概率
简述概率的统计定义
简述概率的统计定义概率是统计学中的一个重要概念，它是用来描述某个事件发生的可能性大小的数值。
在统计学中，概率是指一个事件在所有可能事件中发生的可能性大小。
概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。
统计学中的概率可以通过频率来估计。
频率是指在一系列重复的独立试验中，某个特定结果出现的次数与试验总次数之比。
例如，如果我们想要计算抛掷一枚硬币正面朝上的概率，我们可以进行多次试验，记录正面朝上的次数，然后将正面朝上的次数除以总的试验次数。
当试验次数趋近于无穷大时，频率将逐渐接近真实概率。
概率的统计定义可以通过大数定律来解释。
根据大数定律，当试验次数足够大时，频率将趋近于真实概率。
这意味着通过多次重复试验，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。
因此，通过统计实验的结果，我们可以得到概率的统计定义。
在实际应用中，概率的统计定义被广泛用于估计和预测。
例如，在医学研究中，研究人员可以通过对大量患者进行观察和统计，来估计某种疾病的患病率。
在金融领域，投资者可以通过分析过去的股市数据，来预测未来的股票价格变动。
这些都是基于概率的统计定义来进行的。
除了频率法外，还有其他方法来计算概率。
例如，基于概率论的方法可以使用数学模型来计算概率。
概率论是一门数学分支，它研究了随机事件的概率和统计规律。
基于概率论的方法可以更加准确地计算概率，但通常需要更多的数学知识和计算能力。
概率是统计学中的一个重要概念，它用来描述某个事件发生的可能性大小。
概率的统计定义是通过统计实验的结果来计算得出的。
通过频率和大数定律，我们可以逐渐准确地估计出某个事件发生的概率。
概率的统计定义在实际应用中有着广泛的应用，可以用于估计和预测。
除了频率法外，还可以使用基于概率论的方法来计算概率。
无论是哪种方法，概率的统计定义都是统计学中不可或缺的内容。
有关概率的公式
有关概率的公式概率是描述事件发生可能性的一种数学概念。
它可以帮助我们预测和分析事件发生的可能性，而概率公式则是用来计算概率的数学公式。
首先，我们需要了解一些基本的概率概念。
在概率论中，事件的概率通常用P(A)来表示，其中A是一个事件。
概率的取值范围在0到1之间，0表示不可能发生，1表示必然发生。
在计算概率时，我们尝试使用一些公式和规则来辅助计算。
下面是一些常用的概率公式：1.加法法则：P(A或B)=P(A)+P(B)-P(A且B)加法法则用于计算两个事件中至少一个事件发生的概率。
P(A或B)表示事件A或事件B发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
2.乘法法则：P(A且B)=P(A)某P(B，A)乘法法则用于计算两个事件同时发生的概率。
P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
3.条件概率：P(A，B)=P(A且B)/P(B)条件概率用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(A且B)表示事件A和事件B同时发生的概率。
4.独立事件：如果两个事件A和B是相互独立的，那么P(A且B)=P(A)某P(B)。
5.贝叶斯定理：P(A，B)=(P(B，A)某P(A))/P(B)贝叶斯定理用于计算在已知事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
P(A，B)表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率，P(B，A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(A)和P(B)分别表示事件A和事件B的概率。
