九年级第一次月考数学试卷-(含答案)
人教版九年级上第一次月考数学试题(含答案)
上学期九年级第一次月考数学试卷一、选择题（每题3分共30分）1、下列选项中一定是关于x 的一元二次方程的是（ ）（A ）221xx +（B ）bx ax +2（C ）()()121=+-x x （D ）052322=--y xy x 2、设a=19－1，a 在两个相邻整数之间，则这两个整数是（ ）A ．1和2B ．2和3C ．3和4D ．4和53、下列运算正确的是（ ） A.25=±5 B.43-27=1 C.18÷2=9 D.24·32=6 4、方程(x +1)(x －2)=x +1的解是（ ）（A ）2 （B ）3 （C ）－1，2 （D ）－1，35、关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么根的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定6、已知关于x 的方程x 2＋bx ＋a ＝0有一个根是－a (a≠0)，则a －b 的值为（ ）A ．－１B ．0C ．1D ．2 7、下列二次根式中，最简二次根式是（ ）．(A) ． 8、下列各式中，正确的有（ ）个3- 3-3± (-2)2的算术平方根是±2 A 、1 B 、2 C 、3 D 、4 9．已知关于x 的一元二次方程(a －1)x 2－2x+1=0有两个不相等的实数根,则a 的取值范围是( )A.a<2 B,a>2 C.a<2且a ≠1 D.a<－2·10、某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个．设该厂八、九月份平均2x 11的结果是12、如果代数式有意义，那么x 的取值范围是13、若方程013)2-(||=++mx x m m 是关于x 的一元二次方程，则m 的值为14、计算的结果是15、用配方法解方程22250x x --=时，将原方程化为的形式，应变为16、若x=2是关于x 的方程2250x x a --+=的一个根，则的a 为___17、以-2和3为根，且二次项系数为1的关于x 的一元二次方程为18、若方程042=+-mx x 有两个相等的实数根，则m = ，两个根分别为19、若分式1322+--x x x 的值为0，则x 的值为 20、已知a 、b 是一元二次方程x 2－2x －1=0的两个实数根，则代数式（a －b ）（a ＋b －2）＋ab 的值等于________.三、解答题（60分）21、计算下列各题（每题3分，共6分）221－631＋8 0(3)1-22、（每题4分，共8分）下列一元二次方程(1) 3x 2–4x –1=0 (2) 4x 2–8x +1=0（用配方法）23、（本题6分）方程+bx+c=0两根分别是23+，23-,b,c 的值24、（本题7分）一次函数2y x =+与反比例函数k y x =，其中一次函数2y x =+的图象经过点P (k ，5)．①试确定反比例函数的表达式；②若点Q 是上述一次函数与反比例函数图象在第三象限的交点，求点Q 的坐标25、（本题7分）方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有=+ax--1xxx，求a的值121226、（本题7分）一元二次方程x2+2x+k-1=0的实数解是x1和x2.（1）求k的取值范围；（2）如果y=+－x 1x2,求y的最小值。
2023-2024学年江苏省连云港市连云港华杰实验学校九年级(下)第一次月考数学试卷(含解析)
2023-2024学年江苏省连云港市连云港华杰实验学校九年级（下）第一次月考数学试卷一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.−3的绝对值是( )A. 3B. −3C. 13D. −132.下列各式计算正确的是( )A. (a+1)2=a2+1B. a2+a3=a5C. a8÷a2=a6D. 3a2−2a2=13.在平面直角坐标系中，点P(–2,3)关于原点对称的点Q的坐标为( )A. (2,–3)B. (2,3)C. (3,–2)D. (–2,–3)4.如图，在Rt▵ABC中，∠C=90∘，sin A=513，则cos A的值为( )A. 512B. 125C. 1213D. 13125.如图，数轴上的点A、B分别对应实数a、b，下列结论中正确的是( )A. a>bB. |a|>|b|C. −a<bD. a+b<06.若(a−1)2=1−a，则a的取值范围是( )A. a≤1B. a<1C. a≥1D. a>17.如图，已知ΔA1OB1与ΔA2OB2位似，且ΔA1OB1与ΔA2OB2的周长之比为1：2，点A1的坐标为(−1,2)，则点A2的坐标为( )A. (1,−4)B. (2,−4)C. (−4,2)D. (−2,1)8.如图，在Rt▵ABC中，∠A=90∘,AC=AB=4.动点D从点A出发，沿线段AB以1单位长度/秒的速度运动，当点D与点B重合时，整个运动停止．以AD为一边向上作正方形ADEF，若设运动时间为x秒(0<x≤4)，正方形ADEF与▵ABC重合部分的面积为y，则下列能大致反映y与x的函数关系的图象是( )A. B. C. D.二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分。
9.若二次根式x+1有意义，则x的取值范围是________．10.某天，小亮在某搜索引擎中输入“中考加油”，能搜索到与之相关的结果条数约为5640000，数据5640000用科学记数法表示为_______．11.若关于x的一元二次方程x2−4x+k=0有两个相等的实数根，则k的值为________．12.小红要过生日了，为了筹备生日聚会，准备自己动手用纸板制作一个底面半径为9cm，母线长为30cm 的圆锥形生日礼帽，则这个圆锥形礼帽的侧面积为____cm2.(结果保留π)13.如图，在4×4网格正方形中，每个小正方形的边长为1，顶点为格点若▵ABC 的顶点均是格点，则cos ∠BAC 的值是_______．14.已知直线y =3x +a 与直线y =−2x +b 交于点P ，若点P 的横坐标为−5，则关于x 的不等式3x +a <−2x +b 的解集为_______．15.在平面直角坐标系中，已知平行四边形的三个顶点坐标分别是O (0,0),A (−3,0),B (0,2)，则平行四边形第四个顶点C 的坐标_______．16.如图，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的两边OC 、OA 分别在x 轴、y 轴的正半轴上，反比例函数y =k x(x >0)分别与边AB 、边BC 相交于点E 、点F ，且点E 、点F 分别为AB 、BC 边的中点，连接EF .若△BEF 的面积为3，则k 的值是____．三、解答题：本题共11小题，共88分。
人教版九年级上册数学第一次月考试卷含答案
人教版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．下列方程中，属于一元二次方程的是（）A 0=B ．2x +1=0C ．20y x +=D ．21x =12．方程（x+3）（x-4）=0的根是（）A ．123,4x x =-=B ．123,4x x ==C ．1234,x x ==-D ．123,4x x =-=-3．已知关于x 的方程260--=x kx 的一个根为x=4，则实数k 的值为（）A ．25B ．52C ．2D ．54．用配方法解方程2250x x --=时，原方程应变形为（）A ．()216x +=B ．()216x -=C ．()229x +=D ．()229x -=5．已知方程2380x x --=的两个解分别为12,x x ，则1212,x x x x +⋅的值分别是（）A ．3，-8B ．-3，-8C ．-3，8D ．3，86．某种药品原价为36元/盒，经过连续两次降价后售价为25元/盒．设平均每次降价的百分率为x ，根据题意所列方程正确的是（）A ．236(1)3625x -=-B ．236(12)25x -=C ．236(1)25x -=D ．225(1)36x -=7．抛物线22(2)1y x =-+的顶点坐标是（）A ．()2,1B ．()2,1-C ．()1,2D ．()1,2-8．抛物线2y ax bx c =++的图象如图所示，则一元二次方程20ax bx c ++=的解是（）A ．x=-1B ．x=3C ．x=-1或x=3D ．无法确认9．将抛物线y=4x 2向右平移1个单位，再向上平移3个单位，得到的抛物线是（）A ．y=4（x+1）2+3B ．y=4（x ﹣1）2+3C ．y=4（x+1）2﹣3D ．y=4（x ﹣1）2﹣310．二次函数2(2)1y x =+-的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．二、填空题11．将方程()()3152x x x -=+化为一元二次方程的一般式______．12．一元二次方程x 2﹣4=0的解是_________．13．已知关于x 的一元二次方程22(2)(21)10m x m x -+++=有两个不相等的实数根，则m 的取值范围是______14．函数243y x x =-++有_____（填“最大”或“最小”），所求最值是_______15．抛物线2y ax bx c =++与x 轴的交点坐标为(1,0)-和(3,0)，则这条抛物线的对称轴是x =______.16．已知二次函数23(1)y x k =-+的图象上三点1(2,)A y ，2(3,)B y ，3(4,)C y -，则1y 、2y 、3y 的大小关系是_____．17．将抛物线247y x x =++沿竖直方向平移，使其顶点在x 轴上，且过点A （m ，n ），B （m+10，n ），则n=________三、解答题18．解方程：（1）2410x x --=（2）()255x x-=-19．已知抛物线y=4x 2-11x-3.(1)求它的对称轴;(2)求它与x 轴,y 轴的交点坐标.20．已知关于x 的方程（1）若该方程的一个根为，求的值及该方程的另一根；（2）求证：不论取何实数，该方程都有两个不相等的实数根．21．如图，抛物线2y x bx c =-++经过坐标原点，并与x 轴交于点A （2，0）．（1）求此抛物线的解析式：（2）设抛物线的顶点为B ，求∆OAB 的面积S ．22．如图，某农场要建一个长方形的养鸡场，鸡场的一边靠墙，墙长25m ，另外三边木栏围着，木栏长40m ．（1）若养鸡场面积为200m 2，求鸡场靠墙的一边长．（2）养鸡场面积能达到250m 2吗？如果能，请给出设计方案，如果不能，请说明理由23．已知抛物线()2114y a x =-+与直线21y x =+的一个交点的横坐标是2（1）求a 的值；（2）请在所给的坐标系中，画出函数21(1)4y a x =-+与21y x =+的图象，并根据图象，直接写出12y y ≥时x 的取值范围24．大润发超市以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现每天的销售量y （件）与每件的销售价x （元）之间满足一次函数1623y x=-（1）写出超市每天的销售利润w （元）与每件的销售价x （元）之间的函数关系式；（2）如果超市每天想要获得销售利润420元，则每件商品的销售价应定为多少元？（3）如果超市要想获得最大利润，每件商品的销售价定为多少元最合适？最大销售利润为多少元？25．如图所示，抛物线2y x mx n =-++经过点A （1，0）和点C （4，0），与y 轴交于B（1）求抛物线所对应的解析式．（2）连接直线BC ，抛物线的对称轴与BC 交于点E ，F 为抛物线的顶点，求四边形AECF 的面积．（3）x 轴上是否存在一点P ，使得PB+PE 的值最小，若存在，请求出P 点坐标，若不存在，请说明理由．参考答案1．B 2．A 3．B 4．B 5．A 6．C 7．A 8．C 9．B 10．D11．238100x x --=12．x=±213．34m >且2m ≠14．最大715．116．123y y y <<17．2518．（1）2x =±，（2）5x =或4x =19．（1）x=118（2）该抛物线与x 轴的交点坐标为(3,0)，1-,04⎛⎫⎪⎝⎭；该抛物线与y 轴的交点坐标为(0,-3).20．（1）m=1；0（2）见解析21．（1）y ＝−x 2＋2x ；（2）122．（1）20m ．（2）不能达到250m 2，理由见解析．23．（1）a=-1；（2）图见解析，-1≤x≤224．（1）w=－32x +252x －4860；（2）40或44；（3）42元，432元25．（1）254y x x =-+-；（2）458；（3）存在，P （2011，0）。
沪科版九年级上册数学第一次月考试卷含答案
沪科版九年级上册数学第一次月考试题一、单选题1．已知反比例函数k y x =的图象经过点()1,2A -，那么，(k =)A ．2B ．2-C ．12D ．12-2．函数()211m y m x+=+是二次函数，则m 的值是（）A ．±1B ．1C ．-1D ．以上都不对3．把一根长为50cm 的铁丝弯成一个长方形，设这个长方形的一边长为x （cm ），它的面积为y （cm 2），则y 与x 之间的函数关系式为（）A ．y=-x 2+50xB ．y=x 2-50xC ．y=-x 2+25xD ．y=-2x 2+254．如果点()1,2同时在函数y ax b =+与x b y a -=的图象上，那么a ，b 的值分别为（）A ．a=-3，b=-1B ．a=-3，b=1C ．a=1，b=-3D ．a=-1，b=35．二次函数2y ax b =+与反比例函数ab y x=在同一平面直角坐标系中的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．6．抛物线2(1)2y x =-+的顶点坐标是（）A ．（﹣1，2）B ．（﹣1，﹣2）C ．（1，﹣2）D ．（1，2）7．如果矩形的面积为6cm 2，那么它的长ycm 与宽xcm 之间的函数关系用图象表示大致是（）A ．B ．C ．D ．8．如图，在Rt ABC 中，90ACB ∠= ，CD AB ⊥于点D ．3AC =，6AB =，则(AD =)A ．32B ．3C ．92D ．339．二次函数2y ax bx c =++的图象如图所示，则下列结论：①0abc <；②240b ac ->；③20a b +>；④0a b c ++<；⑤220ax bx c +++=的解为0x =，其中正确的有（）A ．5个B ．4个C ．3个D ．2个10．如图，在直角坐标系中，有菱形OABC ，A 点的坐标是()10,0，双曲线(0)k y x x=>经过点C ，且160OB AC ⋅=，则k 的值为（）A ．40B ．48C ．64D ．80二、填空题11．以原点O 为位似中心，将ABC 缩小，使变换后得到的111A B C 与ABC 对应边的比为1:2．请在网格内画出111A B C ，并写出点1A 的坐标________．12．方程2123x x x-+=的实根的个数为________个．13．结合二次函数224233y x x =-++的图象图回答：() 1当x =________时，()02y =当________时，()03y >当________时，0y <．14．若37a b =，则a b a b+=-________．15．函数2241y x x =++，当x ________时，y 随x 的增大而减小．16．如图，ABC 是一块锐角三角形材料，边6BC cm =，高4AD cm =，要把它加工成一个矩形零件，使矩形的一边在BC 上，其余两个顶点分别在AB 、AC 上，要使矩形EGFH 的面积最大，EG 的长应为________cm ．17．已知数3，6，请写出一个数，使这三个数中的一个数是另外两个数的比例中项，这个数是____________．（填写一个即可）18．已知抛物线212y x bx =+经过点()4,0A ．设点()1,3C -，请在抛物线的对称轴上确定一点D ，使得AD CD -的值最大，则D 点的坐标为________．19．下列函数中________是反比例函数．①1y x x =+，②231x y x +=，③12x y -=，④32y x=．20．如图，线段AB 、CD 相交于E ，//AD BC ，若:1:2AE EB =，1ADE S = ，则AEC S 等于________．三、解答题21．如图，抛物线223y x x =--+于x 轴交于()1,0A ，()3,0B -两点，交y 轴于点()0,3C ；在抛物线上是否存在点H ，使得BCH 为直角三角形．22．已知两个相似三角形的一对对应边长分别是35cm 和14cm()1已知他们的周长相差60cm ，求这两个三角形的周长．() 2已知它们的面积相差2588cm ，求这两个三角形的面积．23．如图，在矩形ABCD 中，6AB cm =，12BC cm =，点P 沿边AB 从点A 向点B 以1/cm s 的速度移动；同时，点Q 从点B 沿边BC 向点C 以2/cm s 的速度移动，设点P 、Q 移动的时间为t s ．问：() 1当t 为何值时PBQ 的面积等于28cm() 2当t 为何值时DPQ 是直角三角形？() 3是否存在t 的值，使DPQ 的面积最小，若存在，求此时t 的值及此时的面积；若不存在，请说明理由．24．随着某市近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高，某园林专业户计划投资种植花卉及树木．根据市场调查与预测，种植树木的利润y 1与投资量x 成正比例关系，如图①所示；种植花卉的利润y 2与投资量x 成二次函数关系，如图②所示(注：利润与投资量的单位：万元)．(1)分别求出利润y 1与y 2关于投资量x 的函数关系式；(2)如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？25．如图，是小亮晚上在广场散步的示意图，图中线段AB 表示站立在广场上的小亮，线段PO 表示直立在广场上的灯杆，点P 表示照明灯的位置．()1在小亮由B 处沿BO 所在的方向行走到达O 处的过程中，他在地面上的影子长度越来越________（用“长”或“短”填空）；请你在图中画出小亮站在AB 处的影子BE ；()2当小亮离开灯杆的距离 3.6OB m =时，身高为1.6m 的小亮的影长为1.2m ，①灯杆的高度为多少m ？②当小亮离开灯杆的距离6OD m =时，小亮的影长变为多少m ？26．如图1，抛物线23y x x =--与直线22y x =--交于A 、B 两点，过A 作//AC x 轴交抛物线于点C ，直线AB 交x 轴于点D ．()1求A 、B 、C 三点的坐标；()2若点H 是线段BD 上的一个动点，过H 作//HE y 轴交抛物线于E 点，连接OE 、OH ，当310HE AC =时，求OEH S 的值；()3如图2，连接BO ，CO 及BC ，设点F 是BC 的中点，点P 是线段CO 上任意一点，将BFP 沿边PF 翻折得到GPF ，求当PC 为何值时，GPF 与CFP 重叠部分的面积是BCP 面积的14．参考答案1．B2．B3．C4．D5．B6．D7．C8．A9．C10．B11．()1,412．113．1-或313x -<<1x <-或3x >．14．52-15．1<-16．217．或1.5或1218．()2,6-19．④20．221．在抛物线上存在使BCH 为直角三角形的点H ．22．(1)较大的三角形的周长为100cm ，较小的三角形的周长为40cm ;(2)较大的三角形的面积为2700cm ，较小的三角形的面积为2112cm .23．（1）当2t s =或4t s =时，PBQ 的面积等于28cm ；（2）当t 的值为0秒或32秒或6秒时，DPQ 是直角三角形；（3）存在，当3t =时，DPQ S 有最小值27．24．（1）利润y 1关于投资量x 的函数关系式是y 1=2x （x≥0），利润y 2关于投资量x 的函数关系式是y=12x 2（x≥0）；（2）当x=8时，z 的最大值是32．25．（1）短，画图见解析；(2)①x=6.4；②小亮的影长是2米．26．（1）点A 坐标()1,4-，点B 坐标()2,2-，点C 坐标()4,4--；（2）3338OEH S +=；（3）当PC =时，GPF 与CFO 重叠部分的面积是BCP 面积的14．。
