x轴正方向形成的角称为轴线角 ，其大小为正负90°。
Part
02
弧度制的基本概念
弧度的定义
弧度的定义
弧度是度量角的一种方式，它是以长度来度量圆弧所对应的中心角的大小。在 圆中，长度等于半径的圆弧所对应的中心角叫做1弧度的角。
弧度的符号
用rad表示弧度，例如，1弧度可以表示为1rad。
弧度与角度的换算
任意角和弧度制ppt 课件
• 任意角的概念 • 弧度制的基本概念 • 任意角的三角函数 • 弧度制下的三角函数 • 任意角和弧度制的实际应用
目录
Part
01
任意角的概念
定义与性质
定义
任意角是平面内一条射线绕着端点从 一个位置旋转到另一个位置所形成的 角。
性质
任意角具有方向性，其正方向由旋转 方向确定；旋转量大于0°小于360°的 角称为正角，旋转量大于360°的角称 为负角。
正弦函数、余弦函数、正 切函数都具有周期性，其 周期为2π弧度。
奇偶性
正弦函数和正切函数是奇 函数，余弦函数是偶函数 。
图像
正弦函数、余弦函数、正 切函数的图像分别呈正弦 波、余弦波和直线形状， 且均在单位圆上表示。
弧度制下三角函数的应用
三角恒等式
利用三角函数的性质，可以推导 出许多三角恒等式，如sin^2(x)
电磁学中的交流电
在电磁学中，交流电的相位角可以用任意角和弧度制来表示，帮助 理解交流电的特性和规律。
振动和波动
在振动和波动的研究中，任意角和弧度制可以用来描述振动相位、 波传播方向等。
在几何学中的应用
平面几何和立体几何
任意角和弧度制可以用来描述平面几何和立体几何中的角度 和旋转，例如旋转矩阵、极坐标等。
高考数学复习：任意角和弧度制及任意角的三角函数
当m=- 5 时,r=2 2,点P的坐标为 （ 3, 5）,
所以cos x 3 6 ，tan y 5 15 ,
r 22 4
x 3 3
综上可知,cos θ=- ,t6an θ=- 或c1o5 s θ=- , 6
2
2.若圆弧长度等于圆内接正方形的边长,则该圆弧所对
圆心角的弧度数为 ( )
A.
B.
C. 2
D. 2
4
2
2
【解析】选D.设圆的直径为2r,则圆内接正方形的边长 为 2r, 因为圆的圆弧长度等于该圆内接正方形的边长, 所以圆弧的长度为 2r, 所以圆心角弧度为 2r 2.
r
考点三 任意角三角函数的定义及应用 【明考点·知考法】
【典例】函数y= sin x 3 的定义域为________.
2
世纪金榜导学号
【解析】由题意可得sin x- ≥30,即sin x≥ .作 3
2
2
直线y= 3交单位圆于A,B两点,连接OA,OB,则OA与OB围
2
成的区域(图中阴影部分含边界)即为角x的终边的范围,
故满足条件的角x的集合为
{x|2k x 2k 2 , k Z}.
2
答案:6π
题组二:走进教材
1.(必修4P5T4改编)下列与 9 的终边相同的角的表达
4
式中正确的是 ( )
A.2kπ+45°(k∈Z) C.k·360°-315°(k∈Z)
B.k·360°+ 9 π(k∈Z)
4
D.kπ+ 5 (k∈Z)
4
【解析】选C.由定义知终边相同的角的表达式中不能
同时出现角度和弧度,应为 +2kπ或k·360°+45°
《任意角》 知识清单
《任意角》知识清单一、角的定义角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
旋转开始时的射线叫做角的始边，旋转终止时的射线叫做角的终边，端点叫做角的顶点。
二、角的分类1、正角：按逆时针方向旋转形成的角。
2、负角：按顺时针方向旋转形成的角。
3、零角：射线没有作任何旋转，形成的角为零角。
三、象限角在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
例如，30°角的终边在第一象限，所以 30°是第一象限角；－120°角的终边在第三象限，所以-120°是第三象限角。
四、终边相同的角所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z 。
例如，与 30°终边相同的角可以表示为：30°＋ k·360°，k∈Z 。
理解终边相同的角的概念时，要注意以下几点：1、 k 是整数。
2、终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同。
3、终边相同的角有无数多个，它们相差 360°的整数倍。
五、角的度量1、角度制把圆周 360 等分，每一份所对的圆心角的大小是 1 度，记作 1°。
1 度＝ 60 分，1 分＝ 60 秒。
2、弧度制长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示。
弧度与角度的换算公式：180°＝π rad ，1°＝π/180 rad ，1 rad ＝（180/π）°在弧度制下，弧长公式为：l ＝｜α|r （其中α为圆心角的弧度数，r 为半径）扇形面积公式为：S ＝ 1/2 lr ＝ 1/2 ｜α|r²六、任意角的三角函数设角α的终边上任意一点 P 的坐标为（x，y），它与原点的距离为r（r ＝√（x²＋ y²) ），则角α的正弦、余弦、正切分别为：正弦：sinα ＝ y/r余弦：cosα ＝ x/r正切：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）七、三角函数值在各象限的符号正弦函数：在第一、二象限为正，在第三、四象限为负。
任意角和弧度制和诱导公式
公式四：
角度制表示如下：用弧度制可表示如下：
公式五：
角度制表示如下：用弧度制可表示如下：
sin(90) = cos, sin( ) = cos,
cos(90) = sin. cos( ) = sin.
