高数下册第9章空间解析几何与向量代数
的模 、方向余弦和方向角 .
解:
3 4, 0 2 , 2 1) ( 1 , 2 , 1 )
( 1)2 ( 2 )2 12 2
2 cos 2
2 3
3 4
1 cos , 2
3
例4. 设点 A 位于第一卦限, 向径 OA 与 x 轴 y 轴的夹
第九章
空间解析几何与向量代数
第一部分 向量代数
第二部分
空间解析几何
在三维空间中: 空间形式 — 点, 线, 面 数量关系 — 坐标, 方程（组） 基本方法 — 坐标法; 向量法
第一节 向量及其线性运算
一、向量的概念
第九章
二、向量的线性运算 三、空间直角坐标系
四、利用坐标作向量的线性运算 五、向量的模、方向角、投影
AMB . 解: MA ( 1, 1, 0 ) , MB ( 1, 0 , 1 ) 则
, 角依次为 , 3 4 且 O A 6 , 求点 A 的坐标 .
, , 则 解: 已知 3 4 cos 2 1 cos 2 cos 2 1 4 , 于是 因点 A 在第一卦限 , 故 cos 1 2
OA O A OA 6 ( 1 , 2
点P 向量OP xi 实数x
三、空间直角坐标系
1. 空间直角坐标系的基本概念 过空间一定点 o , 由三条互相垂直的数轴按右手规则 组成一个空间直角坐标系.
z
z 轴(竖轴)
• 坐标原点
Ⅲ Ⅳ
Ⅱ
• 坐标轴 • 坐标面
yoz 面
o xoy面
Ⅰ
• 卦限(八个) Ⅶ
y
y轴(纵轴)
Ⅵ
x轴(横轴)
s
W Fs
M2
a b
为a 与b 的数量积 (点积) .
b 在 a 上的投影为
b
a b a 同理 ,当 b 0 时,
故
2. 性质
记作
Pr ja
b Pr ja
b
a 0, b 0
则 a b 0
(1) a a (2) a , b 为两个非零向量, 则有
x
Ⅷ
Ⅴ
在直角坐标系下
向径 r 有序数组 ( x, y, z ) 点 M (称为点 M 的坐标) 特殊点的坐标 :
原点 O(0,0,0) ; 坐标轴上的点 P, Q , R ; 坐标面上的点 A , B , C
R(0,0, z )
1 1
1 1
z
B(0, y, z )
C ( x, o, z )
b
故 b a.
再证数 的唯一性 . 设又有 b＝ a , 则 ( ) a 0
故 0 , 即 .
―
‖ 已知 b＝ a , 则 b＝ 0 a , b 同向
a∥b
a , b 反向 注： 定理1是建立数轴的理论依据。
因给定一个点及一个单位向量就确定了一条数轴
二、向量的线性运算
1. 向量的加法 平行四边形法则:
(a b) c a (b c)
c
bc b
b ab
三角形法则:
a
ab b
ab
a
运算规律 : 交换律
ab ba 结合律 ( a b ) c a ( b c ) a b c
a
三角形法则可推广到多个向量相加 .
(4) 2 12 (7 z ) 2
解得
2 ( 2 z ) 3 5
2
2
故所求点为M (0 , 0 , 14 ) .