吉林省长春市吉林省第二实验学校2023-2024学年九年级下学期第一次月考数学试题(解析版)
吉林省第二实验学校2023-2024学年度下学期九年级第一次月考数学试题本试卷包括三道大题、共24小题。
共6页。
全卷满分120分。
考试时间为120分钟。
考试结束后、将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1、答题前、考生务必将自己的姓名、校区、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内．2、答题时、考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区城内作答，在草稿纸、试卷上答题无效．一、选择題（每小题3分，共24分）1. 的相反数是（ ）A. 2B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】直接根据相反数定义解答即可．【详解】解：的相反数是．故选B ．【点睛】本题主要考查了相反数的定义，掌握相反数的概念成为解答本题的关键．2. 历时七年的建设，全长407000米的济南至郑州高速铁路于2023年12月8日10时58分实现全线贯通运营，济南至郑州最快1小时43分可达，济郑高铁的开通将结束两个人口亿级的大省没有高铁直连的历史．将407000用科学记数法表示为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】本题考查了科学记数法；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n 为整数，确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．【详解】解：将407000用科学记数法表示为，1212-2-121212-440.710⨯54.0710⨯60.40710⨯44.0710⨯10n a ⨯110a ≤<54.0710⨯3. 若，则“□”内应填的运算符号为（ ）A. +B. ﹣C. ×D. ÷【答案】D【解析】【分析】本题主要考查了整式的有关计算，根据合并同类项法则与单项式与单项式相乘，单项式与单项式相除法则，先分别计算这两个单项式的和差积商，然后根据计算结果进行判断即可．【详解】解：，，，，“□”内应填的运算符号为：÷，故选：D ．4. 如图是正方体的展开图，将它折叠成正方体后“龙”字的对面是（ ）A. 学B. 业C. 进D. 步【答案】C【解析】【分析】本题考查正方体相对两个面上的文字，根据正方体的表面展开图找相对面的方法，“Z ”字两端是对面，即可解答．熟练掌握根据正方体的表面展开图找相对面的方法是解题的关键．【详解】解：“龙”字的对面是“进”．故选：C ．5. 在下列现象中，可以用基本事实“两点之间线段最短”来解释的是（ ）A. 木工弹线B. 泥工砌墙C. 弯路改直D.射击瞄准3322a a = 33323a a a =+ 3332a a a -=33622⋅=a a a 330222a a a ÷==∴【分析】本题考查两点之间线段最短定理．根据题意利用两点之间线段最短定理逐一对选项进行分析即可得到本题答案．【详解】解： ∵把弯曲的公路改直，就能缩短路程即利用了“两点之间线段最短”，∴C 选项符合题意；故选：C ．6. 如图，滑雪场有一坡角为的滑雪道，滑雪道长为150米，则滑雪道的坡顶到坡底的竖直高度的长为（ ）A. 米B. 米C. 米D. 米【答案】B【解析】【分析】本题考查了解直角三角形的应用；根据坡角的概念可知，然后利用正弦函数的定义列式即可．【详解】解：由题意得，∴，∴，故选：B ．7. 如图，在中，根据尺规作图痕迹，下列说法不一定正确的是（ ）A.B. C. D.18︒AC AB 150tan18︒150sin18︒1502cos18︒150tan18︒18C ∠=︒18C ∠=︒sin sin18150AB AB C AC ∠=︒==150sin18AB =︒ABC AF BF =90AFD FBC ∠+∠=︒DF AB ⊥BAF CAF ∠=∠【分析】本题考查了垂直平分线和角平分线的作图，垂直平分线的性质，角平分线的定义，直角三角形两锐角互余，等边对等角的性质等知识．根据基本作图得出垂直平分线段，平分，再由垂直平分线的性质得出，，即可判断选项A 、C ，根据等边对等角和垂直的定义可判断选B ．由已知条件无法判断选项D ．【详解】解：由作图可知垂直平分线段，平分，∴，，故选项A 、C 正确，∴，∵，，∴，故选项B 正确，由已知条件无法得到，故选项D 中说法不一定正确．故选：D ．8. 如图，点A 在双曲线上，点B 在双曲线上，轴，过点A 作轴于D ，连接，与相交于点C ，若，则k 值为（ ）A. 8B. 12C. 16D. 18【答案】D【解析】【分析】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质；由点A 在双曲线上可设，证明，利用相似三角形的性质求出的DF AB BE ABC ∠FA FB =DF AB ⊥DF AB BE ABC ∠FA FB =DF AB ⊥AFD BFD ∠=∠FBC FBD ∠=∠90FBD BFD ∠+∠=︒90AFD FBC ∠+∠=︒BAF CAF ∠=∠6y x =k y x=AB x ∥AD x ⊥OB AD 2AC CD =6y x =6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭C ODC BA ∽，可得，进而可求k 的值．【详解】解：设，则，∵轴，∴，∴，∴，∴，∴，故选：D ．二、填空题（每小题3分，18分）9. 因式分解______．【答案】【解析】【分析】直接利用乘法公式分解因式得出答案．【详解】解：（x ﹣1）2．故答案为：（x ﹣1）2．【点睛】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用乘法公式是解题关键．10. 若关于x 的方程有两个相等的实数根，则__．【答案】1【解析】【分析】根据判别式与根的关系得到，然后解关于m 的方程即可．【详解】解：根据题意得，，解得．故答案为1．11. 2024年元旦期间，小华和家人到公园景区游玩．公园里有大小两种游船，小华发现：1艘大船与1艘22BA OD m ==63,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭6,A m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭OD m =AB x ∥C ODC BA ∽ 12OD CD BA CA ==22BA OD m ==63,B m m ⎛⎫ ⎪⎝⎭6318k m m =⋅=221x x -+=()21x -221x x -+=220x x m -+=m =2(2)40m --=()2Δ240m =--=1m =小船一次满载游客共26人，2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人．若设一艘大船一次满载人数为x 人，则根据题意x 的值为______．【答案】18【解析】【分析】本题考查了一元一次方程的应用；设一艘大船一次满载人数为x 人，则一艘小船一次满载人数为人，根据“2艘大船与3艘小船一次满载游客共60人”列方程求解即可．【详解】解：设一艘大船一次满载人数为x 人，则一艘小船一次满载人数为人，由题意得：，解得：，故答案为：18．12. 如图，多边形为内接正五边形，与相切于点A ，则________．【答案】##36度【解析】【分析】本题主要考查了正多边形和圆、圆周角定理、切线的性质定理等知识点；．连接，多边形是正五边形，可求出的度数，再根据三角形内角和即可求出的度数，利用切线的性质求出即可，作出适当的辅助线是解答此题的关键．【详解】连接，∵多边形是正五边形，∴，∵，∴，∵直线与相切于点A，()26x -()26x -()232660x x +-=18x =ABCDE O PA O PAB ∠=36︒OB OA ，AOB ∠OAB ∠∠PAB OB OA ，ABCDE 360725AOB ︒∠==︒OA OB =()1180542OAB OBA AOB ∠=∠=︒-∠=︒PA O∴，∴．故答案为：．13. 如图，在平行四边形中，以C 为位似中心，作平行四边形的位似平行四边形，且与原图形的位似比为2∶3，连接，若平行四边形的面积为20，则与的面积之和为______．【答案】10【解析】【分析】本题主要考查了位似图形的性质；根据位似图形的性质可得，，根据等高的三角形的面积比等于底边之比可得，，结合平行四边形的面积为20计算即可．【详解】解：如图，连接，∵平行四边形和平行四边形是位似图形，且位似比为2∶3，∴，，∴，，90OAP ∠=︒905436BAP ∠=︒-︒=︒36︒ABCD ABCD PECF ,BP DP PECF PBE △PDF △23CE CB =23CF CD =2PCE PBE S S = 2PCF PFD S S = PECF CP PECF ABCD 23CE CB =23CF CD =2CE BE=2CF FD =∴，，∴，∴，故答案为：10．14. 如图，在平面直角坐标系中，点在第二象限，以为顶点的抛物线经过原点，与轴负半轴交于点，点在抛物线上，且位于点、之间（不与、重合）.若四边形的周长为14，的周长大于8，则的取值范围为________．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，根据二次函数的性质可知，，，由题意得出，，等量代换求出，然后结合点A 在第二象限可得答案．【详解】解：∵以A 为顶点的抛物线经过原点，∴，，∵点B 在x 轴负半轴，∴，由题意得：，，∴，∴，∴，∴，∵点A在第二象限，2PCE PBE S S = 2PCF PFD S S = 2220PCE PCF PBE PDF PECF S S S S S =+=+= 平行四边形10PBE PDF S S += A A 2()y x h k =-+x B C A B C A B AOBC ABC h 30h -<<AB AO =(),A h k 2OB h =-14OB BC AC AO +++=8AC BC AB AC BC AO ++=++>1428h +>()2y x h k =--+AB AO =(),A h k 2OB h =-14OB BC AC AO +++=8AC BC AB AC BC AO ++=++>14BC AC AO OB ++=-148OB ->1428h +>3h >-∴，∴，故答案为：．三、解答题（共78分）15. 先化简，再求值：，其中，．【答案】，【解析】【分析】此题主要考查了整式的混合运算化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．原式根据多项式乘以多项式法则及单项式乘以多项式法则计算，去括号合并得到最简结果，把a 与b 的值代入计算即可求出值．【详解】解：，当，时原式．16. 2023年9月23日，第19届亚运会在杭州开幕，电子竞技首次成为亚运会正式比赛项目，小明和小张是电竞游戏的爱好者，他们相约一起去现场为中国队加油，现场的观赛区分为A 、B 、C 、D 四个区域，购票以后系统随机分配观赛区域．请用画树状图或列表等方法求出小明和小张在同一区域观看比赛的概率．【答案】【解析】分析】本题考查了列表法或树状图法求概率；画树状图得出所有等可能的情况数以及小明和小张在同一区域观看比赛的情况数，再利用概率公式得出答案．【详解】解：画树状图如图：【0h <h -3<<0h -3<<0()()()222a b a b a a b -+--2a =-1b =252ab b -12-()()()222a b a b a a b -+--22224222a ab ab b a ab=+---+252ab b =-2a =-1b =()25212110212=´-´-´=--=-14由树状图得：共有16种等可能的结果，其中小明和小张在同一区域观看比赛的情况有4种，∴小明和小张在同一区域观看比赛的概率为．17. 阅读，正如一束阳光，孩子们无论在哪儿，都可以感受到阳光的照耀，都可以通过阅读触及更广阔的世界．市教育局向中小学生推出“童心读书会”分享活动，甲、乙两同学分别从距离活动地点1200米和1800米的两地同时出发，参加分享活动．乙同学的速度是甲同学的速度的倍，甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点．求甲、乙两同学的速度．【答案】甲的速度为75米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟【解析】【分析】本题主要考查了分式方程的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程．设甲的速度为米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟，根据甲同学比乙同学提前4分钟到达活动地点，列出方程，解方程即可．【详解】解：设甲的速度为米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟，根据题意得：，解得：，经检验是原方程的解，（米/分钟），答：甲的速度为75米/分钟，则乙同学的速度为米/分钟．18. 如图，在中，，平分交于点D ，以点D 为圆心，为半径作圆交于点E ．（1）求证：与相切；（2）若，，求的长．【答案】（1）见解析（2）【解析】【分析】本题主要考查圆的切线的判定，角平分线的性质，切线长定理，构造直角三角形利用勾股定理解题是解题的关键．（1）过点作于，利用角平分线的性质定理可得即可证明；41164= 1.290x 1.2x x 1.2x 120018004 1.2x x+=75x =75x =1.2 1.27590x =⨯=90ABC 90ABC ∠=︒CD ACB ∠AB BD AB D AC 5AC =3BC =AE 1D DF AC ⊥F BD FD =（2）利用勾股定理求出，设半径为，利用切线长定理求出，所以，，利用勾股定理建立方程求出半径，即可求出答案．【小问1详解】解：过点作于，，，平分交于点D ，，是圆的半径，与相切；【小问2详解】解：设半径为，，，是圆的切线，，，，，在，，解得，．19. 春节是中国重要的传统节日之一，我校组织学生参加关于中国传统文化知识的线上测试活动．为了了解七、八年级学生此次线上测试活动的成绩情况，分别随机在七、八年级各抽取了10名学生的成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（学生成绩得分用x 表示，共分为三个等级：合格，良好，优秀），下面给出了部分信息：七年级10名学生的成绩：83，84，84，88，89，89，89，95，95，98．八年级10名学生的成绩中“良好”等级包含的所有数据为：86，86，86，90，94．抽取的七、八年级学生测试成绩统计表AB x 3CF BC ==2AF =AD AB x =-D DFAC ⊥F 90ABC ∠=︒AB BC ∴⊥ CD ACB ∠AB BD DF ∴=DF ∴∴D AC x 90,3,5ABC BC AC ∠=︒==4AB ∴==AC BC 、3BC CF ∴==2AF AC CF ∴=-=4AB = 4AD AB BD x ∴=-=-Rt AFD △22(4)2x x -=+32x =431AE ∴=-=8085x ≤<8595x ≤<95100x ≤≤年级平均数中位数众数“优秀”等级所占百分比七89.489a 八89.4b 86根据以上信息，解答下列问题：（1）填空： ， ， ；（2）根据以上数据，你认为该学校哪个年级的学生测试成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）．（3）如果我校七年级有学生3500人，八年级有学生2800人，估计我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数．【答案】（1）、、；（2）七年级的学生测试成绩更好，理由见解析；（3）人【解析】【分析】本题考查了众数和中位数的定义和意义，样本估计整体，正确理解统计表和扇形统计图是解题关键．（1）根据众数和中位数的定义，得出、的值，再用八年级学生“合格”等级的人数除以总人数，求出的值；（2）根据中位数或众数分析即可；（3）用每个年级的人数乘以“良好”率，再相加即可．【小问1详解】解：由七年级10名学生的成绩可知，众数为，即，由题意可知，八年级学生测试成绩“优秀”等级人数为，“良好”等级有5人，“合格”等级有人，30%30%=a b =m =8988202800a b m 8989a =1030%3⨯=∴10352--=八年级学生第五、六名的测试成绩分别是、，中位数为，即，，故答案为：、、；【小问2详解】解：七年级的学生测试成绩更好，理由：两个年级平均数和“优秀”率相同，而七年级的众数及中位数均高于八年级，所以，七年级的学生测试成绩更好（答案不唯一）；【小问3详解】解：人，答：我校七、八年级此次线上测试成绩良好的总人数大约为人．20. 如图是由边长为1的小正方形构成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，请仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，保留连线的痕迹，按步骤完成下列问题：（1）如图1，已知点、A 、均在格点上，求作点A 关于直线的对称点，连结；（2）如图2.的顶点均在格点上，格点是边上一点，请在线段上找一点，连结，使；（3）如图3.的顶点均在格点上，求作点关于直线的对称点．【答案】（1）见解析（2）见解析 （3）见解析【解析】【分析】本题主要考查了网格作图，熟练掌握轴对称性质，相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例，全等三角形的判定和性质等，将知识融入到作图过程中，是解题的关键．（1）根据轴对称的性质结合网格特点作图即可；（2）取格点G 、H ，连接与交于点F ，由可得，则，然后可得，则此时；∴86902%100%20%10m =⨯=∴8690882+=88b =20m =898820453500280028001010⨯+⨯=2800ABC M N MN A 'AA 'BCD △E BC BC F EF EF CD PQR Q PR Q 'GH BD BG DH ∥BGF DHF ∽12BF BG DF DH ==12BF BE FD EC=-EF CD（3）取格点S 、T 、K ，构造，与交于点L ，根据全等三角形的性质可得，根据网格作，延长交于，则，由可得，即点与点Q 关于直线对称．