公式六：
角度制表示如下：用弧度制可表示如下：
sin(90+) = cos, sin( +) = cos,
五、弧度制
1．定义：长度1.长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。它的单位是rad。读作弧度；这种用“弧度”做单位来度量角的制度叫做弧度制。
如下图，依次是1rad，2rad，3rad，αrad
探究：
(1)平角、周角的弧度数，（平角=rad、周角=2rad）
(2)正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0
, ， ，
则A、B、C的关系是。
5．角 终边落在第二、四象限的角的平分线上，则角 的集合是。
6．角 ， 的终边关于原点对称，则 ， 满足关系。
7．角 ， 的终边关于 轴对称，则 ， 满足关系。
三、解答题
8．当12点过15分的时候，时钟长短针的夹角是多少度？
9．已知 ， 角的7倍角的终边和 角的终边重合，试求这个角 。
角度
0°
30°
45°
60°
90°
120°
135°
150°
180°
弧度
π
角度
240°
270°
300°
315°
弧度
7π/6
5π/4
4π/3
7π/4
11π/6
2π
二．选择题。
1．设 ，如果 且 ，则 的取值范围是（）
弧度制与任意角知识梳理
第四章三角函数(基本初等函数(Ⅱ)) §4.1弧度制及任意角的三角函数1．了解任意角的概念．2．了解弧度制的概念，能进行弧度与角度的互化．3．理解任意角三角函数(正弦、余弦、正切)的定义．本节内容是整个三角函数部分的基础，主要考查三角函数的概念，三角函数值在各象限的符号，利用三角函数线比较三角函数值的大小等，一般不单独设题，主要是与三角函数相关的知识相结合来考查．1．任意角(1)角的概念角可以看成平面内一条____________绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．我们规定：按____________方向旋转形成的角叫做正角，按____________方向旋转形成的角叫做负角．如果一条射线没有作任何旋转，我们称它形成了一个____________．(2)象限角使角的顶点与____________重合，角的始边与x轴的____________重合．角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角．①α是第一象限角可表示为⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π<α<2k π＋π2，k ∈Z ；②α是第二象限角可表示为 ；③α是第三象限角可表示为 ； ④α是第四象限角可表示为 ． (3)非象限角如果角的终边在 上，就认为这个角不属于任何一个象限． ①终边在x 轴非负半轴上的角的集合可记作{α|α＝2k π，k ∈Z }； ②终边在x 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ③终边在y 轴非负半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ④终边在y 轴非正半轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑤终边在x 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑥终边在y 轴上的角的集合可记作_________________________________________； ⑦终边在坐标轴上的角的集合可记作_________________________________________； (4)终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S ＝________________________.2．弧度制(1)把长度等于____________的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad 表示，读作弧度．||α＝ ，l 是半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长．(2)弧度与角度的换算：360°＝________rad ，180°＝________rad ，1°＝ rad≈0.01745rad ，反过来1rad ＝ ≈57.30°＝57°18′.(3)若圆心角α用弧度制表示，则弧长公式l ＝_______；扇形面积公式S 扇＝ ＝ ．3．任意角的三角函数(1)任意角的三角函数的定义设α是一个任意角，它的终边上任意一点P (x ，y )与原点的距离为r (r >0)，则sin α＝ ，cos α＝ ，tan α＝ (x ≠0)．※cot α＝x y (y ≠0)，sec α＝r x (x ≠0)，csc α＝ry (y ≠0)．(2)(3)三角函数值在各象限的符号sinαcosαtanα4．