高等代数第九章 3第三节 同构
定义8 定义8
同构
我们来建立欧氏空间同构的概念 我们来建立欧氏空间同构的概念. 欧氏空间同构的概念 实数域R上欧氏空间V与 称为同构的 同构的， 实数域 上欧氏空间 与V′ 称为同构的，
1),2)保证了作为线 1),2)保证了作为线 性空间的同构. 性空间的同构.
如果由V到 有一个双射 双射σ 如果由 到V′ 有一个双射 ，满足 1) σ(α+β)=σ(α)+σ(β)， ， 2) σ(kα)=kσ(α)， ， 3) (σ(α), σ(β))=(α, β)， ，
α = x1ε 1 + x 2ε 2 + L + x nε n
令
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σ(α)= ( x1 , x 2 , L , x n ) ∈ Rn Nhomakorabea上页
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我们知道，这是V到 的一个双射 双射， 我们知道，这是 到Rn的一个双射，并且适合定义 条件1), 2)(第六章§ 上一节(3)式说明, (3)式说明 中条件1), 2)(第六章§8). 上一节(3)式说明, σ 也适合条件3) 因而σ是 到 一个同构映射， 也适合条件3)，因而 是V到Rn的一个同构映射， 条件3)， 由此可知 结论 每个n维的欧氏空间都与R 同构. 每个 维的欧氏空间都与 n同构 维的欧氏空间都与 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 作为欧氏空间 反身性、 具有反身性 对称性与传递性. 具有反身性、对称性与传递性 证明 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 欧氏空间 同构映射. 关系是 然是同构映射 这就是说，同构关系 反身的 然是同构映射 这就是说，同构关系是反身的.
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证毕. 证毕
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既然每个n维欧氏空间都与R 同构， 既然每个 维欧氏空间都与 n同构，按对称性 都与 传递性得 任意两个n维欧氏空间都同构 维欧氏空间都同构. 与传递性得，任意两个 维欧氏空间都同构 结论 任意两个n维欧氏空间都同构 任意两个 维欧氏空间都同构. 维欧氏空间都同构
定理3 两个有限维欧氏空间同构 有限维欧氏空间同构的 ＝ 是 定理3 两个有限维欧氏空间同构的<＝>是它们的 维数相等. 维数相等 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间 这个定理说明，从抽象的观点看， 结构完全被它的维数决定 完全被它的维数决定. 的结构完全被它的维数决定
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其次， 一个同构映射， 其次，设σ是V到V′的一个同构映射，我们知 是 到 逆映射σ 也适合定义中条件 条件1), 2)( 道，逆映射 -1也适合定义中条件1), 2)(第六章 而且对于α, ∈ §8). 而且对于 ,β∈V′ ，有 (α,β)=(σ(σ-1(α)),σ(σ-1(β)))=(σ-1(α),σ-1(β)) . , , , 这就是说， 这就是说，σ-1是V′到V的一个同构映射，因而同构 的一个同构映射，因而同构 关系是对称的. 关系是对称的 第三， 分别是V到 第三，设σ,τ分别是 到V′ ，V′到V′′的同构映 , 分别是 不难证明τσ是 到 证明留给大 射. 不难证明 是V到V′′的同构映射 (证明留给大 家作练习) 因而同构关系是传递的. 同构关系 家作练习 ，因而同构关系是传递的
映射σ 这里 α, β∈V, k∈R，这样的映射 称为 到V’的 ∈ ∈ ，这样的映射 称为V到 的 同构映射. 同构映射.
