1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编(6)不等式与线性规划
1981年~2019年全国高中数学联赛试题分类汇编
不等式部分
2019B 一、（本题满分40分）设正实数12100,,
,a a a 满足101i i a a -≥（1,2,
,50i =）．
记1
12k k k
ka x a a a +=
+++（1,2,
,99k =），证明：2
99
12
991x x x ≤。
★证明：注意到12100,,,0a a a >．对1,2,
,99k =，由平均值不等式知
121210k
k k k a a a a a a ??<≤
?++
+??， ……………10 分 从而有99
99
2
991
12
991111212k
k k k k k k k k
a k x x x a a a a a a a ++==??=≤ ?++
+??∏∏． ① ………………20 分
记①的右端为T ，则对任意1,2,,100i =，i a 在T 的分子中的次数为1i -，
在T 的分母中的次数为100i -．从而
()1012100
50
50
2101101
21012101101101111i
i i i i i i i
i i i i a T a a a a -------===??=== ???
∏∏∏。……30 分
又1010i i a a -<≤（1,2,,50i =） ，故1T ≤，结合①得2
99
12
991x x x T ≤≤ (40)
分
2018B 一、（本题满分40分）设b a ,是实数，函数x
b ax x f 9
)(++=。证明：存在[]9,10∈x ，使得2)(0≥x f 。
★证明:用反证法.假设对任意的[]9,1∈x ，均有2)( 2)1( 即29<++b a ，233<++b a ，219<++b a 注意到16)1(3)2(4)3(=+-f f f 又<=+-16)1(3)2(4)3(f f f +)1(f )3(4f 16)9(3=+f 矛盾！ 所以原命题得证。 2017A 9、（本题满分16分） 设m k ,为实数，不等式12 ≤--m kx x 对所有[]b a x ,∈成立，证明：22≤-a b 。 ★证明：记 m kx x x f --=2 )(，[]b a x ,∈，则[]1,1)(-∈x f 。于是 1)(2≤--=m ka a a f ①； 1)(2≤--=m kb b b f ② 1)2 ()2()2(2-≥-+-+=+m b a k b a b a f ③ ①+②-?2③知 ()4)2 (2)()(22 ≤+--=-b a f b f a f b a ， 即22≤-a b 。 2017A 10、（本题满分20分）设321,,x x x 是非负实数，满足1321=++x x x ，求 ()?? ? ? ?+ +++53 5332 1321x x x x x x 的最小值和最大值。 ★解析：由柯西不等式 ()1553353532 332211321321=??? ? ???+?+?≥??? ??++++x x x x x x x x x x x x 当11=x ，02=x ，03=x 时取等号，故所求的最小值为1； 又()()?? ? ??++++=??? ??++ ++32132132132135553515353x x x x x x x x x x x x ()2 3212 32132163146201355534151?? ? ???++=????????? ??+++++?≤x x x x x x x x x 59631862012 321=?? ? ???++≤x x x ，当211=x ，02=x ，213=x 时取等号，故所求的最小值为59； 2017B 9、（本题满分16分） 设为实数，不等式x x a 252-<-对所有[]2,1∈x 成立，求实数a 的取值范围。 ★解析：设2x t =，则[2,4]t ∈，于是|||5|t a t -<-对所有[2,4]t ∈成立，由于 22|||5|()(5)t a t t a t -<-?-<-，(25)(5)0t a a ?---<， 对给定实数a ，设()(25)(5)f t t a a =---，则()f t 是关于t 的一次函数或常值函数，注意 [2,4]t ∈，因此()0f t <等价于(2)(1)(5)0 (4)(3)(5)0 f a a f a a =--- =-- 2017B 一、（本题满分40分）设实数c b a ,,满足0=++c b a ，令{} c b a d ,,max =，证明： 21)1)(1)(1(d c b a -≥+++ ★证明：当1d ≥时，不等式显然成立 以下设01d ≤<，不妨设,a b 不异号，即0ab ≥，那么有 (1)(1)11110a b a b ab a b c d ++=+++≥++=-≥-> 因此2 2 2 (1)(1)(1)(1)(1)111a b c c c c c d +++≥-+=-=-≥- 2016A1、设实数a 满足a a a a <-<1193 ，则实数a 的取值范围为 ◆答案：)3 10 ,332(-- ∈a ★解析：由||a a <可得0 |11913-=>-> a a a a a 即111912<-<-a ，所以)3 4,910(2 ∈a ．又0 2016A 一、（本题满分40分）设实数2016321,,,,a a a a 满足2 1119+>i i a a （2015,,2,1 =i ）. 求))(())((2 12016220162015232221a a a a a a a a ---- 的最大值。 ★解析：令))(())((2 12016220162015232221a a a a a a a a P ----= 由已知得，对2015,,2,1 =i ，均有09 11212 12 1≥-> -+++i i i i a a a a 。 若02 12016≤-a a ，则0≤P ；下面考虑0212016 >-a a 的情况.不妨记12017a a =，由平均不等 式得 () ()?? ? ??-=??? ??-=??? ??-=-≤∑∑∑∑∑∑====+==+201612016 122016120161212016120161212016 1120161201612016120161i i i i i i i i i i i i i i a a a a a a a a P 41 412016201612)1(201612 20161=??=?? ? ??-+≤∑=i i i a a ，当且仅当212016321=====a a a a 时取等号。 又2 1119+>i i a a （2015,,2,1 =i ），此时20164 1=P ,即所求最大值为20164 1 。 2016B 2、设{}21|≤≤-=a a A ，则平面点集{}0,,|),(≥+∈=y x A y x y x B 的面积为 ◆答案：7 ★解析：点集B 如图中阴影部分所示，其面积为 1 33227.2MRS MNPQ S S -=?-??=正方形 2015A6、在平面直角坐标系xOy 中，点集 {}0)63)(63(|),(≤-+-+=y x y x y x K 所对应的平面 区域（如图所示）的面积为 ◆答案：24 ★解析：设1{(,)||||3|60}K x y x y =+-≤． 先考虑1K 在第一象限中的部分，此时有36x y +≤,故这些点对应于图中的△OCD 及其内部．由对称性知，1K 对应的区域是图中以原点O 为中心的菱形ABCD 及其内部． 同理，设2{(,)||3|||60}K x y x y =+-≤，则2K 对应的区域是图中以O 为中心的菱形EFGH 及其内部． 由点集K 的定义知，K 所对应的平面区域是被1K 、2K 中恰好一个所覆盖的部分，因此本题所要求的即为图中阴影区域的面积S ． 由于直线CD 的方程为36x y +=，直线GH 的方程为 36x y +=， 故它们的交点P 的坐标为33(,)22．由对称性知，13 8842422 CPG S S ?==???=． 2015A 一、（本题满分40分）设实数n a a a a ,,,,321 （2≥n ）是实数.证明：可以选取 {}1,1,,,21-∈n εεε 使得()?? ? ??+≤??? ??+??? ??∑∑∑===n i i n i i i n i i a n a a 122 1211ε。 ★证明： 证法一：我们证明：2 []2 22111[] 2()(1)()n n n n i i j i n i i i j a a a n a ====?? ?+-≤+ ? ??? ∑∑∑∑，① 即对1,2,,[]2n i =，取1i ε=，对[]1,,2 n i n =+，取1i ε=-符合要求．（这里，[]x 表 示实数x 的整数部分．） 10分 事实上，①的左边为 2 2 2 2 [][][]222111[]1[]1 []122222n n n n n n i j i j i j n n n i i i j j j a a a a a a ====+=+=+???????? ? ? ? ?++-=+ ? ? ? ? ? ? ? ?????????∑∑∑∑∑∑ []2 221[]122222n n i j n i j n n a n a ==+?????????? ? ?≤+- ????? ? ?????? ? ? ????? ∑∑（柯西不等式）30分 []2 221[]1212222n n i j n i j n n a a ==+?????+????? ? ?=+ ????? ? ??????? ? ????? ∑∑（利用122n n n +????-=????????） []2 221[]12(1)n n i j n i j n a n a ==+???? ? ?≤++ ? ? ? ? ???? ∑∑（利用[]x x ≤） 21 (1)()n i i n a =≤+∑． 所以 ① 得证，从而本题得证． 证法二：首先，由于问题中12,, ,n a a a 的对称性，可设12n a a a ≥≥ ≥．此外，若将 12,, ,n a a a 中的负数均改变符号，则问题中的不等式左边的2 1 )(∑=n i i a 不减，而右边的2 1 n i i a =∑不 变，并且这一手续不影响1i ε=±的选取，因此我们可进一步设 120n a a a ≥≥≥≥． 10分 引理：设120n a a a ≥≥ ≥≥，则1110(1)n i i i a a -=≤-≤∑． 