三角函数线如图，角α的终边与单位圆交于点P.过点P作x轴的垂线，垂足为M，过点A(1，0)作单位圆的切线，设它与α的终边(当α为第一、四象限角时)或其反向延长线(当α为第二、三象限角时)相交于点T.根据三角函数的定义，有OM＝x＝________，MP＝y＝________，AT＝＝________.像OM，MP，AT这种被看作带有方向的线段，叫做有向线段，这三条与单位圆有关的有向线段MP，OM，AT，分别叫做角α的、、，统称为三角函数线．※sin15°＝6－24，sin75°＝6＋24，tan15°＝2－3，tan75°＝2＋3，由余角公式易求15°，75°的余弦值和余切值．【自查自纠】1．(1)射线 逆时针 顺时针 零角 (2)原点 非负半轴②⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π2<α<2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋π<α<2k π＋32π，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|2k π＋32π<α<2k π＋2π，k ∈Z 或{α|2k π－π2<α<2k π，k ∈Z }(3)坐标轴②{}α|α＝2k π＋π，k ∈Z③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋π2，k ∈Z④⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝2k π＋32π，k ∈Z ⑤{α|α＝k π，k ∈Z }⑥⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π＋π2，k ∈Z ⑦⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α＝k π2，k ∈Z(4){β|β＝α＋2k π，k ∈Z }或{β|β＝α＋k ·360°，k ∈Z } 2．(1)半径长 l r (2)2π π π180 ⎝⎛⎭⎫180π°(3)||αr12||αr 2 12lr 3．(1)y r x r yx(2)①R ②R ③⎩⎨⎧⎭⎬⎫α|α≠k π＋π2，k ∈Z4．cos α sin α yx tan α 正弦线 余弦线正切线 5.与－463°终边相同的角的集合是()α|α＝k·360°＋463°，k∈ZA.{}α|α＝k·360°＋103°，k∈ZB.{}α|α＝k·360°＋257°，k∈ZC.{}α|α＝k·360°－257°，k∈ZD.{}解：显然当k＝－2时，k·360°＋257°＝－463°.故选C.给出下列命题：①小于π2的角是锐角；②第二象限角是钝角；③终边相同的角相等；④若α与β有相同的终边，则必有α－β＝2k π(k ∈Z )．其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：①锐角的取值范围是⎝⎛⎭⎫0，π2，故不正确；②钝角的取值范围是⎝⎛⎭⎫π2，π，而第二象限角为⎝⎛⎭⎫2k π＋π2，2k π＋π，k ∈Z ，故不正确；③若α＝β＋2k π，k ∈Z ，α与β的终边相同，但当k ≠0时，α≠β，故不正确；④正确．故选B .若cos α＝－32，且角α的终边经过点P (x ，2)，则P 点的横坐标x 是( )A ．2 3B ．±2 3C ．－2 2D ．－2 3解：由cos α＝x x 2＋4＝－32，解得x ＝－2 3.故选D . 若点P ()x ，y 是30°角终边上异于原点的一点，则yx的值为________．解：y x ＝tan30°＝33.故填33.半径为R 的圆的一段弧长等于23R ，则这段弧所对的圆心角的弧度数是____________．解：圆心角的弧度数α＝23R R ＝2 3.故填23.类型一 角的概念若α是第二象限角，试分别确定2α，α2，α3的终边所在位置． 解：∵α是第二象限角，∴90°＋k ·360°＜α＜180°＋k ·360°(k ∈Z )． (1)∵180°＋2k ·360°＜2α＜360°＋2k ·360°(k ∈Z )， 故2α的终边在第三或第四象限或y 轴的负半轴上． (2)∵45°＋k ·180°＜α2＜90°＋k ·180°(k ∈Z )，当k ＝2n (n ∈Z )时，45°＋n ·360°＜α2＜90°＋n ·360°，当k ＝2n ＋1(n ∈Z )时，225°＋n ·360°＜α2＜270°＋n ·360°.∴α2的终边在第一或第三象限． (3)∵30°＋k ·120°＜α3＜60°＋k ·120°(k ∈Z )，当k ＝3n (n ∈Z )时，30°＋n ·360°＜α3＜60°＋n ·360°，当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，150°＋n ·360°＜α3＜180°＋n ·360°，当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，270°＋n ·360°＜α3＜300°＋n ·360°.