9
2. 方向角与方向余弦
设有两非零向量 记作 类似可定义向量与轴, 轴与轴的夹角 . 与三坐标轴的夹角 , , 为其方向角. 方向角的余弦称为其方向余弦. x x cos 2 2 2 r x y z 任取空间一点 O , 称 =∠AOB (0≤ ≤ ) 为向量
的夹角. a ,b
z
o
r
x
y
x x cos r x2 y2 z 2 y y cos r x2 y2 z 2 z z cos r x2 y2 z 2
方向余弦的性质:
z
o
r
x
y
例3. 已知两点
和
计算向量
a Pr j b a b c c Pr jc a b c Pr jc c
b ac bc a c Pr jc c Pr jc
例1. 证明三角形余弦定理
c 2 a 2 b 2 2ab cos 证: 如图 . 设
(a b ) a b 1 a . 因此 a a a 则有单位向量 a a
分配律
定理1. 设 a 为非零向量 , 则
a∥b 证: ― ‖. 设 a∥b , 取 ＝± ( 为唯一实数)
, a , b 同向时
取正号, 反向时取负号, 则 b 与 a 同向, 且
两向量的夹角公式 当 为非零向量时, 由于
cos
a b
a b cos , 得 a x bx a y by a z bz
2 2 2 bx by bz
2 2 ax a2 a y z
例2. 已知三点 M (1,1,1) , A( 2 , 2 ,1), B( 2 ,1 , 2 ) , 求
o
r
M
Q(0, y,0)
y
x P( x,0,0)
A( x, y,0)
z
坐标轴 :
o
y
x
坐标面 :
2. 向量的坐标表示
在空间直角坐标系下, 任意向量 r 可用向径 OM 表示.
以 i , j , k 分别表示 x , y , z 轴上的单位向量 , 设点 M
的坐标为 M ( x , y , z ) , 则
a b 0
3. 运算律 (1) 交换律 (2) 结合律
a
a ( b)
b
(a b)
( a ) ( b ) a ( b ) (a b)
(3) 分配律
c
a Pr j b Pr jc c (a b) Pr jc
事实上, 当 c 0 时, 显然成立 ; 当c 0时
一、向量的概念
向量: 既有大小, 又有方向的量称为向量 (又称矢量).
表示法: 有向线段 M1 M2 , 或 a ,
向量的模 : 向量的大小,
向径 (矢径): 起点为原点的向量. 自由向量: 与起点无关的向量. 单位向量: 模为 1 的向量, 零向量: 模为 0 的向量,
M1
M2
若向量 a 与 b大小相等, 方向相同, 则称 a 与 b 相等,
中点公式:
说明: 由
x1 x2 , 2
y1 y2 , 2
z1 z 2 2
B M
五、向量的模、方向角、投影
则有 设 r ( x , y , z ), 作 OM r , r OM OP OQ OR
由勾股定理得 1. 向量的模与两点间的距离公式
R
z
M Q y
s a1 a2 a3 a4 a5 a4 a3 a5
s
a2 a1
2. 向量的减法
a
三角不等式
3. 向量与数的乘法 规定 :
是一个数 , 与 a 的乘积是一个新向量, 记作 a .
可见 总之: a a 1 a a ; 运算律 : 结合律 ( a ) ( a ) a 1 a a ;
A
C B a , C A b , AB c
则
c
B
b
a
C
c
2
( a b ) ( a b ) a a b b 2 a b a b 2 a b cos
2 2
a a ,b b ,c c
c 2 a 2 b 2 2ab cos
四、利用坐标作向量的线性运算
当 a 0 时,
bx a x by a y
bx b y bz ax a y az
bz a z
例1. 已知两点 在AB直线上求一点 M , 使
及实数 1, 如图所示
解: 设 M 的坐标为
A M B
AM MB AM OM OA MB OB OM
OM O A ( OB OM )
得
即
o
A
B M
OM 1 ( OA OB 1 1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1
1 (x x , y y , z z ) 2 1 2 1 2 1 1 A 得定比分点公式: M x1 x2 y1 y2 , , B 1 1 z1 z 2 o 1 A 当 1 时, 点 M 为 AB 的中点 ,于是得
第二节 数量积 向量积 *混合积
一、两向量的数量积 二、两向量的向量积
第九章
*三、向量的混合积
一、两向量的数量积
引例. 设一物体在常力 F 作用下, 沿与力夹角为
的直线移动, 位移为 s , 则力F 所做的功为
W F s cos
1. 定义
设向量 a , b 的夹角为 , 称
记作
M1
2 1 , ) 2 2
(3 , 3 2 , 3)
故点 A 的坐标为 (3 , 3 2 , 3) .
