方向导数与梯度在工程和生活中的应用

方向导数与梯度

一、方向导数

1．概念 设是平面上以为始点的一条射线．是与

同方向的单位向量射线的参数方程为

设函数在点的某个邻域

内有定义，为上另一点，且,到的距离 若当沿着趋于即时的

极限存在，则称此极限为函数在点沿方向的方向导数．记作 即

有定义可知是在点沿方向的变化率． 若在点偏导数存在则

又若

则

但反之 若 存在．则不一定存在．如在点处沿

方向的方向导数，而偏导数不存在．

类似．对三元函数来说，它在空间一点沿方向的方向导数为

l xoy ()000,y x P ()cos ,cos l e αβ=l l αcos 0t x x +=βcos 0t y y +=()0≥t =

z ()

y x f ,()000,y x P ()0p U ()βαcos ,cos 000t y t x P ++l ()0p U p ∈p 0p t pp =0()()

t y x f t y t x f 0000,cos ,cos -++βαp l 0p ()

+

→0t ()y x f ,0p l ()

00,|y x l f

∂∂()00,|y x l f

∂∂()()t y x f t y t x f t 00000,cos ,cos lim

-++=+→βα()

00,|y x l f

∂∂()y x f ,()000,y x P l ()y x f ,()000,y x P i e l

=()0,1=()00,|y x l

f

∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim

-+=+→()00,y x f x =l e j =()1,0=()00,|y x l f

∂∂()()t y x f y t x f t 00000,,lim -+=+→()00,y x f y =i e l =()0,0|z l ∂∂()

0,0|z

x ∂∂22y x z +=()0,0i l =()00,|y x l z ∂∂1=()00,|y x x z

∂∂()z y x f ,,()0000,,z y x P ()

γβαcos ,cos ,cos =l e

()000,,|z y x l f

∂∂()t t z t y t x f t γβαcos ,cos ,cos lim

0000+++=+→

2．方向导数的存在性及其计算方法 函数具备什么条件才能保证在点沿任一方向的方向导数存在？它和该点偏

导数又有什么关系？有如下定理

定理 若在点可微分，则函数在该点沿任一方向的方向导数存在

且有

其中是方向的方向余弦

证在点可微分

点

在以 为始点的射线上时应有

， ，

所以

这就证明了方向导数存在，且其值为

同样可以证明在点可微分，则函数在该点沿着方向

的方向导数

二、梯度

1． 二元函数梯度定义 设在区域内具有一阶连续导数，点

，则向量

称为在点的梯度，记作

，即

()000,y x P ()y x f ,()000,y x P l ()00,|y x l f

∂∂()()β

αcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=βαcos ,cos L ()y x f ,()00,y x ∴

()y y x x f ∆+∆+00,()

00,y x f -()()()()

2

2

00000,,y x y y x f x y x f y x ∆+∆+∆+∆=()y y x x ∆+∆+00,()00,y x l αcos t x =∆βcos t y =∆()()2

2y x ∆+∆t =()()

t

y x f t y t x f t 00000

,cos ,cos lim -+++

→βα()()β

αcos ,cos ,0000y x f y x f y x +=()00,|y x l f

∂∂()()β

αcos ,cos ,0

000y x f y x f y x +=()z y x f ,,()000,,z y x ()

γβαcos ,cos ,cos =→

l e ()

()()()γ

βαcos ,,cos ,,cos ,,000000000,,000z y x f z y x f z y x f l

f

z y x z y x ++=∂∂()y x f ,D ()D y x P ∈000,()()→

→+j

y x f i y x f y x 0000,,()y x f ,()000,y x P ()00,y x gradf

2． 二元函数梯度与方向导数的关系

若在点可微分，是与方向同向的单位向量，则

其中

当时，方向导数取得最大值，这个最大值就是梯度的模

．

由上知：函数在一点的梯度是个向量，它的方向是函数在这点的方向导数取得最大值的方向，它的模等于方向导数的最大值．

在几何上表示一个曲面这曲面被平面（是常数）所截得曲线的方程为，在

面上的投影是一条平面曲线，它在平面直角坐标系

中的方程为，对上一切点，已给函数的函数值都是，称为的等值线．

若，不同时为零，则等值线上任一点处的一个单位法向

量为

这表明

的方向与等值线上这点的一个法线方向相同．

而沿这个方向的方向导数就等于于是

，

这一关系式表明函数在一点的梯度方向与等值线在这点的一个法线方向相同，它的指向为从数值较低的等值线指向数值较高的等值线．梯度的模就等于函数在这个法线方向的方向导数．

()()()→

→+=j

y x f i y x f y x gradf y x 000000,,,()y x f ,()000,y x P ()βαcos ,cos =→

l e l ()

()()()()()000000,000000,cos ,cos ,,cos ,cos x y x y l

l f

f x y f x y l gradf x y e gradf x y e gradf x y αβ

θθ

→

→

∂=+∂=⋅==()⎪

⎭⎫ ⎝⎛

=→

l e y x gradf ,,00θ0=θ()

00,y x l

f

∂∂()

00,y x gradf ()y x f z ,=c z =c L ()⎩⎨⎧==c z y x f z ,L xoy L xoy ()c y x f =,L c L ()y x f z ,=x f y f ()c y x f =,()000,y x P ()()

()()()

002002

,,,,,1

y x f y x f y x f

y x f

n y

x

y

x

+

=

→

()00,y x gradf n f

∂∂()00,y x gradf ()n f y x gradf ∂∂=00,