八年级数学沪科版上册【能力培优】专题训练：12.2 一次函数(含答案)

212.2 一次函数专题一 一次函数解析式的确定 1.如图,在平面直角坐标系中,线段AB 的端点坐标为A （－2,4）,B （4,2）,直线y =kx -2与线段AB 有交点,则k 的值可能是（ ） A.-5 B.-2 C.3 D. 52.小明受《乌鸦喝水》故事的启发,利用量筒和体积相同的小球进行了如下操作：请根据图中给出的信息,解答下列问题：（1）放入一个小球量筒中水面升高_______cm ；（2）求放入小球后量筒中水面的高度y （cm ）与小球个数x （个）•之间的一次函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（3）量筒中至少放入几个小球时有水溢出？专题二 一次函数中的开放性问题3. “一根弹簧原长10cm,在弹性限度内最多可挂质量为5kg 的物体,挂上物体后弹簧伸长的长度与所挂物体的质量成正比, ,则弹簧的总长度y （cm ）与所挂物体质量x (kg)之间的函数关系式是y =10+0.5x (0≤x ≤5).”王刚同学在阅读上面材料时就发现部分内容被墨迹污染,被污染部分是确定函数关系式的一个条件,你认为该条件可以是： （只需写出一个）．4.阅读函数图象,并根据你所获得的信息回答问题：(1)折线OAB 表示某个实际问题的函数图象,请你编写一道符合图象意义的应用题;(2)根据你所给出的应用题分别指出x 轴,y 轴所表示的意义,并写出A ,B 两点的坐标;(3)求出图象AB 的函数解析式,并注明自变量x 的取值范围．y x B专题三 一次函数中的实验操作题5.在平面直角坐标系中,点P 从原点O 出发,每次向上平移2个单位长度或向右平移1个单位长度．（1）实验操作：在平面直角坐标系中描出点P 从点O 出发,平移1次后,2次后,3次后可能到达的点,并把相应点的坐标填写在表格中：（2）观察发现：任一次平移,点P 可能到达的点在我们学过的一种函数的图象上,如：平移1次后在函数 的图象上；平移2次后在函数 的图象上……由此我们知道,平移n 次后在函数 的图象上．（请填写相应的解析式）（3）探索运用：点P 从点O 出发经过n 次平移后,到达直线x y 上的点Q ,且平移的路径长不小于50,不超过56,求点Q 的坐标．【知识要点】1.函数y =kx +b (k ≠0)叫做一次函数,当b =0时,叫做正比例函数.2.一次函数y =kx +b 的图象是一条直线,其位置是由k 和b 来确定的.只要知道一次函数图象两个点的坐标,就可以画出该函数的图象.3.一次函数y =kx +b 有下列性质:当k ＞0时,y 随着x 的增大而增大(图象是自左向右上升的).当k ＜0时,y 随着x 的增大而减小(图象是自左向右下降的).4.求一次函数的解析式常用的方法是待定系数法.【温馨提示】1.弄清一次函数和正比例函数的关系,正比例函数是一次函数的特殊情形,即正比例函数是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数.2.一次函数的性质可借助函数的图象直观得到,注意“数形结合”思想的合理利用.3.确定一次函数解析式的基本方法是待定系数法,其实质是二元一次方程组知识的应用.除此以外,还可以根据题目所给基本数量关系或数学公式列出一次函数的解析式.【方法技巧】1.直线y =kx +b 的位置是由k 和b 的符号决定的,其中k 决定直线从左到右是呈上升趋势还是下降趋势,b 决定直线与y 轴的交点位置.2.用待定系数法求函数解析式的一般步骤是:(1)设含有待定系数的函数解析式;(2)把已知条件代入解析式,得到关于待定系数的方程(组);(3)解方程(组),得到待定系数;(4)将求得的待定系数的值代回所设的解析式.参考答案1.B 提示:将A （－2,4）代入y ＝kx －2,得k ＝－3,将B （4,2）代入y ＝kx －2得k ＝1,从而得k 值在－3与1之间,因此只有B 符合条件.2.（1）（36-30）÷3=2；即放入一个小球量筒中水面升高2cm ．（2）放入小球后量筒中水面的高度y (cm)与小球个数x （个）之间的一次函数关系式y =30+2x ．（3）当y =49时,30+2x =49,解得x =9.5,所以至少放入10个小球时有水溢出．3.如果悬挂2kg 物体弹簧总长度为11cm. (答案不唯一).4.答案一：(1)小明从家跑步去离家800米的学校,用了5分钟,立即又用了10分钟步行回到家中;(2)x 轴表示时间,y 轴表示距离,A (5,800),B (15,0);(3)图象AB 的解析式为y =－80x +1200(5≤x ≤15)．答案二：一容器深8米,往里注满水用去5分钟,接着打开底部的排水管放完全部水用去10分钟．此时,x 轴表示时间（分）,y 轴表示容器内水面的高（米）,A (5,8),B (15,0);图象AB 的解析式为y =412(515)5x x -+≤≤)． 答案三：小明用5分钟把一杯冰水混合物加热道50℃后,立即把它放入冰柜中,又经过10分钟,杯中的水又降到0℃,此时,x ,y 轴分别表示时间与温度,A (5,50),B (15,0);图象AB 的解析式及自变量的取值范围,由同学们完成．（2）22+-=x y ；42+-=x y ；n x y 22+-=．