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高等数学武大社课件第九章向量代数与空间解析几何
类似地，可得到点M关于其他坐
二、空间两点间的距离公式 给定空间两点M1（x1,y1,z1）,M2（x2,y2,z2）,过点M1， M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，这六个平面构成一 个以M1M2为对角线的长方体.由初等几何和平面解析几何知识 ，求得空间两点间的距离公式为
第一节 空间直角坐标系
第一节 空间直角坐标系
在空间任取一点M，过点M分别作垂直于坐标轴的三个平 面，分别交x轴、y轴、z轴于点P，Q，R，设点P，Q，R在坐 标轴的坐标分别为x,y,z.于是点M就唯一确定了一组有序三元数 组（x,y,z）.反之，给定一有序三元数组（x,y,z）,在x轴、y轴 和z轴上分别确定以x,y,z为坐标的三个点P，Q，R.过这三个点 分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，这三个平面的交点M， 便是由有序的三元数组（x,y,z）在空间确定的唯一的点.这样就 建立了有序三元数组（x,y,z）与空间点M的一一对应关系，我 们称有序三元数组（x,y,z）为点M的坐标，记作M（x,y,z）.并 称x,y,z分别为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.
第一节 空间直角坐标系
特别地，坐标原点O的坐标为（0，0，0），x轴、y轴、z 轴上的点的坐标分别为（x,0,0）,(0,y,0),(0,0,z),xOy坐标面、 yOz坐标面、zOx坐标面上的点的坐标分别是（x,y,0） ,(0,y,z),(x,0,z). 设点M(x,y,z),则点M关于xOy面的对称点的坐标为（x,y,-z）, 关于x轴的对称点的坐标为（x,-y,-z）,关于坐标原点的对称点 的坐标为（-x,-y,-z）.
第二节 向量的概念及基本运算
三、向量的坐标表示式
设在空间直角坐标系中的一个向量a，将a平行移动使其起 点为坐标原点O，终点为M（a1,a2,a3）,过M点分别作垂直于x 轴、y轴、z轴的平面，交三坐标轴于点P，Q，R，根据向量的 加法法则，有
二、空间两点间的距离公式 给定空间两点M1（x1,y1,z1）,M2（x2,y2,z2）,过点M1， M2各作三个平面分别垂直于三个坐标轴，这六个平面构成一 个以M1M2为对角线的长方体.由初等几何和平面解析几何知识 ，求得空间两点间的距离公式为
第一节 空间直角坐标系
第一节 空间直角坐标系
在空间任取一点M，过点M分别作垂直于坐标轴的三个平 面，分别交x轴、y轴、z轴于点P，Q，R，设点P，Q，R在坐 标轴的坐标分别为x,y,z.于是点M就唯一确定了一组有序三元数 组（x,y,z）.反之，给定一有序三元数组（x,y,z）,在x轴、y轴 和z轴上分别确定以x,y,z为坐标的三个点P，Q，R.过这三个点 分别作垂直于x轴、y轴和z轴的平面，这三个平面的交点M， 便是由有序的三元数组（x,y,z）在空间确定的唯一的点.这样就 建立了有序三元数组（x,y,z）与空间点M的一一对应关系，我 们称有序三元数组（x,y,z）为点M的坐标，记作M（x,y,z）.并 称x,y,z分别为点M的横坐标、纵坐标和竖坐标.
第一节 空间直角坐标系
特别地，坐标原点O的坐标为（0，0，0），x轴、y轴、z 轴上的点的坐标分别为（x,0,0）,(0,y,0),(0,0,z),xOy坐标面、 yOz坐标面、zOx坐标面上的点的坐标分别是（x,y,0） ,(0,y,z),(x,0,z). 设点M(x,y,z),则点M关于xOy面的对称点的坐标为（x,y,-z）, 关于x轴的对称点的坐标为（x,-y,-z）,关于坐标原点的对称点 的坐标为（-x,-y,-z）.
