高数第九章(10)最小二乘法
高等数学8_10最小二乘法
y
y = ax + b
列表计算:
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o
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t
i
0 # 7 Σ
ti 0 # 7 28
ti2 0 # 49 140
yi 27.0 # 24.8 208.5
yi t i 0 # 137.6 717.0
140 a + 28b = 717 得法方程组 28 a + 8b = 208.5 解得 a = −0.3036 , b = 27.125 , 故所求经验公式为 y = f (t ) = −0.3036 t + 27.125
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• 偏差 ri = yi − f ( xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
2 [ y − f ( x )] = min ∑ i i i =0 n
y o x
来确定近似函数 f (x) . 最小二乘法原理:
设有一列实验数据 ( xk , y k ) ( k = 0 ,1,", n) , 它们大体 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 .
为衡量上述经验公式的优劣, 计算各点偏差如下:
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i
0
1
2
3
4
5
6
7
实测的 27.0 y i /mm
26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
26.518 25.911 25.303 算得的 27.125 f (t i ) /mm 26.821 26.214 25.607 25.000
数值分析最小二乘法ppt课件
例3. 用最小二乘法解超定方程组
2 x 4 y 11
3 x 5 y 3
x
2
y
6
2 x y 7
解 欲求（x,y）使得其尽可能使四个等式成
立，即使
Q (x,y)(2x4y1)2 1 (3x5y3)2
(x2y6)2(2xy7)2
达到最小
S1(x)Abx
得法方程
1A 63.380 b77 3.5 26394 3.380A 71.3 584 b31 5.6 82229
解得
A 4 .48,0 b 7 1 .0 2567
从而得到 a e A 1.3 12 15 3 03
y 1 . 3 1 2 1 3 e 5 0 1 . 0t5 3 F 6 ( 2 ) ( t 7 )
则（x,y）应满足
Q ( x,
Q
(
x x
,
y) y)
0 0
y
即 6x y 17
3x 46y 48
解得
x 3.0403
y
1.2408
所以用最小二乘法解得的超定线性方程组
的解为 x 3.0403
y
1.2408
第三章 补充
逼近问题的发展
逼近问题的发展
对基于经验数据估计函数依赖关系的方法的 研究（从实例学习的研究）已经有很长的历 史了。这些研究是由两个伟大的数学家开始 的：他们是高斯（Gauss,1777-1855）和拉普 拉斯（Laplace,1749-1827），他们提出了从 天文学和物理学中的观测结果估计依赖关系 的两种不同方法。
(完整word版)最小二乘法(word文档良心出品)
最小二乘法基本原理：成对等精度测得一组数据，试找出一条最佳的拟合曲线，使得这条曲线上的各点值与测量值的平方和在所有的曲线中最小。
我们用最小二乘法拟合三次多项式。
最小二乘法又称曲线拟合，所谓的“拟合”就是不要求曲线完全通过所有的数据点，只要求所得的曲线反映数据的基本趋势。
曲线的拟合几何解释：求一条曲线，使所有的数据均在离曲线的上下不远处。
第一节 最小二乘法的基本原理和多项式拟合 一最小二乘法的基本原理从整体上考虑近似函数)(x p 同所给数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)常用的方法有以下三种：一是误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)绝对值的最大值im i r ≤≤0max ，即误差 向量T m r r r r ),,(10 =的∞—范数；二是误差绝对值的和∑=mi ir 0，即误差向量r 的1—范数；三是误差平方和∑=mi ir02的算术平方根，即误差向量r 的2—范数；前两种方法简单、自然，但不便于微分运算 ，后一种方法相当于考虑 2—范数的平方，因此在曲线拟合中常采用误差平方和∑=mi ir02来 度量误差i r (i=0，1，…，m)的整体大小。
数据拟合的具体作法是：对给定数据 ),(i i y x (i=0,1,…，m)，在取定的函数类Φ中,求Φ∈)(x p ,使误差i i i y x p r -=)((i=0,1,…,m)的平方和最小，即∑=m i ir 02=[]∑==-mi ii y x p 02min)(从几何意义上讲，就是寻求与给定点),(i i y x (i=0,1,…,m)的距离平方和为最小的曲线)(x p y =（图6-1）。
函数)(x p 称为拟合 函数或最小二乘解，求拟合函数)(x p 的方法称为曲线拟合的最小二乘法。
Φ可有不同的选取方法.6—1二多项式拟合假设给定数据点),(i i y x (i=0,1,…,m)，Φ为所有次数不超过)(m n n ≤的多项式构成的函数类，现求一Φ∈=∑=nk k k n x a x p 0)(,使得[]min )(00202=⎪⎭⎫⎝⎛-=-=∑∑∑===mi mi n k i k i k i i n y x a y x p I (1)当拟合函数为多项式时，称为多项式拟合，满足式（1）的)(x p n 称为最小二乘拟合多项式。
高中数学最小二乘法
高中数学最小二乘法最小二乘法是一种常用的统计学方法，通常应用于数据拟合。