6.全概率公式：P(B)=Σ(P(Ai)某P(B，Ai))全概率公式用于计算事件B的概率。
假设事件A1，A2，...，An是样本空间的一个划分（即这些事件互不相交且并集等于样本空间），P(Ai)表示事件Ai的概率，P(B，Ai)表示在事件Ai发生的条件下，事件B发生的概率。
关于概率知识点总结
关于概率知识点总结一、概率的定义概率是指某一事件发生的可能性。
在数学上，概率通常用一个介于0和1之间的数值来表示，其中0表示该事件不可能发生，1表示该事件一定会发生。
对于一个随机事件，它的概率通常表示为P(A)，其中A代表某一特定的事件。
概率的基本性质：1. 非负性：任何事件的概率都不会小于0，即P(A)≥0。
2. 规范性：必然事件的概率为1，即P(S)=1。
这里S代表样本空间，即所有可能结果的集合。
3. 加法性：对于任意两个互斥事件A和B，它们的概率之和等于它们并集的概率，即P(A∪B)=P(A)+P(B)。
二、常见的概率分布1. 均匀分布均匀分布是一种最简单的概率分布，它假定每个可能的结果都是同等可能的。
例如，扔一枚公正的硬币，正反面出现的概率都是0.5，符合均匀分布的特性。
2. 正态分布正态分布是一种最常见的概率分布，它呈钟形曲线，均值和标准差对其形状起着决定性作用。
在现实生活中，许多自然现象都符合正态分布，如身高、体重等。
3. 泊松分布泊松分布用于描述单位时间或单位面积内事件发生次数的概率分布。
例如，在一段时间内电话的响铃次数、一天内超市的顾客数量等都可以用泊松分布来描述。
4. 指数分布指数分布用于描述连续事件之间的时间间隔，例如到达一次电话的时间间隔、设备故障间隔等。
三、概率统计方法1. 条件概率条件概率指的是在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
它的公式表示为P(A|B)=P(A∩B)/P(B)，其中A|B表示在B条件下A的概率。
2. 贝叶斯定理贝叶斯定理是一种基于条件概率的统计方法，它描述的是在得知B事件发生的条件下，A事件发生的概率。
贝叶斯定理可以应用于各种领域，如医学诊断、金融风险评估等。
3. 离散型随机变量的期望和方差期望是描述随机变量平均取值的指标，它用E(X)表示。
方差是描述随机变量取值的离散程度，它用Var(X)表示。
计算期望和方差是统计学中非常重要的工作，它可以帮助我们了解随机变量的整体特征。
概率的全部知识点总结
概率的全部知识点总结一、定义概率是指某一随机现象发生的可能性大小的度量。
通常用P(A)表示事件A发生的概率。
概率的取值范围是0到1之间，即0 ≤ P(A) ≤ 1。
当概率为0时，表示事件不可能发生；当概率为1时，表示事件一定发生；当概率为0.5时，表示事件发生的可能性为50%。
二、事件在概率论中，事件是指随机试验的某一结果，用大写字母A、B、C等表示。
事件可以包含一个或多个基本事件，基本事件是随机试验的最小基本单位，用小写字母a、b、c等表示。
例如，掷一枚硬币的结果可以是正面（基本事件H）或反面（基本事件T），而事件可以是“出现正面”或“出现反面”。
三、概率的性质1. 非负性：对任意事件A，有P(A) ≥ 0。
2. 规范性：对样本空间Ω中的事件，有P(Ω) = 1。
3. 互斥事件的加法规则：对互斥事件A和B，有P(A ∪ B) = P(A) + P(B)。
4. 对立事件的性质：对对立事件A和A'，有P(A) + P(A') = 1。
四、古典概率古典概率是指在样本空间有限且等可能的情况下，根据事件发生的可能性来计算概率。
例如，掷一枚硬币得到正面的概率为1/2，掷一个骰子得到点数为3的概率为1/6。
古典概率的计算公式为P(A) = n(A) / n(Ω)，其中n(A)表示事件A包含的基本事件个数，n(Ω)表示样本空间Ω中基本事件的总数。
五、条件概率条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