第二节 向量的概念及基本运算
三、向量的坐标表示式
设在空间直角坐标系中的一个向量a，将a平行移动使其起 点为坐标原点O，终点为M（a1,a2,a3）,过M点分别作垂直于x 轴、y轴、z轴的平面，交三坐标轴于点P，Q，R，根据向量的 加法法则，有
向量代数与空间解析几何—向量代数(高等数学课件)
1.二元极限定义
设＝ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于 的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于 的 倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝ ＋ ＋ ，＝ ＋ ＋ ，则
· ＝（ ＋ ＋ ） · （ ＋ ＋ ）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算
设＝ ＋ ＋ , ＝ ＋ ＋ ，则
由于 × ＝ × ＝ × ＝0， × ＝， × ＝， × ＝，
× ＝－， × ＝－， × ＝－.
因此 × = − − − + − .
即 = × .
2. 向量积的运算律
1.二元极限定义
向量积满足下列运算律：
（1）结合律
× = × = × ()；
（2）分配律
+ × = × + × ．
值得注意的是：向量的向量积一般不满足交换律.一般有： × = − ×
3. 向量积的坐标表达式
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
设λ是一实数，向量与λ的乘积仍然是一个向量：
当＞0时，λ的方向与的方向相同，它的模等于 的λ倍；
当λ＜0时，λ的方向与的方向相反，它的模等于 的 倍。
当λ＝0时，λ还是零向量。
v
由此不难得到以下结论：向量与非零向量共线的充要条件是：存
（3）分配律
+ ∙=∙+∙
3. 数量积的坐标表达式
设＝ ＋ ＋ ，＝ ＋ ＋ ，则
· ＝（ ＋ ＋ ） · （ ＋ ＋ ）
= · ＋ · ＋ · ＋ · + ·
在唯一实数λ，使=λ.
向量的运算
1.二元极限定义
3.向量与数量的乘法
向量与数量的乘法满足结合律、分配律：
λ（μ）＝（λμ）; （结合律）
（λ＋μ）＝λ＋μ;（分配律）
λ（＋）＝λ＋λvv.（分配律）
其中,λ,μ均为实数。
向量的线性运算
《高等数学(下册)》 第9章
4 2 3 2
3 4
9.2 空间直角坐标系及向量坐标
9.2.1 空间直角坐标系
在平面解析几何中，通过建立平面直角坐标系，把平面上的点与 二元有序实数组对应起来．同样，在空间解析几何中，通过建立空间 直角坐标系，也可以把空间的点与三元有序实数组对应起来．
如图所示，过空间一定点 O ，作三个两两垂直的单位向量 i ，j ，k ，就确定了三 条都以 O 为原点的两两垂直的数轴，依次记为 x 轴（横轴）、 y 轴（纵轴）、 z 轴（竖 轴），统称为坐标轴．它们构成一个空间直角坐标系，称为 Oxyz 坐标系或[O；i ，j ，k] 坐标系．通常把 x 轴和 y 轴配置在水平面上，而 z 轴则是铅垂线，它们的正向符合右
如果 (a ，b) 0 或 π ，就称向量 a 与 b 平行，记作 a ∥ b ；如果 (a ，b) π ，就 2
称向量 a 与 b 垂直，记作 a b ． 由于零向量与另一向量的夹角可以在 0 到 π 之 间任意取值，因此可以认为零向量与任何向量是平行的，也可以认为零向量与任 何向量是垂直的．
9.1.3 二阶与三阶行列式
三阶行列式还可以按行（列）展开，转化为三个二阶行列式的和的形式．例如， 三阶行列式按第一行展开有
a11 a21 a31
a12 a22 a32
a13 a23 a33
a11
a22 a32
a23 a33
a12
a21 a31
a23 a33
a13
a21 a31
a22 a32
9.1.2 向量的线性运算
定理 1 设向量 a 0 ，那么向量 b 平行于 a 的充分必要条件是：存在唯一的实 数 ，使 b a ．
证明 条件的充分性是显然的，下面证明条件的必要性． 设 b ∥ a ．取 | | | b | ，当 b 与 a 同向时 取正值，当 b 与 a 反向时 取负值，
大学课件-《高等数学》-第九章向量代数与空间解析几何
b
3a
2
5
(1
3)a
1
5 2
1 5
5
b
2a
5
b.