在高中数学中，最小二乘法主要用于线性回归分析，即寻找一条直线来拟合一组数据点。
假设有一组数据 $(x_1,y_1),(x_2,y_2),cdots,(x_n,y_n)$，我们希望找到一条直线 $y = ax + b$，使得这条直线与这些数据点的误差平方和最小。
换句话说，就是让这条直线尽可能地接近这些数据点。
假设直线 $y = ax + b$ 与数据点 $(x_i,y_i)$ 的误差为 $e_i$，则有：$$e_i = y_i - (ax_i + b)$$将所有数据点的误差平方和表示出来，可以得到：$$sum_{i=1}^n e_i^2 = sum_{i=1}^n(y_i - (ax_i + b))^2$$ 我们的目标是使得上式的值最小，因此需要对 $a$ 和 $b$ 分别求偏导数并令其为0，得到：$$begin{cases}frac{partial}{partial a}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0 frac{partial}{partial b}sum_{i=1}^n e_i^2 = 0end{cases}$$ 将上式展开并整理可得到：$$begin{cases}displaystylesum_{i=1}^n x_i(y_i - ax_i - b) = 0displaystylesum_{i=1}^n(y_i - ax_i - b) = 0end{cases}$$ 解出 $a$ 和 $b$ 即可得到最小二乘法的结果，即：$$a = frac{displaystyle nsum_{i=1}^nx_iy_i -sum_{i=1}^nx_isum_{i=1}^ny_i}{displaystyle nsum_{i=1}^nx_i^2 - (sum_{i=1}^nx_i)^2}$$$$b = frac{displaystyle sum_{i=1}^ny_i - asum_{i=1}^nx_i}{n}$$这就是高中数学中最小二乘法的基本原理和公式。
高等数学课件最小二乘法标准版资料
wéi)均对方本误题差(bě, ntí)均方误差
1 7
M
0.124
它在一定程度上反映了经验函数的好坏. O
t
2021/10/3
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第六页，共10页。
例2. 在研究某单分子(fēnzǐ)化学反应速度时, 得到下列数据:
i 1 2 3 4 5 6 78 i 3 6 9 12 15 18 21 24 yi 57.6 41.9 31.0 22.7 16.6 12.2 8.9 6.5
2021/10/3
Y a X b (线性函数)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
第七页，共10页。
因此(yīncǐ) a , b 应满足法
方程组:8
8
8
2 k
a
k
b
k
ln
yk
k 1
k 1
k 1
8
8
k a
k 1
8b
ln yk
k 1
y
经计算(jìsuà1n)8得36 a 108b 280.994 108a 8b 23.714
经计算(jìs令(据ugàn)u得:ānxicè)数xi1 xi , yi yi1 yi (i 1, 2,, n)
同济(tónɡ jì)版高等数学课件
yi 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间, (1) 若 定值 其中 表示从实验(shíyàn)开始算起的时间,
, 则考虑 y a x b 同济(tónɡ jì)版高等数学课件
特别, 当数据点分布近似一条(yī 线时,
使 y ax b 满足:
n
tiáo)直
问题(wèntí)为确 定 a, b
2015考研数学基础阶段学习计划(数二)
2015考研数学基础阶段学习计划（数二）考研数学一般考察考生的基础知识的掌握和运用解题的能力。
数学的复习需要一步一步的积累知识、循序渐进地完全掌握。
学好考研数学，务必要夯实基础。
在此，建议您在6月底之前前完成基础阶段的学习，3月份之前主要是以教材、零基础入门课程为主，把教材上的习题做一遍，然后3月份——6月份把基础课程学习一遍，以便于后面的强化、冲刺。
根据考研数学中高数、线代所占分值的不同，对不同章节确定了合理的学习时间。
复习计划使用说明：(1) 计划里明确了每章节的重难点，以及不需要掌握的内容也已经指明，后面备有考纲规定的考试内容，同学们要根据大纲要求合理学习知识点。
(2) 同学们在学习的时候如果有条件一定要和你周围的同学、老师多交流学习心得。
只有你总结出来的方法才是最适合你的方法。
(3) 同学们在学习的过程中难免会遇到一些疑难问题、做错的题目，一定要在第一时间把它整理到你的笔记本里，并到名师堂提问。
本阶段主要复习资料是大学教材，包括高等数学、线性代数，如果手头没有这几本书，推荐购买：《高等数学》同济第六版上下册；《工程数学线性代数》同济第五版。
学习课程：高等数学零基础入门（一元函数微积分学）、线性代数零基础入门（线代基础）高等数学基础、线性代数基础说明：听课之前一定要复习过一遍教材，这样在听课的时候才能抓住重点。
零基础入门课程所讲内容是考研数学最基础，也是最重要的部分，其中包括了与考研数学紧密联系的部分高中知识，如三角函数等。
数学的学习是一个循序渐进、由浅入深的过程，夯实基础尤为关键，之后的学习才能达到事半功倍的效果。
建议先学习零基础入门课程，然后再学习基础课程。
学习顺序：教材与零基础入门课程同步进行，之后学习基础课程。
复习教材的时候先复习高等数学内容，高等数学是基础，然后再复习线性代数。
过完一轮教材之后跟着我们的课程再学习一遍。
注意：预习内容时，请参考考试大纲的考试内容（最后一列）预习。
考试大纲不要的章节内容不用看。
高数第9章 总结
gx
gy
dy dx
gz
dz dx
0
(2)
hx
hz
dz dx
0
(3)
u f ( x, y),
g(
x,
y,
z)
0,
h( x, z) 0.
