理论力学第十二章
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社会生活中十二大著名法则:
八、水桶定律
一只水桶能装多少水，完全取决于 它最短的那块木板。
1
动力学
第12章 动能定理
2013-7-15
2
第十二章 动能定理 重点· 难点
§12–1 §12–2 §12–3 §12–4 §12–5 §12–6 力的功 动能 动能定理 势力场 · 势能 · 机械能守恒定理 功率 · 功率方程 动力学普遍定理及综合应用
A
C
O
t B
20
解:系统由四个物体组成. 椭圆规尺AB作平面运动.瞬心为P. PC = OC = l
vA
A P
vC l
AB
vC
C
v A 2l cos t
vB 2l sin t
O
t
EK EKOC EKB EKA EKAB
EKOC 1 1 1 2 2 m1l m1l 2 2 2 3 6
mi viC 0
???
1 1 2 2 EK mi vC mi viC 2 2
1 2 1 2 EK mvC mi viC 2 2
19
[例3] 图示椭圆规尺AB的质量为 2m1 ,曲柄 OC的质量为m1 ,而 滑块A和B的质量均为m2.已知OC=AC=CB= l ,曲柄和尺的质 心分别在其中点上,曲柄绕O轴转动的角速度为常量.求图示 瞬时系统的动能.
M1
（矢量式）
M2
Fx dx Fy dy Fz dz （直角坐标表达式）
5
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 作用合力为 F Fi 则合力 F 的功
W
M2
F dr ( F F
1 M1
M2 1 2 M1
M2
2
Fn ) dr
C1
1
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代
数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
12
7．质点系内力功
W F drA F 'drB F drA F drB
8
3．万有引力功
W Gmm0 ( 1 1 ) r2 r1
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。 4．摩擦力功
(1) 动滑动摩擦力的功 W
M1M 2
F ds
M1M 2
f ' FN ds
FN=常量时, W= –f´ FN S, 与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 FN，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移 dr vC dt 0 W F dr F vC dt 0 (3) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量,则
M1 M1
W c(r l0 )dr
r1 r1
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d ( r 2 ) dr r 2r 2r r r
2 2
c d ( r l0 ) 2 2
c [( r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 令1 r1 l0 , 2 r2 l0 2 c 2 2 即 W (1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
(3)刚体沿固定面作纯滚动 (4)联接刚体的光滑铰链（中间铰） W ( N ) FN dr FN dr
FN dr FN dr 0
(5)柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
14
[例1] 半径为 R 的圆轮与半径为 r 的圆轮固结在一起形成鼓 轮，在半径为 r 的圆轮上绕以细绳，并作用着常力 F，鼓轮 作纯滚动，问鼓轮向左还是向右运动？当轮心C 移动距离 s 时，如何计算力F的功比较方便？是多少？ 解答： A为瞬心 ①鼓轮向右运动，因F对A 点之矩为顺时针方向。 C A F
EK 2 EK 1 W 质点系动能定理的积分形式
在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
dEK WFi ; EK 2 EK 1 WFi
23
[例4]图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于 自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到 水平位置OA‘(静止)，在铅直位置时的角速度至少应为多大？ 解：研究OA杆 1 1 W ( F ) P1.2 k (12 2 2 ) 309.81.2 2 3000 [02 (2.41.2 2 ) 2 ] 2 388 .4(J ) 1 1 2 2 EK 1 30 2.42 0 28.80 , 2 3 E 0 由 E E W (F )
18
四.柯尼希定理
对于第i个质点相对质心的速度:
1 1 2 EK mi vi mi vi vi 2 2 1 1 ) 2 ( mi vC 2 mi viC 2 2vC mi viC ) mi (vC viC 2 2
vi vC viC
( F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dyj dzk
F dr Fx dx Fy dy Fz dz )
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M2 M2 M1 M1 M2
F dr
W m m
s R
9
5．力矩功 设在绕 z 轴转动的刚体上N点作用有力 F ，计算刚体转过 一角度 时力F 所作的功。N点轨迹已知。 F Fn Fb F W F ds F rd M z F )d ( 2 ( 2 1 ) W M z ( F ) d 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶M , 且力 W Md 偶的作用面垂直转轴 1 若M = 常量, 则 注意：功的符号的确定。
②将力F平移到质心C，同时附加一力偶Fr，将力和力 偶所作的功相加可得： r
W Fs(cos ) R
15
[例2]如图所示，均质链条重为P ，长为l，初始静止，且垂下 的部分长为a，试求链条全部离开桌面时重力所作的功。 l－a 解：在桌面建立向下的坐标轴z o ，如图所示则链条全部离开桌 面时其重心的高度差为:
两边点乘以 dr v dt
d mv v dt F dr dt d m 1 而 (mv )v dt d (v v ) d ( mv 2 ) dt 2 2