事实上，由于1(1,2, ,1)i i a a i n +≥=-，故当n 是偶数时， 1 123411 (1) ()()()0n i i n n i a a a a a a a --=-=-+-++-≥∑， 1 1232111(1) ()()n i i n n n i a a a a a a a a ---=-=------≤∑． 当n 是奇数时， 1 1234211(1) ()()()0n i i n n n i a a a a a a a a ---=-=-+-++-+≥∑， 1 123111 (1) ()()n i i n n i a a a a a a a --=-=--- --≤∑． 引理得证． 30 分 回到原题，由柯西不等式及上面引理可知 2 2 1222 11111(1)(1)n n n n i i i i i i i i i a a n a a n a -====??????+-≤+≤+ ? ? ??????? ∑∑∑∑， 这就证明了结论． 40分 证法三：加强命题：设12,,,n a a a ???（2n ≥）是实数，证明：可以选取12,,,{1,1}n εεε???∈-， 使得 2 2 2 11 11()()()()n n n i i i i i i i a a n a n ε===+≤+∑∑∑. 证明 不妨设222 12n a a a ≥≥???≥，以下分n 为奇数和n 为偶数两种情况证明. 当n 为奇数时，取1212 1n εεε-==???==，132 2 1n n n εεε++==???==-，于是有 12 2 2 11 1 2 ()[()( )] n n n i i j n i i j a a a -+===+-∑∑∑12 2 2 11 2 2[()+( )]n n i j n i j a a -+===∑∑ 1 2 2 21 12 112()+2()()22n n i j n i j n n a n a -+==--≤??-∑∑（应用柯西不等式）. 12 2211 2 (1)()+(1)( )n n i j n i j n a n a -+===-+∑∑ ① 另外，由于222 12 n a a a ≥≥???≥，易证有 1 2 2 21 12 11(1)(1)n n i j n i j a a n n -+==+≥-∑∑， 因此，由式①即得到12 2 2112 (1)()+(1)()n n i j n i j n a n a -+== -+∑∑2 11()()n i i n a n =≤+∑， 故n 为奇数时，原命题成立，而且由证明过程可知，当且仅当1212 1n εεε-==???==， 132 2 1n n n εεε++==???==-，且12n a a a ==???=时取等号. 当n 为偶数时，取122 1n εεε==???==，242 2 1n n n εεε++==???==-，于是有 2 2 2 21 1 2 ()[()( )]n n n i i j n i i j a a a +=== +-∑∑∑ 2 2 2221 2 2[()+( )]n n i j n i j a a +== =∑∑ 2 2 22 12 2()+2()()22n n i j n i j n n a n a +==≤??-∑∑（应用柯西不等式）. 2 2 2212 [()+()]n n i j n i j n a a +== =∑∑22 111()()()n n i i i i n a n a n ===≤+∑∑， 故n 为偶数时，原命题也成立，而且由证明过程可知，当且仅当120n a a a ==???==时取等号，若12,,,n a a a ???不全为零，则取不到等号. 综上，联赛加试题一的加强命题获证. 2015B 一、（本题满分40分）证明：对任意三个不全相等的非负实数c b a ,,都有： 21 ) ()()()()()(2 22222≥-+-+--+-+-a c c b b a ab c ac b bc a ，并确定等号成立的充要条件．。 ★解析：当,,a b c 不全相等时，原不等式等价于 2222222()2()2()()()()a bc b ca c ab a b b c c a -+-+-≥-+-+-．上式可化简为 22222222212222a b b c c a abc ab bc ca ++-≥---, 即 2222226a b b c c a ab bc ca abc +++++≥． ① 考虑到222222 ,,,,,0a b b c c a ab bc ca ≥，故由平均不等式得， 2222226a b b c c a ab bc ca abc +++++≥=． ② 因此原不等式成立． 20 分 下面考虑等号成立的充分必要条件． 注意到②中等号成立的充分必要条件是22 22 2 2 a b b c c a ab bc ca =====． 若0abc ≠，则ab bc ca ==，显然 a b c ==，与条件矛盾！ 若0abc =，则0ab bc ca ===，但,,a b c 不全为0，不妨设0a ≠，则0b c ==．类似可得其余两种情况，即,,a b c 中恰有一个非零．这时原不等式中等式确实成立． 因此，原不等式等号成立当且仅当,,a b c 中有两个是0，另一个为正数．40 分 2010A 三、（本题满分50分）给定整数2>n ，设正实数n a a ,,1 满足1≤k a ，n k ,,2,1 =， 记k a a a A k k +++= 21，n k ,,2,1 =。 证明：21 11 -<-∑∑==n A a n k n k k k 。 ★证明：由01k a <≤知，对11k n ≤≤-，有1 1 0,0k n i i i i k a k a n k ==+< ≤< ≤-∑∑． 注意到当,0x y >时，有{}max ,x y x y -<，于是对11k n ≤≤-，有 1 1111k n n k i i i i k A A a a n k n ==+??-=-+ ???∑∑ 11111n k i i i k i a a n k n =+=??=-- ???∑∑ 1 1111max , n k i i i k i a a n k n =+=????<-?? ????? ∑∑ 111max (),n k k n k n ????≤--?? ????? 1k n =-， 故 1 1 1 n n n k k n k k k k a A nA A ===-=-∑∑∑ ()1 1 11 n n n k n k k k A A A A --===-≤-∑∑ 1 11n k k n -=??< - ?? ?∑1 2n -= ． 2010B 三、（本题满分50分）设,,x y z 为非负实数, 求证： 22232222223()()()()()32 xy yz zx x y z x xy y y yz z z zx x ++++≤-+-+-+≤。 ★证明：首先证明左边不等式. 因为 2 2 22211 [()3()]()44x xy y x y x y x y -+= ++-≥+, 同理,有2221()4y yz z y z -+≥+, 222 1()4 z zx x z x -+≥+; 于是 222222 21()()()[()()()]64 x xy y y yz z z zx x x y y z z x -+-+-+≥+++ 21[()()]64 x y z xy yz zx xyz =++++-; 由算术-几何平均不等式, 得 1 ()()9 xyz x y z xy yz zx ≤++++,所以 222222 221()()()()()81 x xy y y yz z z zx x x y z xy yz zx -+-+-+≥++++ 22221(222)()81x y z xy yz zx xy yz zx =+++++++3 ()3xy yz zx ++≥. 左边不等式获证, 其中等号当且仅当x y z ==时成立. 下面证明右边不等式. 根据欲证不等式关于,,x y z 对称, 不妨设x y z ≥≥, 于是 222222()()z zx x y yz z x y -+-+≤, 所以 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ()()()()x xy y y yz z z zx x x xy y x y -+-+-+≤-+. 运用算术-几 何平均不等式, 得222 2 2 2 2 2 2 ()()( )2 x xy y xy x xy y x y x xy y xy xy xy -++-+=-+??≤? 22222( )()22x xy y xy x y -+++≤?2222233 ()()22 x y x y z +++=≤. 右边不等式获证, 其中等号当且仅当,,x y z 中有一个为0,且另外两个相等时成立. 2009*3、在坐标平面上有两个区域M 和N ，M 为?? ? ??-≤≤≥x y x y y 20，N 是随 t 变化的区域，它由不等式1+≤≤t x t 所确定，t 的取值范围是10≤≤t ， 则M 和N 的公共面积是函数=)(t f ◆答案：2 12 ++-t t ★解析：由题意知阴影部分面积s t f =)( =BEF OCD AOB S S S ???--=2 12 ++-t t 2009*4、若不等式 3120071212111<++++++n n n 对一切正整数n 都成立，则最小正整数a 的值为 ◆答案：2009 ★解析：设1 21 ...2111)(++ ++++= n n n n f .显然)(n f 单调递减.则由)(n f 的最大值3 1 2007)1(- 2009*二、（本题满分50分）求证不等式21ln 1112≤-?? ? ??+<-∑=n k k n k ， ,2,1=n 。 ★证明：首先证明一个不等式： .0,)1ln(1><+<+x x x x x 事实上，令.1)1ln()(),1ln()(x x x x g x x x h +-+=+-= 则对0>x ，.0) 1()1(111)(',0111)('2 2>+=+-+=>+-=x x x x x g x x h 于是.0)0()(,0)0()(=>=>g x g h x h 在（1）中取n x 1=得 n n n 1 )11ln(11<+<+· 令∑=-+=n k n n k k x 12 ln 1 ，则21 1=x ， )1 11ln(121-+-+=--n n n x x n n n n n 1 12 -+< .0)1(12<+-=n n 因此2 1 ...11=<<<-x x x n n · 又 因 为 )1 1ln(1ln )1ln 2(ln ...))2ln()1(ln())1ln((ln ln 1 1 ∑-=+=+-++---+--=n k k n n n n n 从而)11ln(11112∑∑-==+-+=n k n k n k k k x 1))11ln(1 (21 12+++-+=∑-=n n k k k n k )1 1 (1 12 k k k n k -+>∑-= ∑-=+-=1 1 2)1(1 n k k k ∑-=+-≥1 1 )1(1 n k k k 11 1->+-=n · 2007*2、设实数a 使得不等式2232a a x a x ≥-+-对任意实数x 恒成立，则满足条件的a 所组成的集合是 A.?? ? ???