总习题三高等数学同济大学第六版本

2. 选择以下题中给出的四个结论中一个正确的结论:

设在[0, 1]上f ''(x )>0, 则f '(0), f '(1), f (1)-f (0)或f (0)-f (1)几个数的大小顺序为( ). (A )f '(1)>f '(0)>f (1)-f (0); (B )f '(1)>f (1)-f (0)>f '(0); (C )f (1)-f (0)>f '(1)>f '(0); (D )f '(1)>f (0)-f (1)>f '(0). 解 选择B .

提示: 因为f ''(x )>0, 所以f '(x )在[0, 1]上单调增加, 从而f '(1)>f '(x )>f '(0). 又由拉格朗日中值定理, 有f (1)-f (0)=f '(ξ), ξ∈[0, 1], 所以

f '(1)> f (1)-f (0)>f '(0).

3. 列举一个函数f (x )满足: f (x )在[a , b ]上连续, 在(a ,b )内除某一点外处处可导, 但在(a , b )内不存在点ξ , 使f (b )-f (a )=f '(ξ)(b -a ). 解 取f (x )=|x |, x ∈[-1, 1].

易知f (x )在[-1, 1]上连续, 且当x >0时f '(x )=1; 当x >0时, f '(x )=-1; f '(0)不存在, 即f (x )在[-1, 1]上除x =0外处处可导.

注意f (1)-f (-1)=0, 所以要使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1))成立, 即f '(ξ)=0, 是不可能的. 因此在(-1, 1)内不存在点ξ , 使f (1)-f (-1)=f '(ξ)(1-(-1)). 4. 设k x f x ='∞

→)(lim , 求)]()([lim x f a x f x -+∞

→.

解 根据拉格朗日中值公式, f (x +a )-f (x )=f '(ξ )⋅a , ξ 介于x +a 与x 之间. 当x →∞ 时, ξ → ∞, 于是

ak f a a f x f a x f x x ='=⋅'=-+∞

→∞

→∞

→)(lim )(lim )]()([lim ξξξ.

5. 证明多项式f (x )=x 3

-3x +a 在[0, 1]上不可能有两个零点.

证明 f '(x )=3x 2

-3=3(x 2

-1), 因为当x ∈(0, 1)时, f '(x )<0, 所以f (x )在[0, 1]上单调减少. 因此, f (x ) 在[0, 1]上至多有一个零点.

16. 证明方程x 3

-5x -2=0只有一个正根. 并求此正根的近似值, 使精确到本世纪末10-3

. 解 设f (x )=x 3

-5x -2, 则 f '(x )=3x 2

-5, f ''(x )=6x .

当x >0时, f ''(x )>0, 所以在(0, +∞)内曲线是凹的, 又f (0)=-2, +∞=--+∞

→)2(lim 3x x x , 所

以在(0, +∞)内方程x 3-5x -2=0只能有一个根. (求根的近似值略)

所以f (x )=o [(x -x 0)n ] (x →x 0).

19. 设f (x )在(a , b )内二阶可导, 且f ''(x )≥0. 证明对于(a , b )内任意两点x 1, x 2及0≤t ≤1, 有f [(1-t )x 1+tx 2]≤(1-t )f (x 1)+tf (x 2).

证明 设(1-t )x 1+tx 2=x 0. 在x =x 0点的一阶泰勒公式为