∴α3的终边在第一或第二或第四象限． 【评析】关于一个角的倍角、半角所在象限的讨论，有些书上列有现成的结论表格，记忆较难．解此类题一般步骤为先写出α的范围→求出2α，α2，α3的范围→分类讨论求出2α，α2，α3终边所在位置． 已知角2α的终边在x 轴的上方(不与x 轴重合)，求α的终边所在的象限．解：依题意有2k π＜2α＜2k π＋π(k ∈Z )， ∴k π＜α＜k π＋π2(k ∈Z )．当k ＝0时，0＜α＜π2，此时α是第一象限角；当k ＝1时，π＜α＜32π，此时α是第三象限角．综上，对任意k ∈Z ，α为第一或第三象限角． 故α的终边在第一或第三象限．类型二 扇形的弧长与面积问题如图所示，已知扇形AOB 的圆心角∠AOB ＝120°，半径R ＝6，求：(1)AB ︵的长；(2)弓形ACB 的面积．解：(1)∵∠AOB ＝120°＝2π3，R ＝6，∴l AB ⌒＝2π3×6＝4π.(2)S 弓形ACB ＝S 扇形OAB －S △OAB ＝12l AB ⌒R －12R 2sin ∠AOB ＝12×4π×6－12×62×32＝12π－9 3. 【评析】①直接用公式l ＝|α|R 可求弧长，利用S 弓＝S 扇－S △可求弓形面积．②关于扇形的弧长公式和面积公式有角度制与弧度制这两种形式，其中弧度制不仅形式易记，而且好用，在使用时要注意把角度都换成弧度，使度量单位一致．③弧长、面积是实际应用中经常遇到的两个量，应切实掌握好其公式并能熟练运用．扇形AOB 的周长为8 cm.若这个扇形的面积为3 cm 2，求圆心角的大小．解：设扇形半径为r ，则弧长为8－2r ， ∴S ＝12·(8－2r )·r ＝3，∴r ＝1，或r ＝3.∴圆心角θ＝弧长半径＝8－2r r ＝6或23.类型三 三角函数的定义已知角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，求sin α，cos α，tan α的值．解：因为角α的终边经过点P (a ，2a )(a ＞0)，所以r ＝5a ，x ＝a ，y ＝2a . sin α＝y r ＝2a 5a ＝255，cos α＝x r ＝a 5a ＝55，tan α＝y x ＝2a a＝2.【评析】若题目中涉及角α终边上一点P 的相关性质或条件，往往考虑利用三角函数的定义求解．已知角α的终边经过点P (3m －9，m＋2)．(1)若m ＝2，求5sin α＋3tan α的值；(2)若cos α≤0且sin α＞0，求实数m 的取值范围． 解：(1)∵m ＝2，∴P (－3，4)，∴x ＝－3，y ＝4，r ＝5. ∴sin α＝y r ＝45，tan α＝y x ＝－43.∴5sin α＋3tan α＝5×45＋3×⎝⎛⎭⎫－43＝0. (2)∵cos α≤0且sin α＞0，∴⎩⎪⎨⎪⎧3m －9≤0，m ＋2＞0.∴－2＜m ≤3.类型四三角函数线的应用用单位圆证明角α的正弦绝对值与余弦绝对值之和不小于1，即已知0≤α＜2π，求证：|sinα|＋|cosα|≥1.证明：作平面直角坐标系xOy和单位圆．(1)当角α的终边落在坐标轴上时，不妨设为Ox轴，设它交单位圆于A点，如图1，显然sinα＝0，cosα＝OA＝1，所以|sinα|＋|cosα|＝1.图1图2(2)当角α的终边不在坐标轴上时，不妨设为OP，设它交单位圆于A点，过A作AB⊥x轴于B ，如图2，则sin α＝BA ，cos α＝OB .在△OAB 中，|BA |＋|OB |＞|OA |＝1， 所以|sin α|＋|cos α|＞1. 综上所述，|sin α|＋|cos α|≥1.【评析】三角函数线是任意角的三角函数的几何表示，利用单位圆中的三角函数线可以直观地表示三角函数值的符号及大小，并能从任意角的旋转过程中表示三角函数值的变化规律．在求三角函数的定义域、解三角不等式、证明三角不等式等方面，三角函数线具有独特的简便性．求证：当α∈⎝⎛⎭⎫0，π2时，sin α<α<tan α. 证明：如图所示，设角α的终边与单位圆相交于点P ，单位圆与x 轴正半轴的交点为A ，过点A 作圆的切线交OP 的延长线于T ，过P 作PM ⊥OA 于M ，连接AP ，则在Rt △POM 中，sin α＝MP ，在Rt △AOT中，tan α＝AT ，又根据弧度制的定义，有AP ︵＝α·OP ＝α，易知S △P O A <S 扇形P O A <S △A O T ，即12OA ·MP < 12AP ︵·OA <12OA ·AT ，即sin α<α<tan α.1．将角的概念推广后，要注意锐角与第一象限角的区别，锐角的集合为{α|0°<α<90°}，第一象限角的集合为{α|k ·360°<α<k ·360°＋90°，k ∈Z }，显然锐角的集合仅是第一象限角的集合的一个真子集，即锐角是第一象限角，但第一象限角不一定是锐角．2．角度制与弧度制可利用180°＝π rad 进行换算，在同一个式子中，采用的度量制必须一致，不可混用．如α＝2k π＋30°(k ∈Z )，β＝k ·360°＋π2(k ∈Z )的写法都是不正确的．