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由定义立即看出，如果 是欧氏空间V到 由定义立即看出，如果σ是欧氏空间 到V′的 一个同构映射 那么σ也是 同构映射， 也是V到 作为线性空间 线性空间的 一个同构映射，那么 也是 到V′作为线性空间的 同构映射. 同构映射 因此 结论 同构的欧氏空间必有相同的维数. 同构的欧氏空间必有相同的维数 是一个n维欧氏空间， 中取一组标准 设V是一个 维欧氏空间，在V中取一组标准 是一个 中取 正交基ε 这组基下， 的每个向量 的每个向量α都 正交基 1,ε2,…,εn，在这组基下，V的每个向量 都 可表成
高等数学第九章课件.ppt
z
用若干个小平
顶柱体体积之
和近似表示曲
o
顶柱体的体积，
x
曲顶柱体的体积
n
i
V
lim 0 i1
f (i ,i ) i .
y
(i ,i )
（二） 平面薄片的质量
设有一平面薄片，占有 xoy 面上的闭区域
D ，在点( x, y)处的面密度为 ( x, y) ，假定 ( x, y)在D 上连续，平面薄片的质量为多少？
o 12 x
立体在第一卦限部分可以看 成是一个曲顶柱体，它的曲 顶为
它的底为
于是，
y
1 y 1 4x2
D
o 12 x
所求立体的体积
例2 求两个圆柱面 的立体在第一卦限部分的体积。
解 所求立体 可以看成 是一个曲 顶柱体， 它的曲顶为
它的底为
所围
它的曲顶为
它的底为 于是，立体体积为
例3 求球体 x2 y2 z2 4a2 被圆柱面 x2 y2 2ax 所截得的（含在圆柱面内的部分）立体的体积。(a 0)
第一节 二重积分的概念及其性质
一、二重积分的概念 二、二重积分的性质
一、二重积分的概念
（一） 曲顶柱体的体积
z f (x, y) D
柱体体积=底面积*高 特点：平顶. 柱体体积=？ 特点：曲顶.
求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和、取极限”的方 法，如下动画演示．
步骤如下：
先分割曲顶柱体的底，并 取典型小区域，
间的关系：
x=rcos , y=rsin ，
(1)若极点O在区域D*之外,且D*由射线=,=和两 条连续曲线r=r1()，r=r2()围成．
(2)若r1()=0,即极点O在区域D*的边界上,且D*由射 线=,=和连续曲线r=r ()围成．
同济高数（第七版）--第九章
一：多元函数概念1.空间：R n 称为n 维空间。
2.邻域：),(000y x P 是二维空间（平面xoy ）上一个点，δ为某一正数，则与点P 0的距离小于δ的点R P y x P 2),,(∈全体，称为P 0的δ邻域。
记作),(0δP U ，即),(0δP U }|||{0δ<=P P P ，几何意义为，以点P 0为圆心，δ为半径的圆内所有点，当该领域不包括圆心P 0时，就称为为P 0的去心δ邻域，记为),(0δP U。
3.点与点集关系：（1）内点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，则),(y x P 为点集E 的一个内点。
证：有),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得E P U ⊂)(，假设),(y x P 不是点集E 的内点，此时假设),(y x P 是点集E 的外点，则对于),(y x P 的任意邻域)(P U 都不可能满足E P U ⊂)(，因为该邻域中至少有一点【例如：邻域中心),(y x P 】就不属于该点集，故),(y x P 不是点集E 的外点，若),(y x P 是点集E 的边界点，则P 的δ邻域),(δP U （无论δ多么小），都会使得该邻域有不属于点集E 的部分（除非0=δ），综合上述：),(y x P 既不是点集E 的外点，也不是边界点，所以),(y x P 是点集E 的内点，而此时能找到),(y x P 的某个邻域)(P U 满足题意。
（2）外点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，存在),(y x P 的某个邻域)(P U ，使得∅=⋂E P U )(，则),(y x P 为点集E 的一个外点。
证明从上，用反证法能得出结论。
（3）边界点：若),(y x P 是空间上一个点，点集E ，),(y x P 的任意邻域)(P U ，使得⎩⎨⎧⊄∅≠⋂E P U E P U )()(，则),(y x P 为点集E 的一个边界点。
《高等数学》.