，有
因此
d ( 1 mv 2 ) W 2
动能定理的微分形式
将上式沿路径 M 1M 2积分，可得
1 mv 2 1 mv 2 W 2 2 2 1
一．质点的动能
1 2 EK mv 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具 有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能
1 2 EK mi vi 2
17
三．刚体的动能[考点]
1．平动刚体
1 1 1 2 2 2 EБайду номын сангаас mi vi ( mi )vC mvC 2 2 2
2．定轴转动刚体 E K
3．平面运动刚体
1 1 1 2 2 2 mi vi ( mi ri ) J z 2 2 2 2
1 EK J P 2 （P为速度瞬心） 2 J P J C md 2
1 1 2 E K J C m(d 2 2 ) 2 2 1 2 1 mvC J C 2 2 2
力系全部力的元功之和为
由 vi vC viC 两端乘dt,有 dri drC driC
w wi
Fi drC MC ( Fi )d
FR drC M C d
11
其中:FR 为力系主失, M C 为力系对质心的主矩. 当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为 C2 2 W12 FR drC M C d
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
质点系：
W Wi mi g ( zi1 zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置 重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
7
2．弹性力功 弹簧原长 l 0 ，在弹性极限内 F c(r l0 )r0 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。r0 r / r M2 M2 W F dr c ( r l0 )r0 dr
3
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是连接机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。
§ 12-1
一．常力的功
W FS cos F S
M2
M1
M2
F dr F
dr
F
n
dr
M1
M1
W1 W2 Wn
即:
W Wi
6
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
四．常见力的功 [考点]
1．重力功 质点：重力在三轴上的投影：
Fx 0, Fy 0, Fz mg
10
1
2
W M (2 1 )
N
6. 平面运动刚体上力系的功
作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 n 2 δwi F i dri Fi drC Fi driC ( X i X )
i 1 其中 Fi driC Fi cos M i C d M C ( Fi )d
B
vB
EKAB
1 4 1 2 2 2 2 2 J P AB m1l EKA EKB m2 (v A vB ) 2m2l 2 2 2 3 2
EK (1.5m1 2m2 )l 2 2
21
§12-3 动能定理 [重点· 考点]
一．质点的动能定理：
ma F d (mv ) F dt
力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。
力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。 2 2
单位：焦耳（Ｊ）；
1J 1N1m
2
4
二．变力的功 元功： W F cosds F ds F dr
Fx dx Fy dy Fz dz
动能定理的积分形式
22
二．质点系的动能定理
对质点系中的一质点 i ：( 1 mi vi 2 ) Wi d 2 对整个质点系，有 d ( 1m v 2 ) W d ( 1m v 2 ) W i i 2 i i 2 i i 即 dEK Wi 质点系动能定理的微分形式 将上式沿路径 M 1M 2 积分，可得
l a a a P 0 P l l a2 l 2 z1 z 2 l 2 P 2 2l
则重力所的功为:
图12-8
a
z
l a2 P( l 2 a 2 ) W12 P(z1 z 2 ) P ( ) 2 2l 2l
16
§12-2 动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动 强弱的又一种度量。
F d (rA rB ) F d (rBA )
注意：只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等 于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。
13
8．理想约束反力功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 (1)光滑固定面约束 W ( N ) FN dr 0 ( FN dr ) (2)活动铰支座、固定铰支座和向心轴承
八、水桶定律
一只水桶能装多少水，完全取决于 它最短的那块木板。
1
动力学
第12章 动能定理
2013-7-15
2
第十二章 动能定理 重点· 难点
§12–1 §12–2 §12–3 §12–4 §12–5 §12–6 力的功 动能 动能定理 势力场 · 势能 · 机械能守恒定理 功率 · 功率方程 动力学普遍定理及综合应用
A
C
O
t B
20
解:系统由四个物体组成. 椭圆规尺AB作平面运动.瞬心为P. PC = OC = l
vA
A P
vC l
AB
vC
C
v A 2l cos t
vB 2l sin t
O
t
EK EKOC EKB EKA EKAB
EKOC 1 1 1 2 2 m1l m1l 2 2 2 3 6
mi viC 0
???
1 1 2 2 EK mi vC mi viC 2 2
1 2 1 2 EK mvC mi viC 2 2
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[例3] 图示椭圆规尺AB的质量为 2m1 ,曲柄 OC的质量为m1 ,而 滑块A和B的质量均为m2.已知OC=AC=CB= l ,曲柄和尺的质 心分别在其中点上,曲柄绕O轴转动的角速度为常量.求图示 瞬时系统的动能.