- 31,31 B. ??????-21,21 C. ??????-31,41 D. []3,3- ◆答案：A ★解析：令a x 32 =，则有3 1||≤a ，排除B 、D 。由对称性排除C ，从而只有A 正确。 一般地，对R k ∈，令ka x 21=，则原不等式为2 |||34|||23|1|||a k a k a ≥-?+-?，由此易知 原不等式等价于|3 4 |23|1|||-+-≤k k a ，对任意的R k ∈成立。 由于?????????<-<≤-≥-=-+-12533 4121134325 |34|23|1|k k k k k k k k ，所以31 |}34|23|1{|min R =-+-∈k k k ， 从而上述不等式等价于3 1 ||≤a 。 2005*1、使关于x 的不等式k x x ≥-+ -63有解得实数k 的最大值为 A.36- B. 3 C. 36+ D. 6 ◆答案：D ★解析：令=y x x -+-63，63≤≤x ，可得62≤y ，即6max =y ，所以6≤k 2003*7、不等式03422 3 <+--x x x 的解集是 ◆答案：??? ? ??-???? ??---3,215215,3 ★解析：不等式等价于()02152153 ? ??++???? ??---x x x ，解得3215<<-x ， 即2153--<<-x 或 32 1 5<<-x 。 2003*13、（本题满分20分）已知 52 3 ≤≤x ,证明：1923153212<-+-++x x x ★证明：由题意得?? ? ??≥-≥-≥+0 3150320 1x x x ，解得523≤≤x 由平均不等式 4 315321143153212x x x x x x x -+-++++? =-+-++x x x x x x +=+?=-+-++++?≤1424144431532114． 注意到x +142在??? ???5,23上单调增．即1925142142=+≤+x ． 故证． 2002*二、（本题满分50分） 实数c b a ,,和正数λ，使得0)(2 3 =+++=c bx ax x x f 有三个实根321,,x x x ，且满足： ⑴λ=-12x x ⑵2 2 13x x x +> 求23 392723 3≤-+λ ab c a 。 ★解析：∵ [] b ax x x x a x x x x f x f x f +++++-=-=32 33233)()()()()( ∴ 21,x x 是方程b ax x x x a x +++++32 332)(的两个根 ∵ λ=-12x x ∴()() 232 32 34λ=++-+b ax x x a ，即042322323 =-+++a b ax x λ ∵22 13x x x +> ∴ ]3124[3 1223λ--+-=b a a x (Ⅰ)， 且031242 2≥--λb a (Ⅱ) ∵ c bx ax x x f +++=2 3)(ab c a a x b a a x 3 1272)3)(3()3(323-++ +--+= ∵ 0)(3=x f ，∴ )3 )(3()3(2723132333a x b a a x c a ab +--+=--- (Ⅲ) 由(Ⅰ)得 4 3332]3124313222 23λλ- -=--=+b a b a a x 记b a p -=32，由(Ⅱ) 和(Ⅲ)可知42 λ≥p 且)(4 9 322723122 3λλ-- =---p p c a ab 令 4 2 λ- = p y ，则0≥y 且 )4 3 (93227231223λ-=---y y c a ab ∵ 443223 λλ+-y y =243)2(432323 λλλλ?+--y y 0)()2 (2≥+-=λλy y ∴3318327231λ-≥--c a ab ?23 392723 3≤-+λ ab c a ∴取2,02,32====λc b a ，则0)(2 3=+++=c bx ax x x f 有根13--， 13+-，0 显然假设条件成立，且 233)336348(8192723 3=-=-+λab c a 综上所述3 39272λ ab c a -+的最大值是233 …………50分 2001*6、已知6枝玫瑰与3枝康乃馨的价格之和大于24元，而4枝玫瑰与5枝康乃馨的价格之和小于22元，则2枝玫瑰的价格和3枝康乃馨的价格比较结果是 ． A.2枝玫瑰价格高 B.3枝康乃馨价格高 C.价格相同 D.不确定 ◆答案：A ★解析：设玫瑰与康乃馨的单价分别为y x ,元每枝． 则???<+>+22542436y x y x ，令???<=+>=+22 542436b y x a y x ，解出)35(181b a x -=，)23(91a b y -=。 所以0)22122411(9 1 )1211(91132=?-?>-=-b a y x ，即y x 32>． （也可以根据二元一次不等式所表示的区域来研究．） 2001*10、不等式 2 3 2log 12 1>+x 的解集为 ◆答案：),4()72 2,1()1,0(+∞ ★解析： 23 2log 12 1>+x 等价于 232log 121>+x 或2 32log 12 1-<+x ． 即 21 log 12 1->x 或 27log 12 1- ．此时2log 21- 21< 即解集为),4()72 2,1()1,0(+∞ ． 2001*二、（本题满分50分）设0≥i x （i =1，2，…，n ），且12 11 2=+∑ ∑≤<≤=n j k j k n i i x x j k x ，求 ∑=n i i x 1 的最大值与最小值． ★解析：先求最小值，因为? ≥+=∑∑∑≤<≤==12 ) ( 11 22 1 n j k j k n i i n i i x x x x ∑=n i i x 1 1≥， 等号成立当且仅当存在i 使得1=i x ，0=j x ，j i ≠．∴∑=n i i x 1 的最小值为1． 再求最大值，令k k y k x = ，∴12 11 2=+∑∑≤<≤=n j k j k n k k y ky ky ．…………① 设M =∑=n k k x 1=∑=n k k y k 1．令?? ? ? ???==++=+++.,,22121n n n n a y a y y a y y y 则①?12 2221=+++n a a a ．………………………………………………………30分 令01=+n a ，则 = M ∑ =+-n k k k a a k 1 1)(= ∑∑∑∑∑ ====+=--=--=-n k k n k n k k k n k k n k k a k k a k a k a k a k 1 1 1 1 11 )1(1． 由柯西不等式得M 2 11221122 1 12)1()()1(?? ????--=???? ?? --≤∑∑∑===n k n k k n k k k a k k ． 等号成立2 2222 1) 1()1(1--==--==?n n a k k a a n k 2 2 2222221) 1()1()12(1--=--++-++++?k k a n n a a a k n 2 1 12)1(1?? ????----= ?∑=n k k k k k k a ．（n k ,,2,1 =） 由于n a a a ≥≥≥ 21，从而= -=+1k k k a a y 0)1()11(22 1 12≥? ? ????---++-∑=n k k k k k k ，即0≥k x ． 所求最大值为2 1 12)1(?? ?? ?? --∑=n k k k ． 1999*2、平面直角坐标系中，纵、横坐标都是整数的点叫做整点，那么满足不等式 ()() 2112 2 <-+-y x 的整点),(y x 的个数是( ) A. 16 B. 17 C. 18 D. 25 ◆答案：A ★解析：由()()21||1||2 2 <-+-y x ,可得()()()1||,1||--y x 为()0,0，()1,0，()1,0-，() 0,1或()0,1-.从而，不难得到),(y x 共有16个. 1999*13、（本题满分20分）已知当[]1,0∈x 时，不等式0 sin )1()1(cos 2 2 >-+--θθx x x x 恒成立，试求θ的取值范围． ★解析：当[]1,0∈x 时，不等式0sin )1()1(cos 2 2 >-+--θθx x x x 恒成立，则 当0=x ，1=x 时，不等式即0cos >θ，0sin >θ； 当10< 01sin 1cos 1>--+-θθx x x x ， 即01cos sin 2sin 1cos 12 >-+??? ? ? ?---θθθθx x x x 对10< 0sin 1cos 1=---θθx x x x 得θ θθcos sin sin +=x ，显然()1,0∈ 此时，只要保证0cos >θ，0sin >θ，01cos sin 2>-θθ，解得2 1 2sin > θ，解得12 5212 2ππθπ π+ <<+ k k 。 另解：当10< 2 x x x x x f -+--=，则 θθθθsin )1sin 2()sin cos 1()(2++-++=x x x f ，这是一个开口向上的二次函数，其对称 轴 ()()()1,01cos 21sin 21sin 2∈++++= θθθx ，此时0)(>x f ，即0 1 2sin >θ。 1998*二、（本题满分50分） 设n a a a ,,,21 ，n b b b ,,,21 []2,1∈，且 ∑∑===n i i n i i b a 1 21 2 ， 求证：∑∑==≤n i i n i i i a b a 12 131017，并问等号成立的充要条件。 ★证明：由于n a a a ,,,21 ，n b b b ,,,21 []2,1∈，故 22 1 3≤≤i i i i b a b a ． 于是022133≤???? ??-???? ??