近世代数课程教学大纲一、课程说明1、课程性质近世代数课程是数学系本科专业的一门专业必修课，是一门现代数学课，是数学专业较抽象的一门课程。
本课程主要讲现代代数学的研究对象、研究方法。
它的内容包括三个基本的代数结构：群、环、域。
它不仅是一门重要的专业基础课, 也是学习代数数论、代数几何、代数拓扑等基础数学课程及计算代数、编码等应用数学课程所必需的一门基础课。
它的基本概念、理论和方法不仅在数学中占有及其重要的地位，而且在其它学科中也有广泛的应用，如理论物理、结构化学、计算机等学科。
其研究的方法和观点，对其他学科有很大的影响。
通过本课程的学习，使学生较好地掌握近世代数的基本内容、理论和方法，加深学生对数学的基本思想和方法的理解，增强学生的抽象思维、逻辑推理能力，培养学生能利用代数学的理论知识对实际问题构建代数模型，培养学生分析问题、解决问题的能力。
2、教学目的和要求群、环、域是本课程的基本内容，要求学生熟练掌握群、环、域的基本理论和方法。
由于教学时数所限，本课程的理论推证较少，因此必须通过做练习题来加深对概念的理解和掌握，熟悉各个定理的运用，从而达到消化、掌握所学知识的目的。
对于本科学生，要独立完成大部分课后习题，它是学好本课程的重要方法。
并要阅读一定量的课外参考书，扩大视野。
还要注重培养抽象思维和推理的能力。
3、先修课程和后继课程集合论初步与高等代数是学习本课程的准备知识。
本课程学习以后可以继续研读：群论、环论、模论、李群、李代数等。
4、教学时数分配5、使用教材《近世代数基础》，张禾瑞，高等教育出版社，1978年修订本。
6、教学方法与手段本课程以讲授为主，由于该课程较抽象，在教学中要注重多举例子、多讲习题、多加思考；要注重对教材内容中各个知识点的理解，对教学内容、教学方法与教学手段的改革，认真总结教学经验，不断提高自身的教学水平和理论知识；要突出教材内容所体现的数学思想、方法，加强学生应用数学的能力；要注重对学生证明技巧、证明思路的训练；要增加以学生为主体的启发式、讨论式教学方法；要让学生多加练习、多加思考，提出问题。
数学竞赛讲座：同构
厦门大学 林亚南
代数学是研究一个代数对象的结构理论与 表示理论的一门学科。线性空间则是本科生所 接触，所学习的第一个代数结构。
《高等代数》课程中体现的代数研究基本思 想方法主要有：（1）空间的直和分解方法； （2）同构方法；（3）等价分类方法。
一．对线性空间同构的理解和思考
1．线性空间的同构是刻画两个线性空间具有 相同的代数结构的概念。
是一一的，指的是对于任意的 U ， 存在唯一 V的使得 ( ) 。
例1：
（1）全体正实数 R 在加法定义为a b ab，数乘定
义为 k a ak，是否构成实数域 R上线性空间？
（2）这个空间的维数是多少？
（3） loga : R R，x loga x 导出了从 R 到 R 的一
，其中 是同构映射，2 。 （2）设 A是 n 阶矩阵，求证
A BC， 其中 B 是可逆矩阵，C2 C。
对于不同的基的选取，同一个线性映射对 应得矩阵是相抵的，同一个线性变换对应得 矩阵是相似的。
相抵的矩阵是同一个线性映射在两组不同 基下的矩阵，相似的矩阵是同一个线性变换 在不同基下的矩阵。
（2）对于U中的任意一组向量 1, 2, , n，存 在线性映射 使得 (i ) i 。
再证明 保持线性运算，即证明