M1
（矢量式）
M2
Fx dx Fy dy Fz dz （直角坐标表达式）
5
M1
三．合力的功
质点M 受n个力 F1 ,F2 ,,Fn 作用合力为 F Fi 则合力 F 的功
W
M2
F dr ( F F
1 M1
M2 1 2 M1
M2
2
Fn ) dr
C1
1
即:平面运动刚体上力系的功,等于刚体上所受各力作功的代
数和,也等于力系向质心简化所得的力和力偶作功之和.
说明:1.对任何运动的刚体,上述结论都适用; 2.C点不是质心,而是刚体上任意一点时,上述结论也成立; 3.计算力系的主矢、主矩时，可以不包含不作功的力。
12
7．质点系内力功
W F drA F 'drB F drA F drB
8
3．万有引力功
W Gmm0 ( 1 1 ) r2 r1
万有引力所作的功只与质点的始末位置有关，与路径无关。 4．摩擦力功
(1) 动滑动摩擦力的功 W
M1M 2
F ds
M1M 2
f ' FN ds
FN=常量时, W= –f´ FN S, 与质点的路径有关。 (2) 圆轮沿固定面作纯滚动时，滑动摩擦力的功 正压力 FN，摩擦力 F 作用于瞬心C处，而瞬心的元位移 dr vC dt 0 W F dr F vC dt 0 (3) 滚动摩擦阻力偶m的功 若m = 常量,则
M1 M1
W c(r l0 )dr
r1 r1
r 1 1 r0 dr dr d (r r ) d ( r 2 ) dr r 2r 2r r r
2 2
c d ( r l0 ) 2 2
c [( r1 l0 ) 2 (r2 l0 ) 2 ] 令1 r1 l0 , 2 r2 l0 2 c 2 2 即 W (1 2 ) 弹性力的功只与弹簧的起始变形和终了 2 变形有关，而与质点运动的路径无关。
(3)刚体沿固定面作纯滚动 (4)联接刚体的光滑铰链（中间铰） W ( N ) FN dr FN dr
FN dr FN dr 0
(5)柔索约束（不可伸长的绳索） 拉紧时，内部拉力的元功之和恒等于零。
14
[例1] 半径为 R 的圆轮与半径为 r 的圆轮固结在一起形成鼓 轮，在半径为 r 的圆轮上绕以细绳，并作用着常力 F，鼓轮 作纯滚动，问鼓轮向左还是向右运动？当轮心C 移动距离 s 时，如何计算力F的功比较方便？是多少？ 解答： A为瞬心 ①鼓轮向右运动，因F对A 点之矩为顺时针方向。 C A F
EK 2 EK 1 W 质点系动能定理的积分形式
在理想约束的条件下，质点系的动能定理可写成以下的形式
dEK WFi ; EK 2 EK 1 WFi
23
[例4]图示的均质杆OA的质量为30kg，杆在铅垂位置时弹簧处于 自然状态。设弹簧常数k =3kN/m，为使杆能由铅直位置OA转到 水平位置OA‘(静止)，在铅直位置时的角速度至少应为多大？ 解：研究OA杆 1 1 W ( F ) P1.2 k (12 2 2 ) 309.81.2 2 3000 [02 (2.41.2 2 ) 2 ] 2 388 .4(J ) 1 1 2 2 EK 1 30 2.42 0 28.80 , 2 3 E 0 由 E E W (F )
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四.柯尼希定理
对于第i个质点相对质心的速度:
1 1 2 EK mi vi mi vi vi 2 2 1 1 ) 2 ( mi vC 2 mi viC 2 2vC mi viC ) mi (vC viC 2 2
vi vC viC
( F Fx i Fy j Fz k , dr dxi dyj dzk
F dr Fx dx Fy dy Fz dz )
力 F 在曲线路程 M1M 2 中作功为
W F cosds F ds （自然形式表达式）
M2 M2 M1 M1 M2
F dr
W m m
s R
9
5．力矩功 设在绕 z 轴转动的刚体上N点作用有力 F ，计算刚体转过 一角度 时力F 所作的功。N点轨迹已知。 F Fn Fb F W F ds F rd M z F )d ( 2 ( 2 1 ) W M z ( F ) d 作用于转动刚体上力的功等于力矩的功。 如果作用力偶M , 且力 W Md 偶的作用面垂直转轴 1 若M = 常量, 则 注意：功的符号的确定。
②将力F平移到质心C，同时附加一力偶Fr，将力和力 偶所作的功相加可得： r
W Fs(cos ) R
15
[例2]如图所示，均质链条重为P ，长为l，初始静止，且垂下 的部分长为a，试求链条全部离开桌面时重力所作的功。 l－a 解：在桌面建立向下的坐标轴z o ，如图所示则链条全部离开桌 面时其重心的高度差为:
两边点乘以 dr v dt
d mv v dt F dr dt d m 1 而 (mv )v dt d (v v ) d ( mv 2 ) dt 2 2