-i i i i i i i i b a b a b a b a ，即02532≤+-i i i i i b a a b a ． 求和得∑∑∑===-≤n i i i n i i n i i i b a a b a 1 121325， 又由()0221≤-?? ? ??-i i i i a b a b ，得02522≤+-i i i i a b a b ，故()2252i i i i b a b a +≥． 由∑∑===n i i n i i b a 12 12，得∑∑==≥n i i n i i i a b a 121 54， ∴ ∑∑∑∑∑∑=======-≤-≤n i n i i i n i i n i i i n i i n i i i a a a b a a b a 112 2121 12131017542525． 当且仅当n 为偶数且n a a a ,,,21 中一半取1，一半取2，且i i a b 2 =时等号成立． 1997*12、设[ ] 1)(lg lg 1 ++=-yz x z a ，)1lg(lg 1 ++=-xyz x b ，[ ] 1)(lg lg 1 ++=-xyz y c ，记c b a ,,中最大数为M ，则M 的最小值为 ． ◆答案：2lg ★解析：??? ? ??+=z y x a lg ，??? ??+=x yz b 1lg ，??? ??+=y xz c 1lg ． 由于2lg 211lg ≥??? ? ??+++=+x x yz yz c a ．于是c a ,中必有一个2lg ≥．即2lg ≥M ，于是M 的最小值2lg ≥．但取1===z y x ，得2lg ===c b a ．即此时2lg =M ．于是M 的最小值2lg ≤． 即所求值2lg ． 1997*二、（本题满分50分） 试问：当且仅当实数n x x x ,,,10 ，（2≥n ），满足什么条件时， 存在实数n y y y ,,,10 ，使得2 222120n z z z z +++= ，其中k k k iy x z +=，i 为虚数单位， n k ,,2,1,0 =，证明你的结论。 ★解析：由于 ( )( ) ()i y x y x y x y y y x x x i y x y x z n n n n +++++++-+++=+-= 221122221222210020202022 ∴ ( )( ) 2 2221222212020n n y y y x x x y x +++-+++=- ，()n n y x y x y x y x +++= 221100； 若2222120n x x x x +++> ，则2 222120n y y y y +++> ． 此时()() ()()2 002 22112 2 22 12 2 22 12 02 0y x y x y x y x y y y x x x y x n n n n =+++≥++++++> ．矛 盾． 故必2 222120n x x x x +++≤ ． 反之，若2 222120n x x x x +++≤ 成立．此时，可分两种情况： ⑴ 当2 222120n x x x x +++= 成立时，取i i x y = (n i ,2,1,0=)， 于是i y x i y x y x z 00002 0202022=+-=， 而 ( )( ) ()i y x y x y x y y y x x x z z z n n n n n +++++++-+++=+++ 22112 222122********* ()() i y x i x i x x x i y x y x y x n n n 002 022221 2 2112222==+++=+++= ，即 2 222120n z z z z +++= 成立． ⑵ 当2222120n x x x x +++< 成立时，记02 0222212>-+++=x x x x a n ，于是i x (n i ,2,1=)不能全为0．不妨设0≠n x ，取02210=====-n y y y y ， 2211n n n n x x ax y += --，2 211 n n n n x x ax y +- =--，则此时，2 0002020202x i y x y x z =+-=； 而 ()() ()i y x y x y x y y y x x x z z z n n n n n +++++++-+++=+++ 22112 22212222122221 2 ( ) i x x ax x x x ax x x x x a x x x a x x x n n n n n n n n n n n n n n n ??? ? ? ?+-++???? ??+++-+++=-------2211 2 2112212 12221222222 12 ()()2020222212 2221x x x x x x x x n n =-+++-+++= ．仍有2222120n z z z z +++= 成立． 故所求条件为2 222120n x x x x +++≤ ． 1996*二、（本题满分25分）求实数a 的取值范围，使得对任意实数x 和任意?? ? ???∈2,0πθ，恒有()()8 1 cos sin cos sin 232 2 ≥ +++++θθθθa a x x ★解析：令u =+θθcos sin ，则1cos sin 22-=u θθ，当?? ? ???∈2, 0πθ时，[] 2,1∈u ． 并记()()2 2 cos sin cos sin 23)(θθθθa a x x x f +++++=．则 () () 222 222 1 2212)(+-+??? ??+++=au u au u x x f ． ∴ 当()2212++-=au u x 时，)(x f 取得最小值()2222 1 +-au u ． ∴2122≥+-au u ，或21 22-≤+-au u ． ∴ u u a 23+≤，或u u a 25 +≥．因为[] 2,1∈u ， 所以?? ? ???∈+247,623u u ，??????∈+ 27,24925u u ． ∴6≤a 或2 7 ≥a ． 1995*10、 直角坐标平面上，满足不等式组? ????≤+≥≤100 33y x x y x y 的整点个数是______． ◆答案：2551 ★解析：如图，即OAB ?内部及边界上的整点．由两轴及100=+y x 围 成区域(包括边界)内的整点数有5151101321=++++ 个． 由x 轴、x y 31=，100=+y x 围成区域(不包括x y 3 1 =上)内的整点数 (3,2,1=x 时各有1个整点，6,5,4=x 时各有2个整点，…， 75,74,73=x 时有25个整点，100,,77,76 =x 时依次有1,,24,25 个整点． 共有1300)2521(412324252532313=+++=+++++?++?+? ．由对称性，由y 轴、x y 3=、100=+y x 围成的区域内也有1300个整点． ∴所求区域内共有2551130013005151=--个整点． 1994*1、设c b a ,,是实数，那么对任何实数x ， 不等式0cos sin >++c x b x a 都成立的充要条件是（ ） A.b a ,同时为0，且0>c B.c b a =+22 C. c b a <+22 D. c b a >+22 ◆答案：C ★解析：[] 222222,)sin(cos sin b a c b a c x b a c x b x a +++-∈++=++?. 只需022>+-b a c 即可，得c b a <+22，故选C ． 1993*11、设任意实数 03210>>>>x x x x ，要使 1993log 1993log 1993log 1993log 3 03 22 11 0x x x x x x x x k ?≥++恒成立，则k 的最大值是_____ __． ◆答案：9 ★解析：显然13 >x x ，从而01993log 3 0>x x ． 即 3 0322110lg lg lg lg 1lg lg 1lg lg 1x x k x x x x x x -≥-+-+-，即 ()()()[]k x x x x x x x x x x x x ≥? ?? ? ?? -+-+--+-+-322110322110lg lg 1 lg lg 1lg lg 1lg lg lg lg lg lg ． 又0lg lg ,0lg lg ,0lg lg 322110>->->-x x x x x x ，由柯西不等式，知9≤k ．即k 的最大 值为9． 1992*13、 (本题满分20 分)求证：171 1680 1 <<∑ =k k ． ★证明：因为 () 121221--=+-<+=k k k k k k k ， 同时() k k k k k k k -+=++>+=121221． 于是得()() ∑∑∑===--+<<-+80 1 8018011211 12k k k k k k k k 即() ()171921180211 1680 1 =-?+<-+<<∑=k k ． 1991*15．已知10< =+y x ，求证：8 12log )(log + ≤+a y x a a a ． ★证明：由于10< 12a a a y x ≥+．由于2 2y x y x a a a +≥+． 而()4 1 12 ≤-=-=+x x x x y x ．于是8 12 a a y x ≥+． ∴8 12 22a a a a y x y x ≥≥++．故证． 1990*7．设n 为自然数，b a ,为正实数，且满足2=+b a ，则n n b a +++11 11的最小值是 ． ◆答案：1 ★解析：由题意得 1 22 =?? ? ??+≤b a ab ，从而 1 ≤n n b a ，故 11111111≥++++++=+++n n n n n n n n b a b a b a b a ．注意以上式子的等号当且仅当1==b a 时成立．即所求最小值为1． 1990*9．设n 为自然数，对于任意实数z y x ,,，恒有() )(4442 222z y x n z y x ++≤++成立， 则n 的最小值是 ． ◆答案：3 ★解析：由于() 2222224442 2 22222z x z y y x z y x z y x +++++=++ ()()()()4444444444443z y x z x z y y x z y x ++=++++++++≤．等号当且仅当z y x ==时成立．故3=n ． 1989*7．若12log ◆答案：()( ) +∞,21,0 ★解析：不等式等价于???