3．一般情况下，在弧度制下计算扇形的弧长和面积比在角度制下计算更方便、简捷． 4．已知角的终边上一点的坐标可利用三角函数的定义求三角函数值，但要注意对可能情况的讨论．5．牢记各象限三角函数值的符号，在计算或化简三角函数关系时，要注意对角的范围以及三角函数值的正负进行讨论．6．2k π＋α表示与α终边相同的角，其大小为α与π的偶数倍(而不是整数倍)的和，是π的整数倍时，要分类讨论．如：(1)sin(2k π＋α)＝sin α；(2)sin(k π＋α)＝⎩⎪⎨⎪⎧sin α（k 为偶数），－sin α（k 为奇数）＝(－1)k sin α.7．在解简单的三角不等式时，利用单位圆及三角函数线是一个小技巧．。
第一节 任意角、弧度制、任意角的三角函数(知识梳理)
第一节任意角、弧度制、任意角的三角函数复习目标学法指导1.任意角(1)任意角的概念.(2)终边相同的角的表示.(3)象限角的概念.2.弧度制(1)弧度制的概念. (2)弧度与角度的换算.(3)圆弧长公式.能用集合和数学符号表示终边满足一定条件的1.理解任意角的概念,要注意终边相同角的表示方法.2.理解弧度制,把握好角度与弧度转换的依据:πrad=180°;要熟练掌握特殊角的度数与弧度数之间的对应;扇形的面积公式和弧长公式体现了扇形的圆心角、弧长、半径、面积之间的关系,在解决有关问题时,要注意函数与方程思想的应用.单的三角函数问题.一、角的有关概念1.角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形.2.⎧⎧⎪⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎨⎪⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩⎩正角：按逆方向旋而成的角按旋方向不同分角：按方向旋而成的角零角：射有旋角的分象限角：角的在第几象限，按位置不同分角就是第几象限角角：角的落在坐上时针转转类负顺时针转线没转类终边这个终边类轴线终边标轴3.所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k ∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}.1.概念理解(1)角的取值范围是任意大小的正角、负角和零角.(2)注意易混概念的区别:第一象限角、锐角、小于90°的角,是概念不同的三类角.第一类是象限角,第二类、第三类是区间角,其次,“小于90°的角”不等同于“锐角”,“锐角”不等同于“第一象限角”,锐角为{α|0°<α<90°},第一象限角为{α|k·360°<α<k·360°+90°,k∈Z},小于90°的角包括锐角、负角、零角.2.与终边相同角的表示相关的结论(1)相等的角终边一定相同,但终边相同的角却不一定相等,终边相同的角有无数个,它们之间相差360°的整数倍.(2)终边在一条直线上的角之间相差180°的整数倍;终边在互相垂直的两条直线上的角之间相差90°的整数倍. (3)角的集合表示形式不是唯一的. 二、弧度制 1.定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad. 2.公式角α的弧度数公式 |α|=1r(弧长用l 表示) 角度与弧度的换算①1°=π180 rad;②1 rad=180()π° 弧长公式 弧长l=|α|r扇形面积公式 面积S=12l ·r=12|α|·r 2 3.规定正角的弧度数是一个正数,负角的弧度数是一个负数,零角的弧度数是0.1.概念理解(1)用弧度数表示的角与弧长、半径的大小无关,而是取决于两者的比值.(2)扇形的面积公式S=12l ·r 可类比三角形的面积公式(底边长与对应高的乘积的一半)来记忆.2.与度量制相关的知识在同一个式子中角度制和弧度制不能混用.如与π终边相同的角,不3,k∈Z}能表示为{α|α=2kπ+60°,k∈Z},应表示为{α|α=2kπ+π3或{α|α=k·360°+60°,k∈Z}.三、任意角的三角函数1.定义设角α终边与单位圆交于P(x,y),则sin α=y,cos α=x,tan α(x≠0).=yx2.三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正,二正弦,三正切,四余弦.3.几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示.正弦线的起点都在x轴上,余弦线的起点都是原点,正切线的起点都是(1,0).如图中有向线段MP,OM,AT分别叫做角α的正弦线、余弦线、正切线.与三角函数定义的应用求值相关的结论(1)已知角α终边上一点P 的坐标,则可先求出点P 到原点的距离r,然后用三角函数的定义求解.(2)已知角α的终边所在的直线方程,则可先设出终边上一点的坐标,求出此点到原点的距离,然后用三角函数的定义来求相关问题.若所给的终边是射线,三角函数值只有一种情况;若所给的终边是直线,注意要讨论两种情况,避免漏解.