( )(1,2, ,n ) (1, 2, , m)( A B) ()(1,2, ,n ) (1, 2, , m )( A)
2．线性空间同构关系是等价分类思想方法的 一个特例。
两个有限维线性空间同构的充分必要条件 是它们的维数相等，所以维数是同构关系的 全系不变量。任意数域上维线性空间都同构
与上维列向量空间同构，所以数域上n 维列 向量空间是 n 维线性空间同构类的代表元。
同构对线性空间和欧几里得空间的作用及推广
０ 引言
线性空 间和欧几里 得空 间（ 称 欧 氏空 间） 简
映射 来研 究欧氏空间 中线性 变换 的作 用 ，并 着重对对 称变换进行 了分析 。
关 键 词 ：线 性 空 间 ；欧 几 里 得 空 间 ； 同构 映 射 ；对 称 变换 中 图分 类 号 ：０ ７ ． ６ １ ５２ 文 献 标 识 码 ：Ａ 文 章 编 号 ：１７ ６ ３—６ ２ （０ ０ ３— ０ １ ３ １５ ２ １ ）０ ０ ６ 一ｏ
Ｔｈｅ Ｒｏ ｅ ａ ｄ Ｅｘ ｅ ｉ ｎ ｏ ｓ ｍ ｏ ｐ ｃ Ｍ ａ ｌ ｎ ｔ ｎｓｏ ｆ Ｉ ｏ ｒ ｈｉ ｐ
ｉ ｎｅ ｒ Ｓ ｃ ｎｄ Ｅｕｃｉ ｅ ｎ Ｓ ｃ ｎ Ｌｉ ａ ｐａ ｅ ａ ｌｄ ａ ｐａ ｅ
ＣＡ００ ｅ ．２ １
同构 对 线 性 空 间 和欧 几 里 得 空 间的 作 用 及 推 广
曲 、卓 日 言 ｌ
（ 内蒙古财经学院 统计数学学院 ， 内蒙古 呼和浩特 ００７ ） １０ ０
摘
要 ：讨 论 了 同构 映 射 对 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 的 作 用 ， 同 构 的 线 性 空 间及 欧 氏 空 间 之 间 的 性 质 ；通 过 同 构
第 ５卷
第 ３期
贵 阳学院 学报 （ 自然科 学 版 ） （ 刊 ） 季
Ｊ ＯＵＲ ＮＡＬ Ｏ Ｆ ＧＵＩ ＹＡＮＧ ＣＯＵ ＧＥ Ｅ
Ｖ １ ５ Ｎｏ ３ ０ ＿ ． ．
高等代数第9章入-矩阵
§3 不变因子
• 一.行列式因子 • 定义 设-矩阵A()的秩为r, 对于正整数 k,1kr,A()中必有非零的k阶子式. A() 中全部k阶子式的首项系数为1的最大公 • 由定义可知, 对于秩为r的-矩阵, 行列式 因子一共有r个. • 行列式因子的意义就在于, 它在初等变换 下是不变的. 因式Dk()称为A()的k级行列式因子.
如此继续,A()便可化成所要求的形式.
• 例 用初等变换化-矩阵为标准形
1 A( ) 1 2
2 3 2 1
2 1
• 解
1 A( ) 1 2
1 1 2 1 1 2 0 0 2 3 2 3 1 1 1 1 1
0 d 1 ( ) 0 d 2 ( ) 0 0 0 0
0 A2 ( )
其中d1()与d2()都是首项系数为1的多
项式(d1()与bs()只差一个常数倍数),而
且d1()d2(). d2()能除尽A2()的全部 元素.
A( ) 1 2 2 2 2 2 1 2 2 2 2
三. -矩阵的逆矩阵 • 定义 设A()是一个n×n的-矩阵,如果有 一个n×n的 -矩阵B()使 A()B()=B()A()=E 则称A()是可逆的,称B()为A()的逆矩
• 推论 如果A()可逆,则
A*() 其中d=|A()|是数域中P一个非零常数. • 例2 设
d
-1()= 1 A
因为|A()|=0, 所以A()不可逆.