【小问1详解】如图，将点A 向上平移3个单位到上，再向右平移3个单位，即得；【小问2详解】如图，在过B ，D 的水平格线上取格点G ，H ，使，，连接交于点F ，连接即是；【小问3详解】如图，取格点S 、T 、K ，使，，将边向右平移3个单位得到线段，连接并延长交于点，点就是所求作．21. 图1是煤油温度计，该温度计的左侧是华氏温度（），右侧是摄氏温度（）．华氏温度与摄氏温度之间存在着某种函数关系，小明通过查阅资料和观察温度计，得到了如表所示的数据．摄氏温度值010203040华氏温度值32506886104Rt Rt PSR QTK ≌PR QK 90QLR ∠=︒IJ PR ∥QK IJ 'Q 'QLR QQ J ∽QR RJ ='QL LQ ='Q PR MN 'A 1BG =2DH =GH BD EF 5QT PS ==2TK SR ==PR IJ QK IJ 'Q 'Q ℉℃/℃x /y ℉（1）在如图2所示的平面直角坐标系中描出上表相应的点，并用平滑的线进行连接；（2）求y 与x 之间的函数解析式；（3）某种疫苗需低温保存，其活性只能在某温度区间（摄氏温度）内维持，在该温度区间内，任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16．求该温度区间的最大温差是多少摄氏度．【答案】（1）见解析 （2） （3）该温度区间的最大温差是摄氏度【解析】【分析】本题考查了一次函数的实际应用；（1）根据表格中数据进行描点、连线即可；（2）由（1）中函数图象猜测y 与x 之间满足一次函数关系，利用待定系数法求出解析式，然后进行验证即可；（3）分两种情况：当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时；当摄氏温度大于其对应的华氏温度时；分别列出温差关于摄氏温度值的函数关系式，结合一次函数的增减性求出该温度区间，然后计算即可．【小问1详解】解：如图所示：9325y x =+40【小问2详解】由（1）中函数图象猜测y 与x 之间满足一次函数关系，设，代入得：，解得：，∴，代入其余数据进行验证，均满足该关系式，∴y 与x 之间的函数解析式为；【小问3详解】当华氏温度大于等于其对应的摄氏温度时，即，解得：，则温差，当时，解得：，∵数值相差的最大值为16，，∴随x 的增大而增大，∴；()0y kx b k =+≠()()0,32,10,50321050b k b =⎧⎨+=⎩9532k b ⎧=⎪⎨⎪=⎩9325y x =+9325y x =+9325y x x =+≥40x ≥-94323255w y x x x x =-=+-=+432165w x =+=20x =-405>w 20x -40≤≤-当摄氏温度大于其对应的华氏温度时，即，解得：，则温差，当时，解得：，∵数值相差的最大值为16，，∴随x 的增大而减小，∴；∴当任意摄氏温度与其对应的华氏温度的数值相差的最大值为16时，，∴该温度区间的最大温差是摄氏度．22. 【模型建立】：如图1，在正方形中，E ，F 分别是边上的点，且，探究图中线段之间的数量关系．（1）小宋的探究思路如下：延长到点G ，使，连接，先证明，再证明．之间的数量关系为______．若，则______．【模型应用】：（2）如图2，在矩形中，，点F 为中点，，求的长．【拓展提升】：（3）通过对图2的分析，小宋同学在深入思考后，他发现一个很有意思的结论，若，且，则______．（用含a 、b 的代数式表示）【答案】（1），；（2）；（3）【解析】【分析】（1）证明，可得，，再证9325x y x >=+40x <-194323255w x y x x x =-=--=--1432165w x =--=60x =-405-<1w 6040x -≤<-6020x -≤≤-()206040---=，BC CD 45EAF ∠=︒EF BE DF ，，CB BG DF =AG ADF ABG ≌AEF AEG △≌△,,,EF BE DF 6,2AD DF ==BE =ABCD 4,3AD AB ==CD 45FAE ∠=︒BE ()tan a DAF a b b∠=<45DAF BAE ∠+∠=︒tan BAE ∠=EF BE DF =+31511BE =b a a b -+()SAS ADF ABG ≌AF AG =DAF BAG ∠=∠，可得，则；设，则，，然后在中，利用勾股定理构建方程求解即可；（2）如图作辅助线，构造正方形，设，则，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再利用平行线分线段成比例计算的长即可；（3）如图2作辅助线，设，，，则，，，在中，利用勾股定理构建方程求出，再根据正切函数的定义计算即可．【详解】解：（1）延长到点G ，使，连接，∵在正方形中，，，∴，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴；∵，∴，，设，则，，在中，由勾股定理得，∴，解得：，即，故答案为：，；（2）如图2，延长，至M 、N ，使四边形是正方形，延长到点H ，使，连接，延长交于P ，连接，()SAS AEF AEG ≌EG EF =EF EG BE BC BE DF ==+=+BE x =2EF EG x ==+6CE x =-Rt CEF △AMND MP x =4PN x =-32PF MP DF x =+=+Rt PNF △MP BE DF a =AD b =MP x =FN b a =-PN b x =-PF x a =+Rt PNF △MP CB BG DF =AG ABCD AB AD =90ABC D ∠=∠=︒90ABG D ∠=∠=︒()SAS ADF ABG ≌AF AG =DAF BAG ∠=∠45EAF ∠=︒45DAF BAE ∠+∠=︒45BAG BAE EAG ∠+∠=∠=︒EAF EAG ∠=∠()SAS AEF AEG ≌EG EF =EF EG BE BC BE DF ==+=+6,2AD CD DF ===4CF =2BG =BE x =2EF EG x ==+6CE x =-Rt CEF △222CE CF EF +=()()222642x x -+=+3x =3BE =EF BE DF =+3AB DC AMND NM MH DF =AH AE MN PF∵，点F 为中点，∴，∴，设，则，由（1）得：，在中，由勾股定理得，∴，解得：，∵，∴，∴，即，∴；（3）如图2作辅助线，∵，∴设，，∴，设，则，由（2）得：，在中，由勾股定理得，4,3AD AB ==CD 113222DF CD AB ===35422FN =-=MP x =4PN x =-32PF MP DF x =+=+Rt PNF △222PN NF PF +=()22253422x x ⎛⎫⎛⎫-+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭2011x =BC MN ∥ABE AMP ∽AB BE AM MP =320411BE =1511BE =()tan a DAF a b b∠=<DF a =AD b =FN b a =-MP x =PN b x =-PF x a =+Rt PNF △222PN NF PF +=∴，解得：，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，平行线分线段成比例，锐角三角函数的定义等知识，灵活运用相关判定定理和性质定理，作出合适的辅助线是解题的关键．23. 在平行四边形中，，，，点是上一点．，从点E 出发，沿折线以每秒3个单位长度的速度运动，到D 停止．连接，将线段绕点E 顺时针旋转得到线段．连接．设点P 的运动时间为t 秒．（1）用表示线段的长度；（2）连接，求的值；（3）当点在平行四边形的对角线上时，求的值；（4）连接．当分线段为的两部分时，直接写出t 的值．【答案】23. 当时，；当时， 24.25. ，1， 26. ，【解析】【分析】（1）分两种情况讨论，当点E 在线段上时， ；当点E 在线段上时，；()()()222b x b a x a -+-=+2b ab x a b-=+2tan tan b abb a a b a bMP BAE MAP AM b ∠===-+=-+∠b a a b-+ABCD 5AD =7AB =4tan 3DAB ∠=E AB 4AE =P EA AD -PE PE 90︒EF PF t AP AC tan CAB ∠F ABCD t DE DE PF 1:2403t ≤≤43AP t =-433t <≤34AP t =-2581515269104636427AE 43AP t =-AP 34AP t =-（2）过点C 作延长线于点G ，解即可；（3）分类讨论：当时，点F 落在上，点F 落在上；当时，点F 落在上，通过锐角三角函数，等角的三角函数值相等，以及构造一线三等角的全等解决问题；（4）分类讨论：当及，构造辅助线，利用平行线分线段成比例定理，矩形的性质，全等三角形的性质解决问题．【小问1详解】解：①当点E 在线段上时，即时，；②当点E 在线段上时，当时，．【小问2详解】解：过点C 作延长线于点G ，∵四边形是平行四边形，∴，，∴，在，由，∴，设，由勾股定理得：，解得：，∴，∴中，．【小问3详解】CG AB ⊥ABC 403t ≤<AC BD 433t <≤AC 12OF PO =12OP FO =AE 403t ≤≤43AP t =-AP 433t <≤34AP t =-CG AB ⊥ABCD ,5BC AD AD BC ==∥,7DC AB DC AB =∥=CBG DAB ∠=∠Rt CBG △tan tan CBG DAB ∠=∠43CG BG =4,3CG x BG x ==()()222345x x +=1x =4,3CG BG ==Rt CAG △42tan 735CG CAB AG ∠===+解：由旋转知，，当时，点F 落上，如图1，由得，，解得：；点F 落在上时，如图2，过点D 作于点H ，同（1）可求，∴，∴为等腰直角三角形，∴，∴，∴，解得： 当时，点F 落在上，过点P ，F 分别作AB 的垂线，垂足为M ，N ，在3EP EF t ==90PEF ∠=︒403t ≤≤AC 2tan 5CAB ∠=3245EF t AE ==815t =BD DH AB ⊥3,4AH DH ==734BH =-=DHB △45DBA ∠=︒FE BE =33t =1t =433t <≤AC由，得：，∴，可证：，∴，在中，，∴ ，解得．综上所述：t 的值为，1，．小问4详解】①当时，构造如图4辅助线（均是水平线，铅垂线）由平行线分线段成比例定理的：，由（2）知，∵，∴，设，则，，，∵，∴，而，【34AP t =-4tan 3DAB ∠=()()4334,3455PM t AM t =-=-()3329434555ME t t =--=-PME ENF △≌△,NF ME EN PM ==Rt AFN △2tan 5FN FAN AN ∠==32925512165455t t -=+-15269t =8151526912OF PO =2MS PO SN OF ==4,1DH HE ==OS DH ∥4OS SE =34AP t a =-=34,55AM a PM KN XS EN a =====345ME a =-34744555FK FN KN a a a =-=--=-OX FK ∥28143315OX FK a ==-145MN ME EN a =+=+∴ ，∵， ，∵，∴，解得：，∴，∴；②当时，构造如图5辅助线（均是水平线，铅垂线）同理可得： ，解得：，∴，∴．综上所述：或．【点睛】本题是以平行四边形为背景的动点压轴题，化动为静，注意分类讨论的思想，解题关键在于熟练掌握全等三角形的构造，锐角三角函数的应用，正确添加辅助线是解决本题的关键．24. 在平面直角坐标系中，抛物线的对称轴为直线，点、都是该抛物线上的点，、的横坐标分别为，，当点、不重合时，连结．（1）求该抛物线的解析式；（2）当时，求点的坐标；（3）当线段与对称轴为相交时，设其交点为，当不与或重合时，以为一边构造矩形，其中，同时使得点在的同侧．1413315SN MN a ==+4144113155315SE SN EN a a a =-=+-=-8144823155315OS OX XS a a a =+=-+=-4OS SE =41182315315a a -=-2021a =203421t -=10463t =12OP FO =27331144444355535a a a a ⎡⎤⎛⎫⎛⎫-+-=--+ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦289a =28349t -=6427t =10463t =642723y x bx =-++1x =P Q P Q m 4m -P Q PQ PQ =P PQ 1x =M M P Q MQ MQGN MN MP =Q G N 、、1x =①当抛物线在矩形的内部任意一点的纵坐标恒为负数时，求的取值范围；②当矩形被轴分为面积相等的两部分时，直接写出的值．【答案】（1）（2）点坐标为或 （3）①或；②【解析】【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解；（2）的中点坐标的横坐标为，设中点为，如图所示，过点作于点，连接，则，求得的长，可得，则，依题意，，构造方程，解方程，即可求解；（3）①当在的左两边，两种情况分别画出图形，分别求得，根据建立方程，②当在的右侧时，分别表示出，进而解方程，求得的值，结合图象，即可得出的范围；②设为矩形对角线的交点，当在轴上时符合题意，同样分两种情况，根据中点坐标公式得出的纵坐标为，即可求解．【小问1详解】解：∵抛物线的对称轴为直线，∴解得：，∴抛物线解析式为【小问2详解】解：∵、的横坐标分别为，，∴的中点坐标的横坐标为，设中点为，如图所示，的MQGN m MQGN x m 223y x x =-++P 17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭93,234⎛⎫- ⎪⎝⎭m <5m >m =m =PQ 2T P 2PA x ⊥=A AT PA AT ⊥,AT PA 2AT PA =PT =PQ =P 1x =,AP AB AP AB =P 1x =BQ m m S MQGN S x S 023y x bx =-++1x =12b x =-=-2b =223y x x =-++P Q m 4m -PQ 2T过点作于点，连接，则∴，∵∴的纵坐标分别为∴的纵坐标为∴∴∴依题意，∴∴即解得：，当时，∴，P 2PA x ⊥=A AT PA AT⊥2PA m =-223y x x =-++,P Q ()()2223,4243m m m m -++--+-+T ()()2221234243412m m m m m m ⎡⎤-++--+-+=-+-⎣⎦()22234124AT m m m m m =-++--+-=-+2AT PA=PT =PQ =PT ==52PA =522m -=12m =-12m =-()2221723141424y m m m ⎛⎫=-++=--+=---+= ⎪⎝⎭17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭则，∵,，∴，∵关于对称，设，则解得：，∴当在时，符合题意，∴点的坐标为或；【小问3详解】解：如图所示，当在的左边时，当点在轴上时，过点作于点，连接，则，设交轴于点，则，72,4A ⎛⎫ ⎪⎝⎭25AT PA ==713544-=-132,4T ⎛⎫- ⎪⎝⎭,P Q 132,4T ⎛⎫- ⎪⎝⎭(),Q a b 1713242,224a b -+==-933,24a b ==-93,234Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭P Q P 17,24P ⎛⎫- ⎪⎝⎭93,234⎛⎫- ⎪⎝⎭P 1x =N x P 1PA x ⊥=A AM PA AM ⊥AM x B BM MN ⊥同（2）可得，即，∵，∴，∵，，，∴，∴∴∴，解得：所以当点在轴的下方时，则；当在的右侧时，如图所示，同理可得，与轴的夹角的正切为，则2AM PA =1tan 2PMA ∠=1PA m =-22AM m =-90,90PMN PMA NMB MNB ∠=︒∠=︒-∠=∠90A MBN ∠=∠=︒PM NM =PAM MBN ≌22BN AM PA BM===AB BM =AP=2123m m m -=-++m =m =N x m <P 1x =PQ y 121tan tan 2PMA QMP ∠=∠=∵，∴，∵，∴，∴，则又∵∴解得：（舍去）或1PA m =-22AM m =-()2,23P m m m -++()21,41M m m -++241BM m m =--21112222QB BM m m ==--()143BQ m m =--=-2113222m m m -=--1m =5m =所以当点在轴的下方时，则；综上所述或，②当在的左侧时，设为矩形对角线的交点，当在轴上时符合题意，如图所示，过点分别作直线的垂线，垂足分别为，∴又∵N x 5m>m <5m >P 1x =S MQGN S x ,N Q 1x =,C D CN BS DQ∥∥NS QS =∴由（2）可得的纵坐标分别为，则由①可得，∵∴∴点的横坐标为，纵坐标为，∴，∵在轴上，∴，解得：（舍去），当在的右侧时，如图所示，∵，CB DB=,P Q ()()2223,4243m m m m -++--+-+()24,65Q m m m --+-2CN AM PA ==CA CM PA==1PA m=-22CN m=-N 32m -()2223132m m m m m -++--=-++224326532,22m m m m m m S ⎛⎫-+--+--++ ⎪⎝⎭S x 22653202m m m m -+--++=m =m =P 1x =()24,65Q m m m --+-则，∴，∴，即同理可得则∴的纵坐标为∵在轴上，∴解得：，综上所述，．【点睛】本题考查了二次函数综合问题，待定系数法求解析式，求锐角的正切值，全等三角形的性质，矩形的性质，勾股定理，熟练掌握以上知识是解题的关键．()143DQ mm =--=-226DM QD m ==-()21,6526M m m m -+--+()2141m m -++，PAM MCN≌1PA MC m ==-N ()2241132m m m m m -++--=-++S x 2265320m m m m -+--++=m =m =m =m =。
辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校2022-2023学年九年级上学期第一次月考数学试卷(含答案)
2022-2023学年辽宁省鞍山市铁东区华育外国语实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷考试注意事项：1、考生须诚信考试,遵守考场规则和考试纪律，并自觉服从监考教师和其他考试工作人员管理；2、监考教师发卷后，在试卷指定的地方填写本人准考证号、姓名等信息；考试中途考生不准以任何理由离开考场；3、考生答卷用笔必须使用同一规格同一颜色的笔作答(作图可使用铅笔) ，不准用规定以外的笔答卷，不准在答卷上作任何标记。