<<<210a a 或? ??>>21 a a ．解得()( ) +∞∈,21,0 a 1989*13. (本题满分20分) 已知n a a a ,,,21 是n 个正数，满足121=n a a a ． 求证：()()()n n a a a 322221≥+++ ． ★证明：∵33112i i i a a a ≥++=+，(n i ,,2,1 =) ∴()()()()()()n n n n n a a a a a a a a a 331111112223 212121=≥++++++=+++ ． 1989*二、（本题满分35分）已知R x i ∈,（n i ,,2,1 =，2≥n ）满足11 =∑=n i i x ，01 =∑=n i i x ， 求证： n i x n i i 21 211-≤∑=。 ★证明：由已知可知，必有0>i x ，也必有0 }n j i ,,2,1, ∈，且j i ≠)． 设l i i i x x x ,,,21 为诸i x 中所有0>的数，m j j j x x x ,,,21 为诸i x 中所有0<的数．由已知得 2121=+++=l i i i x x x A ，2 121-=+++=m j j j x x x B ． 于是当∑∑==->m h j k l i h x l x h l 11时，n B A x n x h x l x i x m h j k l i k h j k l i n i i h l h l 212122111111-=--=-≤+=∑∑∑∑∑=====; 当∑∑==- l i k h j k l i n i i h l h l 212122111 111-=--=--≤--=∑∑∑∑∑=====． 总之，n i x n i i 21 211-≤∑=成立． 1988*12、（本题满分15分）已知a 、b 为正实数，且 11 1=+b a ，试证：对每一个*∈N n ， ()1222+-≥--+n n n n n b a b a ★证明：由已知得ab ab b a 2≥=+，故4≥=+ab b a ．于是()()k k k ab b a 22≥=+． 又 ()()1222 +≥+=≥+k k k k k b a ab b a ．下面用数学归纳法证明： 1° 当1=n 时，左=右0=．左≥右成立． 2° 设当k n =(1≥k ，N k ∈)时结论成立，即()1 222+-≥--+k k k k k b a b a 成立． 则() ()()()()() 11111--+++++++-++=--+k k k k k k k k b a ab b a b a b a b a b a b a ()()( )[ ] ()( ) ()()1 11211211222424224+++++---=?+?+-≥+++-++=k k k k k k k k k k k b a ab b a b a b a ．即命题对于1+=k n 也成立． 故对于一切* ∈N n ，命题成立． 1984*五、(本题满分15分) 设n x x x ,,,21 都是正数， 求证：n n n n x x x x x x x x x x x +++≥++++- 211 221 32 2221． ★证明：由于n n n n n n x x x x x x x x x x x x x x x x 2,2,2,211 2121 2332 212221≥+≥++≥+≥+-- ． 上述各式相加即得． 1983*5、已知函数数c ax x f -=2 )(，满足1)1(4-≤≤-f ，5)2(1≤≤-f ，那么)3(f 应满 足（ ） A.26)3(7≤≤f B. 15)3(4≤≤-f C. 20)3(1≤≤-f D. 3 35)3(328≤≤- f ◆答案： ★解析：由于c a f -=)1(，c a f -=4)2(，c a f -=9)3(．令9a －c=λ(a －c )+μ(4a －c )， ∴)2(38)1(35)3(f f f +-=．但340)1(3535≤ -≤f ，3 40 )2(3838≤≤-f ， ∴20)3(1≤≤-f ．选C ． 1983*6、设n m d c b a ,,,,,都是正实数，cd ab P += ，n d m b nc ma Q +? +=，那么（ ） A ．Q P ≥ B ．Q P ≤ C ．Q P < D ．P 、Q 的大小关系不确定，而与n m ,的大小 有关． ◆答案：B ★解析：由柯西不等式，Q P ≤．选B ． 1983*二、(本题满分16分)函数)(x f 在[]1,0上有定义，)1()0(f f =．如果对于任意不同的 []1,0,21∈x x ，都有2121)()(x x x f x f -<-．求证：2 1 )()(21<-x f x f ． ★证明：不妨取1021≤<≤x x ,若2121≤-x x ，则必有2 1 )()(2121≤-<-x x x f x f ． 若2121>-x x ，则2112>-x x ,于是()21112<--x x ,即2 1 0112<-+-x x ． 而())1()()0()()1()()0()()()(212121f x f f x f f x f f x f x f x f -+-<---=- 2 1 01101221< -+-=-+-≤x x x x ．故证. 1982*4、由方程111=-+-y x 确定的曲线所围成的图形的面积是（ ） A.1 B.2 C.π D.4 ◆答案：B ★解析：此曲线的图形是一个正方形，顶点为()()()()2,1,1,2,0,1,1,0；其面积为2．选B ． 不等式 要求层次 重难点 一元二次不等式 C 解一元二次不等式 （一） 知识容 1．含有一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式不等式，叫做一元二次不等式． 一元二次不等式的解集，一元二次方程的根及二次函数图象之间的关系如下表（以0a >为例）： 有关含有参数的一元二次不等式问题，若能把不等式转化成二次函数或二次方程，通过根的判别式或数形结合思想，可使问题得到顺利解决．其方法大致有：①用一元二次方程根的判别式，②参数大于最大值或小于最小值，③变更主元利用函数与方程的思想求解． 判别式 24b ac ?=- 0?> 0?= 0?< 二次函数 2y ax bx c =++ (0)a >的图象 一元二次方程 2 0ax bx c ++= (0)a ≠的根 有两相异实根 12,x x = 242b b ac a -±- 12()x x < 有两相等实根 122b x x a ==- 没有实根 一元二次不等式的解集 2 0ax bx c ++> (0)a > {1 x x x < 或}2x x > {R x x ∈，且 2b x a ?≠- ?? 实数集R 20ax bx c ++< (0)a > {}1 2x x x x << ? ? 例题精讲 高考要求 板块一：解一元二次不等式 解不等式 （二）主要方法 1．解一元二次不等式通常先将不等式化为20ax bx c ++>或20 (0)ax bx c a ++<>的形式，然后求出对应方程的根（若有根的话），再写出不等式的解：大于0时两根之外，小于0时两根之间； 2．分式不等式主要是转化为等价的一元一次、一元二次或者高次不等式来处理； 3．高次不等式主要利用“序轴标根法”解． （三）典例分析： 1.二次不等式与分式不等式求解 【例1】 不等式 1 12 x x ->+的解集是 ． 【变式】 不等式2230x x --+≤的解集为（ ） A ．{|31}x x x -或≥≤ B ．{|13}x x -≤≤ C ．{|31}x x -≤≤ D ．{|31}x x x -或≤≥ 【变式】 不等式 25 2(1)x x +-≥的解集是（ ） A ．132? ?-??? ? ， B ．132??-????， C ．(]11132??????U ，， D ．(]11132?? -???? U ，， 2.含绝对值的不等式问题 【例2】 已知n *∈N ，则不等式 220.011 n n -<+的解集为（ ） A ．{}|199n n n *∈N ≥， B ．{}|200n n n *∈N ≥， C ．{}|201n n n *∈N ≥， D ．{}|202n n n *∈N ≥， 【例3】 不等式 1 11 x x +<-的解集为（ ） A ．{}{}|01|1x x x x <<>U B ．{}|01x x << C ．{}|10x x -<< D ．{}|0x x < 【变式】 关于x 的不等式2121x x a a -+-++≤的解集为空集，则实数a 的取值围是 _． 【例4】 若不等式1 21x a x + -+≥对一切非零实数x 均成立，则实数a 的最大值是_________． 【例5】 若不等式34x b -<的解集中的整数有且仅有123，，，则b 的取值围为 ． 3.含参数不等式问题 【例6】 若关于x 的不等式22840x x a --->在14x <<有解，则实数a 的取值围是（ ） A ．4a <- B ．4a >- C ．12a >- D ．12a <- 【变式】 ⑴已知0a <，则不等式22230x ax a -->的解集为 . ⑵若不等式897x +<和不等式220ax bx +->的解集相同，则a b -=______． 1、设恒成立的c的取值范围是 A．B．C．D． 2、设，且（其中），则M的取值范围是A．B．C．D． 3、若实数、满足，则的取值范围是 A．B．C．D． 4、已知，，，则的最小值是（） （Ａ）（Ｂ）4（Ｃ）（Ｄ） 5、若不等式组所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则的值是 (A)(B)(C)(D) 6、已知，若在上恒成立，则实数的取值范围是（） A．B．C．D． 7、已知正实数满足，则的最小值为。 8、如图，目标函数可行域为四边形（含边界），若是该目标函数的最优解，则的取值范围是() （A）（B）（C）（D） 的最大值与最小值之和为 9、函数，当时，恒成立,则 D. 10、已知正数满足，则的最小值为 A．3B．C．4D． 11、二次函数轴两个交点的横坐标分别为。（1）证明：；（2）证明：； （3）若满足不等式的取值范围。 12、设满足约束条件，若目标函数的最大值为10，则的最小值为. 13、已知对任意实数x，二次函数f(x)=ax2+bx+c恒非负，且a 高中数学基本不等式的巧用 一．基本不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2?? ? ??