2
例4 试用向量方法证明：对角线互相平分的 四边形必是平行四边形.
证 AM MC BM MD
D b
A
a
M
C B
AD AM MD MC BM BC
思考题二解答
D b
A
a
C
M
B
BC
AD
AM
MD
1
(a
b ).
2
DC
AB
AM
MB
1 2
(a
b ).
思考题三
设 m
i
j
，n
2 j
k
，求以向量
m , n为边的平行四边形的对角线的长度.
思考题三解答
n
对角线的长为 | m n |, | m n |,
（2）分配律：( )a a a
(a
b)
a
b
两个向量的平行关系
定理
设向量
a
0，那末向量
b
平行于
a
的充
分必要条件是：存在唯一的实数
，使
b
a.
证 充分性显然；
当
b
必要性
设 b‖
a
高等数学之空间解析几何与向量代数资料
轴和 z 轴旋转一周所生成的旋转曲面方程.
解:绕 x 轴旋转 所成曲面方程为
x2 a2
y2 z2 c2
1
绕 z 轴旋转所成曲面方程为
x2 y2 a2
z2 c2
1
x
y
z
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
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作业
P26： 3; 6 ; 8.
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都可通过配方研究它的图形.
如, 曲线 绕 z 轴的旋转曲面: 求坐标面 xoz 上的双曲线 x 0 高等数学之空间解析几何与向量代数
内容小结 P26： 3; 6 ; 8.
(1) 已知一曲面作为点的几何轨迹时,
如果曲面 S 与方程 F( x, y, z ) = 0 有下述关系:
这两种曲面都叫做旋转双曲面.
空间曲面 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程,
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三元方程 F (x , y , z) 0
• 球面 (x x ) ( y y ) (z z ) R 表示圆柱面与平面的交线 C.
F(x, y, z) 0 G(x, y, z) 0
S2
G(x, y, z) 0
L
S1
F(x, y, z) 0
例如,方程组
x2 y2 1 2x 3z 6
表示圆柱面与平面的交线 C.
z
2C
o 1y
x
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三、柱面
z
引例. 分析方程 x2 y2 R2
表示怎样的曲面 .
化简得 2x 6y 2z 7 0
说明: 动点轨迹为线段 AB 的垂直平分面. 显然在此平面上的点的坐标都满足此方程, 不在此平面上的点的坐标不满足此方程.
向量代数和空间解析几何
向量代数和空间解析几何向量代数和空间解析几何是数学中非常重要的概念，既可以处理经典几何问题，又可以用于表达数学模型。
它们在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面都有着广泛的应用。
向量代数是计算机科学家和数学家在处理空间问题时最常使用的方法。
它利用向量来描述空间中的点、直线和平面。
向量代数可以用来计算空间的大小、形状、方向、坐标变换等概念。
向量代数涉及的内容主要有线性代数系统、矩阵运算、向量空间等。
它在科技计算机图形学、建模和科学仿真中被广泛使用。
空间解析几何是在几何学中一类研究空间几何结构的重要分支学科。
它被广泛应用于工程、机械、制图学等方面，是解决建筑、室内装潢、雕塑、建筑园林设计、制图学等问题的基础学科。
主要内容有平面几何和立体几何，包括平面的直线、圆弧、多边形等，立体的点、直线、面等概念。
空间解析几何主要用来解决解空间几何图形的问题，是几何学中一类重要的问题。
向量代数和空间解析几何之间有着千丝万缕的联系，它们都是分析和处理空间几何图形的重要工具。
向量代数主要用来解决空间的大小、形状、方向等问题，而空间解析几何则主要用于处理空间中的点、直线和平面等结构。
它们的结合可以清楚的表示空间的量化和定义，是建立数学模型的基础和工具。
向量代数和空间解析几何在科技、计算机图形学、建模和科学仿真方面都有着广泛的应用。
它们可以帮助我们更准确地表示和分析空间问题，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
综上所述，向量代数和空间解析几何是数学中重要的概念，可以在科学技术、计算机图形学、矩阵计算等方面得到广泛应用，为解决实际问题提供帮助，在进一步提高科学技术水平中发挥着重要的作用。
它们的结合可以更为清楚地表示和分析空间几何图形，为建立数学模型提供基础。
高等数学第九章 向量与空间解析几何
点的向量
uuuuuur uuuuur uuuur M1M2 =OM 2 OM1
(x2i y2 j z2k ) (x1i y1 j z1k ) (x2 x1)i ( y2 y1) j (z2 z1)k ,
即 以 M1(x1, y1, z1) 为 起 点 , 以 M 2 (x2 , y2 , z2 ) 为 终 点 的 向 量 uuuuuur M1M2 的坐标表达式为
解 因为a 2i 2 j k ，所以
a 22 22 12 9 3，故 a 2 i 2 j 1 k 是与
a3 3 3
a 2i 2 j k 同向平行的单位向量.