条件概率的计算公式为P(B|A) = P(A ∩ B) / P(A)，表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
条件概率的性质包括P(B|A) ≥ 0，P(B|A)P(A) = P(A ∩ B) = P(A|B)P(B)，以及全概率公式和贝叶斯公式等。
六、贝叶斯公式贝叶斯公式是根据条件概率和全概率公式推导出来的一种计算概率的方法。
贝叶斯公式的计算公式为P(A|B) = P(B|A)P(A) / P(B)，表示在事件B发生的条件下，事件A发生的概率。
事件的概率计算
事件的概率计算概率是数学中重要的概念之一，它用于描述事件发生的可能性大小。
在实际生活中，我们经常需要计算事件的概率，以帮助我们做出决策或者评估风险。
本文将介绍概率的基本概念，并探讨事件概率计算的方法和应用。
一、概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性的数值，通常用0到1之间的实数表示。
其中，0表示不可能事件，1表示必然事件。
例如，掷一颗骰子出现点数6的概率为1/6，掷一枚硬币出现正面的概率为1/2。
事件是指随机试验中的一种可能结果，可以是单个元素或者多个元素的集合。
例如，掷一颗骰子出现奇数点数可以定义为一个事件。
二、事件概率的计算方法1. 古典概率法古典概率法适用于实验结果可能性相等的情况。
它的计算方法是将事件发生的次数除以实验总次数。
例如，一个均匀的骰子掷100次，掷出1点数的次数为20次，则事件“掷出1点数”的概率为20/100=0.2。
2. 几何概率法几何概率法适用于实验结果可以用几何图形表示的情况。
它的计算方法是将事件发生的面积除以样本空间的面积。
例如，一个圆形饼干被均匀撒上巧克力片，事件“吃到一个巧克力片”的概率可以用巧克力片的面积除以圆形饼干的面积来计算。
3. 频率概率法频率概率法适用于通过大量实验结果得到事件发生概率的情况。
它的计算方法是将事件发生的次数除以总实验次数的极限。
例如，对于一个不均匀的硬币，我们可以多次进行抛掷实验，统计正面出现的次数，并将其除以总实验次数，得到事件“出现正面”的频率概率。
三、事件概率的应用1. 风险评估概率可以用于评估风险的大小。
当我们面临一个可能发生的不确定事件时，可以通过计算事件的概率来评估其风险。
如果某个事件的概率较低，我们可能认为其风险也较小，而对于概率较高的事件，则需要采取相应的措施进行防范或处理。
2. 决策分析概率可以用于决策的分析。
在面对多种可能结果的情况下，我们可以计算每种结果发生的概率，并结合结果的价值或影响来进行决策。
通过比较各个可能结果的概率和价值，我们可以选择最优的决策方案。
有关概率的公式
有关概率的公式
以下是一些常见的概率公式：
1. 随机事件发生的概率公式：
P(A) = n(A)/n(S)
其中，P(A)代表事件发生的概率，n(A)代表事件A发生的可能性，n(S)代表样本空间中所有可能事件的总数。
2. 复合事件发生的概率公式：
P(A and B) = P(A) × P(B|A)
其中，P(A and B)代表事件A和事件B同时发生的概率，P(A)代表事件A发生的概率，P(B|A)代表在事件A发生的情况下事件B发生的条件概率。
3. 反复试验发生某一事件的概率公式：
P(X=k) = C(n,k) × p^k × (1-p)^(n-k)
其中，P(X=k)代表在n次独立重复试验中出现k次事件X的概率，C(n,k)代表从n个中选择k个的组合数，p代表单次试验中事件X发生的概率，(1-p)代表单次试验中事件X不发生的概率。
4. 贝叶斯公式：
P(A|B) = P(B|A) × P(A) / P(B)
其中，P(A|B)代表在事件B发生的情况下事件A发生的概率，P(B|A)代表在事件A发生的情况下事件B发生的条件概率，
P(A)代表事件A发生的概率，P(B)代表事件B发生的概率。
四种确定概率的简要说明