（3）设点Q 的坐标为),(y x ,依题意,⎩⎨⎧=+-=.,22x y n x y解这个方程组,得到点Q 的坐标为)32,32(n n ． ∵平移的路径长为y x +,∴50≤34n ≤56． ∴37.5≤n ≤42． 而点Q 的坐标为正整数,因此点Q 的坐标为)26,26(,)28,28(．专题一 图形平移中的规律探究题1.）在平面直角坐标系中,一蚂蚁从原点O 出发,按向上、向右、向下、向右的方向依次不断移动,每次移动1个单位．其行走路线如下图所示．（1）填写下列各点的坐标：A 4（ , ）,A 8（ , ）,A 12（ , ）； （2）写出点A 4n 的坐标（n 是正整数）；（3）指出蚂蚁从点A 100到点A 101的移动方向．2.如图所示,矩形ABCD 的顶点坐标分别为A (1,1),B (2,1),C (2,3),D (1,3).(1)将矩形ABCD 向上平移2个单位,画出相应的图形,并写出各点的坐标；(2)将矩形ABCD 各个顶点的横坐标都减去3,纵坐标不变,画出相应的图形；(3)观察（1）、（2）中的到的矩形,你发现了什么？3.在直角坐标系中,△ABC 的三个顶点的位置如图所示,现将△ABC 平移使得点A 移至图中的点A ′的位置．(1)在直角坐标系中,画出平移后所得△A′B′C′（其中B ′、C ′分别是B 、C 的对应点）．(2)计算：对应点的横坐标的差：=-A A x x ' ,=-B B x x ' ,=-C C x x '；对应点的纵坐标的差：=-A A y y ' ,=-B B y y ' ,=-C C y y ' .(3)从（2）的计算中,你发现了什么规律？请你把发现的规律用文字表述出来．(4)根据上述规律,若将△ABC 平移使得点A 移至A ″（2,-2）,那么相应的点B ″、C ″（其中B ″、C ″分别是B 、C 的对应点）的坐标分别是 、 ．O 1 A 1 A 2 A 3 A 4 A 5 A 6 A 7A 8 A 9 A 10A 11 A 12 xy专题二 图形平移中的规律探究题4.初三年级某班有54名学生,所在教室有6行9列座位,用（m ,n ）表示第m 行第n 列的座位,新学期准备调整座位,设某个学生原来的座位为（m ,n ）,如果调整后的座位为（i ,j ）,则称该生作了平移[a ,b ]=[m - i ,n - j ],并称a +b 为该生的位置数.若某生的位置数为10,则当m +n 取最小值时,m •n 的最大值为 .5.国际象棋、中国象棋和围棋号称世界三大棋种. 国际象棋中的“皇后”的威力可比中国象棋中的“车”大得多：“皇后”不仅能控制她所在的行与列中的每一个小方格,而且还能控制“斜”方向的两条直线上的每一个小方格.如图甲是一个4×4的小方格棋盘,图中的“皇后Q ”能控制图中虚线所经过的每一个小方格.(1)在如图乙的小方格棋盘中有一“皇后Q ”,她所在的位置可用“（2,3）”来表示,请说明“皇后Q ”所在的位置“（2,3）”的意义,并用这种表示法分别写出棋盘中不能被该“皇后Q ”所控制的四个位置.(2)如图丙也是一个4×4的小方格棋盘,请在这个棋盘中放入四个“皇后Q ”,使这四个“皇后Q ”之间互不受对方控制（在图丙中的某四个小方格中标出字母Q 即可）.【知识要点】1.点的平移变换与坐标的变化规律是：点(x ,y )右（左）移m 个单位,得对应点(x ±m ,y ),点(x ,y )上（下）移n 个单位,得对应点(x ,y ±n ).2.图形的平移变换与坐标的变化规律一般是通过从图形中特殊点,转化为点的平移变换解决.【温馨提示】1.平移只改变物体的位置,不改变的物体的形状和大小,因此,平移前后图形的面积不变.2.一个图形进行平移,这个图形上所有的点的坐标都要发生相应的变化;反之,如果图形上的点的坐标发生变化,那么这个图形进行了平移.【方法技巧】1.点的平移与其坐标的变化规律是解决平移问题的关键,平移的方向决定了坐标是加还是减,平移的距离决定了加(或减)的数值.2.作平移后的图形时,可先作出平移后图形中某些特殊点,然后再连结即可得到所需要1 23 4 甲1 2 3 4 行 乙1 2 3 4 丙 第5题图的图形.参考答案1.⑴ A 4（2,0）； A 8（4,0）； A 12（6,0）； ⑵ A 4n （2n ,0）；⑶ 向上．2.(1)将矩形向上平移2个单位,画出图形（略）,矩形相应点的坐标为11(1,3),(2,3)A B ,11(2,5),(1,5)C D .(2) 22(2,1),(1,1)A B --,22(1,3),(2,3)C D --.图形略.（3）发现（1）、（2）中的两图形形状、大小完全相同.3.(1)平移后的图形如图; (2)5 5 5 1 1 1(3)对应点的横坐标的差都相等；对应点的纵坐标的差都相等（保持不变）;(4)（4,-3）,（6,0）.4.36 提示:由已知,得a +b =m -i +n -j ,即m -i +n -j =10,所以m +n =10+i +j ,当m +n 取最小值时,i +j 最小为2,所以m +n 的最小值为12,因为m +n =12=3+9=4+8=5+7=6+6=…,m •n 的最大值为6×6=36．5.(1)说明皇后在第2列,第3行的位置,不能被控制的位置有(4,4),(1,1),(3,1),(4,2);(2)放在如(1,2),(2,4),(3,1),(4,3)四个位置.。