+≤b a ab (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2 ＋12x 2 （2）y ＝x ＋1x 解：（1）y ＝3x 2 ＋12x 2 ≥2 3x 2 ·12x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 不等式训练1 A 一、选择题（六个小题，每题5分，共30分） 1．若02522 >-+-x x ，则221442-++-x x x 等于（ ） A ．54-x B ．3- C ．3 D ．x 45- 2．函数y ＝log 2 1（x ＋11+x ＋1） （x > 1）的最大值是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－3 D ．3 3．不等式x x --213≥1的解集是 ( ) A ．{x| 43≤x ≤2} B ．{x|4 3≤x ＜2} C ．{x|x ＞2或x ≤43} D ．{x|x ＜2} 4．设a ＞1＞b ＞－1,则下列不等式中恒成立的是 ( ) A ．b a 11< B ． b a 11> C ．a ＞b 2 D ．a 2＞2b 5．如果实数x,y 满足x 2＋y 2=1,则(1－xy) (1＋xy)有 ( ) A ．最小值 21和最大值1 B ．最大值1和最小值4 3 C ．最小值43而无最大值 D ．最大值1而无最小值 6．二次方程x 2＋(a 2＋1)x ＋a －2=0,有一个根比1大,另一个根比－1小, 则a 的取值范围是 ( ) A ．－3＜a ＜1 B ．－2＜a ＜0 C ．－1＜a ＜0 D ．0＜a ＜2 二、填空题（五个小题，每题6分，共30分） 1．不等式组? ??->-≥32x x 的负整数解是____________________。 2．一个两位数的个位数字比十位数字大2，若这个两位数小于30， 则这个两位数为____________________。 3．不等式0212<-+x x 的解集是__________________。 4．当=x ___________时，函数)2(22x x y -=有最_______值，其值是_________。 5．若f(n)=)(21)(,1)(,122N n n n n n n g n n ∈= --=-+?,用不等号 连结起来为____________. 专题 基本不等式 【一】基础知识 基本不等式：)0,0a b a b +≥>> （1）基本不等式成立的条件： ； （2）等号成立的条件：当且仅当 时取等号. 2.几个重要的不等式 （1）()24a b ab +≤(),a b R ∈；（2）)+0,0a b a b ≥>>； 【二】例题分析 【模块1】“1”的巧妙替换 【例1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则41x y +的最小值为 . 【变式1】已知0,0x y >>，且34x y +=，则4x x y +的最小值为 . 【变式2】（2013年天津）设2,0a b b +=>， 则 1||2||a a b +的最小值为 . 【例2】（2012河西）已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b +的最小值为 . 【变式】已知正实数,a b 满足 211a b +=，则2a b ab ++的最小值为 . 【例3】已知0,0x y >>，且280x y xy +-=，则x y +的最小值为 . 【例4】已知正数,x y 满足21x y +=，则 8x y xy +的最小值为 . 【例5】已知0,0a b >>，若不等式 212m a b a b +≥+总能成立，则实数m 的最大值为 . 【例6】（2013年天津市第二次六校联考）()1,0by a b +=≠与圆221x y +=相交于,A B 两点，O 为坐标原点，且△AOB 为直角三角形，则 2212a b +的最小值为 . 【例7】（2012年南开二模）若直线()2200,0ax by a b -+=>>始终平分圆222410x y x y ++-+=的周长，则 11a b +的最小值为 . 【例8】设12,e e 分别为具有公共焦点12,F F 的椭圆和双曲线的离心率，P 为两曲线的一个公共点，且满足 120PF PF ?=，则2 2214e e +的最小值为 【例9】已知0,0,lg 2lg 4lg 2x y x y >>+=，则11x y +的最小值是（ ） A ．6 B ．5 C ．3+ D ． 【例10】已知函数()4141 x x f x -=+，若120,0x x >>，且()()121f x f x +=，则()12f x x +的最小值为 . 不等式练习题 一、选择题 1、若a,b 是任意实数,且a ＞b,则 ( ) （A ）a 2＞b 2 （B ）a b ＜1 （C ）lg(a -b)＞0 （D ）(21)a ＜(2 1)b 2、下列不等式中成立的是 ( ) （A ）lgx+log x 10≥2(x ＞1) （B ） a 1+a ≥2 (a ≠0) （C ）a 1＜b 1(a ＞b) （D ）a 21+t ≥a t (t ＞0,a ＞0,a ≠1) 3、已知a >0,b >0且a +b =1, 则()11)(1122--b a 的最小值为 ( ) (A )6 (B ) 7 (C ) 8 (D ) 9 4、已给下列不等式(1)x 3+ 3 >2x (x ∈R ); (2) a 5+b 5> a 3b 2+a 2b 3(a ,b ∈R ); (3) a 2+b 2≥2(a －b －1), 其中正确的个数为 ( ) (A ) 0个 (B ) 1个 (C ) 2个 (D ) 3个 5、f (n ) = 12+n －n , ?(n )= n 21, g (n ) = n 12--n , n ∈N ,则 ( ) (A ) f (n ) 第11课：基本不等式与双√函数 一、双√函数 形如.0,0,>>+=q p x q px y 图像如右图所示： （1）0>x 时，当p q x =时取到pq y 2min =； （2）值域： （3）当0,0< （2）凡是利用“积定和最小”求最值的函数均可换元为双勾函数！ 三、利用基本不等式求最值 类型一：形如()()0,1≠++ +=c a d cx b ax y 采取配积为定！ 1、求??? ??>-+ =455434x x x y 的最小值 2、求??? ??<-+=455433x x x y 的最大值 3、求()π,0,sin 2sin ∈+ =x x x y 的最小值的值域 4、求()的最小值01 1>-+=x e e y x x 的最小值 类型二：形如()0,2≠+++=c a d cx c bx ax y 采取配凑——分离术！ 1、求0,92>++=x x x x y 的最小值 2、求0,192>+++=x x x x y 的最小值 3、求?? ????-∈+++=1,31,12122x x x x y 的值域 4、求4,1822-<+++=x x x x y 的最值 一元二次不等式及其解法 1．形如)0)(0(02≠<>++a c bx ax 其中或的不等式称为关于x 的一元二次不等式． 2．一元二次不等式20(0)ax bx c a ++>>与相应的函数2(0)y ax bx c a =++>、相应的方程20(0)ax bx c a ++=>判别式ac b 42-=? 0>? 0=? 0a ）的图象 ()002>=++a c bx ax 的解集)0(02>>++a c bx ax 的解集)0(02><++a c bx ax 1、把二次项的系数变为正的。（如果是负，那么在不等式两边都乘以-1，把系数变为正） 2、解对应的一元二次方程。（先看能否因式分解，若不能，再看△，然后求根） 3、求解一元二次不等式。（根据一元二次方程的根及不等式的方向） 不等式的解法---穿根法 一．方法:先因式分解,再使用穿根法. 注意:因式分解后,整理成每个因式中未知数的系数为正. 使用方法:①在数轴上标出化简后各因式的根,使等号成立的根,标为实点,等号不成立的根要标虚点. ②自右向左自上而下穿线,遇偶次重根不穿透,遇奇次重根要穿透(叫奇穿偶不穿). ③数轴上方曲线对应区域使“>”成立, 下方曲线对应区域使“<”成立. 例1:解不等式 (1) (x+4)(x+5)2(2-x)3 <0 x 2-4x+1 3x 2-7x+2 ≤1 解: (1) 原不等式等价于(x+4)(x+5)2(x-2)3>0 根据穿根法如图 不等式解集为{x ∣x>2或x<-4且x ≠5}. (2) 变形为 (2x-1)(x-1) (3x-1)(x-2) ≥0 根据穿根法如图 不等式解集为 {x |x< 1 3 或 1 2 ≤x ≤1或x>2}. 2 -4 -5 2 2 1 1 3 1 高中数学不等式综合测试题 一、选择题(在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．共60分) 1．(文)设a b <，c d <，则下列不等式中一定成立的是( ) A ．d b c a ->- B ．bd ac > C ．d b c a +>+ D ．c b d a +>+ (理)已知a <0，-1> B ．2ab ab a >> C ．2ab ab a >> D ．2 ab a ab >> 2．“0>>b a ”是“2 2 2b a ab +<”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 3．(文)关于x 的不等式(1)ax b a ><-的解集为( ) A ．R B ．φ C ．),(+∞a b D ．(,)b a -∞ (理)不等式b ax >的解集不可能．．．是( ) A ．φ B ．R C ．),(+∞a b D ．),(a b --∞ 4．不等式022>++bx ax 的解集是)3 1,21(-，则b a -的值等于( ) A ．－14 B ．14 C ．－10 D ．10 5．(文)不等式|1|2x -<的解集是( ) A ．{|03}x x ≤< B ．{|22}x x -<< C ．{|13}x x -<< D ．{|1,3}x x x <-> (理)不等式||x x x <的解集是( ) A ．{|01}x x << B ．{|11}x x -<< C ．{|01x x <<或1}x <- D ．{|10,1}x x x -<<> 6．(文)若0b a <<，则下列结论不正确．．． 的是( ) A ． 11a b < B ．2b ab < C ．2>+b a a b D ．