波利亚解题四步骤

第一，弄清问题

未知数是什么？已知数据（指已知数、已知图形和已知事项等的统称）是什么？条件是什么？满足条件是否可能？要确定未知数，条件是否充分？或者它是否不充分？或者是多余的？或者是矛盾的？

画张图。引入适当的符号。

把条件的各个部分分开。你能否把它们写下来？

第二，拟定计划

找出已知数与求知数之间的联系。如果找不出直接的联系，你可能不得不考虑辅助问题。你应该最终得出一个求解的计划。

你以前见过它吗？你是否见过相同的问题而形式稍有不同？你是否知道与此有关的问题？你是否知道一个可能用得上的定理？看着未知数！试想出一个具有相同未知数或相似未知数的熟悉的问题。

这里有一个与你现在的问题有关，且早已解决的问题，你能应用它吗? 你能不能利用它？你能利用它的结果吗？为了能利用它，你是否应该引入某些辅助元素？

你能不能重新叙述这个问题？你能不能用不同的方法重新叙述它？回到定义去。

如果你不能解决所提出的问题，可先解决一个与此有关的问题。你能不能想出一个更容易着手的有关问题？一个更普遍的问题？一个更特殊的问题？一个类比的问题？你能否解决这个问题的一部分？仅仅保持条件的一部分而舍去其余部分，这样对于未知能确定到什么程度？它会怎样变化？你能不能从已知数据导出某些有用的东西？你能不能想出适合于确定未知数的其它数据？如果需要的话，你能不能改变未知数和数据，或者二者都改变，以使新未知数和新数据彼此更接近？

你是否利用了所有的已知数据？你是否利用了整个条件？你是否考虑了包含在问题中的所有必要的概念？

第三，实现计划

实现你的求解计划，检验每一步骤。

你能否清楚地看出这一步是正确的？你能否证明这一步是正确的？

第四，回顾反思

你能否检验这个论证？你能否用别的方法导出这个结果？你能否一下子看出它来？

你能不能把这结果或方法用于其它的问题？

下面举个例子来说明波利亚《怎样解题》的应用。

【高考例题】：已知函数f(x)＝cos2

(x＋π12)，g(x)＝1＋12

sin 2x.

(1)设x＝x0是函数y＝f(x)图象的一条对称轴，求g(x0)的值；(2)求函数h(x)＝f(x)＋g(x)的单调递增区间．

第一步：弄清问题。已知条件是什么？如本题中，

已知两个三角函数，可化成y＝Asin(ωx＋φ)＋h的形式或y＝

Acos(ωx＋φ)＋h的形式．由已知推出：f(x)＝12[1＋cos(2x＋π

6

)]，h(x)

＝12sin(2x＋π3)＋32

. 第二步：制订计划。建立条件与结论之间的联系。如本题中，

因为x＝x0是函数y＝f(x)的图象的一条对称轴，所以2x0＋π

6

＝kπ

(k∈Z)，即2x0＝kπ－π

6

(k∈Z)．

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所以g(x0)＝1＋12sin 2x0＝1＋12sin(kπ－π

6

)．

当k为偶数时，g(x0)＝1＋12sin(－π6)＝1－14＝3

4；

当k为奇数时，g(x0)＝1＋12sinπ6＝1＋14＝5

4

.

第三步：实现计划。如本题中，由sin x、cos x的单调性，将“ωx＋φ”看作一个整体，转化为解不等式问题．即：h(x)＝f(x)＋g(x)

＝12[1＋cos(2x＋π6)]＋1＋1

2sin 2x

＝12[cos(2x＋π6)＋sin 2x]＋32

＝12(32cos 2x＋12sin 2x)＋32

＝12sin(2x＋π3)＋32.

当2kπ－π2≤2x＋π3≤2kπ＋π2(k∈Z)，即kπ－5π12≤x≤kπ＋π

12

(k∈

Z)时，函数h(x)＝12sin(2x＋π3)＋3

2

是增函数．

故函数h(x)的单调递增区间是[kπ－5π12，kπ＋π

12

](k∈Z).

第四步：反思回顾．检验反思，查看关键点、易错点及解题过程每一步是否合理、充分，书写是否规范．

如本题中，由x0求g(x0)时，由于x0中含有变量k，应对k的奇偶进行讨论