考生书写在答题卡规定区域外的答案无效。
4、考试开始信号发出后,考生方可开始作答。
一、选择题（每题3分，共24分）1．如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）xC．y＝（x﹣1）2D．y＝ax2+bx+c3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝6，则BC的长为（）A．10B．15C．18D．164．把方程3x2+x＝2（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．3，1，4B．3，﹣1，4C．3，﹣1，﹣4D．3，4，﹣1 5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝91B．（1+x）2＝91C．1+x+x2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝917．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（）A．（5，2）B．（1，5）C．（4，2）D．（1，5）或（4，2）8．在同一直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．二、填空题（每题3分，共24分）9．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为．10．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则的值为．11．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2，则y1，y2，y3的大小关系是（用“＜”连接）．12．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，若AE＝1，＝．13．如果关于x的一元二次方程（x﹣3）（mx﹣n）＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则的值为．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是．15．关于抛物线y＝﹣x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣1；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n＝0．其中正确的说法有．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC中点，连接DE交AC于点F，把线段DF绕点D顺时针旋转90°得DG，连接AG、FG，点M为线段FG的中点，连接AM、OM、BG，下列结论正确的有．①FA2+FC2＝FG2②AM＝BG③＝④三、解答题：（17题8分，18题8分，19题一-24题各10分，25题12分，26题14分）17．（8分）解下列方程：（1）2x2+8x+3＝0（配方法）；（2）3t2﹣t﹣3＝0．18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2．19．如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝9，BC＝6，求EF的长．22．一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为．（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．24．“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率．（2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元/千克？25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC，EF的中点．（1）如图1，若∠BAC＝120°，当点E是BC边的中点时，＝，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为度．（2）如图2，若∠BAC＝120°，当点E是BC边上任意一点时（不与BC重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）若∠BAC＝60°，AB＝6，点E在直线BC上运动，＝，若其它条件不变，过点C作CP∥MN，交直线EF于P，直接写出P到BC的距离．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2经过AB的中点D．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图1，在直线AB上方，y轴右侧的抛物线上是否存在一点M，使S△ABM＝，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点C是OB中点，连接CD，点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，请直接写出BP的长．参考答案一、选择题（每题3分，共24分）1．如图是四款新能源汽车的标志，其中是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【分析】根据中心对称图形的概念，把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，进行判断即可．解：A．是中心对称图形，故此选项符合题意；B．不是中心对称图形，故此选项不合题意；C．不是中心对称图形，故此选项不合题意；D．不是中心对称图形，故此选项不合题意；故选：A．【点评】本题考查的是中心对称图形的概念，正确掌握相关定义是解题关键．2．下列各式中，y是x的二次函数的是（）A．y＝3x B．y＝x2+（3﹣x）xC．y＝（x﹣1）2D．y＝ax2+bx+c【分析】根据二次函数的定义逐个判断即可．解：A．y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；B．y＝x2+（3﹣x）x＝x2+3x﹣x2＝3x，y是x的一次函数，不是二次函数，故本选项不符合题意；C．y是x的二次函数，故本选项符合题意；D．当a＝0时，y不是x的二次函数，故本选项不符合题意；故选：C．【点评】本题考查了二次函数的定义，能熟记二次函数的定义是解此题的关键，注意：形如y＝ax2+bx+c（a、b、c为常数，a≠0）的函数，叫二次函数．3．如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝2，BD＝3，DE＝6，则BC的长为（）A．10B．15C．18D．16【分析】通过证明△ADE∽△ABC，可得，即可求解．解：∵AD＝2，BD＝3，∴AB＝5，∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴，∴，∴BC＝15，故选：B．【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键．4．把方程3x2+x＝2（x﹣2）化成ax2+bx+c＝0的形式，则a，b，c的值分别为（）A．3，1，4B．3，﹣1，4C．3，﹣1，﹣4D．3，4，﹣1【分析】将原方程转化为一般形式，进而可得出a，b，c的值．解：将原方程转化为一般形式为3x2﹣x+4＝0，∴a＝3，b＝﹣1，c＝4．故选：B．【点评】本题考查了一元二次方程的一般形式，熟练掌握将给定一元二次方程转化为一般形式的方法是解题的关键．5．如图，已知AB∥CD∥EF，那么下列结论正确的是（）A．B．C．D．【分析】根据平行线分线段成比例定理逐个判断即可．解：A．∵AB∥CD∥EF，∴＝≠，故本选项不符合题意；B．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；C．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项不符合题意；D．∵AB∥CD∥EF，∴＝，故本选项符合题意；故选：D．【点评】本题考查了平行线分线段成比例定理，能根据平行线分线段成比例定理得出正确的比例式是解此题的关键．6．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是91，设每个支干长出x个小分支，则下列方程中正确的是（）A．1+x2＝91B．（1+x）2＝91C．1+x+x2＝91D．1+（1+x）+（1+x）2＝91【分析】根据题意，可以列出相应的方程：主干+支干+小分支＝91，进而得出答案．解：由题意可得，1+x+x•x＝1+x+x2＝91．故选：C．【点评】本题考查由实际问题抽象出一元二次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．7．如图，已知点A（2，0），B（0，4），C（2，4），线段AB绕着某点旋转一个角度与线段CD重合，若点A的对应点是点C，则这个旋转中心的坐标为（）A．（5，2）B．（1，5）C．（4，2）D．（1，5）或（4，2）【分析】对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．解：观察图象可知，旋转中心P的坐标为（4，2）．故选：C．【点评】本题考查坐标与图形变化﹣旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心．8．在同一直角坐标系中，当ab＞0时，y＝ax2与y＝ax+b的图象大致是（）A．B．C．D．【分析】根据ab＞0，可以得到a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，然后分类讨论y＝ax2与y＝ax+b的图象所在的象限，本题得以解决．解：∵ab＞0，∴a＞0，b＞0或a＜0，b＜0，当a＞0，b＞0时，函数y＝ax2的图象开口向上，顶点在原点，函数y＝ax+b的图象经过第一、三、四象限，故选项A、B错误，不符合题意；当a＜0，b＜0时，函数y＝ax2的图象开口向下，顶点在原点，函数y＝ax+b的图象经过第二、三、四象限，故选项C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意；故选：D．【点评】本题考查一次函数的图象、二次函数的图象，解答本题的关键是明确题意，利用一次函数的性质和二次函数的性质解答．二、填空题（每题3分，共24分）9．在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．【分析】关于原点的对称点，横纵坐标都变成原来相反数，据此求出点B的坐标．解：在平面直角坐标系中，点A（﹣2，1）与点B关于原点对称，则点B的坐标为（2，﹣1）．故答案为：（2，﹣1）．【点评】本题考查了关于原点对称的点的坐标特点：两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（﹣x，﹣y）．10．若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则的值为﹣2．【分析】先根据根与系数的关系得到m+n＝4，mn＝﹣2，然后利用整体代入的方法计算．解：根据题意得m+n＝4，mn＝﹣2，所以原式＝＝﹣2．故答案为﹣2．【点评】本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2＝﹣，x1x2＝．11．已知点A（﹣3，y1）、B（﹣1，y2）、C（2，y3）在抛物线y＝﹣2x2，则y1，y2，y3的大小关系是y1＜y3＜y2（用“＜”连接）．【分析】先分别计算出自变量为﹣3、﹣1和2所对应的函数值，然后比较函数值的大小即可．解：当x＝﹣3时，y1＝﹣2x2＝﹣18；当x＝﹣1时，y2＝﹣2x2＝﹣2；当x＝2时，y3＝﹣2x2＝﹣8，所以y1＜y3＜y2．故答案为：y1＜y3＜y2．【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征：二次函数图象上点的坐标满足其解析式．12．如图，在矩形ABCD中，若AB＝3，AC＝5，若AE＝1，＝．【分析】由矩形的性质得出∠ABC＝90°，AD∥BC，利用勾股定理求出BC＝4，利用相似三角形的性质，即可求出结果．解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，AD∥BC，∵AB＝3，AC＝5，∴BC＝＝4，∵AD∥BC，∴∠EAF＝∠BCF，∠AEF＝∠CBF，∴△EAF∽△BCF，∴＝，故答案为：．【点评】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，掌握矩形的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质是解决问题的关键．13．如果关于x的一元二次方程（x﹣3）（mx﹣n）＝0有两个实数根，且其中一个根为另一个根的3倍，则的值为2或18．【分析】利用一元二次方程的定义及因式分解法解一元二次方程，可求出方程的两根，结合其中一个根为另一个根的3倍，即可求出的值．解：∵关于x的一元二次方程（x﹣3）（mx﹣n）＝0有两个实数根，∴m≠0，且原方程的解为x1＝3，x2＝．当3是的3倍时，3＝3×，∴＝1，∴＝2；当是3的3倍时，＝3×3，∴＝2×3×3＝18．∴的值为2或18．故答案为：2或18．【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程以及一元二次方程的定义，利用因式分解法求出原方程的两个根是解题的关键．14．如图，在平面直角坐标系xOy中，三角板的直角顶点P的坐标为（2，2），一条直角边与x轴的正半轴交于点A，另一直角边与y轴交于点B，三角板绕点P在坐标平面内转动的过程中，当△POA为等腰三角形时，则点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．【分析】分三种情况：①当OA＝AP时，由已知可得B（0，2）；②当AP＝OP时，B 与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y 轴于N，证明△PNB≌△PMA（ASA），可得BN＝AM＝2﹣2，即有OB＝NO﹣BN＝4﹣2，故B（0，4﹣2）．解：①当OA＝AP时，如图：∵P的坐标为（2，2），∴此时A（2，0），∵∠APB＝90°，∴B（0，2）；②当AP＝OP时，如图：∵P的坐标为（2，2），∴∠POA＝∠PAO＝45°，∴∠P＝90°，∴此时B与O重合，即B（0，0）；③当OP＝OA＝2时，过P作PM⊥x轴于M，作PN⊥y轴于N，如图：∵∠APB＝90°，∴∠NPB＝90°﹣∠BPM＝∠MPA，∵NP＝MP＝2，∠PNB＝∠PMA，∴△PNB≌△PMA（ASA），∴BN＝AM＝2﹣2，∴OB＝NO﹣BN＝2﹣（2﹣2）＝4﹣2，∴B（0，4﹣2），综上所述，点B的坐标是（0，2）或（0，0）或（0，4﹣2）．【点评】本题考查平面直角坐标系中的旋转，解题的关键是分类画出图形，讨论得到答案．15．关于抛物线y＝﹣x2，给出下列说法：①物线开口向下，顶点是原点；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y＜﹣1；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，则m+n＝0．其中正确的说法有①②④．【分析】由抛物线的解析式可求得其对称轴、开口方向、顶点坐标，进一步可得出其增减性，可得出答案．解：∵y＝﹣x2，∴①抛物线开口向下，顶点是原点，故①正确；②抛物线开口向下，对称轴为x＝0，当x＞1时，y随x的增大而减小，故②正确；③当﹣1＜x＜2时，﹣4＜y≤0，故③错误；④若（m，p）、（n，p）是该抛物线上两点，可知这两点关于y轴对称，所以m+n＝0，故④正确．所以正确的有①②④，故答案为：①②④．【点评】本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y ＝a（x﹣h）2+k中，对称轴为x＝h，顶点坐标为（h，k）．16．如图，在正方形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E为边BC中点，连接DE交AC于点F，把线段DF绕点D顺时针旋转90°得DG，连接AG、FG，点M为线段FG的中点，连接AM、OM、BG，下列结论正确的有①③④．①FA2+FC2＝FG2②AM＝BG③＝④【分析】由四边形ABCD是正方形，得AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，则∠DCA＝∠DAC＝45°，由旋转得DG＝DF，∠GDF＝90°，则∠ADG＝∠CDF，即可证明△ADG≌△CDF，得AG＝CF，∠DAG＝∠DCF＝45°，则∠FAG＝90°，所以FA2+FC2＝FA2+AG2＝FG2，可判断①正确；作GI⊥AB交BA的延长线于点I，设AB＝AD＝BC＝DC＝2m，则BE＝CE＝BC＝m，由勾股定理得DE＝m，AC＝2m，则OC＝OD＝OA＝m，再证明△CEF∽△ADF，得＝＝＝，则AG＝CF＝AC＝m，DF＝DE＝m，FG＝DF ＝m，再求得BG＝m，由∠FAG＝90°，点M为线段FG的中点，得AM ＝FM＝GM＝FG，可知AM≠BG，可判断②错误；因为OF＝m﹣m＝m，所以＝，可判断③正确；连接DM，作MH⊥OA于点H，则DM＝AM＝FG，再证明△OMD≌△OMA，得∠DOM＝∠AOM＝∠AOD＝45°，根据三角形的中位线定理求得HM＝AG＝m，则OM ＝HM＝m，所以＝，可判断④正确，于是得到问题的答案．解：∵四边形ABCD是正方形，∴AD＝CD，∠ADC＝∠BCD＝90°，∴∠DCA＝∠DAC＝45°，由旋转得DG＝DF，∠GDF＝90°，∴∠ADG＝∠CDF＝90°﹣∠ADE，∴△ADG≌△CDF（SAS），∴AG＝CF，∠DAG＝∠DCF＝45°，∴∠FAG＝90°，∴FA2+AG2＝FG2，∴FA2+FC2＝FG2，故①正确；作GI⊥AB交BA的延长线于点I，设AB＝AD＝BC＝DC＝2m，∵点E为边BC中点，∴BE＝CE＝BC＝m，∴DE＝＝m，AC＝＝2m，∵OC＝OA＝AC＝m，OD＝OB＝BD，且AC＝BD，∴OC＝OD＝OA＝m，∵CE∥AD，∴△CEF∽△ADF，∴＝＝＝＝，∴AG＝CF＝AC＝m，DF＝DE＝m，∴FG＝＝＝DF＝×m＝m，∵∠I＝90°，∠IAG＝90°﹣∠DAG＝45°，∴∠IGA＝∠IAG＝45°，∴AI＝GI，∴2AI2＝2GI2＝AI2+GI2＝AG2＝（m）2＝m2，∴AI＝GI＝m，∴BG＝＝m，∴FG≠BG，∵∠FAG＝90°，点M为线段FG的中点，∴AM＝FM＝GM＝FG，∴AM≠BG，故②错误；∵OF＝m﹣m＝m，∴＝＝，故③正确；连接DM，作MH⊥OA于点H，则DM＝AM＝FG，∵AD⊥BD，∴∠AOD＝90°，∵OD＝OA，DM＝AM，OM＝OM，∴△OMD≌△OMA（SSS），∴∠DOM＝∠AOM＝∠AOD＝45°，∵∠FHM＝∠FAG＝90°，∴HM∥AG，∴＝＝1，∴FH＝AH，∴HM＝AG＝×m＝m，∵∠HMO＝∠HOM＝45°，∴HO＝HM，∴OM＝＝＝HM＝×m＝m，∴＝＝，故④正确，故答案为：①③④．