由(3)得
dz dx
hx hz
,代入(2)得
dy dx
gz hx g y hz
gx gy
,
代入(1)得 du dx
fx
fy gx gy
f y gz hx . g y hz
(A) (1，2)； (B) (1，-2 )； (C) (-1，2)； (D) (-1，-1).
9、函数 u sin x sin y sin z 满足x y z
2
( x>0, y>0, z>0 )的条件极值是( ).
(A) 1； (B) 0； (C) 1 ； (D) 1
6
8
22
10、设函数u u( x, y), v v( x, y)在点( x, y) 的某邻 域内可微分，则在点( x, y) 处有 grad (uv ) ( ).
yz
dz dx
)
而
yx
gx gy
yz
gz gy
dz hx dx hz
18
测验题
一、选择题:
1、函数z
ln
x2
4
y2
arcsin
x2
1
定义域(
y2
).
（A）1 x2 y2 4； （B）1 x2 y2 4；
（C）1 x2 y2 4； （D）1 x2 y2 4.
2、设 f ( xy, x) ( x y)2 ，则 f ( x, y) ( ). y
最小二乘法-PPT课件
解 根据上表数据，可以计算出：x 4.5, y 25.5 其他数据如下表
-
19
i 1 2 3 4 5 6 7 8 合计
，
xi
yi
1
1
2
4
3
9
4
16
5
25
6
36
7
49
8
64
36
204
x2 i
xi yi
1
1
4
8
9
27
16
64
25
125
36
216
49
343
d bxi yi a b2 1
方法二:
xi,abix
yi a bxi 2 0 -
yabx
x
4
显然方法二能有效地表示点A与直线y=a+bx的距离， 而且比方法一计算更方便，所以我们用它来表示二者 之间的接近程度.
-
5
思考2.怎样刻画多个点与直线的接近程度？ 提示：
例如有5个样本点，其坐标分别为（x1，y1），（x2， y2），（x3，y3），（x4，y4），（x5，y5），与直 线y=a+bx的接近程度：
使上式达到最小值的直线y=a+bx就是所要求的直线， 这种方法称为最小二乘法.
-
7
思考3：怎样使 [y1 (a bx1)]2 [yn (a bxn )]2 达到最小值？
先来讨论3个样本点的情况
…………………①
-
8
3 a 2 - 2 （ a y - b x ) ( y 1 - b x 1 ) 2 ( y 2 - b x 2 ) 2 ( y 3 - b x 3 ) 2
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y a x b，此式也称为回归直线方程。
例.
为了测定刀具的磨损速度, 每隔 1 小时测一次刀 0 1 2 3 4 5 6 7 0 1 2 3 4 5 6 7 27.0 26.8 26.5 26.3 26.1 25.7 25.3 24.8
具的厚度, 得实验数据如下:
M a M b
k 0
n
y
o
称为法方程组
x
令
x k b
得
n
xk a
k 0
n
k 0
解此线性方程组 即得 a, b
a
x y nx y
i 1 i i
n
x
i 1
n
2 i
nx
2
, b y ax,
1 n 1 n 其中x xi , y yi n i1 n i1
第十节 最小二乘法
1.经验公式
在自然科学和经济分析中，常常需要根据两 个变量的几组实验数值——实验数据，来找出这
两个变量的函数关系的近似表达式．通常把这样
得到的函数的近似表达式叫做经验公式. 问题：如何得到经验公式，常用的方法是什么？
需要解决两个问题:
1. 确定近似函数的类型 • 根据数据点的分布规律 • 根据问题的实际背景
2.最小二乘法原理: 设有一列实验数据 , 它们大体 分布在某条曲线上, 通过偏差平方和最小求该曲线的方 法称为最小二乘法, 找出的函数关系称为经验公式 .
特别, 当数据点分布近似一条直线时,问题为确定 a, b 使 y a x b 满足:
M (a, b) ( yk a xk b) 2 min
找出一个能使上述数据大体适合的经验公式. (P67 例1)
解: 通过在坐标纸上描点可看出它们
大致在一条直线上, 故可设经验公式为
y
y ax b
列表计算:
o
t
i 0 7
ti
0
2 ti
yi
27.0
yi t i
0
0
7 28
49 140
24.8 208.5
137.6 717.0
140 a 28b 717 得法方程组 28 a 8b 208.5 解得 a 0.3036, b 27.125, 故所求经验公式为
y f (t ) 0.3036t 27.125
y
o
x
பைடு நூலகம்
2. 确定近似函数的标准 •实验数据有误差,不能要求 yi f ( xi ) • 偏差 ri yi f ( xi ) 有正有负, 为使所有偏差的绝对 值都较小且便于计算, 可由偏差平方和最小
2 [ y f ( x )] min i i i 0 n
来确定近似函数 f (x) .