||||||b a b a +>+ (理)若011<+b a a b D ．||||||b a b a +>+ 7．若13)(2+-=x x x f ，12)(2-+=x x x g ，则)(x f 与)(x g 的大小关系为( ) A ．)()(x g x f > B ．)()(x g x f = C ．)()(x g x f < D ．随x 值变化而变化 8．下列各式中最小值是2的是( ) A ．y x ＋x y B ．4 5 22++x x C ．tan x ＋cot x D ．x x -+22 9．下列各组不等式中，同解的一组是( ) A ．02>x 与0>x B ．01 )2)(1(<-+-x x x 与02<+x C ．0)23(log 2 1>+x 与123<+x D ．112≤--x x 与112≤--x x 10．(文)如果a x x >+++|9||1|对任意实数x 总成立，那么a 的取值范围是( ) A ．}8|{a a C ．}8|{≥a a D ．}8|{≤a a 一．选择题 1．已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（） A．B．2C．4 D．4 2．已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2D．若a＜b＜0，则＞ 5．若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于（） A．2 B．3 C．4 D．5 7．若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（）A．6 B．8 C．10 D．12 8．已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（）A．B．8 C．9 D．12 9．若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A． B．4 C． D．6 11．若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．已知x＞1，则函数的最小值为． 4．设2＜x＜5，则函数的最大值是． 5．函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 6．已知x＞1，则函数y=2x+的最小值为． 高中数学必修（5）不等式专题检测 说明：本试卷分第一卷和第二卷两部分，第一卷50分，第二卷100分，共150分；答题时间120分钟。 第Ⅰ卷（选择题共50分） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确答案的代 号填在题后的括号内（每小题5分，共50分）． 1．若R c b a ∈,,，且b a >，则下列不等式一定成立的是 （ ） A ．c b c a -≥+ B ．bc ac > C ． 02 >-b a c D ．0)(2 ≥-c b a 2．若0< B ．a b a 1 1>- C ．3 131b a < D ．3 2 3 2b a > 3．若关于x 的不等式m x x ≥-42 对任意]1,0[∈x 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．3-≤m B ．3-≥m C ．03≤≤-m D ．03≥-≤m m 或 4．已知实数x ,y 满足x 2＋y 2＝1，则(1－xy )(1＋xy )有 （ ） A ．最小值 21 和最大值1 B ．最小值 4 3 和最大值1 C ．最小值21和最大值4 3 D ．最小值1 5．设x > 0, y > 0,y x y x a +++=1, y y x x b +++=11， a 与b 的大小关系 （ ） A ．a >b B ．a ---x a x x 在内有解，则实数a 的取值范围是（ ） A ．4-a C ．12->a D ．12---x a 则实数a 的取值范围是 （ ） A ．1||a D ．2||1< 高一数学不等式练习题 1、不等式1 1 2x <的解集是（ ） A ．(,2)-∞ B ．(2,)+∞ C ．(0,2) D ．()0,∞-?(2,)+∞ 2、不等式2 01x x -+≤的解集是（ ） A ．(1)(12]-∞--，， B ．[12]-， C ．(1)[2)-∞-+∞，， D ．(12]-， 3、已知集合M ＝{x |x 2＜4}，N ＝{x |x 2－2x －3＜0}，则集合M ∩N ＝（ ） （A ）{x |x ＜－2} （B ）{x |x ＞3} （C ）{x |－1＜x ＜2} （D ）{x |2＜x ＜3} 4 ) A. D. 5、不等式203x x ->+的解集是（ ） (A)(-3,2) (B)(2,+∞) (C) (-∞,-3)∪(2,+∞) (D) (-∞,-2)∪(3,+∞) 6、若不等式210x ax ++≥对一切102x ?? ∈ ???，成立，则a 的最小值为（ ） Ａ．0 Ｂ．2- Ｃ．5 2- Ｄ．3- 7、设x 、y 为正数，则有(x+y)(1 x ＋4 y )的最小值为（ ） A ．15 B ．12 C ．9 D ．6 8、.若对任意∈x R ,不等式x ≥ax 恒成立，则实数a 的取值范围是（ ） (A)a ＜-1 (B)a ≤1 (C) a ＜1 （D ）a ≥1 9、下面给出的四个点中，位于???>+-<-+01, 01y x y x 表示的平面区域内的点是（ ） （A ）(0,2) (B)(-2,0) (C)(0,-2) (D)(2,0) 10、已知函数()???≥ -<+-=01 1x x x x x f ，则不等式()()111≤+++x f x x 的解集是（ ） (A) {}121|-≤≤-x x (B) { }1|≤x x (C) {}12|-≤x x (D) {}1212|-≤≤--x x 第三章 不等式 一、选择题 1．已知x ≥2 5 ，则f (x )＝4－25＋4－2x x x 有( )． A ．最大值45 B ．最小值4 5 C ．最大值1 D ．最小值1 2．若x ＞0，y ＞0，则221＋)(y x ＋221 ＋)(x y 的最小值是( )． A ．3 B ． 2 7 C ．4 D ． 2 9 3．设a ＞0，b ＞0 则下列不等式中不成立的是( )． A ．a ＋b ＋ ab 1≥22 B ．(a ＋b )( a 1＋b 1 )≥4 C 22 ≥a ＋b D ． b a ab +2≥ab 4．已知奇函数f (x )在(0，＋∞)上是增函数，且f (1)＝0，则不等式x x f x f ) ()(－－＜0 的解集为( )． A ．(－1，0)∪(1，＋∞) B ．(－∞，－1)∪(0，1) C ．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D ．(－1，0)∪(0，1) 5．当0＜x ＜2 π时，函数f (x )＝x x x 2sin sin 8＋2cos ＋12的最小值为( )． A ．2 B ．32 C ．4 D ．34 6．若实数a ，b 满足a ＋b ＝2，则3a ＋3b 的最小值是( )． A ．18 B ．6 C ．23 D ．243 7．若不等式组?? ? ??4≤ 34 ≥ 30 ≥ y x y x x ＋＋，所表示的平面区域被直线y ＝k x ＋34分为面积相等的两部分，则k 的值是( )． A ． 7 3 B ． 37 C ． 43 D ． 34 8．直线x ＋2y ＋3＝0上的点P 在x －y ＝1的上方，且P 到直线2x ＋y －6＝0的距离为 不等式综合练习题 常用不等式有：（1 2211 a b a b +≥≥≥+ ； （2）a 、b 、c ∈R ，222 a b c ab bc ca ++≥++（当且仅当a b c ==时取=；) （3）若0,0a b m >>>，则b b m a a m +<+（糖水的浓度问题）。 常用的放缩技巧有：(1)21111111 1(1)(1)1n n n n n n n n n -=<<=-++-- <<= 1、对于实数c b a ,,中，给出下列命题： ①22,bc ac b a >>则若； ②b a bc ac >>则若,22； ③22,0b ab a b a >><<则若； ④b a b a 1 1,0<<<则若； ⑤b a a b b a ><<则 若,0； ⑥b a b a ><<则若,0； ⑦b c b a c a b a c ->->>>则若,0； ⑧11 ,a b a b >>若，则0,0a b ><。 其中正确的命题是______ 2、已知c b a >>，且,0=++c b a 则a c 的取值范围是______ 3、设0,10>≠>t a a 且，比较2 1log log 21+t t a a 和的大小 4、设2a >，1 2 p a a =+ -，2422-+-=a a q ，试比较q p ,的大小 5、比较1+3log x 与)10(2log 2≠>x x x 且的大小 6、下列命题中正确的是 A 、1y x x =+的最小值是2 B 、2y =的最小值是2 C 、4 23(0)y x x x =-->的最大值是2- D 、4 23(0)y x x x =-->的最小值是2- 7、若21x y +=，则24x y +的最小值是______ 8、正数,x y 满足21x y +=，则 y x 1 1+的最小值为______ 9、如果正数a 、b 满足3++=b a ab ，则ab 的取值范围是_________ 10、（1）已知c b a >>，求证：2 22222ca bc ab a c c b b a ++>++ ； (2) 已知R c b a ∈,,，求证：)(222222c b a abc a c c b b a ++≥++； （3）已知,,,a b x y R +∈，且 11,x y a b >>，求证：x y x a y b >++； (4)若a 、b 、c 是不全相等的正数，求证： lg lg lg lg lg lg 222 a b b c c a a b c +++++>++； （5）已知R c b a ∈,,，求证：2222a b b c +22 ()c a abc a b c +≥++； (6)若* n N ∈(1)n +< n ； (7)已知||||a b ≠，求证：|||||||| |||| a b a b a b a b -+≤-+； （8）求证：222111 1223n ++++<。 11、解不等式2 (1)(2)0x x -+≥。 