【点评】此题重点考查正方形的性质、旋转的性质、等腰直角三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、三角形的中位线定理、勾股定理等知识，此题综合性强，难度较大，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．三、解答题：（17题8分，18题8分，19题一-24题各10分，25题12分，26题14分）17．（8分）解下列方程：（1）2x2+8x+3＝0（配方法）；（2）3t2﹣t﹣3＝0．【分析】（1）利用解一元二次方程﹣配方法，进行计算即可解答；（2）利用解一元二次方程﹣公式法，进行计算即可解答．解：（1）2x2+8x+3＝0，x2+4x+＝0，x2+4x＝﹣，x2+4x+4＝﹣+4，（x+2）2＝，x+2＝±，x+2＝或x+2＝﹣，x1＝﹣2，x2＝﹣﹣2；（2）3t2﹣t﹣3＝0，∵Δ＝（﹣）2﹣4×3×（﹣3）＝2+36＝38＞0，∴t＝，∴t1＝，t2＝．【点评】本题考查了解一元二次方程﹣公式法，配方法，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．18．（8分）△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，其中每个小正方形的边长为1个单位长度，按要求作图：（1）画出△ABC关于原点O的中心对称图形△A1B1C1．（2）画出将△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A2B2C2．【分析】（1）根据中心对称的性质作图即可．（2）根据旋转的性质作图即可．解：（1）如图，△A1B1C1即为所求．（2）如图，△A2B2C2即为所求．【点评】本题考查作图﹣旋转变换、中心对称，熟练掌握旋转和中心对称的性质是解答本题的关键．19．如图，AD、BC相交于点P，连接AC、BD，且∠1＝∠2，AC＝3，CP＝2，DP＝1，求BD的长．【分析】先由∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，证明△APC∽△BPD，然后列比例式求出BD 的长．解：∵∠1＝∠2，∠APC＝∠BPD，∴△APC∽△BPD，∴＝，BD＝＝＝，∴BD的长为．【点评】此题考查相似三角形的判定与性质，难度不大，是很好的练习题．20．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1＝0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|＝x1•x2，求k的值．【分析】（1）根据方程有两个不相等的实数根可得Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，求出k的取值范围；（2）首先判断出两根均小于0，然后去掉绝对值，进而得到2k+1＝k2+1，结合k的取值范围解方程即可．解：（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴Δ＝（2k+1）2﹣4（k2+1）＝4k2+4k+1﹣4k2﹣4＝4k﹣3＞0，解得：k＞；（2）∵k＞，∴x1+x2＝﹣（2k+1）＜0，又∵x1•x2＝k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0，∴|x1|+|x2|＝﹣x1﹣x2＝﹣（x1+x2）＝2k+1，∵|x1|+|x2|＝x1•x2，∴2k+1＝k2+1，∴k1＝0，k2＝2，又∵k＞，∴k＝2．【点评】此题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0根的判别式和根与系数的关系的应用，（1）Δ＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根；（3）Δ＜0⇔方程没有实数根；（4）x1+x2＝﹣；（5）x1•x2＝．21．如图，在矩形ABCD中，E是BC的中点，DF⊥AE，垂足为F．（1）求证：△ABE∽△DFA；（2）若AB＝9，BC＝6，求EF的长．【分析】（1）由矩形性质得AD∥BC，进而由平行线的性质得∠AEB＝∠DAF，再根据两角对应相等的两个三角形相似；（2）由E是BC的中点，求得BE，再由勾股定理求得AE，再由相似求AF，即可求EF．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC，∠B＝90°，∴∠DAF＝∠AEB，∵DF⊥AE，∴∠AFD＝∠B＝90°，∴△ABE∽△DFA；（2）解：∵E是BC的中点，BC＝6，∴BE＝3，∵AB＝9，∴AE＝＝3，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC＝4，∵△ABE∽△DFA，∴＝，＝，AF＝，∴EF＝AE﹣AF＝．【点评】本题主要考查了矩形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，关键是证明三角形相似．22．一块长30cm，宽12cm的矩形铁皮．（1）如图1，在铁皮的四角各切去一个同样的正方形，然后将四周突出部分折起，就能制作成一个底面积为144cm2的无盖方盒，如果设切去的正方形的边长为xcm，则可列方程为（30﹣2x）（12﹣2x）＝144；．（2）由于实际需要，计划制作一个有盖的长方体盒子，为了合理使用材料，某学生设计了如图2的裁剪方案，空白部分为裁剪下来的边角料，其中左侧两个空白部分为正方形，问能否折出底面积为104cm2的有盖盒子（盒盖与盒底的大小形状完全相同）？如果能，请你求出裁去的左侧正方形的边长；如果不能，请说明理由．【分析】（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于x的一元二次方程，此问得解；（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，根据矩形的面积公式，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其较小值即可．解：（1）设切去的正方形的边长为xcm，则折成的方盒的底面为长（30﹣2x）cm，宽为（12﹣2x）cm的矩形，依题意，得：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144．故答案为：（30﹣2x）（12﹣2x）＝144；（2）设切去的正方形的边长为ycm，则折成的长方体盒子的底面为长（﹣y）cm，宽为（12﹣2y）cm的矩形，依题意，得：（﹣y）（12﹣2y）＝104，整理，得：y2﹣21y+38＝0，解得：y1＝2，y2＝19（不合题意，舍去），∴y＝2．答：能折出底面积为104cm2的有盖盒子，正方形的边长为2cm．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．23．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，点D是斜边AC的中点，连接DB，线段AE⊥线段BD交BC于点E，交DB于点G，垂足为点G．（1）求证：EB2＝EG•EA；（2）联结CG，若∠CGE＝∠DBC，求证：BE＝CE．【分析】（1）根据相似三角形的判定与性质可得结论；（2）由直角三角形的性质得BD＝AC＝CD，再由相似三角形的判定与性质可得EC2＝GE•EA，结合（1）的结论可得答案．【解答】证明：（1）∵AE⊥BD，∴∠BGE＝90°，∵∠ABC＝90°，∴∠BGE＝∠ABE，∵∠BEG＝∠AEB，∴△ABE∽△BGE，∴＝，即EB2＝EG•EA；（2）在Rt△ABC中，点D是斜边AC的中点，∴BD＝AC＝CD，∴∠DBC＝∠DCB，∵∠CGE＝∠GEC，∴∠CGE＝∠DCB，∵∠GEC＝∠GEC，∴△GEC∽△CEA，∴＝，∴EC2＝GE•EA，由（1）知EB2＝EG•EA，∴EC2＝EB2，∴BE＝CE．【点评】此题考查的是相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、等腰三角形的性质，掌握相似三角形的判定与性质是解决此题关键．24．“南国梨”素有“梨中之王”美称，主产于中国辽宁省的鞍山，某南国梨种植基地2020年种植64亩，到2022年的种植面积达到100亩．（1）求该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率．（2）某超市调查发现，当“南国梨”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每千克上涨0.5元，每周销售量减少10千克，已知该超市“南国梨”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过17元/千克．若使销售“南国梨”每周获利2400元，则售价应多少元/千克？【分析】（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，利用该南国梨种植基地2022年种植面积＝该南国梨种植基地2020年种植面积×（1+该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率）2，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论；（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为（y﹣6）元，每周能售出（560﹣20y）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×每周的销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论．解：（1）设该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为x，依题意得：64（1+x）2＝100，解得：x1＝0.25＝25%，x2＝﹣2.25（不符合题意，舍去）．答：该基地这两年“南国梨”种植面积的平均增长率为25%．（2）设售价为y元/千克，则每千克的销售利润为（y﹣6）元，每周能售出400﹣10×＝（560﹣20y）千克，依题意得：（y﹣6）（560﹣20y）＝2400，整理得：y2﹣34y+288＝0，解得：y1＝16，y2＝18（不符合题意，舍去）．答：售价应为16元/千克．【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．25．（12分）如图，在△ABC中，AB＝AC，E是线段BC上一动点（不与B、C重合），连接AE，将线段AE绕点A逆时针旋转与∠BAC相等的角度，得到线段AF，连接EF，点M和点N分别是边BC，EF的中点．（1）如图1，若∠BAC＝120°，当点E是BC边的中点时，＝，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60度．（2）如图2，若∠BAC＝120°，当点E是BC边上任意一点时（不与BC重合），上述两个结论是否成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．（3）若∠BAC＝60°，AB＝6，点E在直线BC上运动，＝，若其它条件不变，过点C作CP∥MN，交直线EF于P，直接写出P到BC的距离2．【分析】（1）证明AC⊥EF，利用直角三角形30度角的性质证明即可；（2）结论成立．如图2中，连接AM，AN．证明△BAE∽△MAN，推出∠B＝∠AMN＝30°，＝＝2，可得结论；（3）如图3中，连接AM，AN，过点P作PH⊥BC于点H．证明△BAE∽△MAN，推出＝＝，∠AMN＝∠ABE＝60°，利用平行线分线段成比例定理求出PC，可得结论．解：（1）如图1中，∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥CB，∠BAM＝∠CAM＝∠BAC＝60°，∵∠EAF＝∠BAC＝120°，∴∠CAE＝∠CAF＝60°，∵AE＝AF，∴AC⊥EF，EN＝FN，∵∠C＝∠B＝30°，∴EC＝2MN，∠FEC＝60°∴BE＝2MN，直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60°．故答案为：，60；（2）结论成立．理由：如图2中，连接AM，AN．∵AB＝AC，BM＝CM，∴AM⊥CM，∵∠BAC＝120°，∴∠B＝∠C＝30°，∴∠BAM＝60°，∴AB＝2AM，同法可证AE＝2AN，∠EAN＝60°，∴∠BAM＝∠EAN＝60°，∴∠BAE＝∠MAN，∵＝＝2，∴△BAE∽△MAN，∴∠B＝∠AMN＝30°，＝＝2，∴＝，∠NMC＝60°，∴直线BE与MN相交所成的锐角的度数为60°；（3）如图3中，连接AM，AN，过点P作PH⊥BC于点H．∵△ABC，△AEF都是等边三角形，BM＝CM，EN＝FN，∴AM⊥BC，AN⊥EF，∴＝＝，∵∠BAM＝∠EAN＝30°，∴∠BAE＝∠MAN，∴△BAE∽△MAN，∴＝＝，∠AMN＝∠ABE＝60°，∵∠AMC＝90°，∴∠NMC＝30°，∵AB＝6，BE：EC＝1：2，∴BE＝2，EC＝4，∵BM＝CM＝3，∴EM＝1，∴MN＝，∵MN∥CP，∴＝，∠PCH＝∠NMC＝30°，∴＝，∴CP＝4，∴PH＝PC＝2，∴点P到BC的距离为2．故答案为：2．【点评】本题属于几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，等边三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于思考常考题型．26．如图，在平面直角坐标系中，直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，抛物线y＝ax2经过AB的中点D．（1）直接写出抛物线解析式；（2）如图1，在直线AB上方，y轴右侧的抛物线上是否存在一点M，使S△ABM＝，若存在，求出M点坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，点C是OB中点，连接CD，点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，请直接写出BP的长．【分析】（1）根据题意可得B（0，3），A（4，0），根据抛物线y＝ax2经过AB的中点D，可得D（2，），进而可得抛物线解析式；（2）过点M作MN∥y轴交AB于点N，设M（m，m2），则N（m，﹣m+3），所以MN＝m2+m﹣3，根据S△ABM＝S△BMN+S△AMN＝MN•OA＝，列出方程求解即可解决问题；（3）根据点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，设PB′交y轴于点E，设P（x，﹣x+3），则EP＝x，OE＝﹣x+3，可得BE＝x，根据勾股定理可得PB＝x，然后根据翻折可得CB′＝CB＝，PB＝PB′＝x，根据勾股定理求出x的值，进而可以解决问题．解：（1）∵直线y＝﹣x+3与x轴，y轴分别相交于A、B两点，令x＝0，则y＝3，∴B（0，3），令y＝0，则x＝4，∴A（4，0），∵抛物线y＝ax2经过AB的中点D，∴D（2，），将D（2，）代入抛物线y＝ax2，得a＝，∴抛物线解析式为y＝x2；（2）如图1，在直线AB上方，y轴右侧的抛物线上存在一点M，使S△ABM＝，理由如下：过点M作MN∥y轴交AB于点N，设M（m，m2），则N（m，﹣m+3），∴MN＝m2﹣（﹣m+3）＝m2+m﹣3，∵S△ABM＝，∴S△ABM＝S△BMN+S△AMN＝MN•OA＝，∴（m2+m﹣3）×4＝，整理得m2+2m﹣15＝0，解得m1＝3，m2＝﹣5（舍去），∴M点坐标为（3，）；（3）如图，点P是线段AB上的动点，将△BCP沿CP翻折，使点B落在点B'处，当PB'平行于x轴时，设PB′交y轴于点E，∵B（0，3），∴OB＝3，设P（x，﹣x+3），则EP＝x，OE＝﹣x+3，∴BE＝OB﹣OE＝3﹣（﹣x+3）＝x，∵点C是OB中点，∴OC＝BC＝，∴PB2＝BE2+PE2＝（x）2+x2＝x2，∴PB＝x（负值舍去），根据翻折可知：CB′＝CB＝，PB＝PB′＝x，在Rt△CB′E中，CE＝OC﹣OE＝﹣（﹣x+3）＝x﹣，B′E＝PB′﹣PE＝x﹣x＝x，根据勾股定理得：CE2+B′E2＝CB′2，∴（x﹣）2+（x）2＝（）2，整理得x2﹣x＝0，解得x1＝，x2＝0（舍去），∴PB＝x＝×＝，答：BP的长为．【点评】本题属于二次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式，坐标系中图形的面积计算方法，轴对称的性质，勾股定理，一元二次方程，解本题的关键是判断出CD平行于x轴．。
2024-2025学年吉林省长春五十二中赫行实验学校九年级(上)第一次月考数学试卷(含详解)