四种确定概率的简要说明标题：四种确定概率的简要说明导言：概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在实际应用中，有多种方法可以确定概率。
本篇文章将简要介绍四种确定概率的常见方法，包括主观概率、频率概率、古典概率和条件概率。
通过对这些方法的分析，我们将深入理解概率的本质和应用。
一、主观概率：主观概率是基于个人主观意愿和经验判断的概率确定方法。
它通过个人的信念和直觉来估计事件发生的可能性。
主观概率通常用于无法进行大量实验或统计数据收集的情况下。
虽然主观概率存在个人主观性的缺点，但在实际应用中，它可以提供对未知情况的一种合理估计。
二、频率概率：频率概率是基于大量实验和观察数据的统计概率确定方法。
它通过对事件发生的频率进行统计分析来计算概率。
频率概率要求事件具有可重复性，通过多次重复实验，可以近似计算出事件发生的概率。
频率概率是概率理论的基础，也是统计学的重要内容。
三、古典概率：古典概率是基于排列组合原理的概率确定方法。
它适用于所有可能结果都是等可能发生的情况。
古典概率通过计算事件发生的有利结果与所有可能结果的比值来确定概率。
这种方法常用于抽样、投掷硬币和骰子等离散试验。
古典概率提供了一种简单但有效的方法来计算概率。
四、条件概率：条件概率是指在给定一些已知条件下某个事件发生的概率。
它是概率学中的重要概念，用于描述事件发生的背景条件对事件结果的影响。
条件概率通常使用符号P(A|B)表示，表示在事件B发生的条件下事件A发生的概率。
条件概率在实际应用中有广泛的应用，如贝叶斯定理、医学诊断和风险评估等。
结论：通过对主观概率、频率概率、古典概率和条件概率的简要说明，我们可以更好地理解概率的本质和应用。
主观概率强调个人主观意愿和经验判断；频率概率基于大量实验和观察数据的统计概率；古典概率关注等可能发生的结果；条件概率描述事件发生的条件背景下的概率。
这些方法在实际问题中有不同的应用和限制，我们需要根据具体情况选择合适的方法来确定概率。
《概率》 知识清单
《概率》知识清单一、什么是概率概率，简单来说，就是衡量某个事件发生可能性大小的一个数值。
它的范围在 0 到 1 之间。
如果一个事件发生的概率是 0，那就意味着这个事件几乎不可能发生；如果概率是 1，那就表示这个事件肯定会发生；而在 0 和 1 之间的数值，则反映了事件发生的可能性的大小。
比如说，抛一枚均匀的硬币，正面朝上的概率就是 05。
因为硬币只有正反两面，而且质地均匀，所以出现正面和反面的可能性是相等的。
再比如，从一副扑克牌中随机抽取一张，抽到红桃的概率大约是025，因为一副扑克牌有54 张，其中红桃有13 张，13÷54 约等于025。
二、概率的计算方法1、古典概型在古典概型中，如果一个试验有 n 个等可能的结果，事件 A 包含其中的 m 个结果，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝ m ／ n 。
例如，一个袋子里有 5 个红球和 3 个白球，从中随机摸出一个球是红球的概率，总共有 8 个球，红球有 5 个，所以摸到红球的概率就是5÷8 ＝ 0625 。
2、几何概型对于几何概型，如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度（面积或体积）成比例，那么事件 A 发生的概率 P(A) ＝构成事件A 的区域长度（面积或体积）÷试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积）。
比如，在一个半径为 1 的圆内随机取一点，这个点在圆的某个特定区域（比如半径为 05 的同心圆）内的概率，就是用这个特定区域的面积（π×05²）除以整个圆的面积（π×1²）。
三、概率的基本性质1、0 ≤ P(A) ≤ 1 ，即概率的值在 0 到 1 之间。
2、 P(必然事件) ＝ 1 ，必然会发生的事件概率为 1 。
3、 P(不可能事件) ＝ 0 ，不可能发生的事件概率为 0 。