12、不等式(0x -的解集是____ 一．选择题 1．（2016?济南模拟）已知直线ax+by=1经过点（1，2），则2a+4b的最小值为（）A． B．2C．4 D．4 2．（2016?乌鲁木齐模拟）已知x，y都是正数，且xy=1，则的最小值为（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．（2016?合肥二模）若a，b都是正数，则的最小值为（） A．7 B．8 C．9 D．10 4．（2016?宜宾模拟）下列关于不等式的结论中正确的是（） A．若a＞b，则ac2＞bc2 B．若a＞b，则a2＞b2 C．若a＜b＜0，则a2＜ab＜b2 D．若a＜b＜0，则＞ 5．（2016?金山区一模）若m、n是任意实数，且m＞n，则（） A．m2＞n2B．C．lg（m﹣n）＞0 D． 6．（2015?福建）若直线=1（a＞0，b＞0）过点（1，1），则a+b的最小值等于 （） A．2 B．3 C．4 D．5 7．（2015?红河州一模）若直线mx+ny+2=0（m＞0，n＞0）截得圆（x+3）2+（y+1）2=1的弦长为2，则+的最小值为（） A．6 B．8 C．10 D．12 8．（2015?江西一模）已知不等式的解集为{x|a＜x＜b}，点A（a，b）在直线 mx+ny+1=0上，其中mn＞0，则的最小值为（） A．B．8 C．9 D．12 9．（2015?南市区校级模拟）若m+n=1（mn＞0），则+的最小值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 10．（2015?湖南模拟）已知x+3y=2，则3x+27y的最小值为（） A．B．4 C．D．6 11．（2015?衡阳县校级模拟）若x＜0，则x+的最大值是（） A．﹣1 B．﹣2 C．1 D．2 12．（2015春?哈尔滨校级期中）已知a，b，c，是正实数，且a+b+c=1，则的最小值 为（） A．3 B．6 C．9 D．12 二．填空题 1．（2016?吉林三模）已知正数x，y满足x+y=1，则的最小值为． 2．（2016?抚顺一模）已知a＞0，b＞0，且a+b=2，则的最小值为． 3．（2016?丰台区一模）已知x＞1，则函数的最小值为．4．（2016春?临沂校级月考）设2＜x＜5，则函数的最大值 是． 5．（2015?陕西校级二模）函数f（x）=1+log a x（a＞0，a≠1）的图象恒过定点A，若点A在直线mx+ny﹣2=0上，其中mn＞0，则的最小值为． 基本不等式 知识点： 1. (1)若R b a ∈,，则ab b a 22 2≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤ （当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若* ,R b a ∈，则 ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+ （当且仅当b a =时取“=”） (3)若*,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则1 2x x + ≥ (当且仅当1x =时取“=” ） 若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 4.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”）若0ab ≠，则22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且 仅当b a =时取“=”） 5.若R b a ∈,，则2 )2(2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注意： (1)当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值， 当两个正数的和为定植时，可以求它们的积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． (2)求最值的条件“一正，二定，三取等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用 应用一：求最值 例：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋ 1 2x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：(1)y ＝3x 2＋ 1 2x 2 ≥23x 2· 1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） (2)当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧 技巧一：凑项 例 已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42) 45 x x --不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 高中数学不等式练习题 一．选择题（共16小题） 1．若a＞b＞0，且ab=1，则下列不等式成立的是（） A．a+＜＜log2（a+b））B．＜log2（a+b）＜a+ C．a+＜log2（a+b）＜D．log2（a+b））＜a+＜ 2．设x、y、z为正数，且2x=3y=5z，则（） A．2x＜3y＜5z B．5z＜2x＜3y C．3y＜5z＜2x D．3y＜2x＜5z 3．若x，y满足，则x+2y的最大值为（） A．1 B．3 C．5 D．9 4．设x，y满足约束条件，则z=2x+y的最小值是（）A．﹣15 B．﹣9 C．1 D．9 5．已知x，y满足约束条件，则z=x+2y的最大值是（）A．0 B．2 C．5 D．6 6．设x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为（）A．0 B．1 C．2 D．3 7．设x，y满足约束条件则z=x﹣y的取值范围是（）A．[﹣3，0]B．[﹣3，2]C．[0，2]D．[0，3] 8．已知变量x，y满足约束条件，则z=x﹣y的最小值为（）A．﹣3 B．0 C．D．3 9．若变量x，y满足约束条件，则目标函数z=﹣2x+y的最大值为（）A．1 B．﹣1 C．﹣D．﹣3 10．若a，b∈R，且ab＞0，则+的最小值是（） A．1 B．C．2 D．2 11．已知0＜c＜1，a＞b＞1，下列不等式成立的是（） A．c a＞c b B．a c＜b c C．D．log a c＞log b c 12．已知x＞0，y＞0，lg2x+lg8y=lg2，则的最小值是（） A．2 B．2 C．4 D．2 13．设a＞0，b＞2，且a+b=3，则的最小值是（） A．6 B．C．D． 14．已知x，y∈R，x2+y2+xy=315，则x2+y2﹣xy的最小值是（） A．35 B．105 C．140 D．210 15．设正实数x，y满足x＞，y＞1，不等式+≥m恒成立，则m的最大值为（） A．2 B．4 C．8 D．16 16．已知两正数x，y 满足x+y=1，则z=的最小值为（）A．B．C．D． 二．解答题（共10小题） 17．已知不等式|2x﹣3|＜x与不等式x2﹣mx+n＜0的解集相同． 《基本不等式》教学设计方案 人教版（A 版） 普通高中课程标准试验教科书必修第五册 【教学目标】 1、知识与技能目标 （12 a b +≤,认识其运算结构； （2）了解基本不等式的几何意义及代数意义； （3）能够利用基本不等式求简单的最值。 2、过程与方法目标 （1）经历由几何图形抽象出基本不等式的过程； （2）体验数形结合思想。 3、情感、态度和价值观目标 （1）感悟数学的发展过程,学会用数学的眼光观察、分析事物； （2）体会多角度探索、解决问题。 【能力培养】 培养学生严谨、规范的学习能力，辩证地分析问题的能力，学以致用的能力，分析问题、解决问题的能力。 【教学重点】 2 a b +≤的证明过程。 【教学难点】 2 a b +≤等号成立条件。 【教学方法】 教师启发引导与学生自主探索相结合 【教学工具】 课件辅助教学、实物演示实验 【教学过程设计】 一、 创设情景，引入新课 如图是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标， 这是根据赵爽弦图而设计的。用课前折好的赵爽弦图示范，比较 4个直角三角形的面积和与大正方形的面积,你会得到怎样的相 等和不等关系？ 赵爽弦图 1．探究图形中的不等关系 将图中的“风车”抽象成如图，在正方形ABCD中右个全等的直角三角形。 设直角三角形的两条直角边长为a,b那么正方形 的边长为。这样，4个直角三角形的面积的和是2ab， 正方形的面积为。由于4个直角三角形的面积小于正 方形的面积，我们就得到了一个不等式：。 当直角三角形变为等腰直角三角形，即a=b时，正 方形EFGH缩为一个点，这时有。 2．得到结论：一般的，如果 3．思考证明：你能给出它的证明吗？ 证明：因为 当 所以，，即 4．基本不等式 1）特别的，如果a>0,b>0,我们用分别代替a、b ，可得，通常我们把上式写作：2）从不等式的性质推导基本不等式 用分析法证明： 要证 (1) 只要证≥ +b a ab 2 (2)要证（2），只要证 a+b-ab 20 （3）要证（3），只要证（a-b）0 ≥（4）显然，（4）是成立的。当且仅当a=b时，（4）中的等号成立。 3）理解基本不等式的几何意义 如图所示：AB是圆的直径，点C是AB上一点，AC=a,BC=b。过点C作垂直于AB的弦DE，连接AD、BD。 你能利用这个图形得出基本不等式的几何解释吗？ 引导学生发现：表示圆的半经，表示半弦长CD,得到不等关系：≤() 易证Ｒt△AＣD∽Ｒt△DＣB，那么ＣD2＝ＣA·ＣB 即ＣD＝. 这个圆的半径为，显然，它大于或等于CD，即，其中当且仅当点C与圆心重合，即a＝b时，等号成立. 几何意义：半弦长不大于半径长。 我们称ab为正数b a,的几何平均数，称 2b a+ 为正数b a,的算术平均数。 代数意义：几何平均数小于等于算术平均数 5.随堂练习 已知a、b、c都是正数，求证：（a＋b）（b＋c）（c＋a）≥８abc高中数学解不等式方法+练习题
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