2024-2025学年吉林省长春五十二中赫行实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共24分）1．（3分）下列各式中，是最简二次根式的是（ ）A．B．C．D．2．（3分）下列计算错误的是（ ）A．B．3C．D．3．（3分）如图，AD∥BE∥CF，AB＝3，BC＝6，DE＝2.5，则EF的值为（ ）A．5B．7.5C．2.5D．104．（3分）若a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，则2024﹣6a2+2a的值是（ ）A．2026B．2025C．2023D．20225．（3分）如图，将一扇车门侧开，车门和车身的夹角∠MON为72°，车门的底边长ON为0.95米，则车门底边上点N到车身OM的距离为（ ）A．0.95sin72°米B．0.95cos72°米C．0.95tan72°米D．0.95米6．（3分）如图，△ABC与△DEF是位似图形，点O是位似中心，若OA：OD＝1：3，△ABC的面积为3，则△DEF的面积为（ ）A．6B．9C．12D．277．（3分）如图，在矩形ABCD中，BC＝8，延长DA到点E，连接CE交AB于点G，点F为CE的中点，连接DF，以点D为圆心，DF长为半径的圆弧经过点G，连接DG，若CE＝20，则AG的长为（ ）A．4B．5C．6D．88．（3分）如图，点A，B在反比例函数的图象上，AC⊥y轴，垂足为D，BC⊥AC，若四边形AOBC 的面积为6，，则k的值为（ ）A．1B．2C．3D．4二、填空题（每小题3分，共18分）9．（3分）若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围为 ．10．（3分）若关于x的一元二次方程x2﹣2x+k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．11．（3分）围棋起源于中国，棋子分黑白两色．一个不透明的盒子中装有3个黑色棋子和2个白色棋子，每个棋子除颜色外都相同，任意摸出一个棋子，摸到黑色棋子的概率是 ．12．（3分）如图，∠AOB是放置在正方形网格中的一个角，则cos∠AOB的值是 ．13．（3分）如图，在▱ABCD中，点E是AD中点，连接BE，交AC于点F，如果△AEF的面积为2，则▱ABCD的面积为 ．14．（3分）如图，在矩形ABCD中，E是AD边的中点，BE⊥AC于点F，DG⊥AC于G．连接DF．下列四个结论中正确的有 ．①△AEF∽△CAB；②；③DF＝AB；④．三、解答题（共10小题，共78分）15．计算：sin60°•tan45°+3cos60°•tan30°．16．解方程：x2+4x﹣12＝0．17．“二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”，小明购买了“二十四节气”主题邮票，他将“立春”“清明”“雨水”三张纪念邮票（除正面内容不同外，其余均相同）背面朝上，洗匀放好．小明从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面向下放回，洗匀后再从中随机抽取一张邮票，请用画树状图或列表的方法，求小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率（这三张邮票依次分别用字母A，B，C表示）．18．如图，一块长和宽分别为60厘米和40厘米的长方形铁皮，要在它的四角截去四个相等的小正方形，折成一个无盖的长方体水槽，使它的底面积为800平方厘米．则截去正方形的边长为 ．19．如图是由边长为1的小正方形组成的3×3网格，△ABC的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．（1）△ABC的面积为 ；（2）图①中，画出△ABC的中线AD；（3）图②中，在△ABC的边BC上找一点F，连结AF，使△ABF的面积为1．20．图1是一辆登高云梯消防车的实物图，图2是其工作示意图，起重臂AC是可伸缩的（10m≤AC≤20m），且起重臂AC可绕点A在一定范围内转动，张角为∠CAE（90°≤∠CAE≤155°），转动点A 距离地面BD的高度AE为4m．某日，一居民家突发险情，该居民家距离地面的高度为21m，通过计算说明该消防车能否实施有效救援？（参考数据：，）21．如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B．（1）求证：△ADF∽△DEC；（2）若AB＝8，AD＝6，AF＝4，求AE的长．22．阅读材料：我们来看看完全平方公式在无理数化简中的作用．问题提出：该如何化简？建立模型：形如的化简，只要我们找到两个数a，b，使a+b＝m，ab＝n，这样，．那么便有：，问题解决：化简：，解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即，．∴．模型应用1：利用上述解决问题的方法进行化简：（1）；（2）小张同学在化简时，解决这个问题的过程如下．①＝②＝③＝④在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ．模型应用2：（3）在Rt△ABC中，∠C＝90°，，，那么BC边的长为 （结果化成最简）．23．【教材呈现】下图是华师版九年级上册数学教材第77页的部分内容．猜想：如图．在△ABC中，点D、E分别是AB与AC的中点，根据画出的图形，可以猜想：DE∥BC，且．对此，我们可以用演绎推理给出证明．【定理证明】（1）请根据相似三角形的判定定理的相关内容，结合图①，写出证明过程．【定理应用】：（2）如图②，在△ABC中，AD垂直于∠ABC的平分线BE于点E，且交BC边于点D，点F为AC的中点．若AB＝3，BC＝8，则EF的长为 ．（3）如图③，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，点E在边AB上，且AE＝3BE．将线段AE绕点A 旋转一定的角度α（0≤α≤360°），得到线段AE'，连结CE'．点H为CE'的中点，连结BH．设BH 的长度为m．则m的最大值为 ．24．如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4．动点P从点A出发，沿AC方向以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，将线段AP绕点P逆时针旋转90°，得到线段PQ，过点Q作QM⊥AB，交射线AC于点M．设点P的运动时间为t秒．（1）线段MP的长为 （用含t的代数式表示）；（2）当点M与点C重合时，求t的值；（3）设△PQM与△ABC重叠部分图形的面积为S（S＞0），求S与t之间的函数关系式；（4）取线段PM的中点H，作直线BH，当直线BH将△PQM分成的两部分图形的面积比为1：3时，直接写出此时t的值．2024-2025学年吉林省长春五十二中赫行实验学校九年级（上）第一次月考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题3分，共24分）1．【解答】解：A、，则A选项错误，不符合题意；B、，则B选项错误，不符合题意；C、是最简二次根式，正确，故符合题意；D、，则D选项错误，不符合题意．故选：C．2．【解答】解：A．÷2＝2÷2＝，故选项A正确，不符合题意；B．3与2不能合并，故选项B错误，符合题意；C．＝，故选项C正确，不符合题意；D．＝2＝，故选项D正确，不符合题意；故选：B．3．【解答】解：∵AD∥BE∥CF，∴＝，∴＝，∴EF＝5．故选：A．4．【解答】解：∵a是关于x的方程3x2﹣x﹣1＝0的一个根，∴3a2﹣a＝1，∴2022﹣6a2+2a＝2024﹣2（3a2﹣a）＝2024﹣2×1＝2022，故选：D．5．【解答】解：过点N作NA⊥OM，垂足为A，在Rt△ONA中，∠MON＝72°，ON＝0.95米，∴NA＝ON•sin72°≈0.95sin72°（米），∴车门底边上点N到车身OM的距离为0.95sin72°米，故选：A．6．【解答】解：∵△ABC与△DEF是位似图形，∴△ABC∽△DEF，AB∥DE，∴△OAB∽△ODE，∴＝＝，∴＝（）2＝，∵△ABC的面积为3，∴△DEF的面积为27，故选：D．7．【解答】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠EDC＝90°，AD＝BC＝8，∴△EDC是直角三角形，∵F是CE的中点，∴DF＝CF＝EF＝＝10，∴DG＝10，∵AG2＝DG2﹣AD2，∴AG＝6，故选：C．8．【解答】解：设点A（a，），则AD＝a，OD＝，∵，∴AC＝2a，CD＝3a，∵BC∥y轴，∴B（3a，），∴BC＝＝，∵S梯形OBCD＝S△AOD+S四边形AOBC，∴，解得k＝3．故选：C．二、填空题（每小题3分，共18分）9．【解答】解：∵二次根式在实数范围内有意义，∴x﹣3≥0，解得x≥3．故答案为：x≥3．10．【解答】解：根据题意得Δ＝（﹣2）2﹣4×k＞0，解得k＜1．故答案为：k＜1．11．【解答】解：∵任意摸出一个棋子，一共有5种等可能性，黑色棋子有3种等可能性，∴摸到黑色棋子的概率是．故答案为：．12．【解答】解：连接AB，∵OA2＝12+32＝10，AB2＝12+32＝10，OB2＝22+42＝20，∴OA2+AB2＝OB2，OA＝AB，∴△AOB是等腰直角三角形，即∠OAB＝90°，∴∠AOB＝45°，∴cos∠AOB＝cos45°＝．故答案为：．13．【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝BC，∴∠EAC＝∠BCF，∠AFC＝∠BFD故△AEF∽△CBF，∵点E是AD的中点，∴，∴，∵△AEF的面积是2，∴S△BCF＝8，∴，∴S△ABC＝S△ABF+S△BCF＝12，∴S▱ABCD＝2S△ABC＝2×12＝24．故答案为：24．14．【解答】解：∵AD＝BC，AD∥BC，∠ABC＝∠BAD，AB＝CD，∴∠EAC＝∠ACB，∵BE⊥AC，∴∠AFE＝90°，∵∠AFE＝∠CBA＝90°，∠EAF＝∠BCA，∴△AEF∽△CAB，故①正确；∵EF∥DG，∴△AEF∽△ADG，∴，∵AE＝AD，∴；延长DG交BC于H，∵DE∥BH，BE∥DH，∴BEDH是平行四边形，∴，同理，∴AF＝FG＝CG，即，故②正确；∵FG＝CG，DG⊥CF，∴DC＝DF，∴DF＝AB，故③正确；设△AEF的面积为S，则S△DEF＝S，∴S△DFG＝S△DCG＝S△DAF＝2S，∴S△ACD＝6S，S四边形CDEF＝5S，∴，∴，∴S△ABF＝2S，∴．故④正确．故答案为：①②③．三、解答题（共10小题，共78分）15．【解答】解：原式＝＝＝．16．【解答】解：分解因式得：（x﹣2）（x+6）＝0，可得x﹣2＝0或x+6＝0，解得：x1＝2，x2＝﹣6．17．【解答】解：树状图如图所示：共有9种等可能的结果，其中两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的情况有5种，∴小明两次抽取的邮票中至少有一张是“雨水”的概率为．18．【解答】解：设截去正方形的边长为x厘米，由题意得，长方体底面的长和宽分别是：（60﹣2x）厘米和（40﹣2x）厘米，所以长方体的底面积为：（60﹣2x）（40﹣2x）＝800，即：x2﹣50x+400＝0，解得x1＝10，x2＝40（不合题意舍去）．答：截去正方形的边长为10厘米．故答案为：10厘米．19．【解答】解：（1）∵，故答案为：4；（2）如图①所示：AD即为△ABC的中线；（3）如图②所示：△ABF即为所求．20．【解答】解：当AC＝20m，∠CAE＝150°时，作CF⊥BD交BD于点F，作AM⊥CF交CF于点M，如图，∵∠AEF＝∠EFM＝∠FMA＝90°，∴四边形AMFE是矩形，∴AE＝MF＝4m，∠EAM＝90°，∵∠CAE＝150°，∴∠CAM＝60°，在Rt△AMC中，sin∠CAM＝＝，∴CM＝20•sin60°＝20×≈17.32（m），∴CF＝CM+MF＝21.32m，∵21.32m＞21m，∴该消防车能实施有效救援．21．【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AB∥CD，AD∥BC，∴∠C+∠B＝180°，∠ADF＝∠DEC．∵∠AFD+∠AFE＝180°，∠AFE＝∠B，∴∠AFD＝∠C．在△ADF与△DEC中，∴△ADF∽△DEC．（2）解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴CD＝AB＝8．由（1）知△ADF∽△DEC，∴，∴DE＝＝＝12．∵AD∥BC，AE⊥BC，∴AE⊥AD，∴∠EAD＝90°，在Rt△ADE中，由勾股定理得：AE＝＝＝6．22．【解答】解：（1）＝，∵5+8＝13，5×8＝40，即，，∴＝＝＝＝；（2）①＝②＝③＝④，故答案为：①，③，④；．（3）∵∠C＝90°，，，由题意可得：＝＝＝＝＝＝＝＝＝．故答案为：．23．【解答】（1）证明：∵点D、E分别是AB与AC的中点，∴，∵∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC，∴∠ADE＝∠ABC，，∴DE∥BC，；（2）解：∵BE平分∠BAC，BE⊥AD于点E，∴∠ABE＝∠DBE，∠BEA＝∠DEB＝90°，又∵BE＝BE，∴△AEB≌△DEB（ASA），∴AE＝DE，BD＝AB＝3，∴CD＝BC﹣BD＝8﹣3＝5，又∵点F是AC的中点，∴，故答案为：；（3）解：如图③中，延长CB到T，使CB＝BT，连接AT，TE'．∵CH＝HE'，CB＝BT，∴，∵四边形ABCD是矩形，∴∠ABC＝∠ABT＝90°，AD＝BC，∵AB＝8，BC＝4，∴BC＝AD＝BT＝4，∴，∵AE＝3BE，AB＝8，∴AE＝AE'＝6，∴，∴，即，∴m的最大值为．故答案为：．24．【解答】解：（1）QM⊥AB，∠ABC＝90°，∴QM∥BC，∴∠QMP＝∠C，∵∠QPM＝∠ABC＝90°，∴△ABC∽△QPM，∵AP＝PQ＝t，∴，∴，∴MP＝t，故答案为：t；（2）当点M于点C重合，由勾股定理得：AC＝，∴AC＝AP+MP＝t+t＝5，解得：t＝；（3）∵∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝4，①当0＜t≤时，S＝，②当＜t＜5时，有△CPD∽△CBA，∴，∴，∴S＝，综上所述，S＝，（4）①若S△HME：S四边形PQEH＝1：3，即BH过QM的中点，则S△HME：S△PQM＝1：4，∵HM：PM＝1：2，∴HE：PQ＝1：2，∵H为PM的中点，∴EH⊥PM，∴BH⊥AC，∴AH＝，解得：t＝，②若S△HME：S四边形PQEH＝3：1，当BH过PQ的中点时，∵QM∥BC，∴点H与点C重合，∴tan∠ACB＝，∴，∴t＝3．。
江苏省无锡市宜兴市实验中学2024-2025学年上学期九年级数学10月月考试卷[含答案]
宜兴市实验教育集团2024～2025学年第一学期第一次初三年级数学练习一、精心选一选：（本大题共10小题，每题3分共30分）1．下列方程是一元二次方程的是（ ）A ．3210x y +-=B ．25630x y -=-C ． 22ax x -+D ． 210x -=2．将方程2274x x +=改写成20ax bx c ++=的形式，则a ，b ，c 的值分别为（ ）A ．2，4，7B ．2，4，7- C ．2，4-，7D ．2，4-，7-3．用配方法解方程2410x x ++=时，配方结果正确的是（ ）A ．2(2)5x -=B ．2(2)3x -=C ．2(2)5x +=D ．2(2)3x +=4．已知25a b =，则b a a -的值为（ ）A ．32B ．23C ．25D ．525．已知线段2cm a =，线段8cm b =，则线段a 、b 的比例中项是（ ）A ．16cmB ．10cmC ．4cmD ．4cm ± 6．下列各组图形中一定相似的是（ ）．A ．两个直角三角形B ．两个等边三角形C ．两个菱形D ．两个矩形7．如图，在ABCD Y 中，点E 在AD 上，且2AE ED =，CE 交对角线BD 于点F ，若2DEF S =△，则BCF S V 为（ ）A ．4B ．6C ．9D ．188．如图，在ABC V 中，点P 在边AB 上，则在下列四个条件中：①ACP B Ð=Ð；②APC ACB Ð=Ð；③2AC AP AB =×；④AB CP AP CB ×=×，能满足APC △与ACB △相似的条件以及性质的是（ ）A ．①②④B ．①③④C ．②③④D ．①②③9．如图，在宽为20m ，长为32m 的矩形地面上修筑同样宽的道路（图中阴影部分），余下的部分种上草坪．要使草坪的面积为2540m ，求道路的宽．如果设小路宽为m x ，根据题意，所列方程正确的是（ ）A ．(20)(32)540x x --=B ．()()20323220540x x --=´-C ．()()202322540x x --=D ．()()2023223220540x x --=´-10．如图，矩形ABCD 沿着GE 、EC 、GF 翻折，使得点A 、B 、D 恰好都落在点O 处，且点G 、O 、C 在同一条直线上，同时点E 、O 、F 在另一条直线上．小炜同学得出以下结论：①GF EC ∥；②AB AD ；③GE ；④O C F =；⑤COF CEG △∽△．其中正确的是（ ）A ．①②③B ．①③C ．①③④D ．①②③④⑤二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分.）11．在比例尺为11000000∶的地图上，测得A B 、两城市的距离是3.5cm ，则A B 、两城市的实际距离是 km ．12．已知m 是方程2220220x x --=的一个根，则224m m -的值为 ．13．已知线段1AB =，点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，则AC =14．ADE ABC △△∽，相似比为1:2，则ADE V 与ABC V 的周长比为 ．15．关于x 的一元二次方程2104ax x --=有两个相等的实数根，则点(2,3)P a a --+在第 象限16．菱形的两条对角线的长是方程2530x x -+=的两根，则菱形的面积是 ．17．如图，矩形ABCD 中，8,3AB AD ==，点E 为CD 的中点，点P 为边AB 上一个动点，连接,AE PE ，过点P 作PQ AE ^于点Q ，当PQE ADE V V ∽时，AP 的长为18．如图，平行四边形A ABCD 中，点O 为线段AC 与BD 的交点，若8AB AC ==，BC m =，点E 为线段AB 上一点，且1BE =，P 点是线段BC 上的一点．若在线段BC 上有且只有两个点P 使得BEP △与COP V 相似，则m 的值为 ．三．解答题（本题共9大题，共96分．）19．解一元二次方程：(1)()2259x -=(2)2496x x -=(3)23520x x +-=(4)()()22520x x ---=20．如图，在ABC V 中，C ADE Ð=Ð，3AB =，2AD =，8AC =．(1)求证：ADE ACB V V ∽；(2)求AE 的长．21．如图所示，在44´的正方形方格中，ABC V 和DEF V 的顶点都在边长为1的小正方形的顶点上．(1)填空：ABC Ð=______，BC =______；(2)判断ABC V 与DEF V 是否相似？并证明你的结论．22．已知关于x 的一元二次方程210x mx m ++-=．(1)求证：方程总有两个实数根；(2)若该方程两个实数根的和为3，求m 的值．23．“阳光玫瑰”是一种优质的葡萄品种．某葡萄种植基地2021年年底已经种植“阳光玫瑰”300亩，到2023年年底“阳光玫瑰”的种植面积达到432亩．(1)求该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率．(2)市场调查发现，当“阳光玫瑰”的售价为20元/kg 时，每天能售出300kg ；销售单价每降低1元，每天可多售出50kg ．为了减少库存，该基地决定降价促销．已知该基地“阳光玫瑰”的平均成本为10元/kg ，若要使销售“阳光玫瑰”每天获利3150元，并且使消费者尽可能获得实惠，则销售单价应定位多少元？24．如图1，这个图案是3世纪我国汉代的赵爽在注解《周髀算经》时给出的，人们称它为“赵爽弦图”，受这幅图的启发，数学兴趣小组建立了“一线三直角模型”．如图2，在ABC V 中，90A Ð=°，将线段BC 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，作DE AB ^交AB 的延长线于点E ．(1)如图2，通过观察，线段AB 与DE 的数量关系是______；(2)如图3，连接CD 并延长交AB 的延长线于点F ，若2AB =，6AC =，求BDF V 的面积；25．若关于x 的方程有一个解为1x =，那么称这样的方程为“明一方程”．例如方程：20x x -=有解1x =，所以20x x -=为“明一方程”．(1)下列方程是“明一方程”的有 ；（填序号）①220x -=；②2210x x +-=；③|2|1x -=．(2)已知1x ，2x 为“明一方程”20x bx c ++=的两个根，且其中一根是另一根的2倍，试求b ，c 的值．