4、如果事件 A 与事件 B 互斥（即两个事件不能同时发生），那么P(A∪B) ＝ P(A) ＋ P(B) 。
概率的起源和发展
概率的起源和发展引言概述：概率是数学中的一个重要概念，用来描述事件发生的可能性。
它的起源可以追溯到古代，随着科学的发展，概率理论逐渐成为了一门独立的学科，并在各个领域得到了广泛的应用。
本文将从概率的起源、概率的发展以及概率在现代科学中的应用等方面进行详细阐述。
一、概率的起源1.1 古代的概率观念在古代，人们对概率的认识主要是基于经验和直觉。
例如，埃及人在进行农业生产时，会根据过去的经验来预测未来的丰收情况，这就是一种对概率的直觉认识。
1.2 概率的数学化概率的数学化始于17世纪，伽利略和帕斯卡等人对概率进行了一系列的研究。
伽利略通过实验和数学模型，提出了概率的基本原理，奠定了概率论的基础。
1.3 概率的统计学观点随着统计学的发展，人们开始将概率与统计学联系在一起。
通过对大量数据的分析和统计，人们可以更准确地估计事件发生的概率，这为概率论的发展提供了新的思路。
二、概率的发展2.1 概率论的建立概率论的建立主要归功于数学家布尔赫和庞加莱等人的努力。
他们通过引入集合论和数学逻辑的方法，建立了概率论的数学体系，使概率论得以成为一门独立的学科。
2.2 概率的公理化20世纪初，科尔莫戈洛夫等人提出了概率的公理化方法，将概率定义为满足一定公理的函数。
这一方法使概率论的基础更加牢固，并为后续的研究提供了理论基础。
2.3 概率的分支学科随着概率论的发展，出现了许多概率的分支学科，如统计学、随机过程等。
这些学科将概率论与其他学科相结合，使概率的应用范围更加广泛。
三、概率在现代科学中的应用3.1 概率在物理学中的应用概率在物理学中有着广泛的应用，例如在量子力学中，概率用来描述微观粒子的行为。
同时，概率统计方法也被用于对实验数据进行分析和解释。
3.2 概率在生物学中的应用生物学中的许多现象和过程都具有随机性，概率理论可以用来描述和解释这些现象。
例如，遗传学中的基因突变和进化过程都可以通过概率模型进行建模和分析。
3.3 概率在金融学中的应用金融市场的波动和风险是不可预测的，概率理论可以用来对金融市场进行建模和风险评估。
概率的计算方法与公式
概率的计算方法与公式概率是数学中一个重要的概念，用于描述事件发生的可能性。
在现实生活和科学研究中，我们经常需要计算概率来指导决策和推断结论。
本文将介绍几种常见的概率计算方法和相关公式，帮助读者更好地理解和应用概率。
一、频率法频率法是最直观的计算概率的方法，即通过实验或观察的频率来估计概率。
具体而言，假设我们进行了N次实验，事件A发生了n次，那么事件A的概率可以近似地表示为：P(A) = n/N。
例如，我们想知道一枚硬币正面朝上的概率。
我们进行了100次抛硬币的实验，其中正面朝上的次数为70次。
根据频率法，我们可以得到正面出现的概率为P(正面) = 70/100 = 0.7。
频率法可以通过重复实验来逐渐接近真实概率值，但结果受样本容量的影响较大。
当样本容量较小时，估计的概率可能较不准确。
二、古典概率法古典概率法是一种理论上预测概率的方法，适用于具有均匀随机性质的事物。
它假设所有可能的结果是等概率发生的，然后通过计算事件发生的有利结果数目与总结果数目的比值来得到概率。
假设有一副标准扑克牌，共52张，其中有4张A。
我们想知道从中抽一张牌是A的概率。
根据古典概率法，事件A的概率可以表示为：P(A) = 4/52 = 1/13。
古典概率法适用于结构简单、随机性好的情况，但在复杂情况下可能无法准确估计。
三、条件概率与乘法法则条件概率是指在已知某一事件发生的条件下，另一事件发生的概率。
用符号表示为P(B|A)，读作“在A发生的条件下，B发生的概率”。
乘法法则是计算条件概率的常用方法，可以表示为P(A∩B) =P(A)P(B|A)。
其中，P(A∩B)表示事件A与事件B同时发生的概率，P(A)表示事件A发生的概率，P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率。