若直线的倾斜角为特殊角,也可直接写出角α的三角函数值.(3)若角α终边上的点的坐标中含有参数,要讨论参数的各种情况,以确定角α终边所在的象限,进一步正确得出各个三角函数值.1.点P 从(1,0)出发,沿单位圆逆时针方向运动2π3弧长到达Q 点,则点Q 的坐标为( A ) (A)(-1233,-12) (C)(-123) 3,12) 解析:由三角函数定义可知点Q 的坐标(x,y)满足x=cos 2π3=-12,y=sin 2π3=3.故选A.2.若3π2<α<2π,则直线cos x α+sin yα=1必不经过( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解析:判断cos α>0,sin α<0,数形结合可知选B. 3.若α是第二象限的角,则下列结论一定成立的是( C )(A)sin 2α>0 (B)cos 2α>0(C)tan 2α>0 (D)sin 2αcos 2α<0 解析:因为π2+2k π<α<π+2k π,k ∈Z,所以π4+k π<2α<π2+k π,k ∈Z. 当k 为偶数时,2α是第一象限角; 当k 为奇数时,2α是第三象限角. 即tan 2α>0一定成立,故选C. 4.如图所示,质点P 在半径为2的圆周上逆时针运动,其初始位置为P 0(2,-2),角速度为1,那么点P 到x 轴的距离d 关于时间t 的函数图象大致为( C )解析:因为P 0(2,-2),所以∠P 0Ox=-π4.按逆时针运动时间t 后,得∠POP 0=t,∠POx=t-π4. 由三角函数定义,知点P 的纵坐标为2sin(t-π4), 因此d=2|sin(t-π4)|. 令t=0,则d=2|sin(-π4)|=2,当t=π4时,d=0,故选C.考点一 象限角及终边相同的角[例1] (1)设集合M=|18045,Z 2k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭,N=|18045,Z 4k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭,则两集合的关系为( ) (A)M=N (B)M N (C)N M (D)M ∩N=∅(2)已知角α的终边落在阴影所表示的范围内(包括边界),则角α的集合为 ;(3)已知角α是第一象限角,则2α,2α的终边分别在 . 解析: (1)由于M=|18045,Z 2k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭={…,-45°,45°,135°,225°,…}, N=|18045,Z 4k x x k ⎧⎫=⋅︒+︒∈⎨⎬⎩⎭={…,-45°,0°,45°,90°,135°,180°,225°,…},显然有M N. 故选B.(2)在0°～360°范围内,终边落在阴影内的角为90°≤α≤135°或270°≤α≤315°.所以终边落在阴影所表示的范围内的角α的集合为{α|90°+k ·360°≤α≤135°+k ·360°,k ∈Z}∪{α|270°+k ·360°≤α≤315°+k ·360°,k ∈Z} ={α|90°+2k ·180°≤α≤135°+2k ·180°,k ∈Z}∪ {α|90°+(2k+1)·180°≤α≤135°+(2k+1)·180°,k ∈Z}={α|90°+n ·180°≤α≤135°+n ·180°,n ∈Z}. (3)因为2k π<α<2k π+π4,k ∈Z,所以4k π<2α<4k π+π,k ∈Z,k π<2α<k π+π4,k ∈Z. 所以2α的终边在第一或第二象限或y 轴非负半轴上,2α的终边在第一或第三象限. 答案:(1)B(2){α|90°+n ·180°≤α≤135°+n ·180°,n ∈Z} (3)第一或第二象限或y 轴非负半轴上,第一或第三象限(1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合,然后通过对集合中的参数k 赋值来求得所需角.(2)利用终边相同的角的集合S={β|β=2k π+α,k ∈Z}判断一个角β所在的象限时,只需把这个角写成[0,2π)范围内的一个角α与2π的整数倍的和,然后判断角α所在的象限. (3)角α与2α所在象限的关系:如图所示,若α为第一象限角,则2α为第一、三象限角,其终边所在位置即图中Ⅰ区域.1.已知点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角θ的终边所在的象限是( B ) (A)第一象限 (B)第二象限 (C)第三象限 (D)第四象限解析:因为点P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限, 所以sin θcos θ<0,2cos θ<0,即sin >0,cos <0,θθ⎧⎨⎩ 所以θ为第二象限角, 故选B.2.