(3)已知直线y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，6AOB S =V ，且当0y =时，关于x 的方程y kx b =+为“明一方程”，求该直线解析式26．如图1，在等腰三角形ABC 中，10AB AC ==，12BC =，有两动点P 、Q 分别在边AB 、BC 上运动，点P 的速度为每秒1个单位长度，点Q 的速度为每秒2个单位长度，它们分别从点A 和点B 同时出发，点P 沿线段AB 按A B ®方向向终点B 运动，点Q 沿线段BC 按B C ®方向向终点C 运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设运动时间为t 秒，请解答下列问题：(1)如图1，当t 为何值时，PQ AC ∥；(2)当t 为何值时，以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似；(3)点P 、Q 在运动过程中，是否存在这样的t ，使得PCQ △的面积等于4？若存在，请求出t 的值；若不存在，请说明理由．27．如图1，矩形ABCD 中，4AB =，3AD =，BD 为矩形ABCD 的对角线，ADB Ð的平分线交CB 的延长线于点E ．点F 是线段DE 上的动点，以BF 为对角线作正方形BGFH （点B ，G ，F ，H 按逆时针方向排列）．(1)求BE的长；(2)如图2，若点G落在CD边上，求CG的值；(3)在点F的运动过程中，是否存在某一位置，使得正方形BGFH的某边落在BDEV的一边上？若存在，直接写出DF的长？若不存在，请说明理由．1．D【分析】本题考查了一元二次方程的定义，牢记“只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程”是解题的关键．利用一元二次方程的定义，逐一分析判定，即可得出结论．【详解】解：A 、3210x y +-=是二元一次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；B 、25630x y -=-是二元二次方程，不是一元二次方程，故此选项不符合题意；C 、22ax x -+是整式，不是方程，故此选项不符合题意；D 、210x -=是一元二次方程，故此选项符合题意；故选：D ．2．C【分析】本题主要考查了一元二次方程的一般形式，掌握“任何一个关于x 的一元二次方程经过整理，都能化成如下形式20ax bx c ++=（0a ¹）．这种形式叫一元二次方程的一般形式．其中2ax 叫做二次项，a 叫做二次项系数；bx 叫做一次项，b 是一次项系数；c 叫做常数项”是解题的关键．【详解】解：∵2274x x +=可化为22470x x -+=，∴它的二次项系数a ，一次项系数b 和常数项c 分别为2，4-，7，故选：C ．3．D【分析】先把常数项移到方程的右边，方程两边同时加上一次项系数一半的平方，然后把方程左边利用完全平方公式写成平方形式即可．【详解】解：2410x x ++=Q ，241x x \+=-，24414x x \++=-+，2(2)3x \+=，故选：D ．【点睛】本题考查利用配方法对一元二次方程求解，解题的关键是：熟练运用完全平方公式进行配方．4．A【详解】试题解析：设25a b ==k ，则a=2k ，b=5k ．则原式=52322k k k -=．故选A ．5．C【分析】本题考查了比例中项的概念，注意：求两条线段的比例中项的时候，应舍去负数．根据比例中项的概念结合比例的基本性质得：比例中项的平方等于两条线段的乘积，求解即可．【详解】解：设它们的比例中项是cm x ，则228x =´，解得4x =±（线段是正数，负值舍去）．∴线段a 、b 的比例中项是4cm故选：C ．6．B【分析】根据相似图形的概念进行判断即可；【详解】解：A 、任意两个直角三角形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；B 、任意两个等边三角形的对应角相等，都是60°，故一定相似，符合题意；C 、任意两个两个菱形的对应角不一定相等，对应边也不一定成比例，故不一定相似，不符合题意；D 、任意两个矩形的对应边的比不一定成比例，但对应角相等，故不一定相似，不符合题意；故选B ．【点睛】本题主要考查了相似图形的定义判断，准确理解是解题的关键．7．D【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，涉及了平行四边形的性质，由题意得DEF BCF △∽△，推出()2::BCF DEF S S BC DE =V V 即可求解；【详解】解：由题意得：AD BC ∥，AD BC =，∵2AE ED =，∴3BC AD ED ==，∵AD BC ∥，∴DEF BCF △∽△，∴291BCF DEF S BC S DE æö==ç÷èøV V ，∵2DEF S =△，∴18BCF S =V ，故选：D8．D【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟知“两组对应角相等的两个三角形相似，两边对应成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似”是解题的关键．【详解】解：由ACP B Ð=Ð，A A Ð=Ð，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明APC ACB △∽△，故①正确；由APC ACB Ð=Ð，A A Ð=Ð，可以根据两组对应角分别相等的两个三角形相似证明APC ACB △∽△，故②正确；由2AC AP AB =×可得AC AB AP AC=，再由A A Ð=Ð，可以根据两组对应边成比例，且它们的夹角相等的两个三角形相似证明APC ACB △∽△，故③正确；由AB CP AP CB ×=×结合A A Ð=Ð不能证明APC ACB △∽△，故④错误；故选D ．9．A【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，这类题目体现了数形结合的思想，需利用平移把不规则的图形变为规则图形，进而即可列出方程，求出答案．设小路宽为m x ，利用平移把不规则的图形变为规则图形，如此一来，所有草坪面积之和就变为了2(32)(20)m x x --，进而即可列出方程，求出答案．【详解】解：利用平移，原图可转化为如图，设小路宽为m x ，根据题意得：(20)(32)540x x --=．故选：A ．10．C【分析】根据折叠的性质和矩形的性质分析判断①；通过点G 为AD 中点，点E 为AB 中点，设2AD a =，2AB b =，利用勾股定理分析求得AB 与AD 的数量关系，从而判断②；利用相似三角形的判定和性质分析判读GE 和DF 、OC 和OF 的数量关系，从而判断③和④；根据相似三角形的判定分析判断⑤．【详解】解：由折叠性质可得：DG OG AG ==，AE OE BE ==，OC BC =，DGF FGO Ð=Ð，AGE OGE Ð=Ð，AEG OEG Ð=Ð，OEC BEC Ð=Ð，90FGE FGO OGE \Ð=Ð+Ð=°，90GEC OEG OEC Ð=Ð+Ð=°，180FGE GEC \Ð+Ð=°，GF CE \∥，故①正确；设2AD a =，2AB b =，则DG OG AG a ===，AE OE BE b ===，3CG OG OC a \=+=，在Rt CGE △中，222CG GE CE =+，22222(3)(2)a a b b a =+++，解得：b =，AB \=，故②错误；在Rt COF △中，设OF DF x ==，则2CF b x x =-=-，())2222x a x \+=-，解得：x =，\=，2a ==，在Rt AGE V 中，GE ==，GE \=，O C F =，故③④正确；无法证明FCO GCE Ð=Ð，\无法判断COF CEG △∽△，故⑤错误；综上，正确的是①③④，故选：C ．【点睛】本题考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握折叠的性质和勾股定理是解题关键．11．35【分析】本题考查了比例尺的应用，设它的实际长度为cm x ，根据比例尺的定义，列出比例式即可求解，掌握比例的性质是解题的关键．【详解】解：设它的实际长度为xcm ，由题意得，3.511000000x =∶∶，∴3500000cm 35km x ==，故答案为：35．12．4044【分析】根据一元二次方程的根的定义，将m 代入2220220x x --=，求出222022m m -=，即可求出224m m -的值．【详解】解：Q m 是方程2220220x x --=的一个根，\2220220m m --=，\222022m m -=，\224m m -()222220224044m m =-=´=，故答案为：4044．【点睛】本题考查一元二次方程的根的定义、代数式求值，解题的关键是熟练运用整体代入思想．13【分析】本题主要考查了黄金分割的定义：线段上一点把线段分成两段，其中较长线段是较短线段和整个线段的比例中项，那么这个点就是这条线段的黄金分割点．由于点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，根据黄金分割的定义得到AC AB =，然后把1AB =代入计算即可．【详解】解：点C 是线段AB 的黄金分割点()AC BC >，AC AB \=，而1AB =，AC \=14．1:2##12【分析】根据相似三角形的性质：周长的比等于相似比，解答即可．【详解】解：ADE ABC QV V ∽，相似比为1:2，ADE \V 与ABC V 的周长比为1:2．故答案为：1:2．【点睛】本题考查了相似三角形的性质：相似三角形的对应角相等，对应边的比相等．相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比；相似三角形的对应线段（对应中线、对应角平分线、对应边上的高）的比也等于相似比．相似三角形的面积的比等于相似比的平方．15．二【分析】本题考查了根的判别式、一元二次方程的定义以及判定点所在的象限，利用二次项系数非零及根的判别式0D =，找出关于a 的一元一次方程是解题的关键．由二次项系数非零及根的判别式0D =，即可得出关于a 的一元一次方程，解之即可得出a 的值，由a 的值可得出23a -=-，32a -+=，进而可得出点P 在第二象限，此题得解．【详解】解：Q 关于x 的一元二次方程2104ax x --=有两个相等的实数根，0a \¹，21(1)404a æöD =--´-=ç÷èø，解得：1a =-．23a \-=-，34a -+=，\点(2,3)P a a --+在第二象限．故答案为：二．16．32【分析】本题考查了解一元二次方程根与系数的关系和菱形的面积，根据根与系数的关系得出菱形的两对角线的积为3，再根据面积公式求出即可．【详解】解：设方程2530x x -+=的两个根为a ，b ，则由根与系数的关系得：3ab =，∵菱形的两条对角线的长是方程2530x x -+=的两根，∴菱形的对角线的积为3，∴菱形的面积是13322´=，故答案为32．17．258【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，矩形的性质和判定，勾股定理，等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，解题的关键是根据题意作出图形．根据相似三角形的性质可得DEA PEQ Ð=Ð，过点E 作EF AB ^于点F ，则90EFP Ð=°，可得到四边形ADEF 是矩形，从而得到4,3AF DE EF AD ====，进而得到AP PE =，设AP PE x ==，则4PF x =-，在Rt PEF △中，根据勾股定理解答，即可求解．【详解】解：矩形ABCD 中，∵8,3AB AD ==，∴3,8,,BC AD CD AB AD BC AB CD ====∥∥，90ADE DCB DAB ABC Ð=Ð=Ð=Ð=°，∵点E 为CD 的中点，∴4DE CE ==，∵PQ AE ^，∴90PQE Ð=°，∴ADE PQE Ð=Ð，∵PQE ADE V V ∽，∴DEA PEQ Ð=Ð，如图，过点E 作EF AB ^于点F ，则90EFP Ð=°，∴90ADE DEF AFE Ð=Ð=Ð=°，∴四边形ADEF 是矩形，∴4,3AF DE EF AD ====，∵AB DC P ，∴DEA EAP Ð=Ð，∵DEA PEQ Ð=Ð，∴PAE AEP Ð=Ð，∴AP PE =，设AP PE x ==，则4PF x =-，在Rt PEF △中，222PE PF EF =+，∴()22243x x =-+，解得：258x =，即258AP =．故答案为：258．18．4或5【分析】此题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的性质和相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键．由AB AC =，得A ABC CB =Ð∠，当BEP △与COP V 相似时，分BE BP PC OC =或BE BP OC PC=时，再结合一元二次方程根的情况即可求解．【详解】解：AB AC =Q ，ABC ACB \Ð=Ð，\当BE BP PC OC =或BE BP OC PC=时，BEP △与COP V 相似，Q 四边形ABCD 是平行四边形，\142OA OC AC ===，设BP x =，则PC m x =-，当BE BP PC OC =时，14x m x =-，240x mx \-+=，当BE BP OC PC =时，14x m x=-，\5m x =，Q 有且只有两个点P ，\有两种情况，①240x mx -+=有两个相等的实数根，2160m \-=，又因为0m >，4m \=；②240x mx -+=有两个不相等的实数根，且5m x =是它的一个根，\代入得：24055m m m æö-´+=ç÷èø，又因为0m >，5m \=，综上可知：m 的值为4或5．故答案为：4或5．19．(1)1241x x ==，(2)12128x x ==-，(3)12123x x =-=，(4)1227x x ==，【分析】本题主要查了解一元二次方程：（1）利用直接开平方法解答，即可求解；（2）利用因式分解法解答，即可求解；（3）利用因式分解法解答，即可求解；（4）利用因式分解法解答，即可求解．【详解】（1）解：()2259x -=，∴253x -=±，解得：1241x x ==，；（2）解：2496x x -=，∴24960x x --=，∴()()1280x x -+=，∴12080x x -=+=，解得：12128x x ==-，；（3）解：23520x x +-=，∴()()2310x x +-=，∴20310x x +=-=，，解得：12123x x =-=，；（4）解：()()22520x x ---=，∴()()2250x x ---=，∴20250x x -=--=，，解得：1227x x ==，．20．(1)证明见解析(2)34【分析】（1）根据两角对应相等的两个三角形相似即可求证；（2）根据相似三角形的性质解答即可求解；本题考查了相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．【详解】（1）证明：∵ADE C Ð=Ð，A A Ð=Ð，∴ADE ACB V V ∽；（2）解：∵ADE ACB V V ∽，∴AE AD AB AC=，即238AE =，解得34AE =．21．(1)135°；(2)ABC V ∽DEF V ，理由见解析【分析】（1）根据已知条件，结合网格可以求出ABC Ð的度数，利用勾股定理即可求出线段BC 的长；（2）根据相似三角形的判定定理，夹角相等，对应边成比例即可证明ABC V 与DEF V 相似．【详解】（1）解：9045135ABC Ð=°+°=°，BC ==故答案为135°；；（2）解：ABC DEF :△△．证明：Q 在44´的正方形方格中，135ABC Ð=°，9045135DEF Ð=°+°=°，ABC DEF \Ð=Ð．2AB =Q ，BC =EF DE =\ AB DE ==，BC FE ==．∴AB BC DE EF=\ ABC DEF :△△．【点睛】此题主要考查学生对勾股定理和相似三角形的判定的理解和掌握，解答此题的关键是认真观察图形，得出两个三角形角和角，边和边的关系．22．(1)见详解(2)3m =-【分析】此题考查了一元二次方程根的判别式和根与系数关系，熟练掌握相关知识并准确计算是解题的关键．（1）根据一元二次方程列出根的判别式，即可做出判断；（2）根据一元二次方程根与系数关系列式求解即可．【详解】（1）证明：1,1a b m c m ===-，，∵24b acD =-()2411m m =-´´-244m m =-+()220m =-³，∴该方程总有两个实数根；（2）解：∵该方程两个实数根的和为3，∴123b x x m a+=-=-=，∴3m =-．23．(1)该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%(2)销售单价应定位17元【分析】（1）设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x ，利用该基地2022年年底“阳光玫瑰”的种植面积=该基地2020年年底“阳光玫瑰”的种植面积乘上（1+该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率）的平方，可列出关于x 的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论；（2）设销售单价应降低y 元，则每千克的销售利润为()2010y --元，每天能售出30050y +（）千克，利用总利润=每千克的销售利润×日销售量，可列出关于y 的一元二次方程，解之即可得出结论．本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．【详解】（1）解：设该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为x ，根据题意得：()23001432x +=，解得：120.220% 2.2x x ===-，（不符合题意，舍去）．答：该基地“阳光玫瑰”种植面积的年平均增长率为20%；（2）解：设销售单价应降低y 元，则每千克的销售利润为()2010y --元，每天能售出30050y +（）千克，根据题意得：()()2010300503150y y --+=，整理得：2430y y -+=，解得：1213y y ==，∵“阳光玫瑰”的售价为20元/kg ，使消费者尽可能获得实惠∴销售单价应定位17元．24．(1)AB DE=(2)10【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、旋转的性质等知识点，灵活运用相关判定和性质定理成为解题的关键．（1）先证明()AAS ABC EBD V V ≌，然后根据全等三角形的性质即可解答即可得证；（2）先证明DEF CAF ∽△△，再根据相似三角形的性质列比例式求得EF 长度，然后运用三角形的面积公式求出BDF V 的面积即可．【详解】（1）解：∵将线段BC 绕点B 顺时针旋转90°得到线段BD ，∴90BC BD CBD =Ð=°，，∴90BCA DBE ABC Ð=Ð=°-Ð，∵90A E Ð=Ð=°，∴()AAS ABC EBD V V ≌，∴AB DE =．