例如，假设一批货物中有10%的次品，现从中随机取出一件进行检验，如果取出的是次品，则再次抽检，第二次抽检中检验合格的概率为80%。
问第一次抽检合格且第二次抽检合格的概率是多少？根据条件概率和乘法法则，设事件A表示第一次抽检合格，事件B表示第二次抽检合格，则所求概率可以表示为：P(A∩B) = P(A)P(B|A)= 0.9 * 0.8 = 0.72。
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1、设１０件产品中有４件不合格品，从中任取两件，已知取出的两件中有一件不合格品，求另一件也是不合格品的概率。
（０.２）【思路】在”已知取出的两件中有一件不合格品”的情况下，另一件有两种情况(1)是不合格品,即一件为合格品,一件为不合格品(2)为合格品,即两件都是合格品.对于(1),C(1,4)*(1,6)/C(2,10)=8/15;对于(2),C(2,4)/C(2,10)=2/15.提问实际上是求在这两种情况下,(1)的概率,则(2/15)/(8/15+2/15)=1/52、某人自称能预见未来，作为对他的考验，将1枚硬币抛10次，每一次让他事先预言结果，10次中他说对7次，如果实际上他并不能预见未来，只是随便猜测，则他作出这样好的答案的概率是多少？答案为11/64。
【思路】原题说他是好的答案,即包括了7次,8次,9次,10次的概率. 即 C(7 10)0.5^7×0.5^3+……C(10 10)0.5^10, 即为11/64.3、成等比数列三个数的和为正常数K,求这三个数乘积的最小值【思路】a/q+a+a*q=k(k 为正整数)由此求得a=k/(1/q+1+q)所求式=a^3,求最小值可见简化为求a的最小值.对a求导,的驻点为q=+1,q=-1.其中q=-1时a取极小值-k,从而有所求最小值为a=-k^3.(mba不要求证明最值)4、掷五枚硬币，已知至少出现两个正面，则正面恰好出现三个的概率。
【思路】可以有两种方法：1.用古典概型样本点数为C（3，5），样本总数为C（2，5）C（3，5）C（4，5）C（5，5）（也就是说正面朝上为2，3，4，5个），相除就可以了；2.用条件概率在至少出现2个正面的前提下，正好三个的概率。
至少2个正面向上的概率为13/16，P（AB）的概率为5/16，得5/13假设事件A：至少出现两个正面；B：恰好出现三个正面。
A和B满足贝努力独立试验概型，出现正面的概率p=1/2P(A)=1-(1/2)^5-(C5|1)*(1/2)*(1/2)^4=13/16A包含B，P(AB)=P(B)=(C5|3)*(1/2)^3*(1/2)^2=5/16所以：P(B|A)=P(AB)/P(A)=5/13。
5、设有n个球和n个能装球的盒子，它们各编有序号1,2,….n今随机将球分别放在盒子中，每个盒放一个，求两个序号恰好一致的数对个数的数学期望。
（答案：1）【思路】1/nn，N个球进N个盒有N的N次方种排列，对号入座只有1种排列。
6、若方程x2+p*x+37=0恰有两个正整数解x1,x2,则((x1+1)*(x2+1))/p=?(a) -2, (b) -1 (c)-1/2 (d)1【思路】题目说有两个正整数的根，故只能是1和37，p=-387、设F(n)=(n+1) n-1(n为自然数),则F(n):(a) 只能被n整除 (b)能被n*n整除…..【思路】用二项式定理去做第二题，只考虑n的系数，有一个含n的项.系数中还有一个n.答案应为b。
8、一张盒子中有4张卡片，其中两张卡片两面都是红色，一张卡片两面都是绿色，一张卡片一面红一面绿。
任取其中一张，观察其一面的颜色，如果被观察的一面是绿的，求另一面也是绿色的概论。