例6 已知向量a {1 , 2, 4} 与向量b { ,t ,8}
平行，求 和t 的值.
解 因为a // b,所以 1 2 4 1 ,故 2 ,t 4 .
d (M1M 2 )=| M1M 2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2 (z2 z1)2 . 例3 (1)写出点 A(1,2,1)的向径；
(2)写出起点为 A(1,2,1) ,终点为 B(3,3,0) 的向量
的坐标表达式； (3)计算 A, B 两点间的距离. uuur
解 (1)OA i 2 j k ； uuur
(2)a a1i a2 j a3k ;
(3) a b (a1 b1)i (a2 b2 ) j (a3 b3 )k ; (4) a b a1 b1, a2 b2 , a3 b3; (5) a // b a1 a2 a3 .
b1 b2 b3
例 5 求与a 2i 2 j k 同向平行的单位向量.
(2) AB (31)i (3 2) j (0 1)k
2i j k ；
uuur (3)d ( AB) | AB | 22 12 (1)2 6 .
空间解析几何与向量代数
，其方向向量
s
A1
,
B1
,
C1
A2
,
B2
,
C2
注：直线与平面垂直：直线的方向向量即为平面的法向量；
平面的法向量即为直线的方向向量。
直线与直线平行：两直线的方向行：两平面的法向量平行（也可说相同）。
求直线方程关键是求点、方向向量或两个点
例 1、过点（1，2，3）且平行于直线 x 2 y 1 z 的直线方程为
cos(a,
b)
a
b
，
ab
Prja
b
b
cos(a,
b)
（
b
向量在 a
向量上的投影）
例：已知向量 r 的模是 4，它与 u 轴的夹角是 ，则它在 u 轴上的投影是 3
a
b
a
b
0
例 1、设
a
5,
b
2,
(a,b) π ,
求
2a
3b
3
提示： 2a 3b 2 (2a 3b).(2a 3b)
例 2、若 a (1,0, 2), b (0,1,3) ，求（1）与 a,b 都垂直的单位向量；（2）以 a,b 为邻边的
平行四边形的面积
例 3、若 A(1, 2,3), B1, 2,5,C(0, 2,1) ，求三角形 ABC 的面积
二、平面方程
（1）点法式： A(x x0 ) B( y y0 ) C(z z0 ) 0
例 2、若 a (1, 1, m), b (2, 2,6) ，且 a // b ，则 m= , ，若 a 垂直 b ，则 m= 。
例 3、若 a 1,0, 2 b 3,0,1 ，求 a,b 的夹角。
向量积：
高等数学向量代数与空间解析几何总结
{m,
n,
p}
36
[4] 两直线的夹角
直线 L1 : 直线 L2 :
x x1 y y1 z z1
m1
n1
p1
x x2 y y2 z z2
m2
n2
p2
^ cos(L1, L2 )
| m1m2 n1n2 p1 p2 | m12 n12 p12 m22 n22 p22
x2 y2 z2
27
3、空间曲线
[1] 空间曲线的一般方程
F(x, y,z) 0 G( x, y, z) 0
[2] 空间曲线的参数方程
x x(t)
y
y(t )
z z(t)
28
如图空间曲线 一般方程为
z 1 x2 y2
( x
1)2 2
y2
(1)2 2
x
1 cos t 2
1 2
(1) 曲面S 上任一点的坐标都满足方程； (2) 不在曲面S 上的点的坐标都不满足方程； 那么，方程F ( x, y, z) 0就叫做曲面S 的方程，而 曲面S 就叫做方程的图形.