(2019·浙南联盟考)若α是第三象限角,则y=sin2sin2α+cos2cos2α的值为( A ) (A)0 (B)2 (C)-2 (D)2或-2解析:由于α是第三象限角,所以2α是第二或第四象限角, 当2α是第二象限角时, y=sin 2sin2αα+cos 2cos2αα-=1-1=0;当2α是第四象限角时,y=sin 2sin2αα-+cos 2cos2αα=-1+1=0.故选A.考点二 扇形的弧长、面积公式[例2] 已知一扇形的圆心角为α(α>0),所在圆的半径为R. (1)若α=60°,R=10 cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形的面积;(2)若扇形的周长是一定值C,当α为多少弧度时,该扇形有最大面积? 解:(1)设弧长为l,弓形面积为S 弓,则α=60°=π3rad,R=10 cm,l=π3×10=10π3(cm), S 弓=S 扇-S 三角形=12×10π3×10-12×102×sin π3=503π-503=50(π3-3)(cm 2).(2)扇形周长C=2R+l=2R+αR,所以R=2C α+, 所以S 扇=12α·R 2=12α·(2C α+)2 =22C α·2144αα++ =22C ·144αα++≤216C .当且仅当α2=4,即α=2 rad 时,扇形面积有最大值216C .(1)利用扇形的弧长和面积公式解题时,要注意角的单位必须是弧度.(2)求扇形面积最大值的问题时,常转化为二次函数的最值问题,利用配方法使问题得到解决.(3)在解决弧长问题和扇形面积问题时,要合理地利用圆心角所在的三角形.若扇形的圆心角是α=120°,弦长AB=12 cm,则弧长l 等于( B ) 43π83 cm 3 cm3 cm解析:设扇形的半径为r cm,如图.由sin 60°=6r,得3,所以l=|α|·r=2π3×383(cm).故选B.考点三三角函数的定义的应用[例3] 已知角α的终边上一点3≠0),且sin α2m,求cos α,tan α的值.解:由题设知3所以r2=|OP|232+m2(O为原点),23m+.所以sin α=mr 2m22所以23m+2即3+m2=8,解得m=5当5235所以cos α322-6,tan α15当5235所以cos α322-6,tan α=15.利用三角函数的定义求一个角的三角函数值,需确定三个量:角的终边上任意一个异于原点的点的横坐标x,纵坐标y,该点到原点的距离r.若题目中已知角的终边在一条直线上,此时注意“在终边上任取一点”应分为两种情况(点所在象限不同)进行分析.1.已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的正半轴重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ等于( B )(A)-45(B)-35(C)35(D)45解析:取终边上一点(a,2a)(a≠0),根据任意角的三角函数定义,可得cos θ=5,故cos 2θ=2cos2θ-1=-35.故选B.2.已知角θ的顶点为坐标原点,始边为x轴正半轴,若P(4,y)是角θ终边上一点,且sin θ25,则y= .解析224y+,216y+25可知y<0,解得y=-8.答案:-8考点四易错辨析[例4]如图所示,已知l1⊥l2,圆心在l1上、半径为1 m的圆O在t=0时与l2相切于点A,圆O沿l1以1 m/s的速度匀速向上移动,圆被直线l2所截上方圆弧长记为x,令y=cos x,则y与时间t(0≤t≤1,单位:s)的函数y=f(t)的图象大致为( )解析:圆半径为1,设弧长x所对的圆心角为α,则α=x,如图所示, α=1-t,cos2x=1-t,即cos2x-1=2(1-t)2-1则y=cos x=2cos22=2(t-1)2-1(0≤t≤1).其图象为以t=1为对称轴、开口向上、在[0,1]上的一段抛物线.故选B.(1)不理解题意,运动变化的观念淡薄.近年来高考注重了由“静态数学”向“动态数学”的引导,一般以简单几何图形的平移、滑动、滚动等形式,运用三角知识考查分析问题、解决问题的能力.α=1-t.三角定义掌握与应用不熟练.(2)没有抓住不变量:α=x,cos2(3)求解二次函数图象时易忽略t的范围.如图,设点A是单位圆上的一定点,动点P从A出发在圆上按逆时针方向转一周,点P所旋转过的弧的长为l,弦AP的长为d,则函数d=f(l)的图象大致为( C )解析:如图,取AP的中点为D,连接OD.设∠DOA=θ,则d=2sin θ,l=2θ,l.故选C.故d=2sin2。
《任意角》 知识清单
《任意角》知识清单一、角的定义角可以看作是平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形。
射线的端点称为角的顶点，射线旋转的开始位置和终止位置分别称为角的始边和终边。
二、角的分类1、正角、负角和零角按照角的旋转方向，可将角分为正角、负角和零角。
正角：按逆时针方向旋转形成的角。
负角：按顺时针方向旋转形成的角。
零角：射线没有旋转时形成的角，其度数为 0°。
2、象限角在平面直角坐标系中，使角的顶点与原点重合，角的始边与 x 轴的非负半轴重合。