，有
因此
d ( 1 mv 2 ) W 2
动能定理的微分形式
将上式沿路径 M 1M 2积分，可得
1 mv 2 1 mv 2 W 2 2 2 1
一．质点的动能
1 2 EK mv 2
瞬时量,与速度方向无关的正标量,具 有与功相同的量纲,单位也是J。
二．质点系的动能
1 2 EK mi vi 2
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三．刚体的动能[考点]
1．平动刚体
1 1 1 2 2 2 EБайду номын сангаас mi vi ( mi )vC mvC 2 2 2
2．定轴转动刚体 E K
3．平面运动刚体
1 1 1 2 2 2 mi vi ( mi ri ) J z 2 2 2 2
1 EK J P 2 （P为速度瞬心） 2 J P J C md 2
1 1 2 E K J C m(d 2 2 ) 2 2 1 2 1 mvC J C 2 2 2
力系全部力的元功之和为
由 vi vC viC 两端乘dt,有 dri drC driC
w wi
Fi drC MC ( Fi )d
FR drC M C d
11
其中:FR 为力系主失, M C 为力系对质心的主矩. 当质心由 C1 ~ C2 ,转角由 1 ~ 2 时,力系的功为 C2 2 W12 FR drC M C d
W mgdz mg ( z1 z 2 )
z1 z2
质点系：
W Wi mi g ( zi1 zi 2 ) Mg( zC1 zC 2 )
质点系重力的功，等于质点系的重量与其在始末位置 重心的高度差的乘积，而与各质点的路径无关。
7
2．弹性力功 弹簧原长 l 0 ，在弹性极限内 F c(r l0 )r0 k—弹簧的刚度系数，表示使弹簧发生单位 变形时所需的力。N/m , N/cm。r0 r / r M2 M2 W F dr c ( r l0 )r0 dr
3
与动量定理和动量矩定理用矢量法研究不同，动能定理用 能量法研究动力学问题。能量法不仅在机械运动的研究中有重 要的应用，而且是连接机械运动和其它形式运动的桥梁。动能 定理建立了与运动有关的物理量—动能和作用力的物理量—功 之间的联系，这是一种能量传递的规律。
§ 12-1
一．常力的功
W FS cos F S
M2
M1
M2
F dr F
dr
F
n
dr
M1
M1
W1 W2 Wn
即:
W Wi
6
在任一路程上，合力的功等于各分力功的代数和。
四．常见力的功 [考点]
1．重力功 质点：重力在三轴上的投影：
Fx 0, Fy 0, Fz mg
10
1
2
W M (2 1 )
N
6. 平面运动刚体上力系的功
作用在 Mi 点的力 Fi 的元功为 n 2 δwi F i dri Fi drC Fi driC ( X i X )
i 1 其中 Fi driC Fi cos M i C d M C ( Fi )d
B
vB
EKAB
1 4 1 2 2 2 2 2 J P AB m1l EKA EKB m2 (v A vB ) 2m2l 2 2 2 3 2
EK (1.5m1 2m2 )l 2 2
21
§12-3 动能定理 [重点· 考点]
一．质点的动能定理：
ma F d (mv ) F dt
力的功
力的功是力沿路程累积效应的度量。
力的功是代数量。 时,正功； 时,功为零； 时,负功。 2 2
单位：焦耳（Ｊ）；
1J 1N1m
2
4
二．变力的功 元功： W F cosds F ds F dr
Fx dx Fy dy Fz dz
动能定理的积分形式
22
二．质点系的动能定理
对质点系中的一质点 i ：( 1 mi vi 2 ) Wi d 2 对整个质点系，有 d ( 1m v 2 ) W d ( 1m v 2 ) W i i 2 i i 2 i i 即 dEK Wi 质点系动能定理的微分形式 将上式沿路径 M 1M 2 积分，可得
l a a a P 0 P l l a2 l 2 z1 z 2 l 2 P 2 2l
则重力所的功为:
图12-8
a
z
l a2 P( l 2 a 2 ) W12 P(z1 z 2 ) P ( ) 2 2l 2l
16
§12-2 动能
物体的动能是由于物体运动而具有的能量，是机械运动 强弱的又一种度量。
F d (rA rB ) F d (rBA )
注意：只要A、B两点间距离保持不变,内力的元功和就等于零。
不变质点系的内力功之和等于零。刚体的内力功之和等 于零。不可伸长的绳索内力功之和等于零。
13
8．理想约束反力功 约束反力元功为零或元功之和为零的约束称为理想约束。 (1)光滑固定面约束 W ( N ) FN dr 0 ( FN dr ) (2)活动铰支座、固定铰支座和向心轴承