19
研究空间曲面的两个基本问题： （1）已知曲面作为点的轨迹时，求曲面方程. （2）已知坐标间的关系式，研究曲面形状.
bx by bz
a//
b
ax ay az bx by bz
10
请归纳向量的数量积和向量积
在几何中的用途
（①1求）向数量量的积模(1：) a
a
|
a
|2
.
②求两向量的 夹 角： a b | a ||
b
|
cos
cos
a
b
,
| a || b |
高数下第九章的答案
解：直线 的方向向量 ；设过点 到直线 的垂足为 ；则有
，即 ；又 在直线 上，
联立方程 解得
从而点 到直线 的距离为 .
9.5空间曲面
P.31.习题9.5
1.指出下列方程在平面解析几何和在空间解析几何中分别表示什么图形.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
解：（1） 在平面解析几何中表示平行于y轴的直线，在x轴上的截距为2； 在空间解析几何中表示平行于yoz面的平面，在x轴上的截距为2；
.
（3）已知非零向量a、b、c且满足 ，证明 .
（4）设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
证明：（1）
（2）
相加得 .
（3）已知 ，右乘b得 ，即 ；同理 ；
所以 .
（4）因为 ；
所以设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
南阳理工学院高等数学（下）课后答案选解
第九章向量代数与空间解析几何
9.1向量及其坐标表示
P.9习题9.1
2.已知一边长为a的正方体，现取正方体下底面的中心为原点，正方体的顶点在x轴、y轴上，求此正方体各顶点的坐标.
解：下底面的四个顶点分别是：
对应的上底面的四个顶点分别是：
3.求出点 到原点、各坐标轴及坐标面的距离.
；所求直线为 .
（5）过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
；则 ；联立
解得
所以，过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
.
2.用点向式方程及参数方程表示直线
解：设直线的方向向量为 ；在直线
上任取一点 ，则 解得
所以，点向式方程为 ；参数方程为
3.求直线 与平面 之间的夹角.
解：因为
，即 ；又 在直线 上，
联立方程 解得
从而点 到直线 的距离为 .
9.5空间曲面
P.31.习题9.5
1.指出下列方程在平面解析几何和在空间解析几何中分别表示什么图形.
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） ；
（5） ；
（6） ；
解：（1） 在平面解析几何中表示平行于y轴的直线，在x轴上的截距为2； 在空间解析几何中表示平行于yoz面的平面，在x轴上的截距为2；
.
（3）已知非零向量a、b、c且满足 ，证明 .
（4）设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
证明：（1）
（2）
相加得 .
（3）已知 ，右乘b得 ，即 ；同理 ；
所以 .
（4）因为 ；
所以设向量 ，证明三向量a、b、c共面.
南阳理工学院高等数学（下）课后答案选解
第九章向量代数与空间解析几何
9.1向量及其坐标表示
P.9习题9.1
2.已知一边长为a的正方体，现取正方体下底面的中心为原点，正方体的顶点在x轴、y轴上，求此正方体各顶点的坐标.
解：下底面的四个顶点分别是：
对应的上底面的四个顶点分别是：
3.求出点 到原点、各坐标轴及坐标面的距离.
；所求直线为 .
（5）过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
；则 ；联立
解得
所以，过点 且与直线 垂直相交的直线方程为
.
2.用点向式方程及参数方程表示直线
解：设直线的方向向量为 ；在直线
上任取一点 ，则 解得
所以，点向式方程为 ；参数方程为
3.求直线 与平面 之间的夹角.
解：因为