2 1 B ( ) 1 2 2 3 2 2
2 1 A( ) 1 2 2
高代第9章讲义
(α,α) 第九章Euclid(欧几里得)空间知识点考点精要一、欧几里得空间的基本概念1、设V 是实数域 R 上的线性空间，在V上定义了一个二元实函数，称为内积，记作(α,β) ，它具有以下性质：（1） (α,β) = (β,α) ; （2） (k α,β) = k (α,β) ; （3） (α+ β,γ) = (α,γ) + (β,γ) ；（4） (α,α) ≥ 0, 当且仅当α= 0 时， (α,α) = 0 。
这里α,β,γ是V 中任意向量， k 是任意实数，这样的线性空间V 称为欧几里得空间。
2、向量的长度 α= 。
3、柯西 - 布涅柯夫斯基不等式对于欧氏空间V 中的任意向量α,β，有 (α,β) ≤ αβ。
当且仅当α,β线性相关时，等号成立。
4、非零向量α, β的夹角< α,β> 规定为 < α,β>= arccos (α,β),0 ≤< α,β>≤ π。
αβ5、如果(α,β) = 0, 称α与β正交，记为α⊥ β。
6、度量矩阵 设V 是 n 维欧氏空间，ε1 ,ε2 , ,εn 是⎨ V 的一组基，令 a ij= (εi ,εj )(i ,j = 1,2,.., n ) 矩阵 A= (a ij )n ⨯n 称为基ε1 ,ε2 , ,εn 的度量矩阵,⎛ (ε1 ,ε1 ) (ε1 ,ε2 ) (ε ,ε)(ε ,ε ) (ε1 ,εn ) ⎫ (ε ,ε ) ⎪A = 2 1222n⎪ ⎪ (ε ,ε) (ε ,ε )(ε ,ε ) ⎪⎝ n 1n2 n n ⎭1） 度量矩阵为正定矩阵； 2） 不同基的度量矩阵是合同的。
7、标准正交基1） ε1 ,ε2 , ,εn 是欧氏空间 V 的一组基，如果(ε,ε ) = ⎧1 (i = j )ij ⎩0 (i ≠ j ) ，那么称ε1 ,ε2 , ,εn 是V的一组标准正交基。
2） 标准正交基的度量阵是单位阵。
苏教版高考总复习一轮数学精品课件 第九章 平面解析几何 素能培优(十一)解析几何中的直线同构
1
2
.
1,
1
4
,且 = 2, = 2.
（1）求椭圆的方程；
解依题意得
3
= ,
2
1
3
+ 2
2
4
2 = 2
2
2 = 4,
2 = 1.
解得ቊ
所以椭圆的方程为
+
= 1,
4
2 = 1,
− 2 ,
（2）求直线的斜率.
12
3−1 3−41
2
2
解设 1 , 1 ,则 + 1 = 1.由 = 2,得
,
.代入椭圆方程
4
2
8
4
3−1 2
3−41 2
2
得
+
= 1.
4
8
12
3
19
1
整理,得 + 12 − 1 + 1 − = 0,即1 + 1 = − ①.
4
2
16
8
1
设 2 , 2 ,同理可得，2 + 2 = − ②.
8
1
由①②可得直线的方程为 + = − ,所以直线的斜率为−1.
主题三 几何与代数
第九章 平面解析几何
素能培优（十一）解析几何中的直线同构
一、梳理提炼
1.如果 1 , 1 满足方程0 1 + 0 1 + = 0,且点 2 , 2 也满足方程
0 2 + 0 2 + = 0,则过,的直线的方程为0 + 0 + = 0.