【思路】设A=被观察的一面是绿的，B=两面都是绿,则需求P（B/A）=P（AB）/P（A）=P（B）/P（A）=1/4：1/2=1/2，所给答案却2/3？9、在房间中有10个人,分别佩戴从1号到10号的纪念章,任选3人记录其纪念章号码,求:(1)最小号码为5的概率，(2)最大号码为5的概率.【思路】最小号码为5 的概率：号码5已确定，另外2人的号码应从6、7、8、9、10中选出,所以概率为10/120＝1/12同样最大号码为5的概率：号码5已确定，另外2人的号码应从1、2、3、4中选出,所以概率为6/120＝1/2010、从5 双不同的鞋子中任取4 只,求这4只鞋子中至少有两只配成一双的概率是多少?【思路】可以这样理解，先算出没有两只配成一双的情况，然后用1去减一下便可。
4只鞋中没有配成一双的情况：10只鞋按配对分成5组，只要每次从一组中取出一只便能保证没有配成双的情况，那么组合数为： 10×8×6×4任取4只的组合数为：10×9×8×7所以没有2只配对的概率为：10×8×6×4/10×9×8×7＝8/21故至少2只成对的概率为1－8/12＝13/2111、设有一个均匀的陀螺，其圆周的一半上均匀地刻上区间[0，1）上的诸数字，另一半上均匀地刻上区间[1，3）上的诸数字。
旋转这陀螺,求它停下来时其圆周上触及桌面的点的刻度位于[1/2，3/2]上的概率。
【思路】设陀螺触及桌面的点的刻度落在[0，1）、[1，3]、[1/2，1）、[1，3/2]上的概率分别为p(01),p(13),p1,p2,则：p(01)=p(13)=1/2, p1=p(01)*p(1)|p(01)=1/2*[(1-1/2)/(1-0)]=1/4同理p2=1/2*[(3/2-1)/(3-1)]=1/8 p=1/4+1/8=3/812、设某家庭有3个孩子，在已知至少有一个女孩的条件下，求这个家庭中至少有一个男孩的概率。
【思路】设A为三人中至少有一个女孩，B为已知三人中有一个女孩另外至少有一个男孩；P（A） =1-（1/2）*（1/2）*1/2=7/8 , P(AB)=1-（1/2）*（1/2）=3/4,所以 P(B|A) = P(AB)/P(A) = 6/7。
(这样分析是认为三个孩子是排序的，一男二女就包括 bgg,gbg,ggb 三种情况，总共有八个样本，这比抛硬币难理解一些）13、求极限部分不能正常显示，想要具体复习资料可以到清华版教材和相关复习资料。
14、求极限：lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n) (n趋于正无穷）；【思路】lim(1-1/2*2)(1-1/3*3)…(1-1/n*n)n->正无穷=lim(1-1/2)(1+1/2)(1-1/3)(1+1/3)…..(1-1/n)(1+1/n)=lim1/2 * 3/2 *2/3 * 4/3……*(n-1)/n * (n+1)/n=lim(n+1)/2n=1/215、如果数列{An}中，A1=1,且An+1=2nAn(n=1,2,…),则{An}的通项公式An＝？【思路】An+1=2nAn => An+1/An=2n =>A2/A1=2 , A3/A2=2^2 …..(A2/A1)*(A3/A2)*……*( An /An-1)=2 22…… 2n-1=> An /A1=2 (1+2+…+n-1)=2n(n-1)/2=>An=2n(n-1)/216、设有4只坏，每只都能以同样的落入4个格子中的任一个，求前2个球落入不同格子中的概率。
【思路】分别设四球为1号, 2号，3号和4号1号球落入某个格子有4种可能，那么2号球就只有3种可能3号4号可落入4个格子中的任意，有4，4种可能所以应为4*3*4*4/4417、甲，乙二人同时同地绕400米跑道赛跑，甲速度每秒比乙快3米，知甲跑三圈后第一次赶上乙，求乙速度.