高等代数第九章 3第三节 同构

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其次， 一个同构映射， 其次，设σ是V到V′的一个同构映射，我们知 是 到 逆映射σ 也适合定义中条件 条件1), 2)( 道，逆映射 -1也适合定义中条件1), 2)(第六章 而且对于α, ∈ §8). 而且对于 ,β∈V′ ，有 (α,β)=(σ(σ-1(α)),σ(σ-1(β)))=(σ-1(α),σ-1(β)) . , , , 这就是说， 这就是说，σ-1是V′到V的一个同构映射，因而同构 的一个同构映射，因而同构 关系是对称的. 关系是对称的 第三， 分别是V到 第三，设σ,τ分别是 到V′ ，V′到V′′的同构映 , 分别是 不难证明τσ是 到 证明留给大 射. 不难证明 是V到V′′的同构映射 (证明留给大 家作练习) 因而同构关系是传递的. 同构关系 家作练习 ，因而同构关系是传递的
α = x1ε 1 + x 2ε 2 + L + x nε n
令
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σ(α)= ( x1 , x 2 , L , x n ) ∈ R
源自文库
n
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我们知道，这是V到 的一个双射 双射， 我们知道，这是 到Rn的一个双射，并且适合定义 条件1), 2)(第六章§ 上一节(3)式说明, (3)式说明 中条件1), 2)(第六章§8). 上一节(3)式说明, σ 也适合条件3) 因而σ是 到 一个同构映射， 也适合条件3)，因而 是V到Rn的一个同构映射， 条件3)， 由此可知 结论 每个n维的欧氏空间都与R 同构. 每个 维的欧氏空间都与 n同构 维的欧氏空间都与 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 下面来证明，同构作为欧氏空间之间的关系 作为欧氏空间 反身性、 具有反身性 对称性与传递性. 具有反身性、对称性与传递性 证明 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 首先，每个欧氏空间到自身的恒等映射显 欧氏空间 同构映射. 关系是 然是同构映射 这就是说，同构关系 反身的 然是同构映射 这就是说，同构关系是反身的.
映射σ 这里 α, β∈V, k∈R，这样的映射 称为 到V’的 ∈ ∈ ，这样的映射 称为V到 的 同构映射. 同构映射.
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由定义立即看出，如果 是欧氏空间V到 由定义立即看出，如果σ是欧氏空间 到V′的 一个同构映射 那么σ也是 同构映射， 也是V到 作为线性空间 线性空间的 一个同构映射，那么 也是 到V′作为线性空间的 同构映射. 同构映射 因此 结论 同构的欧氏空间必有相同的维数. 同构的欧氏空间必有相同的维数 是一个n维欧氏空间， 中取一组标准 设V是一个 维欧氏空间，在V中取一组标准 是一个 中取 正交基ε 这组基下， 的每个向量 的每个向量α都 正交基 1,ε2,…,εn，在这组基下，V的每个向量 都 可表成
第三节
定义8 定义8
同构
我们来建立欧氏空间同构的概念 我们来建立欧氏空间同构的概念. 欧氏空间同构的概念 实数域R上欧氏空间V与 称为同构的 同构的， 实数域 上欧氏空间 与V′ 称为同构的，
1),2)保证了作为线 1),2)保证了作为线 性空间的同构. 性空间的同构.
如果由V到 有一个双射 双射σ 如果由 到V′ 有一个双射 ，满足 1) σ(α+β)=σ(α)+σ(β)， ， 2) σ(kα)=kσ(α)， ， 3) (σ(α), σ(β))=(α, β)， ，
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证毕. 证毕
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既然每个n维欧氏空间都与R 同构， 既然每个 维欧氏空间都与 n同构，按对称性 都与 传递性得 任意两个n维欧氏空间都同构 维欧氏空间都同构. 与传递性得，任意两个 维欧氏空间都同构 结论 任意两个n维欧氏空间都同构 任意两个 维欧氏空间都同构. 维欧氏空间都同构
定理3 两个有限维欧氏空间同构 有限维欧氏空间同构的 ＝ 是 定理3 两个有限维欧氏空间同构的<＝>是它们的 维数相等. 维数相等 这个定理说明，从抽象的观点看，欧氏空间 这个定理说明，从抽象的观点看， 结构完全被它的维数决定 完全被它的维数决定. 的结构完全被它的维数决定