即12 + 12 + 61 − 4 = 0①;12 + 12 + 61 − 28 = 0②.由① − ②得1 − 1 + 4 = 0③,
高等代数中同构映射的应用研究
高等代数中同构映射的应用研究在高等代数中，两个线性空间存在同构，所以两个空间也就存在同构映射，同构映射可以帮助我们解决比较复杂的问题。
本篇论文通过运用举例法、文献研究法、经验总结法进行研究。
首先，通过介绍同构映射的定义及判断，确切理解什么是同构映射;然后查阅文献针对不同类型的题型构造出合适的同构映射，深度了解同构映射特性;最后，通过举例的方式从七个方面研究了同构映射在高等代数中的应用，分析了应用技巧及应注意的问题。
标签：同构映射;线性变换;秩;线性变换的值域五、结语通过本文论述同构映射的相关内容，让我们深刻的理解了同构映射，充分掌握同构思想并运用在高等代数中，解决线性空间中相关的问题，学好高等代数中的同构映射，其实也是在为以后的学习近世代数这门课程奠定基础，而且同构的理论在其他的领域也有非常重要的地位.总之，在高等代数的学习中，我们如果认真地、严谨地去学习同构映射，我们会发现它作为一种方法有助于解决问题，作为一种思维有助于理解其他知识.高等代数中同构映射只是同构内容的一小部分，而在这一小部分能了解到不同于其它方法的思想，所以我衷心希望同构映射能在数学领域发展的更广.参考文献：[1] 杨纶标.线性变换与同构映射的关系探讨[D].沈阳：东北大学，1994，8.[2] 郑志.线性空间的同构的应用[J].内蒙古民族大学学报，2001，02：3[3] 李世群，刘金旺，汤四平.同构思想在“高等代数”教学中的体现与运用[J].湖南科技学院，2006，09：03[4] 王萼芳，石生明.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003，9.[5] 徐仲.高等代数考研教案[M].西安：西北工业大学出版社，2009，7.[6] 北京大学数学系几何与代数教研室.高等代数[M].北京：高等教育出版社，2003，9.[7] 北京大学数学系.高等代数[M].北京：人民教育出版社，2001，5.[8] 贾淑凤.同构理论及其在高等代数中的重要性[J].内蒙古教育学院学报，1994，01：3.[9] 严守权.线性代数教程[M].北京：清华大学出版社，2014，7.[10] 朱天辉.同构思想在高等代数解题中的若干应用[J].惠州学院学报（自然科学版），2014，03：2[11] 陈少军.有限维线性空间的基与维数研究[J].第二届世纪之星创新教育论坛论文集，2015，03：2[12] 王尚志，张思明，胡凤娟.向量的概念和应用[J].中学数学教学参考，2015，09：3[13] 王日爽.线性代数的学习要求和学习方法[J].中国远程教育，2014，07：2[14] 吴肖良.线性变换的核空间与像空间的维数关系式[J].内蒙古民族大学学报，2015，02：3[15] 王利广.线性变换思想在高等代數中的若干应用[J].曲阜师范大学学报（自然科学版），2015，01：4。
高等代数第九章 1第一节 定义与基本性质
在解析几何中，向量 , 的夹角 的夹角<α, 的余弦 在解析几何中，向量α,β的夹角 ,β>的余弦 可以通过内积来表示 可以通过内积来表示 内积
cos < ห้องสมุดไป่ตู้ , β >= (α , β )
α β
.
(4) )
为了在一般的欧几里得空间中利用(4)引入夹角的 为了在一般的欧几里得空间中利用( ) 在一般的欧几里得空间中利用 概念，我们需要证明不等式 概念，我们需要证明不等式
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例2 在Rn里，对于向量 α=(a1, a2,…,an), 定义内积
β=(b1, b2,…,bn)
(α, β)=a1b1+2a2b2+…+nanbn 则其内积适合定义中的条件，这样 则其内积适合定义中的条件，这样Rn就也成为一个 内积适合定义中的条件 欧几里得空间. 仍用 n来表示这个欧几里得空间 这个欧几里得空间. 欧几里得空间 仍用R 来表示这个欧几里得空间 注意， 知道，对同一个线性空间可 注意，由例1、例2知道，对同一个线性空间可 引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间 作成欧几里得空间. 以引入不同的内积，使得它作成欧几里得空间
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证毕. 证毕
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结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 结合具体例子来看一下这个不等式是很有意思 具体例子来看一下这个不等式 对于例 空间R 的. 对于例1的空间 n，(5)式就是
2 2 2 2 2 a1b1 + a 2 b2 + L + an bn ≤ a1 + a2 + L + a n b12 + b2 + L + bn .
(1) )