故答案为：AB DE =．（2）解：∵ABC EBD ≌△△，∴DE AB BE AC ==，，∵2AB =，6AC =，，∴26DE BE ==，，∴8AE AB BE =+=，∵180DEB A Ð+Ð=°，∴DE AC ∥，∴DEF CAF ∽△△，∴DE EF AC AF =，即268EF EF =+，解得：4EF =,∴10BF BE EF =+=，∴1•102BDF S BF DE ==V ．25．(1)①③(2)3b =-，2c =或32b =-，12c =(3)直线解析式为1212y x =-+或1212y x =-【分析】（1）依据题意，根据“明一方程”定义逐个计算即可判断得解；（2）依据题意，由20x bx c ++=为“明一”方程，则方程必有一个根是1x =，故10b c ++=，即1c b =--，再根据根与系数关系得12x x b +=-，12x x c =，由一根是另一根的2倍，设212x x =，则13x b =-，2121x c b ==--，所以22990b b ++=解得：13b =-，232b =-，从而可求得12c =，212c =．（3）依据题意，由当0y =时，关于x 的方程y kx b =+为“明一方程”，从而可得k b =-，再根据直线y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，所以()1,0A ， (0,)B b ．然后由111||622AOB S OA OB b =×=´´=V ，进而求出k ，b 即可．【详解】（1）解：解方程220x -=得1x =，220x \-=是“明一方程”；解方程2210x x +-=得11x =-，212x =，2210x x \+-=不是“明一方程”；解方程|2|1x -=得11x =，23x =，|2|1x \-=是“明一方程”；故答案为：①③；（2）解：由题意，20x bx c ++=Q 为“明一”方程，\方程必有一个根是1x =．10b c \++=，即1c b =--，∵1x ，2x 为“明一方程”20x bx c ++=的两个根，且其中一根是另一根的2倍，∴12x x b +=-，12x x c =，设212x x =，∴13x b =-，2121x c b ==--，∴22990b b ++=解得：13b =-，232b =-，∴12c =，212c =，∴3b =-，2c =或32b =-，12c =．（3）解：由题意，Q 当0y =时，关于x 的方程y kx b =+为“明一方程”，\当0y =时，1x =．0k b \+=．k b \=-．又直线y kx b =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，()1,0A \， (0,)B b ．111622AOB S OA OB b \=×=´´=V ．解得：12b =±，∴12k =-或12k =∴直线解析式为1212y x =-+或1212y x =-．【点睛】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、待定系数法求一次函数解析式、一次函数与一元一次方程，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键．26．(1)154t =(2)154t =或5017t =(3)存在，5t =【分析】（1）根据平行线的性质判定BPQ BAC V V ∽，得到BP BQ AB BC=，表示出10BP t =-，2BQ t =，代入比例式，解方程即可；（2）分PBQ ABC △∽△和QBP ABC △∽△分别讨论即可；（3）过P 作PE BC ^，垂足为D ，作BC 边上的高AD ，利用三线合一和勾股定理求出AD ，证明PBE ABD V V ∽，得到BP PE AB AD=，表示出PE ，再根据三角形的面积得出关于t 的方程，解之即可．【详解】（1）解：当PQ AC ∥时，BPQ BAC V V ∽，∴BP BQ AB BC=，∵10AB AC ==，12BC =，∴10BP t =-，2BQ t =，∴1021012t t -=，解得：154t =，当154t =时，PQ AC ∥；（2）∵10BP t =-，2BQ t =，ABC PBQ Ð=Ð，∴当PBQ ABC △∽△时，同（1）可得：154t =；当QBP ABC △∽△时，BQ BP AB BC=，即2101012t t -=，解得：5017t =；综上：当154t =或5017t =时，以点P 、B 、Q 为顶点的三角形与ABC V 相似；（3）存在，理由是：如图，过P 作PE BC ^，垂足为D ，作BC 边上的高AD ，∵10AB AC ==，12BC =，∴162BD CD BC ===，∴8AD ==，∵90BEP ADB Ð=Ð=°，B B Ð=Ð，∴PBE ABD V V ∽，∴BP PE AB AD =，即10108t PE -=，∴485t PE =-，∴12PCQ S CQ PE =´´△()141228425t t æö=´-´-=ç÷èø，解得：5t =或11t =，当11t =时，22BQ BC =>，故不合题意，∴5t =，即存在5t =，使得PCQ △的面积等于4．【点睛】本题考查了三角形综合题，相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形三线合一，解一元二次方程，分类讨论．27．(1)5BE =(2)23CG =(3)存在，DF 【分析】（1）根据角平分线定义和等腰三角形性质可得BE BD =，由勾股定理可得5BD =，即可得出答案；（2）过点F 作FK CD ^于K ，则90FKG Ð=°，再由正方形的性质可证得(AAS)BGC GFK V V ≌，得出CG FK =，3GK BC ==，，设CG x =，则FK x =，再证得DFK DEC V V ∽，可得12DK x =，由DK GK CG CD ++=，建立方程求解即可得出答案；（3）分四种情况：当正方形BGFH 的边FH 落在DE 边上时，当正方形BGFH 的边BG 落在BD 边上时，当正方形BGFH 的边BH 落在BE 边上时，当正方形BGFH 的边FG 落在DE 边上时，分别利用解直角三角形求得DF 即可．【详解】（1）解： DE Q 平分ADB Ð，ADE BDE \Ð=Ð，Q 四边形ABCD 是矩形，AD BC \∥，90A Ð=°，ADE E \Ð=Ð，BDE E \Ð=Ð，BE BD \=，在Rt ABD △中，5BD ===，5BE \=；（2）解：如图，过点F 作FK CD ^于K ，则90FKG Ð=°，Q 四边形ABCD 是矩形，90C \Ð=°，3BC AD ==，4CD AB ==，C FKG \Ð=Ð，90CBG BGC Ð+Ð=°，Q 四边形BGFH 是正方形，90BGF \Ð=°，BG GF =，90FGK BGC \Ð+Ð=°，CBG FGK \Ð=Ð，(AAS)BGC GFK \V V ≌，CG FK \=，3GK BC ==，设CG x =，则FK x =，90DKF C Ð=Ð=°Q ，FDK ADC Ð=Ð，DFK DEC \V V ∽，\DK FK DC CE=，即435DK x =+，12DK x \=，DK GK CG CD ++=Q ，\1342x x ++=，解得：23x =，23CG \=；（3）解：当正方形BGFH 的边FH 落在DE 边上时，如图，在Rt DEC △中，=sin BH CD E BE DE ===Q EH CE E BE DE ==，5BH \==，5EH =Q 四边形BGFH 是正方形，FH BH \==，DF DE EH FH \=--=；当正方形BGFH 的边BG 落在BD 边上时，如图，设正方形的边长为y ，则FG BG y ==，5DG BD BG y \=-=-，FDG E Ð=ÐQ ，tan tan FDG E \Ð=，\FG CD DG CE =，\458y y =-，解得：53y =，53FG \=，510533DG =-=，DF \===当正方形BGFH 的边BH 落在BE 边上时，如图，设正方形的边长为z ，则FH BH z ==，5EH BE BH z \=-=-，41tan 82FH CD E EH CE ====，2EH FH \=，即52z z -=，解得：53z =，53FH \=，103EH =，EF \=，DF \当正方形BGFH 的边FG 落在DE 边上时，如图，由上可得FG BG==EG=，\=-=，EF EG FG\=-=DF DE EF综上所述，DF．【点睛】本题是矩形和正方形综合题，考查了矩形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，解直角三角形等，熟练运用分类讨论思想是解题的关键．。
九年级上第一次月考数学试题含答案
第1页 共4页 t/小时S/千米a440560
54321D
C
B
A
O
九年级数学试卷 一、选择题（每小题3分，共计30分） 1. 点M（-1，2）关于x轴对称的点的坐标为（ ） （A）（－1，－2） （B）（－1，2） （C）（1，－2） （D）（2，－1） 2. 下列计算正确的是（ ）
（A）235aaa+= （B）()326aa= （C）326aaa （D）aaa632 3. 下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） 4. 抛物线()2345yx=-+的顶点坐标是（ ） （A）（4，5） （B）（-4，5） C、（4，-5） （D）（-4，5） 5. 等腰三角形的一边长为4 cm,另一边长为9 cm,则它的周长为( ) （A）13 cm （B）17 cm （C）22 cm （D）17 cm或22 cm
6. 已知反比例函数kyx=的图象经过点P(-l，2)，则这个函数的图象位于（ ） （A）第二、三象限 （B）第一、三象限 （C）第三、四象限 （D）第二、四象限 7. 某电动自行车厂三月份的产量为1 000辆，由于市场需求量不断增大，五月份的产量提高到 l 210辆，则该厂四、五月份的月平均增长率为( ) （A）12.1% （B）20% （C）21% （D）10% 8. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，∠B=60°，△ADE可以由△ABC绕点 A顺时针旋转900得 到，点D 与点B是对应点，点E与点C是对应点)，连接CE，则∠CED的度数是( ) （A）45° （B）30° （C）25° （D）15° 9. 如图，矩形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，∠AOB=600，AB=5，则AD的长是（ ）
（A）53 （B）52 （C）5 （D）10 10. 甲乙两车分别从M、N两地相向而行，甲车出发1小时后，乙车出发，并以各自的速度匀速行驶，两车相遇后依然按照原速度原方向各自行驶，如图所示是甲乙两车之间的路程S（千米）与甲车所用时间t（小时）之间的函数图象，其中D点表示甲车到达N地停止运行，下列说法中正确的是（ ） （A）M、N两地的路程是1000千米； （B）甲到N地的时间为4.6小时； （C）甲车的速度是120千米/小时； （D）甲乙两车相遇时乙车行驶了440千米.
九年级上期数学第一次月考试卷(含答案)
第一次月考试卷(人教版九年级数学上册前两章）一．细心选一选（每小题3分，共30分.)1、x 为何值时,32+x 在实数范围内有意义（ ） A 32≥x B 32-≥x C 23-≥x D 23≥x 2、下列计算正确的是（） A ．16= ±4 B ．131227=- C ．24÷ 6= 4 D ．32×6=2 3、n 20是整数,则正整数n 的最小值是（ ）A 。
4B 。
5C 。
6 D.74、下列方程是关于x 的一元二次方程的是（ ）;A 、02=++c bx axB 、2112=+xx C 、1222-=+x x x D 、)1(2)1(32+=+x x5 、方程5)3)(1(=-+x x 的解是 （ ）；A 、3,121-==x xB 、2,421-==x xC 、3,121=-=x xD 、2,421=-=x x6、一元二次方程的2650x x +-=配成完全平方式后所得的方程为 （ ）A ．2(3)14x -=B ．2(3)14x +=C ．21(6)2x += D ．以上答案都不对 7、一元二次方程06242=-+-m x x 有两个相等的实数根，则m 等于 （ ）A. 2 B 。
3 C. 4 D. 58、若2,1x x 是方程012=-+x x 的两根，则)2()2(222121-+⋅-+x x x x 的值为( ） A.2 B.-2 C.—1 D.19、若b b -=-3)3(2，则（ ）A ．b 〉3B ．b 〈3C ．b ≥3D ．b ≤310、为执行“两免一补"政策,某地区2011年投入教育经费2500万元,预计2013年投入3600万元，设这两年投入教育经费的年平均增长率为x ，则下列方程正确的是（ ）A 、2500 x 2＝3600；B 、2500（1＋x ） 2＝3600；C 、2500（1＋x ％） 2＝3600;D 、2500(1＋x ） ＋2500（1＋x ） 2＝3600二、耐心填一填(将正确答案填在相应的横线上。
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九年级第一次月考数学试卷
时间：120分钟 分值：150分
一、精心选一选（本大题共8小题，每题3分，计24分，注意每小题所给出的四项选项中只有一项是正确的，请把正确选项前的字母填入题后的括号内。
） 1、16的值等于（ ）
A.4
B.-4
C.±4
D.2 2、函数y=2-x 中，自变量x 的取值范围是（ ）
A. x ≥0
B.x ＞2
C. x ≥2
D.x ≤2 3、抛物线y=-3（x-1）2+2的对称轴是直线（ ）
A. x=-1
B. x=1
C.x=2
D.x=-2 4、直线y=-2x+3经过点（ ）
A.（1，3）
B.（3，0）
C.（-1，1）
D.（0，3） 5、已知两圆内切，它们的半径分别是1cm 和3cm ，则圆心距为（ ）cm
A.1
B.2
C.3
D.4
6、如图，PA 、PB 是⊙O 的切线，切点分别是A 、B ，
点C 在⊙O 上，如果∠P=50°，那么 ∠ACB 等于（ ）
A.40°
B.50°
C.65°
D.130°
7、在下面四种正多边形，用同一种图形不能做 平面镶嵌的是（ ）
A.等边三角形
B.正方形
C.正五边形
D.正六边形 8、下列命题中，错误的有（ ）个
（1）三角形的外心到三角形三边的距离相等 （2）平分弦的直径垂直于弦
（3）在同圆或等圆中，相等的弦所对的圆周角相等 （4）平分弦的直线不一定过圆心
A.1
B.2
C.3
D.4 二、细心填一填（本大题共10小题，每小题3分，计30分） 9、-
4
1
的倒数是 10、方程x 2=x 的根是
11、分解因式ab+a+b+1= 12、对于反比例函数y=（m-1）·x
1
，若其图像分布在第二、四象限，则m 的取值范围是 。
13、如图，⊙O 直径AB=10，P 为OA 上一点，
弦MN 经过点P ，若AP=2，MP=22，那么MN 的长为 。
14、将50个数据分成三组，第一组与第三组的频率之和为0.7，
则第二组的频数是 。
15、已知⊙O 的直径为4，A 为直线l 上一点，AO=2，则l 与⊙O 的位置关系是
16、如图，A 、B 、C 、D 、E 均在⊙O 上，且AC 为⊙O 的直径，
则∠A+∠B+∠C= ° 17、在下列四个函数①y=3x ②y=
x
2(x<0) ③y=5x+2 ④y=x 2(x>0)中， y 随x 的增大而减小的函数是 （填序号） 18、某人从甲地出发，骑摩托车去乙地。
已知摩托车行驶的路程（S 千米）与行驶的时间t
之间的函数关系如右图的图像ABCD 给出。
若这辆摩托车平均每行驶1小时耗油1升。
根据图中给出的信息，从甲地到乙地，
这辆摩托车至少耗油 升。
三、认真答一答（本大题共10小题，共96分） 19、（6分）计算：3
2160tan |21|)2(2
-++-+-ο
20、（6分）解方程16
22
++=+x x x
x
)
21、（8分）已知：关于x 的方程x 2-kx-2=0 （1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x 1、x 2 ，如果2（x 1+x 2）>x 1x 2，求k 的取值范围。
22、（9分）如图，四边形ABCD 是平行四边形，F 、G 是AB 上两点，且CF 平分∠BCD ，DG 平分∠ADC ，FC 和GD 相交于点E
（1）在充分利用上述条件的基础上，请你找到一组相等的线段，并说明理由； （2）请你给□ABCD 添加一个条件，使得△EFG 为等腰直角三角形，并说明理由。
23、（9分）为了搞好招商引资，需改变我市的交通情况，在盐马路拓宽工程中，要伐掉一棵树AB ，在地面上事先画以B 为圆心，半径与AB 等长的圆形危险区，现某工人站在离B 点3m 远的D 处，测得树的顶点A 的仰角是60°，树的底部B 的俯角是30°（如图）。
问距离B 点8m 远的保护
物是否在危险区内（3取1.73）
24、（10分）已知抛物线y=x 2
+2x+m 与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左边），且AB 长为4
（1）求m 的值；
（2）将此抛物线上下平移多少单位所得的抛物线与坐标轴只有两个公共点。
25、（12分）某校办工厂生产的产品原来每件出厂价为80元，成本为60元，由于生产过程中平
均每生产一件产品有0.5m 3
的污水排出，现在为了保护环境，需对污水净化处理后再排出，已知每
处理1m 3
的污水费用为2元，且每月排污设备的损耗为8000元，设现在该厂每月生产产品x 件，每月纯利润为y 元。
（1）求y 与x 的函数关系式（纯利润=总收入-总支出） （2）当y=106000时，求该厂在这个月生产产品件数。
26、（12分）如图，已知⊙O 1为△ABC 的外接圆，以BC 为直径作⊙O 2交AB 的延长线于D ，连接CD ，且∠BCD=∠A
（1）求证：CD 为⊙O 1的切线；
（2）如果CD=2，AB=3，试求⊙O 1的直径。
A B C D E F G A
B
C D
A
B
O 1
C D
O 2
27、（1）观察思考
如图1，⊙O与⊙P外切于点A，BC切⊙P于C，交⊙O于B、D，AM是内公切线，交BC 于M，若D是BC的中点，设BD=x，DM=y，此时，x与y之间的关系式是。
（2）探究验证：
若⊙O不动，把⊙P向左平移，分别得到图2，图3，而AM变为割线MAE或外公切线AM，将（1）中的条件改为：“D为CM的中点，设BD=x，DM=y，其它条件不变”，此时x与y 相应的结论是。
证明：请证明从图（2）或图（3
28、已知抛物线y=ax2-2ax+c-1的顶点A在直线y=8
3
8
+
-x上，与x轴相交于B（α，0），
C（β，0）两点，其中α<β，且α2+β2=10
（1）求这个函数解析式；
（2）设此抛物线与y轴的交点为P，点H是线段BC上的一个动点，过点H作HK∥PB，交PC
于点K，连结PH。
记线段BH的长为t，△PHK的面积为s，试将s表示成t的函数。
（3）求s的最大值，以及s取最大值时过H、K两点的直线解析式。
图1。