那么，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角。
如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限。
三、终边相同的角所有与角α终边相同的角（包括角α在内），均可表示为：k·360°＋α，k∈Z。
例如，与 30°角终边相同的角可以表示为：360°k ＋ 30°，k∈Z。
四、弧度制1、弧度的定义长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角，用符号 rad 表示。
2、弧度与角度的换算180°＝π rad，1°＝π/180 rad，1 rad ＝（180/π)°3、扇形的弧长公式和面积公式弧长公式：l ＝｜α|r （其中α为圆心角的弧度数，r 为半径）面积公式：S ＝ 1/2 lr ＝ 1/2 ｜α|r²五、任意角的三角函数1、定义设角α终边上任意一点 P 的坐标为（x, y)，它与原点的距离为 r （r ＝√（x²＋ y²) ＞ 0)，则角α的正弦、余弦、正切分别为：正弦：sinα ＝ y/r余弦：cosα ＝ x/r正切：tanα ＝ y/x （x ≠ 0）2、三角函数值在各象限的符号正弦函数：一、二象限为正，三、四象限为负。
余弦函数：一、四象限为正，二、三象限为负。
正切函数：一、三象限为正，二、四象限为负。
3、诱导公式诱导公式可以将任意角的三角函数转化为锐角的三角函数。
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1.1任意角和弧度制
1.1.1 任意角
1. 角的概念的推广
(1)任意角的形成：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．射线的端点叫作 ，旋转开始时的射线叫作 ，终止时的射线叫作 ．
(2)角的分类：按逆时针方向旋转形成的角叫作 ，按顺时针方向旋转形成的角叫作 ，当射线没有作任何旋转时形成的角叫作 ．
(3)当角的始边相同时，若角相等，则 相同；但终边相同时，角 相等． 2. 象限角
角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边落在第几象限，就把这个角称为第几象限角，各象限角的集合依次是：(用弧度制表示)
第一象限角： ； 第二象限角： ； 第三象限角： ； 第四象限角： ．
例如，︒
640是第 象限角；︒
-170是第 象限角．
3. 角的终边在坐标轴上的角(轴线角) 角的顶点与坐标原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，角的终边在坐标轴上的角的表示：(用弧度制表示)
终边在x 轴的非负半轴上的角的集合是： ； 终边在x 轴的非正半轴上的角的集合是： ； 终边在x 轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴的非负半轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴的非正半轴上的角的集合是： ； 终边在y 轴上的角的集合是： ． 4. 终边相同的角
所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可以用式子Z k k ∈⋅+︒
，360α来表示，它们互称终边相同的角．与角α终边相同的角的集合可以记为： ．
例如，与︒-45终边相同的角的集合为 ，并写出︒
︒-360~360之间的角 ． 5. 判断
n
α
所在象限的问题 例，若α是第四象限角，则
2
α
的终边所在的象限为 ． 1.1.2 弧度制
6. 1弧度的角
把长度等于 长的弧所对的 叫作 ，符号表示为
．用弧度作为单位来度量角的单位制叫作 ．
一般地，正角的弧度数是一个 ，负角的弧度数是一个 ，零角的弧度数是 ．
7. 弧度数的绝对值公式
如果半径为r 的圆的圆心角α所对弧的长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值是 .
8. 角度数与弧度数的换算 =︒
180 rad
=︒
1 rad ≈ rad
=r a d 1 ︒
≈ ︒
= 9. 特殊的角的度数与弧度数的对应表： 度 ︒0
︒
30 ︒
45
︒
90 ︒
120
︒
150
︒210
︒225 ︒
240
︒
360 弧度
3π
4
3π
π
2
3π
10. 扇形的弧长公式和面积公式
(1)在角度制中，扇形的半径为R ，圆心角为︒
n 的扇形的弧长公式和面积公式分别是
=l ，=S ．
(2)在弧度制中，半径为R ，圆心角为α的扇形的弧长=l ，面积=S = ． 知识巩固
1.若10-=α，则α为第 象限角.
2.与︒
-1050终边相同的最小正角是(用弧度制表示) ．
3.已知
1690=α，把α改写成[))2,0,(2πββπ∈∈+Z k k 的形式为 ．
4.设扇形的周长为cm 8，面积是2
4cm ，则扇形的圆心角的弧度数的绝对值是 ．。