( 6s/m)【思路】3*400/(V+3) = 2*400/V 得V=6 (m/s)已知f(xy)=f(x)+f(y)且f’(1)=a,x≠0，求f’(x)=? (答案为a/x)【思路1】原方程两边对Y 进行求偏导xf’(xy)=f’(y) 其中f’(xy)与f’(y)都是对y偏导数xf’(x*1)=f’(1)=a 得 f’(x)=a/x【思路2】当⊿x→0时，令x+⊿x=xz则z=(1+⊿x/x)由f’(x)=[f(x+⊿x )-f(x)]/ ⊿x={f[x(1+⊿x/x)]-f(x)}/⊿x=[f(x)+f(1+⊿x/x)-f(x)]/⊿x=f(1+⊿x/x)/⊿x =f’(1)/x=a/x18、已知函数f(x+y,x-y)=x2-y2, 则f对x的偏导数加f对y 的偏导数等于? (a)2x-2y (b)x+y【思路1】设U=x+y,v=x-yf(u,v)=uvf’x=f’u*u’x+f’v*v’x=v*1+u*1=u+vf’y=f’u*u’y+f’v*v’y=v-uf’x+f’y=u+v+v-u=2v=2(x-y)=2x-2y 选A【思路2】由已知f(x+y,x-y)=(x+y)(x-y),令u=x+y, v=x-y, 则f(u,v)=uv,于是f(x,y)=xy,故答案为(b).结论：b应该是对的，复合函数是相对与自变量而言的，自变量与字母形式无关，参见陈文灯的考研书。
19、已知方程7x2-(k+13)x+k2-k-2=0的两个实根分别在区间（0，1）和（1，2）内，则k的取值范围是什么？答案为（-2，-1）U（3，4）【思路】画图可得f(0)>0,f(1)<0，f(2)>0代入计算即可A,B是一次随机实验的两个事件，则————A. A-(B-A)=A-B B. A-(B-A)=A【思路】b,利用定义可得20、设X是连续型随机变量，其分布函数是F(X),如果EX存在，则当x->+∞时，1-F(x)是1/x的___。
A、等价无穷小B、高价无穷小C、低价无穷小D、同价无穷小【思路】由于EX存在，xf(x)的无穷积分收敛且为1／x的高阶无穷小；因为函数g(x)=1/x 的无穷积分积分不收敛可知，由比较判别法可知，如果为同阶或低阶无穷小，则xf(x)不收敛。
21、设有编号为1，2，3，…,n的n个求和编号为1，2，3，…,n的n个盒子。
现将这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，并且恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，则这样的投放方法的总数为？【思路】任给2 个球的编号和盒子的编号相同,则剩下n-2个球没有一个编号相同；而剩下n-2个球没有一个编号相同的概率为1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!；［注意：上面用到了这n个球放入n个盒子内，要求每个盒子内放一个球，至少有一个球的编号和盒子的编号相同的概率为1－1／2！＋1／3！－…＋（-1）^(n-1)/n!;］故恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同的概率为(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)；给定2个球的编号和盒子的编号相同后可能的投放方法为(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).n个球中任取两个的可能取法为C(2,n);2者相乘得出：恰好有2 个球的编号和盒子的编号相同，的投放方法的总数为C(2,n)*(n-2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!)=(n!/2)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-2)/(n-2)!).当n趋于无穷大时，取法为（n!/2）*[e^(-1)];【思路】如果以m代替2，通解为C(m,n)*(n-m)!*(1/2!-1/3!+…+(-1)^(n-m)/(n-m)!)注：机工版P52页21题如下：设有编号为1，2，3，4，5的5个求和编号为1，2，3，4，5的5个盒子。